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La simetría como una gramática del diseño de la naturaleza, el arte y la ciencia
CURSO DE MATEMÁTICASDiseño Industrial
Facultad de Ingeniería, UAQ.
Martín Larios GarcíaM.en Arq., M. en Fil.
RESUMEN
La simetría como concepto de conocimiento de la forma y naturaleza del
mundo. Se presentan la formación de un sistema de elementos de simetría que
surgen de una evolución de descubrimientos matemáticos, en la cristalografía, en
la biología y en la física, de tal manera que la lectura de la estructura de la
naturaleza sugiere una gramática de elementos fundamentales para el diseño.
La simetría, sus elementos y su interrelación, así como la aplicación en las
nociones de explicación científica y las posibilidades formales para reconocer la
estructura de la forma y del desarrollo de nuevas propuestas.
Se presentan algunas aplicaciones en el desarrollo de proyectos de
investigación de la forma con significado estético y utilitario. Se enuncia la
discusión de la creación en el arte y la invención en la ciencia y como la simetría
es un concepto clave para la determinación de pautas en los diseños y en las
teorías.
Palabras clave: simetría, diseño, creación, invención, fullerenos y
nanotubos.
1. LA SINTÁCTICA DE LA ESTRUCTURA
Una gota de agua y un modelo de un super-racimo de trece icosahedros
que se sobreponen, mostrando la habilidad de teselación y que contienen 1820
moléculas de agua, dos maneras de ver la naturaleza, una de ellas forma parte de
la gramática de la simetría y la otra es expresión de la simetría.
Una gramática del diseño de la naturaleza, el arte y la ciencia no es un
esquema incomprensible, sino que la belleza del mundo reside en que es
comprensible para el hombre. Dice Ian Stewart que “la ciencia no trata de
concebir descripciones enormemente complejas del mundo. Trata de concebir
descripciones que iluminen el mundo y lo hagan comprensible”. Desde la
Meditación 6ª de Descartes se ha empeñado la “nuova scientia” en caminar por el
sendero de la matemática como la ciencia de las pautas (patterns, que bien
podemos traducir como “diseños”). La simetría es el camino de las pautas de la
forma y de la comprensión de las leyes de la naturaleza (Ref. 1).
El término simetría se deriva del griego sum (‘con’ o ‘junto’) y metron
(medida), así que summetria indica una relación de conmensurabilidad (es el
significado de Euclides en ‘Los Elementos’). Adquiere posteriormente el significado
de una relación de proporción (basado en números [íntegros]), y con la función de
armonizar los elementos diferentes de un conjunto unitario.
Además de la noción de proporción y simetría del Renacimiento, en el siglo
XVII surge una noción diferente de simetría basada, ya no en las proporciones,
sino en una relación de igualdad entre elementos que se oponen, tales como la
derecha y la izquierda de una figura; las partes son intercambiables respecto al
conjunto (se pueden intercambiar sin alterar la figura original). Esta idea se
desarrolló mediante varias etapas para dar paso al concepto de simetría en la
ciencia moderna. Una etapa crucial fue la introducción de operaciones
matemáticas, tales como las rotaciones, las reflexiones y las traslaciones, que se
utilizan para describir con precisión los cambios de las partes.
Como resultado llegamos a la definición de la simetría de una figura
geométrica en términos de su invarianza cuando componentes iguales son
intercambiables de acuerdo con una de las operaciones especificadas.
Cuando las dos mitades de una figura bilateralmente simétrica se
intercambian mediante reflexión, y recobramos la figura original, podemos decir
que es invariante bajo las reflexiones derecha-izquierda; esto es conocida como la
“noción de simetría cristalográfica”. Esto fue en el contexto del inicio de la
cristalografía donde arranca el concepto y la aplicación del término simetría.
La siguiente etapa clave fue la generalización de este concepto en la
definición teórica de simetría, que se alcanzó paralelamente al desarrollo del
concepto algebraico de grupo, durante el siglo XIX, y al hecho de que las
operaciones de simetría de una figura se encontraron que satisfacían las
condiciones para formar un grupo. La reflexión de simetría tenía ahora una
definición precisa en términos de invarianza en el grupo de las reflexiones (Ref. 2).
Una isometría es un movimiento o una transformación que cambia una
figura en una congruente. Las operaciones de isometría son cuatro: rotación
(isometría directa), traslación, reflexión (isometría indirecta) e identidad. Aunque
podemos considerar a la reflexión deslizada (operación combinada de una
reflexión y una traslación) como una operación más, y si descontamos la identidad
tendremos únicamente cuatro operaciones básicas para desarrollar una gramática
de la forma. La simetría significa que las partes de una figura no solamente son
congruentes sino que están relacionadas por medio de una operación de
isometría, de tal manera que la figura completa es autocoincidente bajo esa
isometría. Los elementos de simetría quedan definidos como: [1] el punto y el eje
de rotación (binario, ternario, cuaternario, senario); [2] el eje de traslación, [3] el
eje de reflexión (conocido también como espejo) que llega a constituirse en un
plano. Estos son los elementos básicos de simetría que permiten realizar las
isometrías (Ref. 3).
Los elementos básicos de geometría son: el punto, la línea, polígonos y
poliedros. Un polígono es una figura plana limitada mediante aristas y vértices. Se
considera simple cuando sus aristas se pueden deformar continuamente hasta
alcanzar el círculo sin cambios en sus propiedades topológicas (Ref. 4).
Las teselaciones (tesela: término griego que designa un elemento
cuadrado que forma parte de un mosaico) planas [2D] son ensambles de
polígonos que cubren el plano sin sobreponerse y sin dejar huecos; al considerar
siguientes limitantes tendremos:
[1] todos los polígonos en una teselación son congruentes;
[2] todos los polígonos en una teselación son regulares;
[3] todos los vértices en una teselación son vértices congruentes y están n-
conectados formando una red de n-conexiones.
Cumpliendo las tres condiciones tenemos las teselaciones regulares que se
representan con símbolo de Schläfli {3,6}, {4,4} y {6,3}. [La notación significa que
el primer término es el número de lados del polígono y el segundo término es el
número de polígonos que se encuentran en un vértice].
Una teselación dual se genera interconectando los centros de los polígonos
con nuevas aristas que sean perpendiculares a las aristas de la teselación original.
En el caso de las teselaciones regulares se generan también teselaciones
regulares: la {3,6} genera la {6,3}; la {6,3} genera la {3,6} y la {4,4} genera la {4,4}.
(Ref. 5).
Si no consideramos la condición limitante [1] tenemos 8 teselaciones
denominadas semiregulares o arquimedeanas, que también generan sus duales,
Y que se conocen como los politopos Voronoi (elemento importante para el
concepto de fractal y el desarrollo del método de análisis y diseño conocido como
“método del elemento finito” [MEF]). Finalmente, al no considerar las condiciones
[1] y [3] encontramos 14 teselaciones polimorfas o demiregulares (Ref. 6).
Resumiendo, tenemos 3 teselaciones regulares, 8 semiregulares y 14
demiregulares, todas ellas directas, por lo que al considerar sus duales
encontramos 8 y 14 duales de las semi y demi regulares, ya que las duales de las
regulares son las mismas. Esto nos ofrece una posibilidad de contar con 47
teselaciones a partir de las cuales podemos desarrollar diseños diversos (Ref. 7).
Cada una de las teselaciones nos ofrece una gama de posibilidades para
generar mosaicos, es decir, considerando el concepto de “función automórfica”
que Henri Poincaré encuentra ya que la periodicidad con que se presentan en el
plano es a final de cuentas un concepto de módulo que permitirá definir las redes
de puntos que cubre la totalidad de un plano (Ref. 8). Estas funciones nos
permiten organizar el plano en regiones que se definen por sistemas de puntos
que definen las redes o mallas que son el fundamento teórico de las teselaciones
y son únicamente cinco, estas son: paralelogramo, rectangular, rectangular
centrada, cuadrada y triangular (Ref. 9).
Ahora bien, con las operaciones de isometría en las redes o mallas
(lattices), que son la base de las teselaciones, desarrollamos los grupos de
transformaciones, desde un eje de rotación, como elemento de simetría, hasta la
múltiple combinabilidad de ejes de rotación, planos de reflexión y planos de
reflexiones deslizadas.
En ‘De nive sexangula’ (1611) Kepler estudia la simetría hexagonal de los
cristales de nieve. El copo de nieve inicia su existencia como un cristal hexagonal
formado en una nube, en el trayecto hasta el suelo, experimenta una secuencia de
cambios en la temperatura y la humedad que provocan un crecimiento de
proporciones variables. Su historia queda grabada en las variaciones de su
espesor en los seis pétalos de su crecimiento. Este proceso garantiza que cada
pétalo virtualmente idéntico y cuenta para la simetría del copo de nieve.
Cuando un copo de nieve se rota a través de un ángulo de 60° sobre su
centro, regresa a una posición que se muestra igual a la anterior. Esto significa la
invarianza que existe en dicha transformación y que representa mantenerse
invariante como característica de la simetría. La forma del copo de nieve también
es invariante si lo rotamos 120° y se mantiene invariante si lo regresamos a la
posición inicial. Al combinar las rotaciones y la identidad es posible encontrar 12
transformaciones diferentes (incluyendo la identidad). Por lo tanto podemos decir
que el orden de la simetría de los copos de nieve es 12.
Así el primer grupo es cuando tenemos únicamente el eje de rotación dando
como resultado los Grupos Finitos o Puntuales, divididos en dos: [1] el grupo
consistente en las repeticiones de una simple rotación propia de una parte
alícuota, α = 360°/n de 360°; y [2] el grupo de estas rotaciones combinadas con
reflexiones en n ejes que forman ángulos de α/2. El primer grupo se denomina
Grupo Cíclico, Cn y el segundo Grupo Dihedral, Dn. Estos son las dos únicas
simetrías centrales posibles en dos dimensiones:
C1, C2, C3, C4, C6, Cn….; D1, D2, D3, D4, D6,…Dn (Ref. 10).
Mosaico de la Catedral de Pisa, Italia (D4)
Cuando tenemos un eje longitudinal de traslaciones (2D), se puede repetir
una operación o conjunto de operaciones de simetría y tenemos una “banda” con
un diseño repetitivo, entonces tenemos el denominado Grupo de Friso (Ref. 11),
son siete las combinaciones posibles que generan el diseño base que se repite de
forma trasnacional, los grupos son los siguientes: [1] sin simetría; [2] reflexión
deslizada; [3] reflexión horizontal; [4] reflexión vertical; [5] semigiro; [6] reflexión
horizontal y vertical; y [7] reflexión deslizada con reflexión horizontal y vertical.
Este grupo en tres dimensiones (3D) nos permite reconocer la formación de
poliedros de prismas y antiprismas.
Los siete grupos frizados [2D] y [3D].
El siguiente grupo en el plano (2D), incorpora los grupos puntuales o finitos
(Cn, Dn) incorporando como base de la estructura del conjunto a las redes o mallas
(paralelogramo, rectangular, rectangular centrada, cuadrada y hexagonal), con las
mismas operaciones básicas de simetría: rotación, traslación, reflexión y reflexión
deslizada, dando como resultado el Grupo de Papel Tapiz, presentamos el
siguiente cuadro: (Ref. 12).
Donde encontramos al grupo puntual como generador y de acuerdo con la
simetría de la red se estructuran los grupos papel tapiz, la “m” representa una
reflexión, horizontal o vertical, y la “g” una reflexión deslizada.
Cm P2gg C2gg P4mm P31m
Al implicar otras geometrías de curvatura diferente al plano podemos
proyectar las teselaciones y encontrar otras propiedades de la simetría que se
acercan a otros campos de organización de polígonos. Como es el caso del
diseño Círculo Límite IV de M. C. Escher, que es la representación en un plano de
una teselación {6,4} proyectada sobre una superficie de curvatura esférica, de
acuerdo con el modelo de proyección de H. Poincaré (Ref. 13).
El diseño Círculo Límite IV
El diseño del Círculo Límite IV que muestra la teselación {6,4} sobrepuesta
en un espacio esférico (imagine que es una esfera vista desde la parte superior
que se ha cubierto con una teselación {6,4} [hexágonos y cuadrados] que cubre la
esfera sobre la superficie esférica) (Ref. 14).
Muchos objetos de lo cotidiano observan elementos de simetría, al analizar
estos elementos los podemos encontrar en tres dimensiones, con un orden y una
secuencia, desde lo simple hasta la complejidad de combinación de rotaciones,
rotaciones inversas y reflexiones para encontrar como resultado los llamados
“grupos cristalográficos”, que son en total 32 (Ref. 15). Los grupos
cristalográficos son puntuales o finitos (3D) y son la expresión tridimensional de
los grupos finitos o puntuales de dos dimensiones (2D).
Consideremos ahora la simetría de un tetraedro regular. Este es un sólido
en forma de una pirámide con base triangular y con cuatro caras de triángulos
equiláteros. La forma de un tetraedro es invariante cuando se gira 120° sobre un
eje que pasa por uno de los vértices. También es invariante cuando se gira a
través del punto medio de las aristas opuestas. De esta manera encontramos que
el orden de simetría rotacional del tetraedro también es 12, pero es diferente del
copo de nieve ya que éste tiene una transformación que se repite seis veces para
restaurarlo en su posición original y el tetraedro no es de esta forma. Si añadimos
las reflexiones tendremos un total de 24 simetrías; siguiendo con este criterio, el
cubo y el octaedro tienen 48 simetrías y el dodecaedro y el icosaedro tienen 120
simetrías (Ref. 16).
Los restos arqueológicos más antiguos que se tienen noticia y en los que
aparecen figuras poliedrales, son piedras talladas del neolítico (c. 2,000 a. C.) que
se encontraron en Escocia, lo que es un ejemplo de que la simetría es reconocida
como un elemento de interpretación de la realidad, asociada con los elementos de
belleza y creatividad.
Un poliedro es un sistema finito compuesto de un conjunto de polígonos
planos, tal que todas las aristas de uno de los polígonos pertenezcan a otro
polígono. Los poliedros más importantes son los poliedros simples. Un poliedro es
simple cuando es topológicamente equivalente a una esfera; esto es, que puede
ser deformado continuamente hasta alcanzar la esfera. Es posible construir
muchas clases de poliedros, ya que consisten de varias combinaciones con las
aristas rectas y curvas, caras planas y curvas, formas convexas y cóncavas.
Solamente cinco poliedros son posibles de acuerdo con las condiciones
limitantes siguientes:
[1] todos los polígonos son convexos;
[2] todos los polígonos son regulares;
[3] todos los polígonos en un poliedro son congruentes;
4] todos los vértices son idénticos;
[5] todos los ángulos dihedrales son iguales (Ref. 17).
Los cinco poliedros comúnmente conocidos como los poliedros platónicos
(por la referencia del Timeo), son los siguientes:
tetraedro {3,3}; cubo {4,3}; octaedro {3,4}; dodecaedro {5,3}; icosaedro {3,5}.
Cuando la condición [1] se desaparece encontramos los cuatro poliedros
estelados de Kepler (Harmonice Mundi, 1619) y Poinsot, desconocidos en los
tiempos antiguos. Conjuntamente con los cinco platónicos son los poliedros
regulares (Ref. 18).
Si se desaparece la condición [3] tenemos los poliedros cuasi-regulares que
son dos: el cuboctaedro y el icosidodecaedro. Si se elimina la condición [5] se
admite un conjunto de poliedros infinito: los semiregulares o arquimedeanos. Esto
incluye un conjunto infinito de prismas y antiprismas y once poliedros: tetraedro
truncado, el cubo truncado, el octaedro truncado, el gran rombicuboctaedro, el
subcubo, el dodecaedro truncado, el icosaedro truncado (que tiene una gran
relevancia en la definición de la molécula de carbono C60 conocido también como
buckminsterfullereno o simplemente fullereno), el pequeño rombicosidodecaedro,
el gran icosidodecaedro y el subdodecaedro (Ref. 19).
Los 32 grupos cristalográficos forman grupos de simetrías de acuerdo con
la red o malla sobre la que se desplazan en tres direcciones: un primer grupo
como simetría triclínica, monoclínica y ortorrómbica; un segundo grupo, de
simetría trigonal; un tercero, de simetría tetragonal; un cuarto grupo de simetría
hexagonal y un quinto grupo de simetría isométrica. A éste último corresponde los
elementos de simetría de los cinco cuerpos platónicos: la notación cristalográfica
que muestra los elementos de simetría es de [23] para el tetraedro; la notación
[432] corresponde al cubo y al octaedro; y la notación [m3] al dodecaedro e
icosaedro (Ref. 20).
Al incorporar los grupos finitos en tres dimensiones en una malla o red que
cubra el espacio encontramos las posibilidades de desarrollar un sistema espacial,
así que de acuerdo con el tipo de grupo finito y el tipo de malla utilizada tendremos
los Grupos Espaciales que definen los sistemas cristalográficos.
De esta manera, un sistema cristalográfico es una categoría de los grupos
espaciales, que se caracteriza por su estructura de simetría en tres dimensiones
(3D), teniendo un grupo de simetría discreta. Su principal aplicación es en la
cristalografía, para categorizar cristales, pero en sí mismo es uno de los tópicos de
la geometría euclideana en 3D.
En la geometría, una malla de Bravais es una categoría de los grupos de
simetría para una simetría traslacional en tres direcciones, o de forma
correspondiente, una categoría de redes o mallas de traslación. Estas redes o
mallas tridimensionales son de cuatro tipos: simples, de base centrada, de caras
centradas y de cuerpo centrado. La clase ortorrómbica es la única que contiene
los cuatro tipos de las redes de Bravais.
La clase ortorrómbica.
Estas mallas o redes son clasificadas por el grupo espacial de la malla de
translación; hay 14 redes de Bravais en tres dimensiones; cada una aplica a un
sistema cristalográfico únicamente. Ellas representan la simetría máxima de una
estructura en relación con la simetría que tiene el grupo.
Todos los materiales cristalinos que se conocen hasta ahora (sin incluir a
los cuasi-cristales) pertenecen a uno de estos arreglos. Las redes de Bravais
fueron estudiadas por Moritz Ludwing Frankenheim en 1842, que encontró 15, sin
embargo fueron los hermanos August y Louis Bravais quienes las corrigieron en
1848 y únicamente son 14.
De acuerdo con la estructura de la red se tienen 7 sistemas cristalográficos:
1. Triclínico, son todos los casos que no satisfagan los requerimientos de
otro sistema; por lo que no hay otra simetría traslacional, o únicamente la clase
extra que es la inversión.
2. Monoclínico, requiere de un eje de rotación binario o un plano de
reflexión o de espejo.
3. Ortorrómbico, requiere de un eje ternario de rotación o un eje binario y
dos planos de espejo.
4. Tetragonal, requiere de un eje cuaternario de rotación.
5. Trigonal (Rombohedral), requiere de un eje ternario de rotación.
6. Hexagonal, requiere de un eje senario de rotación.
7. Isométrico o cúbico, requiere de 4 ejes ternarios de rotación. (Ref. 21)
Al combinarse los grupos cristalinos con las redes o mallas trasnacionales
en tres direcciones en cada uno de los casos mencionados antes, encontramos
los 230 Grupos Espaciales. Hay 2, 13, 59, 68, 25, 27 y 36 grupos por cada
sistema cristalográfico respectivamente, los que suman los 230. La siguiente tabla
nos presenta el panorama completo:
Sistema de cristalNo. de grupos
finitosNo. de Red de
BravaisNo. de grupos
espaciales
Triclínico 2 1 2
Monoclínico 3 2 13
Ortorrómbico 3 4 59
Tetragonal 7 2 68
(Trigonal) 5 1 25
Hexagonal 7 1 27
Cúbico 5 3 36
Total 32 14 230
2. LA SEMÁNTICA (QUIRALIDAD)
Uno de los primeros estudios de la simetría en el arte es el Alberto Durero
‘De symmetria partium’ en 1528. Para que posteriormente fuera Johannes Keppler
quien en su ‘Mysterium Cosmographicum’ (1596) sugiriera que las orbitas de los
planetas conocidos hasta entonces estaban definidas por los cuerpos platónicos;
un poco más adelante pero siempre bajo la misma mística Kepler publica
‘Astronomia Nova’ (1609) donde anuncia sus tres leyes famosas sobre el
movimiento de los planetas, donde la segunda ley que ahora entendemos como la
conservación del momento angular, es una consecuencia de la simetría O(3)
[grupo ortogonal en tres dimensiones] de la fuerza gravitacional del sol. El grupo
O(3) lo constituyen todas las simetrías de una esfera formado por todas las
rotaciones en torno a su centro, y además todas las reflexiones respecto a los
planos que pasen por dicho centro. Las rotaciones por sí solas forman un grupo
menor SO (3), el grupo ortogonal especial en tres dimensiones (Ref. 22).
Ya hemos mencionado el tratado ‘De nive sexangula’ donde Kepler estudia
la simetría hexagonal de los cristales de nieve, pero será hasta 1669 cuando
Nicolás Steno, clérigo danés, geólogo y anatomista publica su investigación sobre
los ángulos de los cristales en ‘De solido intra sodium naturaliter contendo’, donde
probablemente se menciona por primera vez sobre la ‘ley de constancia de los
ángulos’, para los cristales de cuarzo. Se inicia una relación entre el estudio de los
cristales y el desarrollo del concepto de simetría, en 1772 Jean-Baptiste Romé
confirma las observaciones de Steno, y posteriormente intenta ordenar los
cristales en clases de simetría. Posteriormente, en 1784 René-Just Haüy hizo la
hipótesis de que cada cristal estaba formado por adiciones sucesivas conocidas
ahora como “células unitarias”; sostuvo además, que las diferencias o identidades
en la forma cristalina implicaban diferencias o identidades en la composición
química, este fue el comienzo de la ciencia de la cristalografía que con la aparición
de las técnicas de los rayos X, con Max von Laue y William Bragg alcanzó su
madurez; además, propuso la ‘ley de índices racionales’ que sirvió de base para
que J. F. C. Hessel, en 1830 derive las 32 clases de cristales, a partir de la ley de
los índices racionales.
Las simetrías de un objeto forman un grupo, que es un sistema de
transformaciones cerrado: siempre que se combinan dos de ellas, el resultado es
otro elemento del mismo grupo. A este grupo en concreto se le llama grupo de
simetrías del objeto (Ref. 23).
La teoría de grupos inicia con Evariste Galois (1832) quien comprende la
relación entre las soluciones algebraicas de una ecuación y la estructura de un
grupo de permutaciones asociadas con la ecuación; después, en 1844 Cauchy
estudia las propiedades de las permutaciones de los grupos. Las permutaciones
de un número fijo de N elementos se denomina ahora el grupo de simetría SN.
Félix Klein propone el ‘Programa Erlangen’ en 1872, donde la geometría se
clasifica mediante los grupos invariantes y es de hecho Sophus Lie a finales del
siglo XIX el que desarrolla la teoría de grupos.
El uso de las matemáticas de la teoría de grupos en el estudio de las
teorías físicas fue central en el trabajo de un grupo, en el inicio del siglo XX, cuya
figura central fue Félix Klein (quien colaboró inicialmente con Sophus Lie) y David
Hilbert, al que se incorporó Herman Weyl y después Emmy Noether, con su
valiosa aportación de la “ley de conservación de la energía” (Ref. 24).
Una ley de conservación es la afirmación de que existe una magnitud
mensurable (tal como la energía total de un sistema) que no varía en ningún
proceso físico; es decir, la energía total es la misma antes y después de que
cualquier proceso tenga lugar. El teorema de Noether unifica los conceptos de
simetría y leyes de conservación y nos explica el modo en que las simetrías se
manifiestan en la naturaleza. (Ref. 25).
Los hermanos Bravais, el cristalógrafo August y el botánico Louis publican
(1837) unas investigaciones sobre el crecimiento de las plantas y descubrieron la
regla general de las razones filotácticas que se expresan en términos de la serie
de Fibonacci (2/5; 3/8) y señalaron también su presencia en las semillas de pino y
la fruta de piña, así como el desarrollo de las semillas del girasol (Ref. 26).
Si bien fueron los hermanos Bravais los que descubrieron la presencia de la
sección aúrea en este tipo de pautas filotácticas (filotaxis) fue hasta 1907 cuando
G. Van Iterson calculó la configuración relacionada con la espiral óptima;
considerando la razón de números de la serie 34/55 y multiplicándola por 360° se
obtiene 222.5° y restándola de los 360° obtenemos el ángulo aúreo, 137.5°. Los
tres diseños difieren solamente en el ángulo de divergencia α, igual a (a) 137.3°,
(b) 137.5° el valor correcto, y (c) 137.6° (Ref. 27). En la cristalografía los
hermanos Bravais en 1840 desarrollan las redes de traslación de los grupos finitos
en el espacio; con estos elementos (independientemente) A. M. Schönflies y E. S.
Fedorov derivan, en 1890 los 230 grupos espaciales.
El estudio de los cristales se realiza mediante el procedimiento de
refracción de la luz lo que llevará a un frustrado profesor de Bellas Artes, a
descubrir en 1860 la conexión entre la actividad óptica y las estructuras
moleculares enantiomórficas, así Louis Pasteur en 1860, encuentra que las
moléculas quirales son imágenes de espejo que rotan la luz en sentidos opuestos;
lo que significa que los grupos finitos al desarrollarlos en un eje longitudinal en 3D
obtenemos una secuencia que constituye una línea continuidad que es espiral,
esto es la curva del “tornillo”, que puede ser izquierda (levógira) o derecha
(dextrógira). El término quiral se deriva del nombre griego kheir significa "mano" y
fue William Thomson, conocido como Lord Kelvin, quien acuñó este denominación
para designar la propiedad de los cristales de organizarse en dos sentidos
helicoidales.
Linus Pauling, primer químico cuántico y uno de los fundadores de la
biología molecular, siguiendo la línea de la investigación mediante la difracción de
los rayos X, publica en 1930, su obra más importante, The Nature of the Chemical
Bond ("La naturaleza del enlace químico"), donde estudia la teoría de las valencias
químicas utilizando la simetría de las órbitas, y creó las Cinco Reglas que señalan
la estructura molecular de los cristales complejos, determinando la distribución de
los núcleos atómicos y su relación de acuerdo con las estructuras poliédricas y el
empaquetamiento de esferas (Ref. 28).
Coordinación 6 Coordinación 12
Linus Pauling decidió estudiar de forma más precisa la estructura de las
proteínas, utilizando la difracción de rayos X, en 1951, basados en las estructuras
de los aminoácidos y de los péptidos y considerando la naturaleza planar del
enlace peptídico, Pauling y sus colegas propusieron que la estructura secundaria
de las proteínas estaba basada en la hélice alfa y la lámina beta. Pauling sugirió
una estructura helicoidal para el ácido desoxirribonucleico (ADN) y en 1953,
Watson y Crick propusieron una estructura correcta para la doble hélice del ADN.
Las tetrahélices son columnas helicales de tetraedros, la de la izquierda
integra los elementos básicos 3 tetrahedros y la de la derecha explica la
estructuración de los modelos del DNA, esto es el control de las pautas
fundamentales de la estructuración biológica de la naturaleza como lo contienen
los núcleos de los virus.
Esta última se integra con 10 tetraedros vinculados por medio de las aristas
para formar un ciclo de hélice, la que también es una característica de
composición molecular del modelo del DNA de Watson-Crick. Cuando colocamos
dos o más tetrahélices positivas juntas, los ángulos de los poliedros se entrelazan;
los tetraedros se agrupan en racimos locales de cinco tetraedros entorno al eje
transversal de la columna tetrahélice agrupada. Esto es porque los ángulos
dihedrales de los cinco tetraedros son 7° 20' más cortos que 360°, este ángulo de
7° 20' es un salto propio de la estructura de la hélice de donde proviene. Este
arreglo comprimido busca siempre descomprimir el agrupamiento de unos tetraedros
respectos a otro, o a los otros, de los cuales es un replica real. Podemos considerar esta
explicación como directa del comportamiento de la estructura del DNA (teorética) (Ref.
28).
El problema de definir la derecha o la izquierda, desde los experimentos de
Pasteur, pasando por la estructura de las proteínas, se precisa a partir de los
experimentos de Lee y Yang, premios Nobel 1957; Feynman menciona que si “en
el experimento de desintegración radiactiva se mide el spin (los electrones giran al
ser emitidos) se descubre que giran hacia la izquierda (vistos desde atrás; es
decir, si se dirigen hacia el sur, giran en el mismo sentido que la Tierra). Un
electrón en un proceso de desintegración gira siempre en un sentido (hacia la
izquierda); «si el electrón sale disparado hacia arriba, su sentido de giro es de la
espalda hacia dentro del cuerpo del lado izquierdo. Esto define la izquierda, el lado
donde está el corazón» (Ref. 29).
De esta manera ya entramos en el mundo de lo microscópico, de lo
extremadamente pequeño, lo nanométrico donde las distancias son de 10-9,
aunque tenemos que en distancias de 10-19 la simetría trasnacional del espacio
sigue siendo válida (Ref. Lederman,115). Ahora bien, un átomo mide una décima
de nanómetro; una molécula de agua, apenas un nanómetro; por seguir con la
escala, un glóbulo rojo sanguíneo mide 7.000 nanómetros de diámetro, y un pelo
humano, 80.000 nanómetros.
En 1961 Murray Gell-Mann y Yuval Neeman propusieron el SU (3) como
una simetría para las interacciones fuertes. Esto incluye la simetría isospin en un
grupo más grande de simetría que también actúa en el extraño número cuántico.
En 1964 Gell-Mann y Zweig propusieron un nivel de quanta más nuevo y profundo,
los quark, para tomar en cuenta la simetría SU (3) [«SU» viene del inglés Special
Unitary group y el 3 corresponde a la matriz N x N, donde N es la dimensión del
grupo] (Ref. 30).
Robert Curl, Harry Kroto y Richard Smalley produjeron, en 1985, las
moléculas observadas de C60 mediante grafito vaporizado con laser en un chorro
de helio. Este descubrimiento les valió el premio Nobel en Química de 1996 y en la
forma para determinar la organización atómica de la molécula utilizaron el
icosaedro trunco, sugerido por una geodésica de Buckminster Fuller (Ref.31).
La ilustración de la izquierda es un icosaedro trunco, realizado por
Leonardo da Vinci, en la Tercera Parte (a cargo de Piero de la Francesca) del libro
de Lucca Paccioli “La Divina Proporción” de 1509. A la derecha tenemos la
molécula denominada Buckminsterfullereno, C60, con esta molécula se inició la
revolución nanométrica.
En 1991 Sumio Iijima descubrió una nueva forma de carbón, los nanotubos
de carbón de varias capas (MWNT). La C1,000,000 y más, esta molécula es un
polímero monoelemental y su diámetro es de 0.6 a 1.8 nanométros (SWNT). Su
longitud puede ser de millones de veces su diámetro.
Puede describirse como un cristal separado en una dirección con una celda
unitaria que se propaga y se repite. Esta pauta periódica tiene la simetría de una
hélice, no tan compleja como la doble hélice del ADN, pero posee una belleza
especial en su orden monótono, es una encarnación molecular del Bolero de
Ravel.
Siguiendo el modelo cilíndrico de la distribución filotáctica descubierta por
los hermanos Bravais y desarrollada geométricamente por H. S. M. Coxeter,
permitirá establecer el fundamento formal a la estructura de la molécula de
carbono de C1,000,000 y más.
La generación de nanotubos se realiza a partir de los buckminterfullerenos,
C60, C70 y C80, desarrollándose en sentido longitudinal, y en cada caso el arreglo
de la teselación hexagonal depende de la cabecera originando una hélica
específica. En la intersección de dos nanotubos aparecen pentágonos y
hexágonos lo que cubre la demanda establecida por Euler en su regla para los
poliedros: (A = V + C – 2); garantizada de esta manera la simetría y el rigor
matemático del diseño (Ref. 32)
3. LA PRAGMÁTICA (CONCLUSIONES)
El arte contemporáneo se ha percatado de la relevancia de los aspectos de
la invención y de la creatividad, y ésta última parece que queda supeditada a los
impresionantes aportes de la ciencia y se plantea una nueva de creatividad.
Un ejemplo claro de esta manera innovadora son las técnicas empleadas
por el arquitecto Frank Ghery en el Museo Gugenheim de Bilbao tienen su origen,
en gran medida, en la ingeniería aeronáutica. Brazos robóticos trazan las formas
de modelos hechos a mano y transmiten la información a las computadoras. La
computadora determina qué es y qué no es posible en la elección de materiales de
construcción como, por ejemplo, el titanio nunca usado antes en las proporciones
en que lo usa Ghery.
También tenemos el caso del proyecto «nube cuántica» de Anthony
Gormley en Londres a finales del siglo pasado, que es demasiado complejo para
una ingeniería puramente «humana». El escultor se sirvió de un escáner
ultramoderno capaz de crear en veinte segundos una imagen formada por treinta
mil coordenadas digitales en tres dimensiones.
Esta «imagen» de su cuerpo se transmitió luego a un programa
especialmente diseñado para compaginar la visión del artista con los parámetros
de su factibilidad material.
El programa contenía 75,00 líneas de código para ayudar a conseguir un
«campo de energía en movimiento». Esto es, una simbiosis de la vieja física con la
nueva, del arte con la ciencia (Ref. 33).
Sin embargo, aún debemos considerar que toda gramática reclama una
sensibilidad personal y una intuición para crear nuevas pautas o nuevos diseños.
Sumio Iijima nos dice: “Pienso que una de las razones de las advertencias que
hemos escuchado en los pasados años en el sentido de que el Japón “está
perdiendo sus conexiones con la ciencia” es la perdida de las habilidades de la
sensibilidad y la observación, que se aprenden a través del contacto con la
naturaleza. La investigación puede comprometerse en cualquier clase de
ambiente, tanto como el interés que se tenga. Yo creo que la verdadera educación
significa el fomento de la habilidad para interesarse en algo” (Ref. 34).
A partir de lo que Schläfli señaló que un poliedro {p,q}, se puede
descomponer (o construir) en uno o más tetraedros congruentes, a estos
tetraedros los llamó ortoesquemas. Se les denomina generalmente como
tetraedros cuadrirectangulares porque están compuestos por cuatro triángulos en
ángulo recto.
El cubo lo podemos dividir en 48 ortoesquemas cúbicos lo que nos facilita
los cálculos de los ángulos dihedrales, las esferas interna y externa del poliedro, y
las superficies de áreas y volúmenes del poliedro.
Con estos elementos desarrollamos una línea de investigación con
estudiantes de licenciatura de arquitectura utilizando una parte de la gramática de
los elementos de simetría como estrategia para el diseño de elementos
prefabricados y con posibilidades de fabricación en serie y manufacturera.
El siguiente paso fue el analizar todas las opciones de los grupos de papel
tapiz utilizando el ortoesquema cúbico y comparar los resultados en función de su
continuidad de caras y rigidez de forma con área de material y volumen
desarrollado.
Este ejemplo corresponde a un agrupamiento de ortoesquemas cúbicos de
acuerdo con el grupo de papel tapiz p4gm. Después de realizar todos los posibles
agrupamientos (17) del grupo de simetría, se reconocieron cuatro de los que
cumplían los requisitos de continuidad de aristas y caras para desarrollar los
prototipos. De cada uno se procedió a elaborar la parte modular básica en
elementos planos para doblarse y armarse de acuerdo con la geometría del
ortoesquema. Se muestran los elementos básicos para desarrollar el prototipo del
grupo p422.
Con varios prototipos armados se puede realizar una estructura
autoportante a partir de los elementos básicos y con los elementos de simetría del
grupo, y de esta manera se obtuvieron resultados directos.
Finalmente se aprovechó la experiencia de este proyecto para desarrollar
un sistema de bloques constructivos para la construcción, incorporando los
conceptos de aditividad y combinabilidad propios de un sistema de prefabricación
modular (Ref. 35).
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Acerca del Autor
Martín Larios García
Obtuvo el Título de Ingeniero Arquitecto (ESIA, IPN, 1967), tiene los grados de Maestro en Arquitectura con la especialidad en Diseño Arquitectónico, (UNAM 1975, Mención Honorífica) y de Maestro en Filosofía (UAQ, 2004), además realizó estudios de la Maestría en Planeación Urbana y Regional en la Universidad de Guanajuato y la Especialidad en el “Internacional Centre of Conservation and Restauration of Monuments and Sites” de UNESCO, Roma, Italia y actualmente realiza su tesis doctoral en Psicología y Educación con el tema: “El significado de lo estético en el desarrollo de la ciencia de las nanoestructuras”. Profesor en las áreas de Teoría, Historia y Diseño arquitectónico en licenciatura (desde 1966) y posgrado (desde 1976), en la ESIA-IPN, UNAM, ITESMUQ, ITQ y UAQ. Ha desempeñado cargos académicos como Jefe la Sección de Posgrado e Investigación en ESIA-Tecamachalco del IPN (1982-86), Coordinador de la Maestría en Construcción de la DEPI de la Facultad de Ingeniería de la UAQ (1981-84 y 1991-94), Miembro del Consejo de Posgrado e Investigación del IPN (1997-98) y Secretario del Consejo Académico de la Maestría en Arquitectura del ITQ (2004-07). Docente de la UVM, Campus Querétaro en Arquitectura (2006-07).