Modelo ECOModelo ECO22

Proceso de Certificación de EspecialistasProceso de Certificación de Especialistas

Introducción a una Introducción a una Teoría de CategoríasTeoría de Categorías

Santiago, ChileSantiago, Chile22-25 de Enero de 200722-25 de Enero de 2007

Juan MachínJuan Machín

ProgramaPrograma

Presentación del objetivoPresentación del objetivo ConjuntoConjunto Aplicación Aplicación Analogía Analogía

Presentar una introducción a la Presentar una introducción a la Teoría de Categorías para hacer Teoría de Categorías para hacer explícitos algunos elementos explícitos algunos elementos epistemológicos de nuestro trabajo epistemológicos de nuestro trabajo (prevención, cura, formación, etc.) (prevención, cura, formación, etc.) y comenzar a formalizar nuestra y comenzar a formalizar nuestra experiencia.experiencia.

Objetivo de esta lección frontalObjetivo de esta lección frontal

Teoría de ConjuntosTeoría de Conjuntos

““Conjunto” es tan fundamental que es Conjunto” es tan fundamental que es imposible dar una definición en imposible dar una definición en función de conceptos más básicos. función de conceptos más básicos.

La etimología (coniungere = unir, La etimología (coniungere = unir, juntar)juntar)

nos da una idea de lo que significa.nos da una idea de lo que significa.

Tod@s poseemos una noción intuitiva Tod@s poseemos una noción intuitiva y podemos dar un sinfín de ejemplos.y podemos dar un sinfín de ejemplos.

DefiniciónDefinición

ConjuntosConjuntos

Un conjunto se define de dos formas:Un conjunto se define de dos formas:a)a) Enlistando todos sus elementosEnlistando todos sus elementosb)b) Definiendo una propiedad que los Definiendo una propiedad que los

caracterizacaracterizaEjemplo. Sea V el conjunto de las vocales:Ejemplo. Sea V el conjunto de las vocales:V=V={{a,e,i,o,ua,e,i,o,u}}V=V={x| x es una vocal} (se lee: “V es el {x| x es una vocal} (se lee: “V es el

conjunto que contiene a todas las x conjunto que contiene a todas las x tales que x es una vocal”).tales que x es una vocal”).

EjemplosEjemplosLos siguientes son ejemplos de conjuntos:Los siguientes son ejemplos de conjuntos:- Un sistema- Un sistema- Una red socialUna red social- Una Comunidad Real Local (CRL)Una Comunidad Real Local (CRL)- Una Comunidad Terapéutica Específica Una Comunidad Terapéutica Específica (CTE)(CTE)- Nuestro equipo de trabajoNuestro equipo de trabajo- Este grupoEste grupo

ConvencionesConvenciones

Vamos a representar a:Vamos a representar a:

los Conjuntos con letras mayúsculas: los Conjuntos con letras mayúsculas:

A, B, C, …A, B, C, … los Elementos con letras minúsculas:los Elementos con letras minúsculas:

a, b, c, …a, b, c, …

“ “Pertenece a” o “es elemento de” Pertenece a” o “es elemento de” con con

“ “No pertenece a” con No pertenece a” con

“ “Para todo” con Para todo” con

“ “Existe” con Existe” con Conjunto universo con la letra UConjunto universo con la letra U

Conjunto vacío con Conjunto vacío con ØØ

ConvencionesConvenciones

Diagramas de VennDiagramas de Venn

A

a

ØØ

b

a A A b b A A

AplicaciónAplicación

Dados los conjuntos A y B, una Dados los conjuntos A y B, una aplicación aplicación

:: A A B B es una ley, regla o criterio es una ley, regla o criterio que hace corresponder a todos y cada que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de A uno y sólo un uno de los elementos de A uno y sólo un elemento de Belemento de B

También se representa como:También se representa como:

((AA)) = B= B

Sinónimos de aplicación son función, Sinónimos de aplicación son función, mapeo, transformación, operador.mapeo, transformación, operador.

Ejemplo 1Ejemplo 1A B

a1

a2

a3

b1

b2

b3

...

bm

Ejemplo 2Ejemplo 2A B

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

Ejemplo 3Ejemplo 3A B

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

Ejemplo 4Ejemplo 4A B

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

Ejemplos de aplicacionesEjemplos de aplicaciones

- Contar- Contar- Medir- Medir- Medidas estadísticasMedidas estadísticas- InstrumentosInstrumentos- DiagnósticosDiagnósticos

Aplicación Aplicación inyectiva o inyectiva o InyecciónInyección

Dados los conjuntos A y B, una Dados los conjuntos A y B, una aplicación aplicación inyectiva de A en B inyectiva de A en B es una aplicación es una aplicación que hace corresponder a cada elemento que hace corresponder a cada elemento de A un elemento diferente de B.de A un elemento diferente de B.

A Ba1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

b4

b5

Aplicación sobreAplicación sobreyectiva o yectiva o SobreyecciónSobreyección

Dados los conjuntos A y B, una Dados los conjuntos A y B, una aplicación aplicación sobreyectiva de A en B sobreyectiva de A en B es una es una aplicación que pone en correspondencia aplicación que pone en correspondencia todos los elementos de B.todos los elementos de B.

A Ba1

a2

a3

a4

b1

b2

b3

A Ba1

a2

a3

...

an

b1

b2

b3

...

bn

Aplicación biAplicación biyectiva o yectiva o BiyecciónBiyección

Dados los conjuntos A y B, una Dados los conjuntos A y B, una aplicación aplicación biyectiva de A en B biyectiva de A en B es una aplicación es una aplicación que es inyectiva y sobreyectiva al que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempomismo tiempo

PersonaPersona NombreNombre

NombreNombre DirecciónDirección

DirecciónDirección Número de Número de TeléfonoTeléfono

Número de Número de TeléfonoTeléfono

TeléfonoTeléfono

Línea telefónicaLínea telefónica ReciboRecibo

NombreNombre CURPCURP

EjemplosEjemplos

Aplicación compuestaAplicación compuesta

Sean Sean :: A A B B y y :: B B C C dos aplicaciones dos aplicaciones tales que el codominio de la primera tales que el codominio de la primera

coincide con el dominio de la segunda. coincide con el dominio de la segunda. Queda así definida una aplicación de Queda así definida una aplicación de A A

en en CC, que se denomina aplicación , que se denomina aplicación

compuesta de compuesta de concon , e indicada como, e indicada como

:: A A C C

O como O como

:: A A C C

Aplicación inversaAplicación inversaDados los conjuntos Dados los conjuntos AA y y BB y la y la aplicación aplicación

:: A A B B, la , la aplicación inversa aplicación inversa -1-1:: B B A A es la aplicación que hace corresponder a es la aplicación que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de todos y cada uno de los elementos de BB uno y sólo un elemento de uno y sólo un elemento de AA, tal que si , tal que si bb

es elemento de es elemento de BB que que pone en pone en correspondencia al elemento correspondencia al elemento aa de de AA, ,

entonces entonces -1-1 pone en correspondencia al pone en correspondencia al elemento elemento aa de de AA con el elemento con el elemento bb de de BB..

También se representa como:También se representa como:

-1-1 (B)= A (B)= A

Sinónimos de aplicación inversa son Sinónimos de aplicación inversa son antitransformación, operador inverso, etc.antitransformación, operador inverso, etc.

AnalogíaAnalogía

Una aplicación Una aplicación :: A A B B se dice que es se dice que es

una una analogíaanalogía si al aplicar si al aplicar aa A A se se conservan propiedades de conservan propiedades de A A enen B B..

La analogía más estricta se denomina La analogía más estricta se denomina IdentidadIdentidad y es la aplicación de un y es la aplicación de un conjunto sobre sí mismo. conjunto sobre sí mismo. II: A : A A A..

Ejemplo 1Ejemplo 1

AA

BB CC

A’A’

B’B’ C’C’

S: AB S: AB A’B’ A’B’

S: BC S: BC B’C’ B’C’

S: AC S: AC A’C’ A’C’

’’

’’

’’

AB AB A’B’ A’B’

BC BC B’C’ B’C’

AC AC A’C’ A’C’

S: g S: g g’ g’

S: b S: b b’ b’

S: S: ’’

g = g’g = g’

b = b’b = b’

= = ’’

AB/BC = A’B’/B’C’AB/BC = A’B’/B’C’

Triángulos semejantesTriángulos semejantes

S es una analogía S es una analogía denominada semejanzadenominada semejanza