MODELO DE PARÁMETROS CONCENTRADOS DEL NÚCLEO DE UN REACTOR NUCLEAR LWR EN MODELICA

Rafael J. Caro Alumno predoctoral del Dpto. Informática y Automática, UNED. C/Juan del Rosal 16, 28040 Madrid.

e-mail: RafaelJ.Caro@telefonica.net

Alfonso Urquia, Sebastián Dormido Dpto. Informática y Automática, UNED. C/Juan del Rosal 16, 28040 Madrid.

e-mail: {aurquia, sdormido}@dia.uned.es

Resumen En las páginas siguientes se exponen los fundamentos físicos y matemáticos que rigen algunos de los fenómenos característicos asociados al núcleo de los Reactores Nucleares Térmicos de Agua Ligera y se plantean las aproximaciones clásicas utilizadas en su estudio. A partir de las ecuaciones obtenidas se utiliza el paradigma de orientación a objetos aplicado al modelado de sistemas dinámicos basado en leyes físicas, desarrollando los modelos y ejecutando las simulaciones con Modelica 3.1 y Dymola 5.0. Se validan los resultados obtenidos contrastándolos con las referencias presentadas. Palabras Clave: Simulación, Modelo, Orientación a Objetos, Reactores Nucleares, LWR, Difusión Neutrónica, Venenos, Termohidráulica, Cinética puntual. Parámetros concentrados. 1 INTRODUCCION El objetivo del presente artículo es mostrar cómo se puede utilizar el paradigma de orientación a objetos para desarrollar los rudimentos de una librería de modelos de un sistema cuyo comportamiento se describe mediante leyes físicas [3], en concreto de los fenómenos asociados a los núcleos de reactores nucleares. Utilizando para ello las posibilidades [4], [5] que nos brinda el entorno Dymola–Modelica. Se pone especial atención a los aspectos neutrónicos fundamentales [2], [9], a su introducción, modelado y simulación, en contraste con otras librerías [1] que recientemente han tratado el tema considerando la planta completa y su control. Plantearemos modelos de parámetros concentrados que nos permitirán el análisis de algunos de los fenómenos más característicos de entre los muchos que se pueden estudiar relativos al comportamiento de un reactor nuclear térmico moderado y refrigerado con agua ligera (LWR) [6], [7], [8]. Con este fin, en primer lugar se hace una breve introducción de los argumentos

necesarios para la descripción matemática del campo de modelación. La descripción de los fundamentos y ecuaciones nos permitirá, en el paso siguiente, la aplicación de la Metodología de Orientación a Objetos [10], [11] y [12] para obtener los modelos, componentes de la librería. Así, una vez desarrollados los modelos de los componentes elementales, éstos se irán integrando en modelos cada vez más completos hasta permitir un estudio dinámico de tres aspectos relevantes elegidos por su representatividad de los fenómenos que acaecen en el núcleo. Procederemos a continuación a la simulación y validación de los resultados obtenidos frente a tendencias y valores de referencia. Se concluye con una breve valoración del resultado y un planteamiento del trabajo a desarrollar en las siguientes etapas. 2 FUNDAMENTOS Y ECUACIONES Procedemos a desarrollar una introducción de los conceptos fundamentales asociados al campo de modelación, partiendo de los fenómenos elementales y desarrollando las aproximaciones necesarias para cubrir el alcance previsto. Comenzamos con la Teoría del Transporte, [2], [9] planteando las dificultades asociadas, a continuación la Aproximación de Difusión que incluye la Fórmula de los 6 Factores, se prosigue con la presentación de la Ecuación de la Cinética Puntual [6], [7] y, por fin, la introducción de los fenómenos de la Dinámica que se van a modelar; la respuesta a las Barras de Control, la influencia de la evolución del Xenon y el efecto Doppler [8]. 2.1 TEORÍA DEL TRANSPORTE Al interaccionar un neutrón con un núcleo fisionable, existe una cierta probabilidad, dada por la sección eficaz microscópica de fisión σf, de que dicho núcleo se rompa produciendo fragmentos de fisión, neutrones, radiación y energía.

Si el proceso descrito tiene lugar en un medio en el que existen más núcleos fisionables, puede ocurrir que alguno de los neutrones emitidos en la fisión impacte con uno de estos núcleos circundantes, generando a su vez más fragmentos de fisión, más energía y también más neutrones, es decir, originando una reacción en cadena. Cuando la distribución de núcleos fisionables, en una región en la que se producen fisiones, es adecuada, la reacción en cadena podrá ser automantenida. En estas circunstancias, cuando la población de neutrones es constante, es decir, si por cada neutrón absorbido se produce al menos otro neutrón, diremos que el sistema multiplicador de neutrones es crítico. El caso en el que se producen menos de los que se pierden se denomina subcrítico y será supercrítico cuando se produzcan más de los que se absorben. Aunque no se puede determinar cual va a ser la dirección ni la energía de un neutrón después de colisionar con núcleo del medio por el que se propaga, siempre ocurrirá que, considerando un gran número de neutrones, estos se desplazarán de las zonas en las que la densidad es alta hacia aquellas en las que la densidad es menor, originando la dependencia espacial de la densidad neutrónica. Es un proceso denominado Difusión, cuyas leyes son sencillas y bien conocidas. Por otra parte, los neutrones de fisión nacen como rápidos, cediendo su energía cinética al medio mediante colisiones elásticas hasta alcanzar el equilibrio térmico. Esto determina un proceso conocido como Moderación, que provoca la dependencia energética de la población neutrónica. Así, las ecuaciones que han de describir el comportamiento de la población neutrónica tendrán un una doble dependencia, espacial y energética. Para tratar el proceso de Difusión Neutrónica de forma completamente rigurosa se procede de forma análoga al estudio clásico de la difusión gaseosa. El procedimiento consiste en considerar un volumen diferencial y obtener las ecuaciones correspondientes a las diversas contribuciones neutrónicas al mismo. La suma algebraica de estas contribuciones proporcionará la variación total de la población neutrónica del elemento diferencial en el tiempo, expresando el balance neutrónico del elemento de volumen. La ecuación resultante se denomina Ecuación del Transporte, que no vamos a deducir [9], [2] pero de la que presentamos a continuación una expresión muy general:

''),',',()',';(

''),',',()',',()(

),,,(),,(

),,,(),,,()(

1

''

''

dEdtErEEr

dEdtErErE

tErEr

tErdt

tErdEv

Es

Et

t

ΩΩΩ→Ω→Σ+

+ΩΩΩΣ+

+ΩΩΣ−

−Ω∇⋅Ω−=Ω

∫∫

∫∫

Ω

Ω

φ

φυχ

φ

φφ

(1)

Dónde el primer término es la variación total de neutrones en el elemento de volumen. El segundo y el tercero representan las pérdidas; el segundo las fugas y el tercero la velocidad de desaparición de neutrones debido a las interacciones de dispersión y absorción, por lo que Σt será la sección eficaz total. Los dos últimos términos representan las contribuciones positivas al volumen diferencial: el cuarto es la contribución de neutrones de energía E’ y dirección Ω’ arbitrarias, que producen por fisión neutrones caracterizados por E y Ω, por ello Σf es la sección eficaz de fisión, φ(r, E, Ω,t) es el flujo angular total, ν es el número de neutrones producidos por fisión y χ(E) será la distribución energética de los neutrones de fisión. El quinto y último término representa la contribución de las dispersiones de todos los neutrones a nuestro volumen diferencial, por ello Σs es la probabilidad de que un neutrón de energía E’ y que se desplaza en dirección Ω’, después de una dispersión esté caracterizado por una energía E y una dirección Ω, es decir, haya ingresado en nuestro volumen elemental. De forma que la Ecuación del Transporte (1), es una ecuación integro-diferencial con condiciones de contorno, no reductible, complicada, que pone de manifiesto las dependencias temporales, espaciales, angulares y energéticas del problema y que se debe aplicar a fenómenos y geometrías complejos, de los que no se tienen generalmente todos los datos, como son aquellos asociados a los núcleos de los reactores nucleares. Sólo es soluble por métodos analíticos en situaciones específicas y muy simplificadas. 2.2 APROXIMACIÓN DE DIFUSIÓN Se aborda el problema mediante aproximaciones que aunque en ocasiones puedan parecer excesivamente drásticas, tienen justificación teórica y producen resultados que se compadecen adecuadamente con las medidas experimentales. La más simple es la Aproximación de Difusión para un solo grupo energético, en la que hacemos las siguientes hipótesis: I. Consideramos que todos lo neutrones poseen la

misma energía, que esta en el rango térmico, es decir en equilibrio con el medio, por lo que las dispersiones que sufren no modifican su energía.

II. La dispersión neutrónica es isótropa. Para que pueda aplicarse la Aproximación de la Difusión es necesario que exista un cierto gradiente de la concentración, de forma que pueda aplicarse la conocida ley de Fick:

),()( trDrJ φ∇⋅−= (2) A partir de lo anterior podemos expresar las fugas del elemento diferencial como:

),(2 trD φ∇⋅− (3) y por tanto, el balance neutrónico del mismo podrá escribirse ahora como:

StrtrtrDdtdn

fa +Σ⋅+Σ−∇−= ),(),(),(2 φνφφ (4)

Es la Ecuación de Difusión, en la que se ha utilizado que φ = n·v, y en la que no existe ya dependencia energética ni angular, de forma que el primer término es la variación total de neutrones en el elemento de volumen. El segundo y el tercero representan las pérdidas; el segundo las fugas y el tercero la velocidad de desaparición de neutrones debido a las absorciones. Los dos últimos términos representan las contribuciones positivas al volumen diferencial: el cuarto es la contribución de neutrones de fisión, ν es el número de neutrones producidos por fisión y Σf la sección eficaz de fisión. El quinto y último término representa la contribución de fuentes externas de neutrones. 2.2.1 Fórmula de los 6 factores Una vez planteadas las ecuaciones básicas que rigen la evolución de la población neutrónica, vamos a ver cómo se analiza la influencia del medio por el que se propagan. Una forma de caracterizar un medio multiplicador de neutrones es el parámetro K∞ o Factor de Multiplicación Infinito, que se define como el cociente entre los neutrones producidos en una generación y los absorbidos en la generación anterior, en un medio infinito. Según lo dicho anteriormente, esto implica que para un medio infinito, la condición de criticidad será: K∞ = 1. Si el medio es finito, algunos neutrones escaparán del mismo sin ser absorbidos, no pudiendo por tanto contribuir al mantenimiento de la reacción en cadena. Para caracterizar estos medios finitos se utiliza la Kef definida como la fracción entre los neutrones producidos en una generación y los absorbidos o fugados en la generación anterior. Así

Kef = K∞ · P (5) Donde P es la Probabilidad de Permanencia. Para determinar la K∞ estudiaremos de forma muy escueta las distintas vicisitudes que pueden acaecer a un neutrón tipo a lo largo de su ciclo de vida, es decir en una generación, en un reactor infinito. Para ello supongamos un tiempo t0 inicial en el que disponemos de n neutrones térmicos dispuestos a ser absorbidos en el combustible. Si definimos η como el número de

neutrones liberados por fisión por cada neutrón térmico absorbido en el combustible, entonces tendremos que a partir de n se producirán n·η neutrones rápidos liberados por fisiones térmicas. A su vez, estos neutrones liberados tienen una cierta probabilidad de producir fisiones en los primeros estadios del proceso de moderación, es decir, con energías aún elevadas; si denominamos ε al Factor de Fisión Rápida, tendremos un total de n·η·ε neutrones rápidos liberados dispuestos a moderarse. De todos estos neutrones que comienzan el proceso de moderación sólo algunos llegan a térmicos ya que en el proceso algunos son absorbidos en reacciones que no producen fisión, por lo que pierden la posibilidad de contribuir a la reacción en cadena. La más importante es la absorción en los denominados picos de resonancia, si p es la probabilidad de escape a la resonancia, tendremos un resultado de n·η·ε·p neutrones que llegan a térmicos, dispuestos a ser absorbidos en el núcleo. Considerando, a través del Factor de Utilización Térmica f, que algunos de los que llegan a térmicos son absorbidos como tales en otros materiales del núcleo, distintos del combustible obtendremos n·η·ε·p·f neutrones térmicos, dispuestos a ser absorbidos en el combustible cerrando así el ciclo de una generación. A partir de la definición del Factor de Multiplicación infinito obtendremos, por fin, que

K∞ = η · ε · p · f (6) El caso que nos ocupa es el de reactores térmicos en el cual se considera una buena aproximación trabajar con dos grupos de energía, uno correspondiente a las energías elevadas de los neutrones de fisión y otro asociado a los que una vez moderados son ya térmicos. Dividiremos por tanto la probabilidad de escape en dos:

P = Pr · Pt (7) Dónde Pr es la probabilidad de escape cómo rápido y Pt la correspondiente probabilidad de escape como térmico. En los reactores térmicos que estamos analizando, la probabilidad de escape depende fundamentalmente de tres factores: - La relación forma / volumen, BBg. - La longitud de moderación rápida, Lm - La longitud de moderación térmica, Ld. Las expresiones matemáticas resultan como sigue:

22mg LB

r eP −= (8)

2211

dgt

LBP

+= (9)

La relación forma/volumen interviene a través del factor de forma, que para un reactor cilíndrico de radio R y altura h, es:

22405.2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎝⎛=

hRBg

π (10)

Y la caracterización completa de la capacidad multiplicadora del núcleo se define por

Kef = η · ε · p · f · Pr · Pt (11)

En muchos análisis en lugar del Factor de Multiplicación se utiliza la Reactividad, que se define como el cambio fraccional de población neutrónica en el tiempo,

ef

ef

KK 1−

=ρ (12)

2.3 CINÉTICA Aunque se pretende que la mayor parte de su vida un reactor esté en estado estacionario, son fundamentales y no infrecuentes las situaciones que se caracterizan por la variación del flujo neutrónico en el tiempo. Para caracterizar dichas situaciones, es decir para estudiar la cinética de los sistemas multiplicadores de neutrones, debemos comenzar por distinguir entre dos tipos de neutrones: instantáneos y retardados. Cuando se produce una fisión, se producen fragmentos del núcleo original, denominados productos de fisión, se genera energía y de forma instantánea - o casi – se liberan neutrones; son los denominados neutrones prontos o instantáneos. Estos neutrones se emiten dentro de unos 10-14 segundos tras la fisión. Los fragmentos de fisión son muy inestables y tienden a la estabilidad emitiendo alguno de sus neutrones en exceso hasta 12 segundos después de la fisión, éstos son los denominados neutrones retardados, y aunque representan menos del 0.5% del total, son fundamentales para el control del Reactor. Denominando β a la fracción de neutrones retardados, la fracción de los instantáneos será 1-β y su velocidad de producción podrá escribir:

)1(K βφ −⋅⋅Σ⋅∞ f (13)

Por otra parte, si Ci es la concentración de los productos de fisión que producen por desintegración, los neutrones retardados, podremos representar la velocidad de formación de estos neutrones por:

ii

iC∑=

6

1

λ (14)

Cuando estudiábamos la capacidad multiplicadora de un medio, partíamos de un neutrón térmico y analizábamos las distintas vicisitudes que podían acontecerle a través de un ciclo de vida hasta que volvíamos a tener un neutrón térmico en las mismas condiciones que el que consideramos originalmente. Esto nos proporciona una idea de la magnitud del cambio, ya que en este ciclo vemos cómo incrementa o decrementa la población de neutrones. Para la caracterización cinética necesitamos además de la magnitud del cambio, el tiempo que tarda en producirse el mismo. En este caso el tiempo desde que tenemos un neutrón térmico hasta que, después de completar un ciclo, volvemos a tener un neutrón térmico, se denomina tiempo de generación y se representa por l*. Así, introduciendo este tiempo de generación, la reactividad y considerando (5) y (6) podremos escribir, a partir de la Ecuación de Difusión (4),

[ ]

iiai

ii

i

Cdt

dC

Cnldt

dn

λφβ

λβρ

−Σ=

+−

=

∞

=∑

K

6

1*

(15)

Este sistema de ecuaciones diferenciales lineales define el denominado Modelo de la Cinética Puntual, en el que se ha supuesto una variación suave del flujo, que implica la misma variación en todos los puntos del reactor, por tanto, es un modelo de parámetros concentrados. Es el fundamento de la cinética de reactores, y constituirá, como vamos a ver, la base de nuestros modelos. 2.4 DINÁMICA Puede decirse que el nivel más completo de nuestro conocimiento de los fenómenos asociados al núcleo de un LWR es el análisis proporcionado por la Dinámica, ya que incluye la influencia recíproca de la neutrónica y los diversos efectos que se producen en los materiales que constituyen el núcleo. La Dinámica nos permite predecir cómo la variación de diversos parámetros afectarán a las propiedades multiplicadores del medio y por tanto como variarán el flujo y la potencia frente a los cambios. Es decir nos permitirá controlar la generación de potencia. La potencia de un Reactor es proporcional a la masa de combustible, a la sección eficaz de fisión Σf y al flujo neutrónico, ф, siendo este último el que se manipula para llevar a cabo el control. El estudio de la dinámica pretende comprender cómo responde este flujo frente a variaciones de parámetros como la Kef, , la temperatura o del grado de envenenamiento. Analizaremos el cambio en el flujo - y por tanto en la potencia - que producen las variaciones de estos parámetros a través de los cambios en la Reactividad (ρ).

Existen multitud de fenómenos que tienen lugar en el núcleo y que revisten importancia en la evolución dinámica del mismo, de entre todos ellos en este trabajo consideraremos sólo tres que serán prototipo de los análisis que estas herramientas nos permiten realizar. El primero y más simple es la alteración del flujo mediante variaciones discretas de reactividad que modelan de forma elemental la inserción/extracción de barras control, ∆ρbarra. En el segundo se considera un aspecto de la evolución del combustible a través de la generación de Xenón, ∆ρXenon y - por último- el tercero será la temperatura del combustible para cuyo estudio se introduce el concepto de Coeficientes Inherentes, que nos permitirá describir el denominado Efecto Doppler, ∆ρDoppler. Consideraremos, por tanto, la variación de reactividad como suma de tres efectos,

DopplerXenonbarra ρρρρρρρ

Δ+Δ+Δ=ΔΔ+= 0 (16)

Donde ρ0 es la reactividad inicial debida a las propiedades multiplicadoras del medio y ∆ρ será la variación total de reactividad asociada a los distintos efectos estudiados. 2.4.1 Barras de Control En el estado estacionario la potencia es directamente proporcional al flujo neutrónico, por lo que variando éste controlaremos aquella. El control del flujo se lleva a cabo por diversos medios, todos ellos afectan de una u otra forma a la reactividad a través de la modificación de alguno de los componentes del Factor de Multiplicación Efectivo, Kef. Los medios más extendidos en los LWR son las barras de control, el control de caudal de recirculación, los venenos disueltos y los venenos quemables. Se denominan venenos a materiales que poseen gran capacidad de captura de neutrones sin producir fisión, alterando así la economía neutrónica y frenando la reacción en cadena. Consideraremos, como ya hemos mencionado, la inserción y extracción de barras de control a través de incrementos y decrementos discretos de la reactividad, que nos permitirán estudiar la respuesta a dichos cambios en distintas condiciones. Así,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<∀>∀

=Δ0

0

,,0

ttctett

barraρ (17)

2.4.2 Evolución del combustible: Producción de

venenos neutrónicos, el Xenón El segundo de los fenómenos que vamos a tratar aquí, relativo en este caso a la evolución temporal de las propiedades multiplicadoras de los materiales del núcleo, es la producción de venenos neutrónicos por el

propio mecanismo de fisión. El efecto es debido a que algunos de los fragmentos de fisión o de sus productos de desintegración tienen elevadas secciones eficaces de captura. Los dos productos de fisión más importantes a este respecto son el Xenón y el Samario. Plantearemos las ecuaciones del primero, el Xe, cuya importancia para el diseño del núcleo y para la operación del reactor se deriva de la elevada sección eficaz de captura, de la cantidad que se produce y de los tiempos característicos de los procesos de producción y destrucción del mismo. Vamos a ver someramente las ecuaciones que rigen estos procesos. Producción y destrucción: El Xe se produce por dos vías, directamente como producto de fisión, con un rendimiento γXe, ≈ 0.2% y por desintegración de otro producto de fisión, el I136. El Xe desaparece por captura y por desintegración. Producción y destrucción del I136: Dado que produce Xe hay que considerar la evolución de su población. Se genera como producto de fisión con un rendimiento γI y desaparece por decaimiento. Así, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones para describir la evolución de la concentración del Xenón:

( ) ( )

IfII

XeXeXeXeIIfXeXe

Ndt

dN

NNNdt

dN

λφγ

σλλφγ

−Σ=

+−+Σ= (18)

La concentración de Xe afecta a la reactividad a través del factor de utilización térmica y en el caso de un LWR considerado homogéneo podemos estimar[6] que

235Uf

XeXeXenon

N

Σ=Δ

σρ (19)

2.4.3 Coeficientes de Realimentación: Temperatura

del Combustible y Efecto Doppler Vamos a describir brevemente, en primer lugar, el Efecto Doppler y, a continuación, el tratamiento general de las realimentaciones mediante los Coeficientes Inherentes. 2.4.3.1 Efecto Doppler Como veíamos en la descripción de la fórmula de los 6 Factores, de entre las pérdidas de neutrones sufridas durante el proceso de moderación en un medio infinito, la más importante es la absorción en los denominados picos de resonancia. Estos picos son debidos al gran aumento de la probabilidad de captura del neutrón, cuando éste tiene una energía tal que el sistema constituido por núcleo más el neutrón se encuentra en un estado cuántico bien definido.

En lo que afecta a la realimentación, el efecto Doppler deriva de la combinación de dos efectos: El aplanamiento del pico de resonancia con el incremento de la temperatura y el autoapantallamiento. En primer lugar el pico de resonancia sufre un aplanamiento al aumentar la temperatura del combustible. La curva ensancha lateralmente , es decir se incrementa la sección eficaz de captura en los flancos de la misma. Además se reduce la altura del pico, reduciéndose la sección eficaz de captura en el centro de la curva. Se puede demostrar que el área bajo la curva permanece constante.

Figura 1: Autoapantallamiento y aplanamiento del pico de resonancia [2]

En segundo lugar el efecto de autoapantallamiento debido a que el propio incremento de la probabilidad de captura del pico, causa un reducción del flujo en su zona central respecto de la zona de los flancos. La combinación de ambos efectos produce el incremento de capturas con la temperatura que caracteriza al Efecto Doppler. 2.4.3.2 Coeficientes Inherentes Cuando se produce un cambio del flujo neutrónico, se provocan una serie de efectos en los materiales del núcleo, variando algunos parámetros que, a su vez, causan un cambio en la reactividad y, por tanto, tienden a modificar el flujo, oponiéndose al cambio en unos casos, o potenciándolo en otros. Es decir, se producen efectos de realimentación, cuyo estudio es fundamental para garantizar la estabilidad de estos sistemas de producción de potencia. Los parámetros más importantes que se ven alterados por los cambios de flujo - o lo que es lo mismo, de la potencia- son la temperatura del moderador, la fracción de huecos y la temperatura del combustible. Para determinar cómo afecta a la reactividad un cambio en uno de estos parámetros, se definen los Coeficientes Inherentes; Coeficiente de temperatura del moderador, Coeficiente de Huecos y Coeficiente Doppler, respectivamente,

Dc

mm TT

αρ

ανρ

αρ

ν =∂∂

=∂∂

=∂∂ ;; (20)

Dada la relación directa que existe entre la potencia y el flujo neutrónico, podemos decir que una variación de la potencia inducirá una inserción de la reactividad dada por,

PT

PPT

Pc

Dm

m ∂∂

⋅+∂∂⋅+

∂∂⋅=

∂∂ ανααρ

ν (21)

Así, podemos definir el Defecto de Potencia sólo Doppler como la inserción de reactividad producida como consecuencia del aumento de temperatura del combustible que provoca una variación de potencia dada,

∫ ∂∂⋅=Δ dP

PTc

DD αρ (22)

Y se trabaja con aproximaciones semiempíricas [7],[8] del tipo,

)( 0TTc cDD −⋅=Δρ (23) Con esto damos por terminada la exposición de los fundamentos físicos generales en los que nos basaremos para el desarrollo de los modelos. El paso siguiente es la descripción del proceso de modelado y de los propios modelos. 3 MODELOS Una vez introducido el campo de modelación, en este punto se trata de describir la aplicación de la metodología al problema que tratamos. Tras una descripción inicial de las bases de la Metodología, exponemos la implementación realizada. 3.1 INTRODUCCIÓN El análisis por reducción es una potente herramienta, que propone la descomposición de un problema complejo en un conjunto partes menores, más simples. La idea es que estos subsistemas serán más fáciles de manejar, y que una vez comprendidas todas las partes, y la relación existente entre ellas, se pueda obtener una comprensión precisa del sistema completo. Es un método jerárquico, en el sentido de que cada parte obtenida de una primera división puede a su vez ser dividida en otras si su complejidad así lo requiere. Para llevar a cabo este tipo de análisis, la Metodología de Orientación a Objetos propone tres etapas: 1. Definición de la estructura del problema e

identificación de sus partes. 2. Definición de la Interacción entre las partes. 3. Definición del comportamiento interno de cada

parte independientemente.

La exposición de los fundamentos y ecuaciones realizada permite ya una primera aproximación a estas etapas propuestas por el paradigma. En primer lugar, la estructura del campo de modelación y la identificación de las partes puede resumirse de forma general como sigue: - Tendremos por una parte un modelo de parámetros

concentrados de la neutrónica del núcleo, que a partir de las propiedades del medio nos permitirá calcular la densidad neutrónica, el flujo o la potencia.

- Dispondremos de modelos que nos permitirán caracterizar el medio a través de la reactividad derivada de sus propiedades geométricas y multiplicadoras de neutrones.

- Y tendremos también un conjunto de modelos que a partir del flujo neutrónico, y de los efectos que éste produce en el medio, modelarán alteraciones de reactividad.

GEOMETRIA ρ0

MEDIO

BARRA DE CONTROL

ρ

Δρ

CINÉTICA PUNTUAL

n(t)

TEMPERATURA COMBUSTIBLE

EVOLUCIÓN XENON

OTROS

En segundo lugar, la interacción entre las partes se deriva de la estructura planteada, de forma que los modelos del núcleo intercambiarán valores de reactividad y concentración de neutrones, flujo o potencia. El comportamiento interno, por último, estará basado en las ecuaciones resultado de las aproximaciones anteriormente descritas. Podemos resumir el planteamiento según se representa en la Figura 2.

Figura 2: Modelo conceptual

Por supuesto, habremos de construir o reutilizar los modelos de todos aquellos fenómenos que van a producir el cambio en las propiedades multiplicadoras del medio. Sin embargo, no todos ellos han sido descritos; por ejemplo hemos apuntado brevemente los mecanismos a través de los cuales el cambio en la temperatura del combustible producirá una variación de reactividad pero es claro que no hemos hecho explícita ninguna explicación relativa a mecanismos de

transferencia de calor o cálculos de temperatura del combustible o del moderador/refrigerante. Esto es debido a que modelaremos estos aspectos, que podríamos denominar como no directamente neutrónicos, mediante la reutilización de otras librerías, de modelos las librerías genéricas o mediante modificaciones de los mismos que permitan el estudio de facetas específicas, propias de este trabajo. 3.2 IMPLEMENTACIÓN Se define primero la Estructura General de la Librería, para después ir describiendo los Package principales. 3.2.1 Estructura General De la descripción realizada de la estructura de los modelos se derivan, de forma más o menos natural, los principales aspectos de la estructura de la librería de modelos, que representamos esquemáticamente en las Figuras 3 y 4.

Figura 3: Estructura de la librería, vista Dymola Desarrollamos los modelos asociados al Núcleo, en el package Nucleo. Los modelos asociados a los principales fenómenos físicos de base, como son los termohidráulicos y la evolución del Xenon-135, se incluyen respectivamente en los package Termohidraulica y Venenos. Los modelos de realimentación que producen dichos fenómenos se contemplan de forma separada en el package Realimentaciones. Cada uno de los componentes de este nivel se estructura a su vez en otros que, en términos generales, se corresponden con los conceptos de Interfaz, Componentes y Pruebas. Aunque como vamos a ver, la concreción de éstos varía en el detalle de cada uno. Se dispone también de un package Pruebas, en el que se encuentran las pruebas de integración y globales de los modelos compuestos. En las Figuras 3 y 4 se presenta la estructura general de la Librería.

Librería

Núcleo TH Xe CoD

Prueba

Medio

Geom.

R

Comp. EvoXe

Prueba

efe_b

Comp.

Prueba

Figura 4: Estructura general de la librería 3.2.2 Núcleo Separamos aquí, como podemos ver en la Figura 5, por una parte los modelos de la cinética del núcleo, los del medio como multiplicador de neutrones y aquellos que dependen de la geometría. En el modelo de parámetros concentrados la interfaz se basa en las clases connector que definen variables de tipo real. Los modelos del medio y la geometría se basan en las ecuaciones (5) a (12). El modelo de la neutrónica presentado, model NUCDIF, se basa en la ecuación de la cinética puntual (16), como ya se ha mencionado, en Aproximación de Difusión con un grupo energético y un grupo promediado de precursores.

Figura 5: Package Nucleo

Se presentan a continuación en el cuadro 1 el modelo del núcleo y en el cuadro 2 los modelos que contemplan el medio y la geometría. model NUCDIF "Nucleo, aproximación de Difusion, 1 grupo" // parameter Real v=2200; parameter Real beta=0.00051; parameter Real l=13; parameter Real l1=0.0001; // Real n(start=10) "Neutrones por cm3"; Real C1(start=1000); // parameter Real f0=1e8 "Fuente externa"; // extends TESIS03.Nucleo.Medio.Ro; Real ro(start=-0.052) "Reactividad"; equation ro = Ro + InPort1.signal[1]; der(n) = f0 + ((ro - beta)/l)*n + l1*C1; der(C1) = -l1*C1 + (beta/l)*n; OutPort1.signal[1] = n; end NUCDIF;

Cuadro 1

package Medio "Caracteristicas nucleares del medio" model Ro "Reactividad" extends TESIS03.Nucleo.Geometria.P; extends TESIS03.Nucleo.Medio.Kinf; Real Kef "Factor de Multiplicacion Efectivo"; Modelica.SIunits.Reactivity Ro; equation // Calculo del Multiplicacion Infinito Kef = Kinf*P; //Calculo del Multiplicacion Efectivo Ro = (Kef - 1)/Kef; end Ro; model Kinf "Calculo del Factor de Multiplicacion Infinito" Real Kinf(start=0.95) "Factor de Multiplicacion Infinito"; parameter Modelica.SIunits.FastFissionFactor epsilon=1.05 "Factor de Fsision Rapida epsilon=1.05"; parameter Real eta=1.79 "Factor de Reproducción eta=1.79"; parameter Real pe=0.931 "Probabilidad de Escape a la Resosnancia pe=0.931"; Real efe=0.55 "Factor de Utilizacion Termica efe=0.817 f=0.55 es subritico pero cercano a critico f=0.6 es supercritico pero poco"; equation Kinf = epsilon*eta*pe*efe; end Kinf; end Medio;

Cuadro 2 3.2.3 Termohidráulica No nos detendremos en la descripción de los modelos, habida cuenta que no es el objeto de este trabajo y que se han reutilizado los de librerías de base preexistentes. Presentamos en la Figura 6 la estructura general y en la Figura 7 los modelos de las pruebas efectuadas a las modificaciones realizadas sobre los modelos para obtener una temperatura media necesaria para el cálculo del efecto Doppler.

Figura 6: Package Termohidráulica

Figura 7: Pruebas de HeatedRod_Tm

La modificación elemental introducida para el cálculo de la temperatura media en el model HeatedRod_Tm se incluye en el Cuadro 3a. // ---- Determine Average Temperature----------algorithm for i in 1:n loop OutPort1.signal[1] := OutPort1.signal[1] + T[i]/n; end for; // ---- Determine Average Temperature-----end

Cuadro 3a Otra modificación introducida, Cuadro 3b, permite el cálculo de la energía térmica a partir de la población neutrónica. model HeatFluxSource "Temperature source" parameter Real k(start=1) "Cte. de conversión de n(neutrones/cm2·seg) a W"; equation surface_b.q = -k*inPort.signal[1]; end HeatFluxSource;

Cuadro 3b

3.2.4 Venenos El modelo de la evolución de la concentración de Xe135, discutida en 2.4.2 y descrita matemáticamente por el sistema de ecuaciones (18), conduce al model EvoXe que se presenta a continuación, en el Cuadro 4, model EvoXe "Evolucion del Xenon" parameter Real GammaXe=0.2 "Fraccion(%) de Xe producido por fision"; parameter Real GammaI=6.1 "Fraccion(%) de Iodo producido por fision"; parameter Real Sigmaf=577e-24 "Seccion Eficaz Macroscopica de Fision del U235(cm)(Aprox.)"; parameter Real sigXe=2.7e-18 "Seccion Eficaz Microscopica del Xe, cm2"; parameter Real sigI=7.0e-24 "Seccion Eficaz Microscopica del I, cm2"; parameter Real LambdaXe=3.01932e-05 "Cte. Desintegracion del Xe(s-1)"; parameter Real LambdaI=4.14594e-05 "Cte. Desintegracion del I(s-1)"; Real P_Xe "Produccion de Xenon"; Real D_Xe "Destruccion de Xenon"; Real NXe(min=0, start=0) "Concentracion de Xe"; Real NI(min=0, start=0) "Concentracion de Iodo"; parameter Real v=1 "velocidad neutronica en cm/seg."; Real n "flujo neutrónico de entrada, aprox 10e14"; equation // Calculo de la concentracion de Xenon n = v*InPort1.signal[1]; // Produccion de Xe P_Xe = GammaXe*Sigmaf*n + LambdaI*NI; // // Destruccion de Xe D_Xe = LambdaXe*NXe + sigXe*NXe*n; // // Balance de Xe der(NXe) = P_Xe - D_Xe; // Balance de Iodo der(NI) = GammaI*Sigmaf*n - LambdaI*NI - sigI*NI*n; // OutPort1.signal[1] = NXe; end EvoXe;

Cuadro 4 3.2.5 Realimentaciones Las ecuaciones (19) y (23) relativas respectivamente a los modelos de realimentación por Xenon y por Temperatura del combustible, dan lugar al model efe_b en el cuadro 5 y al model CoD en el cuadro 6. model efe_b "Calculo del variacion del Factor de Utilizacion Termica por Xe" parameter Real K=1.0 "Cte de ajuste"; parameter Real SaU=0.367 "Seccion Eficaz Macro de Absorcion del Uranio"; parameter Real saXe=2.7e-18 "Seccion Eficaz Micro del Xenon"; parameter Real SaH2O=2.2e-2 "Seccion Eficaz Macro de Absorción del Agua"; Real DN_Xe; Real N_Xe; equation N_Xe = InPort1.signal[1]; DN_Xe = -K*(N_Xe*saXe/SaU);

OutPort1.signal[1] = DN_Xe; end efe_b;

Cuadro 5 model CoD "Componente Coeficiente Doppler de realimentacion de Reactividad" // Co_D unidades en [dk/k)/ºK] // El 460 pasa de grados Farenheit a grados Rankine // parameter Real Co_D=-1.8e-15 "Coeficiente Doppler"; Modelica.SIunits.Reactivity dp_dop "Incremento de Reactividad Doppler"; Modelica.SIunits.Temperature T(start=25) "Temperature of part"; parameter Modelica.SIunits.Temperature Tref(start=25) "Temperature of part"; equation T = InPort1.signal[1]; dp_dop = Co_D*(sqrt(T + 460) - sqrt(Tref + 460)); OutPort1.signal[1] = dp_dop; end CoD;

Cuadro 6 4 RESULTADOS Y VALIDACIÓN Se considera, en el presente trabajo, Pruebas de Verificación a las realizadas con las herramientas que nos proporciona el entorno, Higlight Syntax y Check .

Figura 8: Niveles de Prueba En general, se puede decir que se definen como Pruebas Unitarias a las realizadas sobre componentes aislados, Pruebas Globales a las que aplican a sistemas de varios componentes y de Integración a las realizadas sobre la unión de sistemas. Así, definimos tres niveles de prueba según se indica en la Figura 8; en el primer nivel comprobamos el comportamiento de componentes aislados o de pocos

componentes de un área determinada. En el segundo nivel se trata ya de pruebas a componentes de distintas áreas y ya comprobados previamente y el último nivel en el que se prueban componentes de todos los fenómenos modelados y que utilizamos para validar, contrastando con referencias o confirmando tendencias esperadas. Utilizaremos, por tanto, un modelo del tercer nivel para efectuar las pruebas de Validación y presentar algunos resultados. En concreto el modelo A03 de la Figura 9 que contiene el model NUCDIF ver 3.2.2.

Figura 9: Modelo A03 con Nucdif y HeatedRod_Tm 4.1 INSERCIÓN DE REACTIVIDAD Si producimos un escalón de reactividad mediante el modelo de Barra de Control, se obtienen los resultados representados en la Figura 10, los cuales se consiguen con inserciones de reactividad positiva de Δρ=+ 0.0022(Δk/k) y negativa de Δρ=- 0.0044(Δk/k) .En este caso se comparan los resultados con el gráfico de tendencia de la Figura 11, obtenida de [2]:

Figura 10: Resultados de respuesta frente a escalón

Figura 11: Referencia [2] de respuesta a escalón

4.2 EFECTO DOPPLER Aquí utilizamos un modelo del segundo nivel (A01) para comparar la variación de la población neutrónica con inserciones de Δρ=0.0022(Δk/k) con y sin Doppler. Comprobando simplemente en la Figura 12 que se ajusta a lo esperado, dado que sin Doppler, se observa que el sistema se hace supercrítico, mientras que la contribución Doppler, con una inserción inicial de reactividad igual, evoluciona insertando reactividad negativa suficiente para evitar la criticidad.

4.3 XENON Para las pruebas unitarias, como ya se ha comentado, se utilizan modelos representados en el primer nivel de la Figura 8. Así, por ejemplo podemos validar el modelo de evolución de la concentración de Xenon mediante el model PruebaXe3 del package Venenos representado en la Figura 13.

Parametrizado con los valores que se presentan en las Figuras 14 y 15.

Obtenemos los resultados representados en la Figura 16, en la que se comparan resultados de evolución de reactividad tras disparo a distintos niveles de potencia en las dos gráficas superiores, a la izq., la referencia obtenida de [2], y en la parte inferior se presenta la evolución de la concentración de Xenon, desde arranque hasta después de un disparo, a la izq., la referencia obtenida de [7].

Figura 12: Criticidad con y sin Doppler

Figura 15: Datos de EvoXenon

Figura 13: Prueba Unitaria del Xenon Figura 16: Comparación [2],[7] de Transitorios de Xenon 5 CONCLUSIONES Y FUTURO

TRABAJO En primer lugar, se considera cumplido con éxito el objetivo de desarrollo del núcleo central, o del esbozo, de una librería de modelos Orientada a Objetos que permite aprovechar las ventajas de estas técnicas de la Ingeniería del Software y del Modelado y Simulación de Sistemas a los fenómenos físicos de referencia. Se concluye también, del trabajo realizado, la factibilidad de realización de una librería completa de

Figura 14 : Secciones Eficaces

modelos que permita realizar simulaciones fidedignas de los fenómenos característicos asociados a los Reactores LWR. Además, se da por contrastada la hipótesis, realizada de forma implícita, de que las aplicaciones basadas en estas técnicas, en este caso Dymola y Modelica, poseen

(1) las librerías de base, (2) los métodos matemáticos y numéricos de

solución suficientemente potentes, y (3) la flexibilidad de desarrollo de nuevos

componentes, para dar respuesta a los problemas planteados.

Por otra parte, es necesario subrayar que las anteriores afirmaciones se plantean con la limitación que llevan asociadas las grandes simplificaciones realizadas. En primer lugar, el hecho de desarrollar modelos de parámetros concentrados, en segundo, el conjunto restringido de fenómenos contemplados y, por último, la ausencia de sistemas de control, ponen de manifiesto que el trabajo realizado es sólo un primer paso y las conclusiones expuestas, el resultado de un estudio preliminar. Aunque, como hemos visto, los fenómenos modelados se ajustan adecuadamente a las referencias presentadas. Queda, por tanto, un largo camino por recorrer, en el que el presente trabajo tan sólo es una indicación de que aparentemente es posible llevarlo a cabo. Pretende también ser una pequeña muestra de las ventajas de estas técnicas frente a las anteriores soluciones basadas en los lenguajes y métodos estructurados. El desarrollo de una librería completa, que contemple modelos de parámetros distribuidos y un espectro completo de fenómenos modelados, supondría una mejora sustancial frente al estado del arte - Códigos neutrónicos, termohidráulicos o neutrónico-termohidráulicos, monolíticos como SIMTRAN (SIMULA, COBRA), TRAC, RELAP u otros códigos parametrizables desarrollados con metodologías estructuradas, generalmente en Fortran - en aspectos como:

- Mantenibilidad de los modelos - Legibilidad de los modelos - Reutilización de los modelos - Eficacia en el desarrollo - Gestión del trabajo y del Conocimiento de

forma más eficaz, rápida y accesible a más profesionales y estudiantes.

Por tanto, el siguiente trabajo a desarrollar, en el que se han dado ya los primeros pasos, será la obtención de un modelo de parámetros distribuidos, que permita modelar distribuciones espaciales de variables significativas como la densidad neutrónica, la potencia, o temperaturas, así como efectos locales, como inserción de barras, detectores, etc.,.

Agradecimientos A los autores de las referencias, de las que he tomado algunas Figuras del presente trabajo, y casi todo lo que no es erróneo del mismo. Referencias [1] Cammi, A., Casella, F., Ricotti, M., Schiavo, F.

(March, 2005) “Object-Oriented Modeling, Simulation and Control of the IRIS Nuclear Power Plant with Modelica” Proceedings of the 4th International Modelica Conference, Hamburg

[2] Caro, R., (1976) Física de Reactores Nucleares,

JEN., Madrid, España. [3] Dormido, S., Urquía, A. (2003) "Apuntes del

curso de Simulación de Sistemas Dinámicos" D.I.A.-U.N.E.D.

[4] Dymola: (2004) "User´s Manual" v5.3

http://www.dynasim.com/ [5] Fritzson, P., (Sep 3, 2001) "Introduction to

Modelica" http://www.modelica.org/ [6] Glasstone, S., Sesonske, A., (1975) Ingeniería de

Reactores Nucleares, ED. Reverté, Madrid, España.

[7] Knief, (1981) Nuclear Energy Technology,

McGraw-Hill, Washington, U.S.A.,. [8] Lamarsh, J.R.(1983) Introduction to Nuclear

Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, U.S.A.

[9] Martínez-Val, JM., Piera, M., (1997) Reactores

Nucleares, ETS. Ingenieros Industriales, Madrid, España.

[10] Modelica TM (Dic 15, 2000) "Tutorial"

Modelica Association. http://www.modelica.org [11] Modelica TM (2002) "Language Specification

v2.0" Modelica Association. http://www.modelica.org

[12] Otter M., Olsson H. (March,2002) "New Features

in Modelica 2.0" 2ª International Modelica Conference, Proceedings, pp.7-1 -> 7-12