modelos dinamicos español

12Muro.Doctorado00-12

5. Modelos dinmicos de datos de panel (DPD).

Una de las mayores ventajas de los datos de panel es la de que, al disponer de observaciones de losmismos agentes econmicos a lo largo del tiempo, es posible analizar los comportamientosdinmicos de los agentes econmicos a travs de datos microeconmicos. El tratamiento de estetipo de modelos es relativamente reciente en la literatura economtrica. Entre las referencias bsicasse encuentran: Arellano y Bond(1991), Keane y Runkle(1992), Arellano y Bover(1993) y Ahn ySchmidt(1993). En la exposicin se sigue sustancialmente el tratamiento que se da a este tema enBaltagi(1995).

5.1 Introduccin.

Los modelos que vamos a considerar en lo que sigue son de tres tipos:

a) Un caso especial de (1.8) que se suele denominar modelo autorregresivo y que es elmodelo ms simple de datos de panel dinmico. En efecto, si colocamos como nicoregresor la variable endgena retardada un periodo queda

[1.9]T.1,2,..,=tN;1,2,..,=i

,++Y=Y ititiit nhd )1( -

b) Un modelo autorregresivo como en (1.9) pero con regresores exgenos opredeterminados. En general, en los modelos con datos de panel, la condicin deexogeneidad se determina por la incorrelacin entre la variable y el trmino de error,mientras que las variables son predeterminadas cuando estn incorrelacionadas con lostrminos de error pretritos, pero no con los contemporneos y futuros. La especificacindel modelo es en este caso

[1.10]T.1,2,..,=tN;1,2,..,=i

,+X+Y=Y itiittiit nhbd +- )1(

c) El modelo de Hausman y Taylor(1981). En este clsico modelo se distingue entre losregresores que varan a lo largo del tiempo y entre los individuos, Xit, y los regresoresinvariantes a lo largo del tiempo pero que toman valores diferentes para cada individuo, Zi.El carcter de los regresores no se especifica en este modelo. La expresin es

[1.11]T.1,2,..,=tN;1,2,..,=i

,+ZX=Y itiiitit nhgb ++

En esta introduccin, por mera simplicidad en la exposicin, nos referiremos siempre al modelo(1.9).

El rasgo distintivo de (1.9), si lo comparamos con los modelos del planteamiento tradicional delos datos de panel, es la correlacin entre el regresor retardado y el trmino de error del modelo, atravs de la correlacin entre el regresor retardado y los efectos individuales. Las consecuencias


para las propiedades estadsticas de los estimadores utilizados hasta ahora son las siguientes:

1. El estimador por MCO de d en (1.9) es sesgado e inconsistente, aunque las nit no presentenautocorrelacin (este ltimo comentario relativo a las propiedades del trmino de error esoportuno para apreciar la diferencia entre los modelos dinmicos con datos de serie temporal ylos modelos dinmicos con datos de panel; recurdese que en presencia de datosexclusivamente temporales el sesgo slo se introduce en los estimadores por MCO de laecuacin con la correlacin serial del trmino de error, ya que en el caso de dependencia parciallos estimadores por MCO continan siendo consistentes). Trognon(1978) y Sevestre yTrognon(1983, 1985) han estudiado la magnitud del sesgo del estimador por MCO en el casode modelos dinmicos del tipo de efectos aleatorios.

2. El estimador intragrupos del modelo, cuya expresin se encuentra antes en (1.3), es sesgadoy, en general, inconsistente. En efecto, la utilizacin del estimador intragrupos de d en (1.9) eslo mismo que aplicar MCO en la ecuacin

Donde las medias, como puede verse, son para cada agente econmico, es decir, internas algrupo. Con estas diferencias, como ya vimos, desaparecen los efectos individuales. Sinembargo, ya que el modelo es dinmico, el estimador intragrupos ser sesgado. Esto ocurreporque

.;1

21

1 TT

YY i

it

i

T

it

it

=

-=

-

-

nn

Y la media de ni contiene a nt-1. El tamao del sesgo asinttico es en esta situacin una funcinde 1/T, por lo que si disponemos, como es habitual, de una muestra con una dimensintemporal reducida, aunque el tamao de la muestra en el corte transversal, N, sea muy grande,el estimador intragrupos es inconsistente.

Nickell(1981) facilita la expresin del tamao del sesgo del estimador intragrupos en trminosdel tamao temporal de la muestra, T. La frmula es

.111

1),(

,

.)1)(1(

),(21

)1(),()1(

)*(1

-

--=

--

--

+-=--

dd

d

ddddd

dd

T

N

TTh

Donde

TTh

TTh

plim

Ridder y Wansbeek(1G990) tambin estudian este problema y Beggs y Nerlove(1988)investigan qu hacer en esta situacin.

Nickell(1981) tambin evala el tamao del sesgo para valores habituales de d y T. La tablasiguiente recoge sus resultados.

.)( 11 iitititiit YYYY nnd -+-=- --


d

0.05 0.50 0.95

2 -0.52 -0.75 -0.73

3 -0.35 -0.54 -0.26

10 -0.11 -0.16 -0.26T

15 -0.07 -0.11 -0.17

Como se ve, en todas las combinaciones el estimador intragrupos sesga negativamente elverdadero valor del parmetro a estimar, pero el tamao del sesgo disminuye con el crecimiento dela muestra temporal.

3. El estimador por MCG es inconsistente. En este caso, las transformaciones son decuasidiferencias, como puede verse en (1.4), con lo que para la cuasidiferencia del regresorretardado se vuelve a dar correlacin con el trmino de error en cuasidiferencia.

4. El estimador de Anderson y Hsiao(1981). Una de las sugerencias ms empleadas paraestimar (1.9) es tomar primeras diferencias. En este caso el modelo queda

[1.12].

;1

it1-itit

itit2-ti,1-ti,1-ti,it

+y=y

)-(+)y-y(=y-y

nd

nnd

DDD-

Si aplicamos MCO el estimador es sesgado y, a diferencia del estimador intragrupos,Nickell(1981), tiene un sesgo no nulo permanentemente para cualquier valor de T.

Anderson y Hsiao(1982), sugieren estimar por variables instrumentales. Consideran comoinstrumentos las diferencias retardadas o la variable en niveles retardada. En (1.12) si utilizamoscomo instrumentos las diferencias retardadas el estimador es

[1.13] .yy

yy=

1-it2-itit

it2-itit

DD

DD

d

Este estimador es consistente. Equivale a un estimador por V.I. del modelo (1.12), que utiliza elincremento de yit-2 como instrumento del incremento de yit-1. Arellano(1989) estudia el problema delestimador de Anderson y Hsiao y demuestra que es preferible utilizar como instrumentos la variableretardada en niveles, yit-2.

Realizada esta pequea introduccin, estudiamos a continuacin las sugerencias msimportantes de la literatura sobre modelos dinmicos de datos de panel. Como veremos losenfoques se centran en los dos aspectos ms relevantes a considerar: la obtencin de estimadoresconsistentes y el incremento de la eficiencia de los estimadores obtenidos. Ambos objetivos sealcanzan mediante el recurso al incremento de los instrumentos utilizados en la estimacin(sobreidentificacin) y a la explotacin de la forma de la matriz de varianzas y covarianzas delproblema considerado.


5.2 El enfoque de Arellano y Bond (1991).

Este enfoque es de los ms populares en el anlisis de los modelos dinmicos con datos de panel.Los autores construyeron adems un programa para la estimacin de estos modelos, llamado DPD,que ha sido un elemento adicional para su gran popularidad. En esencia, el artculo de Arellano yBond(1991), a partir de ahora AB(1991), est dedicado a descubrir cmo seleccionar instrumentosde forma que la estimacin de un modelo dinmico no slo sea consistente sino con grandesmejoras de eficiencia. Para ello utilizan las condiciones de ortogonalidad entre los valoresretardados de la variable del lado izquierdo y el trmino de error del modelo de panel.

Utilizaremos nuevamente el modelo en (1.9) por su simplicidad. Con N grande y T pequeo, sitomamos primeras diferencias el modelo queda

[1.14] .it1-itit +y=y nd DDD

Donde, si las perturbaciones aleatorias se distribuyen iid, nit ~ N(0,s2), el trmino de error esun MA(1) no invertible, con una raiz unitaria.

Veamos que forma adopta el modelo anterior para cada observacin de la muestra. Parat=3, la expresin es

.)( 231223 iiiiii +yy=yy nnd ---

Donde, por existir correlacin, para la obtencin de estimadores consistentes podemos utilizarel mtodo de variables instrumentales. El instrumento a utilizar es yi1. Si hacemos lo mismopara t=4, la frmula que se obtiene es

.)( 342334 iiiiii +yy=yy nnd ---

Por la misma razn anterior, el mtodo de estimacin apropiado es el de variablesinstrumentales. Podemos utilizar como instrumentos yi1 e y i2. Finalmente, si reiteramos elprocedimiento, para la estimacin por variables instrumentales de la ecuacin en diferencias de laobservacin T podremos utilizar como instrumentos desde yi1 a y iT-2.

Hasta ahora, no hemos analizado la estructura del trmino de error en (1.14). Si calculamos sumatriz de varianzas y covarianzas tenemos

[ ] ).(' 2 GIE Nii =DD nsnn

Donde, IN es la matriz identidad de orden N y G es


--

---

=--

21000

12000

00121

00012

)2()2(

L

L

OMM

L

L

TxTG

Si volvemos a los instrumentos a utilizar, podemos definir la matriz de instrumentos como

.

)(00

0)(0

00

221

21

1

)2()2(

=

-

--

Tii

ii

i

TxTi

yyy

yy

y

W

LLL

OMM

OMM

LL

LLL

Finalmente, para todas las i, la matriz de instrumentos es

[ ].',,',' 21 NWWWW L=

Las restricciones de ortogonalidad en (1.14) son

[ ] .0' =D iiWE n

Este conjunto de restricciones se encuentra tambin en Holtz-Eakin(1988), Holtz-Eakin, Neweyy Rosen(1988) y Ahn y Schmidt(1993).

Si aplicamos el mtodo de variables instrumentales a la estimacin de (1.14) resulta

.''' 1 nd D+D=D - WyWyW

Modelo que tiene una estructura de errores autocorrelacionada. Si aplicamos MCG obtenemos

[1.15] [ ] [ ].)('))('()'()('))('()'( 1111111 yWWGIWWyyWWGIWWy NN DDDD= ------d

Que es el estimador inicial en AB (1991).Como se sabe, Hansen(1982) introduce el mtodo generalizado de los momentos (MGM). Si

aplicamos en esta situacin su mtodo, la expresin resultante es similar a la anterior pero con laexpresin

=

=N

iiiN GWWWGIW

1

.')('

sustituida por


=

DD=N

iiiiiN WWV

1

.)')((' nn

Esta expresin puede estimarse sin ms que sustituir en la expresin anterior Dni por ladiferencia de los residuos del modelo cuando se estima mediante el estimador en (1.15).

El estimador en dos etapas por el mtodo generalizado de los momentos de AB (1991) es

[1.16] [ ] [ ].)(')'()(')'( 1111112 yWVWyyWVWy NN DDDD= ------dUna matriz de varianzas y covarianzas consistente del estimador en (1.16) es

[1.17] [ ] .)(')'(rva 11112 ---- DD= yWVWya NdLos dos estimadores son asintticamente equivalentes si iid, nit ~ N(0,s2),

5.2.1. Contraste de efectos individuales en modelos autorregresivos. Holtz-Eakin(1988)

Los desarrollos anteriores descansan sobre el supuesto de existencia de efectos individuales. Siestos no existieran, el planteamiento anterior sera en cierta manera ocioso. En efecto, se estararecomendando la utilizacin de forma innecesaria de mtodos de estimacin que permiten elcontrol de la heterogeneidad observada. Estos mtodos son, en general, ms complicados yrequieren mayor nmero de datos que los diseados para el tratamiento de datos de panel sinefectos individuales. Vamos a exponer un contraste de este supuesto en modelos autorregresivos.

Supongamos nuevamente que analizamos el modelo (1.6) y que el tamao de la muestra es T=3.Para la aplicacin de variables instrumentales podremos utilizar como instrumentos yi1 e yi2 . Lascondiciones de ortogonalidad son

.0)(;0)(;0)( 213132 === iiiiii uyEuyEuyE

Como cabe observar disponemos de tres restricciones para determinar un solo parmetro, d. Lasrestricciones anteriores podemos reformularlas como

.0)(;0))((;0)( 2123132 ==-= iiiiiii uyEuuyEuyE

Si de las anteriores restricciones en los momentos poblacionales pasamos a sus momentosmuestrales equivalentes tendremos tres ecuaciones para determinar una incgnita. Cabe utilizar unasola para calcular d y las otras dos restricciones de sobreidentificacin para contrastar la presenciade efectos individuales. Es conveniente destacar que la restriccin central en la frmula anterior secumple tanto si estamos en presencia de heterogeneidad como si sta ltima est ausente. De ahque pueda ser usada para obtener un estimador consistente de d en primeras diferencias. Bajo lahiptesis nula de no presencia de efectos individuales los dos momentos no empleados paradeterminar d estarn muy cercanos a cero.

Las restricciones en los momentos pueden ser expresadas en forma de regresiones. Estas seran


.

;

);()()(

212

323

231223

uyy

uyy

uuyyyy

+=+=

-+-=-

dd

d

Que si construimos una expresin vectorial, con vectores columna formados por las variables delas tres ecuaciones anteriores queda

[ ] [ ] [ ].',',''*';',',''*';',',''*':

.***

232312122323 uuuuuyyyyYyyyyy

Donde

uYy

-=-=-=

+= d

En el artculo de Holtz-Eakin(1988), este sistema se estima por variables instrumentales, coninstrumentos distintos para cada ecuacin debido a que el modelo es dinmico. Podemos llamar a lamatriz de instrumentos W, de tal manera que

.0)*'

( = N

uWplimN

El modelo de tres ecuaciones se estima simultneamente por MCG. La matriz de ponderacin es

.)*'*(' WuuEW=W

Un estimador consistente de dicha matriz es

.' =Wi

isirisir eeWW

Donde, como se ve, se ha sustituido la matriz de varianzas y covarianzas por el producto de losresiduos de cada ecuacin individual del modelo, por ejemplo la ecuacin i-sima, estimada pormnimos cuadrados bietpicos (MC2E).

El estimador simultneo por MCG es

[ ] [ ].*'*'*'*' 111 yWWYYWWY --- WW=dEste estimador es eficiente dentro de la clase de estimadores por variables instrumentales,

Hansen(1982) y White(1986).La suma de cuadrados de los residuos del modelo ser en este caso

).**(')'**(1 1 dd YyWWYyN

SCR -W-= -

La distribucin de este estadstico cuando el tamao de N crece es una c2 con los grados delibertad igual al nmero de restricciones de sobreidentificacin.

Cabe desarrollar un contraste de la hiptesis nula mediante un estadstico de la forma


.SSWSCRL r -=

Donde SCRr es la expresin anterior, obtenida de la estimacin del modelo de inters con todas lasrestricciones posibles, es decir, bajo el supuesto de ausencia de efectos individuales, y SSW es lasuma de cuadrados de los residuos del modelo estimado exclusivamente con las restriccionesnecesarias para la estimacin, es decir, el modelo en primeras diferencias. El estadstico L sedistribuye asintticamente bajo la hiptesis nula como una C2 con grados de libertad igual a ladiferencia entre el nmero de restricciones utilizadas para la estimacin de ambos modelos.

5.2.2 Modelos con variables exgenas.

Si en el modelo considerado existe tambin un conjunto de regresores estrictamente exgenos,stos pueden utilizarse como instrumentos adicionales en el proceso de estimacin y, por tanto,cabe incluirlos en la diagonal de la matriz de instrumentos W. En esta nueva situacin si empleamosel mtodo anterior la expresin sera

.')(')('' 1 uWXWyWyW D+D+D=D - bd

Expresin a partir de la que cabe obtener frmulas de los estimadores anlogas a las anteriores.Por el contrario, si las variables que se encuentran en la especificacin del modelo no son

estrictamente exgenas sino predeterminadas el procedimiento adecuado para su tratamiento esanlogo al empleado con la variable endgena retardada. Por ejemplo, para t=3 la ecuacindiferenciada (con un nico regresor sera

).()''()( 23231223 iiiiiiii uuXXyyyy -+-+-=- d

En la ecuacin anterior los instrumentos vlidos para los regresores son X'i1 y X'i2. Assucesivamente, para cada nueva observacin temporal, se iran aadiendo instrumentos, de formaanloga a lo realizada antes. Estos instrumentos nuevos se incluyen en la diagonal de la matriz W yse aplica el mtodo de estimacin anterior.

En consecuencia, dado que en el anlisis econmico aplicado la regla es el encontrar todo tipode variables se recomienda el considerar cada una de ellas individualmente y tratarlas segn elmtodo antes descrito.

5.3 El enfoque de Arellano y Bover (1993).

Para Arellano y Bover, a partir de ahora AB(93), la estimacin de modelos dinmicos paradatos de panel cabe considerarla desde el enfoque general de la estimacin de un modeloeconomtrico por el mtodo generalizado de momentos (MGM). Desde este punto de vista,una gran parte de los mtodos conocidos de estimacin para datos de panel puededemostrarse que son casos particulares de una estimacin por MGM de un modelo general. Laextensin de este procedimiento a la estimacin de paneles dinmicos conduce a una expresinmuy general de un estimador por MGM de un modelo dinmico para datos de panel.


La especificacin general de un modelo para datos de panel que consideran AB(93) es labien conocida y clsica del modelo de Hausman y Taylor(1981), que se encuentra en (1.11).Conviene recordar que en el modelo de Hausman y Taylor(1981) se distingue entre losregresores que varan a lo largo del tiempo y los individuos y los regresores que varan con losindividuos pero que son fijos a lo largo del tiempo. Para facilitar la comprensin escribimos denuevo el modelo de Hausman y Taylor (1981). Su forma es

[1.11]T..,1,2,......=t

N;,1,2,......=i

,+ZX=Y itiiitit nhgb ++

Donde, X representa la matriz de los k regresores que varan a lo largo del tiempo y Z la matriz delos g regresores fijos a lo largo del tiempo. La expresin en (1.11) en forma matricial es para cadaindividuo o grupo i la siguiente

[1.18] [ ]

.

.1)();(;1

;

iTii

iiii

iii

viu

xgkesgkTxesZXWTxesY

dondeuWY

+=

+

=+=

+=

h

gb

d

d

Donde iT es un vector columna de unos de dimensin (Tx1).

Si nos centramos en las propiedades del trmino de error compuesto en (1.18), vi,en la literaturase suelen encontrar dos supuestos bsicos para su estructura de varianzas y covarianzas.

1. E(ui ui)=W. Esta estructura es independiente de wi y la forma de W es arbitraria, con lanica condicin de que sea igual para todos los individuos.

2. La forma tradicional del modelo de efectos aleatorios o de componentes del error, esdecir,

.'22 TTTv iiI hss +=W

Conviene destacar que la presencia de regresores fijos en el modelo de (1.18) hace que suscorrespondientes parmetros no puedan ser estimados si aplicamos primeras diferencias o latransformacin intragrupos, ya que las variables fijas a lo largo del tiempo desaparecen del modelosi realizamos estas transformaciones. Sin embargo, la afirmacin anterior no implica que no sepuedan estimar en ningn caso. Por ejemplo, pueden ser estimados mediante el uso del estimadorintragrupos de b. En efecto, la aplicacin de MCO a la ecuacin (1.19) que figura a continuacinproporcionara estimadores consistentes de los parmetros de inters, bajo el supuesto deincorrelacin entre las X y el trmino de error compuesto.

[1.19] ).('' bbmgb --++=- iiii XvZXy

Para desarrollar su enfoque general por el mtodo de MGM AB(93) sugieren efectuar unatransformacin del modelo de T ecuaciones que se encuentra en (1.18) mediante una


transformacin no singular. La no singularidad de la transformacin garantiza que ambos modelos,el original y el transformado, tienen la misma informacin. La transformacin tiene la forma

[1.20] ./'

=

Ti

CH

T

Donde C es una matriz cualquiera de dimensin (T-1)xT, de rango T-1, y que cumple que

.0=TCi

El resto de la matriz es un vector fila que tiene como elementos el recproco del tamaomuestral, de dimensin (1xT). A ttulo ilustrativo, la matriz C puede ser considerada la matriz de lasT-1 primeras diferencias o las T-1 filas del estimador intragrupos. El objetivo de esta matriz C eslimpiar los efectos individuales de las T-1 primeras filas del vector de perturbaciones aleatoriascompuesto. En efecto,

[1.21] .

== +

i

iii u

CuuHu

Es decir, las componentes del vector de los trminos de error transformado en (1.21) tienen elsignificado siguiente. Las T-1 primeras filas no contienen los efectos individuales y la ltima fila esla media de los trminos de error. Si lo expresamos con mayor detalle, la transformacin delmodelo en (1.18) a travs de la matriz H en (1.20) proporciona un sistema de T ecuaciones quetiene la forma

[1.22]

iiiii

iTiTiT

iii

iii

vZXy

vXy

vXy

vXy

+++=

+=

+=+=

---

hgb

b

bb

'

*,**

*,**

*,**

111

222

111

LLLLL

Donde las variables con asterisco son las transformadas a travs de la matriz C, primerasdiferencias o con la transformacin intragrupos. En este sistema transformado (1.22), todas lasvariables exgenas presentes en (1.18) son instrumentos vlidos para las primeras T-1 ecuaciones,ya que al desaparecer los efectos individuales desaparece la correlacin. Para la ltima ecuacin de(1.22), si llamamos mi al subconjunto de variables que suponemos incorrelacionadas en niveles conlos efectos individuales, deberemos establecer el supuesto de que para la identificacin de losparmetros de la ltima ecuacin el nmero de variables incorrelacionadas mi es superior al deparmetros a estimar.

Pongamos un ejemplo aclaratorio de lo anterior. En el artculo de Hausman y Taylor(1981),cada matriz de regresores, X, Z, esta subdividida en dos submatrices, la de los regresoresincorrelacionados, X1, Z1, y los correlacionados X2, Z2, con los efectos individuales. En otraspalabras, Hausman y Taylor suponen que hay un subconjunto de regresores que varan a lo largodel tiempo que estn incorrelacionados y un subconjunto de regesores fijos a lo largo del tiempoque tambin estn incorrelacionados. Digamos que hay k1 y g1 exgenos. El nmero total, k1+g1,


debe ser superior al de parmetros a estimar en la ltima ecuacin de (1.22).Si volvemos al planteamiento general, una matriz de instrumentos apropiada para la aplicacin

del mtodo de variables instrumentales al modelo (1.22) ser la matriz diagonal por bloquessiguiente

[1.23] .

'0

'0

00

0'

=

i

i

i

i

m

w

w

MO

Donde,

)''''(;)'''( 1111 iTiiiiii xxZmZxw K==

Las restricciones en los momentos vienen dadas por

[1.24] .0)'( =ii HuME

Esta expresin se cumple para las T ecuaciones referentes al individuo o grupo i. Sigeneralizamos para todos los individuos queda

[1.25]

W=W=

===

+=

NN

N

N

N

IHIH

yyyY

WWWW

MMMM

dondeuHMWHMYHM

;

)''.........''(

)''.........''(

)''.........''(

:,'''

21

21

21

d

Si aplicamos MCG a la expresin anterior nos queda el estimador propuesto por AB(93) porMGM. Su expresin es

[1.26] [ ] YHMMHHMMHWWHMMHHMMHW ')''(''')''('' 111 --- WW=dEn los trabajos aplicados la matriz de varianzas y covarianzas del sistema transformado se

sustituye por un estimador consistente obtenido a partir de los residuos de estimacionespreliminares consistentes cuya expresin es

[1.27] .'1

'1

=

+ =W=WN

iiiuuN

HH

El estimador en (1.26) es el estimador por MGM ptimo que cumple las restricciones de losmomentos en (1.24). Podemos mejorar la eficiencia del estimador si seguimos las sugerenciasrespecto a la matriz de varianzas y covarianzas de Chamberlain(1982) o Hansen(1982).

Los estimadores de Hausman y Taylor(1981), Amemiya y MaCurdy(1986) y Breusch, Mizon y


Schmidt(1989) son casos particulares de la expresin anterior. En concreto,

1. El estimador de Hausman y Taylor(1981) es (1.26) con la matriz de varianzas ycovarianzas calculada en (1.27) y

)('1

;)'''( 2111 iiiTiiii xxxiTxxZm ===

2. Amemiya y MaCurdy(1986) utilizan como instrumentos los valores originales en vez dela media y la misma matriz de varianzas y covarianzas.

3. Breusch, Mizon y Schmidt(1989), BMS(89) utilizan un conjunto adicional derestricciones en los momentos que se deriva de que la correlacin entre los regresoresvariantes a lo largo del tiempo y los efectos individuales es constante a lo largo deltiempo.

Ya que la matriz de instrumentos es diagonal por bloques, la estimacin propuesta no se veafectada por la seleccin de la matriz C.

La extensin a paneles dinmicos no plantea excesivas dificultades tericas. Ahora el modelo esde la forma

[1.28] .''1 itiititit uZXyy +++= - gbq

La presencia como regresor de la variable del lado izquierdo retardada nos lleva a establecer elsupuesto de que la observacin de las variables se extiende al periodo cero. Bajo este supuesto, lareconsideracin de las matrices empleadas anteriormente es directa. Basta aadir a todas lasmatrices la observacin del periodo cero y en las matrices de parmetros del modelo el parmetroadicional. Si el nmero de instrumentos es suficiente para asegurar la identificacin del sistema, elestimador por MGM en (1.26) contina manteniendo la consistencia. La matriz de instrumentos esla misma que antes sin ms que suponer que el primer periodo observado es el cero. Laobservacin menos uno no existe. Para el ltimo bloque de la diagonal de la matriz en (1.23)tenemos las mismas opciones que antes. En el caso del estimador de BMS(89) las filas de la matrizCXi son combinaciones lineales de mi, por lo que estos ltimos se pueden utilizar comoinstrumentos para todas las ecuaciones. En conclusin, en este caso, la transformacin inicial de lasprimeras ecuaciones para eliminar los efectos individuales es innecesaria y el estimador por MGMdel modelo en (1.28) cabe obtenerlo aplicando MC3E al sistema original de ecuaciones mediante lautilizacin de mi como instrumentos. La expresin del estimador queda

[1.29]

W

W=

-

--

i iiiiiii

i iiiiiii

mymmmW

mWmmmW

).()'()'(

)()'()'(

1

1

1d

Este estimador es asintticamente equivalente al de Bhargava y Sargan(1983).Finalmente, si se introduce el supuesto adicional de que los trminos de error no estn

correlacionados serialmente existe un nuevo conjunto de restricciones de ortogonalidad que cabeaadir en el proceso de estimacin. Detalles pueden verse en el artculo original de AB(93).


5.4 El enfoque de Ahn y Schmidt (1993).

El planteamiento de Ahn y Schmidt(1993) es demostrar que bajo los supuestos habituales enlos modelos de panel dinmicos hay un conjunto de restricciones de ortogonalidad adicionalesa las que se han tenido en cuenta en los artculos de Anderson y Hsiao(1981), Holtz-Eakin,Newey y Rosen(1988) y Arellano y Bond(1991). Su utilizacin en el contexto de laestimacin por MGM incrementar la eficiencia de los estimadores obtenidos.

Volvamos a considerar el modelo ms simple, con un regresor retardado y sin regresoresadicionales que se encuentra en (1.9)

.1 iii uyy += -d

Los supuestos habituales en modelos de panel dinmicos son

1. La observacin cero est incorrelacionada con el trmino de error clsico paratodo i, t.

2. Los efectos individuales estn incorrelacionados con los trminos de error clsicos,para todo i, t.

3. Los trminos de error clsicos estn incorrelacionados, para todo i.

Al margen de la discusin de si esos supuestos son ms o menos restrictivos que loshabituales, en especial el relativo al comportamiento de la observacin cero, de ellos se puedenderivar las siguientes T(T-1)/2 restricciones de ortogonalidad en los momentos

[1.30] )2.....(2,1,0;,.....3,2.0)( -=="=D tsTtuyE itis

Restricciones que pueden encontrarse por ejemplo en AB(1991). En el trabajo de Ahn ySchmidt se encuentran T-2 restricciones de ortogonalidad adicionales. Estas son

[1.31] )1,......(3,2.0)( -="=D TtuuE itiT

Si utilizamos todas las restricciones disponemos de T(T-1)/2+(T-2) condiciones en losmomentos que se derivan de los tres supuestos anteriores.

Veamos como funciona en la estimacin del modelo el conjunto de restricciones en losmomentos disponibles. Para ello escribamos el modelo en forma diferenciada y la ltimaecuacin, correspondiente a la ltima observacin en niveles

[1.32]iTTiiT

ittiit

uyy

Ttuyy

+=

="D+D=D

-

-

1,

1, ,,.....3,2,

d

d

El enfoque clsico, por ejemplo AB(91), es utilizar un estimador por variablesinstrumentales para el sistema en diferencias en (1.32) en cuya formulacin se utilizan lasrestricciones en (1.30). Esto es lo mismo que estimar el sistema de las ecuaciones endiferencias en (1.32) por MC3E y bajos el supuesto de que d es el mismo para todas lasecuaciones. Los instrumentos son los ya vistos en el apartado 5.3, es decir, uno para laprimera ecuacin, la observacin cero, dos para la segunda, las observaciones cero y uno, y as


sucesivamente. Aunque no hay en propiedad instrumentos observables que nos permitan laestimacin de la ecuacin en niveles en (1.32), Ahn y Schmidt sugieren que cabe estimarla siutilizamos las restricciones contenidas en (1.31). Los autores tambin demuestran quecualquier otra restriccin adicional en las perturbaciones aleatorias es redundante y quedarecogida por la expresin en (1.31). Estas restricciones en los momentos tambin se cumplensi relajamos los supuestos de partida en los siguientes trminos:

- No exigimos que la covarianza entre la observacin cero y los trminos de errorsea nula sino constante.

- Lo mismo para la covarianza entre trminos de error y efectos individuales. Seexige la constancia pero no la nulidad.

- Lo mismo para la covarianza temporal entre trminos de error. Se exige laconstancia y no la nulidad.

El estimador por MGM que utiliza las condiciones de ortogonalidad en (1.30) y (1.31) esasintticamente equivalente al estimador de mnima distancia ptimo deChamberlain(1982,1984).

Finalmente, Ahn y Schmidt(1993) estudian el modelo dinmico de Hausman yTaylor(1981) que se encuentra en (1.28) y muestran como utilizar las variables exgenascomo instrumentos adicionales.

5.5 El enfoque de Keane y Runkle (1992).

El enfoque de Keane y Runkle(1992), a partir de ahora KR(92) parte de una reconsideracin de losmodelos para datos de panel en el caso de que los instrumentos no sean estrictamente exgenos. Enel supuesto de que los instrumentos sean predeterminados los autores presentan un mtodo paraobtener estimadores consistentes y eficientes. Ya que esta cuestin se revela importante en laestimacin de modelos para datos de panel, KR(92) presentan tambin un contraste que permitatomar una decisin sobre el carcter dbilmente o estrictamente exgeno de los instrumentos de unmodelo para datos de panel.

En un modelo general para datos de panel tal como

.uXY += b

En el que, por ejemplo, podemos situar el modelo de Hausman y Taylor(1981), los instrumentosson estrictamente exgenos con relacin al componente del error que es variante en el tiempo.KR(92) presentan ejemplos en que esto no se produce: modelos de expectativas racionales,modelos con regresores predeterminados como la inclusin del nmero de hijos en una ecuacin deoferta de trabajo. En este caso, el enfoque de KR(92) es alternativo al de estudios previos comoAnderson y Hsiao(1981), Barghava y Sargan(1983), Holtz-Eakin,Newey y Rosen(1988),Arellanoy Bover(1993) y Ahn y Schmidt(1993), entre otros. Su fundamento es utilizar un filtrodesarrollado en el anlisis de series temporales que elimina cualquier forma de correlacin serial sincausar inconsistencia en los estimadores.Los contrastes ofrecidos por KR(1992) son del tipo Hausman.


El primero permite dilucidar si los instrumentos son estrctamente exgenos (H0) frente apredeterminados (H1).

El estimador MC2E del modelo en primeras diferencias es consistente en ambos supuestos. Elestimador MC2E del modelo de efectos fijos es consistente (y ms eficiente) bajo H0 e inconsistentebajo H1.

El segundo permite contrastar si los instrumentos no estn correlacionados con los efectosindividuales (H0) frente a la existencia de correlacin entre efectos individuales e instrumentos(H1)(efectos fijos: prediccin o inferencia condicionada).

El estimador MC2E del modelo en primeras diferencias es consistente en ambos supuestos. Elestimador MC2E del modelo global de panel (panel completo) es consistente (y ms eficiente) bajoH0 e inconsistente bajo H1.


Bibliografa.

Ahn, S.C. y P. Schmidt (1993), Efficient Estimation of Models for Dynamic Panel Data. Journalof Econometrics, 68, pgs.5-28.

Amemiya, T. y T.E. MaCurdy (1986), "Instrumental Variable Estimation of an Error-ComponentsModel". Econometrica, 54, pgs. 869-881.

Anderson, T.W. y C. Hsiao (1981), Estimation of Dynamic Models with Error Components.Journal of the American Statistical Association, 76, pgs. 598-606.

Anderson, T.W. y C. Hsiao (1982), Formulation and Estimation of Dynamic Models using PanelData. Journal of Econometrics, 18, pgs. 47-82.

Arellano, M. (1989), A Note on the Anderson-Hsiao Estimator for Panel Data. EconomicsLetters, 31, pgs. 337-341.

Arellano, M. y S. Bond (1991), Some Tests of Specification for Panel Data: Monte CarloEvidence and an Application to Employment Equations. Review of Economic Studies, 58, pgs.277-297.

Arellano, M. y O. Bover (1990), La Econometra de Datos de Panel. InvestigacionesEconmicas, 14, pgs. 3-45.

Arellano, M. y O. Bover (1993), Another Look at the Instrumental Variables Estimation of ErrorComponents Models. Journal of Econometrics, 68, pgs. 29-52.

Balestra, P. y M. Nerlove (1966), Pooling Cross-section and Time-series Data in the Estimation ofa Dynamic Model: The Demand for Natural Gas, Econometrica, 34, pgs. 585-612.

Baltagi, B. (1986), Pooling under Misspecification: Some Montecarlo Evidence on the Kmentaand the Error Components Techniques. Econometric Theory, 2, pgs. 429-440.

Baltagi, B. (1995). The Econometric Analysis of Panel Data. Johm Wiley and Sons. Nueva York.

Beggs, J.J. y M. Nerlove (1988), Biases in Dynamic Models with Fixed Effects". EconomicsLetters, 26, pgs. 29-31.

Bhargava, A. y J.D. Sargan (1983), "Estimating Dynamic Random Effects Models from Panel DataCovering Short Time Periods". Econometrica, 51, pgs. 1635-1659.

Breusch, T.S.; G.E. Mizon y P. Schmidt (1989) "Efficient Estimation Using Panel Data".Econometrica, 57, pgs. 695-700.

Chamberlain, G. (1978), Omitted Variable Bias in Panel Data: Estimating the Returns toSchooling. Annales de LInsee, 30/31, pgs. 49-82.

Greene, W.H. (1993), Econometric Analysis, MacMillan, Nueva York.


Hansen, L.P. (1982), Large Sample Properties of Generalized Methods of Moments Estimators.Econometrica, 50, pgs. 1029-1054.

Hausman, J.A. (1978), Specification Tests in Econometrics. Econometrica, 46, pgs. 1251-1271.

Hausman, J.A. y W.E. Taylor (1981), Panel Data and Unobservable Individual Effects.Econometrica, 49, pgs. 1377-1398.

Holtz-Eakin, D. (1988), Testing for Individual Effects in Autorregresive Models. Journal ofEconometrics, 39, pgs. 297-307.

Holtz-Eakin, D.; W. Newey y H.S. Rosen (1988), Estimating Vector Autorregresions with PanelData. Econometrica, 56, pgs. 1371-1395.

Keane, M.P. y D.E. Runkle (1992), On the Estimation of Panel-Data Models with SerialCorrelation when Instruments are not Strictly Exogenous. Journal of Business and EconomicStatistics, 10, pgs. 1-9, con discusin.

Mundlak, Y. (1961), Empirical Production Function Free of Management Bias. Journal of FarmEconomics, 43, pgs. 44-56.

Mundlak, Y. (1978), On the Pooling of Time Series and Cross-section Data. Econometrica, 46,pgs. 69-85.

Nickell, S. (1981), Biases in Dynamic Models with Fixed Effects. Econometrica, 49, pgs. 1417-1426.

Ridder, G. y T.J. Wansbeek (1990), Dynamic Models for Panel Data. En R. Van der Ploeg(Ed.) , Advanced Lectures in Quantitative Economics. Academic Press, pgs. 557-582.

Sevestre, P. y A. Trognon (1983), Proprietes de Grand Echantillons dune Classe destimateursdes models autorregressifs a erreurs composees. Annales de Linsee, 50, pgs. 25-48.

Sevestre, P. y A. Trognon (1985), A Note on Autorregresive Error Component Models. Journalof Econometrics, 28, pgs. 231-245.

Tauchen, G. (1985), "Diagnostic Testing and Evaluation of Maximum Likelihood Models".Journal of Econometrics, 30, pgs. 415-443.

Trognon, A. (1978), Miscellaneous Asymptotic Properties of Ordinary Least Squares andMaximum Likelihood Estimators in Dynamic Error Components Models. Annales de LInsee, 30-31, pgs. 632-657.

White, H. (1986), Instrumental Variables Analogs of Generalized Least Squares Estimators. EnR.S. Mariano (Ed.) Advances in Statistical Analysis and Statistical Computing. Vol. 1. JAI Press,Nueva York, pgs. 173-277.

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