modelos operacionales-c2

UNIVERSIDAD METROPOLITANA DE XALAPA. “U.M.X.” Clase número: _________ Fecha: ______________ Materia: Modelos Operacionales. Nombre del alumno: _______________________________ Grupo o modalidad:_________

Diseño: Lic. Enrique Corona Alarcón. Unidad II Página 17

II. Programación lineal. En este capítulo se da una introducción del tema de la programación lineal. La programación lineal es una técnica de modelado (construcción de modelos) potente y de gran aplicación en matemáticas. Por otra parte, ofrece además un importante marco de referencia que se relaciona con un área más general de las técnicas de modelado denominada programación matemática. La programación lineal estudia el problema de minimizar o maximizar una función lineal en la presencia de desigualdades lineales. Desde que George B. Dantzig desarrolló el método simplex en 1947, la programación lineal se ha utilizado extensamente en el área militar, industrial, gubernamental y de planificación urbana, entre otras. La popularidad de la programación lineal se puede atribuir a muchos factores, incluyendo su habilidad para modelar problemas grandes y complejos, y la habilidad de los usuarios para resolver problemas a gran escala en un intervalo razonable de tiempo mediante el uso del método simplex y de computadoras. A partir de la Segunda Guerra Mundial se hizo evidente que era esencial la planificación y coordinación entre varios proyectos, así como el uso eficaz de los recursos disponibles. En junio de 1947 se inició un trabajo intensivo del equipo de la Fuerza Aérea de los EE.UU. conocido como SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs). Como resultado, George B. Dantzig desarrolló el método simplex para el final del verano de 1947. El interés en la programación lineal se difundió rápidamente entre economistas, matemáticos, estadísticos e instituciones gubernamentales. En el verano de 1949 se dictó una conferencia sobre programación lineal bajo el patrocinio de la Comisión Cowles para la Investigación en Economía. Posteriormente, los trabajos presentados en esa conferencia fueron recopilados por T.C. Koopmans, en 1951, en el libro Activity Analysis of Production and Allocation. Desde la creación del método simplex mucha gente ha contribuido al crecimiento de la programación lineal, ya sea desarrollando su teoría matemática, diseñando códigos y métodos computacionales eficientes, experimentando nuevas aplicaciones, y también utilizando la programación lineal como una herramienta auxiliar para resolver problemas más complejos como son programas discretos, programas no lineales, problemas combinatorios, problemas de programación estocástica y problemas de control óptimo. En este libro se estudian las áreas de programación lineal y de redes de optimización. El método simplex representa la médula de la mayoría de las técnicas que se utilizaran. Siempre que es posible, el método-simplex se particulariza para tomar ventaja de la estructura de los problemas. Siempre se ha intentado presentar primero las técnicas, ilustrarlas mediante ejemplos numéricos, y después, proporcionar un análisis matemático detallado y un argumento que demuestre la convergencia a una solución óptima. Aunque esto puede molestar a algunos lectores, se piensa que el formato y el nivel matemático adoptados proporcionarán un estudio adecuado y fluido a aquéllos que deseen aprender las técnicas y los trucos para utilizadas, y también a aquéllos que deseen estudiar los algoritmos a un nivel más riguroso.



El texto es para estudiantes avanzados de licenciatura, ingeniería industrial, administración, investigación de operaciones, ciencias de la computación, matemáticas, y otras áreas de ingeniería que utilizan la programación lineal y las redes de optimización. Aunque el material requiere algunos conocimientos de matemáticas, el único prerrequisito es álgebra lineal. También se expondrán la naturaleza y estructura de los problemas de la programación lineal; se estudiarán algunas aplicaciones y algunos procedimientos de solución gráfica en el caso, de dos variables. Además, como la mayor parte de los problemas de este tipo se resuelven mediante programas de computadora, se describirán esos procedimientos de solución.

II.1.- El método de programación lineal. La programación lineal (PL) es una técnica matemática de optimización. Por técnica de "optimización" se entiende un método que trata de maximizar o minimizar un objetivo; por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos. La programación lineal es un subconjunto de un área más extensa de procedimientos de optimización matemática llamada programación matemática. Aunque la aplicación de estos métodos de programación matemática suele exigir el empleo de computadoras, ninguno de ellos se ocupa directamente de la "programación" por computadora. Su interés principal es tomar decisiones óptimas. La programación lineal es una técnica muy potente y con multitud de aplicaciones. Se usa mucho en la industria militar y en la petrolera. Si bien esos sectores han sido quizá los principales usuarios de ella, el sector de servicios y el sector público de la economía también la han aprovechado ampliamente. En todo problema de programación lineal hay que tomar ciertas decisiones. Éstas se representan con variables de decisión xi que se utilizan en el modelo de programación lineal. La estructura básica de un problema de este tipo es maximizar o minimizar la función objetivo, satisfaciendo al mismo tiempo un grupo de condiciones restrictivas o restricciones. Dicha función es una representación matemática de la meta global formulada en función de las variables de decisión xi Puede representar metas como el nivel de utilidades, los ingresos totales, el costo total, los niveles de contaminación y el rendimiento porcentual sobre la inversión. El conjunto de restricciones, también formulado en función de xi representa condiciones que es preciso satisfacer cuando se determinan los niveles de las variables de decisión. Así, al procurar maximizar las utilidades obtenidas de la producción y venta de un grupo de productos, las restricciones muestra podrían reflejar los escasos recursos de mano de obra, las pocas materias primas y la limitada demanda de los productos. Las restricciones de un problema de programación lineal pueden representarse con ecuaciones o con desigualdades (de tipo S y/o ~). A estos problemas se les da el nombre de problemas de programación lineal porque la función objetivo y las restricciones son lineales. A continuación se plantea un problema simple escrito ya como un modelo matemático de este tipo:



Maximice 1 2

4 2z x x= +

Sujeta a: 1 2

1 2

2 24

4 3 30

x x

x x

+ ≤

+ ≥

El objetivo es maximizar z, que se formula como función lineal de las dos variables de decisión x1 y x2. Al escoger los valores de esas dos variables, hay que satisfacer dos restricciones. Estas se representan con dos desigualdades lineales escritas donde dice “Sujeta a:”. Los problemas concernientes a la mezcla de productos constituyen un grupo importante de aplicaciones de los modelos matemáticos. A continuación se ilustrará con un ejemplo simplificado el tratamiento que en la programación lineal se da a este tipo de problemas. Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2. En la tabla se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento.

Producto A Producto B Capacidad de trabajo semanal

Departamento 1 Departamento 2

3 h por unidad 4 h por unidad

2 h por unidad 6 h por unidad

120 h 260 h

Margen de utilidad $5 por unidad $6 por unidad También se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos departamentos y los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los dos productos. El problema consiste en determinar el número de unidades que hay que fabricar de cada producto, con objeto de maximizar la aportación total a los costos fijos y a las utilidades. Si se supone que x1 y x2 son el número de unidades fabricadas y vendidas, respectivamente, de los productos A y B, entonces puede calcularse la aportación a las utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos. La que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de utilidad por unidad por el número de unidades producidas y vendidas. Si z se define como la aportación a los costos y utilidades totales, se tendrá:

1 25 6z x x= +

Según la información suministrada en el planteamiento del problema, las únicas restricciones al decidir el número de unidades que deben fabricarse son las capacidades de trabajo semanal en los dos departamentos. De lo señalado en capítulos precedentes se deduce que el lector estará en condiciones de verificar si estas restricciones son representables por las desigualdades:

1 23 2 120x x+ ≤ departamento 1

1 24 6 260x x+ ≤ departamento 2



Si bien no hay una expresión formal de tal restricción, se sabe implícitamente que x1 y x2 no pueden ser negativas. Hay que explicar esta clase de restricción en la formulación del modelo. Al combinar la función objetivo y las restricciones, el modelo de programación lineal que representa el problema se formula así: Maximice

1 25 6z x x= +

sujeta a: 1 2

3 2 120x x+ ≤

1 2

4 6 260x x+ ≤

1

2

0

0

x

x

≥

≥

Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad. El modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar una función objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones: 1) restricciones estructurales y 2) restricciones de no negatividad, una para cada variable de decisión. Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitación de recursos y otras condiciones que impone la situación del problema. Las dos primeras desigualdades en la formulación anterior son restricciones estructurales. Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisión sea negativa. Las restricciones escritas por último son restricciones de no negatividad. En casi todos los problemas esa restricción resulta lógica. Se dispone de técnicas para manejar casos raros donde se permite a una variable asumir valores negativos. Problema: Una empresa produce dos juguetes: los osos Bobby y Teddy. Cada juguete requiere ser procesado en dos máquinas diferentes. La primer máquina tiene 12 horas de capacidad disponible y la otra tiene 8 horas de capacidad disponible por día. Cada Bobby requiere 2 horas en cada máquina. Cada Teddy requiere 3 hrs. en la 1er máquina y 1 hr. en la otra. La ganancia incremental es de ¢6 por cada Bobby y de ¢7 por cada Teddy. Si puede vender toda su producción, ¿Cuántas unidades diarias de cada uno debe producir?



II.2.- Método gráfico. En un problema de programación lineal se requiere encontrar el valor máximo o mínimo de alguna expresión algebraica cuando las variables de esta expresión están sujetas a un número de desigualdades lineales. El ejemplo simple siguiente es típico de tales problemas. EJEMPLO 1 (Utilidad máxima) Una compañia fabrica dos productos, X y Y. Cada uno de estos productos requiere cierto tiempo en la línea de ensamblado y otro tiempo más en el departamento de acabado. Cada artículo del tipo X necesita 5 horas de ensamblado y 2 horas de acabado, mientras que cada artículo del tipo Y requiere 3 horas en ensamblado y 4 horas de acabado. En cualquier semana, la empresa dispone de 105 horas en la línea de ensamblado y 70 horas en el departamento de acabado. La empresa puede vender todos los artículos que produce y obtener una utilidad de $200 por cada artículo de X y $160 por cada artículo de Y. Calcule el número de artículo de cada tipo que deberían fabricarse a la semana con objeto de maximizar la utilidad total. Solución Por lo regular es conveniente al manejar problemas de este tipo resumir la información en una tabla. En la tabla aparece la información del ejemplo 1.

Suponga que la empresa produce x artículos de tipo X a la semana y y artículos del tipo Y a la semana. Entonces el tiempo necesario en la línea de ensamblado será de 5x horas en el caso del producto X y 3y horas para el producto Y, o (5x + 3y) horas en total. Dado que sólo se pueden disponer de 105 horas, debemos tener que 5x + 3y ≤ 105. De manera similar, se requieren de 2x horas en el departamento de acabado por cada x artículos del producto X y 4y por cada y artículos del producto Y. El número total de horas, 2x + 4y, no pueden exceder las 70 de que se dispone, de modo que tenemos la segunda condición, 2x + 4y ≤ 70. Cada artículo del tipo X genera una utilidad de $200, de modo que x artículos producen 200x dólares de utilidad. En forma análoga, y artículos de tipo Y producen 160y dólares de utilidad. Así, la utilidad semanal total P (en dólares) está dada por

P = 200x + 160y.

Por consiguiente, podemos reestablecer el problema en los términos siguientes: encuentre los valores de x y y que maximizan la cantidad P = 200x + 160y cuando x y y están sujetas a las condiciones

5x + 3y ≤ 105, 2x + 4y ≤ 70, x ≥ 0, Y Y ≥ 0.



(Observe las condiciones de que x y y no deben ser negativas. Éstas se agregan por razones de delimitar los valores.) Este ejemplo es un problema característico de programación lineal. Tenemos una expresión P = 200x+ 160y, que es lineal en las variables x y y, y deseamos encontrar el valor máximo de P cuando x y y satisfacen las desigualdades. Un problema más general podría incluir más de dos variables y un número mayor de desigualdades que las cuatro de este ejemplo, pero de cualquier manera este ejemplo es bastante representativo de los problemas del área de programación lineal. Al analizar cualquier problema de programación lineal, en especial cuando sólo intervienen dos variables, con frecuencia es útil un enfoque geométrico. Consideremos las desigualdades. El conjunto de puntos (x, y) que satisfacen todas las desigualdades aparece sombreado en la figura. Esta región sombreada representa el conjunto de soluciones factibles, esto es, el conjunto de valores de x y y que la empresa puede adoptar. No se puede tomar, cualquier punto (x, y) situado afuera de esta región sombreada.

Por ejemplo, consideremos el punto x = 12,Y = 14, el cual está fuera de la región factible. A fin de producir 12 artículos del tipo X y 14 artículos del tipo Y se requerirían 12(5) + 14(3) = 102horas en la línea de ensamblado y 12(2) + 14(4)= 80 horas en el departamento de acabado. Si bien esto no excedería las horas disponibles en la línea de ensamblado, sí sobrepasa aquellas disponibles en el departamento de acabado; de modo que no está dentro del programa de producción posible. Consideremos ahora el conjunto de valores de x y y que conducen a alguna utilidad fija. Por ejemplo, dado a P el valor 4000, advertimos que x y y deben satisfacer la ecuación

200x + 160y = 4000.



Todos los valores de x y y que satisfacen esta ecuación producen una utilidad de $4000 a la semana. Esta es la ecuación de una línea recta que corta al eje x en el punto (20, 0) Y al eje y en el punto (0, 25), como se aprecia en la figura. Parte de esta línea pasa por la región de soluciones factibles. Debido a esto, concluimos que le es posible a la empresa lograr una utilidad de 4000 dólares a la semana. Puede realizar esto eligiendo cualquier valor de (x, y) situado sobre el segmento AB que aparece en la figura

Por otra parte, consideremos P = 6000. Los valores correspondientes de x y y deben satisfacer 200x + 160y = 6000, que otra vez es la ecuación de una línea recta, esta vez corta a los ejes de coordenadas en los puntos (30, 0) Y (0, 37.5). Esta línea recta no pasa por la región sombreada de soluciones factibles (véase la Fig.) Y por ello no le es posible a la empresa obtener una utilidad tan grande como $6000 a la semana. La utilidad máxima posible debe estar en algún lugar entre $4000 y $6000 a la semana. El conjunto de puntos (x, y) que conducen a una utilidad dada P satisfacen la ecuación 200x + 160y = P. Esta ecuación, para P fija, tiene como gráfica una línea recta en el plano xy llamada línea de utilidad constante o curva de indiferencia. Las dos líneas que aparecen en la figura 8 son líneas de utilidad constante que corresponden a los valores P = 4000 Y P = 6000. La ecuación de una línea de utilidad constante puede escribirse en la forma 160y = P - 200x o bien

Por tanto, la línea tiene pendiente 5

4− y ordenada al origen PI160. Es una propiedad

importante que la pendiente de cualquier línea de utilidad constante es la misma sin importar el valor de P. Esto significa que todas las líneas de utilidad constante son paralelas entre sí. A medida que el valor de P se incrementa; la línea de utilidad máxima



correspondiente se aparta del origen (la ordenada al origen aumenta), siempre con la misma pendiente. A fin de obtener la utilidad máxima, debemos alejar la línea de utilidad constante del origen hasta que sólo toque el extremo de la región de soluciones factibles. Es claro por la figura que la línea de utilidad máxima es la que pasa por la esquina C situada en la frontera de la solución factible. Los valores de x y y en C dan los volúmenes de producción de los dos productos X y Y que conducen a la utilidad máxima.

El punto e es la intersección de las dos líneas rectas que acotan la región factible. Sus coordenadas se obtienen resolviendo las ecuaciones de estas dos líneas, 5x + 3y = 105 Y 2x + 4y = 70. Resolviendo estas ecuaciones, encontramos que x = 15 Y Y =10. Por consiguiente, la utilidad es máxima cuando la empresa produce 15 artículos del tipo X y 10 artículos del tipo Y a la semana. La utilidad semanal máxima está dada por

Pmax = 200x + 160y = 200(15) + 160(10) = 4600,

La utilidad máxima es por tanto $4600. El procedimiento usado en la resolución de este-problema también puede emplearse cuando ocurre un número mayor de desigualdades. Definición Las desigualdades que deben satisfacer las variables de un problema de programación lineal se denominan restricciones. La función lineal al ser maximizada o minimizada se conoce como función objetivo. En las aplicaciones a análisis de negocios, la función objetivo a menudo es una función de utilidad (que debe ser maximizada) o una función de costo (que debe minimizarse). Por lo regular, denotamos a la función objetivo con la letra Z, y lo haremos así de ahora en adelante.



EJERCICIOS: 1. Una empresa de productos químicos produce dos tipos de fertilizantes. Su marca regular contiene nitratos, fosfatos y potasio en la razón 3 : 6 : 1 (en peso) y su marca super contiene estos tres ingredientes en la razón 4 : 3 : 3. Cada mes la empresa puede confiar en un suministro de 9 toneladas de nitratos, 13.5 toneladas de fosfatos y 6 toneladas de potasio. Su planta productora puede elaborar a lo más 25 toneladas de fertilizantes al mes. Si la empresa obtiene una utilidad de $300 por cada tonelada de fertilizante regular y $480 por cada tonelada del super, ¿qué cantidades de cada tipo deberá producir a fin de obtener la máxima utilidad? 2. (Mezcla de whisky) Una compañía destiladora tiene dos grados de whisky en bruto (sin mezclar), I y II de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca super consta de dos terceras partes del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones del grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galón del super produce una utilidad de $6. ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades? 3. (Mezclas) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que la más cara contiene el 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates Y, 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla deberían producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $15,.porcada kilo de la mezcla más cara? 4. (Decisiones sobre producción) Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera, máquina, y 3 horas, en la segunda máquina. Se dispone de l00 horas a la semana en la primera l maquina y de 110 horas en la segunda. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B, ¿cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? 5. (Decisiones sobre producción) Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquinas. Cada unidad de A demanda 2 horas en la primera máquina, 4 horas en la segunda y tres horas en la tercera. Los números correspondientes a cada unidad de B son 5, 1 Y 2, respectivamente. La compañía obtiene utilidades de $250 y $300 por cada unidad de A y B, en ese orden. Si los números de horas disponibles en las máquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la primera, segunda y tercera máquinas, respectivamente, determine cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total. 6. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio 17, suponga que una repentina baja en la demanda del mercado del producto A obliga a la compañía a incrementar su precio. Si la utilidad por cada unidad de A se incrementa a $600, determine el nuevo programa de producción que maximiza la utilidad total.



II.3.- Método simplex. EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, Z, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual Z aumenta.

El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig.

El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. Restricción frontera: Es una recta que marca el límite de lo que permite la restricción correspondiente. Soluciones en el vértice: Todos los puntos donde se interceptan las restricciones fronteras. Soluciones factibles en el vértice (FEV): Puntos que se encuentran en los vértices de la región factible. Arista: Segmento de recta que conecta 2 soluciones FEV.



Cuatro Teoremas claves de P.L. 1. Cuando hay solución óptima, siempre existe una en un vértice. 2. Si una solución en un vértice, no tiene soluciones adyacentes mejores, esa es la solución óptima (óptimo local es global). 3. Solución básica (en un vértice aumentada) es equivalente a hacer (n-m) variables iguales a cero y resolver para las restantes. 4. Soluciones adyacentes tienen iguales todas las variables básicas menos una (y por supuesto las no básicas). Ejercicio de ejemplo 1: Maximice:

1 2

1 2

1 2

1 2

5 6

3 2 120

4 6 260

, 0

Z x x

x x

x x

x x

= +

+ ≤

+ ≤

≥

1° Convertir las ecuaciones, objetivo y restricciones en ecuaciones aumentadas, aumentando las variables de holgura S:

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

5 6 0 0 0

3 2 0 120

4 6 0 260

Z x x S S

x x S S

x x S S

− − − − =

+ + + =

+ + + =

2° Escribir la tabla simplex: Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a

R0 1 -5 -6 0 0 0 R1 R2

S1 0 3 2 1 0 120 S2 0 4 6 0 1 260

3° Buscar la columna clave (será la de mayor utilidad en la función objetivo R0), elegir la de mayor valor negativo. Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a

R0 1 -5 -6 0 0 0 R1 R2

S1 0 3 2 1 0 120 S2 0 4 6 0 1 260



4° Calcular las variables básicas de salida, la última columna para 0ika > , Positivo:

Se tomará i

ik

bmín

a

Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /i ikb a

R0 1 -5 -6 0 0 0 0/(-6) = 0 R1 R2

S1 0 3 2 1 0 120 120/2 = 60 S2 0 4 6 0 1 260 260/6 = 43 1/3

5° Hacer 1 el pivote o intersección de la mayor utilidad y la mínima variable básica. Cambiando S2 de Renglón por X2 Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a Operaciones

R’0 R’1 R’2

X2 0 4/6 1 0 1/6 260/6 R’2 =R2/6

6° Con operaciones de renglón hacer cero los demás valores de columna. Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a Operaciones

R’0 1 -1 0 0 1 260 R’0 = R2 + R0 R’1 R’2

S1 0 5/3 0 1 -1/3 33 1/3 R’1 = R1-R2/3 X2 0 2/3 1 0 1/6 43 1/3 R’2 =R2/6

7° Si no todos los valores de R0 son positivos la solución no es optima y habrá que repetir los pasos del 3° al 6°. Esto será hasta que todos los valores den positivos. Pasos 3° y 4° Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a Operaciones

R’0 1 -1 0 0 1 260 260/(-1) = 260 R’1 R’2

S1 0 5/3 0 1 -1/3 33 1/3 100/3 / 5/3 = 20 X2 0 2/3 1 0 1/6 43 1/3 130/3 / 2/3 = 65

Paso 5° Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a Operaciones

R’’0 R’’1 R’’2

X1 0 1 0 3/5 -1/5 20 R’’1= 3/5R’1


i ikb a Operaciones

R’’0 1 0 0 3/5 4/5 280 R’’0 = R’’1 + R’0 R’’1 R’’2

X1 0 1 0 3/5 -1/5 20 R’’1= 3/5R’1 X2 0 0 1 -2/5 3/10 30 R’’2 =R’2-2/3R’’1

i

ik

bmín

a



Como los valores de R’’0 todos son positivos por lo cual los resultados serán X1 =20 y X2 =30 Calcular el valor máximo de la función objetivo. Ejercicio de ejemplo 2: Maximice:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 12 8

2 2 100

2 5 80

10 5 4 300

, , 0

Z x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

= + +

+ + ≤

− + ≤

+ + ≤

≥

1° Convertir las ecuaciones, objetivo y restricciones en ecuaciones aumentadas, aumentando las variables de holgura S:

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

2 12 8 0 0 0

2 2 0 0 100

2 5 0 0 80

10 5 4 0 0 300

Z x x x S S S

x x x S S S

x x x S S S

x x x S S S

− − − − − − =

+ + + + + =

− + + + + =

+ + + + + =

2° Escribir la tabla simplex: Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a

R0 1 -5 -6 0 0 0 R1 R2

S1 0 3 2 1 0 120 S2 0 4 6 0 1 260

3° Buscar la columna clave (será la de mayor utilidad en la función objetivo R0), elegir la de mayor valor negativo. Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a

R0 1 -5 -6 0 0 0 R1 R2

S1 0 3 2 1 0 120 S2 0 4 6 0 1 260

4° Calcular las variables básicas de salida, la última columna para 0

ika > , Positivo:

Se tomará i

ik

bmín

a

Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /i ikb a

R0 1 -5 -6 0 0 0 0/(-6) = 0 R1 R2

S1 0 3 2 1 0 120 120/2 = 60 S2 0 4 6 0 1 260 260/6 = 43 1/3

i

ik

bmín

a



5° Hacer 1 el pivote o intersección de la mayor utilidad y la mínima variable básica. Cambiando S2 de Renglón por X2 Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a Operaciones

R’0 R’1 R’2

X2 0 4/6 1 0 1/6 260/6 R’2 =R2/6

6° Con operaciones de renglón hacer cero los demás valores de columna. Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a Operaciones

R’0 1 -1 0 0 1 260 R’0 = R2 + R0 R’1 R’2

S1 0 5/3 0 1 -1/3 33 1/3 R’1 = R1-R2/3 X2 0 2/3 1 0 1/6 43 1/3 R’2 =R2/6

7° Si no todos los valores de R0 son positivos la solución no es optima y habrá que repetir los pasos del 3° al 6°. Esto será hasta que todos los valores den positivos. Pasos 3° y 4° Renglón Z X1 X2 S1 S2 bi /

i ikb a Operaciones

R’0 1 -1 0 0 1 260 260/(-1) = 260 R’1 R’2

S1 0 5/3 0 1 -1/3 33 1/3 100/3 / 5/3 = 20 X2 0 2/3 1 0 1/6 43 1/3 130/3 / 2/3 = 65


i ikb a Operaciones

R’’0 R’’1 R’’2

X1 0 1 0 3/5 -1/5 20 R’’1= 3/5R’1


i ikb a Operaciones

R’’0 1 0 0 3/5 4/5 280 R’’0 = R’’1 + R’0 R’’1 R’’2

X1 0 1 0 3/5 -1/5 20 R’’1= 3/5R’1 X2 0 0 1 -2/5 3/10 30 R’’2 =R’2-2/3R’’1

Como los valores de R’’0 todos son positivos por lo cual los resultados serán X1 =20 y X2 =30 Calcular el valor máximo de la función objetivo.



Ejercicios, Resuelva por el método simplex: 1. Una empresa de productos químicos produce dos tipos de fertilizantes. Su marca regular contiene nitratos, fosfatos y potasio en la razón 3 : 6 : 1 (en peso) y su marca super contiene estos tres ingredientes en la razón 4 : 3 : 3. Cada mes la empresa puede confiar en un suministro de 9 toneladas de nitratos, 13.5 toneladas de fosfatos y 6 toneladas de potasio. Su planta productora puede elaborar a lo más 25 toneladas de fertilizantes al mes. Si la empresa obtiene una utilidad de $300 por cada tonelada de fertilizante regular y $480 por cada tonelada del super, ¿qué cantidades de cada tipo deberá producir a fin de obtener la máxima utilidad? 2. (Mezcla de whisky) Una compañía destiladora tiene dos grados de whisky en bruto (sin mezclar), I y II de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca super consta de dos terceras partes del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones del grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galón del super produce una utilidad de $6. ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades? 3. (Mezclas) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que la más cara contiene el 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates Y, 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla deberían producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $15,.porcada kilo de la mezcla más cara? 4. (Decisiones sobre producción) Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera, máquina, y 3 horas, en la segunda máquina. Se dispone de l00 horas a la semana en la primera l maquina y de 110 horas en la segunda. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B, ¿cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? 5. (Decisiones sobre producción) Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquinas. Cada unidad de A demanda 2 horas en la primera máquina, 4 horas en la segunda y tres horas en la tercera. Los números correspondientes a cada unidad de B son 5, 1 Y 2, respectivamente. La compañía obtiene utilidades de $250 y $300 por cada unidad de A y B, en ese orden. Si los números de horas disponibles en las máquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la primera, segunda y tercera máquinas, respectivamente, determine cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total.



Ejercicio de ejemplo 3: Minimice:

1 2

1 2

1 2

1 2

5 6

10

2 4 24

, 0

Z x x

x x

x x

x x

= +

+ ≥

+ ≥

≥

1° Convertir las ecuaciones, objetivo y restricciones en ecuaciones aumentadas, aumentando las variables de holgura S, exceso E y artificiales A, según corresponda:

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

5 6 0 0 0

0 0 10

2 4 0 0 24

Z x x E E MA MA

x x E E A A

x x E E A A

− − − − + + =

+ − − + + =

+ − − + + =

2° Escribir la tabla simplex: Renglón Z X1 X2 E1 E2 A1 A2 bi /

i ikb a

R0 1 -5 -6 0 0 -M -M 0 R1 R2

A1 0 1 1 -1 0 1 0 10 A2 0 2 4 0 -1 0 1 24

3° Volver cero los coeficientes de las variables artificiales. 4° Buscar la columna clave (será la de menor utilidad en la función objetivo R0), elegir la de mayor valor positivo. 5° Calcular las variables básicas de salida, la última columna para 0

ika > , Positivo:

Se tomará i

ik

bmín

a

Renglón Z X1 X2 E1 E2 A1 A2 bi /i ikb a Operaciones

R’0 1 -5+3M -6+5M -M -M 0 0 34M R’0=MR1+MR2 +R0 R’1 R’2

A1 0 1 1 -1 0 1 0 10 10/1=10 A2 0 2 4 0 -1 0 1 24 24/4=6*

5° Hacer 1 el pivote o intersección de la mayor utilidad y la mínima variable básica. Cambiando A2 de Renglón por X2

Renglón Z X1 X2 E1 E2 A1 A2 bi /i ikb a Operaciones

R’’0 1 -2+M/2 0 -M -3/2+M/4 0 3/2-5/4M 36+4M R’’0=R’0+(6-5M)R’’2

R’’1 R’’2

A1 0 1/2 0 -1 1/4 1 -1/4 4 4/1/2=8* R’’1=R’1-R’’2

x2 0 1/2 1 0 -1/4 0 1/4 6 6/1/2=12 R’’2=R’2/4 6° Repetir el quinto paso hasta que no haya positivos en el primer renglón.



II.4.- Representación de problemas mediante el modelo de programación lineal. Resuelva los siguientes problemas por el método simplex:

1. Una compañía tiene 100 toneladas de lámina de aluminio en cierta localidad y 120 toneladas de una segunda en otro lugar. Parte de este material debe enviarse a dos obras en construcción. La primera obra requiere 70 toneladas y la segunda 90. Los costos de enviar cada tonelada de aluminio de la primera bodega a la primera y segunda obra son $10 y $15 y de la segunda bodega a las obras respectivas son $15 y $25. Además se requiere que el costo de envío no exceda de $2700.Minimice el costo.

2.

3.

4.



PROBLEMA #1 Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga $0.5. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga $0.7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Aplicando el método Simplex, cuantos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

PROBLEMA #2 Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulos y polvo. Él no puede hacer más de 1600 bolsas un día debido a una escasez de vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que él debe producir 500 bolsas al día de cemento en polvo. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relación al tiempo requerido por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 0.24 minutos/bolsa y la planta opera un 8 día de la hora. Su ganancia es $4 por la bolsa para el cemento granulado y $3 por la bolsa para el cemento en polvo. Formule el problema de decidir cuánto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar las ganancias de la Empresa, utilizando el Método Simplex.

PROBLEMA #3 SONY fabrica dos productos: (1) el Walkman un radiocasete portátil y (2) el Shader TV, un televisor en blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento de electrónica, y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada Walkman necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada televisor necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual período de producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien horas en el de montaje. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 7 dólares, mientras que para un televisor el beneficio unitario es de cinco dólares. El problema de SONY es determinar utilizando el Método Gráfico, la mejor combinación posible de Walkman y televisores que debe producir para alcanzar el máximo beneficio.

PROBLEMA #4 Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada.

Si siembra trigo gasta $ 300 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto es de $ 400 por hectárea.

El capital total disponible es de $ 25 000. Por otra parte, también existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica:

Mes Consumo m3/ Hcta Consumo m3 / Hcta Disponibilidad

Trigo Cebada m3

Octubre 900 650 57.900

Noviembre 1.200 850 115.200

Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso.



Los precios vigentes por Tm son de $ 45 para el trigo y $ 60 para la cebada.

Utilizando el método Simplex, determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio.

PROBLEMA #5 Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos refrigerados y 1200 no refrigerados. ¿Utilizando el Método Simplex, cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para minimizar costos si el tipo A se alquila a 300 $/Km y el B a 400 $/Km?

PROBLEMA #6 Una compañía de transportes tiene 10 camiones con capacidad 20 000 Kilos, y 5 camiones de 15 000 Kg. Los camiones grandes tienen un costo de 3.0 $/Km y los pequeños de 2.5 $/Km. En una semana debe transportar la empresa 200 000 Kg en un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva deba quedarse por lo menos uno de los grandes.

Utilizando el Método Simplex, ¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que deben movilizarse para ese transporte de forma óptima y teniendo en cuenta las restricciones descritas?

PROBLEMA #7 Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 10 000 000. en salarios y 18 000 000. en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 800. y 500. por cada unidad de B. El costo salarial, y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:

A B

Costo 200 100

Costo energético 100 300

Utilizando el método Simplex, se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo.

PROBLEMA #8 La empresa de computadoras COMPAQ toma las decisiones trimestral sobre la fabricación de su mezcla de productos. Mientras todas sus líneas productivas incluyen una gran variedad de artículos de computación, solamente se considerará un problema más simple con sólo dos productos: las computadoras portátiles y las computadoras del escritorio. A COMPAQ les gustaría saber cuántos de dichos productos deben fabricar para obtener máximas ganancias en el primer trimestre del 2006. Hay varios límites del proceso que definen la capacidad productiva tanto de la computadora portátil como la de escritorio:



1.- Cada computadora (portátil o escritorio) requiere un microprocesador. Debido a la escasez de estos productos en el mercado, INTEL les ha asignado solamente 10,000 unidades trimestrales.

2.- Cada computadora requiere de memoria RAM. La memoria viene en 256MB por tarjeta. Una computadora portátil requiere 256MB de memoria instalada (es decir, necesita 1 tarjeta RAM) mientras una computadora de escritorio tiene 512MB (ó sea, requiere 2 tarjetas RAM). COMPAQ dispone en inventario 15.000 tarjetas RAM para el próximo trimestre.

3.- Cada computadora requiere un tiempo de ensamblaje. Debido a las estrechas tolerancias para ensamblar una computadora portátil, esta tarda un tiempo de 4 minutos contra 3 minutos para una computadora de escritorio. Hay 25,000 minutos disponibles de tiempo de ensamblaje para el próximo trimestre

Bajo las actuales condiciones del mercado, costos de los materiales y sistema productivo, la venta de cada computadora portátil genera $ 3500 de ganancia y cada computadora de escritorio produce $ 2500 ganancia.

Hay muchas preguntas que COMPAQ podría hacer. Por ello, aplicando el método Simplex, determinar la respuesta ¿Cuántos computadoras de cada tipo debe fabricar COMPAQ en el próximo trimestre para maximizar sus beneficios?.

PROBLEMA #9 Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete.

Marca K P N Precio

A 4 6 1 15

B 1 10 6 24

¿Utilizando el método Simplex, en qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N?

PROBLEMA #10 Un ejecutivo de una empresa tiene $100.000 para invertir. Tiene dos inversiones: A y B. El Plan A garantiza que por cada peso invertido, se obtendrán $0,70 al final de un año (se entiende que no puede fraccionarse este lapso de tiempo). El Plan B garantiza que por cada peso invertido, se obtendrán $2,00 al final de un período de dos años (se entiende que no puede fraccionarse este lapso de tiempo). Aplicando el método SIMPLEX, asesore al ejecutivo para obtener el mejor rendimiento por su dinero durante un período de tres años.

PROBLEMA #11 La empresa McDonald’s vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa con queso sólo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza



cada día con 200 libras de carne. La utilidad neta es la siguiente: $6.0 por cada hamburguesa de cuarto de libra y $4.5 por cada hamburguesa con queso. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en total. Aplicando el método SIMPLEX, determine la máxima utilidad que obtiene McDonald's.

PROBLEMA #12 Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000. y el de cada uno de los pequeños, 6000. ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuantos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible?

PROBLEMA #13 A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No de be tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir más de 100g de A si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 calorías, utilizando el método SIMPLEX:

a) ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas?

b) ¿Y el más pobre en calorías?

PROBLEMA #14 Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción de estos está definida por las siguientes condiciones: La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. La producción total es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. Dar la función objetivo de la venta de ambos productos. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. Utilizando el Método SIMPLEX, determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio.

PROBLEMA #15 Una compañía petrolífera requiere diariamente 9 Tm, 12 Tm y 24 Tm de petróleo de calidad alta, media y baja respectivamente. La compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce diariamente 1 Tm, 3 Tm y 4 Tm de calidades alta, media y baja respectivamente. La refinería B produce 2 Tm de cada una de las tres calidades. El coste diario de cada una de las refinerías es de 20.000.000 de Bs. ¿Utilizando el método SIMPLEX, cuántos días debe de trabajar cada refinería para que el costo sea mínimo?.

PROBLEMA #16 Un laboratorio farmacéutico desea elaborar un reconstituyente de manera que cada frasco contenga al menos 4 unidades de vitamina A, 23 unidades de vitamina B y 6 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas se emplea un aditivo M que cuesta 100 el gramo, el cual contiene 4 unidades de vitamina A, 6 de B y 1 de C y un aditivo H a un costo de 160 por gramo que contiene 1 unidad de vitamina A, 10 de B y 6



de C. ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuántos gramos de cada aditivo se deben incluir en cada frasco para minimizar el costo?

PROBLEMA #1|7 Un expendio de carnes acostumbra a preparar la carne para hamburguesas con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda Bs. 800 por kilo. La carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y le cuesta Bs. 600 el kilo. El expendio no desea que el contenido de grasa de un kilo de hamburguesa preparada sea superior al 25%. Aplicando el método SIMPLEX, ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda para preparar un kilo de hamburguesas a fin de minimizar los costos?.

PROBLEMA # 18 Una empresa láctea plantea la producción de dos nuevas bebidas. producir un litro del primer tipo de bebida cuesta 20$, mientras que un litro del segundo tipo de bebida cuesta 50$. Para realizar el lanzamiento comercial se necesitan más de 6.000.000 litros de bebida, aunque del segundo tipo no podrán producirse (por limitaciones técnicas) más de 5.000.000. Además, se desea producir más cantidad de bebida del segundo tipo que del primero. ¿Cuántos litros habrá que producir de cada tipo de bebida para que el costo de producción sea mínimo?

PROBLEMA # 19 Usted tiene 60 hectáreas de tierra que aún no ha cultivado, y piensa trabajarlas para la próxima temporada junto a sus dos hijos, Pedro y Javier. Pedro insiste en sembrar ajo, pues tiene una ganancia neta mayor: sacarían $300 por ha., una vez descontados los gastos, que son de $10 por ha. Javier quiere sembrar tomate, que tiene una ganancia neta de $200 por hectárea, pues están escasos de agua, y el tomate necesita menos agua que el ajo: 1 m3 por ha., contra 2 m3 por ha. para el ajo. (Disponen para la época crítica de sólo 100 m3 de agua). Su administrador, por su parte, hace notar que sólo tienen $1200 para comprar semillas, contratar obreros y otros gastos, así que no les alcanza el dinero para sembrar tomate, ya que los gastos son de $30 por hectárea.

a.- Formule y resuelva el modelo matemático de Programación Lineal para maximizar la ganancia.

b.- Evalúe las sugerencias de sus hijos Pedro y Javier. ¿Puede usted mejorar estas sugerencias?

PROBLEMA #20 Una compañía petrolera produce un tipo de gasolina a partir de petróleo. Puede comprar cuatro tipos de petróleo y dispone de los siguientes datos:

Crudo A B C Precio (Bs/lit)

1 0,8 0,1 0,1 43 2 0,3 0,3 0,4 31 3 0,7 0,1 0,2 47 4 0,4 0,5 0,1 37



A, B y C denotan los elementos a partir de los cuales se puede producir cada tipo de crudo. La tabla muestra los porcentajes de cada elemento en cada crudo producido. Las exigencias del mercado imponen que el crudo de base para la obtención de gasolina debe tener al menos el 60% del elemento A y no más del 30% de C. Obtenga el crudo base mezclando los cuatro tipos anteriores de forma tal que el coste sea mínimo.

PROBLEMA # 21 Usted dispone de 2.200 euros para invertirlos durante los próximos cinco años. Al inicio de cada año puede invertir parte del dinero en depósitos a un año o a dos años. Los depósitos a un año pagan un interés del 5 %, mientras que los depósitos a dos años pagan un 11% al final de los dos años. Además, al inicio del segundo año es posible invertir dinero en obligaciones a tres años de la empresa Kola.C.A., que tienen un rendimiento (total) del 17 %. Plantea y resuelva el problema lineal correspondiente a fin de lograr que al cabo de los cinco años tu capital sea lo mayor posible.

PROBLEMA # 22 La Alcaldía tiene comprometido gastar en proyectos de infraestructura en los próximos cuatro años, 2000, 4000, 8000 y 5000 millones de Pesos. Este dinero tiene que estar disponible el día 1 de enero del año en que se va a gastar. Para financiar estos gastos el ayuntamiento planea emitir unos bonos a largo plazo (20 años) con un interés remunerativo del 7% para la deuda emitida el primer año, del 6% para la emitida el segundo año, 6.5% para la del tercer año y del 7.5% para la emitida el cuarto año. Los intereses se empiezan a pagar inmediatamente. Si parte del dinero recaudado se depositase en cuantas a plazo fijo, el ayuntamiento es capaz de obtener el 6% de interés el segundo año, el 5.5% el tercer año y el 4.5% el cuarto año. El problema que se plantea el ayuntamiento es el de determinar la estrategia o plan óptimo de financiamiento de las obras de infraestructura

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