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Modelo de transporte

Ing. León A. Colina B.

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El problema de transportación es un tipo de modelo de redes de distribución que utiliza las características especiales de dicha estructura para obtener un procedimiento de resolución específico denominado técnica de transporte.

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Definición:Definición:

El modelo de transporte se puede definir como una técnica que busca determinar un programa de transporte de productos o mercancías desde los orígenes hasta los diferentes destinos al menor costo posible.

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Objetivo

En términos de programación lineal, la técnica de transporte busca determinar la cantidad que debe ser enviada desde cada origen a cada destino para satisfacer los requerimientos de demanda y abastecimiento de materiales a un costo mínimo.

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Aplicaciones a casos como:• Control y diseño de plantas de fabricación.• Determinar zonas o territorios de ventas.• Determinación de centros de distribución o

almacenamiento.• Programación de producción periódica.• Decisiones de producción en tiempo extra y en

tiempo normal.• Problemas de proveedores de empresas

manufactureras o de servicios.

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Modelo de transporteLos supuestos considerados como desventajas son:1. Los costos de transporte son una función lineal del

número de unidades.2. Tanto la oferta como la demanda se expresan en

unidades.3. Los costos unitarios de transporte no varían de

acuerdo con la cantidad transportada.4. La oferta y la demanda deben ser iguales.5. Las cantidades de oferta y demanda no varían con el

tiempo.6. No considera más efectos para la localización que los

costos del transporte.

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Representación grafica del Modelo de transporte

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Parámetros del Modelo de transporte:

ai : restricciones de máxima oferta o capacidad de los centros de producción, distribución o almacenaje.

bj: requerimientos mínimos de demanda, y representan las necesidades mínimas que tienen los destinos j que hay que satisfacer en el menor tiempo posible.

n : número total de destinos a los que hay que transportar las unidades.

m : número de fuentes o centros de distribución.Xij : número de unidades que hay que transportar

del origen i al destino j.Cij : costo unitario de transporte del origen i al

destino j.

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Formulación del Modelo de Transporte

Indicador desuministro

Indicador dedemanda

Xij; cantidad que se transporta desde el origen i, al destino j

i= 1,2,…, m j= 1,2,…, n

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Formulación del Modelo de Transporte

cx ij

m

i

n

jijZ

1 1(min)

n

jj

m

iiij

m

iijij

n

jij babxax

1111;;

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Modelo de transporte balanceado

El modelo de transporte debe estar balanceado para que pueda ser solucionado por medio de la herramienta de transporte.

Consiste en agregar una restricción en la que se debe cumplir que las cantidades totales ofrecidas deben ser iguales al total de las unidades demandadas.

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Modelo de transporte balanceado

XC IJ

m

i

n

jIJZ

1 1(min)

n

jj

m

iijj

m

iiji

n

jij babxax

1111;;

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Tabla de transporte

ai

c11

x11

c12

x12

. c1n

x1n

A1

c21

x21

c22

x22

. c2n

x2n

A2

. . . . .

cm1

xm1

cm2

xm2

. cmn

xmn

am

b1 b2 . bn

b j

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Prerrequisitos de diseño de la tabla de transporte

Un modelo de transporte desbalanceado puede ocurrir por dos situaciones:

a. Suministro en exceso y demanda insuficiente.b. Demanda en exceso y suministros insuficientes.

En estas situaciones es necesario agregar un destino (a) o un origen (b) para balancear el modelo con unos Cij iguales a cero, ya que se convierten las celdas del renglón o columna ficticia en variables de holgura con contribución de cero.

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Solución al modelo de transporte

Entre los métodos de transporte que conforman la técnica de transporte se tienen:

• Método de la esquina noroeste.

• Método de la celda de mínimo costo

• Método de aproximación de Vogel (MAV)

• Método modificado de distribución (MODI)

• Método del cruce del arroyo

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Solución óptima

La técnica de transporte es un conjunto de métodos que permiten obtener una solución inicial no óptima o la solución óptima, dependiendo del método que se utilice.

Una solución óptima es aquella en la cual:

1) Cada valor Xij es entero no negativo.2) Los valores Xij de cada fila se suman para verificar la equivalencia con la oferta de cada origen.3) Los valores de los Xij de cada columna se suman para verificar la equivalencia con la demanda de cada origen.

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Procedimiento general

PASO 1• Consiste en encontrar un plan de transporte

inicial con m + n - 1 celdas asignadas, utilizando la Esquina noroeste, Costo mínimo o Método de aproximación de Vogel (MAV).

PASO 2• Prueba de optimalidad. Esta prueba consiste en

identificar la posibilidad de crear un nuevo plan de transporte enviando una unidad de una celda vacía actualmente e incurrir en menor costo total.

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Prueba de optimalidada) Calcular los costos reducidos para las celdas vacías. El costo reducido representa la cantidad en la cual cambia el costo total al enviar una unidad por una celda vacía.Un valor positivo indica un incremento en el costo total; un valor negativo indica una disminución del costo y, por tanto, una mejora del plan.b) Verificar los costos reducidos. El plan actual es óptimo únicamente cuando todos los costos reducidos sean positivos.

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Procedimiento general

PASO 3• Traslado.

Cuando una solución no es óptima, se debe encontrar un nuevo plan a partir de las celdas vacías cuyo costo reducido sea el más negativo.Los detalles matemáticos de este algoritmo se presentan conforme se desarrolla.

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Método de la esquina noroeste

Procedimiento• El procesador se debe ubicar en la celda

superior izquierda, y asignar la mayor cantidad posible.

• Hacer las demás asignaciones recorriendo la ruta vertical u horizontalmente que satisfagan la demanda de izquierda a derecha, y las ofertasde arriba hacia abajo.

• Obtener el valor total de transportación estimando Z:


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DestinoOrigen 1 2 3 Oferta

A10 8 4

45

B9 5 7

50

C3 6 9

45

D5 7 6

30

Demanda 90 30 50 170

22


A 4510

x8

x4

45

B9 5 7

50

C3 6 9

45

D5 7 6

30

Demanda 90 30 50 170


23


A 4510

x8

x4

45

B 459

55

x7

50

C x3 6 9

45

D x5 7 6

30

Demanda 90 30 50 170


24


A 4510

x8

x4

45

B 459

55

x7

50

C x3

256 9

45

D x5

x7 6

30

Demanda 90 30 50 170


25


A 4510

x8

x4

45

B 459

55

x7

50

C x3

256

209

45

D x5

x7

306

30

Demanda 90 30 50 170


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m + n – 1 = ?

4 + 3 – 1 = 6 cumple con al menos una

Z(min) = X11C11+X21C21+X22C22+X23C23+X33C33+X43C43

Z(min) = 45x10 + 45x9 + 5x5 + 25x6 + 20x9 + 30x6

Z(min) = 1390


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Solución básica factible de optimalidad

Un orden secuencial de al menos cuatro celdas distintas se denomina looploop si:

1. Dos celdas consecutivas están en la misma columna o en la misma fila.

2. No tiene tres celdas consecutivas en una misma columna o en una misma fila.

3. La última celda de la secuencia tiene una fila o columna común con la primera celda de la secuencia.

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Solución básica factible de optimalidad

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Prueba optimalidad con el cruce del arroyo

Procedimiento

PASO 1• Verificar que el número de asignaciones de la

solución, por cualquiera de los métodos descritos antes, sea igual a m + n -1,

Si el número de asignaciones es menor agregue ceros encerrados en un círculo, dependiendo del número faltante para igualar a m + n -1.

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PASO 2• Hallar los costos reducidos de las variables no

básicas, o celdas vacías, haciendo circuitos cerrados con signos más (+) y menos (-), comenzando en una celda vacía con signo más (+) y continuando por celdas llenas hasta cerrar el circuito con signo menos(-).

• Los costos reducidos serán el resultado de determinar la suma algebraica de los costos del circuito, es decir, donde haya signo positivo se suma, y donde haya menos se resta.

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PASO 3

• Probar la optimalidad de la solución así: Si todos los costos reducidos son positivos, entonces se tendrá la solución óptima, y en tal caso se estima Z j; si, por el contrario, aparecen costos reducidos negativos, vaya al paso 4.

PASO 4

• Hacer un cambio de rutas de transportación, seleccionando el costo reducido negativo más alejado de cero,y procediendo a seleccionar el valor menor con signo negativo dentro del circuito correspondiente, para sumado y restado, según el signo.

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A -4510

+A-28 4

45

B +459

-55 7

50

C3 6 9

45

D5 7 6

30

Demanda 90 30 50 170

Prueba de optimalidad - Cruce

A-2 = +8-10+9-5 = 2

33


A -4510 8

+A-34

45

B +459

-55 7

50

C3

+256

-209

45

D5 7 6

30

Demanda 90 30 50 170


A-3 = +4-10+9-5+6-9 = -5

34


A10 8 4

45

B9

-55

+B-37

50

C3

+256

-209

45

D5 7 6

30

Demanda 90 30 50 170


B-3 = +7-5+6-9 = -1

35


A10 8 4

45

B -459

+55 7

50

C +C-13

-256 9

45

D5 7 6

30

Demanda 90 30 50 170


C-1 = +3-9+5-6 = -7

36


A10 8 4

45

B -459

+55 7

50

C3

-256

+209

45

D +D-15 7

-306

30

Demanda 90 30 50 170


D-1 = +5-9+5-6+9-6 = -2

37


A10 8 4

45

B9 5 7

50

C3

-256

+209

45

D5

+D-27

-306

30

Demanda 90 30 50 170


D-2 = +7-6+9-6 = 4

38

Cálculo de costos reducidos

A-2 = +8-10+9-5 = 2A-3 = +4-10+9-5+6-9 = -5B-3 = +7-5+6-9 = -1C-1 = +3-9+5-6 = -7D-1 = +5-9+5-6+9-6 = -2D-2 = +7-6+9-6 = 4

Negativo mas alejado

de cero

39


A10 8 4

45

B 45-25-9

5+25+6

7

50

C 25+3

25-25-6 9

45

D5 7 6

30

Demanda 90 30 50 170

Prueba de optimalidad – Cruce

40


A 4510 8 4

45

B 20-9

30+6

7

50

C 25+3

0-6

209

45

D5 7

306

30

Demanda 90 30 50 170


41

Cálculo 2 de costos reducidos

A-2 = +8-10+9-5 = 2A-3 = +4-10+3-9 = -12B-3 = +7-9+3-9 = -8C-2 = +6-5+9-3 = 7D-1 = +5-3+9-6 = 5D-2 = +7-6+9-3+9-5 = 11


de cero

42


A 45-20-

108

20+0+4

45

B 209

306 7

50

C 45+3

06

20-20-9

45

D5 7

306

30

Demanda 90 30 50 170


43


A-2 = +8-10+9-5 = 2

B-3 = +7-4+10-9 = 4

C-2 = +5-5+9-3 = 7

C-3 = +9-3+10-4 = 12

D-1 = +5-10+4-6 = -7

D-2 = +7-5+9-10+4-6 = -1


de cero

44


A 25-25-

108 20+

25

+4

45

B 209

306 7

50

C 453 6 9

45

D 0+25+5 7

30-25-6

30

Demanda 90 30 50 170


45


A-1 = +10-5+6-4 = 7

A-2 = +8-4+6-5+9-5 = 9

B-3 = +7-9+5-6 = -3

C-2 = +6-3+9-5 = 7

C-3 = +9-3+5-6 = 5

D-2 = +7-5+9-5 = 6


de cero

46


A10 8

454

45

B 15-9

306

5+7

50

C 453 6 9

45

D 30+5 7 -6

30

Demanda 90 30 50 170


47

Cálculo 5 de costos reducidosA-1 = +10-9+7-4 = 4

A-2 = +8-4+7-5 = 6

C-2 = +6-5+9-3 = 7

C-3 = +9-7+9-3 = 8

D-2 = +7-5+9-5 = 6

D-2 = +6-5+9-7 = 3


Z(min) = 45x4 + 15x9 + 30x5 + 5x7 + 45x3 + 30x5

Z(min) = 785

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Método de aproximación de Vogel

Procedimiento:

a.Determine una penalización para cada renglón o columna restando los dos costos menores de ese renglón o columna. Las penalizaciones se notan Ari y ACi

b.Determine la mayor penalización, rompiendo arbitrariamente los empates; puede señalar con un asterisco la mayor penalización.

c. Asigne la mayor cantidad posible a la variable con el costo unitario mínimo de ese renglón o columna seleccionado (a).

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Método de aproximación de Vogel

Procedimientod.Elimine el renglón y/ o columna satisfecho

llenando de ceros las celdas vacías deese renglón o columna, a fin de no tenerse en cuenta para cálculos futuros.

e.Si sólo queda un renglón o columna sin eliminar, continúe con el método de costo mínimo para balancear el sistema.

f. En caso de que no se cumpla el literal e, vaya al literal a.

g. Halle el valor de la función objetivo.

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1 2 3 Oferta AC1 AC2 AC3 AC3

A0

10

0

845

4 45 8-4=4*

B15

930

55

7 50 7-5=2 7-5=2 7-5=2

C45

30

60

9 45 6-3=3 6-3=3*

D30

50

70

6 30 6-5=1 6-5=1 6-5=1

Demanda 90 30 50 170

AR1 5-3=2 5-6=1 6-4=2

AR2 5-3=2 6-5=1 7-6=1

AR3 9-5=4* 7-5=2 7-6=1

AR4

51

Cálculo para probar la optimalidad

A-1 = +10-9+7-4 = 4

A-2 = +8-5+7-4 = 6

C-2 = +6-5+9-3 = 7

C-3 = +9-7+9-3 = 8

D-2 = +7-5+9-5 = 6

D-3 = +6-7+9-5 = 3


Z(min) = 45x4 + 15x9 + 30x5 + 5x7 + 45x3 + 30x5

Z(min) = 785

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Método simplex del problema de transporte

PASO 1a. Determinar un índice para cada renglón (U i para el i -ésimo renglón) y uno para cada columna (Vi para la j- ésima columna) de forma tal que:Ui+Vj=Cij

Cij: son los costos unitarios de las variables básicas.U1 + V1 =C11

U2 + V2 =CI2

. .Ui+Vj=Cij

. .Um+Vn =Cmn

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b. Hacer Ui o Vj (una variable cualquiera) igual a 0,a fin de poder calcular las

demás ecuaciones.

Como se puede observar, siempre quedará una ecuación con una sola variable.

Calculando todos los Ui y los Vj se continúa con el paso 2.

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PASO 2c. Determinar los costos marginales para las celdas vacías (variables no básicas).ACij=Cij - (Ui + Vj) Recuerde que ACijes el equivalente en el simplex al costo reducido Cj - Zj

d. Si todos los costos marginales son cero o positivos, determinar la solución óptima con la fórmula:

Si no, seleccione el costo marginal más negativo. Los empates se pueden romper arbitrariamente.

XC IJ

m

i

n

jIJZ

1 1(min)

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e. Diseñe un circuito cerrado con signos + y -, partiendo de la celda con marginal negativa seleccionada, con signo + y los demás por celdas llenas (este paso permite seleccionar la variable que sale y la que entra a la base).f. Seleccionar la asignación menor de los signos negativos y sumada y restada de acuerdo a los signos del circuito.g. Vaya al literal a.

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A10 8

454

45

B 15-9

306

5+7

50

C 453 6 9

45

D 30+5 7 -6

30

Demanda 90 30 50 170


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DestinoOrigen

V1 V2 V3 Oferta

U1

10 8

454

45

U2 159

306

57

50

U3 453 6 9

45

U4 305 7 6

30

Demanda 90 30 50 170


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Plantear las ecuaciones

U1 + V3 = 4 (1) SI U1= 0

U2 + V1 = 9 (2) U2= 3 V1=6

U2 + V2 = 6 (3) U3=-3 V2=3

U2 + V3 = 7 (4) U4=-1 V3=4

U3 + V1 = 3 (5)

U4 + V1 = 5 (6)

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Determinar los costos marginales de las celdas vacías

AC11=C11-(U1-V1)=10-(0+6) =4

AC12=C12-(U1-V2)= 8-(0+3) =5

AC32=C32-(U3-V2)= 6-(-3+3) =6

AC33=C33- (U3-V3)= 9-(-3+ 4)=8

AC42=C42- (U4-V2)= 7-(-1+3) =5

AC43=C43- (U4-V3)= 6-(-1+4) =3

Todas las ACIJ son positivas, se ha alcanzado el óptimo.

modelo de transporte ing. león a. colina b.. 2 modelo de transporte el problema de transportación...

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