I N S T I T U T O P O L I T É C N I C O N A C I O N A L

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACAN

MODOS VIBRACIONALES EN

NANOESTRUCTURAS DE SILICIO

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y

ELECTRÓNICA

P R E S E N T A

P E D R O A L F A R O C A L D E R Ó N

ASESORES: Dr. MIGUEL CRUZ IRISSON Dr. CHUMIN WANG CHEN

MEXICO D.F. 2007

A mis Padres y

Hermanas

Índice.

Agradecimientos Introducción. .................................................................................................................1

1 Aspectos fundamentales..............................................................................3 1.1 Introducción ..............................................................................4 1.2 Estructuras cristalinas. ..............................................................4

1.2.1 Red primitiva y vectores de traslación....................6 1.2.2 Índices de planos cristalinos. ..................................8 1.2.3 Estructura de Diamante.........................................10

1.3 Espacio reciproco....................................................................10 1.3.1 Zonas de Brillouin.................................................12

1.4 Vibraciones en cristales. .........................................................16 1.4.1 Cadena Lineal monoatómica.................................16 1.4.2 Cadena Lineal diatómica.......................................18 1.4.3 Generalización en tres dimensiones......................19

2 Nanoestructuras.........................................................................................22 2.1 Introducción ............................................................................23 2.2 ¿Qué significa nano?...............................................................23 2.3 Aplicaciones con nanoestructuras...........................................24 2.4 Silicio Poroso. .........................................................................30

2.4.1 Preparación de Silicio Poroso. ..............................31 2.5 Nanoalambres de Silicio. ........................................................33

2.5.1 Preparación de Nanoalambres de Silicio ..............33 2.6 Luminiscencia en Nanoestructuras de Silicio .........................34

3 Modelo y Resultados.................................................................................35 3.1 Introducción ............................................................................36 3.2 Estructura del Silicio...............................................................36

3.2.1 Modelo de Born. ...................................................37 3.3 Modelado. ...............................................................................39

3.3.1 Modelado con Matrices de Rotación. . .................49 3.3.2 Estructuras Porosas ..............................................59 3.3.3 Nanoalambres de Silicio .......................................61

3.4 Resultados ..............................................................................63 3.5 Conclusiones ...........................................................................72

Apéndices. ..................................................................................................................73

A. Zonas de Brillouin...........................................................................................74 B. Rotación de vectores, matrices de rotación.....................................................83 C. Calculo detallado de las matrices de interacción. ...........................................86 D. Desarrollo del hamiltoniano para una celda con una base de dos sitios .......110

Bibliografía. ..............................................................................................................119

Agradecimientos A Dios por permitirme seguir adelante en el camino de la vida, por ayudarme en momentos difíciles y por estar a mi lado siempre. A mis PADRES por darme la vida y ser los pilares de mi desarrollo, por forjarme el carácter necesario para seguir adelante, por enseñarme el difícil camino de la vida, por sus regaños, cariños y experiencias transmitidas, por ser para mí los mejores padres y por que sin su ayuda no sería la persona que ahora soy. A mis hermanas Susana y Fabiola por compartir tantos momentos juntos, por formar parte importante de mi vida y en especial por ser tan lindas conmigo. Al INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL por ser mi alma mater durante mis estudios de Bachillerato y Licenciatura. A la E.S.I.M.E. culhuacan por brindarme un espacio dentro de sus aulas y por el apoyo que me otorgaron durante mi estadía. Al Dr. Miguel Cruz Irisson por todo el apoyo que me ha brindado, por la diaria preocupación y paciencia que ha tenido conmigo, por los consejos que atinadamente me ha dado, por ser amigo y por compartir sus conocimientos no solo académicos si no también personales. A Los miembros de mi jurado: Dr. Chumin Wang Chen por brindarme su valioso tiempo en la revisión de esta tesis, al Ing. Andrés Raúl López y Rodríguez y al Ing. José Luís García Lozano por el especial interés en la revisión de este trabajo y por convertirse para mi en buenos amigos y a la M. en C. María de Lourdes Beltrán Lara por leer y darme a conocer sus observaciones en la redacción de este trabajo. A mi novia Claudia Yanet, por su constante apoyo, por su paciencia y comprensión, por enseñarme que en la vida hay tropiezos pero que debemos salir de ellos con la frente en alto, y por seguir a mi lado a pesar de las tribulaciones. A los miembros del GIN (Grupo de Investigación en Nanociencia): Álvaro Miranda, por compartir mucho del tiempo conmigo, por ser muy buen amigo y cómplice de aventuras y por considerarlo como un hermano, David Guzmán, por ser poeta, filósofo, acróbata, psicólogo, etc. y enseñarme que la vida sigue siendo bella y divertida, Ulises Corona, que a pesar de nuestras diferencias compartimos grandes momentos cuando formo parte de este grupo de amigos, Fernando y Jesús por sus amenas platicas y discusiones, Jose Luis, Alberto y Aron por ser amigos y compañeros de los que escasean, Janik por ser una buena amiga, confidente y compañera y por aguantarme tanto tiempo a su lado.

A mis amigos: Norberto, Pedro, Claudio, Yanet, Ricardo, Diana, por todos los momentos que pasamos juntos. A mis compañeros y profesores que de alguna forma han sido parte de mi formación académica, personal y profesional. Por los apoyos económicos brindados durante mi estancia: A Fundación Politécnico y al Programa Institucional de Formación de Investigadores (PIFI) pues gracias a ellos tuve la oportunidad de seguir con mis estudios. A todo el personal de Biblioteca de la UNAM y del IPN por ayudarme en la recopilación de información para la realización de este trabajo. Al los directores de la ESIME culhuacan Fermín Valencia y Ernesto Mercado por el apoyo proporcionado durante mi estadía en esta escuela. A todos mis familiares que de forma indirecta me apoyaron en cada paso que he dado, en especial a mis abuelos vivos y finados ya que sus consejos y experiencias me ayudaron en muchos aspectos de mi vida.

1

Introducción Desde hace varios años, la investigación en materiales semiconductores, tales como el Silicio, se ha incrementado notablemente, pues es altamente utilizado en la industria de la microelectrónica para el desarrollo de dispositivos electrónicos [1]. Esta situación lo ha posicionado en un alto nivel de utilización; pues los desarrollos con este material se ven envueltos en muchas aplicaciones de carácter comercial. Como sabemos, se ha conseguido la construcción de circuitos de tamaño cada vez menor, ejemplo de ello son transistores o sensores de una décima de micra, estos a su vez hacen posible la minimización de diversos aparatos electrónicos, como las computadoras, pues hace quince años nadie se imaginaba que una computadora pudiese ser del tamaño de un cuaderno y hoy en día la tecnología en el desarrollo de circuitos ha alcanzado un ritmo tan acelerado, que día a día se pueden ver dispositivos electrónicos de menor tamaño y con un eficiencia óptima, tal es el caso por mencionar algunos ejemplos, de los reproductores de música, televisores, agendas electrónicas y un sin fin de aparatos de uso diario. El Silicio es un semiconductor de brecha indirecta, lo que significa que es un mal emisor de luz, por ello su utilización se ha delimitado únicamente para aplicaciones puramente electrónicas. Sin embargo, recientemente al construir u obtener estructuras de tamaño nanométrico como el Silicio Poroso, los nanoalambres, los puntos cuánticos, las películas delgadas y los clusters se obtiene una eficiente emisión de luz [2]; sin embargo, también debemos notar que en todos estos materiales los efectos cuánticos juegan un papel muy importante. Las propiedades que poseen las nanoestructuras de silicio proporcionan una buena aportación para posibles aplicaciones en dispositivos optoelectronicos [3]. Recientemente se ha investigado el desarrollo de diodos basados en este tipo de materiales [4], o la interconexión de nanocircuitos mediante nanoalambres, y en medicina, el desarrollo de sensores bioquímicos, también se reportan aplicaciones como filtros, o capas antireflejantes [5-6], esto ha dado como propuesta la creación de memorias basadas en nanoestructuras de silicio, [7-8], así como muchas otras aplicaciones que día a día se desarrollan. Las nanoestructuras de Silicio han adquirido mayor importancia desde la publicación del reporte que Canham hizo en 1990 [3] pues desarrolló un método de preparación de materiales nanoestructurados que por su costo reducido, hizo que los estudios sobre estas estructuras aumentaran considerablemente. Las investigaciones actuales sobre Silicio se relacionan principalmente con los efectos producidos en cuanto a sus propiedades electrónicas, ópticas y en nuestro caso fonónicas (vibracionales), originando con ello diversas teorías sobre el origen de la fotoluminiscencia.

2

Como se mencionó, uno de los estudios de gran importancia en el análisis de nanoestructuras son los efectos producidos por las vibraciones propias de la red (fonones), éstos tienen por objetivo analizar los efectos producidos por la dinámica de la red y describir el comportamiento de los cuantos de vibración mismos que influyen en la emisión de luz. Debido a todo esto, es muy importante que los actuales ingenieros relacionados con la electrónica y las comunicaciones, se adentren a esta nueva rama de estudio que promete ser pieza fundamental en el desarrollo de nuevas tecnologías mismas que revolucionaran todo nuestro entorno. Objetivo Esta tesis pretende mostrar cómo influyen las vibraciones atómicas dentro de una estructura cristalina semiconductora como lo es el Silicio. Mediante la implementación de un potencial periódico simple (propuesto por Max Born [9]). El cual utiliza una aproximación armónica a primeros vecinos de las vibraciones que ejercen los átomos entre sí. Calcularemos el espectro de bandas fonónicas de dos tipos de estructuras: alambres y poros. Para realizar la descripción de estos materiales utilizaremos un modelado de superceldas tal que nos permita hacer uso de la periodicidad de los cristales semiconductores y con ello simplificar el cálculo necesario. Esperamos observar que la energía proporcionada por las vibraciones de una red cristalina, cambie en relación al confinamiento y a la morfología de la estructura. Justificación En recientes investigaciones, se ha encontrado de forma experimental que las nanoestructuras de Silicio tienden a emitir luz en el espectro visible [3] que va desde el cercano infrarrojo al azul, esto ha impulsando a la comunidad científica para realizar estudios enfocados a tratar de entender los mecanismos que proporcionan la luminiscencia emitida por dichas estructuras, otro aspecto importante en la emisión de luz es el confinamiento cuántico y las propiedades que de éste se derivan, pues hacen posible que materiales como el Silicio o el Germanio, presenten nuevos fenómenos y efectos que antes no se conocían. Esto involucra a los ingenieros a realizar estudios para determinar sus propiedades y características y en un futuro, ser capaces de llevar acabo aplicaciones tecnológicas que sean útiles a la sociedad. Un fenómeno importante y que influye notablemente en la emisión óptica es la participación de fonones, por ello en este trabajo se estudiaran dichos modos de vibración en nanoestructuras Silicio.

3

Capítulo 1 Aspectos Fundamentales

4

1.1. Introducción En cada rama de estudio e investigación, es necesario, contar con bases teóricas que nos permitan tener la comprensión suficiente para poder abordar un problema y buscar su solución. En nuestro caso, estudiar la física del estado sólido y en particular los sólidos cristalinos, tales como, los semiconductores (Si, Ge, GaAs, etc…), requiere de ciertos conceptos y herramientas que nos ayuden a entender sus propiedades. Es importante recalcar que en lo referente al estudio de sólidos, y en el caso de semiconductores como el silicio (Si), que es de tipo cristalino, podemos aplicar una serie de herramientas que nos ayuden a facilitar el análisis y comprensión del mismo, pues este tipo de cristales poseen periodicidad, es decir, podemos analizar de una forma relativamente fácil las propiedades de estos, con solo tomar una pequeña porción de la estructura. Otro de los aspectos que nos ayudan en el estudio de estos materiales, es que para realizar el análisis de su estructura, es posible hacerlo con la ayuda de espacios donde podamos realizar una interpretación adecuada de lo que queremos estudiar (espacio recíproco), por ello se ha desarrollado toda una metodología para poder observar y conocer la forma estructural de estos materiales, mediante métodos relativamente simples, tal es el caso de la difracción de luz o de rayos X. 1.2. Estructuras cristalinas La física de estado sólido está altamente relacionada con el estudio de los cristales y de las interacciones de su estructura. Las investigaciones relacionadas con estos materiales, comenzaron a partir del descubrimiento de la difracción de rayos X que se produce en los cristales, así como de la publicación de diversas series de cálculos que proporcionaron exitosas predicciones de las propiedades de los cristales. Un cristal ideal está constituido por una infinita e idéntica repetición de una estructura unidad, es decir una estructura base que repetida infinitamente nos da como resultado un cristal. La estructura de todos los cristales puede ser descrita en términos de una red con un grupo de átomos agregados a cada uno de los puntos de la misma. Este grupo de átomos es llamado base, y cuando se repiten en el espacio, éstos forman la estructura del cristal.

5

La red es definida por tres vectores de traslación fundamentales (fig. 1.1), estos son:

tal que el arreglo atómico de estos luce igual cuando es examinado desde los puntos r y r' es decir:

1 2 3, ,a a a

1 1 2 2 3 3'r r u a u a u a= + + + ................................................................. (1.1)

Con esto podemos definir como traslación de la red, al desplazamiento de el arreglo atómico dentro de un cristal por medio de un vector de traslación cristalino (T), es decir:

1 1 2 2 3 3T u a u a u a= + + ................................................................. (1.2)

Donde u1, u2, u3 son enteros arbitrarios, así mismo el conjunto de puntos r' definidos por la ecuación anterior para todos los valores de u1, u2, u3 son los que definen la red.

Dos puntos cualesquiera de la red son conectados por un vector de acuerdo a la ecuación (1.2), así con las operaciones de simetría de un cristal podemos llegar a la estructura cristalina del mismo. Entre estas operaciones es necesario incluir las de traslación de la red, además de que existen otras denominadas operaciones puntuales que son de rotación y reflexión.

Fig. 1.1 Representación del vector de traslación para (a) una red en dos dimensiones, (b) una red en tres dimensiones

Si una red es una distribución periódica regular de puntos en el espacio, entonces podemos decir por simple analogía que la estructura de un cristal se forma cuando, una base de átomos es agregada idénticamente en todos los puntos de la red (fig. 1.2), la relación lógica para que esto se cumpla es la siguiente: red + base = estructura cristalina ............................... (1.3)

6

Fig. 1.2 Representación de la construcción de una estructura cristalina.

1.2.1 Red primitiva y vectores de traslación La red y los vectores de traslación 1 2 3, ,a a a asociados a ésta, son llamados vectores primitivos, si es que dos puntos cualesquiera r y r' (desde los cuales la distribución atómica luzca siempre igual) satisfacen la ecuación (1.1) con una elección adecuada de los números enteros u1, u2, u3. Con esta definición de los vectores de traslación primitivos, no tenemos una celda pequeña en volumen que pueda permitirnos construir un bloque de la estructura del cristal. Debido a esto frecuentemente utilizamos los vectores de traslación primitivos, para definir los ejes del cristal o ejes cristalinos (fig. 1.4), los vectores cristalinos forman tres aristas adyacentes de un paralelepípedo y si únicamente existen puntos de la red en los vértices del mismo, entonces se dice que es un paralelepípedo primitivo.

1 2 3, ,a a a

Del apilamiento de estas redes se obtienen las redes tridimensionales. Existen 14 tipos diferentes de redes tridimensionales (redes de Bravais ilustradas en la Figura 1.3) que se agrupan en 7 sistemas cristalinos diferentes. Cada sistema cristalino viene caracterizado por determinados valores de las traslaciones y de los ángulos que forman de su celda unidad

7

Fig. 1.3 Redes de Bravais.

En la figura 1.3, los símbolos P, C, I, F, R, se refieren a los distintos tipos de red. P = Primitiva. C = Red Centrada en Caras Perpendiculares. I = Red Centrada en el Cuerpo. F = Red Centrada en las Caras. R = Red Primitiva, con ejes iguales y ángulos iguales, ó hexagonal doblemente centrada en el cuerpo.

8

Fig. 1.4. Representación de la celda primitiva de una red cúbica centrada en las caras

1.2.2. Índices de planos cristalinos La orientación de un plano cristalino se determina mediante tres puntos del plano, los cuales no deben ser colineales, ya que si cada punto se encuentra en un eje cristalino diferente, el plano puede especificarse por medio de la obtención de las coordenadas en términos de las constantes de red . 1 2 3, ,a a a Sin embargo resulta de mayor utilidad para el análisis de la estructura, especificar la orientación de un plano mediante la determinación de los índices de la celda lo cual se realiza con las reglas siguientes:

• Tomar como origen cualquier átomo del cristal y se levantan ejes de coordenadas a partir de dicho átomo en las direcciones de los vectores base.

9

• Encontrar las intersecciones de los ejes en términos de las constantes de red dichos ejes pueden ser los pertenecientes a una celda primitiva o no

primitiva. 1 2 3, ,a a a

• Tomar los recíprocos de estos números y reducirlos a tres números enteros que

tengan la misma relación, usualmente los números enteros más pequeños posibles. El resultado encerrado entre paréntesis (hkl), es denominado índice del plano.

Los índices (hkl) pueden denotar un plano simple o un conjunto de planos paralelos, si un plano corta un eje en la región negativa del origen, el índice correspondiente es negativo, lo cual se indica colocando un signo de menos arriba del índice )( lkh . Las caras cúbicas de un cristal son (100), (010), (001), )010(),001( y )100( , en la figura 1.5 se muestran algunos de ellos. Los planos equivalentes por medio de relaciones de simetría pueden denotarse con llaves alrededor de los índices, así el conjunto de las caras de un cubo, es {100}.

Fig. 1.5 Representación de algunos planos cristalinos en una celda unitaria.

Los índices (hkl) de una dirección de un cristal, son el conjunto de números enteros más pequeños que tienen la relación de los componentes de un vector en la dirección deseada, referida a los ejes. El eje 1a esta en la dirección [100]; el eje 2a− se encuentra en la dirección ]010[ . Así pues en cristales de tipo cúbicos la dirección [hkl] es perpendicular al plano (hkl) teniendo los mismos índices, sin embargo esto generalmente no es cierto en otros sistemas cristalinos.

10

1.2.3. Estructura de Diamante Estudiaremos la estructura cristalina tipo diamante, ya que es la forma que adopta el silicio cristalino. La base de construcción para este tipo de estructuras tiene dos átomos idénticos en 0, 0, 0, y ¼, ¼, ¼, asociados con cada uno de los puntos de una red fcc (fig 1.6). Esta estructura es un claro ejemplo de la direccionalidad de enlaces covalentes que se encuentran en la columna IV de la tabla periódica de los elementos.

Fig. 1.6 Representación de la construcción de la estructura cristalina del silicio.

Debemos remarcar que el Silicio tiene una constante de red = 5.43 donde es el borde de la celda cúbica convencional.

a A a

1.3. Espacio Recíproco Es difícil poder analizar la estructura del silicio directamente, pues en principio, no es posible localizar los átomos de la red usando la simple observación. Por ello es necesario valernos del espacio recíproco; este nos ayudará a realizar un análisis más simple y sencillo de la estructura de nuestros cristales, haciendo uso de la difracción de la luz sobre el cristal.

11

Se ha estudiado minuciosamente la difracción de fotones, neutrones y electrones dentro de la estructura del cristal. Esta difracción depende de dos parámetros importantes, la estructura del cristal y la longitud de onda que se utilice. Con una longitud de onda de tipo óptica cercana a los 5000 A , la superposición de las ondas dispersadas elásticamente por los átomos individuales de un Cristal, resulta una refracción óptica ordinaria. Sin embargo cuando la longitud de la onda de radiación es comparablemente pequeña en relación al parámetro de red, se pueden encontrar haces difractados en direcciones completamente diferentes con respecto a la dirección incidente del haz.

Fig. 1.7 Diagrama que muestra la deducción de la ley de Bragg.

W. L. Bragg dio una explicación muy sencilla de cómo es que se difractan los haces en un cristal, su deducción se muestra en la figura (1.7). La fórmula que dio Bragg es simple pero resulta ser convincente debido a que reproduce los resultados correctos acerca de la difracción de un haz de luz monocromática sobre un cristal, dicha formula es:

2n d senλ θΔ = = ............................................. (1.4) Una red reciproca es, una estructura reticular que se relaciona con la red cristalina real gracias a la ley de Bragg. Para poder construir una red reciproca, tenemos que partir de la construcción de los vectores de los ejes b1, b2, b3 de la red reciproca, a partir de los vectores de la red base, como se muestra en la siguiente relación.

2 3 3 1 1 21 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 ; 2 ; 2a a a a a ab b ba a a a a a a a a

π π π× × ×= = =

⋅ × ⋅ × ⋅ ×............. (1.5)

12

Los factores π2 no son utilizados por cristalógrafos, sin embargo es conveniente utilizarlos en la física de estado sólido. Si son vectores primitivos de la red cristalina, entonces 1 2 3, ,a a a 1 2 3, ,b b b son vectores primitivos de la red reciproca, cada vector es ortogonal a dos vectores de los ejes de la red cristalina, de modo que tienen la propiedad 1 2 3, ,b b b 2 ,i j i jb a πδ⋅ = ................................................. (1.6) donde 1ijδ = si ji = y 0=ijδ si ji ≠ . Entonces los puntos de la red reciproca son mapeados por el conjunto de vectores 1 1 2 2 3 3G v b v b v b= + + ...................................................................... (1.7) donde son enteros arbitrarios. Así pues un vector 1 2 3, ,v v v G de esta forma es considerado una red reciproca Cabe mencionar que cada estructura cristalina tiene dos tipos de redes asociadas, la red directa y la red reciproca. Un espectro de difracción de un cristal, es un mapa de la red reciproca del mismo, y una imagen microscópica que pudiera obtenerse a una escala suficientemente fina, sería un mapa de la estructura del cristal en el espacio real, por ello es la importancia de asociar a la red real una red reciproca del cristal. 1.3.1 Zonas de Brillouin Brillouin dio afirmaciones para condiciones de difracción más utilizadas en física de estado sólido, las cuales son utilizadas en la descripción de la energía del electrón en teoría de bandas y de las excitaciones elementales. Una zona de Brillouin en la red reciproca esta definida como una celda primitiva de Wigner–Seitz (fig. 1.8). El conjunto de planos perpendiculares a las bisectrices de los vectores de la red reciproca son por lo general de gran importancia en la teoría de propagación de ondas en los cristales.

13

Fig. 1.8 Representación de la celda central de una red cúbica centrada en las caras y red cúbica simple en el espacio reciproco.

La celda central en la red reciproca es de especial importancia en la teoría de sólidos y la llamamos primera zona de Brillouin, esta, es el volumen mas pequeño totalmente encerrado por planos, que son las bisectrices perpendiculares de los vectores de la red reciproca dibujados desde el origen. Históricamente las zonas de Brillouin no forman parte del lenguaje sobre el análisis de las estructuras cristalinas mediante la difracción de rayos X, sin embargo estas zonas son parte esencial para el análisis de la estructura de bandas de energía de los cristales. La primera zona de Brillouin es el límite más pequeño de volumen sobre el origen. Para el caso de una celda cúbica centrada en las caras su representación en el espacio reciproco es un octaedro truncado el cual se muestra en la figura 1.10 y con el los puntos de la primera zona de Brillouin. En el apéndice A se muestran ejemplos de celdas cúbica centrada en las caras y cúbica simple en el espacio reciproco, así como las zonas de Brillouin que son utilizadas en el análisis de cristales de tipo Zinc-Blenda.

14

Fig. 1.9 Representación de los puntos de alta simetría de la primera zona de Brillouin de una red cúbica simple.

Donde: Γ , es el centro u origen de nuestra zona de Brillouin X, es el centro de una cara. M. es la arista donde se unen dos caras del cubo R, es el vértice del cubo Λ , es la trayectoria de Γ a R Δ , es la trayectoria de Γ a X Σ , es la trayectoria de Γ a M Z, es la trayectoria de X a M T, es la trayectoria de M a R S, es la trayectoria de R a X Algunas coordenadas de los puntos de alta simetría de la primera zona de Brillouin son:

Punto de Alta Simetría

k

Γ

( )2 0,0,0aπ

X

2 1 ,0,02a

π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

M

2 1 1, , 02 2a

π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

R

2 1 1 1, ,2 2 2a

π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

15

Fig. 1.10 Representación de los puntos de alta simetría de la primera zona de Brillouin de una red cúbica centrada en las caras.

Donde: U, es la arista donde se unen un hexágono y un cuadrado. L, representa el centro de un hexágono Γ , es el centro u origen de nuestra zona de Brillouin K, es el centro de la intersección de dos hexágonos. X, es el centro de un cuadrado Λ , es la trayectoria de Γ a L Δ , es la trayectoria de Γ a X Σ , es la trayectoria de Γ a K Algunas coordenadas de los puntos de alta simetría de la primera zona de Brillouin son:

Punto de Alta Simetría

k

Γ

( )2 0,0,0aπ

X

( )2 1,0,0aπ

L

2 1 1 1, ,2 2 2a

π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

W

2 1 ,1,02a

π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

U

2 1 11, ,4 4a

π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

K

2 3 3, , 04 4a

π ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

16

1.4. Vibraciones en cristales En un sólido, los átomos a cualquier temperatura, incluso a 0° K, realizan sin cesar vibraciones (oscilaciones) alrededor de su posición de equilibrio media, en un sólido los átomos están fuertemente enlazados, por ello, la excitación de las vibraciones se trasmite a los átomos más próximos, los cuales, a su vez, la comunican a sus vecinos y así sucesivamente. Este proceso es semejante al de propagación de las ondas sonoras en los sólidos. Si la energía vibratoria de una red se cuantiza, el cuanto de energía obtenido es llamado fonón en analogía con el fotón de una onda electromagnética, por lo tanto en las ondas elásticas que interactúan dentro de la estructura de los cristales, intervienen los fonones. Con las vibraciones de los átomos de la red cristalina están ligados muchos fenómenos físicos en los sólidos (capacidad calorífica, conductibilidad calorífica y eléctrica, dilatación, luminiscencia, etc…). La teoría de las vibraciones de los átomos de un cristal, tridimensional es muy compleja, así que tomaremos primero el análisis para una dimensión después en una cadena lineal monoatómica, después en una cadena diatómica y por último generalizaremos para el caso de tres dimensiones. 1.4.1. Cadena lineal Monoatómica. Consideremos una cadena de n átomos iguales de masa M a una distancia interatómica a; que pueden desplazarse a lo largo de una recta (fig. 1.11). Cada átomo posee en este sistema un grado de libertad. Los átomos estarán situados en puntos de equilibrio igualmente espaciados; pero en estado de excitación, producido por un movimiento vibratorio, los átomos realizan movimientos periódicos alrededor de estas posiciones de equilibrio, en este caso, la amplitud representa el desplazamiento real del enésimo átomo, desde su posición de equilibrio.

nu

Fig 1.11 Cadena lineal monoatómica

17

Al buscar la fuerza resultante que actúa sobre el átomo, n-ésimo vamos a suponer que sólo actúan fuerzas de corta acción, lo que significa que el átomo considerado solo interacciona con los átomos vecinos más próximos: ( 1) ( 1)n ésimo y n ésimo− − + − ya que la acción que ejercen sobre él los otros átomos es despreciable. La ecuación de equilibrio toma en este caso, una forma muy simple. Teniendo en cuenta que las fuerzas de interacción entre los átomos son cuasielásticas. Sobre el n-ésimo átomo actúa la fuerza resultante:

1

1 1

( ) (( 2 )

n n n n n

n n n

F u u u uu u u

1)β ββ

+

+ −

−= − − −= + −

.................................. (1.8)

Donde β es una constante de fuerza relacionada con la constante de elasticidad por la expresión C aβ= . Una vez determinada la fuerza se escribe la ecuación del movimiento de la siguiente forma:

nF

2

1 12 (nn n n

d u 2 )M u u udt

β + −= + − .................................. (1.9)

Ahora procederemos a hallar los modos normales de vibración; es decir, los movimientos, con los que los átomos vibran con el tiempo a una misma frecuenciaω según la ley ( )te ω− . Así encontraremos una ecuación de la forma: .......................................... (1.10) (i t k na

nu Ae ω −= )

En donde A determina el desplazamiento del átomo con 0n = en el instante 0t = ;

2 /k π λ= es el número de onda; ω la frecuencia angular del modo dado. Como se puede observar en la ecuación anterior, la forma del modo normal se determina totalmente dando el desplazamiento del único átomo con n = 0. Debido a que se debe representar el coeficiente de k del exponente como la coordenada x del n-ésimo átomo de la cadena, es decir, entonces podemos esperar que [ ( 1)

1i t k n a

nu Ae ω − ++ = ]

] ..................................... (1.11) [ ( 1)

1i t k n a

nu Ae ω − −− =

18

1.4.2. Cadena lineal diatómica ¿Como podemos visualizar una onda viajando a través de un cristal, donde el espacio en donde ocurren estas vibraciones no es continuo, pero esta compuesto de átomos discretos?, La respuesta esta en pensar que nuestras ondas están representadas como desplazamientos, u(x, y), de los átomos de su posición de equilibrio. Hasta ahora, el estudio de las propiedades dinámicas de las redes cristalinas se ha concentrado al caso en que todos los átomos de la red son idénticos, pero debido a que muchos de los cristales comunes son compuestos diatómicos, los cuales contienen átomos de dos especies químicas diferentes, y a su vez, dichas estructuras difieren en varias formas con respecto de los cristales monoatómicos, por ello es conveniente proceder a estudiar las vibraciones elásticas de este tipo de cristales.

Fig. 1.12 Cadena lineal Diatómica. Entonces sea una red en la que los átomos de dos especies están dispuestos en forma alternada y cada átomo esta separado de los dos átomos adyacentes por una distancia a. La masa del átomo más ligero se representa mediante m y la masa del átomo mas pesado con la letra M (fig. 1.12). En este caso también se tomarán en consideración las suposiciones en relación a la ley de Hooke y sólo tomaremos en cuenta las interacciones adyacentes entre los átomos. Dado que tenemos dos átomos de diferentes masas, escribiremos dos ecuaciones independientes, teniendo como resultado:

2

22 2 1 2 12 (n

n n nd uF m u u udt

β + −= = + − 22 ),n ............................ (1.12)

2

2 12 1 2 2 2 2 12 ( 2n

n n nd uF m u u u

dtβ+

+ += = + − )n+

)

........................... (1.13)

Así mismo deberemos de buscar las soluciones de la forma , representando la coordenada x de acuerdo a su posición a lo largo de la cadena.

(i t kxe ω −

19

Debido a que los dos átomos tienen masas distintas, se suponen soluciones de la formula como las siguientes. ................................................. (1.14) 1( 2

2i t k na

nu Ae ω −= )

)

n

n+

.............................................. (1.15) 2( [2 1]

2 1i t n k a

nu Be ω − ++ =

De acuerdo con la regla de que el coeficiente de k en el exponente debe representar la coordenada x del átomo en cuestión, también debe ser cierto que. ....................................... (1.16) 1( [2 2] ) 2

2 2 2i t n k a ik a

nu Ae u eω − + −+ = =

....................................... (1.17) 1( [2 1] ) 2

2 1 2 1i t n k a i k a

nu Be u eω − −− = =

1.4.3. Generalización en tres dimensiones. El desarrollo de las ecuaciones para el caso de tres dimensiones es muy similar al caso lineal, puesto que las ecuaciones de movimiento pueden representarse generalmente, sin necesidad de tener alguna idea de las fuerzas de interacción y por tal motivo pueden ser simplificadas fácilmente [9]. Para el caso de tres dimensiones consideramos en general, un cristal tridimensional, con N celdas unidad tn vectores de traslación y una base de átomos en las posiciones d1, d2,…, dnb. Podemos nombrar los átomos por dos índices ( )nυ , donde denota las celdas unidad del cristal y

nυ los átomos cercanos a la celda unidad. Consideraremos primero la

combinación nuclear en las posiciones n nυ υ+ +t d u , y lo denotaremos como

{ }(0 nE υu )que es la energía total del estado base (o energía estática de la red) del sistema electrónico nuclear. La expansión de E0 hasta segundo orden, de los desplazamientos desde su posición de equilibrio (aproximación armónica).

{ }( ) ( )( )0 0 , ' ' '

, ' ' '

102

D ' ' 'υ υα υ α υα υ αυα υ α

= + ∑harmn n n

n nE u E u un n .................. (1.18)

Donde , ' , , ; , ' 1, 2,..., ; 1, 2,...,bx y z n n Nα α υ υ= = = . Las constantes de fuerza, son definidas como la segunda derivada de { }( )0 nE υu evaluadas en la configuración de equilibrio.

20

2

0, ' ' '

' ' ' 0

D υα υ αυα υ α

⎛ ⎞∂= ⎜ ∂ ∂⎝ ⎠

n nn n

Eu u ⎟ ....................................... (1.19)

Al expandir la ecuación 1.18, los términos lineales de los desplazamientos no se presentan, debido a que 0 0nE u υα∂ ∂ ≡ esto para la posición en equilibrio. La matriz D, formada por las constantes de fuerza, que son los elementos , ' ' 'D υα υ αn n , por la definición de 1.19 tenemos que la matriz D es real y simétrica. , ' ' ' ' ' ',D Dυα υ α υ α υα=n n n n ............................................ (1.20) Al desarrollar los elementos de la matriz D, esta queda de la siguiente forma:

2 2 20 0 0

' '

2 2 20 0 0

' '

2 2 20 0 0

' '

20

, ' ' ''

D υα υ αα α

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞⎜ ⎟

∂ ⎜= = ⎜∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

E E Eu u u u u u

E E En n u u u u u u

E E Eu u u u u u

Eu u

'

'

'

⎟⎟ .................................. (1.21)

Tenemos también que la suma general, esta dada por: , ' ' '

' '0D υα υ α

υ

≡∑ n nn

............................................. (1.22)

La ecuación clásica del movimiento para el núcleo en la posición instantánea,

n nυ υ+ +t d u sobre las fuerzas ( )0

harmn nF E uυ υ= −∂ ∂ es:

, ' ' ' ' ' '

' ' 'Dυ υα υα υ α υ α

υ α

= − ∑n n nn

M u Un ................................. (1.23)

Donde , ' , , ; , ' 1, 2,..., ; , ' 1, 2,...,bx y z n n n Nα α υ υ= = =

21

Debido a la presencia de la simetría traslacional, se sugiere resolver el sistema, por medio del uso de soluciones de la forma de ondas viajeras, del tipo:

( ) ( ) ( ), ni tn t e ωυ υ ω −= iq tu A q ....................................... (1.24)

Por lo tanto la ecuación queda de la siguiente forma: ( )'2

, ' ' ' ' '' ' '

Dυ υα υα υ α υ αυ α

− −− = − ∑ iq tn tnn n

n

M w A e Ai ................ (1.25)

Esta ecuación nos representa la interacción atómica en tres dimensiones de una cadena de átomos, en donde D es la matriz dinámica que contiene las constantes de fuerza de las dichas interacciones.

22

Capítulo 2 Nanoestructuras

23

2.1. Introducción En la actualidad hemos comenzado a utilizar conceptos que anteriormente no eran comunes, o en su defecto no se tenia conocimiento de ellos, esto se ha dado gracias a que recientemente se realizan estudios que van más allá de lo que nosotros conocíamos, pues conforme avanza la tecnología, sobre todo en lo que respecta a la electrónica, se ha hecho más común el hablar de nuevas investigaciones y desarrollos que tienen que ver con nuevos fenómenos o propiedades; y esto lo podemos ver en los desarrollos tecnológicos que la electrónica ha tenido a lo largo de los años. Hoy en día es fácil encontrar circuitos integrados de dimensiones relativamente pequeñas en comparación con los que se desarrollaron hace unos 20 o treinta años, la electrónica actual ha permitido reducir el tamaño de estos dispositivos de manera tal que ahora podemos encontrar reproductores de sonido del tamaño de un reloj de pulso, o encontrar en un teléfono celular, diversas aplicaciones digitales, mismas que solo podíamos concebir en la imaginación. Todo esto hace de vital importancia el introducir conceptos tales que nos permitan adecuarnos a los nuevos desarrollos relacionados con la tecnología; conceptos tales como, nanociencia, nanotecnología, nanoescala y nanoestructura. 2.2. ¿Que significa nano?

El término nano deriva del griego “nanos” que significa “enano”. Hoy es usado como prefijo de medidas, representando una escala de 1: 1/ 1, 000, 000, 000 (que también se escribe como , o simplemente 91:1x10− 91:10− ). Este prefijo antecede a cualquier unidad de medida significando “la milmillonésima parte de”. Tomemos la unidad de medida de longitud, por ejemplo. Un nanometro (nm), es la milmillonésima parte de un metro, por ello la palabra nanoestructura se usa para designar la materia cuyo tamaño varía en el rango de 1 a 100 nm aproximadamente. Ajustando un poco nuestras ideas acerca de los nanómetros, digamos que los átomos tienen un tamaño de ½ nm; el ADN de doble espiral tiene un diámetro de alrededor de 2 nm; una proteína puede medir 5 nm de largo; un ribosoma tiene un diámetro de 25 nm; un virus puede medir entre 22 y 120 nm; una bacteria entre 500 y 1500 nm; una célula humana mide aproximadamente 10,000 nm (10 micrómetros) y el cabello humano está en el intervalo de 50,000 a 100,000 nm. (0.1 milímetro), en la figura 2.1 podemos observar algunos de estos ejemplos.

En los últimos 20 años, se han venido desarrollando un conjunto de herramientas que permiten ocuparse de la manipulación de materiales de este tipo de escalas atómicas. Actualmente, los diversos campos de estudio comienzan a tener nuevas ramas dentro de su estructura, esto debido a la gran diferencia que se presenta entre los sistemas nanométricos y sistemas a escala micrométrica. Mencionemos ejemplos tales como: Nanobiología, nanoelectrónica, nanomedicina, etc… y son sólo algunos cuyo propósito es constituirse como impulsores de los avances científicos y tecnológicos del futuro.

24

Fig. 2.1 Comparación de tamaños.

2.3. Aplicaciones con nanoestructuras

La microelectrónica ha venido envolviendo nuestra vida de tal modo que hoy en día resulta difícil concebir el mundo sin su participación; computadoras, teléfonos celulares, sintetizadores, sistemas de comunicación satelital, etc…, son sólo algunos ejemplos de los medios microelectrónicos que nos rodean y con los que hemos aprendido a vivir. En esta parte de la electrónica, se incluyen dispositivos cuyo tamaño mínimo es una micra (una milésima de milímetro) hasta dispositivos no mayores a un milímetro en un chip.

Tanto en la microelectrónica como en la naciente nanoelectrónica, se deben contemplar tres niveles de organización. El primer nivel se refiere a sus componentes básicos, usualmente transistores o diodos, su nanoequivalente son los interruptores de corriente o amplificadores de señales o los diodos emisores de luz de Silicio Poroso como se muestra en la Figura 2.2, en microelectrónica un transistor se hace por medio de uniones de trozos de materiales semiconductores no menores de unos micrómetros. En la nanoelectrónica, los transistores pueden ser moléculas orgánicas o estructuras inorgánicas.

25

Fig. 2.2 Aplicación del Silicio Poroso en optoelectrónica (a) diagrama de funcionamiento de un diodo emisor de luz a base de silicio poroso,

(b) Fotografía del circuito.

El siguiente nivel es la interconexión, que incluye todo lo relacionado con los alambres que se encargan de enlazar a los transistores para la ejecución de operaciones aritméticas o lógicas. En microelectrónica, los alambres de interconexión, son líneas metálicas típicamente de cientos de nanómetros a decenas de micrómetros depositadas sobre el silicio; en nanoelectrónica, estos pueden ser nanotubos u otros alambres tan pequeños como de un nanometro de espesor. El último nivel, es lo que se conoce como arquitectura (la forma estructural en que los transistores están conectados en un circuito). En la actualidad, no se han concretado estos dos último niveles por parte de la nanoelectrónica. Uno de los puntos cuestionables acerca de la organización estructural y de la interconexión en los futuros nanochips radica entorno a los niveles de síntesis y fabricación de nanoestructuras, ya que se trata de procesos muy elaborados y que requieren de dispositivos muy costosos.

26

Se considera que al contrario de la microelectrónica, los chips basados en una construcción llamada de “arriba-abajo”, en la nanoelectrónica se debería hacer por la técnica de “abajo-arriba” como lo muestran los recientes avances en la fabricación de semiconductores que han dado lugar a la implementación de técnicas modernas de crecimiento de cristales como el crecimiento epitaxial por haces moleculares (MBE) o la deposición de vapor químico metal orgánico (MOCVD) estos se muestran en las figuras 2.3 y 2.4, por medio de las cuales se pueden crear nanoestructuras semiconductoras.

Fig. 2.3 Equipo necesario para realizar crecimiento de cristales

como el crecimiento epitaxial por haces moleculares (MBE)

Fig. 2.4. Equipo necesario para realizar deposición de vapor químico metal orgánico (MOCVD)

27

Los avances relacionados con la investigación en materiales, extienden nuevas percepciones acerca del papel que juegan los sistemas nanoestructurados en relación a la disposición de sus propiedades macroscópicas, así mismo podríamos decir que las aplicaciones de estos materiales son infinitas [10].

Uno de los paradigmas relacionados a las aplicaciones de dispositivos opto-electrónicos y computacionales se desarrolla en torno a los alambres moleculares o alambres cuánticos. Los efectos del confinamiento cuántico son usados generalmente para explicar las nuevas propiedades, principalmente ópticas de estos materiales. Al obtener mejores prestaciones ópticas, las dificultades en torno a la interconexión pueden verse ampliamente disminuidas; los alambres podrán sustituirse por nanofibras ópticas aumentando la eficiencia de interconexión, así mismo, las opciones de almacenamiento de información se verán ampliadas, pues al lograr luz coherente más energética con éste tipo de nanoestructuras, la luz láser producida sería de longitud de onda menor y el nivel de almacenamiento en discos compactos por ejemplo, sería mayor. Las propiedades electrónicas, mecánicas, ópticas y de transporte pueden variarse mediante el control de algunos parámetros como son: el diámetro de la estructura, su morfología, el aumento de la longitud de onda y su pureza, entre otros. Pueden vislumbrarse para múltiples aplicaciones en torno a estos materiales. Por ejemplo, si se piensa en una intercomunicación óptica a base de nanoalambres que emitan luz en todo el espectro visible, la cantidad de información podrá ser controlada a través de los tres colores primarios, rojo, verde y azul.

Nanoalambres semiconductores conectados en paralelo que puedan ser controlados por una compuerta común, pueden usarse como diodos emisores de luz. La luz emitida por un solo nanoalambre podría no ser visible, pero muchos nanoalambres en paralelo podrían proporcionar la intensidad de luz deseada. Esto podría abrir paso a lo que bien puede llamarse, la nano-optoelectrónica.

28

Fig. 2.5. Imágenes de nanofibras de carbono.

En relación a la fabricación, los recientes avances en la tecnología de fibras o tubos nanométricos indican que un método efectivo en la formación de estos se basa en el uso de técnicas con plantilla de membrana. Estas estructuras unidimensionales cuyo diámetro va de 3 a 15 nm aproximadamente, es pues, una promesa tecnológica para aplicaciones en dispositivos optoelectrónicos.

Fig. 2.6. Nanocircuito de silicio hecho a base de puntos cuánticos.

29

Es importante hacer notar que entre los materiales de mayor interés en el campo de las nanoestructuras se encuentran los materiales basados en silicio y carbono, donde se incluyen estructuras como los fullerenos, nanotubos, silicio y carbono poroso y nanopartículas de silicio y carbono. Desde 1990, con el descubrimiento de técnicas de solubilidad de carbono, y con la aportación de Canham sobre los métodos de preparación del silicio poroso [3], la investigación sobre estos materiales se incremento de manera vertiginosa, logrando tener en mente el desarrollo de nuevas tecnologías basadas en nanoestructuras de carbono y de silicio, esto ha sentado bases para que diversas instituciones de investigación y compañias relacionadas al ámbito tecnológico, sobre todo en ramas como la medicina y la electrónica, utilicen sus recursos materiales y humanos para realizar estudios relacionados con estas nuevas estructuras y materiales que en definitiva serán la evolución de la tecnología actual.

Sin embargo, a pesar de que los estudios más significativos son sobre Nanoestructuras de Carbono y Silicio y sus posibles aplicaciones en la electrónica, computación, comunicaciones y demás ramas asociadas; existen estudios sobre otros materiales de tipo metálicos como el Oro (Au) [11], Plata (Ag)[12], Fosfato de Indio (InP) [13], que recientemente han recibido atención especial, debido a que poseen un alto potencial tecnológico para la creación de dispositivos electrónicos a escalas nanometricas, [14].

Fig. 2.7. Nanoestructuras de diversas formas (a) estructura de diamante, (b) películas delgadas, (c) estructura de diamante en otra dirección

cristalográfica, (d), (e), (f) fulerenos de diversas formas, (g) estructura amorfa, (h) nanotubo de carbono.

30

2.4. Silicio Poroso El Silicio Poroso (P-Si) es un tipo de estructura que puede obtenerse por métodos muy simples y a diferencia del silicio cristalino (c-Si) se ha demostrado que el P-Si es un buen emisor de luz, obteniendo desde el cercano infrarrojo al azul. El silicio poroso es un material que en los últimos 10 años ha sido sujeto de diversas investigaciones y experimentos ya que las aplicaciones que pudiesen surgir de este material son muy diversas, aunque principalmente se enfocan en la emisión de luz para intercambio de información. El silicio cristalino como tal es un semiconductor de brecha indirecta, por lo tanto, el máximo de la banda de valencia y el mínimo de la banda de conducción están en distintos valores de k, en otras palabras, no pueden tener una recombinación directa entre un hueco y un electrón debido a las distancias que los separan, esto hace que necesite de la participación de agentes externos (cuantos de vibración) para poder generar luz, es decir, necesitan de la asistencia de otro tipo de excitación en este caso de tipo vibratoria (fonones), para poder llevar acabo la recombinación entre la banda de valencia y la banda de conducción; por otro lado existen semiconductores como el AsGa que son de brecha directa y únicamente necesitan la recombinación directa de un electrón con un hueco para poder generar luz, es por ello que sus aplicaciones son más vistas en la construcción de dispositivos ópticos (lasers), por tanto es que semiconductores como el silicio y el germanio al formar parte del tipo de semiconductores de brecha indirecta, no se utilicen para este tipo de dispositivos, la figura (2.8) muestra la recombinación de electrón-hueco entre la banda de valencia y conducción de los dos tipos semiconductores.

Fig. 2.8. Representación de la recombinación para el caso de (a) brecha directa y (b) brecha indirecta.

31

Fig. 2.9. Fotografía de una porción de silicio poroso, obtenida con un microscopio electrónico de barrido.

El silicio poroso es una estructura relativamente nueva, pues se tienen reportes por diversos investigadores, desde hace ya mas de 40 años, cuando se experimento con el electro-pulido de silicio dentro de un medio acuoso de acido fluorhídrico [15] y desde entonces este material se ha estudiado, sin embargo, perdió interés en cuanto al estudio de sus propiedades pero en 1990 gracias a Leigh Canham, quien reporto que se podía obtener una fotoluminiscencia visible a partir de Silicio Poroso [16] el cual produjo mediante un ataque químico de acido fluorhídrico (HF) sobre c-Si, este material era una estructura porosa parecida a la forma de un coral, como se muestra en la figura 2.9. Este hecho ayudo a que los estudios sobre Silicio Poroso se retomarán y a que actualmente tenga un importante crecimiento y versatilidad como un material electrónico dentro de la fabricación y diseño de la tecnología futura [17]. 2.4.1. Preparación de Silicio Poroso La generación de este tipo de estructuras es fácil de realizar, ya que solo se necesita de una solución de HF, un recipiente, dos placas paralelas (una ánodo y la otra cátodo), que serán energizadas por un determinado voltaje, una muestra para hacer el ataque y un medio de control tanto de tiempo como de voltaje, esta es la forma mas simple y barata para la generación de silicio poroso. La figura 2.10 esquematiza este tipo de ataque químico.

32

Figura 2.10. Esquema básico de preparación de Silicio Poroso.

Fig. 2.11. Fotografía de silicio poroso, hecha con microscopio electrónico.

Este método es el más viable debido a su bajo costo, sin embargo se debe tener cuidado con el tiempo de exposición, la cantidad de solución y la pureza del silicio en el cual se llevara acabo el ataque químico.

33

2.5. Nanoalambres de Silicio El caso contrario al Silicio Poroso son los llamados nanoalambres, estas estructuras han demostrado como el silicio poroso que pueden ser utilizados en al industria actual, recientemente los alambres quánticos, han sido un foco de gran interés [18-21], Estas estructuras muestran interesantes propiedades físicas que son notablemente diferentes con respecto a otros materiales. Los nanoalambres semiconductores tienen particular importancia en la tecnología puesto que sus posibles aplicaciones abarcan diversos campos como la optoelectrónica, o aplicaciones como celdas fotovoltaicas, y especialmente en dispositivos de tamaño reducido [22-23], en los cuales puede fungir como transistor.

Fig 2.13 Nanoalambres de silicio.

2.5.1 Preparación de Nanoalambres de Silicio Los nanoalambres de silicio, se pueden fabricar de diversas formas, ya sea por métodos de catálisis metálica, por deposición de vapor químico [24] o por técnicas de solubilidad [7]. De igual forma que el silicio poroso, esta estructura puede realizarse por medio de ataque químico y electroquímico en una solución de HF [3].

Fig 2.14 Nanoalambre de silicio hecho a base de catálisis metálica asistida por deposición de vapor químico.

34

Gracias a estos materiales ha sido posible obtener luminiscencia; la emisión de luz en las nanoestructuras de Silicio mencionadas corresponde a una energía mayor que la del c-Si pues dependiendo de las condiciones de preparación puede variar de 0.8 eV – 2.5 eV. Otro aspecto importante es el hecho de que las propiedades de estas estructuras se determinan principalmente por la forma del esqueleto, y no tanto por el tamaño de los poros. El silicio poroso, es un material que puede revolucionar toda la electrónica actual, sin embargo, es necesario determinar sus propiedades adecuadamente, para poder controlarlas y con ello realizar diseños de tecnología basados en las diversas propuestas de nanoestructuras de silicio. 2.6. Luminiscencia en Nanoestructuras de Silicio Varias investigaciones teóricas y experimentales atribuyen diversos factores a la luminiscencia emitida por nanoestructuras derivadas del Silicio, una hipótesis aceptada es la influencia del confinamiento cuántico[42], las transiciones interbanda, la asistencia de fonones en transiciones indirectas, los derivados del silicio con otros compuestos, como por ejemplo los siloxenos ( )6 3 6Si O H , los mecanismos de preparación [1][16][ 25-28], etc…, sin embargo, es una cuestión que se encuentra todavía en el aire, ya que todos estos factores, se presentan en conjunto, lo que hace difícil poder identificar cual de ellos es el que más influye. Los efectos vibracionales dentro de este tipo de estructuras, tienen una importancia significativa en los estudios actuales [29], que pretenden entender y en su caso controlar las propiedades de estas estructuras, para utilizarlas en el desarrollo de nuevas tecnologías, el estudio de este tipo de propiedades, representa un área importante dentro de la física de estado sólido, puesto que son responsables de numerosos fenómenos físicos [9][30-32], entre ellos la luminiscencia, ejemplo de esto se muestra en la figura 2.12 donde se desarrollan emisores de luz de diversas longitudes de onda.

Fig. 2.12. Dispositivos optoelectrónicos a base de silicio poroso

35

Capítulo 3 Modelo y resultados

36

3.1. Introducción En todo estudio es importante determinar que tipo de modelado se usará para desarrollar tal investigación, como ya se ha mencionando, utilizaremos la estructura del Diamante para realizar nuestro análisis, el cual tiene que ver con el estudio de las propiedades vibracionales de este material, usaremos parámetros semiempiricos y nos ayudaremos del modelo de potencial periódico descrito por Born, el cual describe los potenciales de interacción de una red cristalina. Este modelo también hace uso de las propiedades de simetría y de periodicidad de la red, lo que permite que al realizar el análisis de un enlace entre dos átomos podamos obtener de manera automática el análisis para toda la red. 3.2 Estructura del Silicio En nuestro modelo, al realizar el análisis vibracional, utilizaremos como elemento de estudio al Silicio. Este al ser un cristal de tipo Zinc-Blenda y aprovechando este tipo de estructura, podemos aplicar métodos de solución iterativos, que nos permitan hacer una descripción de la dinámica de la red más fácilmente.

Fig. 3.1 Esquema de (a) estructura de silicio con base de dos átomos (b) proyección en el plano x, y.

37

En la figura 3.1, se muestra la estructura del Silicio, de la cual tomaremos dos átomos a los que llamaremos átomo i y átomo j como se muestra en la figura 3.2, estos dos átomos nos ayudarán a realizar el estudio de la red en forma general. Por medio del uso de la simetría traslacional del cristal y mediante la aplicación del modelo de potenciales interatómicos de Born, podremos analizar la dinámica de la red de manera óptima y a la vez sencilla.

Fig. 3.2. Representación de dos átomos (i, j) paralelos al eje z

3.2.1. Modelo de Born En general el hamiltoniano que describe las vibraciones armónicas de una red, para una representación de sitios, esta dado por [43]:

( )( ) ( ) ( )

2

' ', '

12 2i ij

P iH

M iα

αα αα ααα

φ= +∑ ∑ ij U j .................................(3.1)

En donde ( ) ( ) ( )

2

''

, ijUi j

u i u jααα α

φ∂

=∂ ∂

, ...............................(3.2)

( )U iα y por consiguiente ( )'U jα son el potencial de los átomos i, j de acuerdo a los ejes α y 'α respectivamente. Ahora , ' , ,x y zα α = por lo tanto cuando ponemos α hablamos de cualquiera de los ejes de referencia del átomo i y cuando utilizamos 'α sustituiremos a cada uno de los ejes de referencia correspondientes pero del átomo j.

38

El modelo que describe el potencial de interacción de la red es el propuesto por Born, dicho potencial está dado por:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )2 21 1ˆ ,

2 2iji j i j

U u i u j r u iα β β< <

= − − ⋅ + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣∑ ∑ u j ⎤⎦ .............(3.3)

Donde es el desplazamiento del i-ésimo átomo de su posición de

equilibrio,

( ) ( ) ( )u i r i R i= −

( ) ( ),r i R i son el vector de posición y el vector de posición en el equilibrio respectivamente, del átomo i; además es un vector unitario a lo largo del enlace y la letra “ j ” representa los primeros vecinos del átomo “ i ”.

ijr

,α β son: la constante de la fuerza de restitución a lo largo del vector unitario y la constante de fuerza no central, respectivamente.

ijr

Los vectores y se representarán por medio de sus componentes, es decir, ( )u i ( )u j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,x y z x y zu i u i u i u i u j u j u j u j⎡ ⎤ ⎡= =⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎦ ...................(3.4) Por tanto sustituyendo y desarrollando en la ecuación del potencial, está tendrá la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1 ˆ, ,2

12

x x y y z z iji j

x x y y z zi j

U u i u j u i u j u i u j r

u i u j u i u j u i u j

α β

β

<

<

⎡ ⎤= − − − − ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

∑

∑

+

⎤⎦

......(3.5)

El vector esta dado por: ijr

ˆ ijij

ij

rr

r= .................................................(3.6)

Solo resta efectuar las operaciones correspondientes, asignar las coordenadas correspondientes del vector y con los resultados construir las matrices de interacción. ijr

39

3.3 Modelado Para nuestro estudio, modelamos diversas estructuras, entre las que destacan, celdas con una base de dos átomos (figura 3.3), celdas con 8 átomos (figura 3.4) contenidos dentro de la estructura y una supercelda de 32 átomos (figura 3.5).

Fig. 3.3. Celda construida a partir de una base de dos átomos.

Fig. 3.4. Celda de 8 átomos

40

Fig. 3.5. Celda de 32 átomos.

Para describir las interacciones para una red de 2 sitios, el hamiltoniano estará dado por:

1,1 1,2

2,1 2,2

H HH H⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎠

⎟H ............................................... (3.7)

( )4

1,1 1,2 3 2H H Iα β= = + ......................................... (3.8) La matriz para dos sitios tiene a su vez en cada elemento de la matriz tres grados de libertad, entonces el hamiltoniano tiene de la siguiente forma:

1,1H 1,2H 1X 1Y 1Z 2X 2Y 2Z

1X ( )43 2α β+ 0 0 1,4H− 1,5H− 1,6H−

1Y 0 ( )43 2α β+ 0 2,4H− 2,5H− 2,6H−

1Z 0 0 ( )43 2α β+ 3,4H− 3,5H− 3,6H−

2X 4,1H− 4,2H− 4,3H− ( )43 2α β+ 0 0

2Y 5,1H− 5,2H− 5,3H− 0 ( )43 2α β+ 0

2Z 6,1H− 6,2H− 6,3H− 0 0 ( )43 2α β+

2,1H 2,2H

41

Ahora calcularemos los elementos de la matriz para ello observamos que 1,2 2,1,H H− − , están dados por: ( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 41

1,2 1 2 3 4

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q q

mH e e e eφ φ φ φ+ + − + − − − + − −− = + + + 4a

........ (3.9)

y

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 412,1 1 2 3 4

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q q

mH e e e eφ φ φ φ− + + + − − + − − −− = + + + 4a

........ (3.10)

Entonces desarrollando tenemos que:

( ) ( )4 4

2 23 3 3 3 3 3

2 211,2 3 3 3 3 3 3

2 23 3 3 3 3 3

23 3 3

23 3 3

3 3

α β α β α β α β α β β α

α β α β α β α β α β β α

α β α β α β β α β α α β

α β β α β α

β α α β α β

β α α β α

+ − − + − −

+ + − + −− + − − + −

− − + − − +

+ − −

− + −

− − +

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− = − − − + − − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

− − −− − −− − −

a ax y z x y zi q q q i q q q

mH e e

( ) ( )4 4

23 3 3

23 3 3

2 23 3 3 3

α β β α α β

β α α β β α

β α β β α α β

+ − −

− − + − −− + −

− − +

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ − − − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

a ax y z x y zi q q q i q q qe e

( ) ( )4 4

2 23 3 3 3 3 3

2 212,1 3 3 3 3 3 3

2 23 3 3 3 3 3

23 3 3

23 3 3

3 3

a ax y z x y zi q q q i q q q

mH e

α β α β α β α β α β β α

α β α β α β α β α β β α

α β α β α β β α β α α β

α β β α β α

β α α β α β

β α α β α

+ − − + − −

− + + + −− + − − + −

− − + − − +

+ − −

− + −

− − +

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− = − − − + − − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

− − −− − −− − −

e

( ) ( )4 4

23 3 3

23 3 3

2 23 3 3 3

a ax y z x y zi q q q i q q qe e

α β β α α β

β α α β β α

β α β β α α β

+ − −

− + − − −− + −

− − +

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ − − − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

De aquí obtendremos los elementos de la matriz hamiltoniana; los cálculos correspondientes se encuentran en el apéndice D .

42

Si deseamos representar la matriz de interacción de 8 átomos, necesitamos ayudarnos de la figura 3.6, donde se muestran la coordinación de las que serán las matrices de interacción.

Fig. 3.6. Representación de una celda de silicio de ocho átomos.

Con esta representación construiremos los elementos del hamiltoniano, mismos que serán las interacciones de cada uno de los 8 átomos con sus vecinos próximos, por ejemplo para determinar las interacciones del átomo 1, en nuestro hamiltoniano escribiremos el potencial con su fase, en las casillas correspondientes a los átomos 3, 4, 5 y 7. Por lo tanto el hamiltoniano, quedará de la siguiente forma. Átomos 1 2 3 4 5 6 7 8

1 sφ 0 *4 4F φ *

2 2F φ *3 3F φ 0 *

1 1F φ 0 2 0 sφ *

1 1F φ *3 3F φ *

2 2F φ 0 *4 4F φ 0

3 4 4F φ 1 1F φ sφ 0 0 2 2F φ 0 3 3F φ

4 2 2F φ 3 3F φ 0 sφ 0 4 4F φ 0 1 1F φ

5 3 3F φ 2 2F φ 0 0 sφ 1 1F φ 0 4 4F φ

6 0 0 *2 2F φ *

4 4F φ *1 1F φ sφ *

3 3F φ 0 7 1 1F φ 4 4F φ 0 0 0 3 3F φ sφ 2 2F φ

8 0 0 *3 3F φ *

1 1F φ *4 4F φ 0 *

2 2F φ sφ

43

En donde

( )4 23sφ α β= − +

Esto se debe a que la interacción entre los mismo átomos se toma como la suma de las φ . ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4, , , , , , , ,

1 2 3 4, ,a a aiq x y z iq x y z iq x y z iq x y zF e F e F e y F e− − − − − −= = = = 4

a

......... (3.11) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4, , , , , , , ,* * * *

1 2 3 4, ,a a aiq x y z iq x y z iq x y z iq x y zF e F e F e y F e− − − − − − − −= = = = 4

a− − ....... (3.12) Son las fases correspondientes de cada enlace. y , , ,1 2 3 4φ φ φ φ son las matrices de interacción correspondientes entre un átomo y sus cuatro vecinos próximos. Para determinar las funciones potencial , , ,1 2 3 4φ φ φ φ , hacemos uso del modelo de Born, antes descrito, obteniendo así para los diferentes potenciales lo siguiente. Por ejemplo para el caso del enlace entre el átomo i y el j, tendremos la siguiente representación.

Fig. 3.7. Representación de la interacción entre el átomo i y el átomo j.

44

Sabemos que el vector unitario del desplazamiento esta dado por: ijr

(1ˆ 1,1,13ijr = ) ................................................... (3.13)

Al sustituir el vector en el modelo y desarrollando tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1 1, , 1,1,2 312

ij x x y y z z

x x y y z z

U u i u j u i u j u i u j

u i u j u i u j u i u j

α β

β

⎧ ⎫⎡ ⎤= − − − − ⋅⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

1 +... (3.14)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1612

ij x x y y z z

x x y y z z

U u i u j u i u j u i u j

u i u j u i u j u i u j

α β

β

⎡ ⎤= − − + − + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎤⎦

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

ijxx x x y y z z

x x x

x xx

Ui j u i u j u i u j u i u j

u i u j u i

u i u ju i

α βφ

β

α β α ββ

∂ − ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

− += − − = −

( ) ( )2,

3α β

φ+

= −xx i j ............................................... (3.15)

45

Para los siguientes elementos de la matriz la forma de obtener los elementos es la misma, solo hay que sustituir las coordenadas correspondientes y 'α α y realizar las operaciones dadas, entonces dichos elementos quedarán de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )( )2

,3

ijxy

x y

Ui j

u i u jα β

φ∂ −

= = −∂ ∂

................................... (3.16)

( ) ( ) ( )( )2

,3

ijxz

x z

Ui j

u i u jα β

φ∂ −

= = −∂ ∂

.................................... (3.17)

( ) ( ) ( )( )2

,3

ijyx

y x

Ui j

u i u jα β

φ∂ −

= = −∂ ∂

................................... (3.18)

( ) ( ) ( )( )2 2

,3

ijyy

y y

Ui j

u i u jα β

φ∂ +

= = −∂ ∂

................................. (3.19)

( ) ( ) ( )( )2

,3

ijyz

y z

Ui j

u i u jα β

φ∂ −

= = −∂ ∂

................................... (3.20)

( ) ( ) ( )( )2

,3

ijzx

z x

Ui j

u i u jα β

φ∂ −

= = −∂ ∂

.................................... (3.21)

( ) ( ) ( )( )2

,3

ijzy

z y

Ui j

u i u jα β

φ∂ −

= = −∂ ∂

.................................... (3.22)

( ) ( ) ( )( )2 2

,3

ijzz

z z

Ui j

u i u jα β

φ∂ +

= = −∂ ∂

.................................. (3.23)

Al ordenar todos estos valores en forma matricial, tenemos que:

23 3 3

23 3 3

23 3 3

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

+ − −⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟

− + −⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

φ1 ................................. (3.24)

El procedimiento para obtener los potenciales siguientes es el mismo, por tanto solo mostraremos la representación esquemática del enlace y la matriz resultante, el desarrollo completo se encuentra en el apéndice C.

46

Para el caso de la interacción de los átomos i, l tenemos que:

Fig. 3.8. Representación de la interacción entre el átomo i y el átomo l.

Nuestra matriz de interacción queda de la siguiente forma.

23 3 3

23 3 3

23 3 3

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

+ − −⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

− + −⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

2φ ................................ (3.25)

47

Para el caso de la interacción de los átomos i, m tenemos que:

Fig. 3.9. Representación de la interacción entre el átomo i y el átomo m.

La matriz de interacción queda de la siguiente forma.

23 3 3

23 3 3

23 3 3

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

+ − −⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

− + −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

3φ ................................ (3.26)

48

Para el caso de la interacción de los átomos i, k tenemos que:

Fig. 3.10. Representación de la interacción entre el átomo i y el átomo k.

Tenemos que la matriz de interacción queda de la siguiente forma.

23 3 3

23 3 3

23 3 3

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α

+ − −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

− + −⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

4φ

β

................................ (3.27)

49

3.3.1 Modelado con Matrices de Rotación Existe otro método por medio del cual podemos obtener las matrices de interacción descritas anteriormente, estas se construyen a partir de realizar rotaciones de los enlaces hasta hacer coincidir los ejes de referencia del enlace con los ejes de referencia de la estructura, esto se realizará mediante el uso de matrices de rotación este procedimiento puede verse a detalle en los apéndices B y C. El primer paso es determinar la matriz de interacción, entre dos átomos enlazados, cuando el eje de referencia z se encuentra en paralelo a la dirección del enlace, tal como se muestra en la figura 3.11.

Fig. 3.11 Representación del enlace de dos átomos (i, j) paralelo al

eje z. Con esto a partir del modelo de Born, podremos construir nuestra matriz de interacción, para ello tendremos que calcular el vector unitario para cuando el enlace se encuentra paralelo al eje z, entonces tendremos que:

( )( ) ( ) (0,0,1 1ˆ 0,0,1 0,0,10,0,1 1ijr = = = ) ............................................... (3.28)

Ahora sustituyendo este valor en (3.5) tenemos que el potencial queda de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1 , , 0,0,1212

ij x x y y z z

x x y y z z

U u i u j u i u j u i u j

u i u j u i u j u i u j

α β

β

⎡ ⎤= − − − − ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+...... (3.29)

50

Simplificando la ecuación anterior tenemos que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

12

12

ij z z

x x y y z z

U u i u j

u i u j u i u j u i u j

α β

β

= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎤⎦

Si sustituimos lo anterior en la ecuación (3.2), tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){2

, ijxx x x

x x x

Ui j u i u j

U i U j u i }φ β β∂ ∂

= = − −⎡ ⎤⎣ ⎦∂ ∂ ∂= − ............ (3.30)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){2

, 0ijxy y y

x y x

Ui j u i u j

U i U j u iφ β

∂ ∂ ⎡= = − −⎣∂ ∂ ∂ }⎤ =⎦ .............. (3.31)

0xy xz yx yz zx zyφ φ φ φ φ φ= = = = = = ..................................... (3.32) Por lo tanto solo resta de calcular y yy zzφ φ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){2

, ijyy y y

y y y

Ui j u i u j

U i U j u i }φ β β∂ ∂ ⎡ ⎤= = − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

= − .......... (3.33)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2

,z zij

zzz z z z z

u i u jUi j

U i U j u i u i u j

α βφ

β

α β β α

⎧ ⎫− − −⎡ ⎤∂ ∂ ⎪ ⎣ ⎦= = ⎪ =⎨ ⎬∂ ∂ ∂ − −⎡ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭= − − − = −

........... (3.34)

Cada uno de los valores de 'ααφ corresponde a la interacción de los átomos i, j en cada uno de los tres grados de libertad, por ello es que obtenemos nueve elementos, los cuales nos servirán para construir la matriz de interacciones a la cual llamaremos matriz Dinámica, misma que será desarrollada de la siguiente forma:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

φ φ φφ φ φφ φ φ

⎛ ⎞⎜

= = ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

Total Dφ ⎟⎟ ....................................... (3.35)

Por lo tanto al sustituir los valores de las 'ααφ , obtendremos la siguiente matriz.

0 0

00 0

ββ 0

α

−⎛ ⎞⎜= = −⎜⎜ ⎟

⎟⎟

−⎝ ⎠Total Dφ ....................................... (3.36)

51

Ahora denotaremos la nomenclatura y los sistemas de referencia que utilizaremos, si observamos la figura 3.12, podremos encontrar que el cristal en si, tiene ciertos ejes de referencia denotados como “ x ” y “ ”, así mismo, los enlaces del átomo i, tienen sus propios ejes de referencia, denotados como “X” y “Y”.

y

Fig. 3.12. Representación de los ejes de referencia del cristal y de

los enlaces del átomo i.

52

La primera rotación que realizaremos será con respecto al eje X, es decir al observar nuestra estructura con el eje X saliendo del papel, podemos ver la siguiente figura.

Fig. 3.13. Vista de la estructura para realizar las rotaciones con referencia al eje X, (ejes X sale de la hoja).

Se rotarán los enlaces que se encuentran sobre el eje “ Y ” hacía el eje “ z ”, como se muestra en la figura 3.14 y 3.15, el ángulo que utilizaremos esta dado por 2θ , por lo tanto las matrices correspondientes para realizar las rotaciones en sentido positivo y negativo respecto a las manecillas del reloj quedan de la siguiente forma:

1 0 0

0 cos2 2

0 co2 2

sen

sen s

θ θ

θ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜=⎜⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

XR +⎟⎟

...................................... (3.37)

1 0 0

0 cos2 2

0 cos2 2

sen

sen

θ θ

θ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

XR −⎟⎟

...................................... (3.38)

53

Fig. 3.14. Vista de la rotación del enlace sobre el eje Y+ al eje z+,

respecto al eje X.

Fig. 3.15. Vista de la rotación del enlace sobre el eje Y- al eje z+, respecto al eje X.

54

La segunda rotación que tendremos, que realizar, es con respecto del eje “ Y ”, ahora pondremos frente de nosotros, al eje “ Y ” y las rotaciones que haremos son de los enlaces que se encuentran sobre el eje “ X ”, mismas que se denotan en la siguiente figura, el ángulo que utilizaremos estará denotado por 2

θα π= − tal como se muestra en la figura

3.17 y 3.18.

Fig. 3.16. Vista de la estructura para realizar las rotaciones con

referencia al eje Y, (ejes Y sale de la hoja). Las matrices de rotación correspondientes a los sentidos positivo y negativo, serán las siguientes:

cos 0

0 1 00 cos

sen

sen

α α

α α

⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠

YR +⎟⎟ ...................................... (3.39)

cos 0

0 1 00 cos

sen

sen

α α

α α

−⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

YR −⎟⎟ ...................................... (3.40)

55

Fig. 3.17. Vista de la rotación del enlace sobre el eje X+ al eje z+, respecto al eje Y.

Fig. 3.18. Vista de la rotación del enlace sobre el eje X-al eje z+, respecto al eje Y.

56

Las matrices de las proyecciones de estos enlaces, se representarán por la siguiente notación. CX+ = proyección del enlace sobre el eje x+ hacia eje z+ CX- = proyección del enlace sobre el eje x- hacia eje z+ CY+ = proyección del enlace sobre el eje y+ hacia eje z+ CY- = proyección del enlace sobre el eje y- hacia eje z+ Por tanto las rotaciones quedarán de la siguiente forma: CX+ = RY+D (RY+)T

CX- = RY- D (RY-)T

CY+ = RX+D (RX+)T .......................................... (3.41) CY- = RX- D (RX-)T

Para simplificación tomaremos la siguiente notación.

CY- = CY1, CY+ = CY2, CX- = CX1, CX+ = CX2

La matriz D es la matriz dinámica que determina las interacciones entre los enlaces.

0 0

00 0

ββ 0

α

−⎛ ⎞⎜= −⎜⎜ ⎟

⎟⎟

−⎝ ⎠

D ............................................. (3.42)

Esta matriz representa el enlace entre dos átomos de silicio, en donde la dirección del enlace es paralela al eje z Con esto solo resta girar cada una de las rotaciones hechas, hacia el sistema de referencia de nuestro cristal, es decir, el sistema de referencia de los enlaces, será rotado para que coincida con el sistema de referencia de nuestro cristal, tal como se muestra en la figura 3.19.

57

Fig. 3.19. Representación de la rotación de los ejes del enlace a los

ejes de la estructura.

El ánguloσ para realizar esta rotación es de 4π por lo tanto la matriz de rotación será la

siguiente:

( )4

1 1 02 2

1 1 02 2

0 0

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜

= −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Rz

1

⎟⎟ ......................................... (3.43)

Siguiendo con la nomenclatura ya mostrada, tenemos que las matrices de interacción quedarán de la siguiente forma:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

4 4

4

4 4

4 4

π π

π π

π π

π π

=

4

⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

1 2

2 1

3 1

4 2

TY

TY

TX

TX

Rz C Rz

Rz C Rz

Rz C Rz

Rz C Rz

φ

φ

φ

φ

................................... (3.44)

58

Al realizar las operaciones correspondientes para cada φ y dejando todo en función de β y α obtenemos lo siguiente:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 3 3 33 2 33 3 2

α β α β α βα β α β α βα β α β α β

+ − −⎛ ⎞⎜ ⎟= − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

1φ 33

........................ (3.45)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 3 3 33 2 33 3 2

α β α β β αα β α β β αβ α β α α β

+ − −⎛ ⎞⎜ ⎟= − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

2φ 33

........................ (3.46)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 3 3 33 2 33 3 2

α β β α β αβ α α β α ββ α α β α β

+ − −⎛ ⎞⎜ ⎟= − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

3φ 33

........................ (3.47)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 3 3 33 2 33 3 2

α β β α α ββ α α β β αα β β α α β

+ − −⎛ ⎞⎜ ⎟= − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎝ ⎠

4φ 33

........................ (3.48)

Con esto podemos constatar que las matrices de interacción obtenidas por este método son las mismas matrices obtenidas por el método anterior, esto es de gran utilidad para verificar que los cálculos que realizamos están correctos, además de que puede servirnos para simplificar trabajo matemático y de procesamiento en una simulación computacional.

59

3.3.2 Estructuras Porosas Para construir una estructura porosa, removeremos átomos, de tal forma que sin perder la periodicidad de la red, podamos hacer agujeros dentro de nuestra supercelda.

Fig. 3.20. Celda de 8 átomos.

Para el caso de una celda de ocho átomos nos ayudaremos de la figura 3.20 en la cual se muestra dicha estructura misma a la que le designamos una numeración tal que nos ayude a poder simplificar el trabajo de identificación de los átomos y así poder quitar de manera sencilla átomos para obtener una estructura porosa. En un primer ejemplo, quitamos el átomo 8 de la estructura que tenemos en la figura 3.20, esto nos da como resultado una estructura con un poro teniendo así una porosidad de 12.5% de átomos eliminados con respecto a la estructura original, misma que se muestra esquemáticamente en la figura 3.21.

Fig. 3.21 Celda de 8 átomos con poro en el átomo 8.

60

Ahora en nuestro siguiente ejemplo, utilizamos una estructura de 32 átomos a la cual le quitamos cuatro átomos esto con el fin de comparar la estructura de 8 átomos con un poro, con la de 32 átomos con poro de 4 átomos, en los dos casos las dos estructuras cuentan con una porosidad de 12.5% respecto de las estructuras cristalinas. Al igual que con la celda de ocho átomos es necesario numerar los átomos para poder tener una mejor ubicación de los mismos también para facilitar el trabajo de calculo, esta representación se muestra en la figura 3.22.

Fig. 3.22. Celda de 32 átomos.

En este caso, quitaremos los átomos con los números 29,30, 31, 32 ya que al momento de realizar los cálculos correspondientes, se simplifica en mucho el trabajo, cave mencionar que debemos tener cuidado al momento de numerar los átomos puesto que dependiendo de los poros que se hagan, la numeración podría cambiar con el fin de hacer mas fácil la identificación de los elementos que formaran la estructura. El poro hecho a la estructura se muestra en la figura 3.23

Fig. 3.23. Celda de 32 átomos con poro en los átomos 29, 30, 31, 32.

61

3.3.3 Nanolambres de Silicio Para poder modelar nanoalambres de silicio, utilizaremos la celda que contiene 8 átomos, a esta celda le agregaremos átomos, que formaran capas alrededor de nuestra estructura y le daremos condiciones periódicas en el eje z, así podremos obtener alambres de diferentes diámetros.

Fig. 3.24. Nanoalambre de 8 átomos (a) vista en el plano x, y, (b)

vista en tres dimensiones

62

Fig. 3.25. Nanoalambre de 18 átomos (a) proyección en el plano x,

y, (b) estructura en tres dimensiones. El siguiente nanoalambre será de 32 átomos (Fig. 3.25), al nanoalambre de 8 átomos le agregaremos átomos de tal forma que formemos capas alrededor del alambre inicial, y con ello podamos tener un nanoalambre con diámetro mayor, para el caso de nanoalambres con diámetros mas grandes, el proceso es el mismo. Así podemos tener nanoalambres cuadrados de 8, 18 , 32, 50, 72, 98, 128, 162, 200, 242, 288, 338, 392, 450, 512, 578, 648 átomos.

63

3.4. Resultados Para poder realizar las gráficas de bandas de dispersión, utilizamos parámetros semiempiricos a yα β cuyos valores fueron tomados como: 120.3 N mα = y

23.5 N mβ = [33]. Mostraremos los resultados de las bandas de dispersión de las estructuras comentadas, utilizando el modelo descrito anteriormente, estas bandas representan la dispersión inelástica de ondas dentro de un cristal.

Fig. 3.30. Bandas de dispersión para una celda con una base de dos átomos.

En la figura 3.30, podemos observar la estructura de bandas fononicas para el silicio cristalino (c-Si) de una celda de Silicio con una base de dos átomos, podemos observar que el punto de más alta energía se encuentra en 519.3 cm-1, este se compara con resultados experimentales (puntos negros) tomados por digitalización de [34].

64

Podemos ver que el modelo que utilizamos, se acerca a los datos experimentales, con esto podemos decir que nuestro modelo a pesar de ser simple, puede ser utilizado para estudiar las propiedades de estas estructuras.

Fig. 3.31. Bandas de dispersión para una celda de 8 átomos de Si.

En la figura 3.31 mostramos las bandas de dispersión inelástica, para una supercelda de ocho átomos, en donde el punto de más alta energía esta en 519.3 cm-1.

65

Fig. 3.32. Bandas de dispersión para una celda de 32 átomos de Si. En la figura 3.32 mostramos las bandas de dispersión fononica, para una supercelda de 32 átomos, en donde el punto de más alta energía esta en 519.3 cm-1.

66

Fig. 3.33. Bandas de dispersión para una estructura porosa de 8 átomos de Si, con poro en el átomo 8.

Presentamos en la figura 3.33 la estructura de bandas fononicas de silicio poroso cuando se remueve el átomo 8 de una supercelda de 8 átomos, donde el punto de más alta energía esta en 497.9 cm-1.

67

Fig. 3.34. Bandas de dispersión para una estructura porosa de 32

átomos de Si con poros en los átomos 29, 30, 31, 32.

En la figura 3.34 podemos ver las bandas de dispersión de Silicio Poroso para una porosidad de 12 % encontramos que el punto de más lata energía esta en 512.2 cm-1.

68

Podemos observar de los resultados anteriores que la banda que se encuentra en el punto de más alta energía, de la estructura porosa de 32 átomos, es diferente con respecto de la estructura porosa de 8 átomos, para el caso de 8 átomos el punto de más alta energía esta en 497.9 cm-1 y para el caso de la estructura de 32 átomos este punto se encuentra en 512.2 cm-1, esto nos hace pensar que a pesar de que la porosidad de las dos estructuras es la misma (12.75 %) sin embargo este efecto sobre la frecuencia no depende directamente del porcentaje de porosidad, si no de también, de la distribución de poros, y de las dimensiones de la estructura, ya que para el caso de la estructura de 8 átomos se tiene un confinamiento cuántico causado por una separación de poros de 5.76 y la estructura porosa de 32 átomos tiene una separación de 11.52 .

Ao

Ao

Para el caso de los nanoalambres, mostraremos las gráficas de dispersión de diferentes nanoalambres.

Fig. 3.35. Bandas de dispersión de un nanoalambre de 18 átomos.

En la figura 3.35 podemos observar la estructura de bandas correspondiente a un nanoalambre de 18 átomos, el punto de alta energía esta en 497.28 cm-1.

69

Fig. 3.36. Bandas de dispersión de un nanoalambre de 8 átomos.

Para el caso de un nanoalambre de 8 átomos, su punto de más alta energía se encuentra localizado en 474.46 cm-1.

70

Fig. 3.37. Bandas de dispersión de un nanoalambre de 4 átomos. Como podemos observar, en las figuras 3.35, 3.36 y 3.37 los puntos de más alta energía tuvieron un desplazamiento conforme aumento el confinamiento, es decir cuando la estructura fue más pequeña, la energía disminuyo, puesto que para el caso del nanoalambre de 18 átomos la mas alta energía esta en 497.28 cm-1, en el caso del nanoalambre de 8 átomos este punto se encuentra en 474.46 cm-1 y para el caso del nanoalambre de 4 átomos esta en 447.12 cm-1

Compararemos este comportamiento, con los resultados publicados por M. Cruz y C. Wang [35], en dicho articulo, se discute como se lleva acabo el corrimiento de energías tanto de poros como de alambres. Pues al aumentar la porosidad o el diametro para estructuras porosas y alambres respectivamente, cambian las energías. Esto se puede observar en la figura 3.38.

71

Fig. 3.38. Comparación del corrimiento del punto de más alta energía para (a) estructuras con distinta porosidad (b) nanoalambres

de diversos tamaños, obtenidos a partir de un modelo de superceldas.

Como podemos observar, el comportamiento en relación a los nanoalambres provistos en esta tesis es similar al reportado por M. Cruz y C. Wang [35], es decir existe un corrimiento de energías, lo que nos hace pensar que la energía que emiten nuestros nanoalambres depende en mucho del confinamiento que tengamos, y por el otro lado, en el caso de las estructuras porosas, observamos que la fotoluminiscencia depende en gran medida de la configuración morfológica de los poros.

72

Conclusiones En este trabajo se mostró que utilizando un modelo simple para describir las vibraciones de una red cristalina podemos obtener un resultado aproximado y confiable que al compararlo con datos experimentales se asemeja bastante, es importante recalcar que los cálculos realizados fueron hechos mediante el uso de un modelo de superceldas, mismo que tiene un defecto inherente en lo que respecta a la periodicidad de distribución de poros. Los resultados muestran, que la energía de los fonones, no depende únicamente de la porosidad si no también de la distribución de los poros dentro de la estructura, puesto que al utilizar el mismo porcentaje de porosidad en las dos estructuras (8 y 32 átomos) pudimos observar que la mas alta energía de las bandas de dispersión en el caso de la estructura porosa de 32 átomos es mayor respecto de la de 8, pues para la estructura de 8 átomos fue de 497.9 cm-1 y para la de 32 de 512.2 cm-1, este tipo de comportamiento se le atribuye al confinamiento quántico, es decir la estructura cambio de un confinamiento de 5.76 para el caso de la celda de 8 átomos a 11.52 para el caso de la celda de 32 átomos.

oA

oA

Por otro lado, al realizar la comparación de nuestros resultados con resultados experimentales, encontramos que el modelo que utilizamos, si bien, no reproduce exactamente el comportamiento fononico, si realiza una buena aproximación al experimento, esto nos hace pensar que el modelo es en cierta forma adecuado para realizar una interpretación sobre el comportamiento vibracional del Silicio Poroso. En el caso de los nanoalambres, pudimos constatar que la distancia de confinamiento cuántico influye de manera significativa en el comportamiento de la energía. Esto nos hace pensar que el confinamiento cuántico tiene mucho que ver en lo que respecta al efecto de luminiscencia. Por ultimo cave mencionar que existen varios factores que influyen para que los resultados obtenidos de los cálculos, no se reproduzcan con exactitud los resultados experimentales, pues influyen en forma diferente, las condiciones físicas de las muestras, los efectos de relajación estructural, factores ambientales y en el caso de los poros, la distribución de los mismos (por mencionar algunos). Trabajos a Futuro.

• Aplicación del modelo a otro tipo de porosidades y confinamientos. • Estudio de estas propiedades pero introduciendo saturadores como Hidrogeno

(H) u Oxigeno (O) en la superficie. • Cálculos aplicados a estructuras con porosidades aleatorias.

73

Apéndices

74

Apéndice A Zonas de Brillouin. A continuación mostraremos la construcción de diferentes redes en el espacio reciproco y los puntos de alta simetría de la primera zona de Brillouin. Para una red cúbica simple.

Fig. A1. Representación de una red cúbica simple.

Sus vectores primitivos están dados por.

1

2

3

ˆˆˆ

===

a axa aa az

y

Fig. A2. Vectores primitivos de una red cúbica simple. Calculamos primero sus vectores recíprocos.

2 31

1 2 3

2 a aba a a

π ×=

× •

1 3

21 2 3

2 a aba a a

π ×=

× •

75

1 23

1 2 3

2 a aba a a

π ×=

× •

Los resultados de las operaciones anteriores serán los siguientes.

1

2

3

2 ˆ

2 ˆ

2 ˆ

b xa

b ya

b za

π

π

π

=

=

=

Construimos la celda en el espacio reciproco,

Fig. A3. Construcción de la celda primitiva y zonas de Brillouin en el espacio reciproco de una red cúbica simple (a) Representación de los vectores primitivos en el espacio k. (b) Extensión de los vectores primitivos en las tres dimensiones, (c) Representación de la celda obtenida al segmentar a la mitad los vectores primitivos en el espacio reciproco (d) Representación de los puntos de alta simetría de una celda cúbica simple

76

Sus puntos de alta simetría están dados por.

( )

( )

( )

( )

0,0,0

1,0,0

1,1,0

1,1,1

aX aM aR a

π

π

π

π

Γ =

=

=

=

77

Para una red tetraédrica tenemos:

Fig. A4. Representación de una red tetraédrica.

Sus vectores primitivos son:

1

2

3

ˆ2ˆ2

ˆ

a aa aa az

===

xy

Fig. A5. Vectores primitivos de una red tetraédrica.

Calcularemos sus vectores recíprocos.

2 31

1 2 3

2 a aba a a

π ×=

× •

1 3

21 2 3

2 a aba a a

π ×=

× •

1 2

31 2 3

2 a aba a a

π ×=

× •

78

El resultado de las operaciones anteriores es el siguiente:

1

2

3

ˆ

ˆ

2 ˆ

b xa

b ya

b za

π

π

π

=

=

=

Construimos la celda en el espacio reciproco,

Fig. A6. Construcción de la celda primitiva y zonas de Brillouin en el espacio reciproco de una red tetraédrica de 32 átomos (a) Representación de los vectores primitivos en el espacio k. (b) Extensión de los vectores primitivos en las tres dimensiones, (c) Representación de la celda obtenida al segmentar a la mitad los vectores primitivos en el espacio reciproco (d) Representación de los puntos de alta simetría de dicha celda.

79

Sus puntos de alta simetría están dados por.

( )

( )

( )

( )

12

1 12 2

1 12 2

0,0,0

,0,0

, ,0

, ,1

aX aM aR a

π

π

π

π

Γ =

=

=

=

80

Para una red fcc tenemos.

Fig. A7. Representación de una red fcc.

Sus vectores primitivos están dados por.

( )

( )

( )

1

2

3

ˆ ˆ2

ˆ ˆ2

ˆ ˆ2

= +

= +

= +

aa y

aa x

aa x

z

z

y

Fig. A8. Vectores primitivos de una red fcc. Calculamos primero sus vectores recíprocos.

2 31

1 2 3

2 a aba a a

π ×=

× •

1 3

21 2 3

2 a aba a a

π ×=

× •

1 2

31 2 3

2 a aba a a

π ×=

× •

El resultado de las operaciones anteriores es el siguiente.

81

( )

( )

( )

1

2

3

2 ˆ ˆ ˆ

2 ˆ ˆ ˆ

2 ˆ ˆ ˆ

b x y za

b x ya

b x ya

π

π

π

= + −

= − +

= − + +

z

z

82

Construimos la celda en el espacio reciproco,

Fig. A9. Construcción de la celda primitiva y zonas de Brillouin en el espacio reciproco de una red fcc. (a) Representación de los vectores primitivos en el espacio k. (b) Extensión de los vectores primitivos en el espacio reciproco. (c) Representación de la celda obtenida al segmentar a la mitad los vectores primitivos en el espacio reciproco y localización de los puntos de alta simetría de dicha celda.

Sus puntos de alta simetría están dados por.

( )( )( )( )( )

1 12 2

3 32 2

0,0,0

L 1,1,1

X 2,0,0

U 2, ,

, ,0K

π

π

π

π

π

Γ =

=

=

=

=

83

Apéndice B Rotación de vectores, matrices de rotación Tenemos un vector P dentro de un sistema de coordenadas, en donde lo que queremos es expresar el vector P pero respecto de otro sistema de ejes, los cuales estarán rotados un ángulo θ respecto del sistema de ejes anterior

Fig. B1 Representación de la rotación de dos vectores de un sistema

de ejes a otro. Las componentes del vector P serán:

' cosx p ϕ= 'y psenϕ=

( )cosx p ϕ θ= + ( )y psen ϕ θ= +

Aplicando el teorema de la suma de ángulos para seno y coseno tendremos que:

cos cosx p psen senϕ θ ϕ= − θ

cos cosy psen p senϕ θ ϕ= − θ Pero también si ' cosx p ϕ= y 'y psenϕ= sustituyendo en la anterior tendremos:

'cos 'x x y senθ θ= −

' 'cy x sen y osθ θ= +

Despejando ', 'x y tenemos lo siguiente:

' cosx x ysenθ θ= +

' cy xsen y osθ θ= − +

84

Representando lo anterior en forma matricial tenemos:

' cos' cos

x sen xy sen y

θ θθ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Donde cos

cossen

senθ θθ θ

⎛⎜−⎝ ⎠

⎞⎟ es una matriz de rotación la cual denotaremos como R, así

mismoxy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

y ''

xy

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

son los vectores v y 'v por lo tanto la notación puede ser cambiada

por:

'v v= R

La relación inversa a esta está dada por:

1 'v v−= R

Se puede demostrar que 1 T− =R R para matrices de rotación [41].

'Tv v= R Para el caso de matrices, consideremos la siguiente ecuación matricial.

u v= A ......................................................... (B1) La matriz A puede interpretarse como una transformación lineal que a cada vector v de un sistema de coordenadas cartesianas lo transforma en un vector u el cual es expresado en el mismo sistema. Lo que ahora nos interesa, es conocer como debería expresarse la matriz A si los vectores

y estuvieran referidos a un sistema rotado de coordenadas, esto es: v u

' 'u 'v= A ...................................................... (B2) Por la transformación de rotación tenemos.

'v v= R 'u u= R ........................................................ (B3)

Sustituyendo en 2 tenemos que:

'u v=R A R ...................................................... (B4) Si a 1 multiplicamos por R tenemos.

u v=R RA ........................................................ (B5)

85

Comparando 4 y 5 tenemos que:

' =A R RA ....................................................... (B6) Si posmultiplicamos por 1−R tenemos: 1 1' − −=A RR RAR 1' −=A RAR Si sabemos que 1 T− =R R entonces la ecuación queda de la siguiente forma:

' T=A RAR Donde R es la matriz que determinará la rotación de A y 'A será la matriz o vector resultante de la rotación. Esta ecuación nos será de gran utilidad para realizar rotación de sistemas de ejes, si es que sabemos en que dirección se realizaran las rotaciones,

86

Apéndice C Calculo detallado de las matrices de interacción Retomando la notación que utilizamos en el capitulo tres vemos lo siguiente.

Fig. C1, Representación de los potenciales de una celda de silicio de 8 átomos.

Para realizar el cálculo primero debemos calcular los vectores unitarios del desplazamiento entre el átomo i y los j, k, l, m, los cuales serán dados por:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 1 1, ,14 4 4 4 4ˆ 1,1,1 1,1,1 1,1,1

1 1 1 3 3 316 16 16 16 41 1 1 1 1, ,

14 4 4 4 4ˆ 1, 1, 1 1, 1, 1 1, 1, 11 1 1 3 3 3

16 16 16 16 41 1 1 1 1, ,4 4 4 4ˆ 1, 1,1

1 1 1 316 16 16 16

ijij

ij

ikik

ik

ilil

il

rr

r

rrr

rrr

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = =+ +

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠= = = − − = − − = − −

+ +

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠= = = − − =

+ +( ) ( )

( ) ( ) ( )

14 1, 1,1 1, 1,13 3

41 1 1 1 1, ,

14 4 4 4 4ˆ 1,1, 1 1,1, 1 1,1, 11 1 1 3 3 3

16 16 16 16 4

imim

im

rrr

− − = − −

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠= = = − − = − − = − −

+ +

87

Para el caso de la interacción de los átomos i, j es decir la matriz 1φ tenemos que:

Fig. C2. Representación de la interacción entre el átomo i y el átomo j.

Sabemos que el vector unitario esta dado por: ijr

( )1ˆ 1,1,13ijr =

Sustituyendo lo anterior en el modelo de Born para obtener las constantes de fuerza del potencial de interacción tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1 1, , 1,1,2 312

ij x x y y z z

x x y y z z

U u i u j u i u j u i u j

u i u j u i u j u i u j

α β

β

⎧ ⎫⎡ ⎤= − − − − •⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

1 +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }22 2

1 1 0 1 0 1 0 12 31 0 1 0 1 0 12

ij x x y y z z

x x y y z z

U u u u u u u

u u u u u u

α β

β

⎡ ⎤= − − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+⎤⎦

88

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1612

ij x x y y z z

x x y y z z

U u i u j u i u j u i u j

u i u j u i u j u i u j

α β

β

⎡ ⎤= − − + − + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎤⎦

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

ijxx x x y y z z

x x x

x xx

xx

Ui j u i u j u i u j u i u j

u i u j u i

u i u ju i

i j

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

∂ − ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ijxy x x y y z z

x y x

y yx

xy

Ui j u i u j u i u j u i u j

u i u j u i

u i u ju i

i j

α βφ

β

α β

α βφ

∂ − ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

−= −

−= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ijxz x x y y z z

x z x

z zx

xz

Ui j u i u j u i u j u i u j

u i u j u i

u i u ju i

i j

α βφ

β

α β

α βφ

∂ − ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−= −

−= −

89

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ijyx x x y y z z

y x y

x xy

yx

Ui j u i u j u i u j u i u j

u i u j u i

u i u ju i

i j

α βφ

β

α β

α βφ

∂ − ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−= −

−= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

ijyy x x y y z z

y y y

y yy

yy

Ui j u i u j u i u j u i u j

u i u j u i

u i u ju i

i j

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

∂ − ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ijyz x x y y z z

y z y

z zy

yz

Ui j u i u j u i u j u i u j

u i u j u i

u i u ju i

i j

α βφ

β

α β

α βφ

∂ − ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−= −

−= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ijzx x x y y z z

z x z

x xz

zx

Ui j u i u j u i u j u i u j

u i u j u i

u i u ju i

i j

α βφ

β

α β

α βφ

∂ − ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−= −

−= −

90

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ijzy x x y y z z

z y z

y yz

zy

Ui j u i u j u i u j u i u j

u i u j u i

u i u ju i

i j

α βφ

β

α β

α βφ

∂ − ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

−= −

−= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

ijzz x x y y z z

z z z

z zz

zz

Ui j u i u j u i u j u i u j

u i u j u i

u i u ju i

i j

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

∂ − ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

Por lo tanto la matriz de interacción nos queda de la siguiente forma.

23 3 3

23 3 3

23 3 3

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

+ − −⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟

− + −⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎝ ⎠

1φ

91

Para el caso de la interacción de los átomos i, l es decir la matriz 2φ tenemos que:

Fig. C3. Representación de la interacción entre el átomo i y el átomo l

Sabemos que el vector unitario esta dado por: ilr

( )1ˆ 1, 1,13ilr = − −

Sustituyendo lo anterior en el modelo de Born para obtener las constantes de fuerza del potencial de interacción tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1 1, , 1, 1,2 312

il x x y y z z

x x y y z z

U u i u l u i u l u i u l

u i u l u i u l u i u l

α β

β

⎧ ⎫⎡ ⎤= − − − − ⋅ − −⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

1 +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }22 2

1 1 0 1 0 1 0 12 31 0 1 0 1 0 12

il x x y y z z

x x y y z z

U u u u u u u

u u u u u u

α β

β

⎡ ⎤= − − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+⎤⎦

92

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1612

il x x y y z z

x x y y z z

U u i u l u i u l u i u l

u i u l u i u l u i u l

α β

β

⎡ ⎤= − − + − + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

+

⎤⎦

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

ilxx x x y y z z

x x x

x xx

xx

Ui l u i u l u i u l u i u lu i u l u i

u i u lu i

i l

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + − + + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ilxy x x y y z z

x y x

y yx

xy

Ui l u i u l u i u l u i u lu i u l u i

u i u lu i

i l

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + − + + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

−= −

−= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ilxz x x y y z z

x z x

z zx

xz

Ui l u i u l u i u l u i u lu i u l u i

u i u lu i

i l

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + − + + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−=

−=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ilyx x x y y z z

y x y

x xy

yx

Ui l u i u l u i u l u i u lu i u l u i

u i u lu i

i l

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + − + + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−= −

−= −

93

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

ilyy x x y y z z

y y y

y yy

yy

Ui l u i u l u i u l u i u lu i u l u i

u i u lu i

i l

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + − + + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ilyz x x y y z z

y z y

z zy

yz

Ui l u i u l u i u l u i u lu i u l u i

u i u lu i

i l

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−=

−=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ilzx x x y y z z

z x z

x xz

zx

Ui j u i u l u i u l u i u lu i u l u i

u i u lu i

i l

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + − + + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−=

−=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ilzy x x y y z z

z y z

y yz

zy

Ui l u i u l u i u l u i u lu i u l u i

u i u lu i

i l

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + − + + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

−=

−=

94

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

ilzz x x y y z z

z z z

z zz

zz

Ui l u i u l u i u l u i u lu i u l u i

u i u lu i

i l

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + + − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

La matriz de interacción queda de la siguiente forma.

23 3 3

23 3 3

23 3 3

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

+ − −⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

− + −⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

2φ

95

Para el caso de la interacción de los átomos i, m es decir la matriz 3φ tenemos que:

Fig. C4. Representación de la interacción entre el átomo i y el átomo m.

Sabemos que el vector unitario esta dado por: imr

( )1ˆ 1,1, 13imr = − −

Sustituyendo lo anterior en el modelo de Born para obtener las constantes de fuerza del potencial de interacción tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1 1, , 1,1, 12 312

im x x y y z z

x x y y z z

U u i u m u i u m u i u m

u i u m u i u m u i u m

α β

β

⎧ ⎫⎡ ⎤= − − − − ⋅ − −⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }22 2

1 1 0 1 0 1 0 12 31 0 1 0 1 0 12

im x x y y z z

x x y y z z

U u u u u u u

u u u u u u

α β

β

⎡ ⎤= − − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+⎤⎦

96

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1612

im x x y y z z

x x y y z z

U u i u m u i u m u i u m

u i u m u i u m u i u m

α β

β

⎡ ⎤= − − + + − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

+

⎤⎦

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

imxx x x y y z z

x x x

x xx

xx

Ui m u i u m u i u m u i u mu i u m u i

u i u mu i

i m

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + + − − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

imxy x x y y z z

x y x

y yx

xy

Ui m u i u m u i u m u i u mu i u m u i

u i u mu i

i m

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + + − − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

−=

−=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

imxz x x y y z z

x z x

z zx

xz

Ui m u i u m u i u m u i u mu i u m u i

u i u mu i

i m

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + + − − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−= −

−= −

97

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

imyx x x y y z z

y x y

x xy

yx

Ui m u i u m u i u m u i u mu i u m u i

u i u mu i

i m

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + + − − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−=

−=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

imyy x x y y z z

y y y

y yy

yy

Ui m u i u m u i u m u i u mu i u m u i

u i u mu i

i m

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + + − − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

imyz x x y y z z

y z y

z zy

yz

Ui m u i u m u i u m u i u mu i u m u i

u i u mu i

i m

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + + − − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−=

−=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

imzx x x y y z z

z x z

x xz

zx

Ui m u i u m u i u m u i u mu i u m u i

u i u mu i

i m

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + + − − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−= −

−= −

98

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

imzy x x y y z z

z y z

y yz

zy

Ui m u i u m u i u m u i u mu i u m u i

u i u mu i

i m

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + + − − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

−=

−=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

imzz x x y y z z

z z z

z zz

zz

Ui m u i u m u i u m u i u mu i u m u i

u i u mu i

i m

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − + + − − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

La matriz de interacción queda de la siguiente forma.

23 3 3

23 3 3

23 3 3

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

+ − −⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

− + −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

3φ

99

Para el caso de la interacción de los átomos i, k es decir la matriz 4φ tenemos que:

Fig. C5. Representación de la interacción entre el átomo i y el átomo k

Sabemos que el vector unitario esta dado por: ikr

( )1ˆ 1, 1, 13ikr = − −

Sustituyendo lo anterior en el modelo de Born para obtener las constantes de fuerza del potencial de interacción tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1 1, , 1, 1, 12 312

ik x x y y z z

x x y y z z

U u i u k u i u k u i u k

u i u k u i u k u i u k

α β

β

⎧ ⎫⎡ ⎤= − − − − ⋅ − −⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }22 2

1 1 0 1 0 1 0 12 31 0 1 0 1 0 12

ij x x y y z z

x x y y z z

U u u u u u u

u u u u u u

α β

β

⎡ ⎤= − − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

+⎤⎦

100

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

2

22 2

1612

ik x x y y z z

x x y y z z

U u i u k u i u k u i u k

u i u k u i u k u i u k

α β

β

⎡ ⎤= − − − + − + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎤⎦

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

ikxx x x y y z z

x x x

x xx

xx

Ui k u i u k u i u k u i u ku i u k u i

u i u ku i

i k

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − − + − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ikxy x x y y z z

x y x

y yx

xy

Ui k u i u k u i u k u i u ku i u k u i

u i u ku i

i k

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

−=

−=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ikxz x x y y z z

x z x

z zx

xz

Ui k u i u k u i u k u i u ku i u k u i

u i u ku i

i k

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−=

−=

101

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ikyx x x y y z z

y x y

x xy

yx

Ui k u i u k u i u k u i u ku i u k u i

u i u ku i

i k

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − − + − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−=

−=

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

ikyy x x y y z z

y y y

y yy

yy

Ui k u i u k u i u k u i u ku i u k u i

u i u ku i

i k

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ikyz x x y y z z

y z y

z zy

yz

Ui k u i u k u i u k u i u ku i u k u i

u i u ku i

i k

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−= −

−= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ikzx x x y y z z

z x z

x xz

zx

Ui k u i u k u i u k u i u ku i u k u i

u i u ku i

i k

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − − + − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

−=

−=

102

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

,3

3

,3

ikzy x x y y z z

z y z

y yz

zy

Ui k u i u k u i u k u i u ku i u k u i

u i u ku i

i k

α βφ

β

α β

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦∂

−= −

−= −

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

,3

23 3

2,

3

ikzz x x y y z z

z z z

z zz

zz

Ui k u i u k u i u k u i u ku i u k u i

u i u ku i

i k

α βφ

β

α β α ββ

α βφ

−∂ ∂ ⎡ ⎤= = − − + − + −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦∂

− += − − = −

+= −

La matriz de interacción queda de la siguiente forma.

23 3 3

23 3 3

23 3 3

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α

+ − −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

− + −⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − +⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠

4φ

β

Si realizamos la suma de las cuatro matrices tendremos lo siguiente:

: + + +1 2 3TOTAL 4φ φ φ φ φ

103

Las operaciones quedan de la siguiente manera:

8 43 3

8 43 3

8 43 3

0 0: 0 0

0 0

β α

β α

β α

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

TOTALφ

( )1 0 0

4 2 0 1 03

0 0 1α β

⎛ ⎞⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

TOTALφ

( )4 23α β= + ΙTOTALφ

104

Para el caso en el que utilizamos matrices de rotación, seguimos los pasos dados en el capitulo 3, como a continuación se muestra. Realizaremos las rotaciones de la siguiente forma, para la primera, tenemos que utilizar la siguiente formula. CX+ = RY+DRY+

T

Donde RY+ es la rotación en sentido positivo del enlace que se encuentra en la proyección del eje Y+ y D es la matriz dinámica previamente calculada. Por tanto la matriz queda de la siguiente forma:

cos 0 0 0 cos 00 1 0 0 0 0 1 0

0 cos 0 0 0 cosX

sen sen

sen sen

α α β α αβ

α α α α+

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Cα

−

El resultado de esta operación esta dado por:

( )

( )

2 22 2 2

2 22 2 2 2

cos 0 cos0 0

cos 0 cosX

sen sen

sen sen

2θ θ θ θ

θ θ θ

β α β αβ

β α β α+

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

Cθ

Para el siguiente caso en que la rotación esta dada por:

CX- = RY- DRY- T

Donde RY- es la rotación en sentido positivo del enlace que se encuentra en la proyección del eje Y- y D es la matriz dinámica previamente calculada Por tanto la matriz queda de la siguiente forma:

cos 0 0 0 cos 00 1 0 0 0 0 1 0

0 cos 0 0 0 cosX

sen sen

sen sen

α α β α αβ

α α α α−

− − − −⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Cα−

105

El resultado de esta operación esta dado por:

( )

( )

2 22 2 2

2 22 2 2 2

cos 0 cos0 0

cos 0 cosX

sen sen

sen sen

2θ θ θ

θ θ θ θ

β α β αβ

β α β α−

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟− + +⎝ ⎠

C

θ

Para el siguiente caso en que la rotación esta dada por:

CY+ = RX+DRX+T

Donde RX+ es la rotación en sentido positivo del enlace que se encuentra en la proyección del eje X+ y D es la matriz dinámica previamente calculada Por tanto la matriz queda de la siguiente forma:

2 2 2

2 2 2 2

1 0 0 0 0 1 0 00 cos 0 0 0 cos0 cos 0 0 0 cos

Y sen sensen sen

θ θ θ

θ θ θ θ

ββ

α+

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

C 2θ−

El resultado de esta operación esta dado por:

( )( )

2 22 2 2

2 22 2 2 2

0 00 cos cos0 cos

Y sen sensen sen

2

cos

θ θ θ

θ θ θ θ

ββ α β αβ α β α

+

⎛ ⎞⎜ ⎟= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟− + +⎝ ⎠

C θ

Para el siguiente caso en que la rotación esta dada por:

CY- = RX-DRX-T

Donde Rx- es la rotación en sentido positivo del enlace que se encuentra en la proyección del eje X- y D es la matriz dinámica previamente calculada

106

Por tanto la matriz queda de la siguiente forma:

2 2 2

2 2 2

1 0 0 0 0 1 0 00 cos 0 0 0 cos0 cos 0 0 0 cos

Y sen sensen sen

2

2

θ θ θ θ

θ θ θ

ββ

α−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Cθ

El resultado de esta operación esta dado por:

( )( )

2 22 2 2

2 22 2 2 2

0 00 cos cos0 cos

Y sen sensen sen

2

cos

θ θ θ θ

θ θ θ

ββ α β αβ α β α

−

⎛ ⎞⎜ ⎟= + −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

Cθ

Ahora la segunda rotación se realizara, con el fin de que los ejes de referencia coincidan, y esta dada por las ecuaciones:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

4 4

4 4

4 4

4 4

π π

π π

π π

π π

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

1 2

2 1

3 1

4 2

TY

TY

TX

TX

Rz C Rz

Rz C Rz

Rz C Rz

Rz C Rz

φ

φ

φ

φ

Donde ( )4

πRz es la matriz de rotación para hacer coincidir los ejes de referencia, esta es dada por:

( )4

1 1 02 2

1 1 02 2

0 0

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Rz

1

107

Entonces tendremos lo siguiente para las cuatro rotaciones que necesitamos, correspondientes a los cuatro enlaces de nuestro átomo: Para la matriz 1φ tendremos:

( )( )

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

1 1 1 10 02 2 2 20 0

1 1 1 10 0 cos cos 02 2 2 2

0 cos cos0 0 1 0 0

sen sensen sen

θ θ θ θ

θ θ θ θ

ββ α β αβ α β α

⎛ ⎞ ⎛ −⎜ ⎟ ⎜⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟= − + − +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− + +⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

1φ

1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

El resultado de esas operaciones es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 21 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 21 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2 21 12 2 2 2 2 22 2

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

sen sen sen

sen sen sen

sen sen sen

β βθ θ θ θ

β β

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

β α β α β α

β α β α β α

β α β α β α

⎛ ⎞+ + − + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟= − + + + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + +⎝ ⎠

1φ θ θ

Para la matriz 2φ tenemos:

( )( )

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

1 1 1 10 02 2 2 20 0

1 1 1 10 0 cos cos 02 2 2 2

0 cos cos0 0 1 0 0

sen sensen sen

θ θ θ θ

θ θ θ θ

ββ α β αβ α β α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2φ

1

El resultado de esas operaciones es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 21 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 21 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2 21 12 2 2 2 2 22 2

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

sen sen sen

sen sen sen

sen sen sen

β βθ θ θ θ θ

β βθ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

β α β α β α

β α β α β α

β α β α β α

⎛ ⎞+ + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟= − + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2φ

θ

θ

+

Para la matriz 3φ tenemos:

( )

( )

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

1 1 1 10 02 2 2 2cos 0 cos

1 1 1 10 0 02 2 2 2

cos 0 cos0 0 1 0 0

sen sen

sen sen

θ θ θ θ

θ θ θ θ

β α β αβ

β α β α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞+ − +

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + +⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3φ 0

1

108

El resultado de esas operaciones es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 21 1 12 2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 21 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 22

2 21 12 2 2 2 2 22 2

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

sen sen sen

sen sen sen

sen sen sen

β βθ θ θ θ θ

β β

2θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

β α β α β α

β α β α β α

β α β α β α

⎛ ⎞+ + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟= − + + + − − +⎜ ⎟⎜ ⎟− + − − + +⎝ ⎠

3φ θ θ

Para la matriz 4φ tenemos:

( )

( )

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

1 1 1 10 02 2 2 2cos 0 cos

1 1 1 10 0 02 2 2 2

cos 0 cos0 0 1 0 0

sen sen

sen sen

θ θ θ θ

θ θ θ θ

β α β αβ

β α β α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞+ −

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4φ 0

1

El resultado de esas operaciones es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 21 1 12 2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 21 1 12 2 2 2 2 2 2 2 22

2 21 12 2 2 2 2 22 2

cos cos cos

cos cos cos

cos cos cos

sen sen sen

sen sen sen

sen sen sen

β βθ θ θ θ θ

β β

2

2

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

β α β α β α

β α β α β α

β α β α β α

⎛ ⎞+ + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟= − + + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠

4φ θ θ

4

Si sumamos las matrices obtenemos que.

: + + +1 2 3TOTALφ φ φ φ φ

( )( )

2 22 2

2 22 2

2 2

2 2 cos 0 0

0 2 2 cos 0

0 0 4 cos 2

sen

sen

sen

θ θ

θ θ

4 2θ θ

β β

β β

α β

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

TOTALφ

109

Simplificando tenemos:

( )( )

23 3

23 3

843 3

2 2 0 00 2 2 00 0

β α

β α

βα

ββ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

TOTALφ

2 4

3 32 4

3 384

3 3

2 00 2 00 0

β α

β α

βα

ββ

+ +⎛ ⎞⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

TOTALφ0

8 4

3 38 4

3 38 4

3 3

0 00 00 0

β α

β α

β α

+⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

TOTALφ

( )1 0 0

4 2 0 1 03

0 0 1α β

⎛ ⎞⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

TOTALφ

( )4 23α β= + ΙTOTALφ

110

Apéndice D Desarrollo del hamiltoniano para una celda con una base de dos sitios El hamiltoniano para 2 sitios esta dado por:

1,1 1,2

2,1 2,2

H HH H⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

H

( )4

1,1 1,2 3 2H H Iα β= = + La matriz para dos sitios tiene a su vez en cada elemento de la matriz tres grados de libertad, entonces el hamiltoniano quedaría de la siguiente forma:

1,1H 1,2H 1X 1Y 1Z 2X 2Y 2Z

1X ( )43 2α β+ 0 0 1,4H− 1,5H− 1,6H−

1Y 0 ( )43 2α β+ 0 2,4H− 2,5H− 2,6H−

1Z 0 0 ( )43 2α β+ 3,4H− 3,5H− 3,6H−

2X 4,1H− 4,2H− 4,3H− ( )43 2α β+ 0 0

2Y 5,1H− 5,2H− 5,3H− 0 ( )43 2α β+ 0

2Z 6,1H− 6,2H− 6,3H− 0 0 ( )43 2α β+

2,1H 2,2H Los elementos 1,2 2,1,H H− − , están dados por:

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 411,2 1 2 3 4

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q q

mH e e e eφ φ φ φ+ + − + − − − + − −− = + + + 4a

y

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 412,1 1 2 3 4

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q q

mH e e e eφ φ φ φ− + + + − − + − − −− = + + + 4a

111

Desarrollando lo anterior tendremos que:

( ) ( )4 4

2 23 3 3 3 3 3

2 211,2 3 3 3 3 3 3

2 23 3 3 3 3 3

23 3 3

23 3 3

3 3

a ax y z x y zi q q q i q q q

mH e

α β α β α β α β α β β α

α β α β α β α β α β β α

α β α β α β β α β α α β

α β β α β α

β α α β α β

β α α β

+ − − + − −

+ + − + −− + − − + −

− − + − − +

+ − −

− + −

− −

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− = − − − + − − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

− − −+ − − −

− − −

e +

( ) ( )4 4

23 3 3

23 3 3

2 23 3 3 3

a ax y z x y zi q q q i q q qe e

α β β α α β

β α α β β α

α β α β β α α β

+ − −

− − + − −− + −

+ − − +

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ − − − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

( ) ( )4 4

2 23 3 3 3 3 3

2 212,1 3 3 3 3 3 3

2 23 3 3 3 3 3

23 3 3

23 3 3

3 3

a ax y z x y zi q q q i q q q

mH e

α β α β α β α β α β β α

α β α β α β α β α β β α

α β α β α β β α β α α β

α β β α β α

β α α β α β

β α α β

+ − − + − −

− + + + −− + − − + −

− − + − − +

+ − −

− + −

− −

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− = − − − + − − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

− − −+ − − −

− − −

e +

( ) ( )4 4

23 3 3

23 3 3

2 23 3 3 3

a ax y z x y zi q q q i q q qe e

α β β α α β

β α α β β α

α β α β β α α β

+ − −

− + − − −− + −

+ − − +

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ − − − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

Ahora calculamos cada elemento que se muestra en la matriz 1,2H− .

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

4 4 4 4

4 4 44 4

21,4 3

23

a a a ax y z x y z x y z x y z

a a aa ax y x y x y x yz z

i q q q i q q q i q q q i q q q

i q q i q q i q q i q qiq iq

H e e e e

e e e e e e

α β

α β

+ + − + − − − + − −+

+ − + − − −−+

= − + + +

⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦4a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) }

21,4 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

cos 2 cos cos

cos 2 cos cos

α β+ ⎡ ⎤= − + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

a a a a a az z x y x y

a a a a a az z x y x y

H q isen q q q sen q sen q

q isen q q q sen q sen q

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

21,4 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

2cos cos cos 2 cos

2 cos cos 2

2cos cos cos 2 cos

2 cos cos 2

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

H q q q sen q sen q q

i q q sen q isen q sen q sen q

q q q sen q sen q q

i q q sen q isen q sen q sen q

α β+= − − +

+ −

+ +

− −

4a

a

+

−

( ))4

112

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ))21,4 3 4 4 4 4 44cos cos cos 4α β+= − −a a a a a

x y z x y zH q q q isen q sen q sen q 4a

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )4 4 4 4

4 4 44 4

1,5 3

3

a a a ax y z x y z x y z x y z

a a aa ax y x y x y x yz z

i q q q i q q q i q q q i q q q

i q q i q q i q q i q qiq iq

H e e e e

e e e e e e

α β

α β

+ + − + − − − + − −−

+ − + − − −−−

= − + + +

⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦4a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) }

1,5 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

cos 2 cos cos

cos 2 cos cos

a a a a a az z x y x y

a a a a a az z x y x y

H q isen q q q sen q sen q

q isen q q q sen q sen q

α β− ⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦

⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

1,5 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

2cos cos cos 2 cos

2 cos cos 2

2cos cos cos 2 cos

2 cos cos 2

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

H q q q sen q sen q q

i q q sen q isen q sen q sen q

q q q sen q sen q q

i q q sen q isen q sen q sen q

α β−= − − +

+ −

− −

+ +

4

4

a

a

−

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))(1,5 3 4 4 4 4 44 cos 4 cos cosα β−= − − +a a a a ax y z x y zH sen q sen q q i q q sen q 4

a

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )4 4 4 4

4 4 44 4

1,6 3

3

a a a ax y z x y z x y z x y z

a a aa ax y x y x y x yz z

i q q q i q q q i q q q i q q q

i q q i q q i q q i q qiq iq

H e e e e

e e e e e e

α β

α β

+ + − + − − − + − −−

+ − + − − −−−

= − − − +

⎡ ⎤= − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦4a

( ) ( ){( ) ( ) }

1,6 3 4 4 4

4 4

cos 2 ( )

cos 2 ( )

a a az z x y

a az z x y

H q isen q isen q q

q isen q isen q q

α β−

4a

⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤− − −⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) }

1,6 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

cos 2 cos cos

cos 2 cos cos

a a a a a az z x y x y

a a a a a az z x y x y

H q isen q i sen q q q sen q

q isen q i sen q q q sen q

α β− ⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤− − −⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

1,6 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

2 cos cos 2 cos cos

2 cos 2cos

2 cos cos 2 cos cos

2 cos 2cos

a a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

H isen q q q i q sen q q

sen q q sen q q sen q sen q

isen q q q i q sen q q

sen q q sen q q sen q sen q

α β−= − + −

− −

+ −

+ −

4a

+

+

113

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))(1,6 3 4 4 4 4 44cos 4 cos cosα β−= − − +a a a a ax y z x y zH q sen q sen q isen q q q 4

a

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 42,4 3

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q qH e e e eα β + + − + − − − + − −−= − + − − 4

a

Pero podemos ver que:

2,4 1,5H H=

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 422,5 3

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q qH e e e eα β + + − + − − − + − −+= − + + + 4

a

Pero podemos ver que:

2,5 1,4H H=

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

4 4 4

4 4 44 4

2,6 3

3

a a ax y z x y z x y z x y z

a a aa ax y x y x y x yz z

i q q q i q q q i q q q i q q q

i q q i q q i q q i q qiq iq

H e e e e

e e e e e e

α β

α β

+ + − + − − − + − −−

+ − + − − −−−

= − − + −

⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

4

4

a

a

( ) ( ){( ) ( ) }

2,6 3 4 4 4

4 4

cos 2 ( )

cos 2 ( )

a az z x y

a az z x y

H q isen q isen q q

q isen q isen q q

α β−

4

a

a

⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤− + −⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) }

2,6 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

cos 2 cos cos

cos 2 cos cos

a a a a a az z x y x y

a a a a a az z x y x y

H q isen q i sen q q q sen q

q isen q i sen q q q sen q

α β− ⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤− + −⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

2,6 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

2 cos cos 2 cos cos

2 cos 2cos

2 cos cos 2 cos cos

2 cos 2cos

a a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

H isen q q q i q sen q q

sen q q sen q q sen q sen q

isen q q q i q sen q q

sen q q sen q q sen q sen q

α β−= − + −

− −

− +

− +

4a

−

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))(2,6 3 4 4 4 4 44 cos 4 cos cosα β−= − − +a a a a ax y z x y zH sen q q sen q i q sen q 4

aq

114

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 43,4 3

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q qH e e e eα β + + − + − − − + − −−= − − − + 4

a

Sin embargo podemos ver que:

3,4 1,6H H=

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 43,5 3

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q qH e e e eα β + + − + − − − + − −−= − − + − 4

a

También en este caso observamos que:

3,5 2,6H H=

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 423,6 3

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q qH e e e eα β + + − + − − − + − −+= − + + + 4

a

Para este elemento tenemos que:

3,6 1,4H H=

115

Para determinar la matriz correspondiente a 2,1H− los cálculos son similares a diferencia de que las fases serán distintas:

( ) ( )4 4

2 23 3 3 3 3 3

2 212,1 3 3 3 3 3 3

2 23 3 3 3 3 3

23 3 3

23 3 3

3 3

a ax y z x y zi q q q i q q q

mH e

α β α β α β α β α β β α

α β α β α β α β α β β α

α β α β α β β α β α α β

α β β α β α

β α α β α β

β α α β

+ − − + − −

− + + + −− + − − + −

− − + − − +

+ − −

− + −

− −

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− = − − − + − − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

− − −+ − − −

− − −

e +

( ) ( )4 4

23 3 3

23 3 3

2 23 3 3 3

a ax y z x y zi q q q i q q qe e

α β β α α β

β α α β β α

α β α β β α α β

+ − −

− + − − −− + −

+ − − +

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+ − − − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

Ahora calculamos cada elemento que se muestra en la matriz 2,1H−

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

4 4 4 4

4 4 44 4

24,1 3

23

a a a ax y z x y z x y z x y z

a a aa ax y x y x y x yz z

i q q q i q q q i q q q i q q q

i q q i q q i q q i q qiq iq

H e e e e

e e e e e e

α β

α β

− + + + − − + − − −+

− + − + − −−+

= − + + +

⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦4a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) }

24,1 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

cos 2 cos cos

cos 2 cos cos

a a a a a az z x y x y

a a a a a az z x y x y

H q isen q q q sen q sen q

q isen q q q sen q sen q

α β+ ⎡ ⎤= − − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

24,1 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

2cos cos cos 2 cos

2 cos cos 2

2cos cos cos 2 cos

2 cos cos 2

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

H q q q sen q senq q

i q q sen q isen q sen q sen q

q q q sen q sen q q

i q q sen q isen q sen q sen q

α β+= − − −

− +

+ +

+ +

4a +

+

( ))4

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ))2

4,1 3 4 4 4 4 44cos cos cos 4α β+= − +a a a a ax y z x y zH q q q isen q sen q se 4

an q

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )4 4 4 4

4 4 44 4

4,2 3

3

a a a ax y z x y z x y z x y z

a a aa ax y x y x y x yz z

i q q q i q q q i q q q i q q q

i q q i q q i q q i q qiq iq

H e e e e

e e e e e e

α β

α β

− + + + − − + − − −−

− + + − − −−−

= − + − −

⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦4a

116

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) }

4,2 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

cos 2 cos cos

cos 2 cos cos

a a a a a az z x y x y

a a a a a az z x y x y

H q isen q q q sen q sen q

q isen q q q sen q sen q

α β− ⎡ ⎤= − − − −⎣ ⎦

⎡ ⎤− − +⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))

4,2 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

2cos cos cos 2 cos

2 cos cos 2

2cos cos cos 2 cos

2 cos cos 2

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

H q q q sen q sen q q

i q q sen q isen q sen q sen q

q q q sen q sen q q

i q q sen q isen q sen q sen q

α β−= − − −

− +

− −

− −

4

4

a

a

−

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))(4,2 3 4 4 4 4 44 cos 4 cos cosα β−= − − −a a a a ax y z x y zH sen q sen q q i q q sen q 4

a

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )4 4 4 4

4 4 44 4

4,3 3

3

a a a ax y z x y z x y z x y z

a a aa ax y x y x y x yz z

i q q q i q q q i q q q i q q q

i q q i q q i q q i q qiq iq

H e e e e

e e e e e e

α β

α β

− + + + − − + − − −−

− + + − − −−−

= − − − +

⎡ ⎤= − − + −⎢ ⎥⎣ ⎦4a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) }

4,3 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

cos 2 cos cos

cos 2 cos cos

a a a a a az z x y x y

a a a a a az z x y x y

H q isen q i sen q q q sen q

q isen q i sen q q q sen q

α β− ⎡ ⎤= − − + + −⎣ ⎦

⎡ ⎤− − −⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4,3 3 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

2 cos cos 2 cos cos

2 cos 2cos

2 cos cos 2 cos cos

2 cos 2cos

a a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

H isen q q q i q sen q q

sen q q sen q q sen q sen q

isen q q q i q sen q q

sen q q sen q q sen q sen q

α β−= − − − −

− −

− +

+ −

4

4a

−

+

( ))4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))(4,3 3 4 4 4 4 44cos 4 cos cosα β−= − − −a a a a ax y z x y zH q sen q sen q isen q q q 4

a

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 45,1 3

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q qH e e e eα β − + + + − − + − − −−= − + − − 4

a

Pero podemos ver que:

5,1 4,2H H=

117

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 42

5,2 3

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q qH e e e eα β − + + + − − + − − −+= − + + + 4

a

Tenemos que:

5,2 4,1H H=

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

4 4 4 4

4 4 44 4

5,3 3

3

a a a ax y z x y z x y z x y z

a a aa ax y x y x y x yz z

i q q q i q q q i q q q i q q q

i q q i q q i q q i q qiq iq

H e e e e

e e e e e e

α β

α β

− + + + − − + − − −−

− + + − − −− −−

= − − + −

⎡ ⎤= − − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦4a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) }

5,3 3 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

cos 2 cos cos

cos 2 cos cos

a a a a a az z x y x y

a a a a a az z x y x y

H q isen q i sen q q q sen q

q isen q i sen q q q sen q

α β− ⎡ ⎤= − − + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5,3 3 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

2 cos cos 2 cos cos

2 cos 2cos

2 cos cos 2 cos cos

2 cos 2cos

a a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

a a a a ax y z x y z

a a a a a ax y z x y z

H isen q q q i q sen q q

sen q q sen q q sen q sen q

isen q q q i q sen q q

sen q q sen q q sen q sen q

α β−= − − − −

− −

+ −

− +

4

4a

+

−

( ))4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))(5,3 3 4 4 4 4 44 cos 4 cos cosα β−= − − −a a a a ax y z x y zH sen q q sen q i q sen q q 4

a

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 4

6,1 3

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q qH e e e eα β − + + + − − + − − −−= − − − + 4

a

También observamos que:

6,1 4,3H H=

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 46,2 3

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q qH e e e eα β − + + + − − + − − −−= − − + − 4

a

Para este caso tenemos que:

6,2 5,3H H=

118

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4 42

6,3 3

a a ax y z x y z x y z x y zi q q q i q q q i q q q i q q qH e e e eα β − + + + − − + − − −+= − + + + 4

a

También vemos que:

6,3 4,1H H=

119

Bibliografía

1. W. TheiB, Surface Science Reports, 29, 91-192, (1997)

2. O. Bisi, Stefano Ossicini, L. Pavesi, Surface Science Reports, 38, 1-126, (2000)

3. L.T. Canham, Appl. Phys. Lett. 57, 1046 (1990)

4. K.D. Hirschman, L. Tsybeskov, S.P. Duttagupta and F.M. Fauchet, Nature, 384

338, (1996)

5. P.C. Searson, J.M. Maculay and F.M. Ross, J. Appl. Phys. 72, 253,(1992)

6. G. Smetad, M. Kunst and C. Vial Solar Energy Mater. Sol. Cells 26, 253, (1992).

7. Y. Wada,. M. Tsukada, M. Fujihira. K. Matsushige, T. Ogawa, M. Haga. S. Tanaka, Jpn J. Appl. Phys,. 39, 200 3835.

8. N. Savage, IEEE Spectrum 39 (8), 32,(2002).

9. M. Born and K. Huang, Dynamical Theory of Cristal Lattices, Oxford

University Press, (1954)

10. J. M. Vivar, ContactoS, 33, 5-10, (1999).

11. N. Nilius, M. T. Walls, W. Ho, Science, 297, 1853-1856, (2002)

12. Yu-Hung Cheng and Syh-Yuh Cheng, Nanotechnology, 15, 171-175, (2004)

13. Xlangfeng Duan, Yu Huang, Yi Cui, Jianfang Wang & Charles M. Lieber, Nature, 409, 66-69, (2001)

14. D. M. Gillinghan, I Linington and J. A. C. Bland, J. Phys: Condens Matter,14,

L567-L570, (2002)

15. A. Uhlir, Bell Syst. Tech. J., 35, 333, (1956)

16. R. T. Collins, P. M. Fauchet and M. A. Tischler, Phys. Today, (1997)

17. R.L. Smith and S. D. Collins, J. Appl. Phys., 71, (8), (1992)

120

18. B. Marsen, K. Sattler, Phys. Rev. B, 60, 11593, (1999).

19. B. Li, D. Yu, S.-L. Zhang, Phys. Rev. B, 59, 1645,(1999).

20. N.T. Bagraev, E.T. Chaikina, A.M. Malyarenko, Solid-StateElectron, 42, 1199, (1998).

21. V. Ng, H. Ahmed, T. Shimada, Appl. Phys. Lett., 73, 972, (1998).

22. Y. Cui and C.M. Lieber, Science, 291, 851, (2001)

23. X. Duan, Y. Huang, Y. Cui, J. Wang, and C.M. Lieber, Nature (London), 409, 66,

(2001)

24. WN Li, YS Ding, J. Yuan, S. Gomez, SL Suib, FS Galasso and JF Dicarlo, J. Phys. Chem. B., 109, 3291–3297, (2005)

25. A. Halimaoui, C. Oules, G. Bomchil, A. Bsiesy, F. Gaaspard, R. Herinop, M.

Liggeon, and F. Muller, Appl. Phys. Lett. 59, 304, (1991)

26. L.T. Canham, M.R. Houlton, W.Y. Leong, C. Pickering, and J.M. Keen, J. Appl. Phys. 70, 422(1991)

27. Jian-Bai xia, Yia-Chung Chang, Phys. Rev. B, 48, 5179, (1993)

28. X. L. Zheng, W. Wang, and H.C. Chen, Appl. Phys. Lett,. 60, 986, (1992)

29. R.A.Barrio and R.J. Elliott, J. Phys. C: Solid State Physc., 15, 4493, (1982)

30. F.L. Pérez-Sanchez and F. Pérez_Rodriguez, Rev. Mex. Fis., 50 (2), 96 (2004)

31. H. E. Hall, Solid State Physics John Wiley and Sons. Inc., (1994)

32. N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics Harcourt Brace College

Publishers, (1976)

33. A.S. Carrico, R.J. Elliott y R.A. Barrio, Dep. of theoretical Physics, University of Oxford,1986

34. Altmann, S.L., Lapiccirella, A., Lodge, K.W., and Tomassini, N., J. Phys. C:

Solid St. Phys., 15, 5581-91, (1982)

121

35. M. Cruz, C. Wang, Physica Status Solidi C, 2, 3500, (2005).

36. J. Westwater, D.P. Gosain, S. Usui, Physica Status Solidi A, 165, 37, (1998).

37. Bose, G., Tripathi, B.B., and Gupta, H.C., J. Phys. Chem. Solids 34, 1867-1872, (1973)

38. P.V, Pávlov y A.F. Jojlov, Física del estado sólido, URSS. (1985)

39. U. Gösele and V. Lehmann, Porous Silicon Quantum Sponge Structures:

Formation Mechanics, Preparation Methods and Some Properties, Porous Silicon, World Scientific, (1994).

40. Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, New

York, (1996).

41. Erwin Kreyszig, Matemáticas avanzádas para la ingeniería, Limusa Wiley, , México D.F., (2003)

42. C. Delure, G. Allan, and M. Lannoo Phys. Rev. B, 48, 11024, (1993)

43. R. J. Elliot, J.A. Krumhansl and P. L. Leath, Rev. Mod. Phys. 46, 465, (1974)