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Modelado y simulación de nano-partículas
MTD para aplicaciones biomédicas
Juan Camilo Cuervo Hernández
Trabajo de grado
Modalidad: Monografía
Directora:
MsC, Luz Helena Camargo Casallas
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ingeniería
Proyecto curricular de Ingeniería Electrónica
Bogotá D.C.
2018
II
Resumen
La presente investigación se centrará en las características de las MTD, ya que éstas
posibilitan el transporte de sustancias en su interior y contienen materiales magnéticamente
susceptibles que permiten controlar su direccionamiento mediante la inducción de un campo
magnético externo. Por ésta razón, se propone un modelo físico de interacción para nano-
partículas con el flujo sanguíneo en una arteria, el campo magnético para su movimiento y
se muestran los resultados en COMSOL Multiphysics que es un software que permite
simular diferentes problemas físicos y particularmente en éste caso; brinda la posibilidad de
unir los ámbitos de la física que tienen lugar en el análisis del modelo.
Para la sangre, se desarrolla un modelo newtoniano para fluidos incompresibles usando las
ecuaciones de Navier-Stokes en tres dimensiones. En la arteria, se usa un modelo para
materiales híper-elásticos y para las nano-partículas, se establecen condiciones como como:
un material magneto-sensible, tamaño físico y un campo magnético espacialmente variable,
que permita observar el comportamiento de las nano-partículas con un flujo variante en el
tiempo.
Palabras clave. Nano-partículas, arteria, flujo sanguíneo, campo magnético, modelo físico.
III
Abstract
The present investigation will focus on the characteristics of the BAT, since these enable
the transport of substances inside and contain magnetically sensitive materials that allow
control of their direction through the induction of an external magnetic field. For this reason,
we propose a physical interaction model for nano-particles with blood flow in an artery, the
magnetic field for its movement and the results are shown in COMSOL Multiphysics which
is a software that simulates different physical problems and particularly in this case; It offers
the possibility of uniting the fields of physics that take place in the analysis of the model.
For blood, a Newtonian model for incompressible fluids is developed using the Navier-
Stokes equations in three dimensions. In the artery, a model for hyper-elastic materials is
used and for nano-particles, conditions are established such as: a magneto-sensitive material,
physical size and a spatially variable magnetic field, which allows to observe the behavior
of the nano-particles. Particles with a variable flow over time.
Keywords. Nano-particles, artery, blood flow, magnetic field, physical model.
IV
Contenido
Resumen ........................................................................................................................ II
Abstract ....................................................................................................................... III
Contenido ...................................................................................................................................... IV
Introducción .................................................................................................................. 6
Objetivos ....................................................................................................................... 7
Definiciones ..................................................................................................................................... 8
1. Hemodinámica ........................................................................................................... 8
1.1. Descripción del sistema cardiovascular. ............................................................. 8
1.2. Flujo sanguíneo................................................................................................. 10
1.3. Modelo para el flujo sanguíneo ........................................................................ 10
1.4.1. Desarrollo de la ecuación del sistema cardiovascular................................... 12
1.4.2. Modelo teórico de la tasa de flujo sanguíneo................................................ 15
1.4.3. Modelo teórico para la presión arterial. ........................................................ 16
1.5. Propiedades de la sangre................................................................................... 17
1.6. Viscosidad del plasma ...................................................................................... 19
1.7. Vasos sanguíneos .............................................................................................. 20
1.7.1. Vasos sanguíneos curvos. ............................................................................. 20
2. Nano-partículas ........................................................................................................ 21
2.1. Nano-partículas de orientación magnética ........................................................... 22
2.2. Fundamentos básicos para desarrollos con fármacos de orientación magnética . 26
2.4. Limitaciones con la orientación de fármacos magnéticos ................................ 27
2.5. Síntesis y caracterización de nano-estructuras de núcleo de hierro .................. 28
2.6. Condición del límite de la superficie ................................................................ 28
2.3 Aplicaciones para fármacos de orientación magnética..................................... 29
2.7. Simulaciones computacionales de captura de partículas magnéticas en flujos
arteriales ...................................................................................................................... 31
3. Campos magnéticos y fuerzas que actúan sobre una partícula ................................ 33
3.1. Campo Magnético ................................................................................................ 33
3.2. Fuerza magnética .............................................................................................. 34
3.3. Ecuaciones de movimiento ............................................................................... 36
3.4. Física del direccionamiento de fármacos.......................................................... 37
3.5. Dirección y movimiento de partículas magnéticas ........................................... 38
V
4. Metodología............................................................................................................................. 41
4.1. Software COMSOL ................................................................................................. 41
4.2. Modelo físico de la interacción fluido-pared superior de la arteria aorta ............ 42
4.2.1. Modelo para la arteria ....................................................................................... 42
4.3. Dinámica de fluidos ............................................................................................. 43
4.4. Modelo para el imán ............................................................................................. 44
4.5. Modelo global ...................................................................................................... 45
4.5.1. Ecuaciones magnetostáticas ............................................................................. 45
5. Simulación .............................................................................................................................. 46
5.1. Instrucciones de modelo ....................................................................................... 46
5.2. Definiciones globales. .......................................................................................... 47
5.2.1. Geometría ......................................................................................................... 49
5.2.2. Materiales ......................................................................................................... 51
5.2.3. Método de elementos finitos............................................................................. 56
6. Resultados .............................................................................................................................. 58
6.1. Geometría ............................................................................................................. 58
6.2. Materiales. ............................................................................................................ 59
6.2.1. Presión en la arteria ....................................................................................... 59
6.2.2. Sangre ........................................................................................................... 60
6.2.3. Imán .............................................................................................................. 60
6.2.4. Nano-partícula............................................................................................... 61
6.3 Modelo completo del sistema. .................................................................................. 62
7. Conclusiones. ................................................................................................................. 63
Bibliografía .................................................................................................................................... 65
6
Introducción
En la actualidad, la necesidad de trabajar con nano-partículas ha hecho que en diferentes áreas del
conocimiento se profundice acerca de sus características y funciones para obtener beneficios a
mediano y largo plazo. Una de esas áreas es la biomedicina, cuyo objetivo es investigar sistemas
bioquímicos, moleculares, celulares y de tipo genético. Con el fin de comprender y tratar los
fenómenos causantes de enfermedades, cambios metabólicos, reacciones del organismo, etc.
La implementación de nano-partículas en biomedicina para diversos procedimientos requiere de
un modelamiento previo, debido no sólo a sus aplicaciones en seres humanos, sino a su carácter
novedoso. Esto implica que se recurra a herramientas de simulación para determinar la viabilidad
y la respuesta de las nano-partículas para un uso determinado, con el fin de establecer diferentes
parámetros de estructura, materiales, geometría, entorno, transporte, etc.
Las nano-partículas susceptibles a implementarse en aplicaciones biomédicas son todas aquellas
encargadas del transporte y aplicación de sustancias químicas como fármacos para diversos
tratamientos que lo requieran. Entre las más comunes se encuentran: Las MTD; por sus siglas en
inglés (Magnetic Targeting Drugs), los nanotubos y dendrímeros.
Es desafiante encontrar un sistema de administración de fármacos con la capacidad para
determinar una localización específica, así como la liberación controlada de sustancias [1].
Teóricamente, los compartimentos corporales afectados por alguna enfermedad pueden ser
tratados como unidades biológicas y así deben ser tratados únicamente. Sin embargo, los
regimientos de los tratamientos convencionales no son capaces de conseguir concentraciones de
fármaco significativas en compartimentos enfermos sin distribuir fármacos en la mayoría de las
otras partes del cuerpo (sanas) [2].
7
En el tratamiento del cáncer, se requiere de un mecanismo que permita transportar una sustancia
radioactiva que se concentre en las células del tejido tumoral sin afectar a las células sanas. Por lo
tanto, el desarrollo de técnicas que puedan entregar de manera selectiva las moléculas de fármaco
al sitio de la enfermedad sin subir los niveles del mismo en el tejido sano del organismo,
actualmente es una de las áreas más activas en la investigación para el tratamiento del cáncer [3].
Es importante simular mecanismos de almacenamiento y transporte en nano-partículas, ya que
permite generar un modelo dónde se pueda evaluar la eficiencia de suministro de sustancias en una
región específica. Para lo cual, se han elegido nano-partículas de orientación magnética ya que
poseen un mecanismo de transporte basado en campos magnéticos.
Objetivos
Objetivo general
Realizar un modelo para nano-partículas de orientación magnética (Magnetic Targeting Drugs)
que permita proponer métodos en el transporte de sustancias al interior del cuerpo para
aplicaciones biomédicas.
Objetivos específicos
Determinar un modelo físico aproximado que permita caracterizar las MTD mediante
simulación en software.
Identificar las condiciones que satisfagan los requerimientos para una aproximación
cercana a las condiciones de operación real.
Diseñar y simular MTD’s teniendo en cuenta su estructura física, materiales y la
distribución de campo magnético necesaria para un transporte eficiente.
Evaluar los resultados obtenidos en la simulación.
8
Definiciones
1. Hemodinámica
Es la rama de la biomecánica que tiene por objetivo estudiar el flujo sanguíneo. Abarca el
movimiento de la sangre, la obtención de campos de velocidad y presión, las fuerzas que se generan
en dicho flujo sobre los elementos que interactúa, como los vasos sanguíneos o el corazón [4].
La mecánica de fluidos del flujo sanguíneo (denominada hemodinámica) es bastante compleja,
debido a la naturaleza heterogénea de la sangre. Las interacciones entre las células sanguíneas
crean algunos efectos interesantes. Debido al perfil del flujo laminar y las propiedades físicas de
los glóbulos rojos, se forma un "núcleo de glóbulos rojos" a lo largo de la línea central del flujo
sanguíneo, con muy pocos glóbulos rojos que fluyen cerca de la superficie endotelial. Las nano-
partículas a menudo quedan atrapadas dentro de este núcleo, incapaces de viajar (marginarse) a la
pared vascular, y hay evidencia que sugiere que las partículas más pequeñas son más propensas a
la marginación inhibida. Por lo tanto, los investigadores que diseñan portadores dirigidos a
vasculares deben desconfiar de la suposición que las partículas más pequeñas siempre funcionarán
mejor debido a la mayor capacidad de transmigración [5].
1.1. Descripción del sistema cardiovascular.
El sistema cardiovascular está formado por el corazón y los vasos sanguíneos. Su función es dar
un suministro continuo de nutrientes y oxígeno a todos los órganos y tejidos del cuerpo.
El caudal en condiciones normales puede ser de unos 5 l/min, aunque en situaciones de esfuerzo
puede llegar a los 35 l/min. La velocidad de la sangre es máxima en la arteria aorta (sobre los 48
cm/s, también en condiciones normales), y va disminuyendo en los vasos posteriores a pesar del
menor diámetro de éstos. Esto se debe a que el número de ramificaciones hace que el caudal que
le corresponde a cada vaso decrezca más rápidamente que el área de dicho vaso [4].
9
Vaso Número Diámetro
(cm)
Área
(cm2)
Espesor de
pared (cm)
Velocidad
(cm/s)
Aorta 1 2.5 4.5 0.2 48
Arterias 159 0.4 20 0.1 45
Arteriolas 5.7 ∙ 107 5 ∙ 10−3 400 2 ∙ 10−3 5
Capilares 1.6 ∙ 1010 8 ∙ 10−4 4500 1 ∙ 10−4 0.1
Vénulas 1.3 ∙ 109 2 ∙ 10−3 4000 2 ∙ 10−4 0.2
Venas 200 0.5 40 0.05 10
Vena cava 1 3 18 0.15 38
Tabla 1-1. Características del sistema vascular (valores medios).
En la descripción del sistema vascular es importante resaltar que el número de capilares abiertos
no es siempre el mismo. Además, se debe tener en cuenta que la demanda de la sangre de un
músculo o un órgano depende del esfuerzo que éste esté desarrollando y por tanto de la energía
que tenga que aportar. Es decir, que cuando un órgano está en situación de trabajo elevado, muchos
de los capilares que se encontraban cerrados en condiciones normales, se abren para que circule
sangre por ellos [6].
Ha habido una serie de estudios que examinan la rigidez de la pared arterial y la sobrecarga celular
cardíaca [7], [8]. Sin embargo, a pesar del progreso sustancial en la comprensión de este tema, los
mecanismos detallados que subyacen a esta relación siguen sin estar claros. Por lo tanto, se
requiere un enfoque novedoso para delinear la rigidez arterial. El uso de simulaciones por
computadora con modelos matemáticos es un método alternativo y ha sido ampliamente utilizado
para el análisis de la dinámica del sistema cardiovascular [9]–[11].
Los modelos del sistema cardiovascular son muy simples y pueden acoplarse fácilmente para la
simulación a largo plazo [12]. Sin embargo, el modelo no puede predecir con exactitud fenómenos
microscópicos en células o tejidos. Por otro lado, varios grupos han propuesto modelos
matemáticos centrados en la hemodinámica arterial [13]–[15]. Estos modelos tienen la capacidad
de representar la distribución espacial de la hemodinámica arterial [16].
10
1.2. Flujo sanguíneo.
El flujo sanguíneo se refiere al movimiento de la sangre a través de un vaso, tejido u órgano, y
generalmente se expresa en términos de volumen de sangre por unidad de tiempo. Se inicia por la
contracción de los ventrículos del corazón. La contracción ventricular expulsa sangre a las
principales arterias, lo que produce un flujo desde las regiones de mayor presión hacia las regiones
de menor presión, a medida que la sangre encuentra arterias y arteriolas más pequeñas, luego
capilares y luego vénulas y venas del sistema venoso.
La presión hidrostática es la fuerza ejercida por un fluido debido a la atracción gravitatoria,
generalmente contra la pared del contenedor en el que se encuentra. Una forma de presión
hidrostática es la presión sanguínea, la fuerza ejercida por la sangre sobre las paredes de los vasos
sanguíneos o las cámaras del corazón. La presión arterial se puede medir en capilares y venas, así
como en los vasos de la circulación pulmonar; sin embargo, el término presión sanguínea sin
descripciones específicas típicamente se refiere a la presión sanguínea arterial sistémica, es decir,
la presión de la sangre que fluye en las arterias de la circulación sistémica. En la práctica clínica,
esta presión se mide en mm Hg y generalmente se obtiene utilizando la arteria braquial del brazo
[17].
Para el flujo sanguíneo es necesario establecer un modelo que permita reunir condiciones y
características mínimas como viscosidad, estado, composición, etc. Que se asemejen al
comportamiento real de la sangre y permitan que en la simulación se describa de manera cercana
el comportamiento del fluido (sangre), la interacción al interior de vasos sanguíneos (arteria aorta).
Por ejemplo, la velocidad de flujo y la presión localizada en diferentes puntos.
1.3. Modelo para el flujo sanguíneo
Un modelo usa lenguaje matemático para describir un sistema en el mundo real. El proceso de
desarrollo de un modelo matemático se denomina modelado matemático o modelado. El sistema
cardiovascular es la red de distribución de sangre en el cuerpo. El sistema cardiovascular en el
11
cuerpo consta de tres componentes: sangre, corazón y vasos sanguíneos. Cuando la sangre fluye a
través de los vasos, se detecta presión en la pared, que se tiene como presión sanguínea. La presión
arterial depende principalmente del caudal y tamaño de los vasos y del gradiente de presión. Hay
tres tipos principales de vasos sanguíneos: arterias, capilares y venas [18]. Las arterias son grandes
vasos sanguíneos que transportan la sangre desde el corazón a todas las regiones del cuerpo [18].
Las arteriolas se dividen en vasos más pequeños llamados capilares. Los capilares son las unidades
anatómicas que conectan el sistema circulatorio arterial y venoso. Las venas forman un sistema
colector de baja presión para devolver la sangre pobre en oxígeno al corazón [18]. En este análisis,
se supone que todos los recipientes son de la misma naturaleza, excluyendo su tamaño, longitud y
área de sección transversal.
Para modelar el flujo sanguíneo se hará uso de las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos
incomprensibles (∇ ∗ 𝑢𝑓 = 0) ha sido resuelta, numéricamente por la velocidad de fluido 𝑢𝑓 y la
presión 𝑝
𝜌 (𝑑𝑢𝑓
𝑑𝑡+ (𝑢𝑓 ∗ ∇)𝑢𝑓) = −∇𝑝 + ∇ ∗ (µ∇𝑢𝑓) (1 − 1)
Con 𝜌 y µ la densidad y la viscosidad dinámica del fluido, respectivamente. La importancia relativa
de las fuerzas inerciales en comparación con las fuerzas viscosas están dadas por el número de
Reynolds adimensional 𝑅𝑒 = 𝜌u0 𝑙/µ con u0 y 𝑙 velocidad característica y longitud, escalas del
flujo bajo consideración.
La reología de la sangre puede describirse por una ley generalizada de potencias [19].
µ = 𝜆|�̇�|𝑛−1
𝜆(|�̇�|) = µ∞ + ∆µ 𝑒𝑥𝑝 [−(1 +|�̇�|
𝑎) 𝑒𝑥𝑝
−𝑏
|�̇�|] (1 − 2)
𝑛(|�̇�|) = 𝑛∞ + ∆n 𝑒𝑥𝑝 [−(1 +|�̇�|
𝑐) 𝑒𝑥𝑝
−𝑑
|�̇�|]
12
1.4.1. Desarrollo de la ecuación del sistema cardiovascular
Los componentes de velocidad en las direcciones x, y, z se suelen llamar u, v y w, respectivamente.
Sea p la densidad de sangre, P sea la presión sanguínea y 𝜇 es la viscosidad cinemática de la sangre.
Luego, despreciando la orientación de la gravedad dentro del cuerpo, la ecuación de Navier-Stokes
en las coordenadas cartesianas viene dada por las siguientes ecuaciones:
𝜌 (𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧)
= −𝜕𝑃
𝜕𝑥+ 𝜇 (
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+ 𝑣
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2+𝑤
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2) (1 − 3)
𝜌 (𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧)
= −𝜕𝑃
𝜕𝑦+ 𝜇 (
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2+ 𝑣
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2+𝑤
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2) (1 − 4)
𝜌 (𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧)
= −𝜕𝑃
𝜕𝑧+ 𝜇 (
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2+ 𝑣
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2+𝑤
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2) (1 − 5)
Con la suposición de que no hay velocidad tangencial y no hay componentes x y y de la velocidad,
un cambio de variables en las ecuaciones cartesianas arrojará el siguiente sistema de ecuación en
el sistema de coordenadas cilíndricas [20]:
13
𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑓
𝜕𝑤
𝜕𝑟+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧+ 𝜇 (
𝜕2𝑤
𝜕𝑟2+1
𝑟
𝜕𝑤
𝜕𝑟+𝜕2𝑤
𝜕𝑧2) (1 − 6)
𝜕𝑓
𝜕𝑡+ 𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑟+ 𝑤
𝜕𝑓
𝜕𝑧= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧+ 𝜇 (
𝜕2𝑓
𝜕𝑟2+1
𝑟
𝜕𝑓
𝜕𝑟+𝜕2𝑓
𝜕𝑧2+𝑓
𝑟2) (1 − 7)
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟(𝑟𝑓) +
𝜕𝑤
𝜕𝑧= 0 (1 − 8)
Dónde 𝑓(𝑟, 𝑧, 𝑡) es la componente del flujo radial, 𝑤(𝑟, 𝑧, 𝑡) es la componente del flujo axial in la
dirección z.
Por lo que la ecuación de continuidad queda:
𝜕𝜌
𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑤)
𝜕𝑧= 0 (1 − 9)
Luego, se define una nueva variable 𝛾 como 𝛾 =𝑟
𝑅(𝑧,𝑡), dónde 𝑅(𝑧, 𝑡) es el radio de los vasos
sanguíneos y la coordenada cilíndrica (𝑟, 𝑧, 𝑡) se reemplaza por la coordenada (𝛾, 𝑧, 𝑡).
Nuevamente, se asume que el perfil de velocidad en la dirección axial, 𝑤(𝜂, 𝑧, 𝑡) tiene la expresión
en la forma polinomial [21]:
𝑤(𝛾, 𝑧, 𝑡) = ∑𝑞𝑘(𝛾2𝑘 − 1)
𝑁
𝑘=1
(1 − 10)
Dónde 𝑞(𝑧, 𝑡) es otra variable que se determinará más adelante. Para simplificar, se deja 𝑁 = 1.
Entonces:
𝑤(𝛾, 𝑧, 𝑡) = 𝑞(𝑧, 𝑡)(𝛾2 − 1) (1 − 11)
Y se asume que el perfil de velocidad en la dirección radial, 𝑤(𝜂, 𝑧, 𝑡) tiene la expresión en la
forma polinomial [21]:
𝑓(𝛾, 𝑧, 𝑡) =𝜕𝑅
𝜕𝑧𝛾𝑓 +
𝜕𝑅
𝜕𝑡𝛾 −
𝜕𝑅
𝜕𝑡
𝛾
𝑁∑
1
𝑘(𝛾2𝑘 − 1)
𝑁
𝑘=1
(1 − 12)
14
Nuevamente de deja 𝑁 = 1,
𝑓(𝛾, 𝑧, 𝑡) =𝜕𝑅
𝜕𝑧𝛾𝑓 +
𝜕𝑅
𝜕𝑡𝛾 −
𝜕𝑅
𝜕𝑡𝛾(𝛾2𝑘 − 1) (1 − 13)
Utilizando las ecuaciones de perfil de velocidad axial y radial, coordenada radial y la ecuación de
continuidad, las ecuaciones de Navier-Stokes obtienen la siguiente forma para determinar la
variable 𝑞(𝑧, 𝑡) y 𝑅(𝑧, 𝑡):
𝜕𝑞
𝜕𝑡−4𝑞
𝑅
𝜕𝑅
𝜕𝑡−2𝑞2
𝑅
𝜕𝑅
𝜕𝑧+4𝜇
𝑅2𝑞 +
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧= 0 (1 − 14)
2𝑅𝜕𝑅
𝜕𝑡+𝑅2
2
𝜕𝑞
𝜕𝑧+ 𝑞
𝜕𝑅
𝜕𝑧= 0 (1 − 15)
Luego, se introduce en la variable deseada, el área de la sección transversal del vaso sanguíneo
como:
𝑆 = 𝜋𝑅2 (1 − 16)
Dónde 𝑅 es el radio de los vasos sanguíneos.
Y el flujo sanguíneo se da como la integral de la superficie de 𝑤 y 𝜕𝛾 [22]. Así
𝑄 =∬𝑤𝜕𝛾 =1
2𝑞𝜋𝑅2 (1 − 17)
De (16) y (17), 𝜕𝑞
𝜕𝑡,𝜕𝑞
𝜕𝑧,𝜕𝑅
𝜕𝑡 y
𝜕𝑅
𝜕𝑧 se pueden encontrar.
Después de insertar el valor de 𝜕𝑞
𝜕𝑡,𝜕𝑞
𝜕𝑧,𝜕𝑅
𝜕𝑡 y
𝜕𝑅
𝜕𝑧 en (1-14) y (1-15), se obtienen otras dos
ecuaciones diferenciales como:
𝜕𝑄
𝜕𝑡+3𝑄
𝑆
𝜕𝑄
𝜕𝑧−2𝑄2
𝑆2𝜕𝑆
𝜕𝑧+4𝜋𝜇
𝑆𝑄 +
𝑆
2𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧= 0 (1 − 18)
𝜕𝑆
𝜕𝑡+𝜕𝑄
𝜕𝑧= 0 (1 − 19)
15
Después de combinar (1-18) y (1-19), se obtiene una ecuación diferencial simple de la siguiente
manera:
𝜕𝑄
𝜕𝑡−3𝑄
𝑆
𝜕𝑆
𝜕𝑡−2𝑄2
𝑆2𝜕𝑆
𝜕𝑧+4𝜋𝜇
𝑆𝑄 +
𝑆
2𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧= 0 (1 − 20)
La ecuación (1-20) ahora se denominará 'ecuación maestra'. Con lo que se puede obtener el modelo
de la velocidad de flujo sanguíneo y la presión sanguínea aplicando algunas suposiciones en esta
ecuación maestra.
1.4.2. Modelo teórico de la tasa de flujo sanguíneo.
Para desarrollar el modelo del flujo sanguíneo, se supone que: el área de la sección transversal del
vaso sanguíneo permanece invariable con el tiempo y es constante a lo largo de la distancia y el
gradiente de presión también es constante a lo largo de la distancia.
.
Aplicando estas suposiciones en (1-20), la ecuación maestra se reduce a:
𝜕𝑄
𝜕𝑡+4𝜋𝜇
𝑆𝑄 +
𝑆
2𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧= 0 (1 − 21)
Este es el modelo matemático unidimensional del índice de flujo sanguíneo. La condición de
frontera requerida y los valores de los otros parámetros para resolver esta ecuación se pueden
obtener a partir de los trabajos anteriores en este campo. Como:
Gradiente de presión, 𝜕𝑃
𝜕𝑧= 100 para 40 mmHg [22]
Valor inicial de 𝑄 = 1 a 5.4 litros/minuto [23]
Viscosidad cinemática de la sangre, 𝜇 = 0.035 𝑐𝑚2/𝑠 [24]
Densidad de la sangre, 𝜌 = 1.043 a 1.057 𝑔/𝑐𝑚3 [24]
16
1.4.3. Modelo teórico para la presión arterial.
La estructura de la pared de la aorta y arterias con un diámetro mayor es distinta a la de los vasos
posteriores, esto es, arterias de pequeño diámetro y arteriolas. En la aorta y arterias principales la
capa elástica es mayor y la capa formada por fibras musculares es menor, proporcionando unas
características elásticas importantes [2]. En cambio, en las arterias menores y arteriolas, la capa
con las fibras musculares es mayor y la capa elástica es menor, siendo así más rígidas [6]. De esto
se concluye que los modelos para la interacción flujo sanguíneo-pared arterial han de diseñarse
para la arteria aorta y unas cuantas que comparten sus características. Para el resto de las arterias
la simulación no sería adecuada.
El que la pared de las arteriolas y las arterias más pequeñas no tenga una naturaleza estrictamente
elástica no quiere decir que no se deformen. Las fibras musculares responden a estímulos
nerviosos, lo que les permite contraerse disminuyendo la luz del vaso. Posteriormente se relajan
para volver a su forma original. Este mecanismo regula el caudal y la presión en el sistema
cardiovascular [2].
Un material hiperelástico se define por su densidad de energía de deformación elástica Ws, que es
una función del estado de deformación elástica. A menudo se denomina densidad de energía. La
formulación hiperelástica normalmente proporciona una relación no lineal entre el estrés y la
tensión, a diferencia de la ley de Hooke en elasticidad lineal.
Para desarrollar el modelo matemático de la presión arterial, se considera la ecuación de Poiseuille.
La ecuación de Poiseuille determina la relación entre el índice de flujo sanguíneo y la presión que
se da como:
𝑄 =𝜋𝑅4
8𝐿𝜇𝑃 (1 − 22)
Dónde 𝐿 es la longitud y 𝑅 es el radio del vaso.
Después de insertar (1-22) en (1-21), las nuevas ecuaciones se obtienen de la siguiente manera:
𝜋𝑅4
8𝐿𝜇
𝜕𝑃
𝜕𝑡+4𝜋𝜇
𝑆
𝜋𝑅4
8𝐿𝜇𝑃 +
𝑆
2𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧= 0 (1 − 23)
17
𝜕𝑃
𝜕𝑡+4𝜇
𝑅2𝑃 +
4𝐿𝜇
𝜌𝑅2𝜕𝑃
𝜕𝑧= 0 (1 − 24)
La ecuación (1-24) es el modelo matemático de la presión sanguínea en el cuerpo. La condición
de frontera requerida y los valores de los otros parámetros para resolver esta ecuación se pueden
obtener de los trabajos anteriores en este campo. Como:
Gradiente de presión, 𝜕𝑃
𝜕𝑧= 100 para 40 mmHg [22]
Valor inicial de 𝑄 = 1 a 5.4 litros/minuto [23]
Viscosidad cinemática de la sangre, 𝜇 = 0.035 𝑐𝑚2/𝑠 [24]
Densidad de la sangre, 𝜌 = 1.043 a 1.057 𝑔/𝑐𝑚3 [24]
1.5. Propiedades de la sangre.
La sangre es un tejido líquido formado por células o elementos como glóbulos rojos, glóbulos
blancos y plaquetas (45% del volumen total), y una parte líquida llamada plasma de color ámbar
constituida principalmente por agua (55% del volumen total). Su temperatura normal es de 36,5
°C y es 5 veces más viscosa que el agua [25].
La sangre es una suspensión de células en una solución acuosa de electrolitos y algunos no
electrolitos. Los componentes celulares consisten principalmente en eritrocitos o glóbulos rojos de
los cuales hay 5 𝑥106 por mm3 de sangre total. El eritrocito es un disco bicóncavo de un diámetro
de 8,1 𝑥 10−6 𝑚, un grosor máximo de 2,7 𝑥 10−6 𝑚 y un grosor mínimo de 1,0 𝑥 10−6 𝑚. La
función principal de estos glóbulos rojos es el transporte del pigmento respiratorio, la
hemoglobina.
Aproximadamente el 25% del espacio disponible dentro del eritrocito está ocupado por la
hemoglobina, aproximadamente el 70% está ocupado por agua y el 5% por todos los otros
constituyentes. A partir de esta descripción, puede verse que la consistencia interna de esto se
muestra más tarde que es más correcto describir la sangre completa como una emulsión que como
18
una suspensión. La célula es fluida y posteriormente se demuestra que es más correcto describir la
sangre completa como una emulsión que como una suspensión.
Los otros componentes celulares de la sangre total son los glóbulos blancos (leucocitos) y las
plaquetas. El recuento normal de glóbulos blancos está en el rango de 5 − 8 𝑥 103 por 𝑚𝑚3 de
sangre y estos glóbulos blancos son responsables de combatir enfermedades e infecciones en el
cuerpo. El recuento plaquetario normal está entre 250 − 500 𝑥 103 por 𝑚𝑚3 y son responsables
del inicio de la coagulación de la sangre. Las plaquetas, sin embargo, son pequeñas, tienen un
diámetro de 2,5 𝑥 10−6 𝑚 y se consideran junto con los glóbulos blancos para tener un efecto
insignificante en las propiedades de flujo de la sangre.
La solución acuosa en la que están contenidas las células sanguíneas se llama plasma. El plasma
contiene aproximadamente 90% de peso en agua, la mayor parte del contenido sólido consiste en
proteínas plasmáticas (aproximadamente 7%) e iones orgánicos e inorgánicos (aproximadamente
2%).
En reposo, las células sanguíneas forman una estructura continua y cuando se aplica un estrés
finito, la estructura se rompe. El estrés requerido para romper la estructura se llama tensión de
fluencia. Después de la disrupción, las células forman agregados en el plasma y cada agregado se
forma de rouleaux. A medida que aumenta el estrés aplicado, estos agregados se descomponen en
unidades cada vez más pequeñas hasta que aparecen células individuales. A medida que aumenta
el estrés, las unidades mono-celulares permanecen y la relación de flujo de esfuerzo se vuelve
lineal. Por lo tanto, la estructura de la sangre es responsable de sus propiedades de flujo.
Las partículas sólidas en la sangre, van a ofrecer resistencia al avance del flujo debido al
roce entre ellas, lo cual disipa energía y da lugar a que la sangre sea más viscosa que el
agua [26].
El porcentaje de agua, al ser incompresible, da propiedades de incompresibilidad a la
sangre [26].
Por ésta razón, el modelo propuesto debe reflejar mínimo características de viscosidad e
incompresibilidad [4].
19
Elementos celulares Porciones relativas
Glóbulos rojos 600
Glóbulos blancos 1
Plaquetas 30
Plasma Porción en peso
Agua 0.91
Proteínas 0.07
Solutos inorgánicos 0.01
Otras sustancias orgánicas 0.01
Tabla 1-2. Componentes de la sangre (5 ∙ 106 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠/𝑚𝑚3)
Los glóbulos rojos (glóbulos rojos) poseen una capacidad única para experimentar deformación
celular para navegar a través de diversos vasos de microcirculación humana, permitiéndoles
atravesar capilares que son más pequeños que su diámetro y llevar a cabo su función como
portadores de gas entre la sangre y los tejidos. Dado que existe una evidencia creciente de que la
deformidad de los glóbulos rojos se ve afectada en algunas condiciones patológicas, la medición
de la deformidad de los glóbulos rojos ha sido el foco de numerosos estudios en las últimas
décadas. Sin embargo, los informes sobre glóbulos rojos sanos y patológicos son actualmente
limitados y, en muchos casos, no se expresan en términos de parámetros de la membrana celular
bien definidos, como la elasticidad y la viscosidad. Por lo tanto, a menudo es difícil integrar estos
resultados en la comprensión básica del comportamiento de los glóbulos rojos, así como en
aplicaciones clínicas [27].
1.6. Viscosidad del plasma
El plasma sanguíneo es lo que queda de la sangre completa cuando se eliminan los componentes
celulares. Las proteínas plasmáticas consisten en fibrinógeno (≃ 5%), globulinas (≃ 45%) y
albúmina (≃ 50%) y ha habido informes contradictorios en la literatura sobre si el plasma puede
considerarse como Newtoniano (viscosidad independiente de tensión de corte) o un fluido no
newtoniano. Cokelet et al1 (1963) y Merrill et al1 (1965) midieron la viscosidad del plasma en un
rango de velocidades de cizallamiento de 0,1 s-1 a 1200 s-1 y encontraron que la viscosidad es
aproximadamente 1,6 del agua sin desviación significativa de la linealidad. El efecto sobre la
20
viscosidad de los componentes del plasma, fibrinógeno, globulina y albúmina, varía. El suero
sanguíneo (plasma sin fibrinógeno) tiene una viscosidad 20% menor que el plasma: al aumentar la
cantidad de globulinas de 1040 g 1-1, la viscosidad aumenta en un 50%. La albúmina, sin embargo,
no parece cambiar la viscosidad del plasma en absoluto [28].
1.7. Vasos sanguíneos
Los vasos sanguíneos son esenciales para el suministro de nutrientes y oxígeno a los tejidos, así
como para la eliminación de productos de desecho. Todos los vasos sanguíneos comparten varias
características básicas, aunque el patrón de expresión génica, la morfología y la función detallados
varían entre diferentes lechos vasculares (por ejemplo, arterias, venas y capilares). El interior de
los vasos sanguíneos está recubierto de endotelio, una fina capa de células endoteliales (CE) que
separa la sangre de los tejidos. La parte externa del endotelio está cubierta con una capa
especializada de tejido conectivo (la membrana base) seguida de una capa de células murales
(pericitos y células de músculo liso vascular) [29].
1.7.1. Vasos sanguíneos curvos.
Los vasos sanguíneos dentro de cualquier organismo rara vez son rectos. Sin embargo, se usó un
vaso sanguíneo recto idealizado, se relajó y se utilizaron dos curvaturas diferentes para determinar
la varianza de los comportamientos característicos. La longitud de los vasos sanguíneos en cada
caso se mantuvo constante, y el único parámetro geométrico que cambió fue el radio de curvatura.
Como se puede ver en la Figura 1-1, los comportamientos característicos conservaron sus
cualidades definitorias. La única diferencia en la concentración de la sección transversal se observó
en los casos de formación de capa límite donde el caso de curvatura leve experimentó un aumento
modesto en la concentración en comparación con ninguna curvatura o curvatura grande. Esto se
debía a que una ligera curvatura contenıda en un segmento más largo de vaso sanguíneo en el que
las partículas eran capaces de formar una capa límite que conducía a una mayor acumulación de
concentración sobre dicho segmento particular. Sin embargo, este aumento en la concentración
21
sólo cambia la delimitación del comportamiento límite y no cambia el comportamiento general
observado [30].
Figura 1.1. Vasos sanguíneos curvos y los tres comportamientos prototípicos. La curvatura de los
vasos sanguíneos no afecta la tendencia característica de los comportamientos, pero puede
desplazar ligeramente la curva de delineación del contorno del comportamiento. (Nacev, A. N.
(2013), pág. 95)
2. Nano-partículas
Existen diferentes tipos de nano-partículas, como las MTD (Drogas de orientación magnética),
cuyo objeto es concentrar fármacos unidos a partículas magnéticas y llevarlos a una parte
específica del cuerpo mediante la aplicación de un campo magnético [31]. Es una propuesta para
el tratamiento de enfermedades localizadas como el cáncer. Ya que uno de los mayores problemas
que existe en los tratamientos actuales, es que el fármaco se propaga a través del sistema
22
circulatorio, dando lugar a bajas concentraciones en el tejido enfermo y efectos secundarios en el
tejido sano [32].
La orientación de fármacos magnéticos (MTD) es uno de los métodos más prometedores para
dirigir y administrar eficazmente fármacos a un objetivo específico con la ayuda de un campo
magnético local [33], [34]. En este método, las partículas portadoras magnéticas cargadas con
moléculas de fármaco se inyectan en la microvasculatura aguas arriba del tejido maligno y se
atraen hacia la región objetivo en el cuerpo con ayuda de un campo magnético local [35]–[38].
MTD está creciendo debido al rápido progreso en el crecimiento de nano-partículas magnéticas
funcionalizadas, que se utilizan para la quimioterapia, la radio y la terapia génica en sitios de
localización de un tumor [39], [40].
Considerando que las MTD se suministran a través del sistema circulatorio, es necesario establecer
un modelo matemático que permita emular el flujo sanguíneo, con el fin de tener en cuenta las
variables que inciden en el movimiento de las MTD para la simulación. Con el objeto de
aproximarse al modelo real.
La estructura electrónica de las nano-partículas es también regulable mediante el enlace con
diferentes tipos de moléculas. El enlace, más o menos, fuerte con moléculas es necesario para
preservar la precipitación y aglomeración de las nano-partículas y para que así, cada una de ellas,
mantenga su unidad aislada del resto de las nano-partículas. Este enlace es fundamental en un
campo de aplicaciones de enorme interés actual como es el de la biomedicina [41].
2.1. Nano-partículas de orientación magnética
La orientación de fármacos magnéticos (MTD) se refiere a la unión de agentes terapéuticos a
partículas magnetizables, y luego a la aplicación de campos magnéticos para concentrarlos en
ubicaciones de enfermedades tales como tumores sólidos, regiones de infección o coágulos de
sangre. Aunque en algunos casos especializados, las partículas magnetizables se pueden introducir
en el cuerpo fuera del torrente sanguíneo, generalmente las partículas ferromagnéticas se inyectan
directamente en la circulación mediante una vena o arteria. Las partículas así inyectadas, circularán
23
a través de la vasculatura a medida que el campo magnético aplicado se use para el confinamiento
en las ubicaciones objetivo. Dependiendo del vaso en el que se inyectaron las partículas (vena o
arteria), el transporte de fármacos ocurrirá antes o después de que las partículas pasen a través del
hígado, pulmón y corazón. El objetivo del direccionamiento magnético de fármacos es utilizar el
reservorio de partículas en la circulación general y apuntar a una ubicación específica moviendo
los complejos de partículas y fármacos mediante fuerzas magnéticas.
Los campos magnéticos, más que la luz, los campos eléctricos y la ecografía son preferidos para
dirigir terapias dentro de los pacientes porque pueden penetrar profundamente en el cuerpo, se
aplican rutinariamente a través del cuerpo en imágenes de resonancia magnética (IRM) , y se
consideran seguros, incluso con fuerzas muy altas (8 Tesla en adultos, 4 T en niños). La luz y el
ultrasonido tienen profundidades de penetración de tejido limitadas, mientras que los campos
eléctricos fuertes (> 60 V / cm) pueden dañar las células nerviosas y musculares [30].
Figura 2.1. Descripción general de las contribuciones presentadas. El objetivo final de la
orientación de fármacos magnéticos es dirigir la terapia a lugares donde se aloja la enfermedad en
24
el cuerpo. El estado actual de la técnica todavía se basa en imanes estáticos que solo son capaces
de dirigir nano-partículas magnéticas a las ubicaciones de la superficie [2].
Un enfoque de focalización "pseudo-pasivo" interesante que potencialmente puede aprovechar el
efecto mejorado de la permeabilidad vascular, tal vez de manera más completa, es el uso de
nano-partículas guiadas magnéticamente. En teoría, el uso de nano-partículas magnéticas permite
la aplicación de un campo magnético externo, que puede guiar las nano-partículas
específicamente al sitio de la enfermedad, mejorando la marginación y la acumulación dentro del
tejido enfermo.
Esta estrategia ha sido estudiada extensamente en el contexto de la selección de tumores y la
evidencia reciente sugiere que esta estrategia también puede ser beneficiosa en la ECV
(Enfermedad Cardiovascular). Simulaciones de Freund et al. Han demostrado que la aplicación de
una fuerza magnética tanto paralela como perpendicular al vaso sanguíneo atraerá partículas
magnéticas a la pared del vaso [7]. El campo magnético externo ayuda a transportar partículas de
la capa libre de células, que carece de glóbulos rojos y, por lo tanto, colisiones inductoras de
marginación, a la pared del vaso.
Esta marginación incrementada hacia la pared del vaso puede permitir una mayor acumulación
dentro de la vasculatura con fugas, o aumentar la cantidad de tiempo para que una partícula
determinada se una a su objetivo. Tales simulaciones están respaldadas por evidencia experimental
también. Chorny et al. utilizar nano-partículas magnéticas hechas por precipitación controlada de
oleato cálcico en presencia de ferro fluido de base magnética para el suministro de enzimas
antioxidantes a células endoteliales in vitro.
Dos cuestiones clave dominan las propiedades magnéticas de las nano-partículas: los efectos de
tamaño finito y los efectos de superficie que dan lugar a varias características especiales, como se
resume en la Figura 2-2. Los efectos de tamaño finito resultan, por ejemplo, del confinamiento
cuántico de los electrones. Los efectos superficiales están relacionados con la rotura de simetría
de la estructura cristalina en el límite de cada partícula. Las revisiones más completas sobre el
magnetismo en los sistemas a nano-escala se pueden encontrar en otra parte [42].
25
El principio del sistema de administración de fármacos de orientación consta de dos etapas: la
primera etapa es la administración de la cantidad deseada de fármaco al compartimento requerido
en un organismo; El segundo es la liberación controlada del fármaco de su portador a un ritmo
controlado. Un sistema portador de fármaco ideal debe poseer las siguientes propiedades: (1) el
tamaño es lo suficientemente pequeño para permitir la distribución capilar y perfusión uniforme
en el sitio diana deseado; (2) la capacidad de transportar una amplia variedad de agentes
quimioterapéuticos con suficiente espacio de fármaco para satisfacer la cantidad deseada de
fármacos biológicamente activos; (3) la capacidad para liberar el fármaco a una velocidad
predecible; (4) tienen máxima bio-compatibilidad y propiedades antigénicas mínimas y (5) son
biodegradables con la eliminación o la toxicidad minimizada de los productos de descomposición
[43].
Un sistema de suministro de fármacos dirigido magnéticamente, implica la unión de un fármaco a
pequeñas partículas magnéticas bio-compatibles, inyectándolas en el torrente sanguíneo y usando
un campo magnético de alto gradiente para sacarlas de la suspensión en la región orientada. Una
vez en la pared del vaso, el fármaco puede ser liberado directamente en el torrente sanguíneo o se
puede utilizar una técnica biológica para asegurar la captación de las partículas en el tejido, dando
lugar a una liberación de tejidos específicos de drogas y evitar los efectos secundarios. Sin
embargo, la cantidad de fármaco transportado o la velocidad de liberación es bastante limitada
para las nano-partículas magnéticas desnudas. Además, se desea que las nano-partículas
magnéticas no permanezcan agregadas y sean estables frente a la oxidación desde el punto de estas
aplicaciones tecnológicas y médicas. Debido a que la superficie de las nano-partículas puede
influir en su comportamiento en el entorno biológico, por lo tanto, un recubrimiento adecuado es
necesario para prevenir tales limitaciones. La modificación superficial de un polímero bio-
compatible ha recibido mucha atención recientemente en el sistema de administración de fármacos
de orientación magnética [43].
En contraste con el sistema de polímeros, u óxidos metálicos más específicamente, las partículas
de sílice amorfa no son tóxicas y también son altamente bio-compatibles. Se utilizan regularmente
como aditivos alimentarios y los componentes de los suplementos vitamínicos. En adición, las
partículas de sílice amorfa tienen superficies decoradas con grupos hidroxilos que los hacen
intrínsecamente hidrófilos, lo que debería disminuir la separación de partículas de óxido por el
26
sistema de retículo endotelial (RES), y así aumentar su tiempo de circulación en la sangre [44].
Utilizando sílice como material de recubrimiento, no se está sujeto a un ataque microbiano y no se
hincha ni cambia la porosidad en respuesta a los valores de pH ambientales [45].
Figura 2.2. Los diferentes efectos que ocurren en las nano-partículas magnéticas. El sistema de
spin en a) ferro magneto y b) anti ferro magneto c) una combinación de dos fases ferromagnéticas
d) Una ilustración de los momentos magnéticos en un súper-para-magneto e) La interacción
(acoplamiento de intercambio, puntos rojos unidos) entre un ferro magneto y un anti ferro magneto
produce un efecto de cambio f) Las nano-partículas anti ferromagnéticas puras podrían exhibir una
relajación súper-paramagnética, así como una magnetización neta derivada de giros de superficie
no compensados. (Lu, A. H., Salabas, E. E., & Schüth, F. (2007), pág.1224).
2.2. Fundamentos básicos para desarrollos con fármacos de
orientación magnética
Además del modelo físico de las MTD, se plantea el modelo físico para el medio en el cual se
trasportarán. Para aquellas nano-partículas que requieren transportarse a través del torrente
sanguíneo, es necesario usar un modelo Newtoniano aproximado que describa las características
del movimiento; además de tener en cuenta el flujo sanguíneo, las variaciones de presión, la
viscosidad en la sangre y demás factores que puedan llegar a ser relevantes para llevar a cabo la
función de las nano-partículas [32]. Aunque en algunos casos, las partículas magnetizables se
27
pueden introducir en el cuerpo fuera del flujo sanguíneo. Por ejemplo, en el tratamiento magnético
del oído interno, donde se coloca un pequeño gel que contiene nano-partículas alrededor de la
ventana de membrana [30].
2.4. Limitaciones con la orientación de fármacos magnéticos
Los principales problemas actualmente asociados con la administración sistémica de fármacos
incluyen la biodistribución de productos farmacéuticos en todo el cuerpo, la falta de especificidad
del fármaco hacia un sitio patológico, la necesidad de una gran dosis para lograr una alta
concentración local, toxicidad no específica y otros efectos secundarios adversos debidos a altas
dosis de drogas. La selección de medicamentos tiene como objetivo resolver muchos de estos
problemas (Torchilin 2000). Entre los esquemas de principio actuales del direccionamiento
farmacológico se encuentra la dirección magnética, es decir, la dirección de un fármaco
inmovilizado sobre materiales magnéticos bajo la acción de un campo magnético externo. Para
mejorar la especificidad del objetivo, el fármaco está asociado con otra molécula capaz de
reconocimiento específico y unión al sitio objetivo [37].
La profundidad, precisión y utilidad de la orientación magnética se ha visto limitada por el material
de partículas y las propiedades de superficie, por una comprensión insuficiente del transporte de
partículas en el cuerpo humano, por la fuerza y diseño de imanes, por la falta de capacidades de
detección de nano-partículas de cuerpo profundo en tiempo real y por el desarrollo e
implementación de algoritmos de control. La fabricación de nano-partículas magnéticas y el
material resultante y las propiedades de superficie han sido estudiados. Esencialmente, las
propiedades de magnetización del material fijan las fuerzas magnéticas para un tamaño de partícula
y un campo magnético aplicados, mientras que en los recubrimientos superficiales, el tamaño y la
forma de la partícula regulan la biocompatibilidad y los tiempos de circulación de partículas.
Comprender cómo varios parámetros de partículas afectan el transporte de ferro-fluido es clave,
sin embargo, las técnicas de visualización son actualmente limitadas. La medición en tiempo real
y sensible de las distribuciones de nano-partículas in vivo es limitada, incluso en animales
pequeños donde la profundidad de las imágenes es un problema menor, y ha dificultado la
28
recopilación de datos suficientes para validar adecuadamente los modelos de transporte de ferro-
fluido.
2.5. Síntesis y caracterización de nano-estructuras de núcleo
de hierro
Dentro de la literatura se encuentra que para la implementación o simulación de una nano-
partículas orientadas, se tiene como punto de partida establecer un modelo de transporte, estructura
y materiales para el suministro de fármacos en un área del cuerpo determinada conforme al tipo
de enfermedad a tratar. Para establecer un modelo físico de las nano-partículas es necesario definir
su función, para tener en cuenta factores como la forma, dimensiones, características de
movimiento, superficie de contacto, etc. En el caso de las MTD (Magnetic Targeting Drugs), el
modelo físico de transporte se basa en campos magnéticos, por lo que su estructura debe contener
un material como el hierro, que tiene un alto índice de susceptibilidad magnética y una alta
saturación de magnetización [47].
Se usó un proceso fácil para la síntesis de nano-partículas de hierro revestido de carbono amorfo
con diámetros de aproximadamente 200 nm. Debido a la elevada área superficial del carbono
amorfo junto con la buena propiedad magnética de las partículas de hierro, las nuevas estructuras
de núcleo formadas apelan a aplicaciones prácticas en sistemas de administración de fármacos
[47].
2.6. Condición del límite de la superficie
Pruebas en animales y humanos muestran que la superficie impide que las partículas magnéticas
salgan del tejido. Para modelar este caso se aplica una condición límite en la parte inferior del
tejido más cercano al imán que no permite un flujo de nano-partículas magnéticas a través de él.
Como era de esperar, esto atrae una cantidad considerable de partículas justo dentro de la superficie
más cercana al imán. Dependiendo del ancho de la sección de tejido que se considera, esta
acumulación puede extenderse dentro de la región del recipiente distorsionando cualitativamente
29
los tres comportamientos prototípicos. Se eligieron tres estudios de caso para examinar el efecto
que tiene el límite de la superficie sobre la solución [30].
Figura 2.3. El efecto que la condición de contorno de la superficie tiene sobre los tres
comportamientos prototípicos puede verse comparando la fila inferior con la fila superior de casos.
Las partículas, una vez atraídas a través del recipiente, viajan hasta el límite de la superficie y
luego se acumulan a lo largo de esta interfaz y pueden extenderse de nuevo a la región del
recipiente. Esto es más evidente en el caso dominado magnéticamente donde hay una acumulación
dentro de la membrana del vaso sanguíneo debido a la presencia de la condición de contorno de la
piel (Nacev, A. N. (2013), pág. 97).
2.3 Aplicaciones para fármacos de orientación magnética
Los elementos magnéticos terapéuticos han sido creados por la unión de quimioterapia, o terapia
génica a partículas ferromagnéticas mediante el relleno de polímero, cápsulas o micelas (cápsulas
que se auto-ensamblan a partir de moléculas de lípidos) con fármacos y materiales magnéticos, o
cultivando células en un medio de cultivo celular con nano-partículas magnéticas para permitir
que las células ingieran las partículas y de ese modo se vuelven magnéticos. Una nano-partícula
de óxido de hierro desnuda es el ejemplo más simple de un portador magnético. Las partículas
magnéticas también pueden consistir en nano-cristales de magnetita (Fe3O4) o de óxido de hierro
(III) (Fe2O3) incrustados en un núcleo de polímero, y generalmente están recubiertos con una capa
de moléculas (a menudo almidón o polietilenglicol (PEG)) para hacer las partículas
30
biocompatibles. En partículas más sofisticadas, éste recubrimiento está optimizado para ocultar
mejor las partículas del sistema inmune humano, de modo que las partículas tengan un mayor
tiempo de circulación en el cuerpo antes de ser eliminadas al hígado, los riñones y el bazo. Los
tamaños de partícula se pueden controlar mediante diversos procesos de fabricación y están hechos
de tamaños de nanómetros a micrómetros.
Por lo general, se inyecta en un animal o un paciente ferro-fluido, que es una emulsión de partículas
magnéticas en el agua. Otras entidades además de partículas, como cápsulas de polímero, varillas
flexibles, micelas de lípidos y células vivas (como las células madre) - también se pueden cargar
con materiales magnéticos. Las células madre están siendo magnetizadas para que puedan ser
dirigidas a regiones de enfermedades cardiovasculares, como los vasos sanguíneos endurecidos en
pacientes diabéticos, para ayudar a restaurar la función tisular y en la retina para la regeneración
ocular. Todos estos portadores magnetizados, desde nano-partículas hasta células, pueden ser
manipulados dentro del cuerpo por campos magnéticos aplicados externamente. Se necesita mucho
desarrollo para garantizar que los portadores magnéticos sean seguros, efectivos y terapéuticos.
Debido a los estrictos requisitos de aprobación regulatoria, hasta ahora solo unas pocas partículas
magnéticas han sido comercializadas y aprobadas para uso humano, y aún no como vehículos
terapéuticos, sino solo como agentes de imagen. Si bien las partículas magnéticas se han utilizado
en ensayos clínicos, el campo de la orientación de fármacos magnéticos sigue siendo nuevo, y
todavía se desconoce información importante sobre la biodistribución de las partículas,
especialmente cuando se trata de un objetivo.
Durante la administración de drogas magnéticas, los portadores magnéticos deben ser controlados
de manera segura y efectiva dentro del cuerpo humano. El cuerpo consta de un entorno heterogéneo
y complejo, que varía mucho de persona a persona. Muchos asuntos relevantes y significativos
para el control efectivo de partículas permanecen sin respuesta, incluida la incertidumbre sobre los
mecanismos de transporte de ferro-fluido dentro del cuerpo, cómo las nano-partículas pueden
cruzar o no las paredes de los vasos sanguíneos y cuánta fuerza se requiere para dirigirlos de la
sangre al tejido. Del mismo modo, hay una falta de conocimiento de los parámetros internos
básicos del cuerpo. La ubicación de la mayoría de los vasos sanguíneos, las velocidades del flujo
sanguíneo en cada vaso, la resistencia de diferentes tipos de tejidos al movimiento de las partículas
31
y muchos otros parámetros biológicos no se conocen en general o para el caso de cada paciente
específico. Sin embargo, a pesar de que la situación es altamente incierta, ya se ha demostrado que
la administración previa de fármacos magnéticos enfoca eficazmente la terapia para algunas
ubicaciones deseadas en animales y humanos.
Las nano-partículas magnéticas han sido capaces de administrar productos terapéuticos a través de
la barrera hematoencefálica cuando se combinan con ultrasonido, lo que interrumpe
mecánicamente la barrera hematoencefálica. Debido a las características de respuesta magnética
de las nano-partículas de óxido de hierro súper paramagnéticas, existe un interés creciente en el
uso de éstas para suministrar energía térmica a los tejidos. Esta aplicación térmica se ha utilizado
para crear hipertermia dirigida en cánceres de próstata.
2.7. Simulaciones computacionales de captura de partículas
magnéticas en flujos arteriales
En un estudio “Haverkort, J. W., Kenjereš, S., & Kleijn, C. R. (2009). Computational simulations
of magnetic particle capture in arterial flows”, se llevó a cabo una simulación del flujo sanguíneo
y el movimiento de partículas magnéticas en la arteria coronaria izquierda y la arteria carótida,
usando las propiedades de soportes magnéticos e imanes superconductores. Para geometrías
simples hay una razón característica entre la magnetización de las partículas y la fuerza de arrastre.
Esta relación se mantiene muy bien en la arteria carótida, mientras que para la arteria coronaria la
presencia de ramificaciones y su curvatura producen una desviación. Esto hace que la distancia de
los imanes para la captura de las partículas en el torrente sanguíneo varíe de la arteria coronaria
izquierda a la arteria carótida. Las simulaciones realizadas, por lo tanto, revelan un potencial
significativo para la aplicación de MTD’s en el tratamiento de la aterosclerosis [31].
Se calcula el movimiento de fluidos y partículas en un canal cilíndrico recto y un tubo doblado de
noventa grados. Estas simulaciones sirven para ilustrar varias características que también surgen
en configuraciones arteriales más complejas.
32
Figura 2.4. Resumen esquemático de los parámetros geométricos utilizados para el tubo doblado
de 90 grados (Haverkort, J. W., Kenjereš, S., & Kleijn, C. R. (2009), pág.2439).
La geometría estudiada se muestra en la Fig.4. Se utilizó una malla multibloque tetraédrica, que
contenía aproximadamente 112.000 nudos. La curva de 90 grados, con sección circular de radio R
= 3,5 mm y radio de curvatura Rb = 1,96 cm, es precedida y seguida por 3,5 cm de tubo recto. Con
una velocidad de entrada media de 𝑢0 = 0,1 𝑚𝑠−1 y una viscosidad dinámica constante 𝑙 =
3,5 ∗ 10−3 Pas el número de Reynolds 𝑅𝑒 = 200 y el número de Dean 𝐷𝑒 = 𝑅𝑒√𝑅𝑅𝑏⁄ = 84.5,
permitiendo una solución estable sin separación de flujo. Estas condiciones representan un caso
de curvatura fisiológicamente bastante similar al de la curva de la arteria coronaria.
Para el dominio en los patrones de flujo se consideró la sangre como un fluido incompresible,
homogéneo y newtoniano, lo que ha sido una buena aproximación en el estudio de grandes vasos
[51]–[53]. Para el flujo de las arterias como la aorta y sus ramificaciones (consideradas en éste
trabajo), asumir la sangre como un líquido newtoniano implica variación en la viscosidad para una
velocidad de corte en un tiempo corto se encuentra dentro del error experimental [54].
33
3. Campos magnéticos y fuerzas que actúan sobre
una partícula
Las nano-partículas magnéticas son pequeñas y experimentan pequeñas fuerzas incluso bajo
fuertes campos magnéticos. En experimentos previos de administración de fármacos magnéticos,
la intensidad del imán varió de 70 mili-Tesla [55] a 2,2 Tesla [55], y los gradientes magnéticos
correspondientes han variado de 0,03 T / m [56] a 100 T / m [56], una rango que refleja el costo
del imán, la complejidad, la seguridad y la facilidad de uso frente a la profundidad de orientación
deseada (o posible).
Si bien las imágenes de resonancia magnética son atractivas debido a su fuerza magnética y
disponibilidad clínica, la dificultad radica en que las imágenes de resonancia magnética están
diseñadas para crear un campo magnético uniforme fuerte, pero se requieren campos magnéticos
espacialmente variables para crear fuerzas sobre las partículas. A menos que las imágenes de
resonancia magnética se modifiquen sustancialmente no crean suficientes gradientes espaciales
magnéticos para manipular efectivamente partículas nanoscópicas.
3.1. Campo Magnético
Los campos electromagnéticos se describen clásicamente mediante las ecuaciones de Maxwell.
∇ × �⃗⃗� = 𝐽
∇ • �⃗� = 0
�⃗� = 𝜇0(�⃗⃗� + �⃗⃗� ) = 𝜇0(�⃗⃗� + 𝜒�⃗⃗� )
Dónde �⃗� es el campo magnético [T], �⃗⃗� es la intensidad magnética [A/m], 𝐽 es la densidad de
corriente [A/𝑚2], �⃗⃗� representa la magnetización del material [A/m], 𝜒 es la susceptibilidad
magnética, y 𝜇0 es la permeabilidad del vacío [4𝜋 × 10−7N/A2]. Estas ecuaciones son válidas en
el vacío y en los materiales, para los imanes permanentes (magnetización) y para los electroimanes
(corriente).
34
A través del cuerpo humano, los campos magnéticos se propagan esencialmente sin cambios
porque la susceptibilidad magnética del tejido es cercana a cero (≈10−6 - 10−4). Por el contrario,
los núcleos de magnetita (por ejemplo Fe3O4) de partículas ferromagnéticas tienen
susceptibilidades magnéticas de 5 a 7 órdenes de magnitud mayor que la del tejido (), por lo tanto
estas partículas están fuertemente influenciadas por campos magnéticos [57]–[59].
3.2. Fuerza magnética
Si las partículas magnéticas se suspenden en un fluido con permeabilidad 𝜇𝑓, la fuerza
experimentada por las partículas magnéticas en un campo aplicado H es como se indica a
continuación [60],
F𝑚 = 𝜇0V𝑝3𝜒𝑝
(𝜒𝑝 + 3)(H ⋅ ∇)H (3 − 1)
donde V𝑝 =4
3𝜋R𝑝
3 es el volumen de la partícula y 𝜒𝑝 es la susceptibilidad de la partícula. H es el
campo magnético aplicado externamente.
Aquí, 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7𝐻/𝑚 es la permeabilidad del espacio libre. Consideramos el movimiento
en el plano 𝑥 − 𝑧, por lo tanto, la fuerza magnética se puede expresar como
F𝑚 = F𝑚𝑥𝐗 + F𝑚𝑧�̂� (3 − 2)
La fuerza magnética se puede descomponer en sus componentes como
F𝑚𝑥(𝑥, 𝑧) = 𝜇0V𝑝3𝜒𝑝
(𝜒𝑝 + 3)[H𝑥(𝑥, 𝑧)
𝜕H𝑥(𝑥, 𝑧)
𝜕𝑥+ H𝑧(𝑥, 𝑧)
𝜕H𝑥(𝑥, 𝑧)
𝜕𝑧] (3 − 3)
y
F𝑚𝑧(𝑥, 𝑧) = 𝜇0V𝑝3𝜒𝑝
(𝜒𝑝 + 3)[H𝑥(𝑥, 𝑧)
𝜕H𝑧(𝑥, 𝑧)
𝜕𝑥+ H𝑧(𝑥, 𝑧)
𝜕H𝑧(𝑥, 𝑧)
𝜕𝑧] (3 − 4)
donde H(𝑥, 𝑧) = H𝑥(𝑥, 𝑧)𝐗 + H𝑧(𝑥, 𝑧)�̂�
Los componentes del campo magnético para un imán cilíndrico infinito, que se magnetiza
perpendicularmente a su eje, se pueden representar dentro del vaso sanguíneo como se muestra a
continuación [60]. Aquí,
35
H𝑥(𝑥, 𝑧) =𝑀𝑠𝑅𝑚
2
2
[(𝑥 + 𝑑)2 − 𝑧2]
[(𝑥 + 𝑑)2 + 𝑧2]2 (3 − 5)
y
H𝑧(𝑥, 𝑧) =𝑀𝑠𝑅𝑚
2
2
2(𝑥 + 𝑑)𝑧
[(𝑥 + 𝑑)2 + 𝑧2]2 (3 − 6)
Aquí, 𝑀𝑠, 𝑅𝑚 y 𝑑 son la magnetización del imán, el radio del imán y la distancia de las
nanopartículas magnéticas desde el centro del imán [50].
Las derivadas parciales de estos componentes del campo magnético w.r.t. 𝑥 y 𝑧 se pueden
evaluar como
𝜕H𝑥(𝑥, 𝑧)
𝜕𝑥= −
𝑀𝑠𝑅𝑚2
2
(𝑥 + 𝑑)[(𝑥 + 𝑑)2 − 3𝑧2]
[(𝑥 + 𝑑)2 + 𝑧2]3
𝜕H𝑥(𝑥, 𝑧)
𝜕𝑥= −
𝑀𝑠𝑅𝑚2
2
𝑧[3(𝑥 + 𝑑)2 − 𝑧2]
[(𝑥 + 𝑑)2 + 𝑧2]3 (3 − 7)
𝜕H𝑧(𝑥, 𝑧)
𝜕𝑥= −
𝑀𝑠𝑅𝑚2
2
𝑧[𝑧2 − 3(𝑥 + 𝑑)2]
[(𝑥 + 𝑑)2 + 𝑧2]3
𝜕H𝑧(𝑥, 𝑧)
𝜕𝑥= −
𝑀𝑠𝑅𝑚2
2
(𝑥 + 𝑑)[(𝑥 + 𝑑)2 − 3𝑧2]
[(𝑥 + 𝑑)2 + 𝑧2]3 (3 − 8)
Usando Eqs. (3-7) y(3-8) , podemos simplificar las Ecs. (3-3) y (3-4) como
F𝑚𝑥(𝑥, 𝑧) =3𝜇0V𝑝𝜒𝑝𝑀𝑠
2𝑅𝑚4
(𝜒𝑝 + 3)
(𝑥 + 𝑑)
2[(𝑥 + 𝑑)2 + 𝑧2]3 (3 − 9)
F𝑚𝑧(𝑥, 𝑧) =3𝜇0V𝑝𝜒𝑝𝑀𝑠
2𝑅𝑚4
(𝜒𝑝 + 3)
𝑧
2[(𝑥 + 𝑑)2 + 𝑧2]3 (3 − 10)
Consideramos que 𝑥 / 𝑑 ⪡ 1, significa que la distancia desde el imán al vaso sanguíneo es
mucho mayor que el diámetro del vaso sanguíneo en sí y 𝜒𝑝 ⪢ 1 [50]. En base a estas
suposiciones, los componentes de fuerza magnética se reducen a
36
F𝑚𝑥(𝑥, 𝑧) = 3𝜇0V𝑝𝜒𝑝𝑀𝑠2𝑅𝑚
4𝑑
2[𝑑2 + 𝑧2]3 (3 − 11)
y
F𝑚𝑥(𝑥, 𝑧) = 3𝜇0V𝑝𝜒𝑝𝑀𝑠2𝑅𝑚
4𝑧
2[𝑑2 + 𝑧2]3 (3 − 12)
3.3. Ecuaciones de movimiento
Tenemos los componentes de velocidad de las partículas magnéticas en la dirección 𝑥 y 𝑧 poniendo
Eqs. (3-9), (3-10), (3-11) y (3-12). La ecuación de movimiento para partículas que viajan a lo largo
del eje del vaso sanguíneo se puede escribir como
𝑣𝑝,𝑥 =𝑑𝑥
𝑑𝑡=1
3𝜂𝜇0V𝑝𝜒𝑝𝑀𝑠
2𝑅𝑚4
𝑧
(𝑑2 + 𝑧2)3−2
9𝜂𝑅𝑝2(𝜌𝑝 − 𝜌𝑓)𝑔 (3 − 13)
𝑣𝑝,𝑧 =𝑑𝑧
𝑑𝑡=1
3𝜂𝜇0V𝑝𝜒𝑝𝑀𝑠
2𝑅𝑚4
𝑧
(𝑑2 + 𝑧2)3+ 2�̅�𝑓 [1 − (
𝑥
𝑅𝑣)2
] (3 − 14)
Las Eqs. (20) y (21) se acoplan y resuelven numéricamente utilizando el método clásico de cuarto
orden Runge-Kutta para predecir las trayectorias de las partículas magnéticas en direcciones radial
y axial. En el presente modelo, las partículas de óxido de hierro (Fe3O4) de radio (𝑅𝑝 = 300 𝑛𝑚)
se toman en cuenta como nanopartículas magnéticas con densidad 𝜌𝑝 = 5000 kg/m3 para
estudiar su transporte en un vaso sanguíneo bajo campo magnético. Se supone que la
susceptibilidad magnética de las partículas de Fe3O4 es muy grande en comparación con
1 (𝜒𝑝 ⪢ 1). Además, se utilizó un imán cilíndrico NdFeB de tierras raras para aplicar el campo
magnético colocado fuera del cuerpo. El diámetro del imán es de 4 𝑐𝑚 (𝑅𝑚 = 2 𝑐𝑚) y su
magnetización de saturación es de 106 A/m. El imán se coloca a 2.5, 3.5, 4.5, 5.5 y 6.5 cm desde
el centro del eje del vaso sanguíneo al centro del imán para estudiar su efecto en las trayectorias
de las partículas. El radio del vaso sanguíneo (𝑅𝑣) se selecciona a 75 𝜇𝑚 y la velocidad de flujo
promedio (�̅�𝑓) es de 10 mm/s. La viscosidad (𝜂) y la densidad (𝜌𝑓) de la sangre se supone que es
3.2 × 10−3 N 𝑠/m2 y 1060 kg / m3, respectivamente [50].
37
3.4. Física del direccionamiento de fármacos
Ahora se consideran los principios físicos involucrados en las aplicaciones de partículas
magnéticas en aplicaciones de bioingeniería. En el caso del suministro dirigido de fármacos, se
introducen partículas magnéticas recubiertas de fármacos en un vaso sanguíneo y luego se aplica
un campo magnético externo. Este campo atrae y retiene las partículas en el sitio de la enfermedad
(figura 2-3).
Figura 3.1. Movimiento dirigido de partículas magnéticas por campo magnético externo [46].
El vaso sanguíneo exhibirá una respuesta paramagnética al campo de entidades tales como la
hemoglobina. También exhibirá una respuesta diamagnética debido a las proteínas que contienen
átomos de carbono, hidrógeno, nitrógeno y oxígeno. Estas dos respuestas son mucho más pequeñas
que la respuesta de las partículas magnéticas. ¿Qué tipo de campo magnético se debe aplicar para
dirigir las partículas magnéticas al sitio de la enfermedad? Un campo magnético que es uniforme
da lugar a un par, pero normalmente deseamos dirigir las partículas en una dirección específica, es
decir, proporcionar un movimiento de traslación; esto se puede lograr por medio de un gradiente
de campo. Si está presente un gradiente de campo magnético apropiado, una fuerza actúa sobre las
partículas que las impulsan en una dirección que puede elegirse de modo que las partículas se
dirijan al sitio de la enfermedad (Fig.17.6). Considere una partícula magnética en dicho gradiente
38
de campo magnético; para el caso de nano-partículas magnéticas suspendidas en agua, Pankhurst
ha demostrado que la fuerza magnética de la partícula es:
𝑭𝒎 = 𝑽𝒎(𝝌𝒎 − 𝝌ѡ)∇ (𝟏
𝟐𝑩.𝑯) (3 − 15)
Dónde 𝑽𝒎 es el volumen de la partícula, 𝝌𝒎 y 𝝌ѡ son la susceptibilidad de la partícula y el agua,
respectivamente, y la cantidad 𝟏
𝟐𝑩.𝑯 es la densidad de energía del campo magnetostático.
Suponiendo que la susceptibilidad de la partícula es mayor que la del agua, esta ecuación muestra
que la fuerza es proporcional al diferencial en la densidad de energía, y recordando el significado
geométrico del operador ∇, esta fuerza magnética sobre la partícula actúa en la dirección del
ascenso más pronunciado del campo de densidad de energía [46].
Figura 3.2. Portador magnético para administración de fármacos [46].
3.5. Dirección y movimiento de partículas magnéticas
La manipulación precisa de un fluido de nano-partículas es más difícil que el control de un solo
objeto. La implantación de imanes o material magnético en pacientes, como dentro de las paredes
de los vasos sanguíneos, se ha sugerido como una forma de llegar a los tejidos más profundos. Los
materiales implantados sirven para aumentar localmente los gradientes del campo magnético, y
por lo tanto fuerzan, cuando se aplica un campo magnético externo. Tal tratamiento prevé la
incorporación de células endoteliales magnetizadas a las paredes de los vasos sanguíneos. En
general, aunque el campo de la orientación de fármacos magnéticos avanza hacia partículas
39
comerciales aprobadas para uso humano, sigue abierto a mejoras significativas en el modelado,
diseño y control, especialmente para métodos no invasivos para apuntar con eficacia al tejido más
profundo.
Las trayectorias 𝐫(𝑡) y velocidades 𝐯𝑝 =𝑑𝐫
𝑑𝑡 de partículas con masa m han sido calculadas por
integración
𝑚𝑑2𝐫
𝑑𝑡2= 𝐅D + 𝐅m (3 − 16)
Aquí 𝐅m es la fuerza de magnetización. La fuerza de arrastre es modelada usando las relaciones
encontradas en S.A. Morsi y A. J. Alexander [48].
El transporte de nano-partículas magnéticas en el sistema vascular se rige por una serie de fuerzas
[49], sin embargo, en el presente estudio, consideramos las fuerzas magnéticas, de arrastre y de
flotación dominantes y se implementa un análisis de flujo constante [50].
Figura 3.3. Diagrama esquemático del transporte de nano-partículas magnéticas en un vaso
sanguíneo. El imán cilíndrico actúa externamente para aplicar el campo magnético [50].
40
El movimiento de las nano-partículas se rige por el uso de la segunda ley de Newton
𝑚𝑝
𝐯𝒑
𝑑𝑡=∑𝐅𝑒𝑥𝑡 (3 − 17)
donde 𝑚𝑝 y 𝐯𝒑 son la masa y la velocidad de la partícula magnética y ∑𝐅𝑒𝑥𝑡 representa todas las
fuerzas externas ejercidas sobre la partícula. El término inercial 𝑚𝑝𝐯𝒑
𝑑𝑡 es muy pequeño y podría
ignorarse. Entonces Eq. (2-3) se convierte
∑𝐅𝑒𝑥𝑡 = 0 (3 − 18)
y
∑𝐅𝑒𝑥𝑡 = 𝐅m + 𝐅f + 𝐅b (3 − 19)
donde 𝐅m, 𝐅f y 𝐅b son la fuerza magnética, fluídica y de flotación considerando la fuerza
gravitacional, respectivamente. Además, no se ha incluido el movimiento browniano porque es
insignificante cuando las partículas son muy pequeñas [50].
La fuerza de magnetización 𝐹𝑚, también conocida como fuerza Kelvin o fuerza magnetoforética,
en una partícula magnetizada está dada por
𝐹𝑚 =∭ µ0𝐌 ∗ ∇𝐇𝑑𝑉𝑉
(3 − 20)
Dónde µ0 = 4𝜋 ∗ 10−7𝑁𝐴−2 es la permeabilidad magnética del vacío, M es la magnetización del
material (momento dipolar magnético por unidad de volumen), y H es el campo magnético
auxiliar. Las partículas con un diámetro mayor de varias decenas de nanómetros a menudo
consisten en múltiples dominios magnéticos. La magnetización de tales partículas se puede
suponer que sea aproximadamente proporcional al campo magnético aplicado. Por encima de
cierto nivel de intensidad magnética, la intensidad de campo de magnetización se satura a un valor
constante 𝑀𝑠𝑎𝑡, lo que resulta en el siguiente modelo:
41
M = {𝜒𝐇 𝐻 < 𝑀𝑠𝑎𝑡/𝜒
𝑀𝑠𝑎𝑡�̂� 𝐻 ≥ 𝑀𝑠𝑎𝑡/𝜒 (3 − 21)
Aquí la constante 𝜒 se designa como la susceptibilidad magnética. Se usa un sombrero para indicar
la unidad de vector. �̂� = 𝐇/𝐻 con 𝐻 = |𝐇|. Cuando el campo magnético es aproximadamente
constante, el volumen 𝜋𝐷3/6 de una partícula esférica con diámetro D y el medio circundante de
la partícula tiene una susceptibilidad magnética despreciable, Ec. (2-6) se obtiene F𝑚 =
(𝜋𝐷3
6) µ0𝐌 ∗ ∇𝐇. Por un campo magnético bucle-libre 𝐌 ∗ ∇𝐇 = M∇H de ésta forma, usando Ec.
(2-7),
𝐅𝑚 =
{
𝜋𝐷3
6µ02
𝜒∇𝐇𝟐 𝐻 < 𝑀𝑠𝑎𝑡/𝜒
𝜋𝐷3
6µ0𝑀𝑠𝑎𝑡∇�̂� 𝐻 ≥ 𝑀𝑠𝑎𝑡/𝜒
(3 − 22)
4. Metodología
El análisis consiste en dos procedimientos distintos pero acoplados: primero, un análisis de
dinámica de fluidos que incluye un cálculo del campo de velocidad y distribución de presión en la
sangre (variable en tiempo y espacio); segundo, un análisis mecánico de la deformación del tejido
y la arteria. Cualquier cambio en la forma de las paredes del vaso no influye en el dominio del
fluido, lo que implica que solo hay un acoplamiento fluido-estructural de una vía.
4.1. Software COMSOL
COMSOL Multiphysics® es una plataforma de software de uso general, basada en métodos
numéricos avanzados, para modelar y simular problemas físicos. Con COMSOL Multiphysics, es
posible explicar los fenómenos acoplados o multifísicos. Contiene más de 30 productos adicionales
a elegir, por lo que se puede ampliar la plataforma de simulación con interfaces físicas y
herramientas dedicadas para aplicaciones eléctricas, mecánicas, fluidas y químicas. Algunos
desarrollos pueden interconectar sus simulaciones en COMSOL Multiphysics con software
técnico, cómo CAD y ECAD.
42
COMSOL contiene un entorno integrado diseñado para el desarrollo de productos
interdisciplinarios con un flujo de trabajo unificado, independientemente del área de aplicación.
Los módulos complementarios se combinan con COMSOL Multiphysics y la forma de operar el
software sigue siendo la misma independientemente de los productos complementarios que se
utilicen. El árbol de modelos del “Model Builder” ofrece una visión general completa del modelo
y el acceso a todas las funciones: geometría, malla, parámetros físicos, condiciones de contorno,
estudios, solucionadores, post-procesamiento y visualizaciones. Con COMSOL Multiphysics se
pueden ampliar modelos convencionales para un tipo de física en modelos multifísicos que
solucionan simultáneamente fenómenos de física acoplados. El acceso a esta plataforma no
requiere un conocimiento profundo de matemáticas o análisis numérico [61].
4.2. Modelo físico de la interacción fluido-pared superior de la
arteria aorta
La aorta y sus vasos sanguíneos ramificados están incrustados en el tejido biológico,
específicamente en el músculo cardíaco. El flujo de sangre ejerce presión sobre las superficies
internas y las ramas de la arteria, deformando así el tejido.
4.2.1. Modelo para la arteria
El análisis mecánico debe considerar el músculo cardíaco porque presenta una rigidez que resiste
la deformación de la arteria debido a la presión aplicada.
• Análisis de dinámica de fluidos. Aquí las ecuaciones de Navier-Stokes se resuelven en el
dominio de la sangre. En cada superficie donde el modelo lleva a un buque a un final abrupto,
representa la carga con una distribución de presión conocida.
• Análisis mecánico. Solo los dominios relacionados con los tejidos biológicos están activos en
este análisis. El modelo representa la carga con la distribución de esfuerzos totales que calcula
durante el análisis de fluido-dinámica.
43
Generalmente, el modelado de tejido biológico es un tema avanzado por varias razones:
• El material puede sufrir deformaciones muy grandes (deformaciones finitas).
• La relación tensión-tensión generalmente no es lineal.
• Muchos materiales hiperelásticos son casi incompresibles.
Se debe prestar especial atención a la definición de medidas de estrés y tensión. En un
análisis geométricamente no lineal, las suposiciones sobre desplazamientos infinitesimales ya no
son válidas. Es necesario considerar la no linealidad geométrica en un modelo cuando:
• Se producen rotaciones significativas del cuerpo rígido (rotaciones finitas).
• Las cepas ya no son pequeñas (más que un pequeño porcentaje).
• La carga del cuerpo depende de la deformación.
Todos estos problemas se tratan en el modelo de material hiperelástico incorporado en el Módulo
de materiales estructurales no lineales.
En este caso, los desplazamientos y deformaciones son tan pequeños que es suficiente usar un
modelo de material elástico lineal. Los datos del material se dan para un material hiperelástico
neo-Hookeano, pero en el límite de tensión pequeña, la interpretación de las constantes del material
es la misma para un material elástico lineal.
4.3. Dinámica de fluidos
El análisis de dinámica de fluidos considera la solución de las ecuaciones 3D de Navier-Stokes.
Puede hacerlo tanto en un caso estacionario como en el dominio del tiempo. Para establecer las
condiciones de contorno, se aplican seis condiciones de presión con la configuración que se
muestra en la Figura 4-1.
44
Figura 4.1. Condiciones de frontera para el análisis de flujo de fluido [62].
Las condiciones de presión son:
• Sección 1: 126.090 mmHg
• Sección 2: 125.910 mmHg
• Sección 3: 125.415 mmHg
• Sección 4: 125.415 mmHg
• Sección 5: 125.415 mmHg
• Sección 6: 125.100 mmHg
4.4. Modelo para el imán
Para el modelo del imán se muestra cómo modelar el campo magnético que rodea un imán
permanente. También calcula la fuerza con la que actúa sobre el fluido magneto-sensible.
En una región libre actual, donde
∇ × 𝐇 = 0
es posible definir el potencial magnético escalar, Vm, a partir de la relación
𝐇 = −∇𝐕𝐦
Esto es análogo a la definición del potencial eléctrico para campos eléctricos estáticos.
Usando la relación constitutiva entre la densidad de flujo magnético y el campo magnético
45
𝐁 = μ0(𝐇 +𝐌)
Junto con la ecuación
∇ ∙ 𝐁 = 0
Se puede derivar la ecuación para Vm
𝐁 = −∇(μ0∇Vm − μ0𝐌𝟎)
El modelo usa esta ecuación seleccionando la interfaz de campos magnéticos, sin corrientes del
módulo AC/DC.
4.5. Modelo global
El campo magnético genera una fuerza de volumen magnético que afecta el campo de flujo en el
vaso sanguíneo.
Figura 4.2. Representación gráfica del modelo [63]
4.5.1. Ecuaciones magnetostáticas
Debido a que la parte magnética de este problema es estática, se aplica la ley de Maxwell-Ampere
para el campo magnético 𝐇(A/m) y la densidad de corriente 𝐉(A/m2):
∇ × 𝐇 = 𝐉
Además, la ley de Gauss para la densidad de flujo magnético 𝐁(Vs/m2) establece que
46
∇ ∙ 𝐁 = 0
Las ecuaciones constitutivas que describen la relación entre 𝐁 y 𝐇 en las diferentes partes del
dominio de modelado dicen:
𝐁 = {
μ0μr, 𝑚𝑎𝑔𝐇+ 𝐁𝐫𝐞𝐦 Imán
μ0(𝐇 + 𝐌𝐟𝐟(𝐇)) Flujo sanguíneo
μ0𝐇 Tejido y aire
Aquí μ0 es la permeabilidad magnética del vacío (Vs/(A · m)); μr es la permeabilidad magnética
relativa del imán permanente (adimensional); 𝐁𝐫𝐞𝐦 es el flujo magnético remanente (A/m); y
𝐌𝐟𝐟 es el vector de magnetización en la corriente sanguínea (A/m), que es una función del campo
magnético 𝐇 [63].
5. Simulación
Para el desarrollo de éste trabajo se utilizó la herramienta COMSOL Multiphysics versión 5.3.
Este software permite representar diferentes modelos en las diversas áreas de la física como el
análisis de problemas específicos, representación de fenómenos físicos, interacción de físicas
orientadas a abordar u modelo global, etc. Específicamente para éste trabajo se uaron diferentes
físicas: dinámica de fluidos (para representar la sangre), elasticidad de materiales (para representar
la arteria) y electromagnetismo (para representar el comportamiento de las partículas mediante la
aplicación de un campo magnético por medio de un imán).
5.1. Instrucciones de modelo
A continuación se muestra el método con el cual se construyó el modelo. Una vez abierto el
software COMSOL Multiphysics, se crea un modelo nuevo, lo siguiente a elegir es la dimensión
de espacio, para este proyecto se eligió una dimensión 3D, después el programa ofrece una serie
de módulos para la elección de las diferentes físicas que se requieren para la construcción del
modelo. Este proyecto requirió de tres físicas, las cuales se describirán a continuación. La Figura
4-3 muestra los módulos de física configurados en este programa.
47
Figura 5.1. Módulos de física para seleccionar.
Los valores de presión son los valores medios sobre un ciclo de latido del corazón. Durante un
ciclo, la presión varía entre un valor mínimo y uno máximo que se calculan gracias a una amplitud
relativa 𝛼. Para el análisis dependiente del tiempo, se usa una función trigonométrica simple para
variar la distribución de presión a lo largo del tiempo.
𝑓(𝑡) = {(1 − 𝛼) sin(𝜋𝑡) 0 ≤ 𝑡 ≤ 0.5𝑠
1 − 𝛼(2𝜋(𝑡 − 0.5)) 0.5𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 1.5𝑠
La primera función entre 0 y 0.5 s no tiene importancia física, es solo una rampa que permite
calcular el estado inicial. La segunda función hace que la presión varíe entre su valor mínimo y
máximo durante un ciclo de 1.5 s.
5.2. Definiciones globales.
Parámetros
En la barra de menú seleccionar Inicio y se hace click en Parámetros.
48
En la ventana de Ajustes de parámetros, localizar la sección de Parámetros.
En la tabla, introducir los siguientes datos:
Nombre Expresión Valor Descripción
T 0[s] 0 s Parámetro de tiempo
Alfa 1/3 0.333333 Amplitud de presión relativa por cada latido
Tabla 5-1. Parámetros globales
En la barra Inicio, click en Funciones y seleccionar Global>Por secciones.
En la ventana de Ajustes de Por secciones, asignar un nombre a la función.
En la sección de Definición, asignar la letra t en la casilla Argumento
En la sección de Intervalos llenar la tabla con los siguientes datos:
Inicio Fin Función
0 0.5 (1-alfa)*sin(pi*t)
0.5 1.5 1-alfa*cos(2*pi*(t-0.5))
Tabla 5-2. Funciones en intervalos de tiempo [0 s-0.5 s] y [0.5 s-1.5 s]
En la sección de Argumentos asignar la letra s y en Función el número 1.
Click en Gráfico y se obtendrá la forma de la función.
Figura 5.2. Función trigonométrica para variar la distribución de presión a lo largo del tiempo.
49
5.2.1. Geometría
La geometría en COMSOL se define como, la figura geométrica que se ocupará como modelo para
realizar la simulación. La sección de geometría se divide en dos (¡Error! No se encuentra el origen
de la referencia.), los ajustes contienen un apartado que permite modificar unidades longitudinales y
angulares de la geometría. El otro es avanzado, tiene la opción de agregar una geometría realizada en
un software diferente o simplemente otro ejemplo que se haya realizado en Comsol Multiphysics. El
programa tiene la opción de formar una geometría en diferentes dimensiones, 1D, 2D o 3D.
Figura 5.3. Propiedades geometría.
En éste ítem se definen las características geométricas de los objetos a representar. Se puede
determinar el tamaño, forma, se pueden importar geometrías hechas en software como Auto
CAD e incluso tomar estructuras propias de la biblioteca de aplicaciones que posee COMSOL
Multiphysics.
50
Figura 5.4. Parámetros geométricos del imán
Figura 5.5. Parámetros geométricos del vacío
51
En este caso los modelos son tridimensionales, se tomaron de la biblioteca de aplicaciones del
programa (parte superior arteria aorta) y fueron realizados en el mismo programa mediante el uso
de bloques (imán, y representación del vacío), unidos con funciones booleanas donde a partir de
un objeto solido se construye una forma nueva en la figura y se estructuran todas las partes cómo un
todo.
La parte superior de la arteria aorta está representada por una estructura curva externa e interna
con ramas que representan las arterias que la componen. La capa externa representa la pared
arterial, mientras que la interna representa la región de flujo sanguíneo.
La unidad de longitud en la geometría importada es centímetros, mientras que la unidad de longitud
predeterminada en COMSOL Multiphysics es metros. Por lo tanto, se debe escalar la geometría.
Posteriormente se incluyó el imán representado por un rectángulo que hará las veces de fuente de
campo magnético para atracción del fluido ferromagnético como se observa a continuación y un
rectángulo más grande que representa el contorno y comparte las propiedades magnéticas del
vacio.
5.2.2. Materiales
Figura 5.6. Pared externa del arco configurado con los parámetros de la arteria.
52
Materia Hiperelástico (Arteria)
El subnodo de Material hiperelástico agrega las ecuaciones para un sólido hiperelástico. Una base
para un material hiperelástico es una función de densidad de energía de deformación. Los
materiales hiperelásticos pueden ser adecuados para modelar caucho y otros polímeros y tejidos
biológicos.
Neo-Hookean
Si se selecciona Neo-Hookean como el modelo Material, se puede usar una formulación mixta
agregando la presión media negativa como una variable dependiente adicional. Para este caso, se
selecciona la casilla de verificación Material casi incompresible. Luego, si se selecciona la casilla
de verificación, ingrese un valor para el módulo de volumen inicial (unidad SI: Pa).
Los valores predeterminados para el parámetro Lamé (unidad SI: Pa) y el parámetro Lamé
(unidad SI: Pa) utilizan valores del material. Seleccione definido por el usuario para ingresar
diferentes valores o variables.
- Comportamiento hiperelástico Neo-Hookeano: el coeficiente 𝜇 es igual a 6.20 · 106 N/m2,
mientras que el módulo de masa equivale a 20𝜇 y corresponde a un valor para la relación de
Poisson, 𝜈, de 0.45. Un módulo elástico equivalente es igual a 1.0 · 107 N/m2.
-densidad = 960 𝑘𝑔/m3
Propiedad Nombre Valor Unidad Grupo de propiedad
Parámetro de Lamé λ lambLa
me
20*muLame-
2*muLame/3
N/m2 Parámetros de Lamé
Parámetro de Lamé μ muLame 6.20e6 N/m2 Parámetros de Lamé
Densidad rho 960 kg/m3 Básico
Tabla 5-3. Propiedades de la arteria
53
Material Sangre
Figura 5.7. Pared interna del arco configurado con los parámetros de la sangre.
- densidad = 1060 𝑘𝑔 / m3
- viscosidad dinámica = 0.005 Ns/m2
Para simular el fluido magneto sensible al interior del vaso sanguíneo, se agregó un parámetro en
la sangre: (permeabilidad relativa = 4000), teniendo en cuenta que el fluido debe contener un
material magneto sensible y en éste caso, ese material es hierro.
Propiedad Nombre Valor Unidad Grupo de propiedad
Densidad rho 1060 kg/m3 Básico
Viscosidad
dinámica
mu
0.005
Pa ∙ s
Básico
Permeabilidad
Relativa
Mur 4000 1 Básico
Tabla 5-4. Propiedades de la sangre
54
Material Imán
Figura 5.8. Representación del imán generador de campo magnético.
Para el imán se determinó una permeabilidad relativa = 5000 ya que la ferrita que es el material
del imán tiene un valor similar.
Propiedad Nombre Valor Unidad Tamaño
Permeabilidad
Relativa
Mur 5000 1 3X3
Tabla 5-5. Permeabilidad relativa del imán.
55
Material Vacío
Figura 5.9. Cuadrado que representa el vacío y que contiene el sistema.
Para simular el material del espacio alrededor del vaso sanguíneo y del imán se asumió las
propiedades magnéticas del vacío ya que independientemente de que al vaso sanguíneo lo rodea
una capa de tejido (músculo) y vacío (distancia entre el tejido y el imán), no se adquieren
propiedades magnéticas distintas.
Propiedad Nombre Valor Unidad Tamaño
Permeabilidad
Relativa
Mur 1 1 3X3
56
Nano-partícula
Figura 5.10. Esquema individual de nano-partículas
La nano-partícula se planteó geométricamente cómo una esfera constituida de un material
magneto-sensible con núcleo de hierro el cuál la hará sensible a variaciones externas de campo
magnético. Se tomó un diámetro de 120 nm.
5.2.3. Método de elementos finitos
La descripción de las leyes de la física para los problemas dependientes del espacio y el tiempo
generalmente se expresa en términos de ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Para la gran
mayoría de las geometrías y problemas, estas EDP no se pueden resolver con métodos analíticos.
En cambio, se puede construir una aproximación de las ecuaciones, generalmente basada en
diferentes tipos de desratizaciones. Estos métodos de discretización se aproximan a las EDP con
ecuaciones de modelo numérico, que se pueden resolver utilizando métodos numéricos. La
solución a las ecuaciones del modelo numérico es, a su vez, una aproximación de la solución real
a las EDP. El método de elementos finitos (MEF) se usa para calcular tales aproximaciones.
Por ejemplo, una función u que puede ser la variable dependiente en una EDP (es decir,
temperatura, potencial eléctrico, presión, etc.) La función u puede aproximarse mediante una
57
función uh usando combinaciones lineales de funciones de base de acuerdo con las siguientes
expresiones:
𝑢 ≈ 𝑢ℎ
𝑢ℎ =∑𝑢𝑖𝑖
𝜓𝑖
Dónde, 𝜓𝑖 denota las funciones básicas y 𝑢𝑖 denota los coeficientes de las funciones que se
aproximan a 𝑢 con 𝑢ℎ. La siguiente figura ilustra este principio para un problema en una
dimensión.
Uno de los beneficios de usar el método de elementos finitos es que ofrece una gran libertad en la
selección de discretización, tanto en los elementos que se pueden usar para discretizar el espacio
como en las funciones básicas.
Para aplicar el método de elementos finitos en el software COMSOL Multiphysics se usa la opción
de mallado. Para éste modelo se usó la opción de Tetraédrico libre y se estableció un tamaño de
9 mm para la arteria.
Figura 5.11. Aplicación del método de elementos finitos en el software mediante mallado.
58
6. Resultados
En este desarrollo, y en muchos otros casos, un análisis que depende del tiempo para una física
se puede tratar como cuasi estático desde el punto de vista de la mecánica estructural. Se puede
manejar esto ejecutando el análisis estructural como un barrido paramétrico sobre una cantidad
de casos de carga estática, donde el tiempo se usa como parámetro.
6.1. Geometría
El modelo geométrico consta de un arco con terminaciones de dos capas que representan la pared
arterial y el flujo sanguíneo en su interior. Un rectángulo en el costado superior del arco, que
representa el imán que genera el campo magnético que atrae las nano-partículas en la sangre. Por
último, todo está contenido en un cuadrado que representa la parte externa o vacío que contiene el
sistema, separa la arteria del imán; por medio del éste se representan las líneas de campo entre el
imán y la arteria.
Figura 6.1. Modelo geométrico completo
59
6.2. Materiales.
6.2.1. Presión en la arteria
Figura 6.2. a) Curva de nivel de presión a 1[s]. b) Cuerva de nivel de presión a 1,5 [s].
En consecuencia a las variaciones de velocidad, se encuentra que los niveles de presión
también varían cómo resultado de la implementación del modelo de arteria cómo un material
hiperelástico, lo que nos indica que el material se está deformando simulando las condiciones
reales de contracción y expansión de un vaso sanguíneo (parte superior de la arteria aorta),
debido a las variaciones de flujo sanguíneo producidas por la sagre (fluido incompresible)
que pasa a través de la arteria.
De las figuras anteriormente presentadas se evidencia que la velocidad más alta se encuentra
en la región dónde la presión es mayor.
60
6.2.2. Sangre
Figura 6.3. a) Velocidad de flujo sanguíneo a 1[s]. b) Velocidad de flujo sanguíneo a 1,5 [s].
Se observan las magnitudes de la velocidad dentro del intervalo 0.5𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 1.5𝑠 debidas a la
oscilación entre los valores máximos y mínimos que representan las variaciones de la distribución
de presión. Las variaciones apenas si pueden notarse debido al corto intervalo de tiempo, pero es
necesario que éste sea pequeño para tener una mejor aproximación al modelo real.
6.2.3. Imán
Figura 6.4. Potencial magnético del imán
61
Se aprecia la distribución del campo B en el imán, que es importante porque conforme a la
intensidad de ésta, las partículas en el fluido se concentraran en la región dónde se encuentra el
imán y seguirán su movimiento partiendo de la distribución menor, hacia la mayor.
6.2.4. Nano-partícula
Figura 6.5. Distribución de nano-partículas al interior de la arteria
Se aprecia la distribución de partículas al interior del vaso con el fin de darle sensibilidad
magnética al fluido y posteriormente dirigir las partículas a un punto específico dónde se dirige
el campo magnético.
62
6.3 Modelo completo del sistema.
Figura 6.6. Concentración de líneas de campo.
Tal y cómo se planteó en el análisis de la figura 6-4, la distribución de las líneas de campo en la
región dónde se presenta la interacción magnetostática ejercida por el imán, tiende a seguir su
distribución acorde con la intensidad de la densidad magnética del imán. Las nano-partículas
distribuidas entre el fluido le dan la sensibilidad magnética concentrándolas en la región en dónde
se induce el campo magnético.
63
7. Conclusiones.
El modelo físico propuesto tiene en cuenta las variaciones de flujo en la sangre, así como la
elasticidad y deformación de las arterias. La producción de campos magnéticos por medio de un
imán y partículas magneto-sensibles que reaccionan al campo magnético inducido con
movimiento. Para todo, se aproximó mediante el uso de la fundamentación teóricos que se
describen en el presente trabajo.
Las condiciones presentes para una aproximación cercana al modelo real se establecen conforme
a los materiales que intervienen en el modelo. En el caso de la arteria, las características que se
tuvieron en cuenta fueron la elasticidad del material y la capacidad de éste para deformarse ante
variaciones de presión. Para la sangre, se tuvo en cuenta el tipo de fluido (incompresible), las
variaciones de presión, el cambio de velocidad debido a los latidos del corazón, las propiedades
del fluido cómo la viscosidad, la composición, hemodinámica, etc. En el imán se tuvo en cuenta
la distribución de campo en el material y la inducción del mismo alrededor, teniendo en cuenta las
propiedades cómo la permeabilidad relativa de los materiales, la densidad del flujo magnético y
remanente, la magnetización, etc. Para las nano-partículas se tuvo en cuenta el tamaño, la
composición de materiales magneto-sensibles cómo el hierro y su distribución en el fluido.
Debido a la disposición del análisis del programa COMSOL, los análisis de flujo sanguíneo y
presión arterial en el vaso se hicieron aparte del análisis de la interacción del imán y la sangre
como fluido magneto sensible. Lo que podría requerir de un ajuste en los valores de campo
magnético requerido para superar la barrera de presión, velocidad y fuerza producida por el flujo
sanguíneo a través de la arteria.
Se observa que la mayor concentración de campo cómo es de esperarse se encuentra en el imán,
ya que se incorporan las fuerzas de magnetización y las propiedades magnéticas asociadas a éste.
Esto permite localizar el campo magnético en una región determinada en el vaso sanguíneo que
depende netamente de la posición del imán y la fuerza de interacción que experimenta el fluido
magneto sensible por la acción del imán.
64
Las líneas de campo de la figura 5-4 se concentran en la región dónde se ubicó el imán y así mismo
la mayor fuerza se concentra en dónde hay más densidad de flujo concentrada en el imán. Lo que
deja entrever que las partículas representadas que hacen al fluido magneto sensible se agrupan en
la región dónde se concentra el campo magnético.
65
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