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SISTEMAS DE RADIODETERMINACIÓNGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación

● Cálculo de probabilidades

– Teoría de la decisión

– Probabilidades de error y criterio de decisión

• Criterio de máxima probabilidad y criterio de Neyman–Pearson

– Detección de un solo pulso

– Integración de pulsos

– Aplicación a blancos fijos

– Aplicación a blancos fluctuantes

– Integración binaria

● Técnicas CFAR

– Cell averaging CFAR

● Filtro adaptado

● Función ambigüedad

– Función ambigüedad de algunas señales básicas

Procesado de señal radar


● Teoría de la decisión

M={m0, m1}; D={d0, d1};

evento(mensaje) señal

interferencia(ruido, clutter)

observador decisión

receptor

espacio deeventos

M

espacio deseñales

S

espacio deobservables

Z

espacio dedecisiones

D

regla de decisión

transición probabilísticap(z|s)

{ }…= = −, 0,1, , 1k

S s k K

{ }, 0,1, , 1kM m k K= = −…

( )∈

= ∈

0 0

1 1

si

si

d z Zd z

d z Z




● Probabilidades de error y criterio de decisión

– Probabilidad de falsa alarma:

– Probabilidad de pérdida:

– No detección sin blanco:

– Probabilidad de detección:

( ) ( )1

1 0 0| |Z

P d m p z m dzα = = ∫

( ) ( )0

0 1 1| |

Z

P d m p z m dzβ = = ∫

( ) ( )0

0 0 0| |

Z

P d m p z m dz= ∫

( ) ( )1

1 1 1| |Z

P d m p z m dz= ∫

Evento

m0 m1

Decisiónd0 decisión correcta: 1–α error de segunda clase: β

d1 error de primera clase: α decisión correcta: 1–β

( ) ( )

( ) ( )0 0 1 0

0 1 1 1

| | 1

| | 1

P d m P d m

P d m P d m

+ =

+ =



● Criterios de decisión (I)

– Criterio de máxima probabilidad

( )( ) ( )( ) ( )

0 0 1

1 0 1

si | |

si | |

d p z m p z md z

d p z m p z m

>=

<

p0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0-4 -2 0 2 4

1.36

Z0

p(z|m1)

z

Z1Z1

p(z|m0)( )( )( )

1

0

|

|

p z mz

p z mΛ =

( )1

0

1

d

z

d

>Λ

<

( )

( )

2

2 2

/2

0

/2

1

1|

2

1| ; 1

2

z

z

p z m e

p z m eσ

π

σσ π

−

−

=

= ≥



● Criterios de decisión (II)

– Criterio de Neyman–Pearson

( )1

0

d

z

d

λ>Λ

<

p0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0-4 -2 0 2 4 6

0.674Z0 Z1

P(d1|m0)=Pfa=0.25P(d0|m1)=Ppérdida

=0.01

p(z|m0) p(z|m1)

( )

( )

2

2

/2

0

( 3) /2

1

1|

2

1|

2

z

z

p z m e

p z m e

π

π

−

− −

=

=



filtropaso banda

detectorenvolvente

detectorumbral

t0

f

blancos

umbral

envolvente

tiempo

● Detección de un solo pulso (I)

– Estudio cualitativo: Relación Pd, Pfa y SNR



● Detección de un solo pulso (II)

– Ruido gaussiano blanco:

• X(t) e Y(t) son variables aleatorias independientes con funciones

densidad de probabilidad de tipo gaussiana y varianza n0(t)

– Señal recibida: pulso de frecuencia ωc

– Suma de señal y ruido:

0( ) ( )cos ( )sinc cn t X t t Y t tω ω= +

2 2 2 2

0 0

1( ) ( ) ( ) ;

n nX t Y t n t N B Bβ

τ= = = = �

0

2 2

( ) cos( ) cos( ) sin( )

; arctan

c s c c

s

S t A t a t b t

bA a b

a

ω φ ω ω

φ

= − = +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 cos sen cosc c ce t n t S t a X t t b Y t t r t t tω ω ω φ = + = + + + = +

[ ] [ ]{ }1/2

2 2 ( )( ) ( ) ( ) ; ( ) arctan

( )

b Y tr t a X t b Y t t

a X tφ

+ = + + + = +



● Detección de un solo pulso (III)

– Detector de envolvente:

– Función densidad de probabilidad conjunta:

• Cambio de variable:

1/22 2

1 1( ) ( ) ( )r t X t Y t = + 2 2 2 2

1 1( ) /2 ( ) /2

1 1 2 1

1 1( ) ; ( )

2 2

X a Y bp X e p Y e

β β

β π β π

− − − −= =

( ) ( )2 2

1 1

1 1 1 1 2 1 2 2

1( , ) ( ) ( ) exp

2 2

X a Y bp X Y p X p Y

πβ β

− − − −= =

1/21 2 2 11 1

1 1

cos; ; arctan

sen

X r Yr X Y

Y r X

φφ

φ

= = + = =

( )( )( )

1 1

1 1

,,

,

p X Yp r

J X Yφ = ( )

1 1

1 1

1 1

1 1

2 2

1 1

1,

r r X Y

X Y r rJ X Y

Y X r

X Y r r

φ φ

∂ ∂

∂ ∂= = =

∂ ∂ −

∂ ∂



● Detección de un solo pulso (IV)

– Función densidad de probabilidad de la envolvente:

( )2 2 2

2 2

2 cos 2 sen, exp

2 2

r r a b ra rbp r

φ φφ

πβ β

+ + − −= −

( ) ( )( )

( )2 22 2

2 2 2

0 0

, exp exp cos2 2

s

r Ar rAp r p r d d

π π

φ φ φ φ φπβ β β

− + = = −

∫ ∫

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

sen

0

0

1 0

1 1

1

2

2

x

n n n

I x e d

I x I x

nI x I x I x

x

πθ θ

π

+ −

=

′=

= −

∫

8.0

6.0

4.0

2.0

01.0 2.0 3.0 4.0

x

I0(x)

0

I1(x)



● Detección de un solo pulso (V)

Pfa

VT/β r/β0.0 2.0 4.0 6.0 8.0

A2/β2=16

A=0

Pd

2 2

02 2 2

( )( ) exp

2

r r A rAp r I

β β β

− +=

22

2 2 2exp exp

2 2T

Tfa

v

vr rP dr

β β β

∞ −−= =

∫

( )T

dv

P p r dr∞

= ∫

-15

20

15

10

5

0

-5

-10

0.01 0.1 0.5 0.9 0.99

10-14relación señal a ruido (dB)

probabilidad de detección

10-12

10-10

10-8

10-6

10-5

10-16

10-4

10-2

10-1

10-3



● Integración de pulsos (I)

– Blancos fijos

filtro

paso banda

detector

cuadráticoamp muestreo umbral

1/τ

f

vout

vin

1/2β2

r2

τ

z zk y1

N

k

k

z=

∑

t t t

( )( )2 2

02 2 2exp

2

kk kk

r Ar r Ap r I

β β β

− + =



● Integración de pulsos (II)

• Valor normalizado:


• Función densidad de probabilidad de la suma de variables aleatorias independientes:

“A Statistical Theory Of Target Detection By Pulsed Radar, Mathematical Appendix”

Marcum, J. I. 01 Jul 1948

kk

rx

β=

2

2p

AR

β=

( )( )

( )2

0exp2

k p

k k k p

x Rp x x I x R

− + =

21

2k k

z x= ( )( ) ( )0

exp 22

pk

k k k p

k

k

Rp xp z z I z R

z

x

= = − +

∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1

N

k N

k

y z p y p z p z p z=

= ⇒ = ∗ ∗ ∗∑ …


● Integración de pulsos (III)

IN-1 es la función modificada de Bessel de primera clase y orden N-1


( )( 1)/2

1

2 1( ) exp 2

2

N

p N p

p

yp y y NR I NyR

NR

−

−

= − −

1

0 0( ) ; ( )

( 1)!pT

Ny

fa R Av

yP p y dy p y e

N

−∞

−

= == =

−∫

( )pT

d RvP p y dy

∞

= ∫


● Integración de pulsos (IV)

– Blancos fluctuantes de tipo Swerling I

• No hay diferencias entre pulsos del mismo barrido


22 2

2 2 2 2

0 0

( ) 1 exp ( , )1 /

N

o

yp y f u v

NA NA NA

β β

β

− −

= + +

2 20 0

( , ) 1 ; ; 2! 1 /

kvu

k

u yf u v e u v N

k NAβ−

=

= − = = −+

∑

( )2

2 2

0 0

exp2

A Ap A

A A

−=

( )( 1)/2 1/2

2 2

12 2 2 2

2 2| exp

2

N

N

y NA NyAp y A y I

NA β β β

−

−

= − −

( ) ( ) ( ) ( ), |p y p y A dA p y A p A dA= =∫ ∫



● Integración de pulsos (V)

– Blancos fluctuantes de tipo Swerling II

• Cada pulso ve un valor diferente de sección radar del blanco

1

2 2200

2

( ) exp1 /

1 ( 1)!

N

N

y yp y

AAN

β

β

− −=

+ + −

( )2

2 2

0 0

exp2

k kk

A Ap A

A A

−=

( )1/2

2 2

02 2

2| exp

2

k k kk k k

A z Ap z A z I

β β

= − −



● Integración de pulsos (VI)

– Comparativa blancos Swerling I y II

0 40 80 120 160 200y

M=10

A02/β2=10

Swerling IISwerling I

1/5 p(y|A0=0)

0 40 80 120 160 200y

M=10

A02/ β2=10

ρ=1 ρ=0.9ρ=0.4

ρ=0



● Integración binaria (I)

– La probabilidad de detección en un barrido es: Pd.

La probabilidad de no detectar el blanco en un barrido es: 1–Pd

La probabilidad de no detectar el blanco utilizando K barridos es: (1–Pd)K

La probabilidad de al menos una detección en K barridos es: Pcd=1–(1–Pd)K

• Ejemplo.- Probabilidad de detección requerida para obtener una

probabilidad de detección acumulada de 0.99

K 1 2 3 4 5 6 10 20 100

Pd 0.99 0.9 0.7846 0.6838 0.6019 0.5358 0.369 0.2057 0.045



● Integración binaria (II)

– Hasta ahora:

• Pcd=1–(1–Pd)K

• Pcfa=1–(1–Pfa)K

Pfa crece cuando Pd crece

– Si al menos 2 barridos

consecutivos sobre un total

de 4 determinan la presencia

del blanco:

Si p=0.8, Pcd=0.896.

Si p=10–4, Pcfa=3·10–8.

BarridoProbabilidad Salida

4 3 2 1

0 0 0 0 (1–p)4 0

0 0 0 1 (1–p)3 p 0

0 0 1 0 (1–p)3 p 0

0 0 1 1 (1–p)2 p2 1

0 1 0 0 (1–p)3 p 0

0 1 0 1 (1–p)2 p2 0

0 1 1 0 (1–p)2 p2 1

0 1 1 1 (1–p) p3 1

1 0 0 0 (1–p)3 p 0

1 0 0 1 (1–p)2 p2 0

1 0 1 0 (1–p)2 p2 0

1 0 1 1 (1–p) p3 1

1 1 0 0 (1–p)2 p2 1

1 1 0 1 (1–p) p3 1

1 1 1 0 (1–p) p3 1

1 1 1 1 p4 1

( ) ( )2 2 3 4

3 1 4 1 p p p p p− + − +



● Integración binaria (III)

– Sin importar si los barridos

son consecutivos o no:

Pfa decrece cuando Pd crece

( )1K

K rr

CD

r H

KP p p

r

−

=

= −

∑

Pc1/p

K=4

1.00.10.01P

0.001

0.01

0.1

1.0

10.0

Pc2/p

K=10

1.00.10.01P

0.001

0.01

0.1

1.0

10.0 Pc1/p

Pc2/p



● Técnicas CFAR (Constant False Alarm Rate)

– Pfa muy sensible a los valores de ruido2

2exp

2

Tfa

vP

β

= −

( )2 2( ) /

( ) nomnom

fa faP P

β β=

2

2

( )

10log

nom

xβ

β=

100

10-1

102-

103-

104-

105-

106-

107-

108-

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

Pfa

incremento del nivel de ruido relativo al valor nominal (dB)



● CA–CFAR (I)

– M celdas con muestras independientes y gaussianas (función densidad

de probabilidad de tipo Rayleigh)

señal de

entrada detector

cuadrático

celda bajo estudio

umbral

adaptativo

comparadordecisión

1 M/2

M/2+1 M

…

Σzk

ΣL R

y

α/M

…

Σzk

( )2

2 2exp

2

r rp r

β β

−=



● CA–CFAR (II)


• Se detectará un solo pulso (no integración de pulsos ni

desplazamiento doppler). Se considerarán únicamente blancos

fluctuantes con función densidad de probabilidad de tipo Rayleigh

(modelos Swerling I y II)

• Función densidad de probabilidad de la señal más el ruido (o clutter)

para una sola celda (N=1):

2

22

rz

β= ( ) ( )expk kp z z= −

( )( )

1

1 1 !

MMy

k

k

yy z p y e

M

−−

=

= ⇒ =−

∑ Tz yM

α=

( )2

2 2

0 0

exp2

A Ap A

A A

−=

( )( ) ( )2 2 2 2

0 0

1exp

1 1

zp z

A Aβ β

− = + +



● CA–CFAR (III)

– Probabilidad de detección condicionada

– Probabilidad de detección

– Probabilidad de falsa alarma dependiente de M y α pero independiente del ruido

( ) ( )| exp1

T

Td T

z

zP SNR z p z dz

SNR

∞−

= = +

∫

( ) ( ) ( )0

|d d T

y

P SNR P SNR z p y dy

∞

=

= ∫

( )( ) ( )

( )1

0

exp 1 , ,1 !1 1

M

M y

d d

y

y M y eP SNR dy P SNR M

MSNR M SNR

α αα

−∞ − −

=

− = = + = −+ +

∫

( ), 1

M

faP M

M

αα

−

= +


Filtro adaptado y función ambigüedad

● Filtro adaptado (I)

– Maximizar la relación señal a ruido

• Entrada:

• Ruido:

• Salida del filtro:

• Relación a maximizar:

( ) ( ) ( ) π∞ ∞

−

−∞ −∞

= =∫ ∫2 2

; j ft

E s t dt S f s t e dt

( ) ( ) ( ) π∞

−∞

= ∫2

2 2j ft

outs t S f H f e df

( )∞

−∞

= ∫2

0

2f

NN H df

( )( ) ( )

( )

π∞

−∞

∞

−∞

= =∫

∫

2

22

max

20

2

Mj ft

out

S f H f e dfs t

RN N

H f df



● Filtro adaptado (II)

– Desigualdad de Schwartz:

– En nuestro caso:

– Entonces:

– Teorema de Parseval:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ ≥∫ ∫ ∫ 2

* * * P x P x dx Q x Q x dx P x Q x dx

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

π π−= =

=

⇒2 2* *M Mj ft j ftP x S f e P x S f e

Q x H f

( ) ( )

( )

( )∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞∞

−∞

⋅

≤ =∫ ∫ ∫

∫

2 2 2

2 00

22

H f df S f df S f df

RNN

H f df

( ) ( )∞ ∞

−∞ −∞

= ⇒ =∫ ∫2 2

E s t dt E S f df ≤0

2ER

N



● Filtro adaptado (III)

– La igualdad se da cuando P(x)=kQ(x)

– Respuesta impulsiva del filtro

( ) ( ) π−= 2* Mj ftH f kS ef

( ) ( ) ( ) ( ) ( )π π∞

− − −∞

−∞ −∞

= =

∫ ∫*

2 2* M Mj f t t j f t th t k S f e df k S f e df

( ) ( ) ( ) ( )π∞

−∞

= ⇒ = −∫2 *j ft

Ms t S f e df h t ks t t

( ) ( ) ( ) ( )ξ ξ ξ∞

−∞

∗ = −∫x t y t x y t d

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

= ∗ = − = − +

= − − = −

∫ ∫

∫

*

*

out M

M s M

s t s t h t s h t d s s t t d

k s s t t d kR t t

k



● Filtro adaptado (IV)

– Ejemplo

– Si tM=T0:

( )( )

( ) ( )

( )

− ≤ ≤

=

= − + − ≤ ≤

= − ≤

0 0

0

0 0

0

2

0 02

0

; 0

0 otro caso

;

;2 3

M M M

out

AT t t T

Ts t

kAh t T t t t T t t

T

kAt ts t T t T

T

s(t)

A

T0

t

h(t)

kA

T0

t

sout(t)

kA2T02/3

T0

t

2T0

2T0

2T0



● Función ambigüedad

– Propiedades:

•

•

•

•

( ) ( ) ( ) ( ) πνχ ξ ν ξ ν ξ∞

−∞

= = −∫2 2 2

; ; *j t

outs s t s t e dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )χ χ χ χ= = ≤

2 22 22max ; 0;0 2 ; ; 0;0

d d d dt f E t f

( ) ( )χ χ= − −2 2

; ;d d d dt f t f

( ) ( )χ∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫2 2

; 2d d d d

t f dt df E

( ) ( )π χ⇒ +2 2

;j kt

dd dts t e f kt



● Función ambigüedad de un pulso rectangular

retraso (segundos)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

|χ(td;0)|

-2 -1 0 1 2

frecuencia (Hz)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

|χ(0;fd)|

-2 -1 0 1 2

|χ(td;fd)|2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

( )( )

( )π τ

χτ π τ

τ

− = − −

=

2 sin; 1

2 segundos

d dd

d d

d d

f ttt f

f t



● Función ambigüedad de un pulso rectangular LFM

|χ(td;fd)|2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

retraso (segundos)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

|χ(td;0)|

-1 -0.5 0 0.5 1

frecuencia (Hz)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

|χ(0;fd)|

-10 -5 0 5 10

( )( )( )

( )( )π τ

χτ π τ

τ

+ − = − + −

=

2 sin; 1

1 segundo; =10 Hz

d d dd

d d

d d d

f kt ttt f

f kt t

k



● Conclusiones (I)

– Diferentes funciones densidad de probabilidad para determinar la

existencia de un blanco en presencia del ruido

– Probabilidad de falsa alarma: integración de la función densidad de

probabilidad que describe el ruido desde un valor umbral hasta infinito

– Probabilidad de detección: integral entre los mismos límites de la

función densidad de probabilidad del ruido cuando existe un blanco

– Existen diversas técnicas para facilitar el proceso de detección de un

blanco: integración de pulsos, integración binaria, etc

– Las técnicas CFAR permiten mantener un valor constante de la

probabilidad de falsa alarma haciendo un promediado (adaptativo) del

nivel real de ruido. Solamente se debe incluir en sistemas radar en los

que sea crítico mantener una determinada probabilidad de falsa alarma



● Conclusiones (II)

– Filtro adaptado / Función ambigüedad: Es un estudio que debe hacerse

en el proceso de diseño del sistema radar. Se debe conocer como será la

señal recibida ya que determina la resolución en distancia y velocidad del

sistema

– Una buena función ambigüedad tendrá un lóbulo principal estrecho en

ambas direcciones (temporal y frecuencial). Si es necesario se recurre a

técnicas de compresión de pulsos

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