MODELOS MATEMÁTICOS EN BIOLOGÍA

RECOPILACIÓN DE EJERCICIOS

Tema 1. Ecuaciones diferenciales

a. PROBLEMAS DE TANQUES O DISOLUCIONES.

1. Un depósito contiene inicialmente 15 kilos de sal disuelta en 200 litros de agua. Supongamos que se comienza a introducir en el depósito por un primer grifo agua pura a una velocidad de 2 litros/minuto, por un segundo grifo a 4 litros/minuto salmunera que contiene 0.25 kilos de sal por litro, y por un tercer grifo a 3 litros/minuto salmura que contiene 0.5 kilos de sal por litro. Simultaneamente, se sacan del depósito 10 litros/minuto de la mezcla resultante. Plantea y resuelve la ecuación diferencial que modeliza a la situación planteada. 2. Se disuelven inicialmente 50 kilos de sal en un tanque que contiene 300 litros de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 5 litros por minuto; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque a razón de 2 litros por minuto. Si la concentración de la solución que entra es de 2 kilos por litro, determinar la cantidad de sal que hay en el tanque después de un tiempo “largo". 3. Un depósito de 50 litros contiene una solución compuesta por un 90% de agua y 10% de alcohol. Mediante un tubo se introduce en el depósito una segunda solución que contiene agua y alcohol a partes iguales, a un ritmo de 4 litros/minuto. Al mismo tiempo se vacía el tanque a una velocidad de 5 litros/minuto. Suponiendo que la solución del depósito se agita constantemente, hallar el alcohol que queda en el después de 10 minutos. 4. Un estanque industrial de 100 m3 está lleno de agua pura. Agua contaminada conteniendo un toxico con una concentración de 0.0002 Kg/m3 está entrando en el estanque a un ritmo de 0.5 m3/minuto. La mezcla una vez que está bien mezclada sale del estanque a una tasa de 0.5 m3/minuto. a. Escribir la ecuación diferencial que modeliza a esta situación para encontrar el punto de equilibrio y analizar su estabilidad. b. Si la mezcla una vez que está bien mezclada sale del estanque a una tasa de 0.6 m3/minuto, ¿cuál es la concentración de toxico para una minuto cualquiera t? 5. Un depósito contiene inicialmente 3 kilos de sal disuelta en 100 litros de agua. Supongamos que se comienza a introducir en el depósito por un grifo salmunera que contiene X kilos de sal por litro a una velocidad de 2 litros/minuto. Simultáneamente, se sacan del depósito 2 litros/minuto de la mezcla resultante. Encuentra el valor de la concentración X para que “a largo plazo" la cantidad de sal en el depósito sea de 10 kilos.

6. En un lago con una capacidad constante de 500000 m3 entra y sale agua a una velocidad de 1000 m3/día. El agua que entra tiene una concentración de contaminante de 0.03Kg/m3. a. Escribir una ecuación diferencial ordinaria que describa la evolución de la cantidad de contaminante en el lago. b. Hacer un estudio cualitativo de la ecuación diferencial anterior para calcular la cantidad de contaminante en el largo a largo plazo, ¿depende esta cantidad del valor inicial de contaminante en el lago? c. Resolver la ecuación diferencial y comprobar que se obtiene el mismo resultado que en el apartado anterior. 7. Un depósito con una capacidad de 100 litros está medio lleno de agua limpia. Se abre una cañería que permite introducir aguas residuales en el depósito, que son procesadas a un ritmo de 4 litros/minuto. Al mismo tiempo se abre un desagüe que permite desalojar la mezcla a un ritmo de 4 litros/minuto. Si las aguas residuales procesadas contienen 10 gramos de potasio utilizable por litro, ¿cuál será la concentración de potasio a largo plazo en el depósito? 8. Inicialmente un contenedor de 200 litros se llena con agua pura. Al tiempo t = 0 una concentración salina con 3 kilos de sal por litro se agrega al contenedor a la velocidad de 4 litros por minuto y la mezcla bien agitada se drena del contenedor a la velocidad de 5 litros por minuto. a. Encontrar el número de kilos de sal en el contenedor como una función del tiempo. b. Calcular la cantidad de sal en el contenedor al cabo de 10 minutos. 9. Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galón a un tanque que inicialmente contiene 400 galones de cerveza con 3% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior con una rapidez de 3 galones/minuto, en tanto que el líquido mezclado se extrae con una rapidez de 4 galones/minuto. Obtener el numero y(t) de galones de alcohol que hay en el tanque en un instante t cualquiera. ¿Cuál es el porcentaje de alcohol que hay en el tanque después de 60 minutos? 10. Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 litros de líquido en los cuales se disuelven 10 Kg de sal. Una salmuera que contiene 1/2 Kilo de sal por litro se bombea al tanque con una rapidez de 6 litros/minuto. La solución adecuadamente mezclada sale del tanque con una rapidez de 4 litros/minuto. Hallar el número de kilos de sal que hay en el tanque después de media hora. 11. Inicialmente un tanque contiene 10 litros de agua en el que se encuentra disuelto 20 gramos de sal. Una disolución de agua salada entra en el tanque a un ritmo de 0.5 litros por minuto siendo la concentración de sal en este flujo de entrada en el instante t de 4t gramos por litro. Al mismo tiempo por un segundo grifo entra agua pura a un ritmo de 1.5 litros por minuto. La

disolución perfectamente mezclada sale del tanque a un ritmo de 2 litros por minuto. Calcular la cantidad de sal en el tanque en un minuto cualquiera t 12. Una disolución salina que contiene 2kg de sal por litro fluye hacia el interior de un tanque que inicialmente se encuentra lleno con 500 litros de agua y 50kg de sal. La salmuera entra en el tanque a una velocidad de 5 litros por minuto y sale a la misma velocidad. (a) Encontrar la concentración de sal en el tanque para un minuto cualquiera t. Supongamos ahora que el tanque estaba inicialmente vacio y que la disolución entra en el tanque a un ritmo de 5 litros por minuto y sale a una velocidad de 1 litro por minuto. (b) Calcular la cantidad de sal en el tanque para un minuto cualquiera t. 13. Un depósito de 100 litros de capacidad contiene 50 litros de agua en los que están disueltos 125 gramos de sal. El depósito tiene dos válvulas de entrada y una de salida. Por una de ellas entra agua pura a una velocidad de 3 litros/minuto, por otra entra agua a una velocidad de 5 litros/minuto con una concentración de sal de 2 gramos/litro y por la tercera el agua salada sale a una velocidad de 6 litros/minuto. a. ¿Cuánta sal habrá en el depósito en el momento que se llena? b. ¿En qué instante la concentración de sal en el depósito es de 1 gramo/litro? 14. Un depósito contiene inicialmente 20 kilos de sal disuelta en 500 litros de agua. Supongamos que se comienza a introducir en el depósito 12 litros/minuto de salmunera (disolución que contiene 0.25 kilos de sal por litro), y que, simultáneamente, se sacan del depósito 8 litros/minuto en la mezcla resultante ¿Qué cantidad de sal habrá en el depósito al cabo de una hora? 15. Un tanque de salmuera contiene 60 kilos de sal disuelta en 1000 litros de agua. Se introduce en el tanque, a una velocidad de 20 litros por minuto, agua salada que contiene 1 kilo del sal por cada 10 litros de agua. La mezcla, conservada homogénea mediante agitación, sale a una velocidad de 30 litros por minuto. Hallar la cantidad de sal en el tanque al cabo de 1 hora. 16. Un deposito contiene 40 litros de agua contaminada en los que están disueltos 300 gramos de contaminante. El agua contaminada empieza a uir al deposito a una velocidad de 2 litros por minuto. La concentracion del contaminante en esta corriente de entrada en el instante t es c(t) = 3t gramos por litro. Al mismo tiempo, por otro grifo entra agua contaminada a razon de 2 litros por minuto con una concentracion de 10 gramos por litro. La solucion del deposito se mezcla uniformemente y el agua contaminada fluye hacia el exterior a una velocidad de 4 litros por minuto. Obtener un modelo matematico para esta situacion y encontrar la cantidad de contaminante y(t) en el deposito en un minuto cualquiera t.

B. ESTUDIO CUALITATIVO

1. En el estudio de los efectos de la selección natural sobre una población, aparece la siguiente ecuación diferencial donde q es la frecuencia de un gen a. a . Resolver la ecuación diferencial (1) b. Haciendo un estudio cualitativo de (1), describir los efectos de la selección sobre la frecuencia genética q en términos de las distintas condiciones iniciales. 2.

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5.

6. Un método para administrar un fármaco es suministrarlo continuamente en la sangre. Este proceso puede ser modelado mediante la ecuación diferencial, donde y(t) es la concentración en la sangre en el tiempo t, es una constante positiva y el parámetro A > 0 es el ritmo con el que se administra el fármaco. A) Si y(0) = y0, resuelve la ecuación diferencial para conocer la concentración en un instante cualquiera. ¿A que limite tiende dicha concentración cuando t tiende hacia infinito? B) Realiza un estudio cualitativo de la ecuación diferencial y relaciona el resultado con el obtenido en el apartado anterior. 7.

8. La ecuación química para la reacción entre oxido nitroso y oxigeno para formar oxigeno y dióxido de nitrógeno a 25 grados centígrados obedece a la ley de acción de masas. Si y(t) representa a la concentración de dióxido de nitrógeno, entonces, Siendo k una tasa constante positiva, a la concentración inicial de oxido nitroso y b la concentración inicial de oxigeno. Realizar un estudio cualitativo del modelo con k = 0:00713; a = 4 y b = 1, para conocer la concentración de dióxido de nitrógeno a "largo plazo". 9. Sea y(t) el numero de aves en el día t. La evolución de esta población viene dada por la ecuación diferencial a. Hacer un estudio cualitativo de la ecuación diferencial para analizar el comportamiento a largo plazo de las soluciones y(t) según los diferentes valores del parámetro alpha.

b. Para el valor de alpha = 0, trazar de forma aproximada las soluciones correspondientes a los valores iniciales y(0) = 1 ; y(0) = 3 ; y(0) = 5. 10. La ecuación diferencial usada para modelar la concentración de glucosa en la sangre en el tiempo t cuando es inyectada por vía intravenosa en el cuerpo viene dada por Siendo y(t) la concentración de glucosa, k una constante, G la tasa con la que la glucosa es admitida y V el volumen de sangre en el cuerpo. Demuestra que a largo plazo la cantidad de glucosa en la sangre se estabiliza. 11.

12. El ritmo al que cierto medicamento se absorbe en el sistema circulatorio esta dado por dy/dt = 2- 0.25y, donde y(t) es la concentración del medicamento en el flujo sanguíneo en el tiempo t. Supongamos que al comienzo no había indicios del medicamento en la sangre. ¿Qué le sucede a y(t) a "largo plazo"? 13.

14. Existen poblaciones tales que si el número de individuos es elevado, entonces la tasa de crecimiento decrece. Además, si la población es demasiado pequeña esta tasa también decrece. Un modelo que tiene en cuenta las observaciones anteriores es el siguiente: Realizar un estudio cualitativo para predecir el comportamiento a largo plazo de la población y(t) según distintos valores iníciales y(0).

15. En una piscifactorIa se cosecha una cantidad constante h de peces por unidad de tiempo. La poblacion en el tiempo t crece directamente proporcional a la cantidad que hay en cada momento con constante de proporcionalidad a y decrece directamente proporcional al numero de individuos que hay en ese momento con constante de proporcionalidad b. Construir un modelo matematico y examinarlo tanto de forma cualitativa como analiticamente en el caso en que a = 5, b = 1, h = 25/4. Determinar si se extingue la poblacion en un tiempo _nito, en cuyo caso, calcular ese tiempo.

Tema 2: Modelos continuos.

A) MODELOS EXPONENCIALES PUROS

1. Los restos de un humanoide han sido encontrados en una caverna junto con los rectos de un campamento. Los arqueólogos creen que la edad de los restos del humanoide es la misma que la del campamento. Se determina que solo queda el 2 % de la cantidad original de carbono-14 en la madera quemada del campamento. a. Encuentra y resuelve la ecuación diferencial del modelo de desintegración radiactiva b. Estimar la edad de los restos del humanoide sabiendo que la vida media del carbono- 14 es de 5600 años. 2. Es sabido que una sustancia radiactiva presente en ciertos fósiles, tal como el C14, se desintegra en cada momento, a una velocidad proporcional a la cantidad presente. La "vida media" del C14 es de 5750 años. a. Resolver la ecuación diferencial que modela a la situación planteada b. Averiguar la edad de un fósil sabiendo que contiene el 77.7 % de su C14 inicial. 3. El fosforo radiactivo con una vida media de 14.2 días se utiliza como trazador en estudios bioquímicos. Después de un experimento con 8 gramos de fosforo los investigadores deben almacenar el material de manera segura hasta que solo queden 10-3 gramos. Calcular el tiempo que deben almacenarse los recipientes

4. Se sabe que un material radiactivo decae a una velocidad proporcional a la raíz cubica del cuadrado de la cantidad de materia presente. Un bloque de este material tiene inicialmente una masa de 1 gramo. Al ser observado después de 24 horas ha experimentado una reducción de masa del 90%. Encontrar una fórmula para la masa del cuerpo en un tiempo cualquiera. Calcular también el intervalo de tiempo que debe transcurrir para que el bloque decaiga a la mitad de su masa original.

B. MODELOS EXPONENCIALES MODIFICADOS

1.Un huevo duro se saca de una cacerola con agua caliente y se pone a enfriar en una mesa. Al principio, la temperatura del huevo es de 80 grados centígrados. Después de una hora es de 60 grados. Si la temperatura de la habitación es de 18 grados, ¿en qué momento tendría el huevo una temperatura de 50 grados centígrados?

2. Un termómetro se lleva al exterior de un dispositivo donde su temperatura es de 70 grados centígrados. Al cabo de 5 minutos el termómetro registra 60 grados centígrados y 5 minutos después registra 54 grados centígrados. a. Si se cumple la ley de enfriamiento de Newton, plantea y resuelve la ecuación diferencial que modélica a esta situación. b. Encontrar la temperatura exterior del dispositivo. 4. La ley de enfriamiento de Newton dice que la tasa a la cual se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio que le rodea. La policía descubre un cadáver y para resolver el crimen es necesario determinar la hora del asesinato. El forense llega a las 12h de la mañana y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de 30 grados centígrados. Espera una hora y la temperatura del cuerpo ha descendido a 29 grados centígrados. Asimismo, observa que la temperatura de la habitación es de 27 grados centígrados. Suponiendo que la temperatura de la victima fuese normal (37 grados centígrados), determinar la hora en que se cometió el crimen. 5. La variación de temperatura de un cuerpo en contacto con el ambiente es, en cada instante, proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el ambiente. Supongamos que encontramos el cadáver de un animal. En dicho momento, se toma la temperatura del mismo y resulta ser de 35ºC. Una hora después se vuelve a tomar la temperatura y esta es de 34.5ºC. Suponiendo constante la temperatura ambiente e igual a 27º C, se pide calcular a qué hora se produjo la muerte del animal, sabiendo que la temperatura del animal en vida es de 36.5º C.

6. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire. a. Escribir una ecuación diferencial que represente a la situación anterior b. Realizar el estudio cualitativo de la ecuación diferencial anterior. c. Al sacar un pastel de un horno su temperatura es de 148º C. tres minutos después, su temperatura es de 93º C. ¿Cuanto tardara en enfriarse hasta una temperatura de 25 ºC sabiendo que la temperatura ambiente es 21 ºC? d. Suponiendo que la constante de proporcionalidad es -0.2, la temperatura ambiente 21ºC, y la temperatura a los tres minutos es de 93º C. Aplicando el método de Euler con un paso h = 0.5, encontrar una solución aproximada de la temperatura del cuerpo a los 4 minutos y medio. 7. Una lámina de plata se calienta a 100ºC para esterilizarla. Supongamos que la plata se coloca en una habitación que se encuentra a 20ºC y que la plata se enfría de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton. Después de 10 minutos la temperatura de la plata es de 80ºC. a. Escribir una ecuación diferencial que describa la evolución de la temperatura T(t) de la plata y resolverla para cualquier tiempo t > 0 b. Encontrar el momento en el que la temperatura de la plata es de 30º y pueda ser inoculada con un cultivo de células. 8. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura ambiente. El cuerpo de una víctima fue descubierto a las 11:00 a.m. El forense llego a las 11:30 a.m. y encontró que la temperatura del cuerpo era de 94.6ºF. La temperatura de la habitación era de 70ºF. Una hora más tarde en la misma habitación, la temperatura del cadáver era de 93.4º F. Haciendo uso de la ley de enfriamiento de Newton, encontrar la hora de la muerte. Temperatura de una persona viva 98.6ºF 9. La ley de Newton del enfriamiento dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante Ta del medio que lo rodea. a. Encontrar y resolver la ecuación diferencial que modela la situación anterior. b. Realizar un análisis cualitativo del modelo. c. Supongamos que al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 130º C. Tres minutos después, su temperatura es de 100º C. ¿Cuánto demorara en enfriarse hasta una temperatura de 50º C, si la temperatura ambiente es de 25º C? C. MODELOS LOGÍSTICOS

1. Supóngase que un estudiante portador de un virus de gripe regresa a un campus universitario aislado que tiene 1000 estudiantes. Si se supone que la rapidez con que el virus se propaga es proporcional no solo al número x de estudiantes contagiados, sino también, al número de alumnos

no contagiados. Determinar el número de estudiantes contagiados después de 6 días, si además se observa que después de 4 días x(4) = 50. 2. Una epidemia se desarrolla en una población de 1000 habitantes de una forma tal que, en cada momento del tiempo, la velocidad de desarrollo de la infección es directamente proporcional al número de personas enfermas por el número de personas sanas. a. Resuelve la ecuación diferencial que modela la situación planteada b. Sabiendo que inicialmente el número de personas infectada es de 40 y que el momento en el que la epidemia se propaga con mayor rapidez es el cuarto día, ¿cuántas personas estarán infectadas a los diez días de iniciarse la epidemia? 3. Una epidemia se desarrolla en una población de una forma tal que, en cada momento del tiempo, la velocidad de desarrollo de la infección es directamente proporcional al número de personas enfermas por el número de personas sanas. Si la población tiene 1000 habitantes y se sabe que el número de personas infectadas inicialmente era de 50 junto con que al cabo de 3 días había 250 enfermos. Se pide: a. Encontrar y resolver la ecuación diferencial que modeliza la situación planteada b. Averiguar el número de enfermos que habría al cabo de doce días. 4. En una ciudad de 1000 habitantes se desarrolla una enfermedad de tal manera que el ritmo con el que se propaga es directamente proporcional al producto del número de personas sanas por el número de personas enfermas. a. Plantear y analizar cualitativamente la ecuación diferencial que modela a esta situación b. Resolver la ecuación diferencial c. Sabemos que inicialmente el número de personas infectadas es de 5 y que después de 3 días es de 25. ¿Cuál sería el número de personas infectadas al cabo de 12 días? 5. Entre los alumnos de una asignatura se extiende el rumor de que el examen de problemas va a ser muy difícil. Si hay 1000 alumnos de dicha asignatura y el rumor se extiende de manera proporcional al número de alumnos que todavía no lo han oído. Construir una formula y aplicarla para conocer cuántos días tardaran en saberlo 950 alumnos, sabiendo que en el primer día lo conocían 10 alumnos y a los 2 días 100 alumnos. 6. En la ecuación logística, supongamos que la capacidad de carga es K = 105, la población inicial es de 100 bacterias y que al cabo del día la población es de 120, calcular el momento (en días) en el que la población de bacterias crece con más rapidez. Calcular el año en el que las poblaciones de ambas naciones sean iguales.

7. Una epidemia se desarrolla en una población de una forma tal que, en cada momento del tiempo, la velocidad de desarrollo de la infección es directamente proporcional al número de personas enfermas por el número de personas sanas. Si la población tiene 10000 habitantes, y se sabe que el número de personas infectadas inicialmente era de 50 junto con que al cabo de 3 días había 250 enfermos. Averiguar el número de enfermos que habrá al cabo de doce días. 8. Una epidemia se desarrolla en una población de una forma tal que, en cada momento del tiempo, la velocidad de desarrollo de la infección es directamente proporcional al número de personas enfermas por el número de personas sanas. Si la población tiene 10000 habitantes, y se sabe que el número de personas infectadas inicialmente era de 50 junto con que al cabo de 3 días había 250 enfermos. Averiguar el número de enfermos que habrá al cabo de doce días.

D. OTROS MODELOS CONTINUOS

1. Una población de bacterias y(t) crece en función del tiempo, medido en horas, siguiendo la ley logística. Es conocido que, inicialmente, el número de individuos es 100, que el máximo que puede soportar el medio es 105 individuos y que al final de la primera hora la población alcanzo unos efectivos de 120. Se desea conocer la población al cabo de las 4 horas y cuanto tiempo tendría que transcurrir para que se alcance la mitad del número de individuos que forman la capacidad máxima. 3. En un cierto cultivo de bacterias se sabe que la velocidad de crecimiento de la población es, en cada momento, directamente proporcional al número de bacterias existentes en dicho momento. Se sabe también que el tamaño de la población al cabo de 4 horas, es el triple del tamaño de la población inicial. Hallar el numero de bacterias que habrá en el cultivo transcurridas 10 horas. 4. Supongamos que una noticia se comunica de "boca en boca" en una población en la que todos los vecinos se conocen. Además, la noticia no se olvida y el número de personas que se enteran de ella por primera vez en un instante dado depende de los siguientes factores: -La posibilidad de encuentro entre individuos que conocen la noticia con los que aun no la conocen en dicho instante. -El interés por contar la noticia del individuo que la conoce y el interés por escucharla del que no la conoce. 5. Una población crece exponencialmente durante T meses con una constante de crecimiento de 0.03 por mes. Luego, la constante de crecimiento aumenta de manera repentina a 0.05 por mes. Después de 20 meses se duplica la población inicial, ¿en qué momento T cambio la constante de crecimiento?

6. A un paciente se le introduce por vía intravenosa una medicina a un ritmo constante de 12 miligramos por minuto, al mismo tiempo, el fármaco se descompone a una tasa proporcional a la cantidad que hay presente en cada momento. a. Encontrar la constante de proporcionalidad del modelo para que a largo plazo la cantidad de medicina en el cuerpo del paciente sea de 3 gramos. b. Con el valor de la constante encontrada en el apartado anterior, hallar la cantidad de medicina en el paciente al cabo de tres minutos sabiendo que inicialmente su cantidad era de 2 miligramos. 7. Un cultivo bacteriano tiene una densidad de población de 100 mil organismos por centímetro cuadrado. Se observo que un cultivo que ocupaba un área de un centímetro cuadrado a las 10h. de la mañana del martes había aumentado a 3 centímetros cuadrados a las 12h de la mañana del jueves siguiente. a. Cuantas bacterias habrá en el cultivo a las 3 de la tarde del domingo siguiente, suponiendo que la población cambia a una tasa proporcional a ella misma? b. Cuántas bacterias habrá el lunes próximo a las 4 de la tarde? Sea y (t) el número de individuos de la población que ya conoce la noticia en el instante t. a. Modelar la situación anterior a través de un modelo continuo y resolver la ecuación diferencial que aparece. b. Justificar el siguiente hecho: cuando la noticia ha sido escuchada por más de la mitad de la población, esta se difunde con menor rapidez que cuando la han escuchado menos de la mitad. 8. Sea y(t) la población de salmones correspondiente al tiempo t (medido en meses) de una piscina en una piscifactoría. De esta población conocemos: a. Inicialmente hay 1000 salmones. b. La población cambia con un ritmo que es proporcional al número de individuos presentes en cada momento, siendo la constante de proporcionalidad 0.01 c. Además, cada mes se incorporan 325 salmones a la piscina y se retiran 125 salmones para su venta. Construir un modelo continuo que represente a la situación anterior para conocer la población de salmones al cabo de 1 año. 9. Entre los asistentes a un zoo se extiende cierto rumor en relación al trato que reciben los animales. Si hay 500 personas y el rumor se extiende de manera proporcional al número de personas que todavía no lo han oído, siendo 0.25 la constante de proporcionalidad. ¿Cuantos días tardaran en saberlo 450 personas, si inicialmente lo conocían 5 personas?

10. Los recursos de un determinado ecosistema solo proporcionan alimentos para 6000 ciervos. La población en el año 1920 era de 1600 ciervos y en 1970 de 2400ciervos. a. ¿Cual crees que es el modelo continuo de crecimiento de poblaciones más adecuado para modelizar la situación planteada? b. Haciendo uso del modelo anterior, calcular la población de ciervos en el año 2020. 11. Una persona tiene una población que crece con velocidad proporcional a la raíz cuadrada de lo que posee. Supongamos que hoy tiene 400 animales y que hace un año tenía 25 animales. ¿Cuántos animales tendrá dentro de 6 meses? 12. La presencia de toxinas en un cierto medio destruye el cultivo de bacterias. Si no hubiera toxinas las bacterias crecerían con una velocidad proporcional a la cantidad total de bacterias existente, pero la presencia de las toxinas hace que dicha velocidad de crecimiento sea reducida en una constante. Si el numero de bacterias inicial fuera de 1000 y la constante de proporcionalidad fuera de 2, ¿cuántas unidades de tiempo tendría que pasar para que hubiera 10000 bacterias, sabiendo que la reducción constante es de 100? 13. Una sequia en un territorio causa la muerte de gran parte de la población animal. Una manada de animales sufre una tasa de muertes proporcional a su tamaño. El número de animales en la manada era de 500 al inicio de la sequia y solamente quedan 200 cuatro meses después. Encontrar una fórmula para calcular la población de la manada después de t meses. ¿Cuánto tiempo tardara en disminuir la manda a un decimo de su tamaño original? 14. Los recursos mundiales solo proporcionan alimentos suficientes para 6000 millones de seres humanos. La población mundial fue de 1600 millones en 1900 y 2400 millones en 1950. a. ¿Cual crees que es el modelo continuo de crecimiento adecuado para esta situación? Justificar la respuesta. b. Haciendo uso del modelo anterior, calcular la población mundial en el año 2000. 15. Supongamos que si no intervienen factores externos, el incremento del número de conejos en un mes es las tres cuartas partes del incremento del mes anterior. Inicialmente el número de conejos es de 10 y al finalizar el primer mes es de 30, además cada mes se incorporan 25 conejos a la población. Determinar la población de conejos al analizar un mes cualquiera. ¿Cual será su comportamiento a largo plazo? 16. La población de Canadá era de 24.070.000 en 1990 y 26.620.000 en 2000. Supongamos que la población crece directamente proporcional al número de individuos presentes en cada momento.

a. Encontrar la población para un tiempo cualquiera t y determinar el momento en el que se duplicara la población. b. Para los mismos años, la población de Kenya era de 16.681.000 y 24.229.000, respectivamente. Bajo las mismas hipótesis de crecimiento, encontrar el momento en el que se duplicara la población de Kenya.

Tema 3. Modelo depredador – presa y competencia

1. Sean x(t), y(t) las poblaciones de dos especies que compiten por los recursos disponibles. Un incremento en cualquier especie tiene un efecto adverso sobre la razón de crecimiento de la otra. En concreto: Analizar el comportamiento a largo plazo de ambas poblaciones. 2. Sean x(t), y(t) dos especies que compiten por los recursos disponibles. Su evolución a lo largo del tiempo viene dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: a. Encuentra los puntos de equilibrio y estudia la evolución de las dos poblaciones en el plano fase. b. ¿Pueden convivir ambas especies a largo plazo? 3. Sean x(t); y(t) las poblaciones de dos especies que compiten por recursos. Un incremento en cualquier especie tiene un efecto adverso sobre la razón de crecimiento de la otra. En concreto: a. Si inicialmente x0 = 3; y0 = 1. ¿Crece la población x(t)? ¿Decrece la población y(t)? Justifica la respuesta b. A largo plazo, ¿pueden convivir ambas poblaciones? 4. Sean x(t) y(t) las poblaciones de dos especies que compiten por los recursos disponibles. El modelo que representa a estas dos poblaciones en competencia es: Realizar un estudio cualitativo del modelo para estudiar el comportamiento a largo plazo de las poblaciones. X`= -3x + y Y`= x -3y 5. En un acuario disponemos de dos poblaciones de peces que compiten entre sí, siendo x(t); y(t) sus poblaciones en el tiempo t. La dinámica de su comportamiento viene dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales Inicialmente sabemos que las poblaciones son x(0) = 2, y(0) =

a) En estos momentos iníciales, ¿cómo evolucionan las poblaciones? ¿Cual será el comportamiento a largo plazo de dichas poblaciones? 6. En una selva tropical estudiamos dos poblaciones x(t), y(t). La dinámica de su comportamiento viene dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: a. Si ambas especies están aisladas, modificar el modelo para conocer el número de individuos en t = 3 a) Si ambas especies están en contacto, analizar su comportamiento a largo plazo. 7. Sea el modelo presa - depredador, donde y(t) representa a la población de depredadores y x(t) a la población de presas. a. Explicar el significado "biológico" de las ecuaciones. b. Realizar el estudio cualitativo de la ecuación, para analizar el comportamiento "a largo plazo" de ambas poblaciones. 8. La dinámica de dos poblaciones x(t), y(t) viene determinada por el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales a. Realiza un estudio cualitativo para conocer el comportamiento a largo plazo de ambas poblaciones b. Resuelve el sistema anterior 14. Sea el modelo, donde y(t) representa a una población de peces y x(t) a otra población diferente de peces. 10. x`= 0.2x - 0.05xy Y`= -0.1y + 0.2 xy a. Explicar el significado "biológico" de las ecuaciones. b. Realizar el estudio cualitativo del sistema, para analizar el comportamiento "a largo plazo" de ambas poblaciones. 11. La interacción cooperativa entre dos especies autolimitantes se modela con el sistema: siendo x(t) ; y(t) el número de individuos de la primera y segunda especie, respectivamente. a. Estudiar cualitativamente el sistema, y extraer las consecuencias biológicas. b. Clasificar los puntos de equilibrio del sistema de ecuaciones, haciendo uso de la matriz jacobiana. 12. Dos poblaciones x(t); y(t) evolucionan según el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: Encuentra los valores de x(2) e y(3) para los valores iniciales x(0) = 3 e y(0) = 5 ¿Que le sucede a ambas poblaciones a largo plazo?

Tema 4: Modelos discretos (basados en matrices).

A. CADENA DE MARKOV

1. Un granjero tiene una gran población de flores cuyo color rojo, rosa y blanco vienendeterminado por los genotipos AA, Aa, y aa respectivamente. El granjero decide fertilizar todas las flores con un color rosa (genotipo Aa). a. Si inicialmente tiene 10 flores rojas, 20 rosas y 30 blancas. ¿Cual será el número de flores de cada uno de los colores en la tercera generación? b. Encontrar la expresión general para la distribución de los genotipos a lo largo de las generaciones, para una distribución inicial de 10 flores rojas, 20 rosas y 15 blancas. c. Existe alguna distribución inicial de colores de tal forma que se mantenga invariante con el tiempo? Razona la respuesta.

2. Una sala de cine decide programar las películas según el siguiente método: si una semana se proyecto una norteamericana, a la semana siguiente se programara, dos de cada tres veces, una española, y una de cada tres veces, una francesa. Si la película programada fue francesa, dos de cada tres veces será norteamericana y una de cada tres francesa. Finalmente, si la película programada fue española, la semana siguiente se programara española una de cada tres veces y norteamericana dos de cada tres veces. Si inicialmente las cuotas de pantalla son el 50 % para el cine norteamericano, el 35% para el cine español, y el 15 % para el francés. a. ¿Estamos ante una cadena de Markov regular? Justifica la respuesta. b. Comprueba que la matriz que representa al modelo tiene a lambda= 1 como valor propio. c. Analiza el comportamiento a largo plazo del modelo para contestar a la siguiente cuestión. Después de seguir este esquema durante un "largo plazo", ¿se habrá cumplido con la cuota de pantalla que exige programar al mes el 25 % de películas de producción nacional? 3. Supongamos que al realizar estudios climáticos en una determinada zona de nuestra provincia obtenemos los siguientes datos. Si un día es caluroso, entonces la probabilidad de que el día siguiente sea también caluroso es 0.65, y 0.35 la probabilidad de que haga frío. Por otro lado, si un día es frío, entonces 0.7 es la probabilidad de que el día siguiente siga siendo frío y 0.3 de que sea un día caluroso. Construir un modelo matricial y analizar su comportamiento a "largo plazo". 4. Cierta especie de aves se mueve entre tres asentamientos, A, B, y C, según la siguiente tabla de migraciones anuales: Pasan A Pasan a B Pasan a C Las aves de A 80% 10% 10%

Las aves de B 20% 70% 10% Las aves de C 30% 10% 60% a. ¿Que expresión matricial proporcionara el numero de aves en cada asentamiento después de k años? b. Si inicialmente hay, en miles de aves, A0 = 2; B0 = 3 y C0 = 6. Calcular el número de aves en cada asentamiento pasados dos años. c. En general, el esquema marcado por la tabla anterior hace que el numero de aves en cada asentamiento cambie de un año a otro ¿Existe alguna configuración inicial de aves que permanezca constante año tras año? Calcular los porcentajes y comprobar el resultado. 5. Una región de Andalucía está dividida en tres zonas: olivar, monte y campiña. Mediante cierto estudio se ha determinado que cada año un 5% del olivar se convierte en monte y otro 5% en campiña. De las tierras de monte, un 10% pasa a ser olivar y un 5% en campiña. Por último, de la tierra de campiña, un 15% se convierte en olivar y un 10% en monte. Escribir un modelo dinámico discreto matricial y estimar el porcentaje de tierra dedicada a cada tipo a largo plazo. 6. Una población de aves se encuentra repartida entre dos humedales A y B. Se sabe que cada día un 20% de aves del humedal A se traslada a B mientras que un 30% de aves de B lo hace a A. a. Si inicialmente hay el mismo número de aves en cada humedal, ¿qué porcentaje de estas se encuentran en cada uno de ellos después de dos días? b. ¿Qué porcentaje de ellas debe haber en cada humedal si se sabe que este porcentaje se mantiene constante a través del tiempo? Comprueba el resultado c. ¿Cuál es el porcentaje de aves en cada humedal después de un número elevado de días? 7. Un granjero tiene una población de flores cuyo color rojo, rosa y blanco viene determinado por los genotipos AA; Aa; aa respectivamente. El granjero decide fertilizar todas las flores con un color rosa. a. Modeliza la situación anterior mediante una cadena de Markov b. Comprueba que dicha cadena de Markov es regular c. Aplica el resultado anterior para encontrar la distribución de colores a "largo plazo". 8. Anualmente una planta tiene flores todas de un mismo color, que pueden ser rojas, amarillas o blancas. Se sabe que si un año las flores son rojas, entonces al año siguiente también lo serán, y que si un año son amarillas al año siguiente serán todas amarillas. Por otro lado, si un año las flores son blancas, entonces el año siguiente no pueden ser rojas, y tienen la misma probabilidad de ser amarillas o blancas. Si tenemos 10 plantas con flores rojas, 20 plantas con flores amarillas y 30 con flores blancas, ¿cual será la distribución de colores después de 50 años?

9. Siendo x0 e y0 las poblaciones iniciales de conejos y zorros respectivamente. Se sabe que el numero de conejos en cualquier mes es el 60% de los conejos mas el 10% de la población de zorros del mes anterior. Por otro lado, el numero de zorros en dicho mes es la suma del 40 % de la población de conejos mas el 90% de la población de zorros en el mes anterior. a. Construir un modelo matricial discreto para describir la evolución de las poblaciones de conejos y zorros en el tiempo. b. ¿Existe alguna distribución de las poblaciones de conejos y zorros que sea estable? c. En caso afirmativo, ¿qué porcentajes de dichas poblaciones pertenecen a la población de conejos y a la población de zorros? d. Comprobar la estabilidad de la solución anterior. 10. Para beber agua un animal puede ir a un lago o a un río. Se sabe que no va al lago dos días seguidos y que si toma agua en el río la probabilidad de que al día siguiente beba agua en cada uno de los sitios es la misma. a. Si el proceso está regulado por una cadena de Markov, ¿es regular? b. Si hoy el animal bebe agua en el lago, ¿cuál es la probabilidad de que dentro de tres días beba de nuevo agua del lago? c. ¿Qué puedes comentar de su comportamiento a largo plazo? 11. Tres embalses que denominaremos A, B y C, están conectados mediante canalizaciones. Se realizan intercambios entre ellos para ajustar los niveles de agua. Mensualmente, en el embalse A se queda el 60% pasando un 10% al B; del embalse B se traslada un 30% al A y un 10% al C. Por último, el 90% se queda en el C y el 10% se pasa al A. Inicialmente las reservas de agua son las siguientes, 19 Hm3 en el pantano A, 1 Hm3 en el B y 30 Hm3 en el C. a. Plantear un modelo matricial que permita calcular las reservas de cada pantano para meses sucesivos b. Calcular las reservas disponibles durante el segundo mes c. ¿Qué puedes decir de la distribución de las reservas de agua a “largo plazo"? 12. Ante el buen resultado de sus empresas, el señor Pérez piensa acometer un ambicioso proyecto de inversiones que comprende la adquisición de la multinacional de comidas de animales UNIVAC, la cual en la actualidad únicamente disfruta del 25 % de cuota de mercado, estando el 75 % restante ocupado por la multinacional MARKETS. Para asegurarse de conseguir el 50% en ambas empresas, realiza un estudio de mercado, obteniéndose las siguientes conclusiones: -La evolución dinámica en el tiempo está caracterizada por un proceso de Markov. -Como consecuencia del cambio cualitativo de gestión, a UNIVAC se le supone con capacidad para retener anualmente el 72 % de la cuota de mercado del año anterior, perdiendo únicamente

el 28 % restante en favor de MARKET, la cual a su vez retendrá un 58 % de la cuota del año anterior.Se pide: a. ¿Se trata de una cadena de Markov regular? b. ¿Qué cuota de mercado alcanzara UNIVAC después de un año de gestión del nuevo equipo directivo? c. Si se contempla un horizonte temporal a largo plazo, ¿qué cuota de mercado será capaz de abarcar? 13. Las aceitunas de una región de Jaén se clasifican en buenas, regulares y malas. Se sabe que, año tras año, después de una cosecha buena las probabilidades de tener el año siguiente una buena cosecha, regular o mala son de 0, 0.8 y 0.2 respectivamente. Después de una cosecha regular, las probabilidades son 0.2; 0.6; 0.2 de que la siguiente cosecha sea buena, regular o mala. Por último, si la cosecha de este año es mala, existe un 10% de posibilidades de que la cosecha sea buena, un 80% de que sea regular y un 10% de que sea mala. Si la actual cosecha es mala, a. ¿Cuál es la probabilidad de que dentro de dos años la cosecha sea buena? b. ¿Cuál es la probabilidad de que a "largo plazo" la cosecha sea mala? 14. En un animalario se alimentan las cobayas con tres alimentos diferentes A, B, y C. La persona encargada de alimentarlas ha observado, después de varios años, que si se les deja elegir cada mañana el alimento, la probabilidad de que elija cada una de ellas el mismo al día siguiente es 1/2, y elige cualquiera de los otros dos tipos de alimento con la misma probabilidad. a. Dibujar el diagrama de estados y construir la cadena de Markov b. Si el primer día se le presentan tres recipientes: uno con el alimento A y dos con el B, y se deja elegir al azar, calcular el vector de distribución de probabilidades a los dos días. c. ¿Cuál es la distribución de probabilidad a la larga?,¿Depende del vector inicial? Justificar las respuestas. 15. Supongamos que en un laboratorio se coloca un conjunto de 140 ratones en una caja dividida en tres departamentos comunicados entre de sí. Se sabe que cada semana, -Ninguno de los ratones se quedan en el mismo departamento - La mitad de los ratones del primer departamento pasan al tercero - La tercera parte del segundo pasan al tercero - La mitad de los ratones del tercer departamento pasan al primero Construir un modelo discreto matricial que represente a la situación anterior y encontrar la distribución de los ratones "a largo plazo" 16. El departamento de estudios de mercado de una fabrica estima que el 20% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprara el mes siguiente. Además, el 30% de quienes no lo

compren un mes lo adquirirá al mes siguiente. En una población de 1000 habitantes, 100 compraron el producto el primer mes. ¿Cuántos lo compraran al mes próximo?¿Y dentro de 3 meses?¿Qué pasará a largo plazo, suponiendo que no cambia la matriz de transición? 17. Un agricultor puede cultivar flores rojas o amarillas. Se sabe que si en un año cultiva rojas, entonces la probabilidad de que el año siguiente cultive rojas es 0.6. Por otro lado, si un año cultiva amarillas, entonces la probabilidad de que al año siguiente cultive amarillas es del 100%. a. Si este año ha plantado flores rojas, ¿cuál es la probabilidad de que dentro de dos años cultive flores amarillas?. b. La cadena de Markov no es regular, ¿por qué? Por tanto, para estudiar el comportamiento a largo plazo se tiene que hacer a través de la matriz diagonal ¿Cual es la probabilidad de que "a largo plazo" cultive flores rojas? 18. Cierta planta da anualmente flores todas del mismo color, que puede ser blanco o rojo. Supongamos que tenemos 120 plantas y que el 25 % de las que dan flores blancas un año dan flores rojas en el año siguiente, mientras que el 40 % de las que dan flores rojas un año dan flores blancas en el siguiente. a. Construir un modelo discreto matricial que describa cómo evoluciona el número de plantas con flores blancas x1(t) y rojas x2(t) en el tiempo t. b. Calcular el número de plantas con flores blancas y amarillas a largo plazo.

B. MODELO DE LESLIE

1. Supongamos que la edad máxima alcanzada por las hembras de una población animal es de 18 años y que esta población se divide en tres clases de edades igualescon intervalos de 6 años, a las que llamaremos jóvenes, medianas y adultas. La matriz de crecimiento de Leslie viene definida de la siguiente manera: una hembrajoven aporta otra hembra, una mediana tres, y una adulta dos. Además, el 75% de lasjóvenes sobreviven para llegar a medianas y el 50% de las medianas se hacenadultas. El precio de venta de una hembra joven es de 15 euros. Si disponemos de170 animales y cada 6 años separamos la clase de menor edad, ¿cuál es el importe dela venta?. 2. Supongamos queEs la matriz de transición de una población de animales dividida en dos grupos deedad (jóvenes y adultos). a. Demostrar que, a largo plazo, la población crecerá un 27% cada período de tiempo. b. Se desea que la población no crezca y para ello se permite la caza de los adultos. Si h es la proporción de adultos cazados en cada período, ¿cuál será la matriz de transición? c. Demuestra que si h = 0.6 entonces la población de animales desaparecerá. d. Es posible encontrar un h de tal manera que la población permanezca constante?

3. Supongamos que la edad máxima alcanzada por las hembras de una población animal es de 18 años y que esta población se divide en tres clases de edades iguales con intervalos de 6 años, a las que llamaremos jóvenes, medianas y adultas. La matriz de crecimiento de Leslie viene definida de la siguiente manera: una hembra joven aporta otra hembra, una mediana tres, y una adulta dos. Además, el 75% de las jóvenes sobreviven para llegar a medianas y el 50% de las medianas se hacen adultas. El precio de venta de una hembra joven es de 15 euros. Si disponemos de 170 animales y cada 6 años separamos la clase de menor edad, ¿cuál es el importe de la venta?. 4. Disponemos de una población de animales dividida en clases de edad de 6 meses de duración. De las siguientes matrices de Leslie, a. selecciona aquella que sea adecuada para realizar la siguiente explotación racional y duradera. La población inicial es de 500 animales, siendo el precio de venta de los animales más jóvenes de 10 euros. Calcular el importe de las ventas realizadas después de cinco años sabiendo que separación la realizamos solo en la clase de menor edad. 5. Una población de ardillas esta divida en tres clases de edades de dos años de duración, a las que llamaremos jóvenes, medianas y adultas. La matriz de Leslie viene definida de la siguiente manera: una hembra joven aporta otra hembra y una mediana 24, además la cuarta parte de las jóvenes sobreviven para llegar a medianas y el 50 % de las medianas se hacen adultas. a. Estudiar la evolución de la población a través de la tasa neta de reproducción. b. ¿Tiene la matriz L un valor propio estrictamente dominante?. Justifica la respuesta. c. Calcular el % de crecimiento o decrecimiento de la población. d. Si X (0) = (40; 20; 30)T . ¿Cual será la población cuatro años después?. e. Si sabemos que a largo plazo la población de ardillas será de 7900. ¿Como estarán distribuidas en cada una de las clases? 6. Supongamos que la edad máxima alcanzada por las hembras de una población animal es de 18 años y que esta población se divide en tres clases de edades iguales con intervalos de 6 años, a las que llamaremos jóvenes, medianas y adultas. La matriz de crecimiento de Leslie viene definida de la siguiente manera: una hembra joven aporta otra hembra y una mediana dos, además el 50% de as jóvenes sobreviven para llegar a medianas y el 25% de las medianas se hacen adultas. El precio de venta de cada una de las clases es 15 euros las hembras jóvenes, 25 las medianas y 32 las adultas. Si disponemos de 1000 animales y cada 6 años separamos la misma fracción de cada una de las clases, ¿cuál es el importe de la venta?

7. Estudiamos una población de aves (con el mismo número de machos que de hembras). Se sabe que un 12% de las nacidas en un año pasan a adultas al año siguiente y que todas las adultas mueren al año siguiente. Además, cada hembra adulta produce dos hembras cada año. a. Transcurridos unos años, determinar en qué tanto por ciento crecerá o decrecerá anualmente la población. b. Después de unos años, se sabe que la población de hembras será de 1000, ¿cuántas de ellas serán adultas? c. Determinar cuál debe ser el tanto por ciento de supervivencia de las hembras jóvenes para que la población se mantenga estable. 8. Supongamos el modelo discreto matricial de Leslie, Siendo la unidad de tiempo del sistema igual a un año. a. Probar que para cualquier valor positivo de α la población siempre crece b. Encontrar el valor de α para que cada año la población crezca un 50 % c. Para el valor de α anteriormente encontrado, ¿cual será el precio de la venta, en el caso particular de la separación uniforme, si disponemos inicialmente de 530 hembras y el precio de venta es 10 euros para la primera clase, 15 euros para las medianas y 5 euros para las hembras de mayor edad? 9. Sea una población de hembras dividida en tres clases de edades de 5 años de duración. Su evolución está determinada por un modelo de Leslie siendo su matriz, a. ¿Desaparecerá esta población a largo plazo? b. Encontrar el valor de a2 para que cada 5 años la población aumente en un 50% c. Para el valor de a2 anteriormente encontrado. Si a largo plazo el número de hembras es de 800, ¿cuántas de ellas serán jóvenes? 10. Supongamos que la edad máxima alcanzada por las hembras de una población animal es de 15 años y que esta población se divide en tres clases de edades iguales con intervalos de 5 años, a las que llamaremos jóvenes, medianas y adultas. La matriz de crecimiento de Leslie viene definida de la siguiente manera: una hembra joven aporta otra hembra y una mediana dos, además el 50% de las jóvenes sobreviven para llegar a medianas y el 25% de las medianas se hacen adultas. El precio de venta de cada una de las clases es 10 euros las hembras jóvenes, 20 las medianas y 30 las adultas. Si inicialmente disponemos de 1000 animales y cada 5 años separamos la misma fracción de cada una de las clases, ¿cuál es el importe de la venta? 11. Los arboles de un bosque están divididos en tres clases de altura. En cada temporada de corte los 4/5 de los arboles de la primera clase pasan a la segunda. El precio de los arboles de la segunda

clase es de 10 euros, y 20 euros para los de la tercera. ¿A partir de qué porcentaje de los arboles que pasan de la segunda a la tercera clase, será más rentable cortar todos los de la tercera clase? 12. En una granja se explota cierta especie animal. Para el estudio de su evolución solo se analiza la población de hembras. Para ello se divide la población en tres grupos de edad; jóvenes: de 0 a 2 años, medianas: de 2 a 4 años y adultas: de 4 a 6 años. Se realizan recuentos de la población cada dos años, y se observa, Inicialmente hay 1000 hembras jóvenes, 3000 medianas y 2000 adultas. a. Encontrar el número de hembras en cada uno de los grupos pasados uno o dos períodos b. Después de "muchos períodos" tenemos 10000 hembras, ¿cuántas de ellas serán adultas? Nota: los valores propios de la matriz de Leslie son λ1= -1.47, λ2= 2.78, λ3= -0.31 13. a. Explicar el modelo teórico para la explotación racional de una población de animales. b. Aplicación al caso siguiente: cierta población de animales está dividida en tres clases de edades de un año de duración y la matriz de Leslie correspondiente es: c. Encontrar la fracción a separar y el vector de distribución que quedaría después de cada separación, en los dos casos estudiados en teoría. 14. Bernadelli considero una especie de escarabajo que solo vive tres años y se propaga en su tercer año. Dividió a la especie en tres grupos de edades: de 0 a 1 año, de 1 a 2años y de 2 a 3 años. Observo que la probabilidad de supervivencia de las hembras del primer grupo era 1/2 y las del segundo 1/3, y que en el tercer grupo el promedio de hembras que nacen por cada hembra era de 6. a. Si inicialmente hay 30 hembras en cada grupo de edad, ¿cuántas hembras habrá a los dos años?, ¿y a los tres?, ¿y a los cinco, a los seis y a los siete? b. Calcular la distribución de las hembras para diferentes años y comprobar que su comportamiento es oscilatorio. ¿Cuál es la causa de tal oscilación? 15. Supongamos un animal que solo vive tres años y se propaga en su tercer año. Hacemos tres clases de edades y sabemos que: la probabilidad de supervivencia de las hembras del primer grupo es del 50 % y las del segundo 1/3, además en el tercer grupo el promedio de hembras que nacen por cada hembra es de 6. a. Si inicialmente hay 5 hembras en cada clase de edad. Estudiar la evolución de la población. b. Si modificamos la situación anterior suponiendo que además de las hipótesis anteriores en la segunda clase el promedio de hembras que nacen por cada hembra es de 4. Estudiar la evolución de la población. 16. La tabla siguiente corresponde a la distribución en tres intervalos de edad de una población de ciervas de hasta 6 años en 2002 y 2004.

a. ¿Desaparecerá esta población a largo plazo? b. Encontrar el número de ciervas para cada una de las clases en el año 2006 c. Si disponemos de 260 ciervas y sacrificamos la clase de menor. 17. Sea una población de animales (con el mismo número de machos que de hembras) que se encuentra dividida en tres clases de edad de un año de duración. Se sabe que un 12% de las nacidas en un año pasan a medianas al año siguiente y que un 54% de medianas sobrevivirán al año siguiente. Cada hembra mediana produce dos hembras jóvenes cada año. a. Si en la actualidad tenemos 3 hembras jóvenes, 4 medianas y 5 adultas, ¿cuál será la distribución de hembras después de tres años. b. Transcurridos unos años, determina en que tanto por ciento crecerá o decrecerá anualmente la población de hembras c. Determina cual debe ser el tanto por ciento de supervivencia de las hembras jóvenes para que la población se mantenga estable. 18. Una población está dividida en tres clases de edades de dos años de duración: jóvenes, medianas y adultas. Una hembra joven aporta otra hembra y una mediana 24. Además, la cuarta parte de las jóvenes sobreviven para llegar a ser medianas y el 50% de las medianas se hacen adultas. a. Analizando los elementos de la matriz de Leslie, contesta a las siguientes cuestiones: ¿Aumenta o disminuye la población?¿Tiene la matriz un valor propio estrictamente dominante? b. Si a largo plazo la población de hembras es de 7900, ¿Cuántas de ellas serán jóvenes? 19. Los arboles de cierto bosque están divididos en tres clases según su altura. En cada temporada de corte la mitad de los arboles de la primera clase pasan a la segunda, y la tercera parte de los arboles de la segunda clase pasan a la tercera. Si el precio de los arboles de la segunda clase es de 30 euros y el precio de los arboles de la tercera es de 50 euros ¿Cual es la clase de arboles que debe cortarse para lograr el rendimiento optimo duradero? ¿Cual es dicho rendimiento si el bosque tiene 1000 arboles?, y ¿a partir de qué precio es más rentable cortar los arboles de la tercera clase? 20. Una población comienza con 100 hembras de edad cero. Supongamos que cada hembra de edad cero produce una cría y que las 2/3 partes sobreviven a la edad uno. Cada hembra de la edad uno tiene tres crías y entonces muere. a. ¿Cual será la población después de tres generaciones? b. Encuentra el modelo de Leslie y determina cual será el comportamiento de la población a "largo plazo".

C.OTROS PROBLEMAS DE TIPO MATRICIAL

1. Supongamos el modelo discreto matricial a. ¿Son todos los estados accesibles? b. Si X(0) = (10, 20, 0)T, ¿cual será la distribución después de 30 años? 2. Sea la matriz a. ¿Es A una matriz de Leslie?. Justificar la respuesta e interpretar biológicamente los elementos de la matriz. b. ¿Tiene la matriz A algún valor propio positivo estrictamente dominante? Justificar la respuesta c. Sea el modelo matricial: Si x(0) = (100, 100, 100)T , ¿cual será el valor de x(30)?

Tema 4: Sistemas dinámicos discretos

a. ECUACIONES EN DIFERENCIAS ( SIN ORDEN DE NUMERACION )

B.MODELO LINEAL . DIAGRAMA DE COBWEB ( SIN ORDEN DE NUMERACION )

C.MODELO DISCRETO NO LINEAL ( SIN ORDEN DE NUMERACION )

EXAMEN FEBRERO 2011 – EJERCICIOS PARA REPASAR

Recopilacion realizada por Antonio Lucas Rumin