modelos de lineas de espera

Curso: IO2 Prof. Rosa Delgadillo

Modelos de Líneas de Espera Elementos Básicos Cliente Llegan al sistema (instalación) Servidor Prestación de servicio al cliente Sistema Llegada de Cliente sale Clientes después de ser servido Motivación Quien no ha tenido experiencia respecto:

1. Clientes que esperan ser atendidos en las cajas de un banco, supermercado, restaurante. 2. Automóviles que esperan avanzar en una luz de semáforo. 3. Pacientes que esperan ser atendidos en un consultorio, clínica, hospital. 4. Aviones que esperan para despegar en un aeropuerto. 5. Máquinas descompuestas que esperan ser reparadas por el técnico. 6. Programas que esperan ser procesados por un computador, etc.

Factores importantes

1. Distribución de la llegadas de los clientes (individualidad o masiva).- Llegan individualmente y se atienden individualmente, Llegan en grupos y/o se atienden en grupos, Frecuencia de llegadas (distribución de Poisson) 2. Distribución del tiempo del servicio (individual o masivo).- Duración del servicio

(distribución exponencial).

Otros factores

1. Disciplina del servicio.- Como se elige a los clientes de la línea de espera (FIFO, LIFO, SIRO (orden aleatorio), por prioridad). En las líneas de espera con prioridad, los clientes tienen prioridad en la atención.

servidor

Línea de espera o cola


2. Diseño de la instalación del servicio (estaciones en serie, paralelo o en red).

- Cuando el diseño incluye más de un servidor, ejemplo las cajas de un banco � Línea de espera con servidores en paralelo. - El diseño de la instalación comprende un número de estaciones en serie por la que pasa el cliente antes de completar su servicio. (ejm. Procesamiento de un producto). � Líneas de espera en serie. - Un diseño general que incluye estaciones de procesamiento en serie y en paralelo. � Líneas de espera en red.

Finita

3. Tamaño de la línea de espera admisible Infinita

4. La naturaleza de la fuente que genera las llegada de clientes solicitando servicio (fuente de llamada) Finito de clientes Genera un número Infinito de clientes (muchos clientes) Existe una fuente finita cuando una llegada afecta la tasa de llegada de nuevos clientes.

5. Conducta del cliente (humanos)

- Cambiarse (de fila) - Eludir - Renunciar

Clasificación de Kendall (a/b/c) : (d/e/f) a = Distribución de llegadas b = Distribución de tiempo de servicio (o salidas) c = Número de servidores en paralelo (c = 1,2,……∞) d = Disciplina de servicios (LIFO, FIFO, SIRO, c/prioridad) e = Número máximo admitido en el sistema (L.E + en servicio) L.E = línea de espera f = Tamaño de la fuente Notación estándar que reemplaza a los símbolos: a y b M = distribución de llegadas o salidas de Poisson, y distribución de tiempo entre llegada o de tiempo de servicios la exponencial D = Número de llegadas o tiempo de servicio es constante o determinístico. G= Número de llegadas o tiempo de servicio tiene distribución general con media y varianza conocida.


Distribución del proceso de llegadas o arribos ( Distribución Poisson) El proceso de llegadas en un modelo de líneas de espera influencia en la determinación de la distribución de probabilidad del número de arribos en un determinado lapso de tiempo. Las llegadas normalmente ocurren de manera aleatoria, en muchos casos de líneas de espera. Cada llegada es independiente de otra llegada, y no es posible pronosticar el momento en el que va a ocurrir; en estos casos la distribución de Poisson ofrece una buena descripción (aproximación) para la distribución de las llegadas o arribos. Entonces utilizando la función de probabilidad de Poisson, se define la probabilidad de x llegadas en un tiempo específico (t) sea dado por

.....2,1,0 para !

)( ==−

xx

exP

x λλ

en donde x = Número de llegadas en el periodo (o intervalo de tiempo) λ = Número promedio de llegadas por periodo e = 2.71828 Ejemplo 1: Suponga que la tasa promedio de arribos de clientes a una pizzería es de 45 clientes por hora, entonces en un minuto el número promedio de llegadas de clientes será de λ = 45/60 = 0.75 llegadas por minuto. Se utiliza Poisson para calcular la probabilidad de x llegadas durante un lapso de un minuto.

. !

75.0

!)(

75.0

x

e

x

exP

xx −−==

λλ

de la tabla 75.0−e = 0.4724, Así, las probabilidades de 0,1, y 2 llegadas por minuto son:

0.4724 !0

75.0 )0( 75.0

75.00

==== −−

ee

xP


0.3543 75.0 !1

75.0 )1( 75.0

75.01

==== −−

ee

xP

0.1329 0.28125 !2

75.0 )2( 75.0

75.02

==== −−

ee

xP

de donde la probabilidad de que no haya llegadas en un lapso de 1 minuto es 0.4724, la probabilidad de que haya exactamente una llegada es de 0.3543, y de haya exactamente 2 llegadas es de 0.1329. En la práctica se debe de verificar para un periodo (horas, días, semanas), si los arribos siguen una distribución de Poisson. Distribución del Tiempo de Servicio (Distribución Exponencial) Es el tiempo que el cliente deja transcurrir en la instalación una vez que se inicia el servicio. Los tiempos de servicio no son constantes La distribución de probabilidad exponencial es la que proporciona (más se ajusta) una buena aproximación de los tiempos de servicio Entonces, la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual a un tiempo o duración está dada por: tetserviciodetiempoP µ−−=≤ 1) ( donde: µ = número promedio de unidades que pueden ser atendidas por periodo Ejemplo 2: Suponga que de los estudios hechos en la pizzería, el proceso de recepción y atención de las órdenes, efectuado por el único empleado que atiende y también prepara las pizzas; procesa en promedio 60 órdenes de clientes por hora. Entonces en un minuto, la tasa promedio de servicio es: µ =60/60 =1, esto es atiende un cliente por minuto.


Por tanto es posible calcular la probabilidad de procesar una orden en ½ minuto o menos, en un minuto o menos, en 2 minutos o menos. Así 3935.06065.011)5.0 ( )5.0(1 =−=−=≤ −eserviciodetiempoP 6321.03679.011)0.1 ( )0.1(1 =−=−=≤ −eserviciodetiempoP 8647.01353.011)0.2 ( )0.02(1 =−=−=≤ −eserviciodetiempoP De donde se puede concluir que existe una probabilidad de 0.3935 de que se pueda procesar una orden en 1/2min o menos; existe una probabilidad de 0.6321 de procesar una orden en un minuto o menos y existe una probabilidad de 0.8647 de que se pueda procesar una orden en 2 minutos o menos. 1. Modelos de Líneas de espera de 1 solo canal con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponencial (M/M/1) Suposiciones: La línea de espera tiene 1 solo canal Patrón de llegadas con distribución Poisson Tiempo de servicio con distribución exponencial Disciplina del servicio FIFO Características de Operación Las fórmulas que se emplean para determinar las características de operación del estado estable son: λ = Número promedio de llegadas por periodo (tasa promedio de llegadas) µ = Número promedio de servicios por periodo (tasa promedio de servicio) 1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

µλ−= 10P

2) Número promedio de unidades en la fila de espera (tamaño de la fila)

)(

2

λµµλ

−=qL

3) Número promedio de unidades en el sistema (tamaño total)


µλ+= qLL

4) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la línea de espera

λ

qq

LW =

5) Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema

µ1+= qWW

6) Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener servicio

µλ=wP

7) Probabilidad de que haya n unidades en el sistema.

0pPn

n

=

µλ

donde µλ = factor de utilización de la instalación (servicio). Este proporciona la probabilidad

de que la instalación de servicio este ocupada. Estas formulas del 1 al 7 solo se aplican cuando λµ > ; esto es, la tasa promedio de servicio > tasa promedio de llegadas;

o sea, cuando µλ < 1 ; en caso contrario la cola crece sin limite, pues el servicio no tiene

capacidad para manejar las unidades que llegan. Ejemplo 3: En el problema de la Pizzería, la tasa promedio de llegadas es de λ = 0.75 clientes por minuto y la tasa de servicio es 1=µ , clientes por minuto, � λµ > Aplicando las fórmulas se obtiene:


25.01

75.0110 =−=−=

µλ

P

25.2)75.01(1

75.0

)(

22

=−

=−

=λµµ

λqL clientes

31

75.025.2 =+=+=

µλ

qLL clientes

375.0

25.2 ===λ

qq

LW minutos

41

13

1 =+=+=µqWW minutos

75.01

75.0 ===µλ

wP

En el ejemplo visto se observa que: - Los clientes esperan en promedio 3 min. antes de ser atendidos (esto es, antes de solicitar su pedido) - Además el número promedio de clientes que esperan en la cola es de 2.25 - y el 75% de los clientes esperan esto son indicadores que muestran que debe hacerse algo para mejorar la eficiencia de operación de la línea de espera. Mejorar el desempeño de la línea de espera, generalmente se concentra en mejorar la tasa de servicio, de dos maneras: 1) Aumentar la tasa promedio de servicio ()µ 2) Añadir canales paralelos de servicio de manera que sea posible atender a más unidades a la vez. En el primer caso: Aumentar la tasa promedio de servicio Ejemplo 4: Suponga que para el problema de la pizzería, el servicio se descompone en 2 personas: Una persona que recepciona y entrega el pedido y una persona que prepare o atienda el pedido Suponga ahora que la tasa de servicio se incrementa de 60 a 75 clientes por hora. Ahora en base a minutos la tasa promedio es 25.160/75 ==µ , como 75.0=λ , se puede obtener:


Probabilidad de que el sistema este desocupado

4.025.1

75.0110 =−=−=

µλ

P

Promedio de clientes que esperan en la cola y promedio de clientes que están en el sistema

9.0625.0

5625.0

)75.025.1(25.1

75.0

)(

22

==−

=−

=λµµ

λqL clientes

5.16.09.0 =+=+=µλ

qLL clientes

Tiempo promedio en la cola y en el sistema

2.1==λ

qq

LW minutos

28.02.11 =+=+=µqWW minutos

Probabilidad de que un cliente que llegue tenga que esperar

6.025.1

75.0 ===µλ

wP

Probabilidad de que haya 1 persona en el sistema

24.0)4.0()6.0(0

1

1 ==

= xPPµλ

Se observa que hay una mejora pues un cliente pasa solo 2 minutos en el sistema y que 60% de clientes esperan En el segundo caso: Añadir otro canal 2. Modelo de líneas de espera de canales múltiples con llegadas Poisson y tiempo de servicios exponenciales (M/M/2) Suposiciones - la línea de espera tiene 2 ó más canales (instalaciones de servicio) - el patrón de llegada es de distribución de Poisson


- el tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución exponencial - la tasa promedio de servicio µ , es la misma para todos los canales - Las unidades que llegan aguardan en una sola línea de espera y después pasan al primer canal libre para obtener servicio. - la disciplina del servicio es FIFO. Características de operación λ = tasa promedio de llegadas al sistema µ = tasa promedio de servicio para cada canal k = número de canales k µ = tasa promedio de servicio para el sistema de canales múltiples la condición de aplicabilidad de las formulas que siguen es: k µ > λ 1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

−+

=

∑−

= λµµµλµλ

k

k

kn

Pkk

n

n

!

)/(

!

)/(

11

0

0


02)()!1(

)/(P

kkL

k

q λµλµµλ−−

=


µλ+= qLL


λ

qq

LW =

5) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en el sistema

µ1+= qWW



0!

1P

k

k

kP

k

w

−

=

λµµ

µλ


knpn

Pn

n ≤= para !

)/(0

µλ

knpkk

Pkn

n

n >=−

para !

)/(0)(

µλ

Ejemplo 5: Para el problema de la pizzería, suponga que se abre otro servicio de atención al cliente de forma que se puede atender en forma simultánea a 2 clientes; y que se tiene una sola línea de espera, en donde el cliente que sigue utiliza el primer servicio que esta disponible. Veamos k = 2 canales λ = 0.75 µ = 1 Aplicando las formulas se tiene:

−+

=

∑−

= λµµµλµλ

k

k

kn

Pkk

n

n

!

)/(

!

)/(

11

0

0 = 0.4545

1227.04545.0)75.0)1(2()!12(

)1(75.0)1/75.0(2

2

=−−

=qL clientes

8727.01/75.01227.0 =+=+=µλ

qLL clientes

16.075.0

1227.0 ===λ

qq

LW minutos


16.1116.01 =+=+=µqWW minutos

2045.0)4545.0(75.02

)1(2

1

75.0

!2

1 =

−

=k

wP

En comparación con la línea de espera de un solo canal, las ventajas son obvias, por ejemplo de tiempo que pasa un cliente en el sistema de 4 minutos pasa a 1.16 minutos, la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar para ser atendido pasa de 0.75 a 0.2045. Relación general para los modelos de línea de espera Las principales características de operación que interesan en las líneas de espera son: El número promedio de unidades en la línea de espera, el número de unidades en el sistema, el tiempo promedio que cada unidad pasa en la línea de espera y el tiempo promedio que cada unidad pasa en el sistema, esto es: WWLL qq ,,,

Ecuaciones de Flujo de Little John D.C. Little muestra que estas cuatro características están relacionadas en forma general y se aplican a diversos modelos de líneas de espera, independientemente. Una ecuación general es: El número promedio de unidades en el sistema = tasa promedio de llegadas x tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema. WL λ= igualmente, El número promedio de unidades en la cola = tasa promedio de llegadas x tiempo promedio que una unidad pasa en la cola (línea de espera) qq WL λ=

de donde :

λ

qq

LW =


Otra, ecuación general es: El tiempo promedio que una unidad esta en el sistema = al tiempo promedio en espera (en cola) + el tiempo promedio de servicio

µ1+= qWW

de donde : µλ+= qLL

La importancia de las ecuaciones de Little es que se aplican a cualquier modelo de espera independientemente de si las llegadas siguen una distribución poisson o no y si los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial o no. Ejemplo 6: Suponga que en una tienda de abarrotes, los clientes llegan siguiendo una distribución de Poisson con una tasa promedio de 24 clientes por hora, y los tiempos de servicio siguen una distribución normal con tasa promedio de servicio de 30 clientes por hora. Un estudio de los tiempos efectivos mostró que los clientes en promedio pasan 4.5 minutos en la tienda. Determine

qq WLL y ,,

Como 30=µ clientes por hora, y 20=λ clientes por hora entonces 5.060/30 ==µ clientes por minuto y 4.060/20 ==λ clientes por minuto. Aplicando las ecuaciones de Little se tiene:

5.25.0

15.4

1 =−=−=µ

WWq minutos

8.1)5.4(4.0 === WL λ clientes

1)5.2(4.0 === qq WL λ cliente

Análisis económico de líneas de espera Con frecuencia las decisiones sobre el diseño de líneas de espera, como la determinación del número de canales, se basan en una evaluación subjetiva de las características de la línea, por ejemplo decidir un tiempo promedio de espera (1 minuto o más), un promedio de clientes (2 ó más) en el sistema.


En algunos casos es deseable intentar definir el costo de operación de las líneas de espera y después tomar decisiones respecto al diseño del sistema. Un modelo de costo total, incluye el costo de espera y el costo de ofrecer el servicio kCLCCT sw += donde: wC = Costo de la espera por periodo para cada unidad sC = Costo del servicio por periodo para cada canal L = Número promedio de unidades en el sistema k = Número de canales CT = costo total por periodo El costo de la espera es difícil estimar, no obstante si se ignora y se permite grandes colas, es probable que en determinado tiempo los clientes se marchen a otro lugar, lo que ocasiona pérdidas de ventas, que se puede considerar un costo de oportunidad perdido. En organizaciones estatales no se contempla este costo, en consecuencia se tiene grandes colas en los procesos, en los clientes, en el servicio en general. El costo del servicio es más fácil de determinar, los salarios, los costos directos, prestaciones, etc.

Costo total costo total Costo de servicio por hora Costo de espera k número de canales

Ejemplo 7: En el caso de la pizzería, si el Cs = s/ 7 x hora y Cw= s/ 10 x hora En el modelos de 1 canal: sabemos que L = 3


� CT = 10x3 + 7 x1 = s/ 37 x hora En el modelo de 2 canales : L = 0.8727 � CT = 10x (0.8727) + 7 x 2 = 22.73 x hora. Por tanto, para la pizzería es más económico un sistema con dos canales. 3. Modelos de líneas de espera con un solo canal con llegadas Poisson y tiempos de servicio arbitrarios (M/G/1) Suposiciones: La línea de espera tiene 1 solo canal Patrón de llegadas con distribución Poisson Tiempo de servicio con distribución cualquiera Disciplina del servicio FIFO Características de Operación Las fórmulas que se emplean para determinar las características de operación del estado estable son: λ = Tasa promedio de llegadas µ = Tasa promedio de servicio

µ/1 = Tiempo promedio de servicio σ = Desviación estándar del tiempo de servicio 1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

µλ−= 10P


)/1(2

)/( 222

µλµλσλ

−+

=qL


µλ+= qLL



λ

qq

LW =


µ1+= qWW


µλ=wP

Ejemplo 8: Una tienda de especialidades de un centro comercial conocido, durante la tarde es atendida por un empleado. La llegada de los clientes a la tienda son aleatorios y la tasa promedio de llegada es de 21 clientes x hora. Un estudio del proceso muestra que el tiempo promedio del servicio es de 2 min por cliente, con una desviación estándar de 1.2 min. Determine los valores de las características principales de operación del sistema. Como el tiempo promedio de servicio es de 2 minutos por cliente, entonces la tasa promedio de servicio es 5.02/1 ==µ clientes por minuto. Y como 21 =λ clientes por hora , entonces 0.35 21/60 ==λ clientes por minuto, Con lo que:

30.05.0

35.0110 =−=−=

µλ

P

11.1)5.0/35.01(2

)5.0/35.0()2.1()35.0( 222

=−

+=qL clientes

81.15.0

35.011.1 =+=+=

µλ

qLL clientes

17.335.0

1107.1 ===λ

qq

LW minutos

17.55.0

117.3

1 =+=+=µqWW minutos

7.05.0

35.0 ===µλ

wP


Observe que las ecuaciones de WWL q ,, , son las mismas de las ecuaciones de Little.

4. Modelos de líneas de espera con un solo canal con llegadas Poisson y tiempos de servicio constante (M/D/1) Este tipo de modelo se presenta en la producción y manufactura, pues los tiempos de servicio en algunos casos son controlados por máquinas. Solamente cambia la ecuación referente a Lq, pues la desviación es cero.

)/1(2

)/( 2

µλµλ

−=qL

las otras ecuaciones 0,,, PWWL q se mantienen.

5. Modelos de canales múltiples con llegadas poisson, tiempos de servicios arbitrarios y sin linea de espera (M/G/k) Suposiciones: Sistema con k canales Patrón de llegada Poisson Tiempos de servicio cualquier distribución de probabilidad Tasa promedio de servicio es la misma para todos los canales Una unidad ingresa al sistema, solo si se dispone de cuando menos 1 canal de los k canales; esto es las llegadas no ingresan son bloqueadas si no hay disponibilidad. Características de Operación El problema a resolver es ¿Cuantos canales o empleados se deben utilizar? Este tipo de modelo de líneas de espera se presenta en sistemas de líneas telefónicas u otros sistemas de comunicaciones. Las llegadas son las llamadas y los canales son el Número de líneas telefónicas o comunicación disponibles. Se aborda el problema de elegir el mejor número de canales calculando las probabilidades de estado estable de que exactamente j de los k canales estén ocupados. Esto es,

∑=

=k

i

i

j

j

i

jP

0

!/)/(

!/)/(

µλ

µλ

donde:


λ = Tasa promedio de llegadas µ = Tasa promedio de servicio para cada canal k = Número de canales en el sistema

jP = Probabilidad de que exactamente j de los k canales estén ocupados para j = 0,1,…k

kP es la probabilidad de que los k canales estén ocupados, esto es, es el porcentaje de llegadas que quedan bloqueadas y que no se permite el acceso al sistema. Otra característica de operación que interesa es el número promedio de unidades que se encuentran en el sistema, observe que esto es el número de canales ocupados.

)1( kPL −=µλ

Ejemplo 9: Una compañía utiliza un sistema telefónico de pedidos para sus productos (software para computadoras). Los clientes hacen pedidos utilizando un número telefónico gratuito de la compañía. Suponga que la tasa de llegadas es de 12 por hora. El tiempo de proceso de un pedido telefónico varia de uno a otro, sin embargo se espera que el representante de ventas, maneje un promedio de 6 por hora, en el momento el número telefónico tiene 3 canales internos (líneas) cada uno de ellos operado por un representante de ventas, las llamadas gratuitas se transfiere automáticamente a alguna de las líneas (canales abiertas) si las hay, en otro caso, las personas obtienen una señal de ocupado. No siempre las personas (clientes) vuelven a llamar, lo que significa que puede ser una venta pérdida. La compañía desea saber el porcentaje de personas (clientes) que reciben la señal de ocupado, pues su meta es atender un 90% de las llamadas ¿Cuántas líneas telefónicas y cuantos representantes de venta debe emplear? Según el problema se tiene un número telefónico con 3 líneas, entonces 3P es la probabilidad que

las tres líneas estén ocupadas, y por tanto al cliente que hace una llamada se le excluye (rechaza o bloquea) Por tanto esta probabilidad, dado 12=λ por hora y 6=µ por hora, es:

2105.03333.6

3333.1

6/)6/12(2/)6/12(1/)6/12(1/)6/12(

6/)6/12(

!/)6/12(

!3/)6/12(3210

3

3

0

3

==+++

==∑

=i

ij

iP

Esto es el 21% de las llamadas que llegan se bloquean (excluyen), solo el 79% se atienden. Si se amplia a 4 líneas (canales) se tendrá:


0952.07

6667.0

24/)6/12(6/)6/12(2/)6/12(1/)6/12(1/)6/12(

24/)6/12(43210

4

4 ==++++

=P

Por lo que solamente se bloquean (pierden) 9.52%, esto es el 90.48% de las llamadas son atendidas. Ahora, el número promedio de llamadas en el sistema (4 canales o líneas telefónicas), y por tanto el número de líneas o representantes de venta que estarán ocupados es:

81.1)0952.01(6

12)1( 4 =−=−= PL

µλ

Por lo que aunque en promedio menos de 2 líneas estarán ocupadas, se requiere un sistema de 4 líneas para ofrecer una capacidad de manejar cuando menos 90% de las llamadas. 6. Modelos de líneas de espera con población demandante finitas (M/M/1) En los modelos anteriores que se han mostrado los clientes que llegan al sistema para ser atendidos puede ser ilimitado; en este modelo se tiene que el número de clientes que podrían arribar al sistema es limitado. En esta situación la tasa promedio de llegadas al sistema cambia dependiendo del número de unidades que se encuentra en el sistema. Entonces se utiliza λ para indicar las llegadas promedio con base en las unidades individuales. Se supone que todas las unidades tienen la misma tasa de llegada. Se aplica a problemas tales como reparación de equipos o máquinas en una instalación. Suposiciones: Sistema de un solo canal La población de las unidades es finita Todas las unidades tienen la misma tasa de llegada Características de Operación λ = Tasa promedio de llegadas para cada unidad µ = Tasa promedio de servicio N = Tamaño de la población 1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

∑=

−

=N

n

n

nN

NP

0

0

)!(

!

1

µλ



( )01 PNLq −+−=λ

µλ

3) Número promedio de unidades en el sistema (tamaño total) )1( 0PLL q −+=


λ)( LN

LW q

q −=


µ1+= qWW


NnpnN

NP

n

n ,....,1,0 para )!(

!0 =

−=

µλ

Ejemplo 10: Una empresa tiene un grupo de 6 máquinas idénticas que operan un promedio de 20 horas entre paradas por descompostura; así la tasa de llegada promedio de llegada o solicitud de reparación para cada máquina es 05.020/1 ==λ máquinas por hora. Como las descomposturas ocurren al azar la distribución que se le aproxima es de Poisson para el proceso de llegadas de las máquinas averiadas. Un operario es el que proporciona el servicio de reparación para las 6 máquinas. El tiempo de servicio sigue una distribución exponencial con tiempo promedio de 2 horas por máquina, esto es 5.02/1 ==µ máquina por hora. Se pide hallar las caracteristicas de operación del sistema. Dado que 05.0=λ y 5.0=µ y N=6, se tiene:


4845.0

5.0

05.0

)!6(

!6

16

0

0 =

−

=

∑=n

n

n

P

( ) 3295.04845.0105.0

5.005.06 =−+−=qL máquinas

845.0)4845.01(3295.0 =−+=L máquinas

28.105.0)845.06(

3295.0 =−

=qW horas

28.35.0

128.1 =+=W horas

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