modelo derretimiento hielo

OBJETIVO:

Utilizar los conocimientos adquiridos en taller de aplicaciones matemticas y ecuaciones diferenciales

para modelar el derretimiento de un hielo.

OBJETIVOS ESPECFICOS:

1. Obtener una ecuacin diferencial que proporcione el volumen en cualquier tiempo t para una esfera

de hielo y resolver la ecuacin.

2. Comprobar si se cumple la regla emprica para el caso de otra forma del hielo.

3. Obtener una ecuacin diferencial que proporcione el volumen en cualquier tiempo t para la forma

de hielo propuesta y resolver la ecuacin.

MARCO TERICO La parte con mayor complejidad de emplear matemticas, para estudiar una aplicacin, es la conversin de los fenmenos de la vida real al formalismo matemtico. Generalmente esta parte es la que suele complicarse ya que implica la conversin de hiptesis que pueden o no ser imprecisas en formulas muy precisas. No se puede evitar esto debido a que la modelacin resulta ser sumamente complicada y la nica forma de lograr un modelo con precisin es mediante la prctica constante y repetitiva. (Paul Blanchard, 1998).

Instituto Politcnico Nacional

Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera Campus Guanajuato

Proyecto Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones Matemticas

MODELO MATEMTICO PARA EL DERRETIMIENTO DEL HIELO

Integrantes:

-Gil Gmez Josu Antonio

-Soto Martnez Erick No

-Tafolla Rizo Liliana Lizbeth

-Torres Colunga Karen Itze 3BM1

Con los modelos se trata de predecir el futuro, para lo cual se dispone del conocimiento de cmo son las cosas y cules son las reglas que gobiernan los posibles cambios que podran ocurrir. Para esto emplearemos conocimientos adquiridos durante el curso de clculo, del cual aprendimos que el cambio es medido por las derivadas, estas se puede utilizar para describir cmo se modifica una cantidad, aqu es donde se hace uso de las ecuaciones diferenciales ya que son las encargadas de describir este tipo de cambios. (Paul Blanchard, 1998).

Qu es un modelo?

El objetivo de un modelo no es producir una copia exacta del objeto real, sino ms bien representar algunas caractersticas de la cosa real. Por ejemplo un retrato de una persona, un maniqu y un cerdo pueden ser modelos de un ser humano, aunque ninguno de estos es una copia perfecta de perfecta de ste, si poseen ciertos aspectos en comn con el ser humano. La pintura o retrato describe la apariencia fsica de un individuo, el maniqu usa ropa de igual manera que la persona y el cerdo est vivo. (Paul Blanchard, 1998).

Los modelos de la vida real pueden volverse demasiado complejos debido a la excesiva cantidad de variables que se pueden emplear en este, por otro lado podemos elaborar un modelo suficientemente simple para que se pueda entender de manera clara, esto se logra realizando hiptesis simplificadas y englobando los efectos que puedan ser o no ser comunes.

Una vez terminado el modelo se debe realizar una comparacin con los datos del sistema. Si el modelo y el sistema concuerdan, tendremos confianza en que las hiptesis hechas al crear el modelo son razonables y que podamos realizar predicciones, si no concuerdan se debe estudiar y mejorar las suposiciones realizadas.

(Paul Blanchard, 1998).

Las predicciones razonables dependen de las hiptesis planteadas en el modelo, el cual debe basarse en leyes o reglas precisas como las leyes de Newton o reglas de inters compuesto, solo de este modo podemos obtener predicciones cuantitativas muy exactas. En cambio si nuestras hiptesis no son muy precisas o si el modelo es una versin muy simplificada del sistema, entonces se vuelve absurdo tratar de obtener predicciones cuantitativas exactas.

Algunas sugerencias para la construccin de modelos.

Paso 1.- establecer de manera clara las hiptesis en las cuales se basara el modelo. Las cuales deben describir las relaciones correctas entre las cantidades que se van a estudiar.

Paso 2.- Definir completamente las variables y parmetros que se usarn en el modelo.

Paso 3.- Utilizar las hiptesis formuladas en el paso 1 para obtener ecuaciones que relacionen las cantidades del paso 2.

(Paul Blanchard, 1998)

La mayor parte de los modelos son expresados como ecuaciones diferenciales. En otras palabras, esperamos encontrar derivadas en nuestras ecuaciones.

Es importante poner especial atencin en los modelos a ciertas frases como: razn de cambio o tasa de cambio ya que razn de cambio es sinnimo de derivada, tambin hay que poner atencin a otros sinnimos de derivadas como son velocidad, aceleracin.

Una importante regla para la realizacin de modelos es: siempre que se pueda simplifique el lgebra.

METODOLOGA:

PARTE I: Obtencin del modelo matemtico del hielo en forma esfrica.

Considerando la siguiente Ley emprica:

Una esfera de hielo se derrite a razn proporcional al rea de su superficie, es decir, el volumen de

la esfera vara a razn proporcional al rea de su superficie con ayuda de la ley emprica contesta los

siguientes incisos:

1. Encuentra una expresin para la variacin del volumen a travs del tiempo de la ley emprica en funcin de la incgnita inicial (V (t)).

Dnde: = 4! 2. Resuelve la ecuacin diferencial.

Considerando que el radio es el que sufre el cambio en cada intervalo de tiempo tendremos que: = () Por lo tanto obtenemos r de la frmula de volumen de una esfera. = 43! Despejando r:

Material: Hielo Cronometro Bascula (0.1g) Regla (1 mm) Jeringa

= ()

= !34!!/!

Sustituyendo en la ecuacin = 4! Obtenemos: = 4 34 1/3 ! = 4!/! 3! ! !/! Resolviendo por variables separables: !/! = 4!/! 3! ! 2/3 = 41/3 32 3 2/3 = 41/3 32 3 3!/! = 4!/! 3! ! Despejando Volumen: = 4!/! 3! ! 3 !

= 36!!27 +

PARTE II: Obtencin del modelo matemtico del hielo en forma propuesta.

1. Elaboren un hielo la forma propuesta por el equipo.

Forma propuesta: CILINDRO

2. Medicin del volumen.

Para conocer el volumen del hielo este fue pesado cada tres minutos retirando con una

jeringa el exceso de agua obtenida por el derretimiento.

Ya obtenida la masa, se usa la frmula de densidad en la cual despejamos volumen. = = Densidad del Hielo: 0.9168 g/mL.

Clculos para obtencin de volumen:

En la primera medicin obtuvimos: 340.4 Por lo tanto: = 340.40.9168 = 371,2914485

NOTA: Estos clculos fueron realizados para cada una de las mediciones.

Durante cada intervalo de tiempo se hizo la medicin de la altura y el dimetro, datos

con los que tambin podemos calcular el volumen.

NOTA: Las mediciones no fueron exactas debido a que el hielo no se derrite de forma uniforme.

Clculos para obtencin de volumen:

En la primera medicin obtuvimos: = 7.8 = 7.6 = 3.8 = ! = 3.8 ! 7.8 = 353.8446912 ! NOTA: Estos clculos fueron realizados para cada una de las mediciones.

TABLA I: Resultados de cada una de las mediciones as como los volmenes obtenidas a partir de la masa y la resta del agua perdida:

TIEMPO (min)

MASA (g)

ALTURA (cm)

DIAMETRO (cm)

VOLUMEN PERDIDO

(mL)

VOLUMEN TOTAL HIELO

(mL)

Volumen hielo- volumen agua

0 341,703 7,8 7,8 0 372,7122692 372,7122692

3 340,4 7,8 7,6 7,4 371,2914485 365,3122692

6 335,1 7,6 7,4 7,8 365,5104712 357,5122692

9 329,5 7,5 7,2 6,4 359,4022688 351,1122692

12 319 7,2 7,2 9,2 347,9493892 341,9122692

15 312 7,1 7 6,8 340,3141361 335,1122692

18 305 7 7 6,4 332,6788831 328,7122692

21 298,5 6,9 7 6 325,5890052 322,7122692

24 291,5 6,8 7 6 317,9537522 316,7122692

27 283,6 6,8 7 7,5 309,3368237 309,2122692

30 277,4 6,7 6,9 6,4 302,574171 302,8122692

33 270,7 6,7 6,9 6,6 295,2661431 296,2122692

36 263,2 6,6 6,7 7,8 287,0855148 288,4122692

39 258,2 6,6 6,6 5 281,6317627 283,4122692

42 253,5 6,5 6,5 5 276,5052356 278,4122692

45 246,3 6,4 6,5 6,4 268,6518325 272,0122692

48 240,5 6,4 6,5 6 262,3254799 266,0122692

51 235,4 6,3 6,4 5 256,7626527 261,0122692

54 229,3 6,2 6,3 5,6 250,109075 255,4122692

57 224,2 6,1 6,2 5,2 244,5462478 250,2122692

60 218,9 6,1 6,1 4,8 238,7652705 245,4122692

63 213,3 6 6 5,8 232,6570681 239,6122692

66 208,6 6 5,9 4,8 227,530541 234,8122692

69 202,2 5,9 5,8 6,3 220,5497382 228,5122692

72 194,6 5,8 5,8 5,4 212,2600349 223,1122692

75 191,7 5,7 5,6 4,7 209,0968586 218,4122692

78 187,2 5,6 5,5 4,2 204,1884817 214,2122692

81 180,6 5,5 5,4 6 196,9895288 208,2122692

84 175,5 5,4 5,4 5,2 191,4267016 203,0122692

87 171,7 5,2 5,3 4 187,2818499 199,0122692

90 165,8 5,1 5,2 5,8 180,8464223 193,2122692

93 160,5 5,1 5 5,2 175,065445 188,0122692

96 154,3 5,1 4,9 6 168,3027923 182,0122692

99 148,2 5 4,9 4,4 161,6492147 177,6122692

102 143 4,8 4,8 5,2 155,9773124 172,4122692

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 20 40 60 80 100 120

Volumen

(mL)

Tiempo

VOLUMEN DEL HIELO MENOS VOL DE AGUA PERDIDA

Grafica I: Volumen obtenido con la masa del hielo

Grafica II: Volumen obtenido con la diferencia del volumen y el agua perdida durante el derretimiento.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 20 40 60 80 100 120

Volumen

(mL)

TIEMPO (min)

Volumen Hielo (MASA)

TABLA II: Datos de altura, dimetro, radio y Volmenes

TIEMPO (min)

ALTURA (cm)

DIAMETRO (cm) RADIO

VOLUMEN (cm3) AREA (cm2)

0 7.8 7.8 3.9 372.7131408 286.702416

3 7.8 7.6 3.8 353.8446912 276.963456

6 7.6 7.4 3.7 326.8646304 262.700592

9 7.5 7.2 3.6 305.36352 251.076672

12 7.2 7.2 3.6 293.1489792 244.290816

15 7.1 7 3.5 273.24066 233.10672

18 7 7 3.5 269.3922 230.9076

21 6.9 7 3.5 265.54374 228.70848

24 6.8 7 3.5 261.69528 226.50936

27 6.8 7 3.5 261.69528 226.50936

30 6.7 6.9 3.45 250.5323898 220.021956

33 6.7 6.9 3.45 250.5323898 220.021956

36 6.6 6.7 3.35 232.6935996 209.434764

39 6.6 6.6 3.3 225.7993584 205.272144

42 6.5 6.5 3.25 215.690475 199.0989

45 6.4 6.5 3.25 212.37216 197.05686

48 6.4 6.5 3.25 212.37216 197.05686

51 6.3 6.4 3.2 202.6708992 191.00928

54 6.2 6.3 3.15 193.2696612 185.055948

57 6.1 6.2 3.1 184.1637336 179.196864

60 6.1 6.1 3.05 178.2708774 175.348404

63 6 6 3 169.6464 169.6464

66 6 5.9 2.95 164.038644 165.892188

69 5.9 5.8 2.9 155.8830504 160.347264

72 5.8 5.8 2.9 153.2409648 158.525136

75 5.7 5.6 2.8 140.3918208 149.54016

78 5.6 5.5 2.75 133.04676 144.27798

81 5.5 5.4 2.7 125.962452 139.110048

84 5.4 5.4 2.7 123.6722256 137.413584

87 5.2 5.3 2.65 114.7218072 130.706268

90 5.1 5.2 2.6 108.3098016 125.789664

93 5.1 5 2.5 100.1385 119.3808

96 5.1 4.9 2.45 96.1730154 116.223492

99 5 4.9 2.45 94.28727 114.684108

102 4.8 4.8 2.4 86.8589568 108.573696

Grafica III: Volmenes calculados a partir de los datos de altura y radio.

Grafica IV: Volumen con respecto al rea calculada.

0

50

100

150

200

250

300

350

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0 20 40 60 80 100 120

Volumen a partir de h y r

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250 300 350

Volumen

(cm

3 )

rea (cm2)

Volumen vs rea

3. Ajuste de una funcin al conjunto de datos obtenidos funcin tiempo. Diran que se sigue cumpliendo la ley emprica?

**Para obtener la funcin se corri el modelo de regresin lineal utilizando como variable

predictora el rea y variable de respuesta el volumen, para esto se hace uso del paquete

estadstico Minitab. Anlisis de regresin: VOLUMEN (cm3) vs. AREA (cm2) La ecuacin de regresin es VOLUMEN (cm3) = - 94.6 + 1.58 AREA (cm2) Predictor Coef SE Coef T P VIF Constante -94.584 3.491 -27.09 0.000 AREA (cm2) 1.58191 0.01797 88.03 0.000 1.000 S = 5.13750 R-cuad. = 99.6% R-cuad.(ajustado) = 99.6% Anlisis de varianza Fuente GL SC CM F P Regresin 1 204521 204521 7748.81 0.000 Error residual 33 871 26 Total 34 205392 Observaciones poco comunes AREA VOLUMEN EE de Residuo Obs (cm2) (cm3) Ajuste ajuste Residuo estndar 1 287 372.713 358.952 1.972 13.761 2.90R 2 277 353.845 343.546 1.817 10.299 2.14R R denota una observacin con un residuo estandarizado grande. Prueba de falta de ajuste Posible curvatura en la variable AREA (cm) (Valor P = 0.000) Posible falta de ajuste en los valores externos de X (Valor P = 0.000) La prueba general de falta de ajuste es significativa en P = 0.000 Grficas de residuos para VOLUMEN (cm3)

Anlisis de regresin polinomial: VOLUMEN (cm3) vs. AREA (cm2)

La ecuacin de regresin es VOLUMEN (cm3) = - 23.74 + 0.7884 AREA (cm2) + 0.002079 AREA (cm2)**2 S = 0.216242 R-cuad. = 100.0% R-cuad.(ajustado) = 100.0% Anlisis de varianza Fuente GL SC CM F P Regresin 2 205390 102695 2196200.48 0.000 Error 32 1 0 Total 34 205392 Anlisis de varianza secuencial Fuente GL SC F P Lineal 1 204521 7748.81 0.000 Cuadrtica 1 870 18594.81 0.000 Lnea ajustada: VOLUMEN (cm3) vs. AREA (cm2)

Al correr el modelo el programa nos indica que existe una posible curvatura en nuestra variable predictora

por lo que hacemos uso de la grfica de lnea ajustada, probando si los datos se ajustan a un modelo

cuadrtico o cubico.

Otro punto importante es que en las grficas arrojadas nuestros datos no presentan el comportamiento que

debiesen tener es decir:

Grafica de probabilidad normal: muchos puntos no son cercanos a la lnea.

Histograma: No existe forma de campana

Vs. Orden: No hay cambio aleatorio de los puntos.

Anlisis de regresin polinomial: VOLUMEN (cm3) vs. AREA (cm2) La ecuacin de regresin es VOLUMEN (cm3) = - 11.99 + 0.5913 AREA (cm2) + 0.003128 AREA (cm2)**2 - 0.000002 AREA (cm2)**3 S = 0.0291364 R-cuad. = 100.0% R-cuad.(ajustado) = 100.0% Anlisis de varianza Fuente GL SC CM F P Regresin 3 205392 68464.0 80647498.39 0.000 Error 31 0 0.0 Total 34 205392 Anlisis de varianza secuencial Fuente GL SC F P Lineal 1 204521 7748.81 0.000 Cuadrtica 1 870 18594.81 0.000 Cbico 1 1 1731.61 0.000 Lnea ajustada: VOLUMEN (cm3) vs. AREA (cm2)

Observamos que ambos anlisis polinomiales nos dan una R2 ajustada de 100 % decidiendo correr un modelo cuadrado. Para esto calculamos la prima de la variable y despus esta la elevamos al cuadrado.

Anlisis de regresin: VOLUMEN (cm3) vs. Ap, Ap2 La ecuacin de regresin es VOLUMEN (cm3) = 198 + 1.57 Ap + 0.00208 Ap2 Predictor Coef SE Coef T P VIF Constante 198.238 0.051 3885.17 0.000 Ap 1.57085 0.00076 2064.92 0.000 1.011 Ap2 0.00207900 0.00001525 136.36 0.000 1.011 S = 0.216242 R-cuad. = 100.0% R-cuad (ajustado) = 100.0% Anlisis de varianza Fuente GL SC CM F P Regresin 2 205390 102695 2196200.48 0.000 Error residual 32 1 0 Total 34 205392 Fuente GL SC Sec. Ap 1 204521 Ap2 1 870 Observaciones poco comunes VOLUMEN EE de Residuo Obs Ap (cm3) Ajuste ajuste Residuo estndar 1 98.5 372.713 373.190 0.133 -0.477 -2.80RX 35 -79.6 86.859 86.368 0.098 0.491 2.54R R denota una observacin con un residuo estandarizado grande. X denota una observacin cuyo valor X le concede gran apalancamiento. Prueba de falta de ajuste Posible curvatura en la variable Ap (Valor P = 0.000) Posible interaccin en variable Ap (Valor P = 0.000) Posible interaccin en variable Ap2 (Valor P = 0.000) Posible falta de ajuste en los valores externos de X (Valor P = 0.000) La prueba general de falta de ajuste es significativa en P = 0.000 Grficas de residuos para VOLUMEN (cm3)

Se observa que en las grficas arrojadas nuestros datos nuevamente no presentan el comportamiento

que debiesen tener es decir:

Grafica de probabilidad normal: muchos puntos no son cercanos a la lnea.

Histograma: No existe forma de campana

Vs. Orden: No hay cambio aleatorio de los puntos.

El modelo no presenta VIF altos y el valor P es aproximadamente 0 por lo que se puede decir que las

variables si ayudan a predecir el Volumen, de igual forma el modelo muestra R2 ajustada es del 100 %

pero existe prueba de falta de ajuste con posibles interacciones y curvaturas en las nuevas variables.

4. Planteen la ecuacin diferencial que proporciona el volumen del hielo en la forma propuesta por ustedes en cualquier tiempo t. (La ecuacin debe estar en funcin de V (t)). = Dnde: = 2( + ) = 2( + ) Primera consideracin: Que la altura es la que vara segn el tiempo y dejando el radio como constante: = = ()

Despejando h de la frmula de volumen: = ! = ! Resolviendo la ecuacin: = 2 ! +

= 2 + 2! = 2 + 2! = 2 + 2! = 2 + 2! = 2 + 2! ln = 2 + 2! + V = !!! !!!"!! !!!

Segunda consideracin: Que el radio es la que vara segn el tiempo y dejando la altura como constante: = ! = () =

Despejando r:

= !/! Sustituyendo: = 2 !/! + 2 !/!

V = !!!! !!!"!!!!!!

= 2!/!!/!!/! + 2!/!!/!!/! = 2!/!!/! + 2!/!!/! !/! !/! = 2!/!!/! + 2!/!!/! !/! = 2!/!!/! + 2!/!!/! 2!/! = 2!/!!/! + 2!/!!/! +

= 2!/!!/! + 2!/!!/! 2!

Podemos observar que la forma propuesta puede cumplir con la ecuacin

Conclusiones:

Al resolver la ecuacin diferencial haciendo uso de la forma de hielo propuesto se observa que es necesario que este tenga el radio en funcin del tiempo siendo as posible que sigua la ley emprica propuesta en el proyecto, que al basarse en los datos obtenidos de la experimentacin se puede deducir que el derretimiento de un hielo independientemente de la forma:

= !4! + 4! ! !4

Conclusiones Karen Itze Torres Colunga:

El modelaje de fenmenos de la vida cotidiana es una herramienta de gran utilidad que permite acercarnos o asimilar lo ocurrido en nuestro entorno haciendo ms simple el entendimiento de muchos de estos fenmenos, llegando a la conclusin de que las matemticas son valiosas en la vida humana puesto que permiten llevar las cosas ms all de la simple teora.

Conclusiones Liliana Lizbeth Tafolla Rizo:

Gracias al modelo de situaciones de la vida cotidiana el hombre ha tenido la oportunidad de predecir muchos de los factores que entran en juego comprobando una vez ms que esta herramienta matemtica juega un papel de suma importancia en el desarrollo humano.

Conclusiones Soto Martnez Erick No:

Es de mucho inters estudiar todos los fenmenos ocurrentes puesto que se puede observar que todo est relacionado de una forma sorprendente al mbito matemtico lo cual nos brinda la oportunidad de poder contrarrestar grandes impactos, puesto que este modelo desarrollado es utilizado para el impacto ambiental que est sufriendo en planeta en la actualidad.

Conclusiones Gil Gamez Josue Antonio:

Es muy interesante cono es que a partir de una ecuacin matemtica puedes llegar a deducir grandes fenmenos ocurrentes en la vida cotidiana.

DISTRIBUCIN DE ACTIVIDADES Y RESPONSABILIDADES:

INTEGRANTE ACTIVIDAD




-Torres Colunga Karen Itze

Lectura de los proyectos propuestos

-Gil Gmez Josu Antonio Elaboracin de Marco terico



-Tafolla Rizo Liliana Lizbeth Primeras Mediciones de Hielo.


-Torres Colunga Karen Itze Nuevas mediciones del hielo


-Torres Colunga Karen Itze Deduccin de la ecuacin diferencial a partir

de la ley emprica.


-Gil Gmez Josu Antonio Elaboracin del modelo y deduccin de la

nueva ecuacin diferencial.




-Torres Colunga Karen Itze

Elaboracin del reporte.

CALENDARIO DE ACTIVIDADES:

LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO

26 Sep. Lectura de los proyectos propuestos

27 Sep.

28 Sep. 29 Sep. Eleccin del Proyecto a realizar

30 Sep. 01 Oct. 02 Oct.

03 Oct. 04 Oct. 05 Oct.

06 Oct. 07 Oct. 08 Oct.

Mediciones de Hielo.

09 Oct.

10 Oct. 11 Oct. Elaboracin de clculos planteados en las actividades

12 Oct.

Mediciones de Hielo.

13 Oct.

14 Oct.

Nuevas mediciones del hielo

15 Oct. Elaboracin del reporte.

16 Oct.

Finalizacin del

proyecto.

modelo derretimiento hielo

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