modulo 1 parte 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN

FACULTAD DE INGENIERÍA

INSTITUTO DE ENERGÍA ELÉCTRICA

CURSO DE POSGRADO INTENSIVO

TRANSITORIOS ELECTROMAGNÉTICOS EN SISTEMAS DE POTENCIA

AÑO 2012

Módulo I Parte 2

Unidad responsable: Instituto de Energía Eléctrica Personal Docente: Dirección: Dr. Ing. Humberto C. Zini

Dr. Ing. Guillermo Guidi V. Ing. Oscar M. Torres

CURSO DE POSTGRADO: TRANSITORIOS ELECTROMAGNETICOS M1- P2-Pág. 2


TRANSITORIOS DE MANIOBRAS BASICOS

Ha sido señalado que los transitorios tienen lugar cada vez que se produce un cambio en las condiciones del circuito, la mayoría de las veces como consecuencia de fallas o maniobras. En las secciones precedentes se analizaron los transitorios en circuitos serie o paralelo RL, RC, LC y RLC con fuentes de tipo escalón. En lo que sigue se analizarán algunos procesos transitorios que tienen lugar en los sistemas de potencia, pero utilizando para ello modelos simples, que no obstante conservan los elementos fundamentales que determinan las características del fenómeno. TRANSITORIOS POR CIERRE DE INTERRUPTOR Energización de un circuito RL Se analizará el cierre del interruptor del circuito mostrado en la Fig. 1 para calcular la corriente. Esto puede representar en sus aspectos más esenciales, la energización de una carga, representada mediante cierta inductancia y resistencia, o la aplicación de una falla donde R y L representaría la impedancia desde la fuente hasta el punto de falla. En ambos casos se asume que la impedancia del generador es despreciable. Alternativamente, la impedancia del generador (o en general de la fuente) puede considerarse incluida en R y L. La tensión de la fuente es [ ]0 0 0sen( ) sen cos cos senm mV t V t tω + θ = ω θ + ω θ y corresponde a la expresión fasorial j

mV V e θ= . La inclusión de θ permitirá considerar que el cierre del interruptor (t = 0) se produce en cualquier instante en el ciclo de tensión.

Fig. 1: Circuito RL con fuente senoidal (Ref. 1)

La corriente inicial por la inductancia es nula, de modo que la expresión operacional de la corriente a través del interruptor resulta:

( )[ ]0

2 20

cos sen1( ) mV sI s

sL R sω θ + θ

= ⋅+ + ω

( )[ ]0

2 20

cos sen1( ) mV sLI ss R L s

ω θ + θ= ⋅

+ + ω


Donde (sL +R) es la impedancia operacional de la carga, y el segundo factor es la transformada de la fem aplicada La expansión de I(s) en sus fracciones parciales es de la forma:

( ) ( ) ( )( ) A B BI s

s s j s j= + +

− α − ω + ω

donde:

( ) ( )2

sen , , exp

| | 2| |m mV VR A B

L Z Zπ

θ − ϕα = − = − = θ − ϕ −

siendo Z = (R+jω0L) , y 2 2 2 ½0

cos( )

R RZ R L

ϕ = =+ ω

La transformada inversa de I(s) es:

( ) 21( ) sen exp( ) 2 exp( ( ))

| | 2mV

i t j t j tZ

π⎡ ⎤⎛ ⎞

= − θ − ϕ − α + ℜ ω + θ − ϕ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

Ec. 1) ( )( ) sen exp( ) sen( )| |

mVi t j t t

Z= − θ − ϕ − α + ω + θ − ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦

Este es justamente el resultado que cabe esperar a partir de un sencillo análisis de problema. En efecto, el segundo término es la corriente forzada debida el la fem aplicada. Su módulo vale Vm/|Z| y está retrasada ϕ radianes respecto de la fem aplicada. A esta componente se superpone la transitoria: una exponencial con constante de tiempo 1 L Rα = , que en t = 0 es igual y opuesta a la componente forzada, de modo que la corriente inicial por la inductancia es nula como en t = 0- . La expresión de i(t) en Ec. 1 se ha graficado en la Fig. 2. Si el cierre del interruptor se produce para θ = ϕ, entonces el término transitorio se anula y la onda de corriente es simétrica; si el cierre se produce para θ – ϕ = 2± π el término transitorio alcanza su máximo valor y el primer pico de la corriente resultante alcanzará un valor cercano al doble de la correspondiente al estado estacionario, situación que puede darse en el interruptor real.

Fig. 2: Corrientes en el circuito RL con fuente senoidal (Ref.1)


Esto es particularmente crítico cuando se realiza una maniobra de energización sobre falla. En este caso la corriente puede alcanzar un valor máximo que es el doble de la corriente de cortocircuito estacionaria, y con un amortiguamiento relativamente lento por la elevada relación L/R de la línea. Las solicitaciones eléctricas, térmicas y mecánicas asociadas deben tenerse en cuenta para su diseño, de modo que soporte este servicio y pueda ejecutar además la maniobra de apertura subsiguiente. Evidentemente la corriente expresada por la Ec. 1 será también la que se establece al producirse un cortocircuito, si despreciamos o es nula la corriente previa a la falla. Vemos entonces que el interruptor que despeja la falla debe ser capaz de interrumpir, no solo la corriente estacionaria, sino también la componente transitoria. La ionización del arco en la cámara del interruptor, producida por esta corriente, es tan intensa que si el interruptor no está correctamente dimensionado, la rigidez dieléctrica entre contactos no aumenta lo suficiente para extinguir la corriente en su primer paso por cero. El arco entonces se reenciende y debe esperarse hasta el siguiente cruce por cero para que pueda tener lugar la apertura efectiva. Sin embargo, cuando analicemos las tensiones de restablecimiento veremos que la amplitud de la corriente no es el único factor que afecta la posibilidad de una apertura exitosa. Es claro que si se retarda la maniobra de apertura, la solicitación sobre el interruptor se ve disminuida al ser menor la componente transitoria de la corriente. Sin embargo, no es habitual producir intencionalmente este retardo. En los sistemas de transmisión el despeje de una falla debe realizarse en el menor tiempo posible, no solo para reducir la sobrecarga térmica sino también, y muy especialmente, para mejorar la estabilidad transitoria. Corriente de energización de bancos de capacitores Los capacitores shunt son ampliamente utilizados, especialmente en los sistemas de distribución, sea con propósito de compensar el factor de potencia de las cargas o para sostener la tensión. La maniobra de estos bancos no es trivial y debe ser motivo de análisis al diseñar su instalación y los aparatos de maniobra. Se analiza aquí la corriente asociada a la maniobra de energización, para mostrar que la misma en general es responsable de corrientes muy elevadas y de muy alta frecuencia. La figura muestra esquemáticamente dos bancos de capacitores en paralelo que se conectan en función de los requerimientos de compensación. Ls es la inductancia de la fuente en tanto que Lb es la inductancia del circuito formado por los dos bancos, la barra, conexiones a tierra etc. Para simplificar se desprecia la resistencia.

Considérese primero la energización de C1 con C2 desconectado y asúmase, también por simplicidad que la corriente inicial por Ls es despreciable. Por otra parte, como la parte del

Fig. 3 Circuito para analizar la energización de bancos de capacitores

C1

Lb Ls

C2


proceso transitorio que interesa analizar es muy corta se supondrá que la tensión de la fuente permanece constante. De la expresión general de la corriente en el circuito serie LC

01 1

(0)( ) (0)cos( ) sin( )c

c

E Vi t I t tZ

⎛ ⎞−= ω + ω⎜ ⎟

⎝ ⎠

es claro que en el caso aquí considerado resulta

01

(0)( ) sin( )c

c

E Vi t tZ

⎛ ⎞−= ω⎜ ⎟

⎝ ⎠ donde

Zc = (Ls/C1)½, ω1=1/(LsC1)½, E0 es el valor de la fem de vacío del circuito en el instante de la maniobra y Vc(0) la tensión inicial en el capacitor (E0-Vc(0)) es la tensión en el interruptor que maniobra al instante del cierre. Considérese por ejemplo un sistema de 34.5 KV, con conexión a tierra rígida, supóngase que el banco representado por C1 es de 18 MVAr y que la corriente de cortocircuito en la barra es de 25 KA (rms). En esas condiciones resultan: C1 = 48 μF y Ls = 2.54 mH de modo que: Zc = 7.274 Ohm y ω1 = 2864 rad/s (f1 = 455 Hz) (lo que justifica asumir constante la tensión de la fuente). Si el cierre del interruptor se produce en el máximo de la tensión y el capacitor está inicialmente descargado, el pico máximo de la corriente transitoria resulta: Im = (2/3)½34.5/Zc KA = 3.87 KA. Este valor debería comparase con el pico de la corriente nominal del banco: (0.42 KA) . Consideramos ahora la energización de C2 (sea de 10 MVAr -> 26.75μF) suponiendo que C1 está en servicio. Es evidente que debido a la baja impedancia del lazo entre C1 y C2 el capacitor C1 tenderá a descargarse sobre C2 y circulará una corriente muy elevada por ambos bancos.

El circuito que se forma posee cuatro modos naturales (dos frecuencias naturales de oscilación). Su cálculo es bastante engorroso, pero pueden encontrarse aproximaciones razonables gracias a que ellas son muy distintas entre sí.

Examinado el circuito que se forma es bastante evidente que una de las frecuencias estará prácticamente determinada por la serie de Ls con el paralelo de C1 y C2 ya que a esa frecuencia la inductancia Lb es despreciable. La segunda frecuencia natural es dictada por Lb y la serie de C1 y C2. Esa frecuencia será muy alta debido a que Lb es muy pequeña, y comparativamente Ls es tan grande que prácticamente puede considerase un circuito abierto.


Como primera aproximación se analizará la corriente que se tiene despreciando el aporte de la fuente, esto es la descarga de C1 sobre C2. El circuito a analizar consiste de los dos capacitores en serie, y en serie con la inductancia Lb. Un valor típico para Lb es del orden de 1 μH /m y asumiendo una longitud total de 20 m, se tendría Lb = 20 μH. La carga inicial en C1 puede ser tenida en cuenta mediante una fuente de tensión en serie equivalente de valor V0 , lo mismo se haría con la carga de C2 pero se asumirá que es nula. En esas condiciones se tiene un circuito esencialmente igual al analizado para la energización de C1 pero con los siguientes parámetros: L = Lb = 20 μH; C = C1C2/(C1+C2) = 17.2 μF y por lo tanto, Zc = 1.078 Ohm y ω1 = 53916 rad/s (f1 = 8.6 KHz) A esa frecuencia, la impedancia de Ls es de 137 Ohm, muy superior a Zc y a la serie de Lb y C2 por lo tanto su influencia en el circuito es despreciable como se supuso. Suponiendo que la tensión en C1 al instante de la energización es la máxima (V0=28.17 KV), el pico máximo de la corriente resulta: Im=V0/Zc = 26 KA. Naturalmente esta corriente debe ser muy superior al aporte que puede realizar la fuente, que será del mismo orden que el calculado al energizar C1 Una corriente de tal magnitud y tan alta frecuencia es problemática desde muchos puntos de vista. Primero para coordinar los fusibles, segundo por el esfuerzo electrodinámico que produce y tercero (pero no menos importante) por los efectos de interferencia en los circuitos de protección y control que trabajan con tensiones relativamente bajas. Para limitarla frecuentemente se instalan reactancias en serie con los capacitores, las que pueden ser puenteadas una vez terminado el transitorio. El efecto de la fuente puede contemplarse de manera aproximada. Las oscilaciones transitorias que acaban de calcularse naturalmente se atenúan como consecuencia de las pérdidas, y relativamente rápido dado que estas son bastante elevadas a tan alta frecuencia. Si se deja evolucionar el circuito, ambos capacitores alcanzarían una misma tensión (tensión común) que puede calcularse por conservación de la carga. Es posible suponer, sin cometer un error significativo, que la fuente se conecta después que este transitorio ha concluido. De hecho, la inductancia Ls es bastante alta y no habrá aporte significativo de corriente al circuito que acaba de analizarse hasta que el transitorio esté prácticamente extinguido. La tensión común que se alcanza se calcula como sigue, igualando la carga antes de la maniobra con la que existe al final del proceso transitorio: C1V1(0) + C2(0) V2(0) = (C1+C2)V(∞) de modo que V(∞) = [C1V1(0) +C2 V2(0)]/ (C1+C2) En particular, V 1 (0) = 28.17 KV y V 2 (0) = 0 por lo tanto: V(∞)= 18.1 KV.


Si se supone ahora que el circuito analizado alcanzó su estado estacionario y empieza a recibir el aporte de la fuente, (mediante un transitorio de frecuencia mucho menor para la cual Lb es despreciable) se tendrá una situación análoga a la energización de C1. En este caso sin embargo, la capacidad en serie con Ls es C1+C2 y se encuentra con una tensión inicial V(∞)= 18.1 KV. Las frecuencias de las oscilaciones y la impedancia característica del circuito resultan: ω1=1/[Ls(C1+C2)]½ = 2295 rad/s (f1= 365 Hz) y Zc = 5.83 Ohm La tensión aplicada a este circuito es la diferencia entre la tensión de la fuente (28.17 KV) y la tensión común (V(∞) = 18.1 KV), esto es U=10.07 KV. Por lo tanto el aporte de la fuente a la corriente es de 1.73 KA y con una frecuencia de 365 Hz., muy inferior a la debida a la descarga de C1 sobre C2. TRANSITORIO DE RESTABLECIMIENTO POR ELIMINACIÓN DE UNA FALLA. La separación de los contactos de un interruptor no basta para interrumpir la corriente. Entre ellos se establece un arco a través del cual la corriente sigue fluyendo. El éxito de la maniobra depende de la habilidad del interruptor para controlar y finalmente extinguir este arco. Afortunadamente la corriente pasa por cero dos veces cada ciclo y es justamente en uno de esos instantes que ocurre la apertura efectiva. A partir de ese momento la rigidez dieléctrica entre los contactos aumenta a medida que los mismos se separan y el arco se enfría. Por otra parte, entre los contactos empieza a desarrollarse una diferencia de potencial que puede crecer más o menos rápidamente dependiendo del circuito que se abrió. Es claro que si esa tensión crece más rápidamente que la rigidez dieléctrica en algún momento el arco se restablece y la corriente vuelve a fluir hasta el próximo paso por cero donde se intentará una nueva apertura. La magnitud y velocidad de crecimiento de la tensión entre los contactos (denominada tensión de restablecimiento transitoria (TRV por sus siglas en inglés) es entonces un factor determinante para el éxito de la maniobra, y es el motivo de este análisis. Se analiza en primer lugar la tensión de restablecimiento tras la apertura de una falla al lado del interruptor (terminal fault). El circuito más sencillo que modela este fenómeno es el mostrado en la Fig. 4. Se asume que cierta carga, alimentada a través del interruptor queda fuera del circuito debido a un cortocircuito franco. L es la inductancia total (incluyendo la de la fuente) y es lo único que limita la corriente de falla. A través de la capacidad C se modela la capacitancia a tierra de la estación e incluye, por ejemplo, la capacidad a tierra de los bushing, transformadores, etc., se trata de una capacidad relativamente pequeña. Se despreciará la resistencia del circuito y toda otra forma de disipación de energía, aspecto que no afecta la esencia al fenómeno.

Fig. 4: Circuito equivalente para estudio de tensión de restablecimiento (Ref. 1)


Para simplificar el análisis se asume también que la componente transitoria de la corriente de falla se ha extinguido, y que por lo tanto la corriente que debe interrumpirse es completamente simétrica y además reactiva. Por lo tanto en el instante de paso por cero de la corriente, la tensión de la fuente está en su máximo valor. Adoptando ese instante como origen de los tiempos, la fem resulta:

0( ) cosmE t V t= ω La tensión entre contactos del interruptor durante la falla es la caída de potencial sobre el arco que se considerará despreciable respecto de la tensión nominal como es realmente en el caso para interruptores de alta tensión. Como esta es la tensión sobre el capacitor se tiene que las condiciones iniciales (corriente inicial a través de L y tensión inicial sobre C) son nulas La tensión operacional sobre el interruptor o en el capacitor es entonces:

( )( )CI sV ssC

= = 2

1 ( )1 ( ) ( )1 1

LCE s E ssC sL sC s LC

=+ +

y sustituyendo E(s) por su expresión matemática, obtenemos:

21

2 2 2 21 0

( ) mC

V sV s

s sω

= ⋅+ ω + ω

siendo 21

1LC

ω =

Para determinar ( )Cv t se desarrolla VC(s) en fracciones parciales, resultando:

1 1 0 0

( )CA A B BV s

s j s j s j s j= + + +

− ω + ω − ω + ω

con: ( ) ( )

2 21 1

2 2 2 20 1 0 1

; 2 2m mA V B V

ω −ω= =

ω − ω ω − ω

y se obtiene su transformada:

[ ] [ ]1 0( ) 2 exp( ) 2 exp( )CV t A j t B j t= ℜ ω + ℜ ω o

( ) [ ]21

1 02 20 1

( ) cos cosC mV t V t tω

= ω − ωω − ω

Esta es la tensión que aparece entre los contactos del interruptor después de la interrupción de la corriente, y se denomina tensión de restablecimiento. Se observa en ella una componente estacionaria, con la frecuencia angular de la fuente, y superpuesta a la misma la componente transitoria que, como cabe esperar en un circuito LC, es oscilante con frecuencia angular


ω1 = 1LC . La amplitud de estas oscilaciones transitorias es tal que en el instante inicial la

tensión resultante entre contactos del interruptor, que es la tensión sobre el capacitor, resulta nula como durante el tiempo de falla. En la práctica esta componente es amortiguada como consecuencia de las pérdidas del circuito y ese amortiguamiento ha sido considerado en la Fig. 5 donde se gráfica la situación antes y después de la interrupción de la corriente. Hasta el instante en que la corriente pasa por cero, la capacitancia está cortocircuitada por la falla. Tras la extinción del arco, esta restricción ya no existe y la fuente tiende a cargar el capacitor, pero lo hace a través de la inductancia L, originándose el proceso oscilatorio descripto.

Como la capacidad C es muy pequeña, en general 1 0ω >> ω y por ello 21

2 20 1

1ω

≈ −ω − ω

y puede escribirse con muy buena aproximación:

0 1( ) [cos cos ]C mV t V t t≅ ω − ω Si además se considera que debido a las pérdidas la oscilación de frecuencia 1ω se amortigua en una fracción del período de la fem aplicada, dentro de ese intervalo, 0cos 1tω ≅ y puede escribirse, a los fines de simplificar el análisis y con buena aproximación que

1( ) (1 cos )C mV t V t≅ − ω En la Fig. 5 se observa que la tensión sobre el interruptor alcanza un valor que prácticamente duplica el pico estacionario, cuando las componentes transitoria y estacionaria interfieren constructivamente. Si ω1 es muy elevado (LC muy pequeño) la tensión de restablecimiento varía velozmente, si esa velocidad supera aquella con que se incrementa la rigidez dieléctrica entre los contactos a medida que estos se separan, se producirá una reignición del arco. Como consecuencia de la cual, el interruptor conducirá la corriente de falla por, al menos, medio ciclo adicional. Evidentemente la velocidad de crecimiento de la tensión de restablecimiento: r.r.r.v ('rated of rise of the recovery voltage') es una medida muy importante de la exigencia a la que se verá sometido el interruptor. Los circuitos más críticos desde este punto de vista, son aquellos que presentan una reducida inductancia y capacidad. Por ejemplo una bobina de choque con núcleo de aire: estimando su inductancia en el orden de 1 mH y su capacidad parásita a tierra en unos 400 pF, su frecuencia natural resultaría:

0 3 10 ½

1 2502 (10 4 10 )

f KHzx x− −= =

π

esto corresponde a un período de 4 µseg.; En un sistema de 13,8 kV la tensión alcanzará el doble de la tensión de pico fase-tierra en un semi-período (despreciando el amortiguamiento). El valor medio de la velocidad de variación de la tensión (r.r.r.v) en ese período será:

2 13,8 2 11,3 .

3 2kV seg× ×

= μ×


Fig. 5 Tensión de restablecimiento en el interruptor de la Fig. 4 - corriente simétrica. (Ref. 1) Se considerará ahora la influencia de la componente unidireccional de la corriente. De acuerdo con el análisis previo de la energización de una carga de tipo RL, la corriente de cortocircuito que debe abrir el interruptor presenta en general una componente unidireccional amortiguada. La extinción del arco se producirá de cualquier manera en el paso por cero de la corriente pero, debido a esta componente, la tensión de la fuente no está, en ese instante, en su máximo. La tensión de restablecimiento presentará, también en este caso, una componente estacionaria y una transitoria con frecuencias angulares ω0 y ω1 = 1

LC , pero la amplitud de esta última, que se ajusta para tener una tensión nula sobre el capacitor en t = 0, será menor en este caso. La situación es mostrada en la Fig. 6, donde se aprecia que como consecuencia de ello, la tensión máxima no alcanza a ser el doble que el pico de estado estacionario.

Fig. 6 Tensión de restablecimiento en el interruptor de la Fig. 4 - Corriente asimétrica. (Ref. 1) TENSIONES DE RESTABLECIMIENTO CON DOS FRECUENCIAS. Evidentemente el circuito analizado en el punto anterior es bastante sencillo porque se asume que la falla se produce en terminales del interruptor. Otra situación que merece ser considerada es la desconexión de una pequeña carga inductiva, tal como un reactor o un transformador en vacío. La situación se ilustra en la Fig. 7 donde, además de L1 y C1 que modelan la inductancia y la capacidad parásita lado fuente, se incluye L2 y C2 con los que se modela, la inductancia de la carga y su capacidad parásita a tierra.


El lado fuente y el lado carga quedan completamente separados después de la apertura y cada uno tendrá un proceso transitorio independiente del otro, siendo la tensión de restablecimiento la diferencia de las tensiones sobre C1 y C2. Con algunas hipótesis simplificativas esta puede determinarse sin recurrir a un análisis matemático

Fig. 7 Circuito con dos frecuencias naturales. (Ref. 1)

Despreciando la corriente por las capacidades, la tensión en los capacitores antes de la apertura, e inmediatamente después de la misma, vale

2

1 2

( ) ( )L

Vc t V tL L

=+

siendo V la tensión de la fuente, que estará en su máximo cuando se interrumpe la corriente en su paso por cero. Por lo tanto la tensión inicial en los capacitores es muy aproximadamente:

20

1 2

LVc Vm

L L=

+

Luego de la apertura C2 se descargará a través de L2, y su tensión oscilará entorno a 0, a partir de su valor inicial 0Vc , con una frecuencia

2 ½2 2

12 ( )

fL C

=π

y por su parte, la tensión en C1 oscilará alrededor de la tensión de la fuente (V), a partir de su tensión inicial 0Vc con una frecuencia

1 ½1 1

12 ( )

fL C

=π

Los procesos transitorios lado fuente y lado carga se muestran en las Fig. 8 a y b respectivamente, y su diferencia, la tensión de restablecimiento, se ha graficado en la Fig. 8c. En las tres figuras se muestra cierto amortiguamiento de las oscilaciones debido a las pérdidas, que no han sido consideradas en el análisis anterior. Nótese además que la amplitud de la oscilación transitoria lado fuente es en general pequeña porque normalmente L2 >> L1 y por lo tanto 0Vc Vm≅ .


Cabe destacar que el transitorio analizado supone que la corriente se interrumpe en su paso por cero. Cuando este no es el caso pueden producirse sobretensiones más elevadas, lo que será analizado más adelante.

Fig. 8 Tensión de restablecimiento con dos frecuencias. a) transitorio lado fuente. b) transitorio lado carga. c) tensión en el interruptor. (Ref. 1) MANIOBRAS CON RESISTENCIAS DE APERTURA Consideraremos ahora el uso de resistencias como un medio para limitar la tensión de restablecimiento. En algunos interruptores se disponen resistencias entre los contactos En algunos casos, estos resistores se disponen en los interruptores con varias cámaras a fin de uniformizar la distribución de la tensión de restablecimiento entre ellas. En ese caso las resistencias son de elevado valor, basta con que sean bajas comparadas con la reactancia capacitiva de la capacidad entre contactos a la frecuencia de la componente transitoria de la tensión de restablecimiento. En otros casos, el propósito de la resistencia es reducir la severidad de la tensión de restablecimiento introduciendo un amortiguamiento en las oscilaciones naturales. Para ello el valor de la resistencia debe ser relativamente bajo y naturalmente debe abrirse después del transitorio de apertura. Estas resistencias de apertura se utilizaron con cierta frecuencia en los interruptores con aire comprimido, aunque no pueden implementarse en los más modernos interruptores de SF6. Analizaremos el transitorio de despeje de falla con resistencia de apertura a fin de determinar el valor de resistencia apropiado. El circuito que modelo el sistema, en su forma más simple se muestra en la Fig. 9, donde el interruptor auxiliar S es el que abre cuando el termina el transitorio para que no circule corriente en estado estacionario.


Fig. 9 Apertura de falla con interruptor con resistencia de apertura - (Ref. 1) Para plantear las ecuaciones se hará uso del principio de superposición: La apertura del interruptor puede simularse inyectando entre sus terminales una corriente igual y opuesta a la que fluiría por el interruptor cerrado. Las tensiones posteriores a la maniobra serán entonces la suma de las que se tendrían si la maniobra no se produjese (cero entre bornes del interruptor) mas la que resulta aplicando la corriente al circuito sin fuentes y con condiciones iniciales nulas, como se muestra en la Fig. 10.

Fig. 10 Circuito equivalente para modelación de apertura de falla con interruptor con resistencia de preapertura. (Ref. 1) La corriente que debe inyectarse es la de falla, que aquí se asume simétrica, y cuyo valor es V/ωL. Como la interrupción efectiva se produce en su paso por cero, su expresión matemática es:

( ) senVi t tL

= ± ωω

siendo el signo irrelevante para el análisis.

Sin embargo, el período transitorio que interesa es usualmente corto comparado con un ciclo de frecuencia nominal, en consecuencia, la corriente puede aproximarse a través de una rampa con pendiente V/L [A/s].

2( ) ( ) V LVi t t I sL s

≅ ⇒ ≅

Visto desde el interruptor el circuito aparece como un paralelo RLC. La impedancia operacional vista desde el interruptor es:

2( )1

s CZ ss s RC LC

=+ +

y la expresión operacional de la tensión en el interruptor:


2( ) siendo

1I C VV s I

Ls s s RC LC′

′= =⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

De acuerdo con el análisis de los circuitos RLC, la transformada inversa de esta expresión

depende del parámetro 0

R RZ L C

η = = . En la Fig. 11 se muestran las curvas correspondientes a

distintos valores de η con la variable t t LC′ = en el eje de abscisas. Estas curvas permiten determinar un valor adecuado de resistencia de preapertura. Considérese el siguiente ejemplo: Un interruptor de aire comprimido de 345 kV, 25.000 MVA debe interrumpir unos 40.000 A, se supone su capacidad de apertura lo permite aunque para ello debe disponerse un resistor de preapertura a fin de limitar la tensión de restablecimiento. El sistema de 345 kV, con corriente de falla de 40 kA tiene una reactancia inductiva

345 3 40 5x = ≅ Ω , lo que representa una L ≅ 13.3 mHy (60Hz); un valor normal de C para una barra de 345 kV puede ser 25 nF. Por lo tanto,

½

0 725LZC

⎛ ⎞= = Ω⎜ ⎟⎝ ⎠


Fig. 11: Transformada inversa de

2

11

LCs s s RC LC⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

en función de la variable t t LC′ = para

distintos valores de 0

R RZ L C

η = = .

Se ha visto anteriormente que sin amortiguamiento, al interrumpir la corriente, la tensión de restablecimiento puede alcanzar un pico igual al doble de la tensión del sistema en un sistema con neutro a tierra (en este caso 2 345 2 3 562kV kV× × = ). Supóngase que se desea, mediante la utilización de la resistencia de apertura, tener una máxima tensión de restablecimiento de 0.7 veces este valor, o sea 1.4 pu, la figura muestra que ese pico corresponde a un circuito con η = 1.8 aproximadamente, luego, conocido Z0 se puede determinar R, que resulta:

0 1300R Z= η = Ω


TRANSITORIOS DE MANIOBRAS ANORMALES Se ha visto que al abrir un interruptor en el instante que la corriente pasa por cero la tensión de restablecimiento puede alcanzar el doble de la tensión nominal. Asimismo al cerrar un interruptor por el cero de tensión, la corriente puede alcanzar hasta el doble de la nominal. Se ha visto también que en la práctica tales valores no son realmente alcanzados debido al amortiguamiento que introducen los procesos disipativos. En cualquier caso estos transitorios son ‘normales’, en cuanto a que existen circunstancias en las que pueden desarrollarse transitorios cuyas sobretensiones o sobrecorrientes exceden en mucho estos valores. Interrupcion de pequeñas corrientes inductivas Cuando se interrumpe una corriente relativamente pequeña es posible que, debido a la enérgica acción del dispositivo de extinción de arco del interruptor, la interrupción se produzca antes del cero natural de la corriente. Esto puede dar origen a sobretensiones muy elevadas debidas a la energía atrapada en el campo magnético asociado a la corriente. El fenómeno se observa con frecuencia al abrir transformadores en vacío o reactores. El mecanismo por el cual se producen las sobretensiones puede entenderse fácilmente recurriendo a consideraciones energéticas: Si en el instante en que se corta la corriente esta tiene un valor I0, existe un campo magnético, concentrado fundamentalmente en el núcleo del transformador, cuya energía es:

212m m mW L I=

este valor de Wm es en general elevado, pues si bien Im es pequeña (~1% de la nominal) Lm es muy grande. La corriente en la inductancia no se puede anular instantáneamente, sino que se deriva a través de la capacidad parásita C del transformador. En algún instante posterior, cuando la corriente pasa cero, la tensión sobre el capacitor es máxima y su valor debe ser tal, que la energía en el campo eléctrico sea igual a la que inicialmente estaba en el campo magnético y que ahora es nula por serlo la corriente. Es decir:

2 21 12 2 m mCV L I= m

mL

V IC

⇒ =

Esta es la tensión que alcanzaría el capacitor y naturalmente también la tensión a través del bobinado. Un hecho muy importe es que esta tensión resulta en cierta medida independiente de la tensión nominal del sistema. Para tener una idea de la magnitud del problema considérese por ejemplo un transformador con las siguientes características relevantes, referidas a su arrollamiento de alta tensión: Un = 500 KV Sn = 300 MVA P0 = 200 KW (pérdidas de vacío) Ioc = 1.2 Arms (corriente de vacío) La corriente magnetizante está formada por dos componentes en cuadratura, Iw responsable de las pérdidas en el núcleo, e Im propiamente magnetizante.


Para determinar esta última, determinamos primero Iw como:

200 KW 0.23 ArmsKV500 3wI = = ;

con ello, 2 2 1.17 Armsm oc wI I I= − = y la inductancia de la rama magnetizante resulta entonces

500 3 KV 785 H1.17 100 AmL = =

⋅ π

La capacidad parásita C depende del bobinado y la aislación, pudiendo estimarse en unos 3 nF Se asumirá (como ejemplo también) que el interruptor corta la corriente cuando vale I0 = 1.17A (el valor del pico es en realidad mayor que 2 mI debido a la distorsión producida por la alinealidad del núcleo). Sustituyendo estos valores en la expresión de V se obtiene una tensión de 598.5 KV. En la práctica estos valores no son alcanzados. En alguna medida son limitados por el amortiguamiento producido por las pérdidas, pero fundamentalmente se debe a que solo una parte de la energía atrapada en el núcleo es convertida en campo eléctrico; el resto se disipa: En la Fig. 13 se muestra un ciclo de histéresis. Mientras el transformador está energizado el núcleo toma energía durante los intervalos QX y ZP, y la devuelve a la fuente en los intervalos XZ y PQ . Una energía proporcional al área del ciclo es convertida en calor en cada ciclo. Cuando la corriente está en su máximo, (punto X) hay una energía en el núcleo proporcional al área del triángulo OXY y a medida que la corriente se reduce hasta cero, (punto Z) se recupera del mismo una energía proporcional al área sombreada (XYZ), el resto se disipa como calor en el núcleo.

Fig. 12 Corte de corriente. a) transformador en vacío b) circuito equivalente - c) corriente


Fig. 13 Energía liberada por el núcleo de un transformador ante un corte de corriente Si la corriente fuera cortada en su pico y forzada a circular por la capacidad parásita, ella sigue aproximadamente el mismo camino desde X a Z y la energía que se transfiere al campo eléctrico es la representada por ZYX . En núcleos de acero grano orientado, el área sombreada representa un 40% o menos que la del triángulo OXY. En el caso de reactores con núcleo de aire o con entrehierros considerables (no saturables) la energía recuperada es casi 100%. A continuación se examina el proceso transitorio de un modo más formal. En la Fig. 10 se muestra el circuito equivalente en el que se incluye resistencia para modelar las pérdidas en el hierro (pérdidas dependientes de la tensión sobre la inductancia). Las condiciones iniciales pueden modelarse con fuentes de corriente equivalentes en paralelo: para la inductancia una fuente iL(t) = I0u(t) (escalón de amplitud I0 ), y para el capacitor un impulso de amplitud CV(0) (IC(t) = CV(0)δ(t)) donde V(0) es la tensión en el arrollamiento en el instante previo al corte de la corriente. La fuente de corriente operacional equivalente, que excita el circuito es entonces:

(0)( ) (0) II s CVs

= +

La impedancia operacional por su parte es

2( )1 m

s CZ ss s RC L C

=+ +

y la expresión operacional de la tensión que se desarrolla sobre el bobinado:

2

(0)( ) (0)1 m

s C IV s CVss s RC L C

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠ o

( )2 2

1( ) (0) (0)

1 1mm

m m

L CLsV s V ICs s RC L C s s RC L C

= ++ + + +

Normalmente la resistencia del circuito es muy alta (η = R L C > 1/2) y la respuesta es de tipo oscilante La transformada inversa del primer término es el transitorio normal, que se produce cuando la corriente es interrumpida en su paso por cero, y corresponde a la descarga de la capacidad


parásita. Su amplitud es directamente proporcional a V(0), y no depende de otros parámetros del circuito. El segundo término es la componente excitada por el corte de la corriente, presenta los mismos modos naturales del primer término, pero su amplitud depende de I(0) y de la impedancia característica mL C que es muy grande, porque la inductancia magnetizante es muchos ordenes de magnitud mayor que la capacidad parásita. Antitransformando ambos términos se obtiene la expresión temporal de la tensión sobre el arrollamiento:

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

1 12 2

12

12

12

2 22 2 2

2 20

22 2

2 20

1( ) (0) cos 1 2 sen 1 24 1

2 (0) sen 1 24 1

t RC

t RC

v t e V RC t RC tR Z

RIe RC tR Z

−

−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= ω − − ω − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠−⎣ ⎦

⎡ ⎤+ ω −⎢ ⎥⎣ ⎦−

donde: 1LC

ω = y 0LZC

=

En el caso sin amortiguamiento (R → ∞) la amplitud del término vinculado con I(0) tiende a

0(0)I Z que es la que calculamos anteriormente. Si bien las sobretensiones que se alcanzan con estas maniobras son elevadas, existen aspectos, no contemplados en el análisis que tienden a limitarlas. Por ejemplo es frecuente que los interruptores estén conectados a los transformadores a través de un cable de cierta longitud. Esto introduce una capacidad considerable en paralelo con la capacidad parásita del transformador, reduciéndose la impedancia característica Z0 y con esto las sobretensiones. Sobretensiones por reencendido en apertura de corrientes capacitivas Durante la maniobra de capacitancias, tales como la apertura de una línea sin carga, o de un banco de capacitores en paralelo, se presentan sobretensiones entre los contactos que, si no son soportadas por el interruptor sin reencendido, pueden dar origen a transitorios anormales caracterizados por sobretensiones mucho mayores y potencialmente destructivas. En la Fig. 14a se muestra la sucesión de eventos previos y posteriores a la maniobra. Como la corriente anticipa a la tensión en 90°, la interrupción por cero de corriente se produce cuando la tensión del capacitor esta en su máximo. Esta tensión lado carga permanece constante, en tanto que lado fuente varía básicamente según lo impone la fuente. Como consecuencia de ello, al cabo de medio ciclo la tensión entre contactos del capacitor alcanza un valor de 2 pu. Lado fuente la situación es realmente un poco más complicada: La tensión estacionaria es menor después de desconectar la capacidad ya que desaparece la 'caída' de tensión sobre la inductancia de la fuente. La transición entre uno y otro nivel de tensión se produce a través de un transitorio que involucra la capacidad parásita y la inductancia de la fuente y ciertas pérdidas. Este transitorio se muestra en la Fig. 15. Como no resulta esencial para el análisis será ignorado, aunque su amplitud puede alcanzar cierta relevancia, especialmente en barras con baja potencia de cortocircuito.


Como la corriente capacitiva de una línea por ejemplo, es mucho menor que la corriente de carga o de falla que normalmente debe abrir el interruptor, es probable que el arco sea extinguido fácilmente, cuando los contactos están aún muy próximos. En esas condiciones hay una mayor probabilidad de reencendido. Supóngase que esta ocurre (que es como decir que el interruptor recierra), y que sea justo cuando la tensión entre contactos está en su máximo de 2 pu. Nos encontramos entonces frente a un circuito LC alimentado con una fem, pero que además tiene ciertas condiciones iniciales: una tensión de 1 pu en la capacidad opuesta a la de la fuente.

Fig. 14 Desconexión de capacitancia - a) Tensión y corriente de la fuente – b) Tensión en el capacitor - c) TRV interruptor (Ref. 1)

Fig. 15 Transitorio lado fuente en la desconexión de una capacitancia (Ref. 1)


Podemos esperar un transitorio oscilante con una frecuencia:

00 ½

12 2 ( )

fLC

ω= =

π π

Para simplificar, y como durante el período que interesa la tensión de la fuente se mantiene prácticamente en su valor máximo, puede asumirse que esta es constante. En consecuencia, la ecuación de malla operacional resulta:

(0)1 ( ) mV VsL I s

sC s−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

y la corriente por el circuito:

2 20

(0)1( ) mV VI s

L s−

=+ ω

Donde 0 1 LCω = como se preveía, y [Vm − V(0)] es la diferencia de potencial entre contactos del interruptor, que en este caso se supuso vale 2Vm . La expresión temporal de la corriente resulta:

12

0 020

2( ) sen 2 senm

mV Ci t t V t

LL⎛ ⎞= ω = ω⎜ ⎟ω ⎝ ⎠

Veamos un ejemplo para tener idea de las magnitudes de las corrientes que podrían aparecer: Supongamos que el interruptor separa del circuito un banco trifásico de 4 MVA y 15 kVolt La capacidad del banco es de unos 60 µF por fase y al desconectarlo se interrumpe una corriente capacitiva de 163 A. Sea la inductancia de la fuente 1 mH. Si se produce el reencendido cuando V = 2VN, la corriente tendrá un valor:

½½ 5

N 3

2 15.000 2 6 102 60001 103

LV AC

−

−

⎛ ⎞× ×⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠

la frecuencia sería 0 ½

1 6502 ( )

f HzLC

= =π

La tensión en el capacitor es ( ) (0)( )CI s VV ssc s

= − ( )

20

2 20

2 mm

VV

ss sω

= −+ ω

, o bien,

( )2 2

0

( ) 2mC m

V sV s Vs s

= −+ ω

y su expresión temporal resulta:

[ ]0( ) 2 1 cosC m mv t V t V= − ω −


Es decir que ( )Cv t alcanza un máximo de 3 Vm La Fig. 16 muestra la apertura, la tensión por carga atrapada en el capacitor y el subsecuente reencendido del arco.

Fig. 16 Desconexión de capacitancia con reencendido en el pico de tensión. (Ref. 1) El fenómeno puede repetirse. Si al alcanzar la tensión el valor 3Vm , y al pasar por cero la corriente, se extingue el arco, el capacitor mantendrá esa tensión. Al cabo de un semiciclo la tensión entre contactos alcanza 4Vm , si entonces se reenciende el arco se inicia un nuevo transitorio en el que el pico alcanza ahora 5Vm , y así sucesivamente, hasta que ocurre una descarga externa al vencerse la rigidez dieléctrica del aire, o hasta destrucción del banco de capacitores. Esta secuencia es, sin embargo, un tanto ideal, ya que en la práctica el reencendido no ocurre precisamente en el máximo de la tensión, de modo que la tensión subiría más lentamente. Esta clase de sobretensiones son muy infrecuentes porque naturalmente los interruptores bien dimensionados y diseñados están prácticamente libres de reencedidos. Otros fenómenos de reencendido Examinaremos ahora una situación análoga a la anterior, pero un poco más compleja. En la Fig. 17 se observa que lado carga existe, no solamente una capacidad, sino también cierta inductancia L. Esto podría representar por ejemplo un horno de arco cuando los electrodos entran accidentalmente en cortocircuito. La capacidad C puede modelar un tramo de cable, o incluso la capacidad parásita del transformador del horno. Si el interruptor abre ese cortocircuito, la tensión estará próxima al máximo ya que el circuito tiene un muy bajo factor de potencia (cero en nuestro modelo).

Fig. 17 Reencendido al desconectar una carga esencialmente inductiva


Circuito equivalente – (Ref. 1) El capacitor descargará sobre la inductancia con oscilaciones de frecuencia:

( )1

2

22

2

122

fL C

ω= =

ππ

que puede variar en un amplio rango (algunos cientos a decenas de miles de ciclos por segundo). Si las oscilaciones son rápidas, la tensión lado fuente puede asumirse constante, y la tensión crece rápidamente sobre el interruptor. Si como consecuencia de ello se produce una reignición, (Pto B de la Fig. 18) la capacitancia se reconecta a la fuente y su tensión oscilará entorno a la de la fuente con una amplitud que es la diferencia entre su tensión inicial y la estacionaria, y con una frecuencia:

( )1

2

11

1 2 1 2

122

fL L C L L

ω= =

ππ +⎡ ⎤⎣ ⎦

Es posible entonces que la corriente se interrumpa nuevamente en un paso por cero de la oscilación de frecuencia f1 . En ese instante C estará cargado a un potencial muy alto, y su descarga será oscilante a la frecuencia f2 . Una nueva reignición puede producirse en un punto como E, y esta será a una tensión mayor que la anterior. El proceso puede entonces continuar con sucesivas elevaciones de la tensión.

Fig. 18 Reencendidos múltiples en desconexión de carga inductiva - (Ref. 1)

Se observa que el proceso es similar al descripto anteriormente, pero en este caso, la tensión en el capacitor ya no permanece constante cuando está desvinculado de la fuente, sino que oscila a una frecuencia en general muy elevada., y en poco tiempo puede desarrollarse una elevada tensión entre los contactos del interruptor. Cualquier resistencia en paralelo con L y C amortiguará las oscilaciones de frecuencia f1 y f2. Esto tiene por resultado reducir la amplitud de las mismas, disminuyendo la probabilidad de reencendido. TRANSITORIOS SENCILLOS ASOCIADOS A ALINEALIDADES DE LOS COMPONENTES El análisis matemático de transitorios en los que los fenómenos no lineales juegan un papel determinante presenta grandes dificultades. Esto se debe fundamentalmente a que no es aplicable el principio de superposición. En general no es posible obtener expresiones generales de la respuesta. Debemos conformarnos con un análisis cualitativo para comprender la esencia del


fenómeno, y hacer uso de programas de cálculo, basados en la integración numérica de ecuaciones diferenciales no lineales, para computar la evolución de las tensiones y corrientes de un sistema, con determinados parámetros y para una excitación y condiciones iniciales específicas. Naturalmente, conocida la naturaleza del fenómeno, es posible en cierta medida prever que condiciones (excitaciones y parámetros) pueden resultar mas o menos críticas, pero las posibilidades de análisis son mucho más limitadas que las que ofrecen los sistemas lineales. ENERGIZACION DE TRANSFORMADOR - "INRUSH CURRENT" La alinealidad del núcleo de los transformadores puede dar origen a interesantes y potencialmente peligrosos procesos transitorios. La corriente magnetizante durante la energización de transformadores (en general cualquier reactancia saturable) es un ejemplo típico. En operación normal la corriente magnetizante es solo un 0.5% a 2% de la corriente nominal del transformador. Debido a la no linealidad del núcleo esta corriente no es senoidal, dependiendo el grado de distorsión de la densidad máxima de flujo con que trabaja el núcleo. En cada instante la derivada del flujo es tal que se produce una fem igual y opuesta a la tensión aplicada. En la Fig. 19 se muestra un ciclo de histéresis, junto con la tensión aplicada, el flujo y la corriente magnetizante para un transformador en vacío y en régimen estacionario. El flujo (impuesto por la tensión aplicada) varía entre -Φm y Φm y la corriente oscila entre los valores +IP y -IP.

Fig. 19 Flujo, tensión y corriente magnetizante de un transformador en estado estacionario (Ref. 1) Es claro que Φm = Vm/ω siendo Vm=Em la tensión aplicada (se desprecia por simplicidad la resistencia y reactancia de dispersión). Esta es la situación de estado estacionario, pero se quiere analizar aquí lo que ocurre cuando el transformador es energizado. Para ello debe observarse que aunque la corriente inicial sea nula, en general existe un cierto flujo antes de la maniobra. Esto se debe a que al desconectar previamente el transformador la corriente magnetizante se anula siguiendo el ciclo de histéresis, quedando en el núcleo un flujo remanente ±ΦR (correspondiente a I = 0 en el ciclo de histéresis). En realidad el flujo remanente es más bajo debido a que hay un transitorio después de la desconexión durante el cual el transformador descarga la capacidad parásita a través de la inductancia magnetizante; durante este proceso el ciclo de histéresis se reduce. Se designará con Φ(0) al flujo remanente efectivo.


Por otra parte, por la ley de Faraday el flujo es la integral de la tensión aplicada a la inductancia:

Ec. 2) 0

( ) ( ) (0) ( )t t

t V t dt V t dt−∞

Φ = = Φ +∫ ∫

Para una tensión Vmsin(ωt + ϕ), donde claramente ϕ depende del instante de la maniobra, se tiene:

Ec. 3) [ ]( ) (0) cos cos( )mVt tΦ = Φ + ϕ − ω + ϕ

ω

En particular, si la tensión parte de cero en el instante inicial: [ ( ) senmV t V t= ω ], entonces:

Ec. 4) [ ]( ) (0) 1 cosmVt tΦ = Φ + − ω

ω

Asumiendo que Φ(0) es positivo, el flujo alcanza su máximo absoluto (0) 2 mΦ + Φ al cabo de un semiciclo. Es evidente, observando el ciclo de histéresis, que este flujo está asociado a una corriente magnetizante en extremo elevada. Durante el siguiente semiciclo, el flujo alcanza su valor mínimo, Φ(0), al que corresponde una corriente aún positiva, de modo que el oscilograma de la corriente, además de ser fuertemente distorsionado, y con elevados valores de pico (varias veces mayor que la corriente nominal), es asimétrico. En la Fig. 20 se muestra un oscilograma típico de la corriente magnetizante durante la energización del transformador de 1MVA y 13.8 kVolt. Se observa allí que la corriente tiende a disminuir y hacerse más simétrica, de hecho, al cabo de cierto tiempo (del orden de algunos segundos) alcanza su nivel estacionario. Esto se debe a que en realidad se tiene un circuito RL. Como en el caso lineal la componente continua de este circuito RL se amortigua tanto más lentamente cuanto mayor es la inductancia y menor la resistencia; sin embargo aquí no es posible definir una inductancia única y por lo tanto tampoco puede calcularse una constante de tiempo en el sentido estricto. La escala del oscilograma es de 80A/división, de modo que la corriente de energización excede claramente los 150 A. Esto debería compararse con el pico de la corriente magnetizante que es del orden de 2 A, y con la corriente de plena carga (42 A).

Fig. 20 Corriente de energización en un transformador de 13.8 KV - 1MVA (80A/div) - (Ref. 1) Nótese que aún cuando el núcleo no tuviese flujo remanente, el flujo en Ec. 4 llega a duplicar el valor de estado estacionario, y consecuentemente la corriente presentaría de todos modos un


elevado valor y distorsión. Asimismo debe notarse que el fenómeno no ocurre solamente por la energización del transformador. También, aunque generalmente con meno intensidad, se presenta cuando el transformador experimenta elevaciones abruptas de tensión. Por ejemplo, cuando la tensión cae por un cortocircuito cercano y se restablecer al eliminar la falla. La elevada corriente de energización, y especialmente la presencia de la componente unidireccional y los armónicos, puede en algunos casos crear problemas en el sistema: En primer lugar porque al circular por un solo arrollamiento puede generar dificultades a las protecciones diferenciales, que deben ajustarse teniéndola en consideración. Además la componente unidireccional puede llevar a saturación a los transformadores de corriente, los que deben ser especificados teniendo en cuenta este fenómeno. Por otra parte, si la impedancia de la red en el punto de conexión del transformador es elevada para las armónicas de la corriente, la distorsión de corriente se traduce en una distorsión de tensión, y eventualmente en una sobretensión significativa que por otra parte permanece durante un tiempo muy prolongado. Debe observarse que el flujo máximo depende de la fase de la tensión en el instante de la energización. De hecho, escogiendo ϕ de modo que (Vm/ω)cos(ϕ) sea igual y opuesto al flujo inicial, se consigue anular la componente transitoria, y la corriente magnetizante es justamente la de vacío en estado estacionario. Existen actualmente dispositivos basados en este concepto que ordenan el cierre del interruptor de modo que el contacto se establezca en un instante favorable. En teoría ese instante debería ser tal que la fase inicial de la tensión sea la indicada en el párrafo anterior. Esto naturalmente requiere que se conozca el flujo remante en el núcleo, lo que es difícil de determinar (existen algunas propuestas al respecto basadas en el procesamiento de la tensión medida en terminales del transformador antes de la apertura). Alternativamente, y aunque sin el resultado ideal de anular el transitorio, se puede adoptar como estrategia razonable asegurar que el mismo no alcance los valores máximos. Para ello se anula el término (Vm/ω) cos(ϕ), para lo cual la energización debe realizarse en el instante en que la tensión pasa por su máximo. En el caso de transformadores trifásicos la situación es mas compleja porque al energizar la primera fase se establece un cierto flujo en las restantes, el que depende de la conexión del arrollamiento y tipo de núcleo; esos aspectos son tenidos en cuenta por estos aparatos. FERRORESONANCIA. Otro fenómeno característico de los circuitos que contienen inductancias con núcleo de hierro es el conocido como ferroresonancia. Para que el mismo se presente es además necesario que exista cierta capacidad en serie o en paralelo (produciéndose ferroresonancia serie y paralelo respectivamente) con la inductancia no lineal. El fenómeno es bastante complejo en sus detalles, pero se caracteriza porque al producirse un aumento gradual de la tensión (o corriente) de la fuente, se alcanza un punto en el que cambia en 180° la fase de la componente fundamental de la corriente (o tensión). En los circuitos lineales estos fenómenos no son posibles. En rigor la ferroresonancia no es un régimen transitorio, sino un estado estacionario no lineal caracterizado por altas tensiones o corrientes y elevada distorsión de las formas de onda. Sin embargo, como generalmente tienen su origen en maniobras o contingencias, resulta apropiado su estudio en un curso de transitorios. Las condiciones de ferroresonancia deben ser evitadas porque en normalmente son destructivas, sin embargo se trata de un fenómeno difícil de anticipar o prever.


Un análisis riguroso de la ferroresonancia presenta dificultades considerables razón por la cual, en lugar de trabajar con las verdaderas tensiones o corrientes distorsionadas, las sustituiremos por tensiones o corrientes 'equivalentes' en el sentido de que presentan el mismo valor eficaz que las magnitudes reales. Esto permitirá comprender los aspectos básicos del fenómeno con relativa simplicidad. Para facilitar el análisis se supondrá además que no existen pérdidas (aunque estas son en la práctica un factor determinante en la aparición y la magnitud de la misma), y que las sinusoides equivalentes de tensión y corriente están desfasadas un ángulo ϕ = π⁄2. Ferroresonancia serie o de tensiones Considérese una conexión serie LC (ver la Fig. 21), donde L es la inductancia no lineal de una bobina con núcleo de hierro. La tensión en la inductancia LU adelanta a la corriente I en 90°, y su módulo varía con la corriente de manera no lineal. Por otra parte, la tensión en la capacidad

CU retrasa respecto de I en 90° y varía linealmente con la corriente. La tensión aplicada es L CU U U= + , pero como la tensión en la inductancia y el capacitor están desfasados 180 grados, su módulo es: U = |UL − UC|.

Fig. 21 Fasores de tensión y corriente en un circuito serie LC (Ref. 2) En la Fig. 22a se muestran las curvas ( ) y ( )L CU I U I , y el valor absoluto de su diferencia, la tensión aplicada U(I). Nótese que para construir estas curvas se alimenta al circuito con una fuente de corriente de amplitud variable y se miden las correspondientes tensiones. La intersección de la curva U(I) con el eje de abscisas (corriente I0) corresponde al punto de resonancia de tensiones (UL = UC). Antes de este punto la tensión en la inductancia supera a la tensión en el capacitor, en consecuencia la corriente total atrasa a la tensión y el circuito es inductivo. La situación se invierte para corrientes mayores que I0, para las cuales resulta capacitivo.


Fig. 22 Tensiones y corrientes en un circuito serie LC con inductancia no lineal. a) circuito sin pérdidas ; b) circuito con pérdidas. (Ref. 2) Como en los circuitos lineales, la resonancia para una frecuencia dada puede lograrse variando la inductancia, pero a diferencia de los circuitos lineales, la variación aquí es consecuencia de la variación de la corriente. La región de la curva U(I) en las proximidades de I0 tiene un interés meramente teórico, dado que plantea una circulación de corriente sin caída de tensión. En la práctica, debido a las pérdidas y al efecto de las armónicas, la forma de la curva es aproximadamente como se muestra en la Fig. 22b. Se analiza ahora que ocurre si el circuito es alimentado con una fuente de tensión que aumenta progresivamente en módulo. Observando la Fig. 22b se observa que la corriente (inductiva) crece en forma continua (aunque no lineal) hasta alcanzar el punto 1. A partir de allí, un ulterior aumento de tensión produce un salto de la corriente hasta la magnitud correspondiente al punto 2 de la curva, acompañado de un cambio de fase de 180°. Aumentos adicionales de tensión producen un incremento continuo de la corriente que se mantiene capacitiva. Si habiendo alcanzado el punto 3 se reduce la tensión aplicada, el circuito no vuelve al punto 1, sino que evoluciona hacia el punto 4. La corriente se mantiene capacitiva hasta ese punto, y para una reducción adicional de la tensión salta al punto 5, nuevamente con un cambio de fase de 180° y ahora con una reducción de su módulo. En la Fig. 23 se ha graficado la variación de , eL CU U I en función de la tensión en terminales: U. En el intervalo U3 < U < U1 , los valores de , eL CU U I dependen de si el valor de U se alcanza aumentando o disminuyendo la tensión. A un valor de tensión tal como U2 le corresponden tres corrientes diferentes en la curva de la Fig. 22b (Ia, Ib, e Ic.) La corriente Ia se alcanza subiendo la tensión hasta U2, Ic se obtiene bajando la tensión hasta U2.. El punto b correspondiente a Ib, no puede ser alcanzado si el circuito es alimentado por una fuente de tensión, aunque evidentemente, podemos obtener cualquier valor de corriente alimentando el circuito con una fuente de corriente del valor deseado. De este modo resulta posible trazar toda la curva.


Fig. 23 Variación de la corriente y las tensiones en la capacidad e inductancia no lineal de un circuito serie LC (Ref. 2) Ferroresonancia paralelo o de corrientes Si se dispone una reactancia con núcleo de hierro en paralelo con un capacitor (Fig. 24) también pueden aparecer fenómenos de ferroresonancia, pero en este caso, para que se produzcan saltos en los módulos y fase de la tensión, es necesario alimentar el circuito con una fuente de corriente. Análogamente al caso anterior, incrementando progresivamente la tensión aplicada, pueden construirse curvas de la corriente total por el paralelo y por cada una de sus ramas. Las corrientes por L y por C están desfasadas ±90° respecto de la tensión y 180° entre si, de modo que el valor absoluto de la corriente total es:

L CI I I= − En las Fig. 25 a y b se muestran estas corrientes en función de la tensión aplicada U. Se observa allí, que para cierto valor de tensión la corriente por la inductancia iguala en módulo a la corriente del capacitor produciéndose la resonancia de corrientes. La relación entre corriente y tensión presenta en la práctica el aspecto de la curva b en la Fig. 25b.

Fig. 24 Fasores de corriente y tensión en un circuito paralelo LC (Ref. 2)


Fig. 25 Corrientes y Tensiones en un circuito paralelo LC con inductancia no lineal. (Ref. 2) Si se alimenta el circuito con una fuente de corriente creciente en módulo, la tensión varía según la característica 0-1. En todos esos puntos el circuito es capacitivo, es decir, la componente fundamental de la tensión atrasa respecto de la corriente total. Un ulterior aumento de corriente produce un salto de la tensión y cambia en 180° la relación de fase entre la corriente y la tensión (transición del punto 1 al punto 2). Posteriores aumentos de corriente producen incrementos continuos de la tensión, y disminuciones de I a partir de I1 producen reducciones de la tensión según la característica 2-4. Una ulterior reducción produce un salto hasta el punto 5. El tramo 4-1 no es alcanzable alimentando el circuito con una fuente de corriente, pero puede alcanzarse obviamente alimentando con una tensión apropiada. Han sido examinados las dos configuraciones circuitales más sencillas donde se puede manifestar el fenómeno, pero es claro que otras de diversa complejidad, en tanto existan inductancias no lineales y capacidades, pueden dar origen a ferroresonancias. Debe observarse el importante papel que juega la frecuencia en este proceso. En efecto, todas las curvas construidas asumen implícitamente una cierta frecuencia. Es posible que un circuito que puede entrar en ferroresonancia a cierta frecuencia, no pueda hacerlo, o requiera otros niveles de excitación si la frecuencia cambia. Por ejemplo, si en la Fig. 22 se reduce la frecuencia, la curva

( )CU I I C= ω adquiere mayor pendiente y la curva ( )LU I una pendiente menor. A partir de cierto valor de ω ambas curvas se cortan solamente en el origen y no es posible excitar la ferroresonancia con ningún nivel de tensión. La magnitud de las sobretensiones o sobrecorrientes en ferroresonancia, la distorsión en la forma de onda que la caracteriza, y fundamentalmente el hecho de que constituyen un régimen estacionario, hacen que su aparición sea absolutamente inadmisible en los sistemas de potencia. La Fig. 26 ilustra una condición típica en la cual puede presentarse ferroresonancia. Se trata de una situación muy común en distribución, en la cual un transformador es conectado a a su interruptor a través de un cable. La figura muestra que solamente una de las fases del transformador queda bajo tensión. Esto puede ocurrir cuando el correspondiente polo del interruptor queda bloqueado, o cuando 2 de los tres fusibles se queman pero no el tercero. La primera impresión es que en esas condiciones nada grave podría ocurrir ya que no habría circulación de corriente, pero en realidad si existe un camino para la corriente de dos de las fases a través de las capacidades a tierra del cable, como lo muestra la figura (b). En consecuencia se tienen las condiciones para una ferroresonancia, que puede producir una elevación de tensión muy importante para el transformador y el cable, y producir incluso la destrucción de los descargadores conectados en B y C a tierra.


Fig. 26 Circuito típico en el que puede producirse ferroresonancia – (Ref. 1)

modulo 1 parte 2

Documents