modélisation et méthodes numériques probabilistes pour la...

Themes de recherche Focus 1 : branchement evolutif Focus 2 : Poisson-Boltzmann Collaborations, projets, integration

Modelisation et methodes numeriquesprobabilistes pour la biologie

Nicolas Champagnat

CR1, Equipe-projet TOSCA

Comite des Projets, 07/11/2011


Quelques reperes de parcours

• These soutenue en 2004 sur la modelisation stochastique endynamique adaptative (Univ. de Nanterre).

• Une annee de post-doc au WIAS a Berlin (2005–2006).• Recrute CR INRIA en 2006 dans l’EPI OMEGA (devenue

TOSCA depuis) a Sophia Antipolis.• Mutation vers l’EPI TOSCA a Nancy en juillet 2011.


Themes de recherche (1)

Modelisation stochastique pour l’ecologie et l’evolution :• Dynamiques adaptatives, branchement evolutif : etude de

l’evolution sur des grandes echelles de temps par des methodes de“concentration” dans des

• modeles stochastiques individu-centres ;• modeles de type EDP.

• Interpretation probabilistes d’EDP pour l’evolution et l’ecologie apartir de modeles individu-centres.

• Modelisation pour les plantes clonales.• Contacts, collaborations : Ecole Polytechnique, UPMC, Univ.

Maryland, Univ. Bonn, INRA/INRIA Montpellier, ENS Paris.

Gue

rrill

a

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

link angle pdf

f(a, θ)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

shoot profile

shoots froma given node

2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 66

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

plant dynamics

Pha

lanx

−3 −2 −1 0 1 2 30.1592

0.1592

0.1592

0.1592

0.1592

0.1592

0.1592

link angle pdf

f(a, θ)

−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

shoot profile

shoots froma given node

2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 66

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

plant dynamics

Figure 6: If the shoot angle p.d.f. f(a, θ) has a large variance (resp.small variance) and if the p.d.f. g(v) favors small lengths (resp.large lengths), then the model will present the characteristics of aphalanx growth strategy (resp. guerrilla growth strategy).

for the first point (because the plant grows along straightlines), but inefficient for the second point. Pure Phalanxstrategies are less efficient for the first point, but more effi-cient for the second point (as they grow in all directions).We explore a range of intermediate strategies simply byvarying the variance of the shoot angle distribution f . Asmall variance means that the plant grows nearly alongstraight lines and has a very small probability to changeits growth direction. A large variance corresponds to thecase where the graph structure has no influence on thepopulation dynamics, i.e. the case where f is the uniformdistribution on [0, 2π).

As expected, the simulations of Figure 8 show thatthere is an optimal tradeoff: when the shoot angle p.d.f.is not directive enough or too directive, the plant failsto reach areas with high level of resources; in intermedi-ate cases, the plant reaches these areas and reaches themrapidly.

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 57

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

3.8 3.82 3.84 3.86 3.88 3.9 3.92 3.94 3.96 3.98 47.5

7.52

7.54

7.56

7.58

7.6

7.62

7.64

7.66

7.68

7.7

guerilla phalanx

Figure 7: Typical graph patterns for the guerrilla and the phalanxcases. In Figure 9 we present an example where the number ofconnexions per node is limited.

5. Large population approximation of the IBM

Individual-based models are a convenient tool for mod-eling small-scale ecological systems. However, their simu-lation is often costly and can hardly provide relevant field-scale informations in reasonable computational time. Thisis typically the case for phalanx-type clonal plants, wherethe connection length is often short and the plant architec-ture is dense. In order to understand the global interactionbetween plants and resources, the search for simpler ap-proximation models is crucial.

One then typically seeks for partial differential equa-tions (PDE) governing the time dynamics of the popula-tion density over space, obtained in a limit of large pop-ulation. This has been done under various scalings of theindividual parameters for plants systems without networkstructure (Fournier and Meleard, 2004; Champagnat et al.,2006, 2008). Three main families of scalings were describedin the second paper: in the first scaling, space is unscaled,leading to a non-local integro-differential equation for thepopulation density; in the second one, space is scaled, andbirths and deaths are accelerated accordingly in order toobtain a limit, which takes the form of a local reaction-diffusion PDE; in the last scaling, births and deaths areeven more accelerated, leading to a stochastic reaction-diffusion PDE.

Because of the underlying network structure and theexplicit coupling with resource dynamics, these results donot apply directly to our IBM. Similar results can be ob-tained in network-structured populations (Campillo andChampagnat, 2010), but without explicit dynamics for theresources. The result we present here is a first attempt tofill this gap. A full mathematical proof is likely to be verytechnical because our model couples a stochastic, discretestructure for the population and a deterministic, contin-uous structure for resource concentrations. We leave thisproof as an open problem and only present and justifyour macroscopic model as a reasonable large populationapproximation of the IBM.

6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1

0

-1

3

2

1

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

N

x

u

N



Genetique des populations :• Etude de la taille des familles dans des populations finies en

croissance exponentielle (processus de branchement) soumises ades mutations neutres.

• Objectif : comment detecter qu’un gene est actuellementselectionne dans une population, a partir d’un echantillon desequences d’ADN sequencees aujourd’hui ? arbre de recombinaison.

• Collaborations : UPMC



Methodes numeriques probabilistes en dynamique moleculaire :• Operateurs sous forme divergence et discretisation des processus

stochastiques associes.• Interpretation probabiliste d’EDP semilineaires a l’aide de

processus de branchement.• Contacts, collaborations : Institut Pasteur, IRISA, UHP.



Controle stochastique :• Applications en finance : couverture d’options sous contrainte de

delai entre reallocations de portefeuille, ou sous contrainte“Gamma”.

• Controle stochastique de dynamiques de population, applicationsen medecine (controle de croissance de tumeurs).

• Contacts, collaborations : NATIXIS, Centre Lacassagne (Nice)


Dynamique adaptative

Theorie de la dynamique adaptative (Hofbauer et Sigmund, 1990,Metz, Geritz et al., 1992, 1996): etude des liens entre ecologie etevolution.

Modeles de base dans ce cadre :• modelisation de l’evolution en mettant l’accent sur les

interactions ecologiques selection densite-dependante

• modelisation souvent simplifiee des mecanismes de l’heredite reproduction clonale


Deux exemples de modeles (1)

Modele stochastique : population finie ou chaque individu estcaracterise par un trait (ou phenotype) x ∈ Rk

• un individu de trait x donne naissance a un nouvel individu ataux b(x ),

• un individu de trait x meurt a taux d(x ),• competition : chaque individu de trait y “tue” chaque individu de

trait x a taux c(x − y),• chaque naissance donne lieu a une mutation avec probabilite µ et

le trait mutant est x + Z , ou Z a pour loi K (z )dz .


Deux exemples de modeles (2)

Modele deterministe :

∂tu(t , x ) =u(t , x )

(b(x )− d(x )︸︷︷︸

croissance

−∫

Rk

c(x − y)u(t , y)dy︸︷︷︸competition

)

+ µ

∫Rk

K (z )(u(t , x + z )− u(t , x ))dz︸︷︷︸mutation

.


Modele stochastique : simulations

Competition asymetrique(division cellulaire, Kisdi,

J. Theor. Biol. 1999)

Competition symetrique(competition pour des ressources,

Dieckmann et Doebeli, Nature, 1999)


Modele deterministe : simulation

Competition pour deux ressources(Diekmann, Jabin, Mischler et Perthame, Theor. Pop. Biol., 2005)


Approche stochastique pour du branchement evolutif

Idee : etudier la “concentration” de la population, sous uneasymptotique de grande population et mutations rares , puisasymptotique de petites mutations. .

Mutations frequentes Mutations rares

• identification des points de branchement,• critere de branchement portant sur les parametres du modele,• temps de branchement,• branchements successifs.


Approche deterministe pour du branchement evolutif

• Idee : etudier la “concentration” de la population, sous uneasymptotique de petites mutations et de selection forte :

∂tuε(t , x ) =1εuε(t , x )

(b(x )− d(x )−

∫Rk

c(x − y)uε(t , y)dy)

+1ε

∫Rk

K (z )(uε(t , x + εz )− uε(t , x ))dz .

• En posant uε(t , x ) = exp(ϕε(t,x)

ε

), l’etude de la limite ϕ des

fonctions ϕε permet d’obtenir une dynamique de population sousforme de masses de Dirac localisees aux zeros de ϕ.

• Meme critere de branchement, mais phase d’approchedifferente.


L’equation de Poisson-Boltzmann

L’equation de Poisson-Boltzmann en dynamique moleculaires a poursolution le potentiel electrostatique autour d’une bio-molecule, utilisepour calculer

• l’energie libre de solvatation• les forces electrostatiques exercees par le solvant sur la molecule.

Il s’agit de lequation de Poisson

−∇ · (ε(x )∇u(x )) + κ2(x ) sinh u(x ) = f (x ), x ∈ R3, ou

• ε(x ) est la permittivite dumilieu

• κ2(x ) est le “parametred’accessibilite des ions” dusolvant.

Cette equation considere le solvantde facon implicite.


La geometrie du probleme

La structure atomique de lamolecule est modelisee endetail :

• N atomes aux positionsx1, . . . , xN dans Ωi , derayons r1, . . . , rN etcharges q1, . . . , qN

• Ωi = ∪Ni=1B(xi , ri)

• Terme source

f :=N∑

i=1

qiδxi .


Interpretation probabiliste de l’operateur ∇ · (ε∇)

Le processus (Xt , t ≥ 0) de generateur ∇ · (ε∇) est solution de l’EDSdXt =√

2ε(Xt)dBt +εext − εint

2εextn(Xt)dL0

t (Y ),

Yt = ρ(Xt),

ou ρ est la distance signee au bord de la molecule.

Simulation de ce processus :• a l’interieur ou l’exterieur de la molecule : trajectoires

browniennes marche sur les spheres ;• au niveau de la frontiere de la molecule : saut vers l’interieur ou

l’exterieur, avec probabilite asymetrique.


Nuage de particules branchantes

On considere une particule issue d’un point x .• A l’interieur de la molecule, elle suit la trajectoire de Xt

• A l’exterieur, elle suit la trajectoire de Xt , jusqu’a un tempsexponentiel de taux donne. A cet instant :

• avec une certaine probabilite, la particule meurt• dans le cas contraire, elle se divise en un nombre aleatoire de

particules indentiques et independentes, qui continuent de sedeplacer.

• Les parametres du probleme sont tels que le nuage de particulefinit par s’eteindre au bout d’un temps fini.

La methode numerique consiste a evaluer une certaine fonctionnellede la trajectoire de ce nuage de particules, et d’en calculer l’esperancepar la methode de Monte Carlo.


A l’interieur de la molecule

Soit

u0(x ) =1

4πεint

N∑l=1

qj|x − xl |

∀x ∈ Ωint.

Cette fonction est solution de εi∆u0 = f (x ) dans R3. Donc u = u0 estsolution de ∆v = 0 dans Ωi , et donc

u(x ) = u0(x ) + Ex [(u − u0)(Bτ )] ,

ou (Bt , t ≥ 0) est un mouvement brownien issu de x et τ son temps desortie de Ωi .


A l’exterieur de la molecule

Lorsque la particule initiale part de x a l’exterieur de la molecule, onpeut exprimer u(x ) comme suit

u(x ) = −Ex

[1no death

N∏i=1

(−u(X (i)

τ(i)))]

,

ou les τ (i) sont les premiers temps de sortie de Ωe par les particulesdu nuage de particules branchantes, et X (i) leurs positions.

En combinant successivement cette relation et la precedente, onobtient un algorithme de resolution de l’EDP base sur l’estimationMonte-Carlo d’une certaine fonctionnel du nuage de particulesbranchantes.


Collaborations, etudiants, contacts internationaux

• Projets ANR :• Projet blanc MANEGE (Modeles aleatoires en ecologie, Genetique

et evolution) : Ecole Polytechnique, UPMC, Univ. de Provence.• Projet SYSCOM MODECOL (MODelisation ECOLogique de

prairies virtuelles) : Univ. de Rennes 1, INRA/INRIAMontpellier, Univ. La Rochelle.

• Contacts internationaux :• Allemagne : A. Bovier (Univ. Bonn), S. Roelly (Univ. Potsdam).• USA : P.-E. Jabin (Univ. Maryland), P. Diaconis (Stanford).

• Encadrement d’etudiants en these :• N. Perrin (CORDI-S) : methodes probabilistes en dynamique

moleculaire. Co-encadrement avec D. Talay et M. Bossy.• J. Claisse (AMN) : controle stochastique de dynamiques de

populations. Co-encadrement avec D. Talay.

Deplacements reguliers a Sophia.• Post-doctorant INRIA a Nancy partir de janvier 2012 : D.

Villemonais.


Integration/projets avec la partie nanceienne de TOSCA

• Groupe de travail entre TOSCA et la societe Alphability(solutions informatiques pour l’ingenierie financiere) sur le risque(mesures de risque en finance, methodes d’evaluation...) en vuede monter une collaboration suivie.

• Collaboration entamees et en projet avec M. Deaconu et A. Lejaysur

• Les incertitudes.• Interpretation probabiliste d’EDP non lineaires avec des processus

de branchement et methodes numeriques associees.

• Post-doctorant D. Villemonais.

... et plus generalement sur Nancy :• Contacts a prendre avec les equipes de l’UHP et de l’INRA

travaillant en ecologie, evolution, genetique ou dynamiquemoleculaire, notamment

• EEF (Ecologie et ecophysiologie forestiere) ;• EDAM (Equipe de dynamique des assemblages membranaires).

modélisation et méthodes numériques probabilistes pour la...

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