modelosprobabilisticosaplicados1

Modelos Probabilsticos Aplicados a la IngenieraCivil

, Modelos Probabilsticos Aplicados a la Ingeniera Civil 1/38

Resumen

I Experimento (Monte Carlo)Ejm. lanzar 2 dados y sumar

I Variablesuma = {2, 3, 4, . . . , 11, 12}

I Distribucion (histograma, diagrama de frecuencias)P(suma = 4) =?

I Reglas del calculo de Probabilidad (probab. condicional)P(suma = 4) = 336

I Modelos (variables)Ejm. X Binom(4, 0.5), P(X = 3) = (43)0.53 0.543Ejm. Y Exp(0.1), P(Y 2.8) = 1 e0.12.8

I Probabilidad Formal (revision)Ejm. P(A1 A2 . . . ) = P(A1) + P(A2) + . . .

I Procesos Aleatorios (probabilidad conjunta)Ejm. Camino Aleatorio, Yn = X1 + + Xn, Xi Ber(0.5)Ejm. Cadena de Markov, P(Xn = 4|X0 = 1) = (0pn)4

I Ideas?


ResumenI Experimento (Monte Carlo)

Ejm. lanzar 2 dados y sumar

I Variablesuma = {2, 3, 4, . . . , 11, 12}

I Distribucion (histograma, diagrama de frecuencias)P(suma = 4) =?

I Reglas del calculo de Probabilidad (probab. condicional)P(suma = 4) = 336

I Modelos (variables)Ejm. X Binom(4, 0.5), P(X = 3) = (43)0.53 0.543Ejm. Y Exp(0.1), P(Y 2.8) = 1 e0.12.8

I Probabilidad Formal (revision)Ejm. P(A1 A2 . . . ) = P(A1) + P(A2) + . . .

I Procesos Aleatorios (probabilidad conjunta)Ejm. Camino Aleatorio, Yn = X1 + + Xn, Xi Ber(0.5)Ejm. Cadena de Markov, P(Xn = 4|X0 = 1) = (0pn)4

I Ideas?


Definicion de ProbabilidadElementos basicos:

I Experimento (sentido amplio)I Conjunto de resultados posibles (espacio muestral, espacio

de probabilidad): elementos 1, 2, .I Evento: proposicion acerca de los resultados, equivalentemente

cualquier conjunto particular de resultados. DenotadosA,B, . . .

I Variables aleatorias: son las magnitudes que registran elresultado del experimento.

Ejemplos

I Lanzar dos dados y registrar los resultados: = {(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6)}.Dos eventos:suma igual a 8, B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)};dado 1 es par, A = {(2, 1), (2, 2), . . . , (6, 6)}

I Lanzar una tiza a la pizarra y registrar el punto donde cayo: = {(x , y) : 0 x 5, 0 y 1.2}Evento: mitad derecha de la pizarra, A = {(x , y) : x 52}


Definicion de Probabilidad

Ejemplos

I Se saca un nuevo producto al mercado y se miden las ventasdel mes: = [0, precio stock], A = {ventas 10000}

ObservacionTodo evento puede se puede especificar por medio de variablesaleatorias

I A = {D1 + D2 = 8}, B = {D1 = 2, 4, 6}I A = {0 X 2.5}I A = {V 10000}

ObservacionDado el evento A, al realizar el experimento, hay 2 posibilidades:

I el resultado satisface al evento A (decimos que A ocurre)

I el resultado no satisface al evento A (A no ocurre)



Definicion (Probabilidad del evento A )

I Enfoque Clasico (solo para experimentos con todos susresultados igualmente probables):

P(A) =numero de resultados en A

numero total de posibles resultados

I Enfoque Frecuentista (o muestral): Repetimos el experimentouna gran cantidad de veces, entonces

P(A) =numero de repeticiones en que A ocurre

numero total de repeticiones

I Enfoque Subjetivo: De acuerdo a lo que se estima son lasposibilidades de que ocurra el evento



Definicion (Probabilidad del evento A )I Enfoque Clasico (solo para experimentos con todos sus

resultados igualmente probables):

P(A) =numero de resultados en A

numero total de posibles resultados

I Enfoque Frecuentista (o muestral): Repetimos el experimentouna gran cantidad de veces, entonces

P(A) =numero de repeticiones en que A ocurre

numero total de repeticiones

I Enfoque Subjetivo: De acuerdo a lo que se estima son lasposibilidades de que ocurra el evento


Definicion de Probabilidad: ObservacionesI P, en otras palabras, es una funcion P : {A : A } [0, 1]I y son eventos

I Cada resultado particular es un evento: A = {}. Se denotaP() en lugar de P({}), eg. P(D1 = 3,D2 = 3) = 136

I Caso particular = R,R2, ....I Eventos tpicos: conjuntos de puntos, intervalos, . . . . eg. para

= R A = {2.33, 0.5, 1.1}, B = [0, 0.7[, C =], 2].I En este caso se acostumbra llamar distribucion a P.I Es suficiente para la mayora de aplicaciones elementales.

I Calcular P segun el enfoque frecuentista es analogo a construirun Histograma

I Para calcular P segun el enfoque clasico: Saber contar!I La probabilidad brinda informacion sobre el experimento, no es

informacion completa (no dice que va a pasar con certeza)pero es informacion. Segun esta perspectiva la distribucionuniforme (equiprobabilidad) representa ausencia deinformacion.


Definicion de Probabilidad: ObservacionesI P, en otras palabras, es una funcion P : {A : A } [0, 1]I y son eventosI Cada resultado particular es un evento: A = {}. Se denota

P() en lugar de P({}), eg. P(D1 = 3,D2 = 3) = 136

I Caso particular = R,R2, ....I Eventos tpicos: conjuntos de puntos, intervalos, . . . . eg. para

= R A = {2.33, 0.5, 1.1}, B = [0, 0.7[, C =], 2].I En este caso se acostumbra llamar distribucion a P.I Es suficiente para la mayora de aplicaciones elementales.






P() en lugar de P({}), eg. P(D1 = 3,D2 = 3) = 136I Caso particular = R,R2, ....

I Eventos tpicos: conjuntos de puntos, intervalos, . . . . eg. para = R A = {2.33, 0.5, 1.1}, B = [0, 0.7[, C =], 2].

I En este caso se acostumbra llamar distribucion a P.I Es suficiente para la mayora de aplicaciones elementales.










I Para calcular P segun el enfoque clasico: Saber contar!

I La probabilidad brinda informacion sobre el experimento, no esinformacion completa (no dice que va a pasar con certeza)pero es informacion. Segun esta perspectiva la distribucionuniforme (equiprobabilidad) representa ausencia deinformacion.


Reglas de Probabilidad elemental

I Reglas basicas0 P(A) 1P() = 1Si A B = , P(A B) = P(A) + P(B)

I Interpretacion es el evento: se obtuvo algun resultado: no se obtuvo un resultadoA B: el resultado esta en A o en BA B: el resultado esta en (es compatible con) A y BSi A B = se dice que A y B son incompatibles.Ac : el resultado no esta en A, A no ocurrio

I ConsecuenciasP() = 0P(Ac ) = 1 P(A)Si A B, P(A) P(B)P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)P(A B) P(A) + P(B)


Saber contar

Si los resultados se diferencian por dos caractersticas, cada una delas cuales puede tomar n1 y n2 posibles valores, respectvamente,entonces hay n1n2 posibles resultados

Ejemplo

Si el menu tiene 5 entradas, 6 platos de fondo y 3 postres, entonceshay 90 almuerzos distintos

Esquemas de Muestreo: Pensemos en una urna con n bolasnumeradas y sacamos una bola sucesivamente m veces

I Muestreo con reposicion y orden: Reponemos las bolasseleccionadas luego de cada seleccion; el orden en que sonseleccionadas importa (son diferentes resultados en los que lasbolas aparecen en distinto orden). Luego

# de resultados = nm


Saber contarI Muestreo sin reposicion y con orden (m n):

# de resultados = n(n 1) (n m + 1) = n!(n m)!

Caso particilar n = m: permutaciones de n objetos

I Muestreo sin reposicion y sin orden: Si tomamos m bolascon orden tendramos n!/(n m)! resultados, pero cadaseleccion de m bolas se puede ordenar en m! formas, luegoignorando el orden:

# de resultados =n!

(n m)!m! =(

n

m

)

I Muestreo con reposicion y sin orden: Solo interesa cuantasveces fue seleccionada cada bola los resultados se pudenrepresentar como XX|X|| |XXX # de resultados = #de formas en que se pueden colocar n 1 barras entre m X.

# de resultados =

(n + m 1

n 1)


Saber contarI Muestreo sin reposicion y con orden (m n):

# de resultados = n(n 1) (n m + 1) = n!(n m)!

Caso particilar n = m: permutaciones de n objetosI Muestreo sin reposicion y sin orden: Si tomamos m bolas

con orden tendramos n!/(n m)! resultados, pero cadaseleccion de m bolas se puede ordenar en m! formas, luegoignorando el orden:

# de resultados =n!

(n m)!m! =(

n

m

)

I Muestreo con reposicion y sin orden: Solo interesa cuantasveces fue seleccionada cada bola los resultados se pudenrepresentar como XX|X|| |XXX # de resultados = #de formas en que se pueden colocar n 1 barras entre m X.

# de resultados =

(n + m 1

n 1)


Saber contar

ObservacionVemos que en los diferentes esquemas de muestreo los resultadostienen, respectivamente, la forma:

I Una m-upla de numeros entre 1 y n

I Una m-upla de numeros entre 1 y n, todos diferentes

I Un conjunto de m numeros distintos entre 1 y n

I Una n-upla de numeros entre 0 y m con suma igual a m

Ejemplos

I Un comite de 5 personas se selecciona al azar de un grupo de5 hombres y 10 mujeres. Con que probabilidad el comiteestara compuesto por 2 hombres y 3 mujeres? P(A) = NA/N,N =

(155

), NA =

(52

)(103

)


Saber contar






Ejemplos

I Un comite de 5 personas se selecciona al azar de un grupo de5 hombres y 10 mujeres. Con que probabilidad el comiteestara compuesto por 2 hombres y 3 mujeres?

P(A) = NA/N,N =

(155

), NA =

(52

)(103

)


Saber contar






Ejemplos

I Un comite de 5 personas se selecciona al azar de un grupo de5 hombres y 10 mujeres. Con que probabilidad el comiteestara compuesto por 2 hombres y 3 mujeres? P(A) = NA/N,

N =(15

5

), NA =

(52

)(103

)


Saber contar






Ejemplos


(155

),

NA =(5

2

)(103

)


Saber contar






Ejemplos


(155

), NA =

(52

)(103

), Modelos Probabilsticos Aplicados a la Ingeniera Civil 10/38

Saber contar

Ejemplos

I Cual es la probabilidad de que 5 cartas elegidas al azar seantodas de distinto numero?

N =(52

5

)NA =

(13

5

) 45

I Cual es la probabilidad de que en 13 cartas haya 5 espadas, 3corazones, 4 diamantes y un trebol? N =

(5213

),

NA =(13

5

)(133

)(134

)(131

)I En una urna hay 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 azules. Si se

retiran las bolas sucesivamente sin reponerlas, cual es laprobabilidad de que las tres ultimas bolas sean de diferentecolor? N = 15 14 13, NA = 6 (6 5 4)


Saber contar

Ejemplos

I Cual es la probabilidad de que 5 cartas elegidas al azar seantodas de distinto numero? N =

(525

)

NA =

(13

5

) 45


(5213

),

NA =(13

5

)(133

)(134

)(131




Saber contar

Ejemplos


(525

)NA =

(13

5

) 45


(5213

),

NA =(13

5

)(133

)(134

)(131




Saber contar

Ejemplos


(525

)NA =

(13

5

) 45

I Cual es la probabilidad de que en 13 cartas haya 5 espadas, 3corazones, 4 diamantes y un trebol?

N =(52

13

),

NA =(13

5

)(133

)(134

)(131




Saber contar

Ejemplos


(525

)NA =

(13

5

) 45


(5213

),

NA =(13

5

)(133

)(134

)(131




Saber contar

Ejemplos


(525

)NA =

(13

5

) 45


(5213

),

NA =(13

5

)(133

)(134

)(131

)

I En una urna hay 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 azules. Si seretiran las bolas sucesivamente sin reponerlas, cual es laprobabilidad de que las tres ultimas bolas sean de diferentecolor? N = 15 14 13, NA = 6 (6 5 4)


Saber contar

Ejemplos


(525

)NA =

(13

5

) 45


(5213

),

NA =(13

5

)(133

)(134

)(131




Saber contar

Ejemplos

I Sean n bolas, con m1 de un color, m2 de otro color, . . . , y mkde un k-esimo color. Cuantas formas distintas hay deseleccionar las n bolas si solo las distinguimos por su color?

Sidistinguimos todas las bolas, hay n! formas de seleccionar las nbolas. Pero dada una seleccion hay m1 formas de reordenar lasbolas del primer color, m2 las del segundo color, etc. Todosesos reordenamientos se consideran como el mismo resultado,luego hay

n!

m1! mk !formas de seleccionarlas sin distinguir su color.


Saber contar

Ejemplos

I Sean n bolas, con m1 de un color, m2 de otro color, . . . , y mkde un k-esimo color. Cuantas formas distintas hay deseleccionar las n bolas si solo las distinguimos por su color? Sidistinguimos todas las bolas, hay n! formas de seleccionar las nbolas. Pero dada una seleccion hay m1 formas de reordenar lasbolas del primer color, m2 las del segundo color, etc.

Todosesos reordenamientos se consideran como el mismo resultado,luego hay

n!



Saber contar

Ejemplos

I Sean n bolas, con m1 de un color, m2 de otro color, . . . , y mkde un k-esimo color. Cuantas formas distintas hay deseleccionar las n bolas si solo las distinguimos por su color? Sidistinguimos todas las bolas, hay n! formas de seleccionar las nbolas. Pero dada una seleccion hay m1 formas de reordenar lasbolas del primer color, m2 las del segundo color, etc. Todosesos reordenamientos se consideran como el mismo resultado,luego hay

n!



Algunos modelosLa definicion frecuentista de probabilidad permite aproximarnos a laprobabilidad (distribucion) real. En algunos casos se acerca amodelos conocidos.

Ejemplos

I Bernoulli (una sola prueba): X Ber(p); = {0, 1} (o mejor = R con P concentrada en {0, 1}); eg. P(X ]0,[) = p

I Binomial (sucesion de n pruebas): X Binom(n, p); = R, Pconcentrada en {0, 1, . . . , n}; P(X [a, b]) =

x[a,b]P(X = x)

con P(X = x) =(n

x

)px (1 p)nx

I Dirac (degenerado): X a; = R, P concentrada en {a};eg. P(X [a, a + [) = a([a, a + [) = 1

I Poisson (numero de sucesos al azar): X Poiss(), > 0; = R, probabilidad concentrada en {0, 1, 2, . . . };P(X [a, b]) =

x[a,b]P(X = x), con P(X = x) = e

xx!


Algunos modelos

Ejemplos

I Exponencial (tiempos de espera): X Exp(); = R

fX (x) =

{ex , x > 00, x < 0

P(X [a, b]) = ba fX (x)dx

I Uniforme (indiferencia): X Unif (c , d); = R;

fx (x) =

{1

dc , c x d0, caso contrario

P(X [a, b]) = ba fX (x)dxI Normal (errores): X N(, 2); = R;

fX (x) =12pi

e(x)2

22 ; P(X [a, b]) = ba fX (x)dx


Algunos modelos

Ejemplos


fX (x) =

{ex , x > 00, x < 0

P(X [a, b]) = ba fX (x)dxI Uniforme (indiferencia): X Unif (c , d); = R;

fx (x) =

{1


P(X [a, b]) = ba fX (x)dx

I Normal (errores): X N(, 2); = R;fX (x) =

12pi

e(x)2

22 ; P(X [a, b]) = ba fX (x)dx


Algunos modelos

Ejemplos


fX (x) =

{ex , x > 00, x < 0

P(X [a, b]) = ba fX (x)dxI Uniforme (indiferencia): X Unif (c , d); = R;

fx (x) =

{1


P(X [a, b]) = ba fX (x)dxI Normal (errores): X N(, 2); = R;

fX (x) =12pi

e(x)2

22 ; P(X [a, b]) = ba fX (x)dx, Modelos Probabilsticos Aplicados a la Ingeniera Civil 14/38

Variable Aleatoria, Distribucion

Para cada resultado , X toma un valor determinado X ().Podemos definir por tanto

Definicion (Variable Aleatoria Real)

Es una funcion X : R

ObservacionEn los ejemplos anteriores podemos asumir que X esta definido en = R como la identidad X () = , de forma que P, definido en = R, cumple P([a, b]) = P(X [a, b]). Por ejemplo, para elcaso Poisson P([a, b]) = e

x[a,b]

x/x!

En general puede ser mas grande, X no ser la identidad, y P(A)no coincidir con P(X A) o no estar definida.Definicion (Distribucion de X )

Es la probabilidad PX = X en R definida porPX ([a, b]) = X ([a, b]) = P(X [a, b]).





Es una funcion X : RObservacionEn los ejemplos anteriores podemos asumir que X esta definido en = R como la identidad X () = , de forma que P, definido en = R, cumple P([a, b]) = P(X [a, b]). Por ejemplo, para elcaso Poisson P([a, b]) = e

x[a,b]

x/x!








x[a,b]

x/x!

En general puede ser mas grande, X no ser la identidad, y P(A)no coincidir con P(X A) o no estar definida.

Definicion (Distribucion de X )







x[a,b]

x/x!




Distribucion

I Cuando PX esta concentrada en un conjunto finito o contable{k1, k2, . . . }, de modo que PX ([a, b]) =

i :ki[a,b] pX (ki ), se

dice que X es discreta (4 primeros ejemplos anteriores). pX sellama funcion de masa de probabilidad de X .

I Si PX se define integrando una funcion positiva, de modo quePX ([a, b]) =

ba fX (x)dx , se dice que X es (absolutamente)

continua (3 ultimos ejemplos). fX se llama funcion dedensidad de X .

I Existen ejemplos mixtos.


Funcion de DistribucionPara una probabilidad en R, basta conocer su valor en los conjuntosdel tipo [a, b] para conocer su valor en cualquier otro conjunto. Dehecho basta conocer sus valores en cojuntos ], a].

Definicion (Funcion de distribucion de X )

Es la funcion FX en R, dada porFX (x) = PX (], x ]) = P(X x)Se cumplen las propiedades:

I La distribucion de X esta determinada por FX (y viceversa).

I FX () = 0, FX () = 1I FX es monotona no decreciente

I PX (a) = FX (a) limca FX (c)I Si X es discreta, FX crece a saltos unicamente, dados por

FX (ki ) limcki FX (c) = pX (ki )I Si X es (absolutamente) continua, FX es continua (todo punto

tiene probabilidad 0) y derivable con fX = dFX/dx .


Funcion de DistribucionPara una probabilidad en R, basta conocer su valor en los conjuntosdel tipo [a, b] para conocer su valor en cualquier otro conjunto. Dehecho basta conocer sus valores en cojuntos ], a].Definicion (Funcion de distribucion de X )

Es la funcion FX en R, dada porFX (x) = PX (], x ]) = P(X x)

Se cumplen las propiedades:










I FX () = 0, FX () = 1

I FX es monotona no decreciente









I PX (a) = FX (a) limca FX (c)

I Si X es discreta, FX crece a saltos unicamente, dados porFX (ki ) limcki FX (c) = pX (ki )

I Si X es (absolutamente) continua, FX es continua (todo puntotiene probabilidad 0) y derivable con fX = dFX/dx .







FX (ki ) limcki FX (c) = pX (ki )

I Si X es (absolutamente) continua, FX es continua (todo puntotiene probabilidad 0) y derivable con fX = dFX/dx .


Probabilidad Condicional e Independencia

Definicion (Extension)

Sean , se dice la probabilidad P en extiende a laprobabilidad P en si P (A) = P ()P(A) para todo A

Ejemplos

I P , : se lanza un dado hasta sacar un numero par y se registraP , : se lanza un dado y se registra = {2, 4, 6}, = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P(2)=P(4)=P(6)=1/3;eg. P (4) = P ()P(4).

I P, : entre los alumnos de un curso se toma un hombre alazar y se averigua si lleva el curso por primera vezP , : entre los alumnos del mismo curso se toma un alumnoal azar, se averigua su sexo y si lleva el curso por primera vez = {(H,X), (H,)} = {(H,X), (H,), (M,X), (M,)};eg. P (H,X) = P (H)P(H,X)

La operacion inversa es llamada probabilidad condicional




Sean , se dice la probabilidad P en extiende a laprobabilidad P en si P (A) = P ()P(A) para todo A Ejemplos

I P , : se lanza un dado hasta sacar un numero par y se registraP , : se lanza un dado y se registra

= {2, 4, 6}, = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P(2)=P(4)=P(6)=1/3;eg. P (4) = P ()P(4).







I P , : se lanza un dado hasta sacar un numero par y se registraP , : se lanza un dado y se registra = {2, 4, 6}, = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P(2)=P(4)=P(6)=1/3;

eg. P (4) = P ()P(4).I P, : entre los alumnos de un curso se toma un hombre al

azar y se averigua si lleva el curso por primera vezP , : entre los alumnos del mismo curso se toma un alumnoal azar, se averigua su sexo y si lleva el curso por primera vez = {(H,X), (H,)} = {(H,X), (H,), (M,X), (M,)};eg. P (H,X) = P (H)P(H,X)







I P, : entre los alumnos de un curso se toma un hombre alazar y se averigua si lleva el curso por primera vezP , : entre los alumnos del mismo curso se toma un alumnoal azar, se averigua su sexo y si lleva el curso por primera vez

= {(H,X), (H,)} = {(H,X), (H,), (M,X), (M,)};eg. P (H,X) = P (H)P(H,X)







I P, : entre los alumnos de un curso se toma un hombre alazar y se averigua si lleva el curso por primera vezP , : entre los alumnos del mismo curso se toma un alumnoal azar, se averigua su sexo y si lleva el curso por primera vez = {(H,X), (H,)} = {(H,X), (H,), (M,X), (M,)};

eg. P (H,X) = P (H)P(H,X)








La operacion inversa es llamada probabilidad condicional, Modelos Probabilsticos Aplicados a la Ingeniera Civil 18/38


Definicion (Probabilidad condicional)

Dada P probabilidad en y B , la probabilidad Q definida enB (indistintamente, definida en y concentrada en B) tal queP(A) = P(B)Q(A) para todo A B, es llamada probabilidadcondicional dado B y se denota P( |B)

I Vemos que P(A|B) = P(A)/P(B) para A B, o pensandoladefinida en , P(A|B) = P(A B)/P(B) para A .

I Interpretacion segun el esquema frecuentista

Ejemplos

I Se lanza un dado y sale un numero par, con que probabilidadel numero es 4?P(4|par) = P(4, par)/P(par) = (1/6)/(1/2) = 1/3.

I Entre los alumnos de un curso se toma un alumno al azar y eshombre, con que probabilidad lleva el curso por primera vez?P(X|H) = P(X,H)/P(H)




Dada P probabilidad en y B , la probabilidad Q definida enB (indistintamente, definida en y concentrada en B) tal queP(A) = P(B)Q(A) para todo A B, es llamada probabilidadcondicional dado B y se denota P( |B)I Vemos que P(A|B) = P(A)/P(B) para A B, o pensandola

definida en , P(A|B) = P(A B)/P(B) para A .

I Interpretacion segun el esquema frecuentista

Ejemplos







definida en , P(A|B) = P(A B)/P(B) para A .I Interpretacion segun el esquema frecuentista

Ejemplos








Ejemplos

I Se lanza un dado y sale un numero par, con que probabilidadel numero es 4?

P(4|par) = P(4, par)/P(par) = (1/6)/(1/2) = 1/3.I Entre los alumnos de un curso se toma un alumno al azar y es

hombre, con que probabilidad lleva el curso por primera vez?P(X|H) = P(X,H)/P(H)






Ejemplos








Ejemplos


I Entre los alumnos de un curso se toma un alumno al azar y eshombre, con que probabilidad lleva el curso por primera vez?

P(X|H) = P(X,H)/P(H)






Ejemplos





Ejemplos

I Una urna tiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 azules. Cual es laprobabilidad de que las tres primeras en retirar sean de distintocolor?

Hay 6 casos, cada uno con probabilidad 456151413 . Porejemplo P(b, r , a) = P(b)P(r |b)P(a|b, r) = 515 414 613 . Luego laprobabilidad buscada es 6 veces esta cantidad.

ObservacionLa probabilidad condicional P( |B) expresa el contenido deinformacion en B, dado por P.



Ejemplos

I Una urna tiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 azules. Cual es laprobabilidad de que las tres primeras en retirar sean de distintocolor? Hay 6 casos, cada uno con probabilidad 456151413 . Porejemplo P(b, r , a) = P(b)P(r |b)P(a|b, r) = 515 414 613 . Luego laprobabilidad buscada es 6 veces esta cantidad.

ObservacionLa probabilidad condicional P( |B) expresa el contenido deinformacion en B, dado por P.


Independencia

Definicion (Independencia)

Se dice que A y B son independientes si el saber que B ocurre noinfluye en la probabilidad con que A ocurre (no da informacionadicional sobre A), ie. P(A|B) = P(A); simetricamente, que Aocurra no influye en la probabilidad de B, P(B|A) = P(B).

Equivalentemente, A y B son independientes siP(A B) = P(A)P(B)Ejemplo

Un restaurante ofrece 90 distintos almuerzos, compuestos por 5posibles entradas, 6 posibles platos de fondo y 3 posibles postres.Un comensal elije cada plato al azar, con que probabilidad elegirael almuerzo numero 57? P(e = i)P(f = j)P(p = k) = 15

16

13

Teorema (Probabilidad Total)

Si B1 B2 B3 = con B1, B2 y B3 disjuntos

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3)


Independencia


Se dice que A y B son independientes si el saber que B ocurre noinfluye en la probabilidad con que A ocurre (no da informacionadicional sobre A), ie. P(A|B) = P(A); simetricamente, que Aocurra no influye en la probabilidad de B, P(B|A) = P(B).Equivalentemente, A y B son independientes siP(A B) = P(A)P(B)

Ejemplo


16

13





Independencia


Se dice que A y B son independientes si el saber que B ocurre noinfluye en la probabilidad con que A ocurre (no da informacionadicional sobre A), ie. P(A|B) = P(A); simetricamente, que Aocurra no influye en la probabilidad de B, P(B|A) = P(B).Equivalentemente, A y B son independientes siP(A B) = P(A)P(B)Ejemplo

Un restaurante ofrece 90 distintos almuerzos, compuestos por 5posibles entradas, 6 posibles platos de fondo y 3 posibles postres.Un comensal elije cada plato al azar, con que probabilidad elegirael almuerzo numero 57?

P(e = i)P(f = j)P(p = k) = 1516

13





Independencia




16

13





Independencia




16

13



P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3), Modelos Probabilsticos Aplicados a la Ingeniera Civil 21/38

Probabilidad Total

Ejemplos

I Por un corredor con 4 puertas cerradas pasan sucesivamente 3personas abriendo o cerrando una sola puerta cada una (seguneste cerrada o abierta la puerta que elijan). Con queprobabilidad quedara una sola puerta abierta luego que pasen las3 personas?

Sea A = una puerta abierta al final

P(A) = P(A|1 = 2)P(1 = 2) + P(A|1 6= 2)P(1 6= 2)= 1 1

4+

3

4 1

2=

5

8

I (Bayes: P(Bi |A) = P(A|Bi )P(Bi )/P(A), con P(A) dado por laformula de probabilidad total) En cierta tienda 50% detelevisores vendidos son LCD (con 96% de satisfaccion) 30%Plasma (95%) y 20% LED (90%). Si llega un cliente a reclamarpor su televisor, que probabilidad hay que sea Plasma?P(Pl |) =?. P(LC ) = 0.5, P(Pl) = 0.3, P(LE ) = 0.2,P(|LC ) = 0.04, P(|Pl) = 0.05, P(|LE ) = 0.1.


Probabilidad Total

Ejemplos

I Por un corredor con 4 puertas cerradas pasan sucesivamente 3personas abriendo o cerrando una sola puerta cada una (seguneste cerrada o abierta la puerta que elijan). Con queprobabilidad quedara una sola puerta abierta luego que pasen las3 personas? Sea A = una puerta abierta al final

P(A) = P(A|1 = 2)P(1 = 2) + P(A|1 6= 2)P(1 6= 2)= 1 1

4+

3

4 1

2=

5

8



Probabilidad Total

Ejemplos


P(A) = P(A|1 = 2)P(1 = 2) + P(A|1 6= 2)P(1 6= 2)= 1 1

4+

3

4 1

2=

5

8

I (Bayes: P(Bi |A) = P(A|Bi )P(Bi )/P(A), con P(A) dado por laformula de probabilidad total)

En cierta tienda 50% detelevisores vendidos son LCD (con 96% de satisfaccion) 30%Plasma (95%) y 20% LED (90%). Si llega un cliente a reclamarpor su televisor, que probabilidad hay que sea Plasma?P(Pl |) =?. P(LC ) = 0.5, P(Pl) = 0.3, P(LE ) = 0.2,P(|LC ) = 0.04, P(|Pl) = 0.05, P(|LE ) = 0.1.


Probabilidad Total

Ejemplos


P(A) = P(A|1 = 2)P(1 = 2) + P(A|1 6= 2)P(1 6= 2)= 1 1

4+

3

4 1

2=

5

8

I (Bayes: P(Bi |A) = P(A|Bi )P(Bi )/P(A), con P(A) dado por laformula de probabilidad total) En cierta tienda 50% detelevisores vendidos son LCD (con 96% de satisfaccion) 30%Plasma (95%) y 20% LED (90%). Si llega un cliente a reclamarpor su televisor, que probabilidad hay que sea Plasma?

P(Pl |) =?. P(LC ) = 0.5, P(Pl) = 0.3, P(LE ) = 0.2,P(|LC ) = 0.04, P(|Pl) = 0.05, P(|LE ) = 0.1.


Probabilidad Total

Ejemplos


P(A) = P(A|1 = 2)P(1 = 2) + P(A|1 6= 2)P(1 6= 2)= 1 1

4+

3

4 1

2=

5

8

I (Bayes: P(Bi |A) = P(A|Bi )P(Bi )/P(A), con P(A) dado por laformula de probabilidad total) En cierta tienda 50% detelevisores vendidos son LCD (con 96% de satisfaccion) 30%Plasma (95%) y 20% LED (90%). Si llega un cliente a reclamarpor su televisor, que probabilidad hay que sea Plasma?P(Pl |) =?.

P(LC ) = 0.5, P(Pl) = 0.3, P(LE ) = 0.2,P(|LC ) = 0.04, P(|Pl) = 0.05, P(|LE ) = 0.1.


Probabilidad Total

Ejemplos


P(A) = P(A|1 = 2)P(1 = 2) + P(A|1 6= 2)P(1 6= 2)= 1 1

4+

3

4 1

2=

5

8



Probabilidad, de nuevoSean = {resultados} y P: probabilidad en

Llamemos F al conjunto de todos los eventos. Se debe cumplir:S1 FS2 Si A F entonces Ac FS3 Si A,B F entonces A B FS4 Si A1,A2, F entonces i=1Ai F

Si F cumple estas popiedades se dice que es una sigma algebra.Algunas consecuencias:I FI A,B F A B FI A1,A2, F i=1Ai

Ahora P esta definida en F y debe satisfacer las reglas de todaprobabilidad:

P1 0 P(A) 1 para todo A FP2 P() = 1P3 Si A1,A2, F son disjuntos dos a dos, entonces

P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )


Probabilidad, de nuevoSean = {resultados} y P: probabilidad en Llamemos F al conjunto de todos los eventos. Se debe cumplir:

S1 FS2 Si A F entonces Ac FS3 Si A,B F entonces A B FS4 Si A1,A2, F entonces i=1Ai F




P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )


Probabilidad, de nuevoSean = {resultados} y P: probabilidad en Llamemos F al conjunto de todos los eventos. Se debe cumplir:S1 F

S2 Si A F entonces Ac FS3 Si A,B F entonces A B FS4 Si A1,A2, F entonces i=1Ai F




P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )


Probabilidad, de nuevoSean = {resultados} y P: probabilidad en Llamemos F al conjunto de todos los eventos. Se debe cumplir:S1 FS2 Si A F entonces Ac F

S3 Si A,B F entonces A B FS4 Si A1,A2, F entonces i=1Ai F




P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )


Probabilidad, de nuevoSean = {resultados} y P: probabilidad en Llamemos F al conjunto de todos los eventos. Se debe cumplir:S1 FS2 Si A F entonces Ac FS3 Si A,B F entonces A B F

S4 Si A1,A2, F entonces i=1Ai FSi F cumple estas popiedades se dice que es una sigma algebra.Algunas consecuencias:I FI A,B F A B FI A1,A2, F i=1Ai



P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )


Probabilidad, de nuevoSean = {resultados} y P: probabilidad en Llamemos F al conjunto de todos los eventos. Se debe cumplir:S1 FS2 Si A F entonces Ac FS3 Si A,B F entonces A B FS4 Si A1,A2, F entonces i=1Ai F




P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )



Si F cumple estas popiedades se dice que es una sigma algebra.Algunas consecuencias:I F

I A,B F A B FI A1,A2, F i=1Ai



P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )



Si F cumple estas popiedades se dice que es una sigma algebra.Algunas consecuencias:I FI A,B F A B F

I A1,A2, F i=1AiAhora P esta definida en F y debe satisfacer las reglas de todaprobabilidad:


P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )






P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )





P1 0 P(A) 1 para todo A F

P2 P() = 1P3 Si A1,A2, F son disjuntos dos a dos, entonces

P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )





P1 0 P(A) 1 para todo A FP2 P() = 1

P3 Si A1,A2, F son disjuntos dos a dos, entoncesP(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai )






P(i=1Ai ) =

i=1 P(Ai ), Modelos Probabilsticos Aplicados a la Ingeniera Civil 23/38

Ejemplos

DefinicionSe dice que la probabilidad P esta concentrada en A si P(A) = 1.Ejemplos

No nos limitaremos al caso = R.I = N = {1, 2, . . . }, P(1) = p, P(2) = p(1 p),

P(3) = p(1 p)2,. . .

I = [0, 1], P([a, b]) = b aI = Rn, P([a, b]) =

b1a1 bnan euu/2(2pi)n/2 du1 . . . dun

En un conjunto discreto usaremos siempre F = {todos lossubconjuntos de } (denotado 2).En caso que = R queremos que los intervalos sean eventos (estenen F), pero el conjunto de todos los intervalos no cumple con laspropiedades S1-S4. Si anadimos los conjuntos faltantes obtenemosB (boreleanos de R). Similarmente, en R2, anadiendo a losrectangulos sus conjuntos faltantes, obtenemos los boreleanosbidimensionales B2.


Ejemplos



P(3) = p(1 p)2,. . .I = [0, 1], P([a, b]) = b a

I = Rn, P([a, b]) = b1

a1 bnan euu/2(2pi)n/2 du1 . . . dun



Ejemplos



P(3) = p(1 p)2,. . .I = [0, 1], P([a, b]) = b aI = Rn, P([a, b]) =




Ejemplos





En un conjunto discreto usaremos siempre F = {todos lossubconjuntos de } (denotado 2).

En caso que = R queremos que los intervalos sean eventos (estenen F), pero el conjunto de todos los intervalos no cumple con laspropiedades S1-S4. Si anadimos los conjuntos faltantes obtenemosB (boreleanos de R). Similarmente, en R2, anadiendo a losrectangulos sus conjuntos faltantes, obtenemos los boreleanosbidimensionales B2.


Ejemplos





En un conjunto discreto usaremos siempre F = {todos lossubconjuntos de } (denotado 2).En caso que = R queremos que los intervalos sean eventos (estenen F), pero el conjunto de todos los intervalos no cumple con laspropiedades S1-S4.

Si anadimos los conjuntos faltantes obtenemosB (boreleanos de R). Similarmente, en R2, anadiendo a losrectangulos sus conjuntos faltantes, obtenemos los boreleanosbidimensionales B2.


Ejemplos





En un conjunto discreto usaremos siempre F = {todos lossubconjuntos de } (denotado 2).En caso que = R queremos que los intervalos sean eventos (estenen F), pero el conjunto de todos los intervalos no cumple con laspropiedades S1-S4. Si anadimos los conjuntos faltantes obtenemosB (boreleanos de R).

Similarmente, en R2, anadiendo a losrectangulos sus conjuntos faltantes, obtenemos los boreleanosbidimensionales B2.


Ejemplos







Ejemplos

DefinicionEsta operacion de completar un conjunto de eventos C para queforme una -algebra siempre es posible y la -algebra generada sedenota (C).De hecho, dado que interseccion de -algebras es -algebra

(C) =

G:G es -alg en , GCG

Ejemplos

Veamos dos casos de como se cumple P3 en los dos primerosejemplos anteriores.

I

k=1 P(k) = p1

1(1p) = 1 = P() = P(N) = P(k=1{k})I P(] 13 ,

12 ]) + P(]

14 ,

13 ]) + = ( 12 13 ) + ( 13 14 ) + = 12 =

P(]0, 12 ]) = P(n=2] 1n+1 , 1n ])


modelosprobabilisticosaplicados1

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