modelación de sistemas hidraulicos
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Modelacion de sistemas hidraulicos basicos con ecuaciones diferenciales, en materia de dinamica de sistemas.TRANSCRIPT
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA
Dinámica de sistemas
Fluidos Hidráulicos
Daniel Cruz Téllez
Alan Emmanuel Ibarra Martínez
Jose Carlos Gonzalez Figueroa
Jhovan Anibal Mancera Vazquez
18 de Febrero de 2015
1 Introducción
Como el mas versátil de los medios de la trans-misión de señales y de potencia, los �uidos, yasean gases o líquidos, tiene un extenso uso en laindustria. Los líquidos y los gases pueden difer-enciarse básicamente por sus incompresibilidadesrelativas y el hecho de que un liquido puede teneruna super�cie libre, en tanto que un gas se ex-pande para llenar su recipiente. Cabe mencionarque muchos de los sistemas hidráulicos son nolineales, sin embargo algunas veces es posible lin-ealizar sistemas no lineales de modo que se re-duzca su complejidad y se obtengan solucionesque sean su�cientemente exactas para muchospropósitos.
2 Propiedades de los �uidos
hidráulicos
2.1 Presión
Un concepto bastante importante en el estudio de�uidos es el de presión, la cual se divide en dostipos: La presión manométrica, que se re�ere aaquella presión que se mide con respecto a la pre-sión atmosférica. La presión absoluta es la sumade las presiones manométrica y barométrica (pre-sión atmosférica).
2.2 Densidad y volumen especi�co
La densidad de masa ρ de una sustancia es sumasa por unidad de volumen. Las unidadescomúnmente usadas son kg/m3, lb/ft3, slug/ft3.El volumen especí�co υ es el reciproco de la den-sidad ρ. Es el volumen ocupado por unidad demasa.
2.3 Peso y densidad especi�ca
El peso especí�co γ de una sustancia es su pesopor unidad de volumen. Las unidades común-mente usadas son N/m3, kgf/m
3. La densidad
especi�ca de una sustancia es la relación de supeso con respecto al peso de un volumen igualde agua a la presión atmosférica y temperaturaestándar.
2.4 Viscosidad
La viscosidad, es sin duda la propiedad más im-portante del �uido hidráulico, es una medida dela fricción interna o de la resistencia del �u-ido. La resistencia causada por un �uido almovimiento relativo de sus partes se llama vis-
cosidad dinámica o absoluta. Es la relación de suesfuerzo cortante a la razón de cambio en la de-formación cortante de un �uido. El coe�ciente deviscosidad dinámica o absoluta µ es la resistenciacausada por una lámina de �uido al movimientoparalelo a esa lamina u otra lámina del �uido auna distancia unitaria a ella, con una velocidad
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relativa unitaria. Las unidades del SI para laviscosidad dinámica son N − s/m2 y kg/m − s.Las unidades BES de viscosidad dinámica sonlbf − s/ft2 y slug/ft − s. La viscosidad cin-emática v es la viscosidad dividida entre la den-sidad de masa o
v =µ
ρ
donde ρ es la densidad de masa del �uido. Launidad en el SI de la viscosidad cinemática esm2/s y en el BES es ft2/s.
3 Leyes básicas del �ujo de �ui-
dos
3.1 Número de Reynolds
La relación adimensional de la fuerza de inerciacon respecto a la fuerza viscosa se llama número
de Reynolds. Así pues, un número de Reynoldsgrande indica el predominio de la fuerza de in-ercia y un número pequeño el predominio de laviscosidad. El numero de Reynols R esta dadopor
R =ρυD
µ
donde ρ es la densidad de masa del �uido, µla viscosidad dinámica, υ la velocidad promediodel �ujo y D una longitud característica. Parael �ujo en tubos, la longitud característica es eldiámetro interior del tubo.
3.2 Flujo laminar y �ujo turbulento
El �ujo dominado por la fuerza de viscosidad sellama �ujo laminar. Esta caracterizado por unmovimiento del �ujo suave, según lineas parale-las. Para R < 2000, el �ujo es siempre laminar.Para R > 4000, el �ujo es usualmente turbulentoexcepto en casos especiales. En general el �ujoen un tubo es laminar si la sección transversaldel conducto es comparativamente pequeña y/ola longitud del tubo es relativamente grande. Deotro modo resulta el �ujo turbulento.
3.3 Ecuaciones de continuidad
Las ecuaciones de continuidad se obtienen apli-cando el principio de conservación de la masa del
�ujo. Este principio establece que la masa den-tro de un sistema permanece constante con eltiempo. De�niendo las descargas Q1 y Q2 como
Q1 = A1V1, Q2 = A2V2
podemos escribir las ecuación de continuidadcomo
A1V1 = A2V2
donde V1 y V2 son las velocidades promedio, A1
y A2 las secciones transversales de los conductos.
3.4 Ecuación de Bernoulli
Para un �ujo estable, sin fricción (signi�ca que el�ujo tiene viscosidad despreciable) e incompresi-ble, la ecuación de Euler de movimiento en �ujoestable
υdυ +dp
ρ+ gdz = 0
puede ser integrada para obtener
υ2
2+p
ρ+ gz = constante
dividiendo ambos lados entre g, tenemos
υ2
2g+p
γ+ z = constante
donde γ = ρg. Esta ecuación se llama ecuación
de Bernoulli. Cada uno de sus términos tiene ladimensión de longitud. Esta ecuación muestraque a lo largo de un tubo de corriente la sumade la velocidad υ2/2g, la presión p/γ y la alturapotencial z es constante. Si la velocidad en al-guna sección se incrementa, la presión de alturamás la altura potencial deben decrecer y vicev-ersa; esto es, la altura total en todas las seccioneses constante.
3.5 Relación presión-altura
Una relación muy importante para el modeladode sistemas hidráulicos es la relación que se en-cuentra entre la presión P y la altura h. Estarelación establece que
R =dP
dQ
por la relación de presión manométrica P = ρghpara una diferencia de presiones P1 − P2 = h1 −h2. Esto solo se cumple si los tanques contienenel mismo �uido.
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4 Analogía con sistemas eléctri-
cos
4.1 Resistencia
La resistencia de un elemento físico (ya semecánico, eléctrico o hidráulico) puede de�nirsecomo el cambio en potencial requerido para pro-ducir un cambio unitario en la corriente, razón de�ujo o velocidad. En los sistemas hidráulicos lasválvulas o cambios de diámetro en las tuberíasrepresentan los elementos resistivos mas impor-tantes y por concepto son: cambio en la presióndiferencial necesaria para hacer un cambio uni-tario en la razón de �ujo.
R =dP
dQ
4.2 Capacitancia
La capacitancia de un elemento físico puedede�nirse como el cambio en la cantidad de mate-rial o distancia requerida para producir un cam-bio unitario en potencial. En un sistema llenode líquido, la cantidad de material puede ser elvolumen del liquido, y el potencial puede ser, yasea la presión o la altura. En este caso se toma elárea de la base del tanque como la capacitancia.
4.3 Inertancia
Los términos de inertancia, inercia e inductan-
cia se re�eren al cambio de potencial necesariopara producir una razón de cambio unitaria enla razón de �ujo, la velocidad o la corriente.1
5 Elaboración de modelos
matemáticos para sistemas
de nivel de líquido
En este ejemplo se busca una ecuación que rela-cione la altura h1 con el �ujo de entrada qi,
1Al obtener modelos matemáticos de tanques llenos
de líquido conectados por tubos con ori�cios, válvulas,
etcétera, solo la resistencia y la capacitancia son impor-
tantes, y los efectos de la inertancia del �ujo líquido
pueden ser despreciables. Tal inertancia del �uido se hace
importante sólo en casos especiales. Por ejemplo en la vi-
bración transmitida a través del agua.
tomando en cuenta el modelo esquemático pre-sentado en la �gura 1.
Figura 1: Diagrama esquemático
Como primer paso se considera la ecuación decontinuidad de volumen
V = qi − qo
donde
V = Adh
dt= qi − qo
Debido a que existe una oposición al �uido porla válvula en el �ujo de salida
qoR = P1 − P2
Por ser líquidos iguales en ambas presiones sepuede decir que
P1 − P2 =��ρgh1 −��ρgh2
P1 − P2 = h1 − h2
Pero P2 es la referencia 2, por lo tanto es cero, yse obtiene
qoR = hi
qo =h1R
De esta manera se obtiene una ecuación en tér-minos de cambio de altura hi
Adhidt
= qi −1
Rhi
2En la mayoría de los casos de estudio de sistemas
hidráulicos la presión atmosférica se toma como referencia
(0).
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Recordando la analogía con circuitos eléctricos,se sustituye A por C (área de la base del tanquepor capacitancia)
Cdhi(t)
dt+
1
Rhi(t) = qi(t)
Para este ejemplo se tendría el circuito análogoque se observa en la �gura 2.
Figura 2: Circuito análogo
6 Bibliografía
Ogata, K. (1987).Dinámica de sistemas. México:Prentice-Hall Hispanoamericana.
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