modelo del motor de inducción

J.T.P DE DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ

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Modelo del motor de Inducción

1. Introducción

Los motores asíncronos o de inducción son los más utilizados en la industria, a causa de su sencillez y fortaleza de su construcción, así como por su seguridad de funcionamiento. 1.1. Descripción física

Los motores asíncronos constan de dos partes: El estator, que es la parte fija de la máquina, constituido por una corona de chapas magnéticas aisladas entre sí por medio de barniz, ranuradas interiormente y sujetas a una carcasa fabricada, por lo general, con fundición de hierro o aluminio. En las ranuras del estator se dispone un devanado, constituido por un número de fases igual al de la red eléctrica que alimenta el motor. El rotor, que es la parte móvil de la máquina, constituido por una corona de chapas magnéticas apiladas directamente sobre el eje de la máquina. La corona rotórica presenta una serie de ranuras interiores en las que se encuentra dispuesto el devanado rotórico. Desde el punto de vista constructivo, se pueden distinguir dos formas típicas de rotor:

• Rotor de jaula de ardilla. • Rotor bobinado.

1.1.1. Máquina asíncrona de rotor de jaula de ardilla

En los motores de jaula de ardilla el devanado del rotor está constituido por barras de cobre o de aluminio colocadas en las ranuras de la corona rotórica y unidas en sus extremos a dos anillos del mismo material. El conjunto de barras y anillos tiene aspecto de jaula de ardilla: de ahí el nombre que recibe este rotor. El par de arranque de este tipo de motores es relativamente pequeño, y la intensidad absorbida en el arranque es elevada.


Figura 1. Motor Asíncrono tipo Jaula de Ardilla

1.1.2. Máquina asíncrona de rotor bobinado

En los motores asíncronos de rotor bobinado,estatórico, está constituido por hilo por lo general, tres devanadospueden estar conectados acon el eje. Haciendo contactogeneralmente de grafito, que están fijas respecto al estator y queconexión de los tres devanados rotóricos con Aunque desde el punto de vista constructivomenos robusto que el de jaulaaproximadamente 2,5 veces superior al nominal y unael caso de rotor en jaula deregular la velocidad de giro del

SISTEMAS DE CONTROL ING. RODMY MIRANDA ORDOÑEZ

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Figura 1. Motor Asíncrono tipo Jaula de Ardilla

Máquina asíncrona de rotor bobinado

asíncronos de rotor bobinado, el devanado rotórico, al igualconstituido por hilo de cobre. En las ranuras de la corona rotórica se alojan,

general, tres devanados conectados por un punto común. Los extremos librespueden estar conectados a tres anillos de cobre (anillos rozantes) que giran solidariamente

contacto con los anillos rozantes, se encuentran unas escobillas,generalmente de grafito, que están fijas respecto al estator y que permiten realizar la conexión de los tres devanados rotóricos con el exterior.

Aunque desde el punto de vista constructivo el motor de rotor bobinado es más complejo y menos robusto que el de jaula de ardilla, se puede lograr un par de arranque aproximadamente 2,5 veces superior al nominal y una corriente de arranque menor queel caso de rotor en jaula de ardilla. También, mediante el uso de las resistencias, se puederegular la velocidad de giro del motor.


el devanado rotórico, al igual que el rotórica se alojan,

común. Los extremos libres rozantes) que giran solidariamente

con los anillos rozantes, se encuentran unas escobillas, permiten realizar la

rotor bobinado es más complejo y de ardilla, se puede lograr un par de arranque

corriente de arranque menor que en de las resistencias, se puede


Figura 2. Motor Asíncrono de Rotor Bobinado

1.2. Principio de funcionamiento

El principio de funcionamientosobre el rotor un campo magnético giratorio producido por 1.2.1. Campos magnéticos giratorios

Un ejemplo puede servir para poner de manifiesto lamagnético giratorio. En eldispuestos tres devanados desfasados entre sconectado a una fase deasíncronos disponen en su caja de bornes de los seipermite que los devanados se puedan


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Figura 2. Motor Asíncrono de Rotor Bobinado

Principio de funcionamiento

El principio de funcionamiento de los motores asíncronos se basa en la acción que ejerce sobre el rotor un campo magnético giratorio producido por el devanado estatórico.

Campos magnéticos giratorios

Un ejemplo puede servir para poner de manifiesto la manera en que se produce un campo magnético giratorio. En el estator de una máquina eléctrica trifásica se encuentrandispuestos tres devanados desfasados entre sí 120º geométricos. Cada uno de ellos está conectado a una fase de una red eléctrica trifásica. Por regla general, los motoresasíncronos disponen en su caja de bornes de los seis terminales de los devanados, lo que permite que los devanados se puedan conectar en estrella o en triángulo.


en la acción que ejerce el devanado estatórico.

manera en que se produce un campo eléctrica trifásica se encuentran

geométricos. Cada uno de ellos está una red eléctrica trifásica. Por regla general, los motores

de los devanados, lo que


1.2.2. Cupla Motora

Si en el rotor existe un circuito cerrado, la fuerza electromotriz inducida hará circular una corriente en el rotor y debido a la existencia del campo magnético producido en el estator, sobre el conductor se ejercerá una fuerza igual a que en conjunción con la de los demás conductores del rotor, origina una cupla motora o mecánica resultante, que tiende a mover al rotor (persiguiendo al campo magnético giratorio). En un motor de inducción, el rotor no alcanza la velogiratorio, siendo su velocidad de giro es menor, por esta razón su velocidad es no sincrónica (asíncronica) con el campo giratorio.

2. Modelo del Motor de Inducción

2.1. Ecuaciones de la Máquina

Los bobinados del estator de la máquina trifásica asíncrona son similares a los de una máquina sincrónica. Cuando una corriente trifásica balanceada de frecuencia aplicada, en el estator se produce un campo magnético giratorio con unasincrónica dada por:


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Figura 3. Campo Magnético Giratorio

Si en el rotor existe un circuito cerrado, la fuerza electromotriz inducida hará circular una corriente en el rotor y debido a la existencia del campo magnético producido en el estator, sobre el conductor se ejercerá una fuerza igual a . Esta fuerza crea una cupla, que en conjunción con la de los demás conductores del rotor, origina una cupla motora o mecánica resultante, que tiende a mover al rotor (persiguiendo al campo magnético giratorio). En un motor de inducción, el rotor no alcanza la velocidad del campo magnético giratorio, siendo su velocidad de giro es menor, por esta razón su velocidad es no sincrónica (asíncronica) con el campo giratorio.

Figura 4. Fuerza Mecánica Generada

Modelo del Motor de Inducción

Ecuaciones de la Máquina Asíncrona

Los bobinados del estator de la máquina trifásica asíncrona son similares a los de una máquina sincrónica. Cuando una corriente trifásica balanceada de frecuencia aplicada, en el estator se produce un campo magnético giratorio con una


Si en el rotor existe un circuito cerrado, la fuerza electromotriz inducida hará circular una corriente en el rotor y debido a la existencia del campo magnético producido en el estator,

erza crea una cupla, que en conjunción con la de los demás conductores del rotor, origina una cupla motora o mecánica resultante, que tiende a mover al rotor (persiguiendo al campo magnético

cidad del campo magnético giratorio, siendo su velocidad de giro es menor, por esta razón su velocidad es no

Los bobinados del estator de la máquina trifásica asíncrona son similares a los de una máquina sincrónica. Cuando una corriente trifásica balanceada de frecuencia Hz es aplicada, en el estator se produce un campo magnético giratorio con una velocidad


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�� 60 · �� 120 · ��

��

Donde �� está en r.p.m. y P es el número de pares de polos y Pf es el número de polos. Cuando hay un movimiento relativo entre el campo del estator y el rotor, fuerzas electromotrices son inducidas en los arrollamientos del rotor. La frecuencia � Hz del voltaje inducido en el rotor depende de la velocidad relativa del campo del estator y el rotor. La corriente en cada arrollamiento del rotor es igual al voltaje inducido dividido por la impedancia del circuito del rotor en la frecuencia � . La corriente del rotor reacciona con el campo del estator produciendo un torque, el cual acelera el rotor en dirección de la rotación del campo del estator. A medida que la velocidad del rotor � se aproxima a la velocidad �� del campo del estator, el voltaje y la corriente inducidos en el rotor disminuyen aproximándose a un valor igual a cero. Para desarrollar un torque positivo, � debe ser menor que ��. Así el rotor viajara con una velocidad relativa � � �� r.p.m. siguiendo la dirección del campo del estator. El deslizamiento de la velocidad del rotor respecto de la velocidad sincrónica en p.u. es

� � ��

La frecuencia � del voltaje inducido en el rotor es igual a � · ��. En vacio, la máquina opera con un deslizamiento despreciable. Si una carga mecánica es aplicada, el deslizamiento se incrementa (la velocidad del rotor disminuye) así que el voltaje y la corriente inducidos producen el torque requerido por la carga y la máquina opera como un motor. Si el rotor es movido por otro elemento motriz con una velocidad mayor que la del campo del estator, el deslizamiento es negativo (la velocidad del rotor es mayor que ��). La polaridad del voltaje inducido es invertido y el torque resultante es opuesto a en dirección a la de rotación y la máquina opera como un generador de inducción. 2.1.1. Ecuaciones Básicas de una Máquina Asíncrona

La figura 5 muestra el circuito de una máquina sincrónica. El circuito del estator consiste en tres arrollamientos a, b y c, distribuidos 120° separados en el espacio. El circuito del rotor tiene tres arrollamientos distribuidos A, B y C. Las fases del estator y del rotor pueden estar conectados en Y o ∆. En la figura 5, la conexión mostrada está en Y. El rotor tipo bobinado, los arrollamientos trifásicos se conectan a anillos rozantes en el eje y por lo tanto pueden estar conectados a un circuito externo. En el rotor jaula de ardilla consistente de un número no aislado de barras de cobre cortocircuitadas mediante aros en ambos extremos, los voltajes del rotor vA, vB y vC son iguales a cero. En el presente análisis, por simplicidad se considera solamente un par de polos y que las medidas de todos los ángulos están en radianes eléctricos o grados. En la figura 5, θ es definido como el ángulo por el cual el eje de la fase A del arrollamiento del rotor adelanta a el eje de la fase a del arrollamiento del estator en la dirección de rotación. Con una velocidad angular constante del rotor de � en radianes eléctricos por segundo (rad/s).

� � � · � �1�


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Con un deslizamiento constante s,

� � �1 � �� · � �2� Donde �� es la velocidad angular del campo magnético del estator en radianes eléctricos por segundo (rad/s).

Figura 5. Circuito del estator y del rotor de una máquina de inducción Despreciando los efectos de la saturación, la histéresis y las corrientes de eddy, y asumiendo una distribución sinusoidal de las ondas de flujo magnético, las ecuaciones de la máquina pueden ser escritas de la siguiente manera.

Ecuaciones del voltaje del estator:

��

�� 3�

��

Ecuaciones del voltaje del rotor:

��

� � �� 4�

�" � ��"�� "

A

B

C

b

a

c

iA

iB

iC

vB

vA

vC

θ

ωr

Rotación

Eje de lafase A

Eje de la fase a

vb

va

vc

ib

ia

ic

Rotor Estator


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En las ecuaciones 3 y 4, φ representa los enlaces de flujo de los arrollamientos. Rs es la resistencia de fase del estator, Rr es la resistencia de fase del rotor. Para estudios de estabilidad los efectos de las ranuras del rotor pueden ser despreciados y considerar que el rotor tiene una forma simétrica. Así, la inductancia mutua entre los arrollamientos del estator y del rotor son función solamente de la posición del rotor definida por el ángulo θ. El enlace de flujo en el arrollamiento de la fase a del estator en cualquier instante de tiempo estar dado por

�� #�� #�� #��$�� cos � � � cos�θ � 120°� ��" cos�� 120°�* �5�

Donde #�� es la inductancia propia del arrollamiento del estator, #�� es la inductancia mutua entre los arrollamientos del estator y #�� es el valor máximo de la inductancia mutua entre el arrollamiento del estator y el arrollamiento del rotor. Expresiones similares son aplicables para los enlaces de flujo de los arrollamientos de la fase b y c del estator. El enlace de flujo del arrollamiento de la fase A del rotor es

�� #�� #� �� "� � #��$�� cos � � �� cos�θ � 120°� �� cos�� 120°�* �6�

Expresiones similares son aplicables para los enlaces de flujo de los arrollamientos de la fase B y C del rotor. Sin corriente de neutro debido a la conexión o a una condición balanceada,

�� 0

�� " � 0 �7�

Si consideramos que #�� #�� #��

# � #�� #� �8�

Las expresiones de φa yφA pueden ser escritas como:

�� #�� #��$�� cos � � � cos�θ � 120°� ��" cos�� 120°�* �9�

�� # �� #��$�� cos � � �� cos�θ � 120°� �� cos�� 120°�* �10� 2.1.2. Modelo de la Máquina de Dos Ejes - Transformación d-q

Mediante la transformación de Park, es posible llevar un sistema trifásico a otro equivalente de dos ejes (eje directo y de cuadratura) que son ejes rotatorios definidos según una referencia dentro del sistema analizado. Para la máquina de inducción el marco de referencia se define con el eje directo (eje d) igual al eje de rotación de la velocidad sincrónica. El eje en cuadratura (eje q) es asumido para estar 90° en adelanto del eje directo en dirección de la rotación. Si el eje directo es escogido para que coincida con el eje de la fase a en el tiempo t=0, su desplazamiento desde el eje de la fase a en cualquier instante de tiempo t es ��. La transformación de las corrientes de fase del estator a las variables d y q son:


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�/� � 23 $�� cos �� cos�� 120°� � �� cos�� 120°�*

�0� � � 23 $�� sin �� sin�� 120°� � �� sin�� 120°�* �11�

La transformación inversa es

�� /� cos �� 0� sin ��

�� /� cos�� 120°� � �0� sin�� 120°� �12�

�� /� cos�� 120°� � �0� sin�� 120°� Similares expresiones son aplicadas a los enlaces de flujo y los voltajes del estator. En el caso del rotor si � se define como el ángulo por el cual el eje directo adelanta al eje de la fase A del rotor. Si el deslizamiento del rotor es s, el eje directo es adelantado con respecto a un punto sobre la velocidad del rotor ��

�� · �� 13�

La transformación de las corrientes de fase del rotor a las variables d y q son:

�/ � 23 $�� cos � � � � cos�� 120°� � �" cos�� 120°�*

�0 � � 23 $�� sin � � � sin�� 120°� � �" sin�� 120°�* �14�

La transformación inversa es

�� / cos � � �0 sin �

� � �/ cos�� 120°� � �0 sin�� 120°� �12�

�� / cos�� 120°� � �0 sin�� 120°� Similares expresiones son aplicadas a los enlaces de flujo y los voltajes del rotor. 2.1.3. Ecuaciones Básicas de una Máquina Asíncrona en el marco de referencia d-q

De la ecuación 2 y 13

� � �� 13�

Enlaces de flujo del estator

�/� � #��/� � #3�/

�0� � #��0� � #3�0 �14�


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Enlaces de flujo del rotor

�/ � # �/ � #3�/�

�0 � # �0 � #3�0� �15�

Con #3 � 45 #��

El voltaje del estator es

�/� � ��/� � ��0� � ��/��

�0� � ��0� � ��/� � ��0�� 16�

El voltaje del rotor es

�/ � � �/ � �� 0 � ��/

��

�0 � � �0 � �� / � ��0

�� 17�

El termino 67869 es el deslizamiento de la velocidad angular, dado por

�� · �

Esto representa la velocidad angular relativa entre el rotor y el marco de referencia d-q. Potencia Eléctrica y Torque

La potencia instantánea en el estator es

:� � ��

En términos del eje d –q, la expresión se vuelve

:� � 32 ;�/��/� � �0��0�< �18�

En forma similar la potencia instantánea en el rotor es.

: � 32 ;�/ �/ � �0 �0 < �19�

El torque electromagnético desarrollado es obtenido como la potencia asociada con la velocidad del voltaje dividido por la velocidad del eje en radianes mecánicos por segundo.

De la ecuación 17, la velocidad del voltaje asociado a �/ y �0 son � 67869 �0 y

67869 �/

respectivamente. Substituyendo en la ecuación 19, la potencia asociada con la velocidad de voltaje es 3

2 ;�/ �0 � �0 �/ < ��


10

La velocidad del rotor con respecto a el eje d-q es � 67869

5=>. Y el torque electromagnético es

?@ � 32 ;�0 �/ � �/ �0 < ��

2 �20�

Ecuación de Aceleración El torque electromagnético desarrollado por el motor permite el movimiento de una carga mecánica. Si existe un desequilibrio entre el torque electromagnético y el torque de la carga mecánica (?3), la diferencia de torques acelera la masa del rotor. Es decir.

?@ � ?3 � A B�3B� � A B5�

B�5 �21�

Donde �3 es la velocidad angular del rotor en radianes mecánicos por segundo y J es el momento rotacional de inercia del rotor y la carga conectada. El torque de la carga varía con la velocidad. Una expresión comúnmente empleada para el torque en la carga es.

?3 � ?C�� DDDD�3 �22� Donde � DDDD es la velocidad del rotor expresada en por unidad de la velocidad sincrónica.

2.1.4. Características de Estado Estable

Para una operación balanceada en estado estable, las corrientes del estator pueden ser escritas como

�� E3cos�� F� �� E3 cos�� F � 120°� �� E3 cos�� F � 120°�

Donde α es el ángulo de ia con respecto a el tiempo original. En el eje d-q, se tiene

�/� � E3cosα

�0� � E3 sin α Expresiones similares para las corrientes y voltajes del rotor son aplicadas. De la ecuación 12, la corriente del estator puede ser escrita como

�� /� cos �� 0� sin �� /� cos �� 0� cos�� 90°� Usando notación fasorial, está ultima ecuación puede escribirse como

E�H � E/� � IE0� Donde E/� � �/�/√2 y E0� � �0�/√2. De manera similar los voltajes y corrientes de fase del estator y el rotor se escriben como


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L�H � ;�/� � I�0�<√2

E H � ;�/ � I�0 <√2

En condiciones en estado estable, el término 6M69 en las ecuaciones 16 y 17 desaparece.

Sustituyendo en la ecuación 16 la ecuación 15 se tiene

�/� � ��/� � ��#��0� � ��#3�0

�0� � ��0� � ��#��/� � ��#3�/

En forma fasorial

L�H � ��E�H � I ��#��E�H � I��#3E�H � ��E�H � IN�E�H � IN3;E�H � E H< �23�

Donde N� � ��#�� #3� OPQR�Q�R�Q BP B��:PO��ó� BPT P��Q�UO N3 � ��#3 OPQR�Q�R�Q BP VQW�P��XQR�ó�

Con el circuito del rotor cortocircuitado, �/ � �0 � 0. Así en el rotor se tiene

�/ � 0 � � �/ � ��;#��0 � #3�0�<

�0 � 0 � � �0 � ��#��/ � #3�/��

En forma fasorial

L H � 0 � � � E H � IN E H � IN3;E�H � E H< �24�

Donde N � ��# � #3� OPQR�Q�R�Q BP B��:PO��ó� BPT OU�UO

2.1.5. Circuito Equivalente

Las ecuaciones 23 y 24 representan el funcionamiento en estado estable de la máquina de inducción. Esas ecuaciones pueden ser representadas mediante el circuito equivalente de la figura 6.


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Figura 6. Circuito Equivalente de una máquina de inducción trifásica

En el circuito equivalente todas las cantidades han sido referidas al lado del estator. La dirección de la corriente mostrada es positiva cuando se opera como motor, en este caso el deslizamiento es positivo. La potencia en el entrehierro del rotor es

��Y � �� E 5

La pérdida de potencia en la resistencia del rotor es

�Z � � E 5 Por lo tanto, la potencia mecánica transferida al eje es

��[ � ��Y � �Z � � 1 � �

� E 5

El torque electromagnético desarrollado por el motor es

?@ � 3��[�3

Como

�3 � � 2��

� ��1 � �� 2��

?@ � 3 · �� · � · E 52 · � · ��

�25�

2.1.6. Característica del la curva Torque - Deslizamiento

El circuito equivalente de la figura 6 puede ser simplificado reemplazando el circuito de la izquierda de los nodos a y a’ por su equivalente Thevenin, como se muestra en la figura 7

XsRs Xr

Xm Rs /s

IS

a

a'

Pag

Vs


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XeRe Xr

Rs /s

a

a'

Pag

Ve

Ir

L@ � IN3 · L�� I�N� � N3�

�@ � IN@ � IN3�� IN�� I�N� � N3�

Figura 7. Circuito Equivalente adecuado en la evaluación Torque - Deslizamiento De la figura 7, la corriente del rotor es

E H � L@H��@ � � /�� I�N@ � N � �26�

Reemplazando la ecuación 26 en 25

?@ � 3 · �� · � 2 · � · ��

L@H 5

��@ � � /��5 � �N@ � N �5 �27�

La figura 8, muestra la relación típica entre el torque y el deslizamiento. Al inicio de operación la velocidad es cero y el deslizamiento es igual a 1 p.u. Entre cero y la velocidad sincrónica, la máquina funciona como motor. Más alla de está velocidad, el deslizamiento es negativo y la máquina opera como generador.

Figura 8. Característica Mecánica de la Máquina de Inducción

El torque máximo ocurre cuando


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� � � \]

Donde

\^ � _�@5 � �N@ � N �5

Por lo tanto, el deslizamiento en p.u. en el torque máximo es

�`3�a � � \]

Reemplazando en la ecuación 27, el torque máximo es

?3�a � 3 · ��2 · ��

0.5 · L@H 5

�@ � \] � 3 1�3�

0.5 · L@H 5

�@ � \] �28�

Donde �� 2c� y �3� es la velocidad de sincronismo en radianes mecánicos por segundo.

modelo del motor de inducción

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