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Prof. Jorge Luis Godier Amburgo

15/07/2015

Eduardo Gonzales

Métodos Aplicados a

la Física

Prof. Jorge Luis Godier Amburgo

Métodos Aplicados a la Física

Autor: Eduardo Gonzales 2

INDICE

METODO DE 1/3 SIMPSON.........................................................................3

INTERPOLACION DE NEWTON………………………………………………………………..5

METODO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE…………………………………………7

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y SUSTITUCIÓN REGRESIVA…………9

METODO DE 1/3 DE SIMPSON………………………………………………………………12

METODO DE NEWTON-RAPHSON………………………………………………………..............13

METODO DE DESCONPISICION LU…………………………………………………………….....15

METODO DE BISECCION………………………………………………………….18

CODIFICACION EN FORTRAN……………………………………………..……………….20




METODO 3/8 DE SIMPSON

LA LEY DE COULOMB Esta ley de la fuerza entre los cuerpos cargados puede enunciarse como sigue: “Cuerpos con cargas similares se repelen y con cargas diferentes se repelen; para cargas puntuales (llamando puntual cuando sus dimensiones espaciales son muy pequeñas comparadas con cualquier longitud del problema en cuestión) la fuerza de interacción es proporcional al producto de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”.

Ejemplo: Al electrifica un barra de cobre se observó que interactúa con una partícula cargada eléctricamente,

calcular la fuerza sobre la partícula q0 de la figura suponiendo que λ=λ0 (1-2x/l) (l=5 m, q0=

5x10-6 C, λ0=10-8 C/m)

Solución:

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑙𝑙+𝑎𝑎−𝑥𝑥)2

𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥(𝑙𝑙+𝑎𝑎−𝑥𝑥)2

𝑖𝑖 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐹𝐹0 = ∫ 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘0 (1−2𝑥𝑥/𝑙𝑙)𝑘𝑘𝑥𝑥

(𝑙𝑙+𝑎𝑎−𝑥𝑥)250

Reemplazando los valores

𝑑𝑑 = �0.00045 (1 − 2𝑑𝑑/5)𝑑𝑑𝑑𝑑

(11 − 𝑑𝑑)2

5

0

Ahora por el método de 3/8 de Simpson, estableciendo que la función para operar es

𝑇𝑇 =0.00045 (1− 2𝑑𝑑/5)

(11 − 𝑑𝑑)2

Encontrando h con a =5 y b=0

ℎ =5 − 0

9= 0.555



Ahora evaluando en la función para cada valor

K XK F(XK)

0 0 3.719x 10-6

1 0.555 3.209x10-6

2 1.110 2.558x10-6

3 1.665 1.725x10-6

4 2.220 6.538x10-7

5 2.775 -7.317x10-7

6 3.330 -2.540x10-6

7 3.885 -4.925x10-6

8 4.440 -8.115x10-6

9 5 -1.250x10-5

𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑇𝑇 =3(0.555)

8�𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓(5) + 3�𝑓𝑓(0,555) + 𝑓𝑓(2.220) + 𝑓𝑓(3,885)�

+ 3�𝑓𝑓(1.110) + 𝑓𝑓(2.775) + 𝑓𝑓(4.44)� + 2(𝑓𝑓(1.665) + 𝑓𝑓(3.330))�

𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑇𝑇 = −6,759𝑋𝑋10−6



El resultado del problema es de −6,759𝑑𝑑10−6 N por el método de Simpson 3/8 y el valor de la integral

resuelta es de −6,805𝑑𝑑10−6calculando el error porcentual:

𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐸𝐸𝐴𝐴% =|−6.805𝑑𝑑10−6 − −6,759𝑑𝑑10−6|

|−6.805𝑑𝑑10−6| 𝑑𝑑100 = 0.67%



INTERPOLACION DE NEWTON

DEFORMACIÓN ELÁSTICA Y PLÁSTICA

Cuando una pieza se somete a una fuerza de tensión uniaxial, se produce una deformación del material. Si el material vuelve a sus dimensiones originales cuando la fuerza cesa se dice que el material ha sufrido una DEFORMACIÓN ELASTICA. El número de deformaciones elásticas en un material es limitado ya que aquí los átomos del material son desplazados de su posición original, pero no hasta el extremo de que tomen nuevas posiciones fijas. Así cuando la fuerza cesa, los átomos vuelven a sus posiciones originales y el material adquiere su forma original. Si el material es deformado hasta el punto que los átomos no pueden recuperar sus posiciones originales, se dice que ha experimentado una DEFORMACIÓN PLASTICA.

Ejemplo: En una fábrica, en la sección de elaboración de resortes el personal que revisa la calidad

de resorte se pregunta si sus resortes son de la calidad que la empresa planea vender siendo llevados

a al laboratorio de resistencia de materiales tomando un resorte al azar de obtuvo los siguientes

datos:

𝑙𝑙 𝑑𝑑(𝑚𝑚𝐴𝐴𝑚𝑚𝐴𝐴𝐸𝐸𝑚𝑚) 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 𝑓𝑓𝑓𝑓𝐴𝐴𝐴𝐴𝑓𝑓𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑒𝑒𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚𝐸𝐸𝑒𝑒𝑚𝑚

0 0.2 1.2214

1 0.4 1.4918

2 0.6 1.8221

3 0.8 2.2255

La deformación a la cual serán forzadas en el campo laboral es de x=0.65 m, ¿Calcular la fuerza a la

cual estará deformado?

Solución:

Nos pide 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓(0.65)

Hallamos la distancia relativa:

𝑚𝑚(𝑚𝑚) =𝑚𝑚 − 𝑚𝑚𝑘𝑘∆𝑚𝑚 =

0.65 − 0.20.2 = 2.25



Del polinomio de interpolación de newton:

𝑑𝑑𝑚𝑚(𝑚𝑚) = 𝑓𝑓𝑘𝑘 + ��𝑚𝑚𝑖𝑖� ∆𝑖𝑖𝑓𝑓𝑘𝑘

𝑚𝑚

𝑖𝑖=0

Para m=3 tenemos.

𝑑𝑑3(𝑚𝑚) = 𝑓𝑓𝑘𝑘 + ��𝑚𝑚𝑖𝑖� ∆𝑖𝑖𝑓𝑓𝑘𝑘

3

𝑖𝑖=0

Desarrollando:

𝑑𝑑3(𝑚𝑚) = 𝑓𝑓0 + 𝑚𝑚(𝑓𝑓1 − 𝑓𝑓0) +𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 1)

2[𝑓𝑓2 − 2𝑓𝑓1 + 𝑓𝑓0]

+𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 1)(𝑚𝑚 − 2)

6 [𝑓𝑓3 − 3𝑓𝑓2 + 3𝑓𝑓1 − 𝑓𝑓0]

Remplazando:

𝑑𝑑3(2.25) = 1.2214 + 2.25(1.4918 − 1.2214) +2.25(2.25 − 1)

2[1.8221 − 2(1.4918) + 1.2214]

+2.25(2.25 − 1)(2.25 − 2)

6[2.2255 − 3(1.8221) + 3(1.4918) − 1.2214]

𝑑𝑑3(2.25) = 1.2214 + 0.6084 + 0.08423 + 1.5469 × 10−3 = 1.9156 𝑁𝑁



METODO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE Posición de una partícula El movimiento de una partícula se conoce por completo si la posición de la partícula en el espacio se conoce en todo momento. La posición de una partícula es la ubicación de la partícula respecto a un punto de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado.

Ejemplo: Para que un patrullero un motocicleta pueda alcanzar a un automóvil que comete una infracción.

Un patrullero en motocicleta debe pasar por un control técnico (revisión técnica automotriz) en

las pruebas de velocidad contra el tiempo se obtuvo los siguientes datos Para la tabla que a continuación se presenta:

k 0 1 2 3

xk 0 1 3 6

F(xk) -3 0 5 7

Obtenga la aproximación polinomial de Lagrange con todos los puntos. Interpole el valor de la función para x=1.8. Solución:

𝑃𝑃(𝑋𝑋) = �𝐿𝐿𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=0

(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑖𝑖)

𝐿𝐿𝑖𝑖(𝑑𝑑) = ��(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝑖𝑖)�𝑑𝑑𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝑗𝑗�

�𝑎𝑎

𝑗𝑗=0𝑗𝑗≠𝑖𝑖

𝑃𝑃(𝑋𝑋) = �𝐿𝐿𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=0

(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑖𝑖) = 𝐿𝐿0(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑0) + 𝐿𝐿1(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑1) + 𝐿𝐿2(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑2) + 𝐿𝐿3(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑3)

𝑖𝑖 = 0

𝐿𝐿0(𝑑𝑑) =(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑1)(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑2)(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑3)

(𝑑𝑑0 − 𝑑𝑑1)(𝑑𝑑0 − 𝑑𝑑2)(𝑑𝑑0 − 𝑑𝑑3) =(1.8 − 1)(1.8− 3)(1.8− 6)

(0− 1)(0− 3)(0 − 6)

= −0.224

𝑖𝑖 = 1


(𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑0)(𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑2)(𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑3) =(1.8− 0)(1.8 − 3)(1.8 − 6)

(1− 0)(1− 3)(1− 6)

= 0.9072



𝑖𝑖 = 2


(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑0)(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑1)(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑3) =(1.8 − 0)(1.8− 1)(1.8− 6)

(3− 0)(3− 1)(3 − 6)

= 0.336

𝑖𝑖 = 3


(𝑑𝑑3 − 𝑑𝑑0)(𝑑𝑑3 − 𝑑𝑑1)(𝑑𝑑3 − 𝑑𝑑2) =(1.8 − 0)(1.8− 1)(1.8− 3)

(6− 0)(6− 1)(6 − 3)

= −0.0192

𝑃𝑃(𝑋𝑋) = −0,0224(−3) + 0.9072(0) + 0.336(5) − 0.0192(7)

𝑃𝑃(𝑋𝑋) = 2.21760



MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y SUSTITUCIÓN REGRESIVA El Movimiento de una partícula En el estudio del movimiento trasnacional se usa el modelo de partícula y el objeto en movimiento se describe como una partícula sin importar su tamaño. En general, una partícula es un objeto parecido a un punto, es decir: un objeto que tiene masa pero es de tamaño infinitesimal. Por ejemplo, si quiere describir el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, puede considerar a la Tierra como partícula y obtener datos razonablemente precisos acerca de su órbita. Esta aproximación se justifica porque el radio de la órbita de la Tierra es grande en comparación con las dimensiones de la Tierra y del Sol. Como ejemplo en una escala mucho más pequeña, es posible explicar la presión que ejerce un gas sobre las paredes de un contenedor al tratar las moléculas de gas como partículas, sin importar su estructura interna.

Ejemplo: Tres asteroides que se mueven en forma rectilínea sin aceleración, considerando que la trayectoria de los asteroides entra de definidas en los ejes x, y, z. Encontrar el punto donde las partículas se chocan

H1: 4𝑑𝑑 + 𝑦𝑦 − 𝑓𝑓 = 9

𝐻𝐻2: 3𝑑𝑑 + 2𝑦𝑦 − 6𝑓𝑓 = −1 H3:𝑑𝑑 − 5𝑦𝑦 + 3𝑓𝑓 = 1

Solución: Sistema de 𝑁𝑁 = 3 se efectúan 𝑁𝑁 − 1 = 3− 1 = 2 eliminaciones Primera eliminación: 𝑚𝑚 = 1 Sobre la matriz ampliada [𝐴𝐴:𝐵𝐵]0 para llevarla a [𝐴𝐴:𝐵𝐵]1

[𝐴𝐴:𝐵𝐵]0 = �4 1 −1 ⋮3 2 −6 ⋮1 −5 3 ⋮

9 −1 1

�

[𝐸𝐸1]1 = [𝐸𝐸1]0 = [4 1 −1 ⋮ 9]

[𝐸𝐸2]1 = [𝐸𝐸2]0 − �𝑎𝑎21𝑎𝑎11� [𝐸𝐸1]0 = [3 2 −6 ⋮ −1] − �3

4� [4 1 −1 ⋮ 9]

= [0 1.25 −5.25 ⋮ −7.75]

[𝐸𝐸3]1 = [𝐸𝐸3]0 − �𝑎𝑎31𝑎𝑎11� [𝐸𝐸1]0 = [1 −5 3 ⋮ 1] − �1

4� [4 1 −1 ⋮ 9]

= [0 −5.25 3.25 ⋮ −1.25]



[𝐴𝐴:𝐵𝐵]1 = �4 1 −1 ⋮0 1.25 −5.25 ⋮0 −5.25 3.25 ⋮

9 −7.75 −1.25

�

Segunda eliminación: 𝑚𝑚 = 2 Sobre la matriz ampliada [𝐴𝐴:𝐵𝐵]1 para llevarla a [𝐴𝐴:𝐵𝐵]2 [𝐸𝐸1]2 = [𝐸𝐸1]1 = [4 1 −1 ⋮ 9]

[𝐸𝐸2]2 = [𝐸𝐸2]1 = [0 1.25 −5.25 ⋮ −7.75]

[𝐸𝐸3]2 = [𝐸𝐸3]1 − �𝑎𝑎32𝑎𝑎22� [𝐸𝐸2]1

= [0 −5.25 3.25 ⋮ −1.25] − �−5.251.25

� [0 1.25 −5.25 ⋮ −7.75]

= [0 0 −18.8 ⋮ −33.8]

[𝐴𝐴:𝐵𝐵]2 = �4 1 −1 ⋮0 1.25 −5.25 ⋮0 0 −18.8 ⋮

9 −7.75 −33.8

�

Por sustitución regresiva:

𝑑𝑑3 = 𝑓𝑓 =𝑏𝑏3𝐴𝐴33

=−33.8−18.8

= 1.7979

(𝑖𝑖 = 2)

𝑑𝑑2 = 𝑦𝑦 = �𝑏𝑏2 − � 𝐴𝐴2𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

3

𝑡𝑡=2+1

�1𝐴𝐴22

= �−7.75 − (−5.25 × 1.7979)�1

1.25= 1.3512

(𝑖𝑖 = 1)

𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑 = �𝑏𝑏1 − � 𝐴𝐴1𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

3

𝑡𝑡=1+1

�1𝐴𝐴11

= �9 − (1 × 1.3512) − (−1 × 1.7979)�14

= 2.3617

Respuesta: Los elementos del vector incógnita 𝑋𝑋 son:

𝑑𝑑 = 2.3617 𝑦𝑦 = 1.3512 𝑓𝑓 = 1.7979

Comprobando

4(2.3617) + 1.3512 − (1.7979) = 9.0001 3(2.3617) + 2(1.3512) − 6(1.7979) = −0.99999

2.3617 − 5(1.3512) + 3(1.7979) = 0.9994



METODO DE 1/3 DE SIMPSON

Un perforador de Roca ejerce una fuerza de tal forma que, para que no se recaliente el motor se perfora y se retira constantemente mostrando que la fuerza varia con la función 1,5 + 2𝑚𝑚𝐴𝐴𝑒𝑒𝑑𝑑 Calcular el

trabajo realizado por el perforador desde que empieza hasta que recorre 4𝜋𝜋 metros

RESOLVIENDO

ℎ = 𝑏𝑏−𝑎𝑎𝑛𝑛

= 4𝜋𝜋−06

= 2𝜋𝜋3

𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 1,5 + 2𝑚𝑚𝐴𝐴𝑒𝑒𝑑𝑑

K 0 1 2 3 4 5 6

xk 0 2𝜋𝜋3

4𝜋𝜋3

2𝜋𝜋 8𝜋𝜋

3

10𝜋𝜋3

4𝜋𝜋

F(xk) 32

3.2320 -0.2320 3

2

3.2320 -0.2320 32

𝐴𝐴𝑚𝑚𝐸𝐸𝑚𝑚𝐴𝐴𝑙𝑙 =ℎ3

[𝑓𝑓(𝐴𝐴) + 𝑓𝑓(𝑏𝑏) + 4(𝑓𝑓(𝑑𝑑1) + 𝑓𝑓(𝑑𝑑3) + 𝑓𝑓(𝑑𝑑5)) + 2(𝑓𝑓(𝑑𝑑4) + 𝑓𝑓(𝑑𝑑2))]

𝐴𝐴𝑚𝑚𝐸𝐸𝑚𝑚𝐴𝐴𝑙𝑙 =2𝜋𝜋33�32

+32

+ 4(3.2320 +32

+ −0.2320) + 2(3.2320 + −0.2320)�

𝐴𝐴𝑚𝑚𝐸𝐸𝑚𝑚𝐴𝐴𝑙𝑙 = 6𝜋𝜋 = 18.8496𝐽𝐽 𝐴𝐴𝑚𝑚 𝐴𝐴𝑙𝑙 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝑏𝑏𝐴𝐴𝑡𝑡𝐸𝐸 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑙𝑙𝑖𝑖𝐴𝐴𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑝𝑝𝐸𝐸𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑙𝑙 𝑝𝑝𝐴𝐴𝐴𝐴𝑓𝑓𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝐸𝐸𝐴𝐴



METODO DE NEWTON-RAPHSON

MOVIMIENTO OSCILATORIO ¿Qué es un movimiento oscilatorio? ¡Es un movimiento de vaivén! ¿Podemos hacer una descripción científica? Si estudiamos el movimiento de un número de objetos podemos quizás contestar a la pregunta. Si una masa se suspende a partir de un resorte, se tira hacia abajo y después se suelta, se producen las oscilaciones Ejemplo: En resorte de un carro sufre un movimiento el movimiento armónico amortiguado descrito por la función

𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 10𝐴𝐴𝑡𝑡2 cos(2𝑑𝑑) − 4 encontrar la raíz de la solución a partir del punto x=0.2 con una tolerancia de

0.01%

Solución:

La derivada de la función es: 𝑓𝑓 ‘(𝑋𝑋) = 5𝐴𝐴𝑡𝑡2𝑐𝑐𝐸𝐸𝑚𝑚(2𝑑𝑑) − 20𝐴𝐴

𝑡𝑡2𝑚𝑚𝐴𝐴𝑒𝑒(2𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑖𝑖−1 −𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑖𝑖−1)𝑓𝑓 ‘(𝑑𝑑𝑖𝑖−1) 𝑚𝑚𝐸𝐸𝑙𝑙 = �𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑖𝑖−1) − 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑖𝑖)�

Con x0=0.2

𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑0 −𝑓𝑓(𝑑𝑑0)𝑓𝑓 ‘(𝑑𝑑0) = 0.2 −

6,1793−3.5178 = 1,95658

𝑚𝑚𝐸𝐸𝑙𝑙 = |1,95630 − 0.2| = 29,25377

Con x1=1,9563

𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 −𝑓𝑓(𝑑𝑑1)𝑓𝑓 ‘(𝑑𝑑1) = 1,95630 −

−23.058518.0343 = 2.7950



𝑚𝑚𝐸𝐸𝑙𝑙 = |1,95630 − 0.2| = 29,25377

.

.

.

.

Y así sucesivamente hasta llegar a la iteración 6 con x6=2.4161

𝑑𝑑7 = 𝑑𝑑6 −𝑓𝑓(𝑑𝑑6)𝑓𝑓 ‘(𝑑𝑑6) = 2.4161 −

4.3012𝑑𝑑10−4

68.4593 = 2.4160

𝑚𝑚𝐸𝐸𝑙𝑙 = |4.3012𝑑𝑑10−4 − 4.3010𝑑𝑑10−4| = 0.001% < 𝑚𝑚𝐸𝐸𝑙𝑙

Como la tolerancia es menor que la pedida la raíz de la ecuación es x=2.4160



METODO DE DESCONPISICION LU

En un centro de investigaciones de partículas se espera comprobar cuanta energía produce el choque de tres fotones, para eso se requiere saber el momento en el cual los tres fotones chocan, si ellos se mueven en forma rectilínea sin aceleración y sus desplazamiento está definido por las siguientes ecuaciones

P1: 4𝑑𝑑 − 2𝑦𝑦 − 𝑓𝑓 = 9 𝑃𝑃2: 5𝑑𝑑 + 1𝑦𝑦 − 𝑓𝑓 = 7 𝑃𝑃3𝑑𝑑 + 2𝑦𝑦 − 𝑓𝑓 = 12

𝐴𝐴 = �4 −2 −15 1 −13 2 −1

� 𝐵𝐵 = �97

12�

ITERACIÓN 1

factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25 factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25 Encontrando [U] fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2) fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3) a11 = a11 a12 = a12 a13 = a13 a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0 a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5 a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25 a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0 a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5 a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75

𝑈𝑈 = �4 −2 −10 3.5 0.253 2.5 −0.75

�

Encontrando [L]

𝐿𝐿 = �4 0 0

1.25 0 00.25 0 0

�



ITERACIÓN 2

factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143

Encontrando [U]

fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)

a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0

a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0

a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286

𝑈𝑈 = �4 −2 −10 3.5 0.253 0 −0.9285714286

�

Encontrando [L]

𝐿𝐿 = �1 0 0

1.25 1 00.25 0.7142857143 1

�

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver

L.y = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

𝑦𝑦1 = 9

1.25𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 = 7

0.25𝑦𝑦1 + 0.7142857143𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦3 = 12

Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:

𝑦𝑦1 = 8.9999958604

𝑦𝑦2 = −4.2500046145

𝑦𝑦3 = 12.785710172



El último paso es resolver U.x = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera

resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:

4𝑑𝑑1 − 2𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑3 = 8.9999958604

3.5𝑑𝑑1 + 0.25 𝑑𝑑3 = −4.2500046145

−0.9285714286𝑑𝑑3 = 12.785710172

La solución del sistema es:

𝑑𝑑1 = −1.307693428

𝑑𝑑2 = −0.23077067

𝑑𝑑3 = −13.769228760



METODO DE BISECCION

“La trayectoria balística”

Es la trayectoria de vuelo que sigue un proyectil sometido únicamente a su propia inercia y a las fuerzas inherentes al medio en el que se desplaza, principalmente la fuerza gravitatoria. La ciencia que estudia los fenómenos balísticos en general se denomina balística. La balística exterior estudia la trayectoria balística bajo diversas condiciones. Cuando sobre el proyectil tan solo actúa la gravedad, la trayectoria balística es una parábola. Sin embargo, la presencia de otras fuerzas, tales como la resistencia aerodinámica (atmósfera), la fuerza de sustentación, la fuerza de Coriolis (efecto de la rotación terrestre), etc. hace que la trayectoria real sea algo diferente de una parábola.

Problema resuelto por el método de Bisección

En una armería se realizan las pruebas a un grupo de armas de corto alcance, al realizarse sendos

disparos se un investigador de física quiso ver como afectaba el viento y la gravedad en la trayectoria de la

bala. Tomando un sensor de movimiento obtuvo la siguiente aproximación de su trayectoria 𝑑𝑑(𝑚𝑚) = 𝐴𝐴−𝑡𝑡 −𝑚𝑚 . Tomando la trayectoria del disparo como el eje “x” encontrar el tiempo en el que la posición es cero

𝑑𝑑 = 0 en un intervalo de [0.5,0.75] . Con una tolerancia del 0.01%

https://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoria

https://es.wikipedia.org/wiki/Proyectil

https://es.wikipedia.org/wiki/Inercia

https://es.wikipedia.org/wiki/Bal%C3%ADstica

https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_parab%C3%B3lico

https://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_aerodin%C3%A1mica

https://es.wikipedia.org/wiki/Sustentaci%C3%B3n



PROGRAMACION EN FORTRAN

METODO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE



METODO DE INTERPOLACION DE NEWTON ADELANTE



CODIFICACCION DE UN TERCIO DE SIMPSON EXTENDIDO



METODO DE BISECCION



METODO DE GAUSS PARA ECUACIONES LINEALES



METODO DE NEWTON-RAPHSON



METODO DE DESCOMPOSICION LU

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