modelación de flujo transitorio utilizando un modelo...
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Penélope Cruz MayoCarlos Daniel de la Torre Aubert; Edwin Jonathan Pastrana; Carlos Covarrubias
Herrera; Ariosto Aguilar Chávez
Modelación de flujo transitorio utilizando un modelo
unidimensional lineal y no lineal
29/11/2017
Introducción
Rubiccon, 2017
En la operación de una red de canales es importante conocer los
tiempos de oportunidad para suministrar el gasto en las tomas
laterales durante un ciclo de cultivos en una zona regable. Con el fin
de conocer estos tiempos de oportunidad se puede utilizar un
sistema de soporte que simule la propagación de ondas en la red de
canales.
Ecuaciones de Saint - Venant
El flujo a superficie libre es representado por las ecuaciones deconservación de Masa y de conservación de la Cantidad deMovimiento (Abbott, 1979).
𝑭 𝑿 ; 𝑥, 𝑡 =𝜕𝑿
𝜕𝑡+ 𝐁
𝜕𝑿
𝜕𝑥+ 𝑪 = 𝟎,
𝑿 =𝐴𝑄
; 𝐁 =1 0
𝑔𝐷 −𝑄2
𝐴2
2𝑄
𝐴
; 𝑪 = 𝑔𝐴−𝑞𝑙𝑎𝑡
𝑆𝑓 − 𝑆𝑏,
Donde: 𝑥 y 𝑡, son las variables independientes; 𝐴 𝑥, 𝑡 y 𝑄(𝑥, 𝑡), variablesdependientes de área y gasto, además, Ω 𝑥, 𝑡 ∈ 0, 𝐿 × 0, 𝑇 ⊂ ℝ2 y𝐴,𝑄: Ω 𝑥, 𝑡 ; 𝑛 , número de Manning; 𝑅 𝐴; 𝑥, 𝑡 = Τ𝐴 𝑃 𝐴; 𝑥, 𝑡 , radiohidráulico, 𝐷 𝐴; 𝑥, 𝑡 = Τ𝐴 𝐵 𝐴; 𝑥, 𝑡 ; tirante hidráulico, 𝑃 𝐴; 𝑥, 𝑡 , perímetro ;𝐵 𝐴; 𝑥, 𝑡 , ancho de la superficie libre del agua; 𝑞𝑙𝑎𝑡, representa un gastolateral ;𝑆𝑏 , pendiente del fondo del canal y 𝑆𝑓 la pendiente de fricción.
𝑆𝑓(𝐴, 𝑄; 𝑥, 𝑡) =n(𝑥)2 𝑄 𝑄
𝑔 𝑅(𝐴; 𝑥, 𝑡) Τ4 3𝐴2
La No linealidad de las E. de Saint Venant
• Las E. S-N no se puede solucionar en forma exacta (integración)
• Para su solución se aplican modelos de aproximación, como son:
• Diferencias finitas (en este trabajo se aplica el modelo de Preissmann)
• Elemento finito
• Volumen finito
• Los modelo discretos son de este tipo:
𝐌𝐂 ∙ 𝑿𝑛+1 = 𝒃 (2)
En este caso 𝐌𝐂(𝒏,𝒏+𝟏) es la matriz de coeficientes, 𝑿 el vector de aproximación numérica de términos dependientes en 𝑛 + 1 y 𝒃 es el vector de valores conocidos (temporal) para el tiempo 𝑛
𝑏1 𝑐1 𝑑1 0 0
𝑏2 𝑐2 𝑑2 0
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
0 𝑎1 𝑏1 𝑐10 0 𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑛 ,𝑛+1
𝐴1𝑄2𝐴2𝑄3𝐴3𝑄4𝐴4𝑄5
𝑛+1
=
𝑒1 − 𝑎1𝑄1𝑒2 − 𝑎2𝑄1
𝑒1𝑒2𝑒1𝑒2
𝑒1 − 𝑑1𝐴5𝑒2 − 𝑑2𝐴5
𝑛
Modelo no lineal
Resuelve la no linealidad tras aplicar el método de Newton–Raphson a las E. S-V:
𝑭 𝑿; 𝑥, 𝑡 +𝛿𝐴𝛿𝑄
0 0
ቤ𝜕 𝑭
𝜕𝐴 ത𝑋
ቤ𝜕 𝑭
𝜕𝑄 ത𝑋
=00
Donde 𝛿𝐴 = 𝐴𝑛+1,𝑚+1 − 𝐴𝑛+1,𝑚; 𝛿𝑄 = 𝑄𝑛+1,𝑚+1 − 𝑄𝑛+1,𝑚; 𝑛 + 1, representa el tiempo futuro; 𝑚 + 1, define la iteración en que se encuentra la solución de las variables dependientes.
Solución en Diferenciasfinitas con Preissmann
𝑿𝑚𝑿𝑚+1
Δ𝑿𝑚
𝐻
𝐹(𝑿)
𝑏1 𝑐1 𝑑1 0 0
𝑏2 𝑐2 𝑑2 0
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
0 𝑎1 𝑏1 𝑐10 0 𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑛 ,𝑛+1(𝑚)
𝐴1𝑄2𝐴2𝑄3𝐴3𝑄4𝐴4𝑄5
𝑛+1(𝑚+1)
=
𝑒1 − 𝑎1𝑄1𝑒2 − 𝑎2𝑄1
𝑒1𝑒2𝑒1𝑒2
𝑒1 − 𝑑1𝐴5𝑒2 − 𝑑2𝐴5
𝑛
SIMULADOR DE FLUJJO TRANSITORIO (SFT)
Pantallas del SFT. De la Torre, (2017)
Modelo lineal
Este modelo se obtiene tras sustituir la ecuación deconservación de masa (1) en la de cantidad demovimiento (2), congelando la no linealidad de lamatriz de advección 𝑩.
𝜕𝑄
𝜕𝑡= 2𝑈
𝜕𝐴
𝜕𝑡+ 𝑈2
𝜕𝐴
𝜕𝑥− 𝑔𝐴
𝜕ℎ
𝜕𝑥− 𝑔𝐴𝑆𝑓
Solución en Diferenciasfinitas con Euler no lineal
Es utilizado en SWMM de la EPA.
Modelo lineal
• Se considera que el intervalo temporal es tanpequeño que algunas variables pueden ser tratadascomo explicitas, 𝑿𝑗
𝑛+1 ≈ 𝑿𝑗𝑛 . Esta suposición se
aplica a la pendiente de fricción 𝑆𝑓 y al términoconvectivo.
Esta solución es aplicada por el software HEC RAS
𝑏1 𝑐1 𝑑1 0 0
𝑏2 𝑐2 𝑑2 0
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2
0 𝑎1 𝑏1 𝑐10 0 𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑛
𝐴1𝑄2𝐴2𝑄3𝐴3𝑄4𝐴4𝑄5
𝑛+1
=
𝑒1 − 𝑎1𝑄1𝑒2 − 𝑎2𝑄1
𝑒1𝑒2𝑒1𝑒2
𝑒1 − 𝑑1𝐴5𝑒2 − 𝑑2𝐴5
𝑛
EJEMPLO
Canal de sección rectangular, con dos compuertas, una extracción antes de la primer compuerta.Sección 1 2 3 4 5 6 7 8
Cadenamiento 0+000 2+000 2+005 3+005 6+005 6+010 7+010 10+00
Elev. De Hombro
118 117.8 117.795 117.7 117.4 117.39 117.299 117
Elev. Plantilla 110 109.8 109.799 109.7 109.4 109.39 109.299 109
Ancho de base
15 15 15 15 15 15 15 15
Talud 0 0 0 0 0 0 0 0
Rugosidad 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014
Pendiente 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
Estructura Toma lateral Compuerta Compuerta
𝚫𝒙 10 1 10 10 1 10 10 10
Tiempo (h:m) 00:00 00:05 00:06 04:05 04:06 08:00
Gasto (𝒎𝟑/𝒔) 100 100 110 110 100 100
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500100
102
104
106
108
110
112Hidrograma
tiempo (min)
Gasto
(m
3/s
)
Frontera de gasto
Resultado
Comportamiento del cambio de gasto, para un volumen base de 95m3/s, por efecto del tránsito de una avenida, el sitio de muestreo es después de la extracción (cadenamiento 2+005).
Δ𝑡 = 60 𝑠 𝑦 𝑐𝑟 = 54
Δ𝑡 = 60 𝑠 𝑦 𝑐𝑟 = 54
CONCLUSIÓN
• El modelo lineal tiene problemas en la amplitud yatenuación de las ondas.
• Si se planea simular estrategias de control decompuertas en canales es necesario utilizar unasolución no lineal de la E. de Sain Venant.
BIBLIOGRAFÍA
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