UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

Modos de Vibración de una barra de hierro con extremos fijos por

foto-reflexión láser

Óptica Aplicada

PRESENTADA POR:

Marvyn William INGA CAQUI

PROFESOR:

Dr. Anibal VALERA

Lima, Perú

2011

Modos de vibración de una barra de acero con

extremos fijos por foto-reflexión láser.

1. Objetivos: Determinar los modos de vibración de una barra de acero con extremos

fijos, usando la foto-reflexión láser.

2. Resumen:

En este trabajo se presenta el resultado de evaluar las vibraciones de un

barra de acero de sección transversal circular en base a un procedimiento

no convencional, por el cual la vibración de la barra es producida por ondas

sonoras cuasi monocromáticas. La detección de los movimientos vibratorios

es medida ópticamente, por la deflexión de un rayo Láser reflejado.

3. Fundamento Teórico:

Ondas estacionarias en una cuerda

La ecuación diferencial del movimiento ondulatorio es:

(1)

Siendo la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda y ψ el

desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t.

Ensayamos una solución de la forma:

( ) ( ) ( ) (2)

Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud ( ) y con

frecuencia angular .

La ecuación diferencial se convierte en:

(3)

La solución de esta ecuación diferencial (similar a la de un M.A.S) es:

( ) ( ) ( ) (4)

Con que es el número de onda.

Las condiciones de contorno son:

La cuerda está fija por sus extremos

De la primera condición, tenemos que y de la segunda:

( )

Que nos da las distintas frecuencias de vibración de la cuerda:

(5)

La amplitud de las oscilaciones de los puntos de la cuerda en el

modo normal es:

( ) .

/ (6)

FIG.Nº1 Amplitudes de las oscilaciones de los puntos x de la cuerda en los

modos normal n=1,2 y 3

Estas funciones cumplen que:

∫ ( )

∫ ( (

))

(

(

))

La integral es el área bajo la curva de la figura inferior.

FIG.Nº2 Amplitudes al cuadrado de las oscilaciones de los puntos x de la

cuerda en los modos normal n=1,2 y 3

Modos normales de vibración de una barra elástica con extremos fijos

Para encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con

ambos extremos fijos seguimos un procedimiento similar.

FIG.Nº3 Barra de hierro de sección transversal circular con extremos fijos.

La ecuación diferencial del movimiento de un elemento de la barra

es:

(7)

Siendo:

el desplazamiento trasversal de un punto de la barra en

el instante .

es la densidad de la barra.

es el módulo de Young del material de la barra.

es el momento de inercia de la sección trasversal

circular de la barra de radio .

Estudiamos una solución de la forma (ver ec.2):

( ) ( ) ( )

Cada punto de la barra vibra con una amplitud ( ) y con

frecuencia angular .

La ecuación diferencial se convierte en:

(8)

Las raíces de la ecuación característica son:

; √.

/

(9)

Son dos raíces reales y dos imaginarias:

, , ,

La solución general es:

( )

(10)

o de forma equivalente:

( ) ( ) ( ) ( ) (11)

La pendiente o derivada de es:

( ( ) ( ) ( ) ( )) (12)

Condiciones de contorno.

La barra está firmemente sujeta por sus extremo , y la

pendiente en este punto es: .

La barra está firmemente sujeta por sus extremo , y la

pendiente en este punto es .

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

Eliminado y obtenemos una ecuación trascendente en :

( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

Con esta última ecuación calculamos las raices por métodos

numéricos, siendo sus 5 primeros valores:

Estos valores los hallamos con el programa MATHEMATICA, mediante

el siguiente código:

,( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ) ( )) * +-

Conocido los valores posibles de se calculan las frecuencias de

vibración

√

√

(13)

Donde es la frecuencia del modo normal de vibración y es un

número que corresponde a este modo. Sus primeros valores son:

El coeficiente es independiente de las características de la barra y

el segundo término, bajo la raíz, depende del material y de las

dimensiones de la barra.

La amplitud de la vibración ( ) de los distintos puntos de la barra

en el modo normal de vibración es:

( ) {( ( ) ( )) ( ) ( )

( ) ( )( ( ) ( ))} (14)

El valor de la constante de proporcionalidad es la escala vertical.

Para que todos los modos de vibración estén dibujados a la misma

escala, se calcula de modo que:

∫ ( )

(15)

El experimento se basa en el método espectroscópico PDS (Photo

Deflection Spectroscopy), este método se basa en la desviación que

sufre un rayo láser dirigido sobre la superficie de la muestra (por

ejemplo: un semiconductor): cuando la muestra es irradiada

superficialmente con una luz monocromática modulada; si la

radiación es absorbida por el material, este produce en su superficie

un micro calentamiento, lo que desvía el rayo por efecto “Mirage”,

siendo detectada la desviación por un detector óptico sincronizado

(Técnica Lock-In), produciéndose una señal proporcional al grado de

desviación, o respectivamente cuanto mayor sea el poder de

absorción de la muestra.

Algunas aproximaciones:

Cuando es grande, entonces ( ) y el seno y coseno

hiperbólicos se pueden aproximar a ( )

Con esta aproximación la ecuación trascendente

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

Se reduce a: ( ) ( ) (16)

Si es grande, entonces ( ) . Siendo las raíces de esta ecuación:

(17)

Los primeros cinco valores de son:

Que son prácticamente los mismos, que los calculados resolviendo la

ecuación trascendente por métodos numéricos.

La amplitud ( ) de los distintos puntos de la barra en el modo normal de

vibración se puede aproximar a:

( ) *( ( ) ( )) ( ( ) ( ))+

( ) * ( ) ( ) ( )+ (18)

Se puede calcular el valor aproximado de la integral:

∫

( ) ∫* ( ) ( ) ( )( ( ) ( ))+

∫

( ) { ( )

( )

( )

( )}

∫

( ) (19)

Para obtener el integrando, hay que integrar dos veces por partes

( ) ( ) y lo mismo ( ) ( )

Para calcular el valor aproximado de la integral, se ha despreciado los

términos ( ) y ( ) y por otra parte, ( )

4. Equipamiento:

Una barra de hierro de sección transversal circular.

Un espejo pequeño.

Un parlante.

Un generador de ondas.

Láser.

Fotocelda.

PC con los programas NERO y ORIGIN.

5. Procedimiento Experimental:

Sujetamos la barra en ambos extremos firmemente.

A 1/4 de la barra aproximadamente pegamos el espejo de manera

que se encuentre reflejando el suelo.

Con ayuda de soportes universales, colocamos sobre la barra un

parlante, que a su vez estará conectado a una fuente generadora de

ondas con diferentes frecuencias donde se pueda obtener pequeñas

frecuencias como de 10Hz a más.

Luego posicionamos tanto el láser como la fotocelda de modo que

sean equidistantes con el espejo colocado debajo de la barra y así se

lleve a cavo una buena reflexión.

El método de Foto-reflexión Laser que usamos para la experiencia

consiste básicamente en el uso de un emisor láser una

fotorresistencia y un espejo reflector, el láser y la fotorresistencia

receptora que se colocan a determinada distancia sobre una base

(puede ser el suelo) y el espejo que se coloca a una altura respecto de

los anteriores de modo que sea equidistante a ellos.

Luego apuntamos el láser hacia el espejo, de manera que su reflexión

esté exactamente sobre la fotocelda, esto es importante debido a que

el área de recepción de la fotocelda tiene que ser pequeña para

obtener la variación de intensidad debido a la vibración del espejo

pegado a la barra que se analiza.

En nuestro caso las vibraciones de la se producirán selectivamente

(frecuencias definidas) mediante parlantes alimentados por

generadores de onda sintonizables, lo que permitirá evaluar la

respuesta vibracional de la estructura y en particular sus puntos de

resonancia.

Finalmente la señal tomada por la fotocelda va directamente a la PC

para luego con los programas NERO y ORIGIN analizarla en los

tramos de preferencia, descomponer el patrón en un espectro de

frecuencias y encontrar las posibles frecuencias resonantes de la

barra.

El esquema del experimento es:

FIG.Nº4 Esquema del experimento.

6. Datos Experimentales: Los datos fueron registrados como archivos de sonidos (extensión .wav),

posteriormente editamos estos archivos con el programa NERO y por

último los analizamos con el programa ORIGIN, haciendo obtenemos los

máximos de amplitud para determinadas frecuencias que serán reconocidas

como los modos de vibración de la barra en estudio. Los resultados se

presentan en la parte de Cálculos y Resultados.

7. Cálculos y resultados: En el experimento usamos una barra de acero, de sección transversal

circular con las siguientes características:

Densidad del acero:

Módulo de Young:

Dimensiones de la barra:

( )

( )

El momento de inercia de la sección trasversal circular es:

Con estos datos podemos hallar la frecuencia del modo fundamental de

vibración:

√

(

) ( )

( ⁄ )( )( )( )

( )( )

La frecuencia del segundo modo normal de vibración será:

194,10Hz

= 379,50Hz

Y así, sucesivamente.

8. Discusión y observaciones:

En nuestra experiencia usamos una variante del método PDS

convencional, ya que en este caso no producimos un calentamiento

de la superficie del material, sino que lo hicimos vibrar directamente

mediante el sistema de excitación acústico. Por lo cual, basta adosar

un espejo sobre la superficie de la barra, tal que al incidir sobre ella

un rayo Láser , este es reflejado finalmente a un detector óptico de

deflexión (Detector PDS cuadripolar); con lo cual, cualquier vibración

de la estructura alterará el camino del rayo reflejado, induciendo así

una señal en el sistema de detección.

Se debe optimizar aun los procedimientos de medida y en lo posible

automatizarlos, para reducir los tiempos de evaluación y aumentar la

sensibilidad del equipo.

Nuestros datos no fueron del todo claros al momento de obtenerlos

de nuestras gráficas de la frecuencia versus la amplitud dada por el

programa ORIGIN, se recomienda buscar una forma de reducir el

ruido, pues este fue el principal problema.

9. Conclusiones:

Se demuestra la efectividad del método óptico para evaluar las

frecuencias resonantes de vibración de una barra, así como también

la efectividad de poder excitar esas vibraciones con ondas sonoras.

Se identificó los modos de vibración resonantes de la estructura,

aunque se debe mejorar aun el procedimiento de determinar

experimentalmente los modos de vibración, tal que la identificación

sea absoluta.