Contenido Objetivos

Modelos Matematicos de Variacion

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo 1

Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion

Contenido Objetivos

Tabla de Contenido

Objetivos

Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion

Contenido Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

modelos matematicos de variacion

directainversaconjuntacombinada

aplicaciones

Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion

Contenido Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

modelos matematicos de variacion

directa

inversaconjuntacombinada

aplicaciones

Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion

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Objetivos:

Discutiremos:

modelos matematicos de variacion

directainversa

conjuntacombinada

aplicaciones

Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion

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Objetivos:

Discutiremos:

modelos matematicos de variacion

directainversaconjunta

combinada

aplicaciones

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Objetivos:

Discutiremos:

modelos matematicos de variacion

directainversaconjuntacombinada

aplicaciones

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Discutiremos:

modelos matematicos de variacion

directainversaconjuntacombinada

aplicaciones

Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion

Contenido Objetivos

Modelos de Variacion

Variacion Directa:

Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion

y = kx

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıadirectamente con x, o que y es directamente proporcionala x o que y es proporcional a x. La constante k se conocecomo constante de proporcionalidad o de variacion.

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Modelos de Variacion

Variacion Directa:

Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion

y = kx

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıadirectamente con x, o que y es directamente proporcionala x o que y es proporcional a x.

La constante k se conocecomo constante de proporcionalidad o de variacion.

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Modelos de Variacion

Variacion Directa:

Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion

y = kx

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıadirectamente con x, o que y es directamente proporcionala x o que y es proporcional a x. La constante k se conocecomo constante de proporcionalidad o de variacion.

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.

Solucion: y = kx ⇒ k =y

x⇒ k =

72

4⇒ k = 18

Modelo de variacion: y = 18 x

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.

Solucion: y = kx

⇒ k =y

x⇒ k =

72

4⇒ k = 18

Modelo de variacion: y = 18 x

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.

Solucion: y = kx ⇒ k =y

x

⇒ k =72

4⇒ k = 18

Modelo de variacion: y = 18 x

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.

Solucion: y = kx ⇒ k =y

x⇒ k =

72

4

⇒ k = 18

Modelo de variacion: y = 18 x

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.

Solucion: y = kx ⇒ k =y

x⇒ k =

72

4⇒ k = 18

Modelo de variacion: y = 18 x

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Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.

Solucion: y = kx ⇒ k =y

x⇒ k =

72

4⇒ k = 18

Modelo de variacion: y = 18 x

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Modelos de Variacion

Ejemplo: El periodo P de un pendulo (tiempo transcurrido enuna oscilacion completa del pendulo) varıa directamente con laraız cuadrada de la longitud l del mismo.

Exprese esta relacion escribiendo una ecuacion.

Solucion: P = k√l.

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Ejemplo: El periodo P de un pendulo (tiempo transcurrido enuna oscilacion completa del pendulo) varıa directamente con laraız cuadrada de la longitud l del mismo.

Exprese esta relacion escribiendo una ecuacion.

Solucion: P = k√l.

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Ejemplo: El periodo P de un pendulo (tiempo transcurrido enuna oscilacion completa del pendulo) varıa directamente con laraız cuadrada de la longitud l del mismo.

Exprese esta relacion escribiendo una ecuacion.

Solucion: P = k√l.

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Modelos de Variacion

¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?

Solucion: Como P = k√l ⇒ k =

P√l.

Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k

√l2

⇒ k =2P√l2

⇒ P√l

=2P√l2

- Igualando los valores de k.

⇒ 1√l

=2√l2

- Cancelando P en ambos lados.

⇒√l2 = 2

√l - Multiplicando cruzado.

⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.

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¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?

Solucion: Como P = k√l ⇒ k =

P√l.

Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k

√l2

⇒ k =2P√l2

⇒ P√l

=2P√l2

- Igualando los valores de k.

⇒ 1√l

=2√l2

- Cancelando P en ambos lados.

⇒√l2 = 2

√l - Multiplicando cruzado.

⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.

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¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?

Solucion: Como P = k√l ⇒ k =

P√l.

Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k

√l2

⇒ k =2P√l2

⇒ P√l

=2P√l2

- Igualando los valores de k.

⇒ 1√l

=2√l2

- Cancelando P en ambos lados.

⇒√l2 = 2

√l - Multiplicando cruzado.

⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.

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¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?

Solucion: Como P = k√l ⇒ k =

P√l.

Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k

√l2

⇒ k =2P√l2

⇒ P√l

=2P√l2

- Igualando los valores de k.

⇒ 1√l

=2√l2

- Cancelando P en ambos lados.

⇒√l2 = 2

√l - Multiplicando cruzado.

⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.

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¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?

Solucion: Como P = k√l ⇒ k =

P√l.

Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k

√l2

⇒ k =2P√l2

⇒ P√l

=2P√l2

- Igualando los valores de k.

⇒ 1√l

=2√l2

- Cancelando P en ambos lados.

⇒√l2 = 2

√l - Multiplicando cruzado.

⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.

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¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?

Solucion: Como P = k√l ⇒ k =

P√l.

Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k

√l2

⇒ k =2P√l2

⇒ P√l

=2P√l2

- Igualando los valores de k.

⇒ 1√l

=2√l2

- Cancelando P en ambos lados.

⇒√l2 = 2

√l - Multiplicando cruzado.

⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.

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¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?

Solucion: Como P = k√l ⇒ k =

P√l.

Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k

√l2

⇒ k =2P√l2

⇒ P√l

=2P√l2

- Igualando los valores de k.

⇒ 1√l

=2√l2

- Cancelando P en ambos lados.

⇒√l2 = 2

√l - Multiplicando cruzado.

⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.

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¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?

Solucion: Como P = k√l ⇒ k =

P√l.

Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k

√l2

⇒ k =2P√l2

⇒ P√l

=2P√l2

- Igualando los valores de k.

⇒ 1√l

=2√l2

- Cancelando P en ambos lados.

⇒√l2 = 2

√l - Multiplicando cruzado.

⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.

Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.

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¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?

Solucion: Como P = k√l ⇒ k =

P√l.

Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k

√l2

⇒ k =2P√l2

⇒ P√l

=2P√l2

- Igualando los valores de k.

⇒ 1√l

=2√l2

- Cancelando P en ambos lados.

⇒√l2 = 2

√l - Multiplicando cruzado.

⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.

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Modelos de Variacion

Variacion Inversa:

Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion

y =k

x

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıainversamente con x, o que y es inversamenteproporcional a x. La constante k se conoce como constantede proporcionalidad o de variacion.

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Modelos de Variacion

Variacion Inversa:

Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion

y =k

x

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıainversamente con x, o que y es inversamenteproporcional a x.

La constante k se conoce como constantede proporcionalidad o de variacion.

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Variacion Inversa:

Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion

y =k

x

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıainversamente con x, o que y es inversamenteproporcional a x. La constante k se conoce como constantede proporcionalidad o de variacion.

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Modelos de Variacion

Variacion Conjunta:

Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion

z = kxy

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z varıaconjuntamente con x y y o que z es conjuntamenteproporcional a x y y. La constante k se conoce comoconstante de proporcionalidad o de variacion.

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Modelos de Variacion

Variacion Conjunta:

Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion

z = kxy

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z varıaconjuntamente con x y y o que z es conjuntamenteproporcional a x y y.

La constante k se conoce comoconstante de proporcionalidad o de variacion.

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Modelos de Variacion

Variacion Conjunta:

Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion

z = kxy

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z varıaconjuntamente con x y y o que z es conjuntamenteproporcional a x y y. La constante k se conoce comoconstante de proporcionalidad o de variacion.

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Modelos de Variacion

Variacion Combinada:

Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion

z = kx

y

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z esproporcional a x e inversamente proporcional a y. Laconstante k se conoce como constante de proporcionalidado de variacion.

Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion

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Modelos de Variacion

Variacion Combinada:

Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion

z = kx

y

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z esproporcional a x e inversamente proporcional a y.

Laconstante k se conoce como constante de proporcionalidado de variacion.

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Variacion Combinada:

Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion

z = kx

y

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z esproporcional a x e inversamente proporcional a y. Laconstante k se conoce como constante de proporcionalidado de variacion.

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Variacion Combinada:

Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion

z = kx

y

para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z esproporcional a x e inversamente proporcional a y. Laconstante k se conoce como constante de proporcionalidado de variacion.

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25

Solucion: R = kxy

s⇒ k =

Rs

xy⇒ k =

25× 12

2× 3⇒ k = 50

Modelo de variacion: R = 50xy

s

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25

Solucion: R = kxy

s

⇒ k =Rs

xy⇒ k =

25× 12

2× 3⇒ k = 50

Modelo de variacion: R = 50xy

s

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25

Solucion: R = kxy

s⇒ k =

Rs

xy

⇒ k =25× 12

2× 3⇒ k = 50

Modelo de variacion: R = 50xy

s

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25

Solucion: R = kxy

s⇒ k =

Rs

xy⇒ k =

25× 12

2× 3

⇒ k = 50

Modelo de variacion: R = 50xy

s

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25

Solucion: R = kxy

s⇒ k =

Rs

xy⇒ k =

25× 12

2× 3⇒ k = 50

Modelo de variacion: R = 50xy

s

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Modelos de Variacion

Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.

R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25

Solucion: R = kxy

s⇒ k =

Rs

xy⇒ k =

25× 12

2× 3⇒ k = 50

Modelo de variacion: R = 50xy

s

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Modelos de Variacion

Ejercicio: Un carro esta viajando sobre una curva que tiene laforma de un arco circular. La fuerza F necesaria para que elcarro siga en la carretera es conjuntamente proporcional al pesow del carro y al cuadrado de su velocidad s e inversamenteproporcional al radio r de la curva.

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Ejercicio: Un carro esta viajando sobre una curva que tiene laforma de un arco circular. La fuerza F necesaria para que elcarro siga en la carretera es conjuntamente proporcional al pesow del carro y al cuadrado de su velocidad s e inversamenteproporcional al radio r de la curva.

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Modelos de Variacion

1 Escriba una ecuacion que represente la variacion.

2 Un carro que pesa 1000 lb viaja sobre la curva a unavelocidad de 60 mi/h. El proximo carro sobre la curva pesa2500 lb y requiere la misma fuerza que el primer carro paraevitar que salga de la curva. Determine la velocidad delsegundo carro.

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