modelo de estimacion tamaño de planta

Dyna, Ao 73, Nro. 148, pp. 29-38. Medelln, Marzo de 2006. ISSN 0012-7353

MODELO DE PLANTA PTIMA MULTIPRODUCTO

MODEL OF OPTIMAL MULTIPRODUCT PLANT

GABRIEL POVEDA RAMOS Ingeniero Qumico, Ingeniero Electricista. Doctor en Ingeniera. Profesor Emrito Escuela de Formacin Avanzada.Universidad Pontificia Bolivariana. [email protected]

Recibido para revisar 15 de Abril de 2005, aceptado 6 de Mayo de 2005, versin final 6 de Mayo de 2005

RESUMEN: Se presenta un modelo matemtico para planificar y determinar el tamao ptimo de una planta industrial de procesos de transformacin, que produce varios productos usando unos mismos equipos. Esta es una metodologa completamente original del autor, que no aparece en libros ni en artculos de revista sobre Evaluacin de Proyectos, Matemticas Financieras, Diseo de Plantas y disciplinas anlogas. El mtodo ha sido aplicado por el autor al planeamiento y al dimensionamiento de varias plantas de industrias de procesos en Colombia.

PALABRAS CLAVE: Economa Matemtica, Economa Industrial, Diseo de Plantas, Evaluacin de Proyectos, Matemticas Financieras.

ABSTRACT: This paper presents and explains a mathematical model for planning and dimensioning in an optimal way many kinds of industries which use processes of transformation of matter (so called process industries) and which produce several products using some determinate pieces or set of pieces of equipment. This methodology is completely original of the author and it does not appear in any book or article on Proyect Evaluation, Financial Mathematics, Plant Design and related subjects. The method has been applied by the author to the planning and dimensioning of several plants in process industries in Colombia.

KEY WORDS: Mathematical Economics, Industrial Economy, Plant Design, Project Evaluation, Financial Mathematics

Poveda 30

1. INTRODUCCIN Un aspecto de los proyectos industriales y de los de obras pblicas al cual los analistas suelen darle poca atencin es el de determinar cul es la magnitud ptima de la obra que se propone construir. Es evidente que si la obra es muy pequea, no alcanzar a cumplir los objetivos que se esperan de ella y que su produccin de bienes o de servicios ser insuficiente para atender a las demandas que se requiere satisfacer. Y que, si es demasiado grande, ello implicar un despilfarro de capital y producir costos financieros o de capital que sern excesivamente altos. Debe existir, entonces un tamao intermedio, ni demasiado pequeo ni demasiado grande, que permita atender adecuadamente la demanda que se prev, sin incurrir en inversiones excesivas de capital y minimizando los costos financieros del bien o servicio que el proyecto va a producir. En este artculo se presenta un mtodo analtico para determinar la capacidad ptima de un proyecto de fbrica cuando sta va a producir varios productos cuyo mercado se puede pronosticar cuantitativamente con suficiente fiabilidad, y en cuya produccin predomina el concepto que los economistas llaman "las economas de escala". Este concepto aparece en Microeconoma pero muchos ingenieros lo conocen tambin como aquella situacin en que la tecnologa de una cierta industria o actividad econmica permite que las unidades de produccin de gran tamao (como mquinas grandes) puedan construirse o adquirirse con un valor de inversin que es menor por unidad de capacidad que una unidad de produccin pequea. Este es el caso en muchsimos casos concretos de mquinas, o fbricas, o instalaciones, tales como refineras de petrleo, destileras de alcohol, motores elctricos de induccin, locomotoras diesel, calderas acuatubulares, alternadores elctricos, hornos de induccin para fundir metales, reactores qumicos standard, plantas de cido sulfrico por contacto y un sinnmero de otras unidades de produccin (especialmente cuando en ellas se realiza un proceso qumico o fsico-qumico).

2. CAPACIDAD DE MQUINAS Y SU COSTO Hay diferentes maneras, segn la tecnologa del proyecto en cuestin, como se puede medir la capacidad de produccin Q de una planta industrial, de una mquina, o, en general, de una unidad de produccin. Puede ser en toneladas diarias de producto; o en litros de cierto insumo lquido por unidad de servicio; o en kilovatios de potencia elctrica que requiera; o en Btu de calor que desprenda por hora; o en caloras que desprenda por da, etc. segn el producto en cuestin y segn la tecnologa que se use para producirlo. En general, el costo de inversin (K) en la mquina o fbrica que se proyecta, est directamente relacionado (o correlacionado, si se quiere) con la capacidad (Q) del mismo: entre mayor sea la capacidad (Q) del proyecto, su costo como inversin (K) es mayor, y recprocamente. Es decir, que entre una unidad grande, con capacidad 1Q , y que cuesta 1K , y una unidad pequea, con capacidad 2Q y que cuesta 2K , se cumple que

2121 KKQQ >> Esta es una realidad emprica, obvia y universal en los mercados de casi todos los bienes de capital conocidos1. Pero tambin ocurre en estos mercados de maquinaria que:

2121 QQKK < o sea que

2211 QKQK <

As por ejemplo: un horno rotatorio a carbn para hacer 1000 toneladas/da de cemento gris, vale bastante menos que 10 hornos del mismo tipo, con capacidad de 100 toneladas/da, cada uno. La situacin que se plantea cuando se va a entrar a producir un bien o servicio en una nueva instalacin (o nueva mquina), casi siempre, es que en los primeros tiempos (los del prximo futuro), la demanda ir creciendo con el transcurso del tiempo, sin copar del todo la capacidad Q de la instalacin, y segn un rgimen cuantitativo de crecimiento que podemos y sabemos pronosticar mediante un

1 Casi la nica excepcin importante es el

mercado de equipos electrnicos del mundo.

Dyna 148, 2006 31

buen estudio del mercado2. En la situacin que tratamos se puede siempre estimar o prever al futuro el costo variable por unidad de producto que se va a fabricar o servicio que se va a dar, as como los gastos fijos de la empresa, y el precio a que se van a vender los materiales, o artculos, o servicios que se van a producir. 3. DATOS, CONDICIONES Y PARME-TROS DE ESTE PROYECTO El proyecto de que trata este artculo se adelanta bajo las siguientes bases, hiptesis, datos, supuestos y condiciones: Se trata de producir cuatro productos que

llamaremos 1Pr , 2Pr , 3Pr y 4Pr .

El perodo de vida til de la planta ser, por lo menos, de 20 aos ( )aosT 20= . Se le llama tambin horizonte de tiempo del proyecto.

Acogindose a normas legales existentes en Colombia respecto a plantas industriales que trabajen 24 horas diarias (como deber hacerlo sta), sta se va a depreciar en 10 aos. O sea:

Perodo de depreciacin de activos menores:

aosTm 10=

Perodo de depreciacin de maquinaria:

aosTq 10=

Perodo de depreciacin de edificios:

aosTe 10=

Tasa de depreciacin de activos menores:

11001 == ao.Td mm

Tasa de depreciacin de maquinaria:

11001 == ao.Td qq

Tasa de depreciacin de edificios:

11001 == ao.Td ee

2 Esto lo hacen los mercadlogos que trabajan en

el proyecto.

El costo de oportunidad del dinero, a largo plazo, o tasa de descuento de los valores futuros, es del 6% anual acumulativo y en descuento continuo:

1060 = ao.r .

La produccin y las ventas de los cuatro productos al momento de arrancar la planta y de salir al mercado son:

1630001 = Prdeao/toneladasM




La capacidad de una planta de este tipo es la del horno elctrico en que se fabrican los cuatro productos, y se mide en megavatios. Esa capacidad da los siguientes rendimientos en los cuatro productos.

energadeMWhPrdetoneladas.b 1312501 =




Los cuatro productos pueden producirse independientemente unos de otros, pero los estudios de mercado han mostrado que, cuando la planta est copada en su capacidad, y la produccin de los cuatro productos no pueda ya responder a aumentos de las cuatro demandas de los respectivos mercados, la mezcla ptima econmica de productos ser:

3501 .f = o sea 35% de la capacidad total Q en producir Pr-1




Los precios de venta netos, despus de gastos variables y de descuentos y costos proporcionales a ellos (que denotamos

ip ), y los costos de sus insumos, comisiones de ventas, energa elctrica y otros variables, por tonelada de cada

Poveda 32

producto (que denotamos por iq ) son los siguientes: Para Pr-1: 7701 =p dlares/tonelada y

4851 =q dlares/tonelada Para Pr-2: 2 1223p = dlares/tonelada y

5452 =q dlares/tonelada Para Pr-3: 8623 =p dlares/tonelada y

5353 =q dlares/tonelada Para Pr-4: 4 800p = dlares/tonelada y

4 400q = dlares/tonelada Por lo tanto, los valores agregados por

unidad de producto, son, respectivamente:

=1v 285 dlares/tonelada =2v 688 dlares/tonelada =3v 327 dlares/tonelada =4v 400 dlares/tonelada

4. LA LEY DE WILLIAMS En 1947 un ingeniero industrial norteamericano, R. Williams, public un descubrimiento suyo segn el cual cuando se comparan en su capacidad (Q) y en su precio (K) varias unidades de distinto tamao de una misma mquina o instalacin, se encuentra que se cumple la relacin emprica

= QAK (01)

donde es un nmero fraccionario menor que 1.00 (uno) y que frecuentemente est alrededor de 0.6 0.65. La constante A es propia de cada tipo de mquina (tractor, motor elctrico, reactor qumico, etc.). Posteriormente se ha visto en muchsimos casos que sta relacin vale tambin para muchos tipos de instalaciones industriales, cuando se trata con distintos tamaos de un cierto tipo tecnolgico de ellas. Por eso admitiremos esta ley emprica para nuestro caso. El valor de para esta clase de equipos se averigua en el mercado y vale =0.9.

5. EL PROBLEMA Consideremos pues que se trata de decidir la capacidad Q ptima econmica que debe tener la planta que fabrique los cuatro

productos ya dichos. Cada uno de stos tiene unos requerimientos propios respecto a la capacidad de la presunta planta, exigencia que suele expresarse en la duracin de tiempo que una unidad de Q tiene que trabajar para producir una unidad fsica de cada producto. Ms arriba se dieron los rendimientos de la planta en estos cuatro productos. 6. COSTOS Y GASTOS Los gastos de esta planta, incluyendo salarios y dems costos laborales van a ser todos gastos fijos, y van a valer, en moneda constante:

F= 300 000 dlares/ao Los gastos variables (no incluyendo insumos, energa y cargos proporcionales, que ya se consideraron) son el 10% de las ventas y ya estn cargados a los precios y, por ende tambin a los valores agregados. 7. PROYECCIN DE LA DEMANDA Los estudios previos de la demanda permiten pronosticar que la demanda de los cuatro productos va a crecer de manera geomtrica, siguiendo las funciones

( ) tkeMtM 1011 = ( ) tkeMtM 2022 = ( ) tkeMtM 3033 = ( ) tkeMtM 4044 =

siendo las cuatro tasas de crecimiento iguales entre ellas:

%kkkk 54321 ==== anual = 0.05/ao Puesto que estas tasas son relativamente lentas, las funciones exponenciales se pueden aproximar por parbolas de segundo grado, es decir:

( ) ( )21 2211011011 tktkMtkeMtM ++== &

( ) ( )21 2222022022 tktkMtkeMtM ++== &

( ) ( )21 2233033033 tktkMtkeMtM ++== &

La planta trabajar holgadamente, con capacidad sobrante, hasta el momento

=t cuando ocurra que las cuatro

Dyna 148, 2006 33

producciones copen su capacidad, lo que ser cuando

( )=

=4

1iii QbM

o sea cuando

( )[ ]=

=++4

1

220 21

iii QbkkM

(02) Llamemos

kMM ii = 01

2202 kMM ii =

y pongamos por abreviar

=

=

4

100

iii BbM

=

=

4

111

iii BbM

=

=

4

122

iii BbM

De este modo la ecuacin que fija el momento =t cuando la planta queda saturada, puede escribirse

BBB =++ 2210

(03)

Los coeficientes 0B , 1B , 2B son evidentemente positivos y por eso Q es mayor que 0B . Resolviendo esta ecuacin de segundo grado en se tiene

( ) ( )202211 24 BBQBBB ++= que es la raz real y positiva de la ecuacin.

( )tPSi i es la produccin del producto i-simo, las utilidades por unidad de tiempo, antes de impuestos, pueden escribirse:

( ) ( ) ( ) += 21 KQAdFvtMtU ii , para

Poveda 34

=+++= 4143132121111 bMbMbMbMB ( )315 3 2 105 9 5 80 5 0 165 5 5. . . . + + + ( )2 0 378MWh ao . MW ao=

=+++= 4243232221212 bMbMbMbMB ( )7 82 3 2 2 62 9 5 2 00 5 0 4 12 5 5. . . . . . . . + + + ( )3 20 0942MWh ao . MW ao=

Entonces el valor agregado por ao y por megavatio de capacidad en uso, cuando la planta se cope, y siga trabajando copada, es

=+++= 444333222111 bvfbvfbvfbvfVe*

(0 35 2 85 0 3125 0 30 6 88 1 1052. . . . . .= + + )010 3 27 0 200 0 25 400 0 1818. . . . dol MW hora +

aoMWdlareshoraMWdlares. == 8216796077

La duracin como vida til que se prev para la planta es de T= 20 aos. Usaremos en este problema como criterio de optimizacin del proyecto para calcular su tamao ptimo, el de hacer mximo el valor descontando de las utilidades de los 20 aos, en valor presente, despus de impuestos. Esto requiere, como bien se sabe, las dos condiciones

( ) 0=Qdt,QYd (05) ( ) 022

Dyna 148, 2006 35

TrrTer* eeeVeTeA 1

mientras que en = toma el valor + , se deduce que la ecuacin

( )22

02211

2

4

B

BQBBB ++=

tiene una raz real en el intervalo ( )T,0 si y solo si

>

TrrTer* eeeVeTeAB 110

como se ve en la figura anexa. y

10B

( )Ter

Ter

e

e*VTeAY

=

1

1

0=

Figura. Variacin de parmetros

Figure. Variation of parameters

Para verificar la segunda condicin del ptimo, calculamos la segunda derivada de

( )t,QY respecto a Y, para obtener: ( ) ( )

=

=

Qd

deVe

r

e

QTe

A

Qd

QYd r*Tr11

22

2

( ) +

=r

*Tr

eBB

Ve

r

e

QTe

KA

122 2

11

Obsrvese que ( ) tdtPdBB ==+ 122 y adems, que

( ) ( )[ ] QTeKKF,QUbvfVe iiii

*211

4

1

+++===

En este caso es posible calcular primero a que a Q, igualando las dos expresiones que ya hemos establecido para Q, esto es, escribiendo que

22210 094203780567 ++=++= ...BBBQ

y teniendo en cuenta la ecuacin (03), se puede escribir

21060102 22550094203780567

...

ee

....

=

++

exigiendo que la solucin sea mayor que 0 (cero) y menor que 20 aos. Esta ecuacin se resuelve por los conocidos mtodos numricos de Newton, "regula falsis" o biseccin, o en el computador con el sencillo "paquete" de Mathcad. As se obtiene que

8412.= aos y la capacidad ptima es

942784120942084123780567 2 ......Q* =++=

MW El valor de la inversin total ( )QK que es dependiente de Q, en esta planta, ser

( ) 9061 94271077633 ...QKK == dlares 6106275 = . dlares

Los coeficientes 210 D,D,D son:

= ii MvD 00

= ii MvD 11

= ii MvD 22 Adems, al realizar las integraciones que se indican a continuacin se encuentra que

( )

=

rtr erDtdeD 10

00

;

( ) ( ) = rrtr ererrDtdetD 110 1 ( )22 20 2r tD t e d t D r

=

( )22 21 2r r rr e r e r e Luego las utilidades totales futuras de 20 aos, descontadas en valor presente y despus de impuestos, valen

Poveda 36

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ ++= rrr ererrDerDY 110 10

( ) +

+ 212 2222

rrr erererrD

( ) ( ) ( )} ( )20 1 2 1rTe rTD D D r F r e e x + + + ( ) ( ) ( )1 1r rT rTee e F K Te e r +

Los valores de los coeficientes 210 D,D,D , son:

=0D

285 (dol/ton) (6300 ton/ao) + 688 (dol/ton) (2100 ton/ao) + (327 dol/ton) (1600 ton/ao) + (400 dol/ton) (330 ton/ao) = 3'895 500 dol/ao

=1D

285 (dol/ton) (315 ton/ao2) + 688 (dol/ton) (105 ton/ao2) + 327 (dol/ton) (80 ton/ao2) + 400 (dol/ton) (165 ton/ao2 = 254 175 dol/ao2

=2D

285 (dol/ton) (7.87 ton/ao3) + 688 (dol/ton) (ton/ao3)+ 327 (dol/ton) (2.00 ton/ao3) + 688 (dol/ton) (4.12 ton/ao3) = 7 534 dol/ao3

As que el valor presente de la utilidades futuras, antes de impuestos, ser:

( )0 06 12 843 895 500 10 06 . .'

e.

+

0 77040 7704254175 1 0 06

0 06 0 06 0 06

.

.

e. e

. . .

+ +

+

+

+

28656164

0608412

0600620

1

060

75342 7704077040

2

77040 ... e.

.

e.

.

e

..

3 895 500 254175 7 534 1 648 6560 06

' '

.

+ +

( ) 60 7704 1 2 300 000 10 5 100 06. ..

e e.

+

( ) ( )0 6 0 6 1 2300 0001 0 06. . .e e e. dlares = = (34'875.898 + 103'164.105 + 67'590.958 +

22'631.960 - - 81'213.905 - 1'238.087) dlares =

145'810.929 dlares de lo cual queda, despus de impuestos

( ) 9298101453801 .'. dlares = 90'402.775 dlares

De acuerdo con la expresin que ya obtuvimos para la segunda derivada de Y respecto a Q, el valor de ella en el punto *Q que hace mxima a Y(Q) es:

( ) ( )=

=

Qd

deV

r

e

QTe

A

Qd

QYd r*Ter11

22

2

( )=

+

=

122 2

11

BB

V

r

e

QTe

K *Ter

6 0 6

20 9 0 1 75 62 10 1 679 821

10 27 94 0 06 2 0 0942 12 84 0 378

.

. . . e

. . . . .

=

+

( )22 236 492 85dlares ao . dlares ao MWMW

=

que es negativo y que confirma que *Q es efectivamente el ptimo para Y(Q). Si se quiere obtener el valor presente descontado de la generacin de fondos que va a producir el proyecto, basta sumarle a ( )tY el valor presente de las futuras depreciaciones. As se obtiene

( ) ( )773864569298101451 .''erKdYN Ter +=

+=

dlares = 202'675 702 dlares El procedimiento para resolver un problema como el anterior sigue las siguientes etapas que constituyen una metodologa y un algoritmo para este caso y para casos anlogos: a. Examinar detalladamente todos los

aspectos tcnicos y econmicos del proyecto de planta.

b. Establecer cuantitativamente las proyecciones de crecimiento de la demanda, de la produccin y de las ventas esperadas, a corto, mediano y largo plazo. Supondremos en lo que sigue que, en un caso especfico dado (como el del ejemplo que se acaba de dar) esas proyecciones son representables y expresables por una funcin cuadrtica del tiempo o por una funcin exponencial o lineal del mismo.

c. Establecer en sus respectivos mercados los precios netos ip de los productos (restndoles los gastos de ventas, los costos variables, los descuentos, etc.), los precios de los insumos jq y los valores agregados iv por unidad fsica de cada producto.

d. Confirmar que ( )QK cumpla la Ley de Williams y determinar numricamente los parmetros A y de esa ley, mediante estudios del mercado de

Dyna 148, 2006 37

equipos y de bienes de capital para este tipo de plantas.

e. Determinar por medio de estudios tcnicos cules son los valores numricos de los valores de los coeficientes ib .

f. Por estudios econmicos y tcnicos de la planta que se proyecta, determinar los gastos fijos por unidad de tiempo F, el perodo de depreciacin Te y la vida til que se espera de la planta T. Calcular el coeficiente de depreciacin Ted 1= .

g. Calcular numricamente los coeficientes 210 B,B,B mediante las ecuaciones que

los definen. h. Calcular o definir los factores if que

expresan la participacin de cada producto en el "product-mix" que se desea constituir.

i. Calcular el valor *V que da el valor agregado por unidad de capacidad (como unidad de potencia y por unidad de tiempo) de la planta, cuando sta ya est copada en su capacidad.

j. Mediante el estudio financiero del mercado monetario, establecer el valor de la tasa r de descuento continuo para valores futuros en dinero.

k. Resolver numricamente las ecuaciones simultneas

( ) ( )202211 24 BBQBBB ++= ( )

=

111

Trr

Ter

* ee

e

V

AQ

para obtener la capacidad ptima *Q y su plazo para coparse. Esta solucin se puede obtener usando mtodos numricos bien conocidos o usando un software de clculo numrico como el "mathcad" o el "mathlab". l. Verificar que la funcin que da a

( ) 22 QdQYd en *QQ = sea negativa.

m. Calcular los parmetros 10 D,D y 2D mediante las frmulas que los definen.

n. Calcular el valor presente ptimo de las utilidades futuras, despus de impuestos, en la vida til desde 0=t hasta Tt = ,

descontadas al momento del arranque de la planta, es decir, valorar numricamente la expresin ( )*QY .

o. Decidir administrativamente si la cantidad as encontrada es satisfactoria econmicamente para los inversionistas.

Este modelo puede generalizarse en varios sentidos, como lo podr comprobar el lector interesado en el tema. REFERENCIAS

Bibliografa consultada sin encontrar referencias tiles [1] ALLEN, R.G.D. Economa Matemtica.2 ed. Madrid, Aguilar. 1967. 931 p. [2] ARBOLEDA, Benjamn. Ingeniera econmica: mtodos para el anlisis de alternativas de inversin. Medelln: Asociacin de Ingenieros Industriales de la Universidad de Antioquia. 1980. 502 p. [3] BACA URBINA, Gabriel. Evaluacin de proyectos. 3. ed. Bogot: Mc Graw-Hill, 1997, 339 p. [4] BATTERSBY, Albert. Planificacin y Programacin de Proyectos Complejos. 2 ed. Barcelona: Ariel, 1973. 431 p. [5] BEHRENS, W y P.M. Hawranek. Manual para la preparacin de estudios de viabilidad industrial. Viena: Organizacin de las Naciones Unidas para el Desarrollo Industrial, 1994. 400 p. [6] BEHRENS, W. Manual para la preparacin de estudios de viabilidad industrial. Viena: ONUDI, 1994. 400 p. [7] BLANK, Leland y JACQUIN Anthony J. Ingeniera econmica. Mxico: Mc Graw-Hill, 1996. 546 p. [8] CANADA, John R.; SULLIVAN William G. y WHITE John A. Anlisis de la inversin de capital para ingeniera y administracin. 2 ed. Bogot: Prentice Hall Hispanoamericana, 1997. 566 p. [9] CASTRO RODRGUEZ, Raul y MOKATE Karen Marie. Evaluacin econmica y social de proyectos de inversin. Bogot: Uniandes, 1998. 424 p.

Poveda 38

[10] CORRONS Prieto, Luis. Tcnicas de ingeniera y tecnologa de la produccin. Bilbao: Ediciones Deusto, 1979. 435 p. [11] CREUES SOL, Antonio. Fiabilidad y seguridad de procesos industriales. Barcelona: Boixereu Editores, 1991. 124 p. [12] CHOULEUR, Jacques. Las tcnicas matemticas en la empresa. Bilbao: Ediciones Deusto, 1968. 485 p. [13] COLOMBIA. Departamento Nacional de Planeacin. Manual metodolgico para la identificacin y evaluacin de estudios de preinversin. Bogot: Banco de la Repblica, 1994. s.p. [14] GRANT, Eugene L.; GRANT, Ireson; y LEAVENWORTH, Richard. Principios de ingeniera econmica. Mxico: CECSA, 1984. 710 p. [15] INFANTE VILLARREAL, Arturo. Evaluacin econmica de proyectos de inversin. 3 ed. Cali: Banco Popular, 1977. 236 p. [16] KING, Charles. Quantitative analysis for managerial decisions. Reading, Massachusets: Addison Wesley, 1976. 552 p. [17] MARTNEZ ARIAS, Csar. Evaluacin integrada de proyectos de inversin. Medelln: Universidad Pontificia Bolivariana. Facultad de Ingeniera Mecnica, 2000. 518 p. [18] ONUDI. Manual para la preparacin de estudios de viabilidad industrial. New York: ONUDI, 1978. 268 p. [19] PARK, Chan J.; SHARP-BETTE, Gunther P. Advanced engineering economics. New York: John Wiley and Sons, 1990. 740 p. [20] RIGGS, James L. Modelos de decisin econmica para ingenieros y gerentes de empresa. Madrid: Alianza Editorial, 1973. 508 p. [21] ROMERO, C. Modelos econmicos en la empresa. Bilbao: Ediciones Deusto, 1977.

[22] SAPAG CHAIN, Nassir y SAPAG CHAIN Reynaldo. Preparacin de proyectos. 4 ed. Bogot: Mc Graw-Hill, 2000. 439 p. [23] TAYLOR, George A. Ingeniera econmica. Mxico: Limusa, 1978. 556 p. [24] THUESEN, H.G.; FABRICKY, W.J.; y THUESEN, G.J. Ingeniera econmica: edicin revisada del proyecto de ingeniera. Bogot: Prentice Hall, 1981. 592 p. [25] TYLER, Chaplin. Chemical engineering economics. New York: Mc Graw-Hill, 1948. 321 p. [26] VARELA, Rodrigo. Evaluacin econmica de inversiones. Cali: Editorial Norma, 1993. 512 p. [27] VILLALOBOS, Jos Luis. Matemticas financieras. Mxico: Grupo Editorial Iberoamericana, 1993. 776 p. Nota: Ninguna de estas publicaciones contiene nada sobre el tema tratado en este documento, a pesar de que son numerosas publicaciones, a pesar de que son libros muy conocidos, y a pesar de la importancia del tema tratado aqu. Bibliografa con algunas referencias tiles [28] COURANT, Richard y FRITZ, John, Introduction to calculus and analysis. New York: Interscience, 1964. 661 2 volmenes. [29] RIGGS, James L. Modelos de decisin econmica. Madrid: Alianza Editorial, 1973. 508 p. [30] HENDERSON, James M. y QUANDT, Richard E. Microeconomic theory: a mathematical aproach. New York: Editorial, 1958. 291 p. [31] FERGUSON, C.E. y GOULD, J.P. Theoria microeconomica. Mexico: Fondo de Cultura Econmica, 1978. 551 p. [32] KAUFMANN, Arnold. The science of decision-making. Londres; World University Library, 1968. 253 p.

modelo de estimacion tamaño de planta

Documents