misión matematica 7°

Contenido de tu libro Pág. Un mundo de negocios 12

B , , , , NUMEROS ENTEROS Estándar: Identifico y utilizo los números enteros en situaciones tanto de la matemática c o m o de la vida real.

Pensamiento numérico -variacional

C o n c e p t o de número entero. Inverso adi t ivo 13 Pensamiento numérico -variacional O r d e n en el c o n j u n t o de los números enteros y va lo r abso lu to 16


Ubicación de números enteros en el p l a n o cartes iano 2 0

OPERACIONES C O N NUMEROS ENTEROS Estándar: Identifico y utilizo las operaciones y propiedades con números enteros en la solución de problemas.


Adición de números enteros y p rop iedades 23


Sustracción de números enteros 27 Pensamiento numérico -variacional Multiplicación y división de números enteros 3 0


Potenciación y radicación 34


Planteamiento de ecuaciones y solución de prob lemas 38


Rincón de la historia: h i s t o r i a d e los n ú m e r o s e n t e r o s 41

Pensamiento métrico -

geométr ico

CONGRUENCIA Y CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS Estándar: Identifico segmentos y polígonos congruentes y construyo polígonos regulares con los instrumentos

adecuados . Pensamiento métrico -

geométr ico Segmento y ángulos congruentes 4 3


geométr ico

Const rucciones geométricas 46

Pensamiento aleatorio

DATOS ESTADÍSTICOS Estándar: Estimo y analizo frecuencias en un conjunto de datos ayudándome de herramientas c o m o tablasj istas,

d iagramas de tal lo y hojas, entre otros.

Organización de datos y distribución de f recuencias 50

Proyecto: Sofware g e o g e b r a , const rucciones geométricas y re laciones numéricas 54

Páginas especiales Matemática ciudadana: Biocombustibles, un impacto ambiental y económico 5 6 Páginas especiales

Prueba de unidad 5 8


dentitico y utilizo los i

O p e r a d o r e s f racc ionar ios

Fracciones equivalentes y números mixtos

C o n c e p t o de número rac iona l

NUMEROS RACIONALES úmeros enteros en situaciones tanto de la matemática o

Rincón de la historia: Los r a c i o n a l e s e n la h i s t o r i a

Representación d e c i m a l de los racionales y convers iones


geométrico

O r d e n de los números racionales y representación en la recta numérica

POLÍGONOS Y LÍNEAS NOTABLES DE TRIÁNGULOS Estándar: C las i f ico polígonos según sus p rop iedades (número de lados , número d e ángulos,

long i tud de los lados . . . ) . Identi f ico y construyo las líneas notables de un triángulo.

Polígonos

6 5

6 9

72

73

Longitud y perímetro

Tr iángulos y líneas notables

77

82

8 6

9 0

UNIDADES DE SUPERFICIE, MASA, VOLUMEN Y CAPACIDAD. TEOREMA DE PITAGORAS. Estándar: Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cant idades de la misma magni tud.

A partir del concepto de área pruebo el teorema de Pítágoras.


geométrico

Área y un idades de superf icie 94

Teorema de Pítágoras

Rincón de la historia; P í tágoras

9 9

103

Un idades de masa , v o l u m e n y c a p a c i d a d 104

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y DIAGRAMAS ESTADISTICOS Estándar: Construyo distribuciones de frecuencias y d iagramas estadísticos a partir de una colección de datos.

I Distribución de f recuencias y d i a g r a m a s estadísticos | 1 0 9

Proyecto: Conversión de números arábigos a números r o m a n o s c o n ay u d a de l c o m p u t a d o r 66

Matemática recreativa: Biocombustibles, un impacto ambiental y económico 6 8

Prueba de unidad 1 2 0

Pac

•o

3

OPERACIONES C O N N Ú M E R O S RACIONALES Estándar : Interpreta situaciones que involucran las operaciones entre números racionales.

Ad ic ión y sustracción de números racionales 123

Pensamiento Mul t ip l i cac ión y división de números raciones 128 numérico -variacional Potenciación de números racionales y prop iedades 132

Radicación de números racionales y prop iedades 140

Ecuaciones con números racionales 145

Situaciones p rob lema con números racionales 148

S Ó L I D O S Y V O L U M E N Estándar : Identifico y calculo el volumen de sólidos a partir de sus propiedades principales.

Pensamiento métrico - Sólidos geométr icos 152

geométrico Rincón de la historia: s ó l i d o s p l a t ó n i c o s 155

geométrico

Volumen de sól idos 158


^ . — — . . —

M E D I D A S DE T E N D E N C I A CENTRAL Estándar : Uso medidas de tendencia central (media, med iana, moda) para interpretar el compor tamiento de

un conjunto de datos.

geométrico Med idas de tendencia centra l : p romed io 163 geométrico

Med idas de tendencia cent ra l : m o d a y med iana 167

Proyec to : Const rucc ión a escala de un tang ram 171 Páginas

especiales Matemática ciudadana: La ludopatía, una adicción al juego 174 Páginas especiales

Prueba de unidad 176

Pág.

Grandes inventos de la historia 178

• RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES Estándar: Argumento los procedimientos, conceptos y propiedades empleados en la solución de problemas

haciendo uso de la proporc ional idad.

Razones y proporc iones 179


Rincón d e la historia: P r o p o r c i o n a l i d a d 183


Ecuaciones con proporc iones 187


Proporción directa 189 Pensamiento

numérico -variacional

Proporc iona l idad inversa 194 Pensamiento

numérico -variacional

Regla de tres simple directa 199


Regla de tres simple inversa 2 0 3

Proporción compuesta 2 0 5

Repartos proporc iona les 2 1 1

Porcentaje 2 1 5

Interés s imple 2 1 8


I N T R O D U C C I Ó N AL ÁLGEBRA Estándar : Identifico y expreso términos algebraicos.

Evaluación de expresiones a lgebra icas 2 2 0


M O V I M I E N T O S EN EL P L A N O Estándar : Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones,

reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas v en el arte.

Pensamiento numérico -variacional Movimien tos en el p lano 2 2 5


Homotec ias 2 3 2


• PROBABIL IDAD Y C O N T E O Estándar : Reconozco argumentos combinator ios como herramienta para interpretación de situaciones diversas

de confeo v orobabi l idad. .... .„...,-— Pensamiento aleatorio Conceptos básicos de p robab i l i dad 2 3 5

Técnicas de con teo 2 3 9

Proyec to : P laneando mis vacaciones 2 4 2

Páginas Matemática recreativa: La proporción áurea en el entorno 2 4 4 especiales

Prueba de unidad 2 4 6

UNIDAD 1 Un mundo de neaocios Pensamientos Numérico - variacional Métrico • geométrico Aleatorio

Estándares

Identifico y resuelvo situaciones que involucren los números enteros, sus operaciones y propiedades.

Represento en el plano cartesiano la relación entre dos variables enteras.

Reconozco ángulos y segmentos semejantes, utilizo sus propiedades para resolver problemas prácticos relacionados con éstos.

Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones, construcciones, propiedades y postulados geométricos.

Estimo y analizo frecuencias en un conjunto de datos ayudándome de herramientas como tablas, listas, diagramas de tallo y hojas, entre otros.

Logros

Identificar y utilizar números enteros en la solución de diversas situaciones.

Efectuar operaciones con números enteros aplicando correctamente sus propiedades.

Aplicar los números enteros para ubicaciones en el plano cartesiano.

Resolver problemas utilizando operaciones, propiedades y ecuaciones con números enteros.

Identificar y utilizar definiciones y postulados de la geometría de rectas y ángulos.

Realizar construcciones geométricas utilizando los instrumentos adecuados.

Utilizar algunas herramientas estadísticas para organizar datos.

Competencias

Pensamientos

Estándares

Logros

Competencias

Reconoce y utiliza los números enteros contextualizados en diversas situaciones. Identifica relaciones entre lados, ángulos, rectas y planos para clasificar y resolver situaciones geométricas. Maneja y utiliza las operaciones y propiedades con números enteros en la solución de problemas. Comprende y utiliza demostraciones sencillas entre ángulos, rectas y planos con base en postulados y definiciones básicas. Resuelve problemas mediante el planteamiento y solución de ecuaciones con números enteros. Formula y resuelve situaciones que involucren el orden de datos estadísticos utilizando herramientas como tablas, diagrama de tallo y hojas y distribución de frecuencias.

Numérico • variacional

Identifico, represento y ordeno los números racionales de distintas maneras.

Reconozco los atributos principales de los polígonos y establezco relaciones entre los mismos.

Métrico • geométrico

Identifico y construyo las alturas, bisectrices, mediatrices y medianas de un triángulo dado e identifico los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Aleatorio Construyo distribuciones de frecuencias y diagramas estadísticos a partir de una colección de datos.

Identificar cómo actúa un operador fraccionario sobre una magnitud y un número. Identificar y representar fracciones equivalentes y números mixtos. Identificar el concepto de número racional. Realizar conversiones entre fracciones decimales y reconocer el tipo de expresión decimal que forma. Identificar y utilizar el orden en los números racionales y su representación en la recta numérica.

Reconocer e identificar los atributos básicos de los polígonos, su perímetro y área. Identificar las propiedades básicas de los triángulos a partir de las líneas notables. Identificar la relación pitagórica y aplicarla en la solución de problemas. Reconocer las unidades del sistema métrico decimal para medir la capacidad, masa y tiempo.

Utilizar la distribución de frecuencias y los diagramas estadísticos para interpretar y analizar datos.

Utiliza diferentes representaciones de los números racionales para formular y resolver algunas situaciones. Identifica y reconoce las propiedades esenciales de los polígonos semejantes. Deduce y aplica las fórmulas para encontrar áreas y volúmenes de polígonos y cuerpos geométricos. Comprende el concepto de masa, volumen y capacidad, maneja las unidades métricas correspondientes para estas magnitudes. Formula y resuelve problemas con los números racionales. Construye y utiliza distribuciones de frecuencias y diagramas estadísticos para solucionar problemas.

UNIDAD 3 Juegos de ingenio Pensamiento

Estándares

Logros

Numérico - variacional

Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos. Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación de números racionales.

Analizar y solucionar problemas usando los números números racionales y sus operaciones. Aplicar la potenciación y radicación con números racionales para dar solución a situaciones problema.

Analizar y solucionar problemas usando de las ecuaciones entre números racionales.

Métrico - geométrico Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos. Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud.

Identificar y clasificar los sólidos geométricos según sus características.

Encontrar el volumen de cuerpos geométricos para formular y resolver algunas situaciones.

Aleatorio

Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos.

Aplicar el promedio de un conjunto de datos en el análisis y solución de situaciones problema.

Interpretar y analizar información por medio de la moda y la mediana de un conjunto de datos.

Competencias

Argumenta los procedimientos, conceptos y propiedades empleados en la solución de problemas haciendo uso de los números racionales. Interpreta situaciones que involucran las operaciones básicas, potenciación y radicación entre números racionales. Deduce las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto de los números racionales. Soluciona situaciones en donde se presentan conceptos de peso y volumen de cuerpos. Desarrolla y aplica diferentes estrategias para la solución de problemas haciendo uso de los números racionales.

UNIDAD 4 Las vacaciones y el turismo

Pensamientos Numérico • variacional Métrico - geométrico Aleatorio

Estándares

Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa.

Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas.

Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte.

Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabilidad.

Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situaciones diversas de conteo.

Logros

Plantear y resolver algunas situaciones haciendo uso de las razones y proporciones. Aplicar la proporcionalidad directajnversa y porcentajes en la solución de problemas. Utilizar la regla de tres simple, simple inversa, compuesta e interés simple en la solución de situaciones problema. Identificar expresiones algebraicas y para modelar situaciones y reducir términos semejantes.

Identificar y realizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras en el plano Aplicar homotecias a diferentes figuras usando el factor de conversión.

Aplicar el cálculo de la probabilidad en el análisis y solución de situaciones problema.

Establecer diferencias entre combinaciones y permutaciones y aplicarlas en la solución de situaciones problema.

Argumenta los procedimientos, conceptos y propiedades empleadas en la solución de problemas haciendo uso de la proporcionalidad.

Competencias Deduce las propiedades de las proporciones y la constante de proporcionalidad directa e inversa. Competencias Establece diferencias e identifica situaciones de proporcionalidad directa e inversa simple y compuesta. Desarrolla y aplica diferentes estrategias para la solución de problemas haciendo uso de la proporcionalidad.

dad Números enteros • Operaciones con números

enteros • Segmentos y ángulos congruentes • Construcciones geométricas

• Organización de datos

Un mundo de negocios La bolsa de valores ha sido creada para fomentar el ahorro y la inversión a largo plazo e impulsar el desarrollo económico y social de los países. Esta organización de origen privado permite que sus clientes realicen negocios de compra y venta de valores, por medio de los llamados corredores, agentes o comisionistas. La primera bolsa se creó en Amsterdam, a principios del siglo XVII, cuando era un importante centro del comercio mundial. Actualmente, existen estas instituciones en la mayoría de países,' siendo la más importante del mundo la Bolsa de Nueva York. En algunos países pequeños o de régimen comunista, como Cuba o Corea del Norte, no existen.

Las bolsas de valores están sujetas a los riesgos de los ciclos económicos, lo que puede elevar o reducir los precios de los títulos o de las acciones.

1 . ¿Qué es, cómo funciona y dónde se ubica la Bolsa de Valores de Colombia?

2 . ¿Cómo se puede comprar o vender acciones en la Bolsa de Valores de Colombia?

4 . La siguiente tabla muestra las acciones negociadas de algunas empresas registradas en la Bolsa de Valores de Colombia én un día:

Empresa

Bancolombia

Cemargos

Coltejer

Enka

Etb

Éxito

Fabricato

Grupo Aval

Interbolsa

Acciones negociadas

222 709,00

1 146 442,00

876 752,00

45 756 390,00

506 162,00

101.598,00

JL21 447 897,00

402 062,00

127 956,00

Empresa

Inverargos

Isa

Isagen

Mineros

Pfbcolom

Suraminv

Valorem

Ecopetrol

Pfbcredito

Acciones negociadas

830 485,00

339 057,00

64 559,00

93 119,00

126 241,00

405 230,00

154 855,00

6 430 532,00

2 406 786,00

Con base en la anterior tabla responde.

a . ¿Cuál empresa negoció más acciones?

b. ¿Cuál empresa negoció menos acciones?

c. ¿Cuál es la diferencia entre la empresa que negoció más acciones y menos acciones?

d. ¿Cuáles empresas negociaron más de un millón de acciones?

Pensamiento numérico - varíacionai

• Concepto de número entero. Inverso aditivo Las primeras monedas fueron inventadas por los fenicios en el a ñ o 680 a.C. El dinero en papel a p a r e c i ó en China hacia el a ñ o 680 d.C. El emperador ins tauró su uso oficial en el a ñ o 812.

Primeras monedas 680 a.C.

1

Primer billete 680 d.C.

1

800 600 400 200 0 200 400 600 800

V Antes de Cristo a.C.

V D e s p u é s de Cristo

Los a ñ o s 680 a.C. y 680 d.C. son opuestos en la l ínea de tiempo; por tanto, se puede asumir que el a ñ o de a p a r i c i ó n de los primeros billetes 680 d.C. es un n ú m e r o entero positivo, y al opuesto, el a ñ o de a p a r i c i ó n de las primeras monedas, 680 a.C, es un entero negativo.

° C lave matemática

El conjunto de los Z está formado por el conjunto de los números positivos y sus opuestos los "números negativos" ¡unto con el 0. Este conjunto suele representarse como sigue:

Z = { . . . , - 6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 , . . . }

^ i i i i i i — i — | — i — i — i — i — i — i — i — _7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2

Negativos

- 1 0 1 2 3 4 5 6

Positivos

O TALLER Concepto dé

f»í) 1 . Encuentra el n ú m e r o entero que describe cada una de las situaciones:

a . Tu fecha de nacimiento

b. La temperatura en la sabana de B o g o t á en é p o c a de invierno puede llegar a los 8 ° C bajo 0 :

C. El nacimiento de Jesucristo _

d . La a c c i ó n de la empresa Multivalores cotiza a 754 a la baja

e . La a c c i ó n de Ecopetrol cotiza a 21 6 al alza

f . El í n d i c e general de la Bolsa de Valores de Colombia presenta un 1 7% al alza

g . Un submarino de la Armada Nacional de Colombia puede navegar a una distancia de 200 metros bajo el nivel del mar _ . — _

h. B o g o t á se encuentra a una altitud de 2 600 metros sobre el nivel del mar.

í. Durante un eclipse de Luna, este saté l i te presenta una f l u c t u a c i ó n de temperatura que oscila entre los 1 30 ° C y los 1 00 ° C bajo cero .

f. La tienda El Paisita tuvo un total de ventas por $ 256 400 en un d ía _ _ _ _ _ _

k. La tienda S ú p e r Ya p e r d i ó $ 1 05 000 en un d ía _ _ _ _ _ — _ _

i. La empresa Multivalores presenta un balance desfavorable con un dé f i c i t e c o n ó m i c o de $ 2 000 460 al terminar el mes _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

m . La Luna puede tener una temperatura m á x i m a en la noche de 184 ° C bajo cero.

2 La mayor profundidad conocida bajo el mar es la fosa de las Marianas, solo el submarino Trieste ha alcanzado llegar a esta zona. La mayor altura en un globo de aire caliente la a l c a n z ó Piccard al tripular su globo a 1 5 787 m. Observa la imagen y responde.

16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000

-2 000 -4 000 -6 000 -8 000 _ L

-10 000 -12 000 -14 000

Determina un n ú m e r o entero para las profundidades y alturas que se dan. Escribe su opuesto o inverso aditivo.

Elemento Número entero Inverso aditivo

Nautile

Titanio (hundido en 1912 en el océano Atlántico)

Avión

Shinkai

Fosa de Java

Monte Aconcagua

Fosas de las Marianas

Globo de aire caliente

3 . Contesta falso (F) o ve rdadero (V), según c o r r e s p o n d a :

a . El c o n j u n t o de los números enteros se encuent ra f o r m a d o por los números posit ivos juntos con los negat ivos , sin el cero .

b . Todo número entero t iene un opuesto o inverso adi t ivo _ _ _ _ _

c. El inverso adi t ivo de un número entero hace que al operar los su resul tado sea el e lemento neutro o cero _ _ _ _ _ _ _

el. El cero se t o m a c o m o punto de referencia para el c o n j u n t o de los enteros

e , En el m u n d o en el que estamos t o d o se p u e d e descr ibi r con números enteros

f . Las alt i tudes y las temperaturas son espacios en d o n d e los números enteros t o m a n relevancia

/.;)) 4 . Escribe un número entero que descr iba la situación propuesta .

a . El M o n t e Everest se encuent ra a una alt i tud 8 8 4 0 metros sobre el nivel del mar.

b„ B u c a r a m a n g a presenta una temperatu ra p r o m e d i o de 2 7 °C.

C. Un submar ino se encuentra a una p r o f u n d i d a d de 1 75 metros ba jo el nivel del mar.

el. La empresa Calza ya presenta un b a l a n c e posit ivo con unas gananc ias totales de $ 15 6 5 4 2 5 0

f . Medellín y Bogotá se encuent ran separados po r una distancia terrestre de 4 8 0 ki lómetros.

g . María debe al señor de la t ienda $ 7 5 5 0 .

f 5 , Una empresa cotizó sus acciones en una semana en la bolsa de valores , en la que registró gananc ias y pérdidas. Obse rva el gráfico y dete rmina el prec io de la acción de c a d a día de la semana.

100

80

60

40

20

0

- 2 0

- 4 0

- 6 0

- 8 0

Valor $

Lunes Martes M¡ércotes-^_ Jueves Viernes día

Descriptor de desempeño: / Reconocer la utilidad del conjunto de los números enteros en la cotidianidad. 15

Pensamiento numérico - variacional

Orden en el conjunto de los números enteros • y valor absoluto

El Producto Interno Bruto (PIB) es el valor monetario total de la p r o d u c c i ó n corriente de bienes y servicios de un pa ís durante un periodo'dado que generalmente es un" a ñ o . Este í n d i c e es muy importante a nivel mundial porque permite estimar la capacidad productiva de una e c o n o m í a , si es creciente y productiva el PIB es positivo, de lo contrario es negativo. Observa el PIB de algunos países para 2002.

P A Í S Argentina Colombia P e r ú Uruguay Venezuela

PIB -11 2 5 -11 -9

Ordenemos de mayor a menor estos países con base en el PIB, para establecer c u á l fue la e c o n o m í a m á s productiva y la de menor crecimiento para 2002. Representemos el PIB en una recta entera.

Venezuela Perú Argentina I Colombia i

-7 - 6 - 5 •3 - 2 - 1 0 1 12 -1¡1 -10 -9

Uruguay

/ Por tanto, el orden es: Perú, Colombia, Venezuela, Argentina y Uruguay. / La e n c o n o m í a mas productiva fue la de Perú , la menos productiva es Argentina

y Uruguay.

PIB (2002)

Se presentan tres situaciones al ordenar números enteros: • Si ambos enteros son positivos siempre será mayor el de mayor cantidad, en la recta se

puede ver como el más alejado del 0, más a la derecha, por ejemplo: 5 > 2 Si ambos enteros son negativos siempre será mayor el de menor cantidad, en la recta se puede ver como el más cercano al 0, más a la derecha, por ejemplo: -11 < -9 Si un número es positivo y el otro negativo siempre será mayor el positivo, más a la derecha, por ejemplo: -1 1 < 5

Valor absoluto: Se puede interpretar como la distancia "real" que existe de un número al 0 dentro de la recta numér ica , sin importar su d i recc ión . Por ejemplo: El valor absoluto de -1 1 es 1 1, porque la distancia que hay de 0 a - 1 1 es 1 1. Se nombra con dos barras: 1-11 1 = 11.

+- Y -1 1

L -10 -9

11

0

J

O TALLER Orden en el conjunto de los números enteros y valor absoluto O o °

§,,)) 1. Escribe los números enteros que cumplan las condiciones en cada caso.

a . Mayores que - 8 y menores que 6

b. Mayores que 1 0 y menores que 1 5

c. Menores q u e - 4 y mayores q u e - 1 2

d. Mayores que - 7 y menores que 0 —

e. Menores que 9 y mayores que - 2 —

a . - 5 + 4

b. - 3 - 5

c. + 7 - 7

d. + 8 8

"? 2. Escribe el signo ( < , > o =) que le corresponda a cada pareja o trío de números.

e. - 1 5 1 .0

f. + 7 n 7 _

g. - 2 1 EZI 13

h. + 9 Ej ó C] - 5

J-7 15

3. Representa sobre la recta los siguientes números enteros y ordénalas de menor a mayor,

a . - 2 , - 9 , 1 0 , 4 , - 4 , 8, 7 , - 2 , - 3 .

•+- + + + •* 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h

b. - 7 , - 8 , - 1 6 , 3 0 , 0 , 1 1 , 12, 5 , - 5 .

•* 1 1 1 1——i 1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 •+•

c. - 1 8 , 18, 7 , - 5 , - 1 , - 3 , - 1 2 .

1 — i — i 1—i 1—i 1 — h H h H 1 1 h

d. 1 9 , - 1 6 , - 1 8 , 2 5 , - 3 3 , - 1 5 , 7 5 , - 3 0 1

•+ 1 1 1 1—i 1—i 1—i h - H 1 1 h-r-H 1 1 h

e. 1 5 , - 2 , 8 , - 6 4 , - 3 1 , - 2 0 , 1 4 , 7 , 6 , 3 0

< 1—i 1 1 1 — i — i — i — i — h — + • H 1 1 1 1 1 1 h

4 . Una empresa ha realizado un intercambio de acciones durante un mes completo, para ello ha registrado sus movimientos en la siguiente tabla, de manera que las acciones compradas son egresos de dinero efectivo (+) y las acciones vendidas son ingresos en dinero efectivo (-).

Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4

+ 705 200 + 3 005 801 + 1 115 203 + 235 004

- 203 201 ' -264 000 - 4 215 000 -876 351

Responde:

a . ¿En cuál semana ganó más dinero en efectivo por la venta de acciones y en cuál ganó menos?

b Para realizar un balance se pide organizar los egresos en forma ascendente y los ingresos en forma descendente. Resuelve este proceso.

c. Representa los movimientos de ingresos y egresos en la recta numérica.

5. La tabla muestra las temperaturas registradas en algunos lugares del mundo. Completa la tabla y luego construye otra ordenando en forma ascendente los lugares según las temperaturas registradas.

Lugar Temperatura (Lectural) Temperatura (Lenguaje matemát ico)

Desierto de Libia (día) Cincuenta y siete grados centígrados sobre cero 57 °C

Antártida - 6 5 °C

Valle de la Muerte Estados Unidos

Treinta y ocho grados centígrados

Dallo) (Etiopía) 34 °C

Vostok (julio 1983) - 8 9 °C

Desierto del Sahara 58 °C

Suiza (invierno) Dos grados centígrados bajo cero

6. Ordena los lugares del mundo desde el punto más alto del planeta hasta el punto más bajo, según el nivel del mar. Realiza una tabla como la del punto 5.

a . Monte Everest: b. Mar Muerto:

2 600 metros sobre el nivel del mar 10 923 metros bajo el nivel del mar

7. Ordena los siguientes números de mayor a menor.

a . - 1 1 , 5, 9 1 , - 3 3 , - 1 , 0, 42 d . 4 , 98 , 78, 55, - 7 7 , - 8 , - 7 , - 11

b. 9 9 , 5 , - 5 , - 9 9 , - 8 4 , - 7 7 , 7 e . 1 1 2 , - 1 0 0 , - 4 5 6 , 1 0 2 , - 1 8 5 , - 1 0 9

c . - 1 , - 8 , - 8 8 , - 7 7 , - 4 5 , - 4 6 f. 8 9 4 , - 7 8 9 , - 9 8 7 , - 7 8 , 8 8 , - 5 2 8

8. Determina el valor absoluto de cada número entero.

a . | - 2 1 e . | - 5 6 5 8 2 |

b. | - 1 2 5 | f. | - 9 8 4 |

c. 13541 g . | 9 8 4 |

d . 101

9. Con base en lo trabajado, responde.

a . ¿Cuántos puntos de diferencia hubo en el PIB de Argentina y Perú en el 2002?

b. ¿Cuántos años transcurrieron desde la invención de la moneda al billete?

c. ¿En cuántos grados es más fría en invierno la Antártida que Suiza?

d . ¿Cuántos metros de diferencia hay entre el monte Everest y el Mar Muerto?

10. Averigua por las fechas de los siguientes hechos, ubica el año en la linea del tiempo y responde las preguntas.

/ . Descubrimiento de América.

/ . Aparición del abaco.

/ . Año de tu nacimiento.

/ . Independencia de Colombia.

/ . Invención del papel.

/ . Aparición de la pólvora.

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a . ¿Cuál hecho es el más antiguo?

b. ¿Cuál fue el más reciente?

C. ¿Cuántos años transcurren del acontecimiento más reciente al más antiguo?

Descriptor de desempeño: / Identificar y utilizar números enteros en la solución de diversas situaciones.


• Ubicación de números enteros en el plano cartesiano El m a p a muestra la ubicación de a lgunas de las bolsas de valores más importantes en el m u n d o .

La Bolsa de Nueva York es el mercado bursátil

más importante del mundo. Cuenta con

un volumen anual de transacciones de 21 billones de

dólares, incluyendo los 7,1 billones de

compañías no estadounidenses

6 Clave matemática 0

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas que se cortan de forma perpendicular: la recta horizontal se llama "abcisas" y la vertical "ordenadas" . El punto donde se cortan se denomina "or igen" . En el mapa de la ciudad cada punto se describe con una coordenada, que contiene dos partes: la primera perteneciente al eje de las "X" (abcisas) y la segunda coordenada al de las "Y" (ordenadas).

/ Observa que la Bolsa de Nueva York se ubica en ( - 6 0 , 4 0 ), a b a s a - 6 0 y o r d e n a d a 4 0

O TALLER Ubicación de números enteros en el plano cartesiano O o °

f 1. Determina las c o o r d e n a d a s de los puntos d o n d e se local izan las siguientes bolsas de valores:

a . París

b. Sídney

C. Tokio

d. Frankfurt

e. México

f. Sant iago de Chi le_

g. Shangái

h . C o l o m b i a

I-' 1 2 . Observa el siguiente plano cartesiano y explica por q u é las dos coordenadas dadas con los mismos n ú m e r o s se encuentran en posiciones diferentes.

Y

-21 -1 -1v

(3, 2)

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1 2. 4

*? 3. Ubica las siguientes coordenadas en el plano cartesiano.

A: (2, -4 ) B:(3, -5 ) C: (-4, -9) D: (-14, -11) G: (7, 9) H: (16, -8) K: (15, 21)

(-7, -7 ) J: (7, 7)

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4. Encuentra a q u é coordenada corresponde cada punto del plano.

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5. En el plano se definen ciertos puntos que uniendo con segmentos unos con otros muestran una figura geométrica. Escribe las coordenadas en las que se encuentra cada punto y responde. ¿Cuántos triángulos conforman esta figura?

6. Para llegar al supermercado desde la casa de Juana se deben caminar 2 cuadras al este y 1 hacia el norte. Para llegar a la casa de Anita se debe caminar 7 cuadras al oeste y 8 cuadras al sur. Si Juana debe llegar a cada punto que señala el mapa y solo puede caminar en el sentido que indican las flechas, responde:

a. ¿Cuánto y en cuál dirección debe caminar Juana para llegar a cada sitio?

b. Si la dirección de cada lugar está dada por la coordenada que se da en el plano, ¿cuál es la dirección de cada lugar?

-22 -20 -18 -16 -14 -12

SUPERMERCADO

1 1B 20 22 24 26

CASA DE JUANA

CASA DE ARTURO

CASA DE ANITA

Descriptor de desempeño: / Aplicar los números enteros para ubicaciones en el plano cartesiano.


• Adición de números enteros y propiedades La tab la muestra las gananc ias y pérdidas repor tadas en el pr imer semestre del año por m e d i o de las acciones negoc iadas en una empresa.

¿Cómo se encuentra la si+uación

económica de la empresa al •terminar cada

bimes+re?

Bimestres Meses Ganancias o pérdidas

reportadas Valorización de

las acciones

Primer Enero + 250 320 25 000 (en alza)

bimestre Febrero + 8 530 920 325 000 (en alza)

Segundo Marzo - 7 923 201 270 000 (a la baja)

bimestre Abril - 2 800 000 180 000 (a la baja)

Tercer Mayo + 6 500 000 260 000(a la alza)

bimestre Junio - 3 000 000 120 000 (a la baja)

/ En el primer bimestre (enero y febrero) la situación económica de la empresa fue:

(250 320) + (8 530 920) = 8 781 240

/ En el segundo bimestre (marzo y abril) la situación económica de la empresa es:

(- 7 923 201) + ( - 2 800 000) = - 10 723 201

Clave matemática

Si a, b son números enteros con a > b y b > 0 , entonces a + b b

I

a a + b

Si a, b son números enteros y si a > b , entonces a + b =

b

•* 1-a + b

Si a, b > 0, a + b > 0

Si a, b < 0, a + b < 0

Ejemplo:

7, 8 > 0 , 7 + 8 = 15 > 0

- 2 , - 3 < 0, - 2 + 0 (-3) = -5 <0

Si a y b son de diferente signo, a + b = a la resta de a

y b, con el signo del número mayor

Ejemplo:

7 , - 9 son de diferente signo 7 + ( - 9) - - 2

O TALLGR Adición de números enteros y propiedades O o °

1 . C o m p l e t a la tab la real i zando las operac iones cor respondientes , según el e jemp lo most r a d o . Ten en cuenta que se realiza la suma y el resultado se ubica en la casi l la d o n d e se encuentren la f i la y la c o l u m n a de los números que sumaste.

2. R e p r e s e n t a e n c a d a r e c t a numér ica la operac ión i n d i c a d a ,

a . ( -3) + 8 = d. - 3 + ó =

t

J _ l I I I I I I L_* ««_] I I 1 — I — I — I — I — I — I — I — I — L -4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 - 1 0 -9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 . - 1 0 1 2

b. - 1 0 + 7 = e. - 2 + 7 - 6 =

I L - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6

C -12 + 9 +16-= f. -18 + 15 +9

I I I I I I I I I I I L » . I I 1 I L

J I I I I 1 I I I I 1 I 1 0 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2

-18 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6

3 . Rea l i za las o p e r a c i o n e s .

a . (21 - 5 4 ) + ( 7 - 7 2 ) =

b. ( 2 4 - 8 9 + 18) + ( - 9 1 + 2 4 ) =

c. - ( - 4 1 7 - 7 8 ) + ( - 5 1 8 - 2 8 7 ) =

d. 1 4 + [ 2 3 - ( 3 4 - 5 7 ) ] =

e. 4 8 + [ 1 5 - ( 4 3 - 3 8 ) - 2 7 ] =

f. { ( - 1 9 ) + [ ( 2 5 + ( + 15) ) ] + ( - 1 9 ) } + [ - ( 1 8 + 3 7 0 ) + ( - 1 2 5 0 ) ]

g. { - [ - ( 4 5 6 + 2 0 3 ) ] + [196 + ( - 4 0 1 ) ] } + { ( 2 7 5 ) + ( 8 4 1 ) + ( - 6 5 0 ) } + 2 2 0

h. ( - 9 8 2 ) + ( - 2 1 ) + [-65) + (-1 0 2 1 ) + ( - 6 5 4 ) + ( 2 5 7 + 1 5 0 0 ) + ( - 6 3 5 )

i. [ ( - 2 5 7 ) + ( - 2 5 8 ) ] + [ ( 2 0 0 ) + ( + 3 1 5 ) ]

¡ . { ( + 1 9 0 ) + [ - ( 5 2 + (+51) ) ] + ( - 1 5 6 ) } + [ - ( 5 4 + 2 5 4 5 ) + ( - 1 0 0 0 0 ) ] + ( - 6 5 4 )

k. [ ( + 2 5 7 ) + ( - 2 5 8 ) ] + [ ( - 7 8 5 ) + ( - 2 4 5 ) ]

4. La t a b l a m u e s t r a las p r o p i e d a d e s q u e c u m p l e la adic ión d e n ú m e r o s e n t e r o s , d o n d e a ,

b , c , - a , € z. C o m p l é t a l a .

Propiedad Definición Ejemplo

Clausurativa c + b = c

Conmutativa 5 - 8 = 8 - 5

-3 = -3

Asociativa {a + b) + c = a + (b + c)

Modulativa - 5 + 0 = -5

Invertiva a + (-a) = 0

/ E l a b o r a u n a s o p a d e le t ra s , c o n los n o m b r e s d e estas p r o p i e d a d e s .

•v

§,,,) 5. Completa cada una de las siguientes oraciones.

a. Cuando sumo solo números enteros siempre obtendré números

enteros negativos, pues estoy sumando de la misma naturaleza.

b . Cuando sumo obtendré siempre enteros positivos.

c. En el caso en que sumo enteros _ — con enteros _ el que obtendré tendrá el signo que acompaña al número de mayor

6. Una empresa reporta en la siguiente tabla las pérdidas y ganancias semestrales. Responde las preguntas:

Mes Ganancias y/o pérdidas

Enero $ 2 564 001

Febrero - $ 15 002 587

Marzo - $ 11 894 678

Abril $ 3 459 765

Mayo - $ 10 001

Junio $ 5 648 654

a. ¿Cuál es el total de ganancias que reporta la empresa? b . ¿Cuál es el total de pérdidas que reporta la empresa? C. La empresa reporta pérdidas o ganancias en el balance final.

S 7. Luisa y su equipo de montañismo se encuentran subiendo la cumbre de los Alpes, para ello han dispuesto varios campamentos de descanso luego de cada tramo. El recorrido se dio de esta forma: / Primer tramo: 26 km cuesta arriba. / Segundo tramo: 18 km cuesta arriba. / Tercer tramo: 20 km cuesta arriba. / Cuarto tramo: 1 ó km cuesta arriba.

Sin embargo, la expedición recorrió más de lo propuesto, pues al llevar recorridos 10 km del segundo tramo el clima se complicó y tuvieron que volver al campamento de donde iniciaron este tramo. Luego reanudaron el tramo hasta llegar a la siguiente estación.

Responde: a. ¿Cuántos kilómetros se deben recorrer para subir el cerro de los Alpes en condicio

nes ideales? b. ¿Cuántos kilómetros recorrió en realidad la expedición de Luisa? ¿Porqué? c. ¿Qué tipo de expresión determina esta situación de manera más adecuada?

>f 8 . En San A n d r é s (Colombia) la c o m p a ñ í a Coffe realiza anualmente una c a m p a ñ a de limpieza del o c é a n o . En ella participan grandes personalidades del país como actores, po l í t i cos y gente del c o m ú n .

El registro que se l l evó en un a ñ o muestra que el primer buzo l l e g ó a 1 5 m de profundidad.

El segundo b a j ó 1 3 m m á s que el primero.

El tercer buzo d e s c e n d i ó 18 m m á s que el segundo.

El cuarto buzo r e c o g i ó la basura que quedaba 5 m m á s de lo que l l e g ó el anterior.

El ú l t i m o buzo l l e g ó a una profundidad de 35 m m á s de lo que l l e g ó el cuarto. Responde:

a. ¿ C u á l fue la profundidad que alcanzaron los buzos para limpiar el o c é a n o ?

b. ¿ Q u é e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a explica esta s i t u a c i ó n ?

C. G r á f i c a paso a paso esta s i t u a c i ó n , teniendo como referencia el plano cartesiano y como punto de referencia el nivel del mar.

• 9 . En esta misma c a m p a ñ a de limpieza del o c é a n o se registra el total del á r e a que se ha limpiado cada a ñ o , la o r g a n i z a c i ó n lleva la siguiente tabla:

Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Área limpia

95 m2 100 m2 105 m2 165 m2 200 m2 210 m2

10.

Puedes decir, ¿ q u é á r e a del o c é a n o se ha limpiado hasta el momento del registro en la tabla?

En una competencia de atletismo se conocen las posiciones relativas de tres participantes. El primero le lleva al segundo 20 m y el segundo le lleva al ú l t i m o 1 0 m. Si el ú l t i m o está a 90 m del punto de partida, ¿ c u á n t o ha recorrido cada uno de ellos?

Descriptor de desempeño: / Identificar y utilizar números enteros en la solución de diversas situaciones.


• Sustracción de números enteros wmmmmmm

Los atentados terroristas del 1 1 de septiembre de 2001 repercutieron en los mercados bursátiles del mundo. Ese día las bolsas de valores de Nueva York y México cerraron en la mañana: la de México cerró con una ganancia de 2% y la de Nueva York con una pérdida de - 1 %. Al volver abrir los mercados bursátiles, ambas bolsas perdieron 7 puntos.

¿Cuál fue el porcentaje obtenido por cada bolsa de valores después de los atentados del 1 1 de septiembre?

Como las bolsas perdieron 7 puntos (su representación en la recta va hacia la izquierda), debemos restar 7 a 2 y a - 1.

Bolsa de México Bolsa de Nueva York

7 puntos 7 puntos

. 1 0 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

2 - 7 = - 5

La sustracción de números enteros puede expresarse como una adición. En la que a un entero le adicionamos el opuesto del que se resta. Así:

Por ejemplo: 2 - 7 = 2 + (-7) = -5 En general: a - b = (+a) + (-b).

Sustraer un número es lo mismo que sumarle su opuesto.

I I 1 l i l i l í . 1 0 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

íb' ,v - 1 - 7

Después de los atentados del II de

septiembre, la Bolsa de Nueva York duró seis días cerrada, sin embargo, es+a no ha

sido la peor baja.

/ Por tanto, al abrir la Bolsa de México regitró una caída de 5 puntos y la Bolsa de Nueva York, 8 puntos.

O TALLER Sustracción de números enteros O o ° i.-» 1 . Resuelve y completa las siguientes tablas según corresponda.

a. b. c.

+

+

2 . Escribe la operación representada en c a d a recta.

a .

-6 -4 -2 0 2 4 Inicio F i n a l

b.

« D l l t l j l l l l l l l j l j j

j l i JL 6 • 10 12H4 16 1!

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? Inicio Final

3 . O l g a está reun iendo el d inero de sus onces para comprar se un nuevo IPod, en un mes ha a h o r r a d o $ 5 9 3 2 1 . Si el IPod cuesta $ 1 5 0 5 5 0 , ¿cuánto más debe ahor ra r para c o m p r a r l o ?

4. Un ca len tador que func iona a luz al desenchufarse desciende su temperatu ra 2 °C c a d a ó minutos. Si se desenchufa a las 1 0 de la mañana y la temperatu ra ambienta l es 3 8 ° C , responde:

a . ¿A qué hora a lcanza una temperatu ra de 0 °C?

b. ¿A qué temperatu ra se encontrará el c a l e n t a d o r al c a b o de dos horas de desenchufar lo? Util iza la recta numérica para mostrar esta situación.

5. En la Bolsa de Valores de C o l o m b i a el miércoles las acciones v e n d idas de B a n c o l o m b i a se encuent ran cuat ro puestos d e b a j o de lo que estaban al empezar la semana. Si la posición que o c u p a b a n al empezar la semana era la undécima (1 1), ¿en qué posición se encuent ra el miércoles?

6. Responde las siguientes af i rmaciones con falso (F) o ve rdadero (V).

a . Existe por lo menos un número que s u m a d o con 1 0 d a 7

b. Existe por lo menos un número que restado de - 8 da 2 8

C . A lgunos números sumados con su opuesto no d a n 0

d . La resta 7 - 1 8 es equiva lente a la expresión 7 + (-1 8)

e . Existe por lo menos un número que restado de 1 5 dé 2 0

7. En M u z o , una c i u d a d esmeraldera de C o l o m b i a , se e n cuent ran exp lo rando una nueva m i n a . Se sabe que las m e jores esmeraldas se encuent ran a - 2 5 2 0 m. En 1 0 días los obreros han l o g r a d o recorrer 1 2 2 0 m ba jo la superf icie de la t ier ra. ¿Cuántos metros más d e b e n recorrer los obreros para l legar a las mejores esmeraldas? Establece la expresión matemática para esta situación.

8. Rodrigo se dirige al cajero automático el lunes para ver su saldo: es de $ 1 520 500 y decide retirar $ 250 300, el martes es día de pago y le consignan a su cuenta $ 1 250 000, el miércoles saca $ 560 000 para el arriendo y el jueves retira $ 1 000 000 para la cuota del carro. Representa la situación anterior y responde:

a . ¿Rodrigo retiró más de lo que tenía o no?

b. Si Rodrigo decide retirar el saldo que tenía, ¿cuánto dinero es?

? 9. Calcula.

a . (-15) + (+18) + (-2) + (12) + ( - 2 1 ) = d. (12) - (5) - (-14) - ( + 3 ) - ( + 6 ) =

b. (+1 ó) + (-12) - (-11) - 7 + (+12) - 4 = e. 8 - 5 + 4 - 9 + ó - 2 =

c. 27 + (+3) + (-10) - (-4) + (5) = f. (5) + 29 + (-38) + 54 - (+ 45) -

10.Miguel debe en la panadería $ 45 000 y decide pagar pero el panadero le dice que aún queda con una deuda de $ 7 500. ¿Realmente cuánto pagó Miguel? ¿Cuál es la expresión matemática que mejor representa esta situación?

S 1 l .La empresa "Valores de Bogotá" presenta en enero un déficit de $ 3 850 000 y recibe un aporte en efectivo por $ 2 660 500, quedando con un déficit final de $ 1 1 89 500. Describe qué pasó en esta operación y escribe la expresión general para esta situación.

? 12.Crea una situación para cada una de las siguientes expresiones y resuélvelas:

a . (-251 500) + (+ 467 235) -

b. (+ 317 551) + ( - 5 6 7 850)

13. Hipatia de Alejandría fue una científica, filósofa y maestra que murió asesinada en el año 415 a la edad de 45 años. Arquímedes, en cambio, fue un matemático griego que murió a la edad de 75 años durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el año 212 a.C. ¿En qué año nació cada uno?

14. Completa las claves del siguiente crucinúmero.

a . b. c. d. e. f. g-

1 = - 9 + 7

- 7 =

- 2 1 =

- 2 7 =

-8 =

- 8 =

ó =

8 + 1 1

-9 6 -9 5 7 * I < D +7 10

-8 5 -3 9 15 -111 1 | < g ]

11 8 6

-6 5 - 1 9 20 - 1 3 -8 < ^ C ~ |

a • 9 -9

7 -8 0 13 - 1 2 8 | < £ ]

A -8

Descriptor de desempeño: . E'T::.S- ::e-3Dcnes con números enteros para solucionar situaciones en contexto.


i Multiplicación y división de números enteros Observa la tabla de apertura de unidad ( p á g i n a 12), relacionada con las acciones negociadas y responde.

Coltejer i

876 752,00

Grupo aval 402 062,00 GRUPO

AVAL I. Si Coltejer n e g o c i ó el mismo n ú m e r o de acciones entre 592 clientes, ¿ c u á n t a s acciones

a d q u i r i ó cada uno?

I I . Si el Grupo Aval cierra el d ía con un precio de - $ 205, tendencia a la baja y saldo negativo, ¿ c u á n t o dinero pierde la empresa?

Clave matemática

En general, la multiplicación y división de enteros responde a los mismos procedimientos (algoritmos) para operar con los naturales, el cambio se da en el sentido de la estructura de estos números y en el manejo de reglas de tipo formal y operativo como los signos. Para responder la primera pregunta se debe hacer una divis ión entre enteros, en la segunda debo multiplicar. / 876 752 * 592 = 1 481

• 402 062 x (- 205) = - 82 422 71 0

Para la multiplicación y la división de enteros se utiliza y necesita una regla

que explicite cómo operar con los signos, es conocida como

"LEY DE SIGNOS", y puede resumirse como:

• Signos iguales dan positivo. + por + = + - por - = +

• Signos diferentes dan negativo.

+ por - = -- por + = -

-7

/ Por tanto, cada accionista de Coltejer adqu i r i ó 1 481 acciones y el Grupo Aval perd ió 82 422 710.

O TALLER Multiplicación y división de números enteros O o ° § V ) » 1 . Una empresa se encuentra vendiendo 2 645 acciones de su c o m p a ñ í a en la bolsa de

valores, el corredor informa que cada a c c i ó n presenta un valor de $ 37 5 6 1 . Si un inversionista desea comprar todas las acciones, ¿ c u á n t o debe invertir para ello?

2 . Si el mismo inversionista se da cuenta de que tiene solo $ 56 641 500, responde: a. ¿ C u á n t a s acciones puede comprar? b. ¿ C u á n t a s acciones quedan para venta? C. ¿ C u á n t a s acciones m á s c o m p r ó el inversionista?

3. Por falta de liquidez la empresa "Valores Unidos" solicita un p r é s t a m o bancario, que le es aprobado y diferido a un pago de seis a ñ o s , mensualmente debe pagar una cuota de $ 254 000 sin los intereses incluidos. Responde: a. ¿ Q u é cantidad de dinero so l i c i t ó prestado la c o m p a ñ í a ? b. Al cabo de 36 meses, ¿cuán to ha pagado de la deuda y c u á n t o queda de saldo? c. Si el contador se da cuenta d e s p u é s de un tiempo que han pagado $ 12 1 92 000 ,

¿ c u á n t o tiempo llevan pagando el c r é d i t o ?

d. ¿ C u á n t a s cuotas deben pagar a lo largo de todo el c r é d i t o ?

f„» 4 . Encuentra los productos que cocientes, completa la tabla.

x - 156 -215 +210 -248 + 354 -16

+ 26

- 4 0 248 - 6 3 984

+ 658

- 2 3 5

156 000 - 354 000

+ 165

•s- - 1 152 360 720 -1 968

- 24 48 - 200

18

S~ 5 . La empresa "Valores Unidos" realiza una campaña de venta y compra de acciones. Para ello contrata a 35 patinadores para repartir promociones y paquetes de información al respecto. Si envían 574 735 paquetes de información, ¿cuántos paquetes debe repartir cada patinador?

é. Calcula.

a . + 725 x - 2 1 5 + (-215) =

b. - 1 9 4 x - 15 x (+18) =

c. 2 71 ó x 3 150 x (-1 235) x (-1 ó 421) =

d. (+165) x (+1 254) x (312) x (-13) =

e . (+15) x (-6 587) + 1 ó 487 x (- 11) =

f El siguiente dibujo representa el terreno de un conjunto residencial que se va a construir. Tiene una superficie de 10 000 m 2 . Responde:

a, ¿Cuáles son las dimensiones de cada uno de sus lados? b. ¿Cuántas calles y cuántas carreras se han formado en el conjunto?

Cada cuadro está entre una calle y una carrera y allí se van a construir cuatro casas. ¿Con cuántas casas cuenta el conjunto residencial?

8. En un campo de golf se realiza un campeonato a 1 8 hoyos. Si por cada hoyo existe una distancia de 450 dm y los hoyos se encuentran en línea recta, ¿cuál es la distancia total del campo de golf en metros?

9. Un alpinista desciende por una de las montañas de los Alpes suizos. Lleva un ritmo de 20 m descendidos por cada cinco minutos. Si al empezar se encontraba a 1 750 m de altura y ha pasado 1 hora y 15 minutos, ¿cuántos metros ha descendido el alpinista? ¿Cuántos le faltan por descender?

10. El esquema es el plano para la construcción de una casa de un nuevo conjunto residencial. El constructor desea saber el tamaño del lote para el conjunto, si pretende construir cerca de 1 9 casas. Además se debe tener en cuenta que entre casa y casa se deja un espacio de 5 m.

•f 11 . Si se desea enchapar el piso de cada una de las casas del conjunto residencial del punto anterior y se han dispuesto baldosas de 10 cm x 10 cm, ¿cuántas baldosas son necesarias para enchapar una casa?, ¿cuántas baldosas se requieren para enchapar todas las casas?

•f 1 2 . En el balance mensual de gastos de un hogar se realiza teniendo en cuenta las onces de cada hijo. Al hijo mayor se le compra para toda la semana dos jugos y dos sandwiches de jamón y al menor se le compra solo los fines de semana una

m a n z a n a , un p o n q u é y un yogur t . Si los precios son:

Jugos $900

Sanduches $ 1 500

Ponqué $ 1 000

Yogurt $ 1 800

Manzana $500

¿ C u á n t o d inero se invierte mensualmente en las onces de cada hi jo? ¿ C u á n t o d inero se invierte en un a ñ o ?

Y" 13 .Se ha generado un d é f i c i t constante en el Restaurante " D o n d e Rosita", d ia r iamente se pierden $ 21 0 5 0 . Si han pasado dos meses y 8 d í a s y esta s i t u a c i ó n se ha man ten ido , ¿ c u á n t o d inero ha perd ido Rosita?

/ " 1 4 . U n a v i ó n v iaja de Barcelona a B o g o t á , al l legar al aeropuer to el c a p i t á n revisa el marcado r de gasol ina y d ice: "quedan 5 0 ga lones de gaso l ina" . Si al salir del aeropuer to t e n í a 1 01 0 ga lones y se sabe que el vuelo d u r ó 1 2 horas, ¿ c u á n t o s ga lones de gasol ina se consumieron por hora?

1 5 . C o m p l e t a el cuadro .

a b c a*(b+c) -bx ( -c ) -c+(a*b) -(a+c)x(a-c) a * b

4 -1 0

-10 -5 1

0 7 -7

-9 -6 3

-3 3 -1

1 6 . La tabla muestra las prop iedades que cump le la m u l t i p l i c a c i ó n de n ú m e r o s enteros, s iendo a , b, c, € / Z . C o m p l é t a l a .

Propiedad Definición Ejemplo

Clausurativa axb = c

Conmutativa -3 x 5 = 5 x (-3)

-15 = -15

Asociativa (a x b)x c = a x(b x c)

Modulativa -5 x 1 = -5

Anulativa - 9 x 0 = 0

Distributiva ax(b + c) = axb + axc

/ Elabora un c r u c i n ú m e r o que re lac ione las anter iores prop iedades.

Z-zit'de desempeño:

• Realzar multiplicaciones y divisiones con números enteros y aplicarlas para formular y resolver algunas situaciones.

Pensamiento numérico - variacionai

Potenciación y radicación en Z Las acciones de una empresa se han cotizado de la siguiente manera:

s li

lilí

11!

r mmwm ¿±

-

11 I . i -

Acciones negociadas Valor de la acc ión Tiempo transcurrido

1 $3 Un minuto

1 $9 Dos minutos

1 $27 Tres minutos

1 1 $81 Cuatro minutos

Por tanto, los corredores deciden detener las transacciones, pues de lo contrario las acciones tomarían un valor exorbitante en cuestión de pocos minutos.

Si un corredor observa que esta misma acción lleva once minutos negociada y su precio es de 1 77 147, ¿cómo puede determinar el precio de apertura de la acción?

Debemos encont raren!? ] 1 ^ 1 77 144 147 el número desconocido el cual representa el

de apertura. La anterior situación se puede escribir utilizando la radicación: Ufl 771 74 = / Por tanto, el precio de apertura fue de $ 3.

El valor de las acciones se relacionan con el 3 y el crecimien+o es "exponencial" se

puede expresar como: Primer minu+o: 3 = 3' = 3

Segundo minu+o: 3 X 3 = 3¿ = 9 Tercer minu+o: 3 x 3 x 3 = 3 3 = 27

Cuarto minu+o: 3 x 3 x 3 x 3 = 3 4 = 81

precio

3

Clave matemática

Si p, n y q e Z , se define la potenciación y la radicación, así:

Potenciación Radicación

Exponente índice

V = q —> potencia y q = p - > raíz B / •ase /

cantidad subradical

Si p > 0, la potencia es positiva. Si p < 0, la potencia es positiva si n es par, de lo contario es negativa.

Recuerda que la radicación funciona para enteros positivos, para enteros negativos funciona si el radical es impar. Cuando el radical es par la raíz de un número negativo es entonces un número imaginario.

O TALLER Potenciación y radicación en Z O o ° y \ . La empresa de muñecos y juegos ha i m p o r t a d o una colección d e "muñecas rusas" que

vienen así: dent ro de una muñeca g r a n d e v ienen 8 muñecas medianas y c a d a muñeca m e d i a n a t iene 8 muñecas pequeñas y dent ro de c a d a muñeca pequeña vienen 8 muñecas d iminutas . Si la colección t rae 8 muñecas grandes . Responde:

a . ¿Cuántas muñecas rusas v ienen en total?

b. ¿Cuántas muñecas rusas medianas hay en total?

c. ¿Cuántas muñecas rusas pequeñas hay en total?

d. ¿Cuántas muñecas rusas d iminutas hay en total?

e. ¿Qué relación determinaría la c a n t i d a d de muñecas que hay en la colección?

f. Gráfica esta situación.

2. La tab la muestra la relación de crec imiento exponencia l que se desarro l la durante el proceso de la mitosis. Teniendo en consideración que c a d a nuevo crec imiento d e m o r a 2 0 segundos , aver igua sobre la relación de "duplicación de la mitos is" y comple ta la t a b l a .

••w

Número de nuevas células

Número de células

acumuladas

Tiempo utilizado por cada nueva reproducción

Tiempo acumulado

Potencia indicada

Desarrollo de la potencia

0

128

20

20

20

20

20

20

20

20 segundos

22

256 20 160 segundos

35

En el Amazonas colombiano se calcula un terreno especial de 16 000 h e c t á r e a s de bosque nativo. Si sabemos que el terreno es de forma cuadrada, ¿ q u é medidas tiene cada lado del terreno? Dibuja esta s i t u a c i ó n en el cuadro siguiente.

T 4. El volumen de un cubo es de 343 cm 3 .

¿ Q u é medidas tiene cada arista del cubo?

5. Se sabe que la r e l a c i ó n que determina la medida de la hipotenusa de un t r i á n g u l o rect á n g u l o es a 2 + b 2 = c 2 donde a y b son la medida de los lados y c es la medida de la hipotenusa. Si se tiene un t r i á n g u l o r e c t á n g u l o cuyos lados miden ó y 8 cm, respectivamente, ¿ q u é medida tiene su hipotenusa? Dibuja esta s i t u a c i ó n en el siguiente cuadro.

Resuelve.

a. 4 5 =

b. 7'—' = 7 x 7 x 7 x 7

• c, ó x ó x ó x ó x ó x ó =

d. 9 ^ 43 046 721

l ó x l ó x l ó x l ó x l ó x l ó

f. - 5 3 = (-5) x (-5) x (-5)

g . - 1 1

h. Vó25 =

^ 2 4 3 =

¡. ^ 8 4 6 4 0 0

k. ^ 4 0 0 =

7, La tabla muestra las propiedades que cumple la potenciación y la radicación de números enteros, siendo a, b, m, n e Z . Complétala.

mm •o

o c a> -«—< o

o.

c •o ' o re o T3 re

0£

Propiedad

a" x am = a" *m

^Qnjm — g n x m

gn _¿_ gm = QX\ - m

(a x bf -anxbn

a° = 1

Ejemplo 2 3

x 2 2 = 2 3 + 2 = 2 5

(33)3 = 33x2 _ 36

2 3 -í- 2 2 = 2 3 " 2 = 2 1

(5 x 3) 3 = 5 3 x 3 3

70=1

^8^27 = ^8x^/27 = 2 x 3

n / i -V16 </Í6

» ( 8 . Construye un ejemplo que vincule cada propiedad.

a . a n x o n = a( n + m>

b . (a n ) m = a n x m =

Resultado

32

d . (o x b) n = a ' x b r -

e. ^/axb =VaxVb =

a va f. p — = — =

b Va

Descriptor de desempeño: / Aplicar las propiedades de la potenciación y la radicación en la solución de algunas situaciones.


Planteamiento de ecuaciones y solución de problemas en Z Las exportaciones de automóviles part iculares, c a m p e r o s , c a m i o n e t a s , vehículos de t ransporte público y vehículos de carga han c rec ido en los últimos años. Para 2 0 0 6 se expor taron 1 72 0 0 0 un idades , para 2 0 0 5 el v o l u m e n de un idades vendidas al exterior fue el d o b l e de este número d i sm inu ido en 1 0 0 0 0 0 . ¿Cuántas un idades se expor taron en 2 0 0 5 ?

Para responder es+a pregun+a tenemos que

plan+ear y resolver una ecuación

Antes de realizar cálculos y p roced imientos , d e b e m o s leer bien la información, ident i f icar datos c o n o c i d o s , desconoc idos e información que nos p i d e n :

y Un idades exportadas en 2 0 0 6 = 1 72 0 0 0 (dato mayor)

</ Un idades exportadas en 2 0 0 5 = d e s c o n o c i d a , l lamemos esta c a n t i d a d x (dato menor)

/ D o b l e de las un idades exportadas en 2 0 0 5 = 2x

/ Dob le de las un idades exportadas en 2 0 0 5 d i sm inu ido en 1 0 0 0 0 0 = 2x - 1 0 0 0 0 0

/ Ecuación: 2x - 1 0 0 0 0 0 = 172 0 0 0

Debemos encont ra r el va lor que satisfaga x, rea l i zando procedimientos matemáticamente correctos. Lo pr imero que d e b e m o s hacer es sumar a a m b o s lados de la i g u a l d a d por el inverso adi t ivo de - 1 0 0 0 0 0 .

2x

2 x - 1 0 0 0 0 0 = 172 0 0 0

100 0 0 0 + 1 0 0 0 0 0 = 1 72 0 0 0 + 1 0 0 0 0 0

2x = 2 7 2 0 0 0

A h o r a , d iv id imos po r 2 a a m b o s lados de la i g u a l d a d , c o m o 2-^2 = 1

2x = 2 7 2 0 0 0

2x_

2

2 7 2 0 0 0

2

x = 1 3 6 0 0 0

Por t a n t o , en 2 0 0 5 se expor taron 136 0 0 0 vehículos.

Clave matemática

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas con una cantidad desconocida l lamada incógnita, esta cantidad se representa con letras. Solucionar o despejar una ecuación es encontrar el número desconocido que satisfaga la igualdad.

38

O TALLER Planteamiento de ecuaciones y solución de problemas en Z 0 0 o

•„)> 1» C o m p l e t a la t a b l a .

Operación Lenguaje usual B U Lenguaje matemático

X Un número aumentado en 10 x + 10 i La suma de un número con 3

Suma -1 a un número

La diferencia de un número y 24 y - 2 4

Un número reducido en 15

La resta de un número y 18

Un número menos 12

Resta 10 de un número x - 1 0

Quita 48 de un número

El doble de un número 2w

X El quíntuple de un número

X El producto de un número con 9

Un número multiplicado con 21

El cociente de un número y - 10 n + (-10)o-2L -10

9 dividido entre un número

La división de 12 y un número

• a

La tercera parte de un número n

3

n

4

2. C o m p r u e b a si los n ú m e r o s d a d o s s a t i s f a c e n las e c u a c i o n e s .

a. ¿X = 4 es s o l u c i ó n d e la e c u a c i ó n x + 3 = 7?

b . ¿X = 1 es s o l u c i ó n d e la e c u a c i ó n 2x + 15 = 17?

c. 2x = 3 es s o l u c i ó n d e 4x = 1 2?

d . ¿x = - 3 es s o l u c i ó n d e x - 2 = 1 ?

6 1 2x = 2 es s o l u c i ó n d e x + 7 = 3?

f . 2x = - 1 es s o l u c i ó n d e 5 + x = 4?

9- ¿x = - 2 es s o l u c i ó n d e - 7 + x = 9?

h . 2x = - 1 2 es s o l u c i ó n d e - 2 + x = -1 4?

3. Une cada ecuación con su solución. a . x - ó = 20 -ó b. 2y - 18 = 10 26 c. x + 15 = 10 t.6

d. 2w + 8 = 18 14 e. 3x +12 = -6 / -5 f. K + 4 = 10 . 5

4. Escribe una expresión matemática en cada oración. a . Número de llantas necesarias para fabricar x coches —> 4x b. Número de días de x semanas c. Número de patas de un corral de x gallinas d. Un número x menos 2 unidades igual a 3 e. El doble de un número x más el triple f. La mitad de un número y aumentado en 1 3 g. El doble de un número k menos 2 unidades igual a 48 h. La mitad de un número n menos su doble ¡. El doble de un número z menos la cuarta parte del número j. La mitad de un número m más 2 unidades es igual a -14 k . Un número menos 3 igual a -23 I. Un número más 3 veces el número es igual a 1 00

5. Resuelve las ecuaciones. a . 2x - 4 = 2 O. * = 5 b. 25x = - 25 2 c. 3x + 1 = 10 P- 15x = 60

d. 18x = 36 q- 30x = 90 e. 2x + 12 = 5 r. -x = 1 f. 3x + 23 = 5 _ x .

s. — = -6 g- 4x - 7 = 5 3 h. x + 20 = 23 t. ^ = 10 • i.

x + 7 = 10 / 5 i- x + 8 = 9 u. ^ = 16 k . x - 6 = -9 8 1. x - 3 0 = 70 V. — = 20 m. 2x = 10 45

4x = 80 w . x + 3 + 4 = 1 2 n. 4x = 80 x + 3 + 4 = 1 2

x X. x - 1-2 = 7

Rincón de ta historia

Historia de los números enteros "relativos"

El origen de los números enteros, especialmente los números negativos, es aún incierto. Algunos indicios fueron dados por los chinos, quienes utilizaban los negativos para representar deudas y pérdidas y los positivos como ganancias. Representaban estos números por medio de varillas de bambú de color rojo y color negro, los hindúes también dieron muestra del uso de estos números incluso con los signos (- y + ) . Uno de ellos fue Brahmagupta (628), quien operaba con estos números. Civilizaciones como la árabe negaron e desconocieron la existencia de tales números.Fue hasta la época de la Europa medieval y el renacimiento donde aparecen de nuevo estos números y su discusión los consolidó para ser usados como resultados y parte de ciertos elementos algebraicos por algunos matemáticos como Descartes. Sin embargo, es solo en el siglo XIX, conocido como el siglo de oro en las matemáticas, donde los números negativos y con ellos los enteros se legitiman como conjunto de números.

6. Camila tiene 250 canciones almacenadas en su MP4, Jorge tiene la mitad de canciones que las que tiene Andrea y Andrea tiene dos veces la cantidad de canciones de Camila. ¿Cuántas canciones tiene Jorge y Andrea? ¿Qué puedes decir de la relación entre la cantidad de canciones de Camila y Jorge? ]

7. Cristóbal compró una sala por $ 1 75 000 más que la que compró Patricia, que costó $ 1 355 000. ¿Cuánto pagó por la sala Cristóbal?

8. Lucía decide ingresar a estudiar en la universidad. Ella sabe que el semestre le cuesta $3 650 000 y tiene ahorrado la mitad de este valor. Su papá le ayuda con la mitad de lo que le falta. ¿Con cuánto dinero le colabora su padre? ¿Cuánto dinero debe conseguir Lucía para completar el valor del semestre?

9. David tiene tres años menos que su hermano Pablo, Pablo tiene la mitad de la edad de su madre disminuida en cuatro. Si su madre tiene 52 años, ¿qué edad tienen los dos hermanos?

10 . La empresa "Valores Unidos" presenta ganancias por $ 35 825 000 en un mes. Si al siguiente mes reporta ganancias por el doble de este dinero excedidas en $ 4 320 500 y debe pagar $ 22 465 400 a sus proveedores, ¿qué cantidad de dinero le queda a la empresa?

1 1 . El perímetro de un parque con forma rectangular es igual a 32 m. Si el largo del parque es igual a tres veces el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del parque?

1 2 . Una mesa de forma cuadrada tiene un área de 7 225 dm 2 . ¿Cuál es la dimensión del lado de la mesa?.

mm

13 .0bserva las figuras. Plantea y resuelve una ecuación para solucionar x.

12m

X =

y 14.Las acciones de la empresa "Centro Bancaria" presentan un déficit diario constante de $ 215 213. Si este comportamiento se ha mantenido durante un mes completo, ¿cuál es el déficit de la empresa al terminar el mes?

15.Responde si la siguiente expresión es cierta o no, explica por qué.

17 | 18

- 1 1

¿Cómo explicas que el residuo de esta división sea un número negativo?

y 16 . Resuelve cada situación, planteando una ecuación.

a . El doble de un número es 88. ¿Cuál es el número?

b . La mitad de un número es 24. ¿Cuál es el número?

C. La mitad del dinero que tengo es $ 2 000, ¿cuánto dinero tengo?

d. En una bolsa hay x naranjas. La mitad de ellas es 20. ¿Cuántas naranjas hay en la cesta?

e. En un bus hay x pasajeros, después de bajarse S^quedan 3 1 . ¿Cuántos pasajeros llevaba el autobús?

f. La mitad de un número más 2 unidades es 4. ¿Cuál es el número?

g . La tercera parte de un número es 6. ¿Cuál es el número?

ti. La cuarta parte del dinero que llevo más $ 500 es $ 3 000. ¿Cuánto dinero llevo?

, i. El doble de un número x es 50. ¿Cuál es el número?

j . La mitad de un número x es 13. ¿Cuál es el número?

k. El doble de un número menos 5 es igual a 7. ¿Cuál es el número?

Descriptor de desempeño: / Resolver problemas utilizando operaciones, propiedades y ecuaciones con números enteros.

• Segmentos y ángulos congruentes El Banco de China es el más importante de Asia, su edificio es un rascacielos ubicado en Hong Kong, tiene una altura de 367 m y 72 pisos. En su estructura se observan elementos de geometría:

/ Segmento AB

/ Recta DE

/ Rayo o semirrecta CB

/ Plano a (vidrio de la ventana)

También podemos observar algunas rectas y ángulos relacionados, con ellos podemos formular algunos teoremas.

i MN OP

Teoremas de rectas y ángulos

En la anterior imagen se cumple:

MN II OP , RS , es transversal a MN y OP. Definimos:

S Ángulos correspondientes: á.2, ¿C 3: están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal, son congruentes, es decir, tienen la misma medida, ¿2 ^ 43

y Ángulos alternos internos: ¿. 2, ¿ 4 : están ubicados por dentro de las rectas paralelas y a distinto lado de la transversal, son congruentes, ¿. 2 = 4 4

y Ángulos opuestos por el vértice: ¿5, ¿C ó, son congruentes. ¿5 - ¿6

O T A L L G R Segmentos y ángulos congruentes O o ° lP 1 . Observa la imagen y completa la tabla indicando otros ejemplos a los citados en la clave.

Ángulos EJGmplo

Correspondientes

Alternos internos

Opuestos por el vértice

Ip 2 . Observa la imagen del Banco de China y completa.

q a\ b a> Rectas paralelas: c \ d b. Dos parejas de ángulos correspondientes:

\ C . Dos parejas de ángulos altemos internos: \ y

r -< ** " ' " r e s P a r e ¡ a s de ángulos opuestos por el 9 Y1 vértice: , y

Coloca una x en la imagen o imágenes correspondientes a un segmento.

P 4 . En el siguiente diagrama, CD || EF, AB es una transversal, m¿ DGH = 2x, m ¿ FHB = 5 x - 5 1 . Encuentra la medida, en grados, de ¿ BHE.

5. Colorea con rojo los ángulos congruentes y retiñe con negro los segmentos congruentes que observes en cada polígono.

"? 6 . Completa la medida de los ángulos sin utilizar el transportador.

a. b.

Descriptor de desempeño: / Identificar y utilizar definiciones y postulados de la geometría de rectas y ángulos.

Pensamiento métrico - geométrico

• Construcciones geométricas Los billetes en todo el mundo son d i s e ñ a d o s con complejos sistemas y motivos para evitar su f a l s i f i c a c i ó n . El billete de $ 20 000 cuenta con hilos de seguridad, formas invisibles, i m á g e nes ocultas y tintas que cambian de color. Al observarlo de frente hay un motivo hexagonal que aparece en color dorado, al variar el á n g u l o de o b s e r v a c i ó n cambia a verde.

BANCO DE LA REPUBLICA , 16618894 WítfTE M IL .PESO^

'COLOMBIA i i i f í i i t J !

Recuerda que la imagen del billete es la de Julio Gara-vito, matemático e ingeniero, uno de los más importantes

científicos que ha tenido Colombia. ¿Cómo podemos construir formas geométricas,

similares a este motivo del billete?

Clave matemática Construcción de un t r i ángu lo e q u i l á t e r o , h e x á g o n o y d o d e c á g o n o . / Tracemos dos d iámetros perpendiculares entre sí, que

nos de te rm ina rán , sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4, respectivamente.

/ Ahora, con centro en 1 y 4 trazaremos dos arcos, de radio igual al de la circunferencia dada, que nos dete rm ina rán , sobre ella, los puntos 2, 6, 3 y 5. Por ú l timo, con centro en 8 trazaremos un arco del mismo radio, que nos determinará el punto C sobre la circunferencia dada.

/ Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el t r i ángu lo equ i lá te ro . Uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y ó , obtendremos el hexágono . Uniendo los puntos 3 y C, obtendremos el lado del d o d e c á g o n o ; para su total const rucc ión solo tendr íamos que llevar este lado, 1 2 veces sobre la circunferencia.

1 f 1

L \ 0

i ^ 3

O TALLER Construcciones geométricas O O 0

1. Construcción de un triángulo equilátero. Sigue los pasos indicados y construye en el cuadro, con los instrumentos adecuados, un t r i á n g u l o e q u i l á t e r o de 3 cm de lado.

/ Dibuja un segmento A8 de 3 cm.

Construye una circunferencia H, teniendo como centro el punto A y como radio el segmento A8 .

46

/ Traza una circunferencia J , teniendo como centro el punto 8 y como radio el segmento AB .

Marca un punto C que es la intersección de las dos circunferencias.

Traza los segmentos AC y BC.

2. Construcción de un cuadrado. A continuación se enuncian los pasos para construir un cuadrado, sigúelos y construye uno en el cuadro con la medida que desees.

/ Dibuja un segmento AB (de la medida que quieras).

Sobre el punto A traza una recta A/1 que sea perpendicular al segmento AB.

Construye sobre el punto 8 una recta N que sea paralela a la recta M y perpendicular al segmento A8 .

Dibuja una circunferencia H tomando como centro el punto A y con radio el segmento A8.

3 . La imagen presenta una construcción alternativa de un cuadrado. Obsérvala, reprodúcela en tu cuaderno y escribe en el espacio los pasos para hacerlo.

— ' j

j ! i

—

—

La imagen presenta la construcción de un octágono regular con regla y co pás. Obsérvala, diséñala en tu cuaderno y escribe los pasos hechos en el espacio. Ten en cuenta que el orden de estos pasos depende del color: primero se hacen los procedimientos dibujados con negro, luego los de rojo, luego los de azul y, finalmente, los verdes.

I N I I N I o

8 , , j S9

1 2 J j

5 . El s iguiente proceso muestra ot ro proceso para construi r un octágono regular, ten iend o c o m o base in icial un c u a d r a d o de ó cm de l a d o . Realiza esta construcción en tu c u a d e r n o y escribe los pasos en el espac io . Ten en cuenta que el o rden de las const rucciones d e p e n d e del co lo r de los d ibu jos , el o rden es ro jo , azul y verde.

[ - i

1 - -

6 . Construcción de un pentágono y decágono. Observa los pasos y la i m a g e n d a d a para construi r un pentágono regular. Reprodúcela en tu c u a d e r n o , al te rminar numera los vértices, une pares con pares e impares con impares , observa que obt ienes una estrel la de c inco puntas.

Inicia t razando dos diámetros perpendicu lares entre sí, que nos determinarán sobre la c i rcunferencia d a d a los puntos A - 8 y 1-C respect ivamente. C o n el mi smo radio de la c i rcunferencia d a d a traza un a rco de centro en A , que nos determinará los puntos D y E sobre la c i rcunferenc ia, un iendo dichos puntos o b t e n d r e mos el punto F, punto m e d i o del rad io A - O

C o n centro en F d ibu ja un a rco de radio F- l , que determinará el punto G sobre la d i a g o n a l A - 8 . La distancia 1-G es el l a d o del pentágono inscrito, mientras que la distancia O - G es el lado del decág o n o regular.

Para la construcción del pentágono y el decágono, solo resta l levar dichos lados , 5 y 1 0 veces, respect i vamente , a lo la rgo de la c i rcunferencia.

Bisectriz de un ángulo: es una línea que lo d iv ide en dos ángulos de la misma m e d i d a . Observa y anal iza la construcción de esta línea en un ¿ 8 A C .

/ C o n el m i smo rad io y h a c i e n d o centro en 8, traza un a r c o dent ro del ángulo, repite el p roced im ien to h a c i e n d o cent ro en C, este a r c o debe cor tar a l anter ior en el punto D.

/

B / /

/

A /

1 nr

/ Traza con cent ro en A un a r c o que corte A 8 y A C .

/ Traza una semirrecta de origen A. Listo, ya quedó el ángulo dividido en dos partes iguales.

y 7 . Construye las bisectrices de los siguientes ángulos.

Descriptor de desempeño:

/ Realizar construcciones geométricas utilizando los instrumentos adecuados. 49

Organización de datos y distribución de frecuencias

El caficultor es uno de los sectores más importantes de la economía nacional. Colombia es el segundo productor mundial de café, las exportaciones del grano se realizan en gran parte en puertos del Pacífico. Los siguientes datos muestran el porcentaje de café exportado en los últimos 21 años por el puerto de Buenaventura.

70% 72% 5 2 % 74% 75% 62% 66%

63% 66% 46% 69% 62% 70% 65%

65% 59% 71% 44% 57% 58% 68%

Observamos que el porcentaje está dado con dos cifras, ordenemos y representemos estos datos en un d i a g r a m a d e t a l l o y h o j a s . Las decenas representan los tallos y las unidades las hojas.

Tallos Hojas Total hojas

4 4 6 2

5 2 7 8 9 4

6 2 2 3 5 5 6 6 8 9 9

7 0 0 1 2 4 5 6

En este diagrama | 5 | 2 representa 52%, observa que

la mayoría de datos están en el tallo 6, lo que significa

que la mayor parte de los años se realizaron exportaciones entre el 60 y 69%

por el puerto de Buenaventura.

Con los anteriores datos podemos construir una distribución de frecuencias, organizando cuatro clases o intervalos, de acuerdo con el número de tallos.

Número de clase

Clase Frecuencia (total de datos)

Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa % (frecuencia-Hotal de

datos) x 100

Frecuencia relativa

acumulada %

1 4 0 - 4 9 2 » 2 9,52 (2 + 21) x 100 9,52

2 5 0 - 5 9 6 = 2 + 4 19,05 28,57

3 6 0 - 6 9 9 — — — 15 = 6 + 9 42,86 71,43

4 7 0 - 7 9 6 ^ — ^ 21 =15 + 6 28,57 •100

Q TALLGR Organización de datos y distribución de frecuencias O o °

¡¡ 1. Ordena los siguientes datos en un diagrama de tallo y hojas.

a . 2 1 , 25, 68, 8, 1 1 , 33, 50 , 58 , 25, 29, 18, 9, 47 , 33, 35, 56 , 38, 2 1 , 24, 27

b. 85, 89, 87, 74, 65, 60, 89, 99, 98, 89 , 85, 7 1 , 73, 89, 99, 95, 79, 83, 89

c . 55 , 57 , 59, 4 1 , 74, 75, 44 , 49 , 43 , 47 , 49, 79, 100, 75, 79 ) J 2. Construye una d i s t r i b u c i ó n de frecuencias para cada diagrama de tallo y hojas, comple

ta la i n f o r m a c i ó n que falta e inventa una s i t u a c i ó n para los datos s e ñ a l a d o s .

a.

b.

c.

Tallos Hojas Total 0 8 8 9 3 1 1 4 7 7 7 9 4 2 3 4 4 4 8 9 5 8 9 9

10 4 4 8 •

Tallos Hojas •

Total 3 0 0 5 5 8 8 9 4 1 2 3 4 4 5 5 3 3 4 8 8 7 0 0 3 4 9 1 8 9

Tallos Hojas Total 0 1 2 3 1 5 6 7 8 9 9 2 9 9 9 9 9 9 9 3 1 2 3 3 7 9 5 6 6 8 9 0 6 3 4 7 0 0 5 5 8 1 9

3. Completa cada d i s t r i b u c i ó n de frecuencias y construye un diagrama de tallo y hojas para cada una.

Número de Clase Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa clase (total de datos) acumulada relativa % % acumulada

1 [40, 50] 8

2 [51, 61] 24 3 [62, 72] 15 4 [73, 83] 9 •

5 [84, 101J 3

Número de clase



Frecuencia relativa %

Frecuencia relativa % acumulada

1 [10, 19] 5

2 [20, 29] 9

3 [30, 39] 11

4 [40, 49] 19

5 [50, 59] 25

6 [60, 69] 12

7 [70, 79] 4

c. Número de clase



Frecuencia relativa %

Frecuencia relativa % acumulada

1 [10,19] 5

2 [20,29] 19

3 [30, 39] 10

4 [40, 49] 13

5 [50, 59] 4

6 [60,69] 4

7 [70, 79] 3

y 4. Con los siguientes datos, construye un diagrama de tallo y hojas,

a . Esperanza de vida de algunos países de América para 2005.

PAÍS Argentina Brasil Bolivia Chile Colombia Costa Rica

Cuba Ecuador El Salvador

Estados Unidos

Guatemala

EDAD 76 72 65 76 72 77 77 76 71 78 69

Honduras Jamaica México Nicaragua Panamá Paraguay Perú Trinidad Uruguay Venezuela

69 73 75 70 75 75 70 61 76 74

b. Los diez discos más vendidos en la historia.

PUESTO VENTAS (en millones de unidades)

DISCO ARTISTA

31 Thriller Mlchael Jackson

28 Their Greatest Hits (vol. 1) The Eagles

3 23 The Wall Pink Floyd

4 22 Led Zeppelin IV Led Zeppelin

5 21 Back In Black AC/DC

6 21 Greatest Hits VOL I & II Billy Joel

20 Come On Ovér Shanla Twain

8 19 The Beatles •'; The Beatles

9 19 Rumours Fleetwood Mac

10 17 Boston Boston

C. Población de algunos países de América.

Países Población en millones de habitantes

Argentina 35

Bolivía

Brasil 164

Canadá 30

Chile 14

Colombia 35

Costa Rica 3

Cuba 11

Ecuador 11

El Salvador 6

Estados Unidos 265

Guatemala 11

México 95

Nicaragua 4

Panamá 2

Paraguay 5

Perú 24

Puerto Rico 3

República Dominicana 8

Uruguay m'' 3

Venezuela 22 Descriptor de desempeño: / Utilizar algunas herramientas estadísticas para organizar datos.

Matemática

Biocombustibles, un impacto ambiental y económico

El biocombustible es el término con el cual se denomina a cualquier tipo de combustible que derive de la biomasa (organismos recientemente vivos o sus desechos metabólicos).

Los combustibles de origen biológico pueden sustituir parte del consumo de combustibles fósiles tradicionales, como el petróleo o el carbón. Los biocombustibles más usados y desarrollados son el bioetanol y el biodiésel.

El uso de biocombustibles tiene impactos ambientales negativos y positivos. Los impactos negativos hacen que, a pesar de ser una energía renovable, no sea considerado por muchos expertos como una energía no contaminante y, en consecuencia, tampoco una energía verde.

Una de las causas es que, pese a que en las primeras producciones de biocombustibles solo se utilizaban los restos de otras actividades agrícolas, con su generalización y fomento en los países desarrollados, muchos países subdesarrollados, especialmente del sureste asiático, están destruyendo sus espacios naturales, incluyendo selvas y bosques, para crear plantaciones para biocombustibles.

Algunas fuentes afirman que el balance neto de emisiones de dióxido de carbono por el uso de biocombustibles es nulo. Sin embargo, muchas operaciones realizadas para la producción de biocombustibles, como el uso de maquinaria agrícola, la fertilización o el transporte de productos y materias primas, actualmente utilizan combustibles fósiles y, en con

secuencia, el balance neto de emisiones de dióxido de carbono es positivo.

Otras de las causas del impacto ambiental son la utilización de fertilizantes y agua necesarios para los cultivos; el transporte de la biomasa; el procesado del combustible y la distribución del biocombustible hasta el consumidor. Varios tipos de fertilizantes tienden a degradar los suelos al acidificarlos. El consumo de agua para el cultivo supone disminuir los volúmenes de las reservas y los caudales de agua dulce.

El empleo de biocombustibles de origen vegetal produce menos emisiones nocivas de azufre por unidad de energía que el uso de productos derivados del petróleo. Por la utilización de fertilizantes nitrogenados, en determinadas condiciones el empleo de biocombustibles de origen vegetal puede producir más emisiones de óxidos de nitrógeno que el uso de productos derivados del petróleo.

Al comenzar a utilizarse suelo agrícola para el cultivo directo de biocombustibles, en lugar de aprovechar exclusivamente los restos de otros cultivos (en este caso, hablamos de "biocombustibles de segunda generación"), se ha comenzado a causar un efecto de competencia entre la producción de comida y la de biocombustibles, lo que en el aumento del precio de la comida.

Competencias ciudadanas •

Participación y responsabilidad ciudadana.

• Analizo adecuadamente mi participación en situaciones en las que se vulneran el medio ambiente y los ecosistemas naturales, analizo su impacto económico y las consecuencias a mediano y largo plazo.

56

Matemática ciudadana / R e f l e x i o n o

1 ¿Cuál es tu posic ión sobre la lectura anter ior?

2 , ¿Por qué la p roducc ión de b iocombust ib les comenzó a

ser pe l igrosa, sobre t o d o en el sureste asiát ico?

3 , ¿ Q u é se puede hacer para util izar a d e c u a d a m e n t e los

b iocombust ib les?

4 , O r g a n i z a grupos de seis personas para debat i r el uso de los b iocombust ib les.

Tres compañeros def ienden los b iocombust ib les y los otros tres a tacan la p ro

ducc ión y uso de estos combust ib les. Ano ta todas las conclusiones.

Actividades

1. El a u m e n t o del precio del petró leo

ha l levado a muchos a considerar el

uso de b iocombust ib les. Observa el

d i a g r a m a que muestra el precio del

barri l a ñ o por a ñ o y responde las pre

guntas.

120-

110'

_ 100-

I - Q Bo

fe 70-

£ 50

a 30

1

, • / i i i

ir }

/ J — /"* —

y

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 A ñ o

a . C o m p l e t a cada distr ibución de fre

cuencias. (Cuenta los años ten iendo

en cuenta los cruces de las abscisas

y ordenadas)

Número de

clase

Clase (en dólares)

Frecuencia

(total de años)

Frecuencia

relativa %

1 [10, 19]

2 [20, 29]

3 [30, 39]

4 [40, 49]

5 [50, 59]

6 Mas de 60 2

b . Entre 1 9 7 2 y 1 9 8 2 hubo una fuerte subida del precio del petróleo, lo que generó una baja en la d e m a n d a .

Observa el gráf ico de d e m a n d a de petró

leo. % a. Demanda

1 0 T

1967 1972 1997 2002 2007 Año I

¿Cuáles fueron los años con d e m a n d a - 2 , - 1

y - 4 ? ¿Cuáles años presentaron demanda ne- j

gativa?

c. Frente a las anter iores cifras, el aumen to )

desenf renado del precio del pet ró leo, ¿esl

necesario buscar otras fuentes de c o m b u s

tible? ¿El b iocombust ib le sería una a l te rna- i

t iva? Justif ica.

2, Sabemos que para poder generar 41 3 l i trosl

de etanol p r o m e d i o , es decir 109 ga lones

de acuerdo con las densidades se necesi

ta 1 tone lada de maíz. ¿Cuán to maíz (en

gramos) se requiere para generar 1 litro d e j

etanol?

3 Aver igua en una estación de servicio, ¿cuá

les vehículos pueden func ionar con b ioeta-

nol y b iodiésel .

Proyecto

Software geogebra, construcciones geométricas y relaciones numéricas

Geogebra es un software libre, es decir que se puede bajar por Internet sin ningún costo. En él se pueden establecer claramente las relaciones entre aspectos geométricos y aspectos numéricos o algebraicos de un determinado objeto matemático. A continuación encontraremos un recorrido rápido para aprender cosas básicas y las construcciones que allí se pueden realizar.

La ventana inicial del programa se muestra de esta manera, la división de la izquierda es la ventana algebraica y es donde aparecen las relaciones de tipo numérico. La parte derecha es la ventana geométrica y es donde aparecen las construcciones.

1 . En la parte superior de la ventana aparecen los comandos clásicos de Word y debajo de ellos aparecen los iconos de las funciones básicas de geogebra para construir de manera geométrica. Cada ¡cono es deslizable y presenta nuevas funciones.

\ £ CliMUmim WH 1 * «f w w

• ^ • " • » ' i-íun»rwKii»WBJístrO' IHWt

»" J C**l<MMMtMl*(«ttM"MM*n

I I I I 4 1 1 1 1 I V A " 1

~ - - .

2 . Si realizamos la construcción de manera numérica nos dirigimos a la parte inferior de la ventana al cuadro ENTRADA y allí escribimos la función que queremos que aparezca.

3. En cada ¡cono desplegable se puede escoger una función y construirla de manera sencilla, por ejemplo un polígono regular de n lados. / Se va al ¡cono correspondiente y se escoge la función polígono regular. Luego se diri

ge el puntero del mouse a la ventana geométrica y se construye. Al poner dos puntos (vértices del polígono) aparece una ventana que pregunta de cuántos lados se quiere el polígono.

/ Se da el número de lados que se quiera y luego aplica. Aparecerá entonces el polígono que se ha construido de la siguiente manera:

/ Se puede notar que en las dos ventanas aparecen datos automáticamente que como se mencionó están relacionados: en la ventana algebraica aparecen la coordenadas cartesianas en las que se encuentra cada parte del polígono (lados, vértices e incluso ángulos) y en la geométrica aparece la construcción del polígono, en este caso en nonágono o eneágono.

Con este programa se pueden construir desde puntos y polígonos simples hasta integrales y secuencias paso a paso de construcción. Su gran veracidad es el dinamismo necesario para captar de manera más clara las construcciones matemáticas.

La intención es que bajes el programa Geogebra de la dirección http://www.geoge-bra.org/cms/, allí se te dan todas las indicaciones y recuerda que no tiene costo.

Luego de que lo tengas en tu PC puedes iniciar a explorar el programa con las herramientas básicas que se han mostrado anteriormente.

Identifica el tipo de herramientas geométricas (en la parte superior de la ventana) que se tiene y luego el tipo de herramientas algebraicas (parte inferior de la ventana).

También debes indagar los comandos correctos para ingresar funciones de tipo numérico, como las integrales o derivadas, o funciones con racionales o con enteros.

. • i m n

I M W M

'•-I B T \ E

• l / • 1 /'

•t A 4 i b i * * i i i

• — '< ....

Luego de tener claridad sobre el programa construye, utilizando únicamente la herramienta del compás (circunferencia) y segmentos, los 15 primeros polígonos regulares, iniciando por el triángulo.

Revisa qué está pasando con la ventana algebraica cada vez que se construye un nuevo polígono. ¿Cómo se halla el área y el perímetro en este programa?

¿Qué pasa con el área de cada nuevo polígono? Si se mantiene la misma medida del lado, sea la misma ¿qué pasa con el perímetro?

Analiza por qué en la ventana algebraica aparecen dos carpetas: "objetos libres" y "objetos dependientes", ¿qué significará esto dentro de la construcción geométrica? Ten en cuenta los pasos.

http://www.geoge-

http://bra.org/cms/

Prueba de unidad Contesta las preguntas de la 1 a la 4 con base en la siguiente información.

En un juego de cartas se realizan dos partidas por ronda, cada jugador puede ganar o perder de acuerdo con las partidas. La baraja inicial de Mauricio, un jugador, es de 40 cartas y jugó 6 rondas. Al final obtuvo la siguiente información, ten en cuenta que con + se representa las cartas que ganó y con - las cartas que perdió en cada partida.

Partida 1 Partida 2

R o n d a 1 -7 +6

R o n d a 2 +5 -2

R o n d a 3 +9 -5

R o n d a 4 -3 +3

R o n d a 5 -9 +5

R o n d a 6 +4 -8

1, Al final del juego es correcto decir que:

A . Mauricio ganó en el juego porque quedó con más cartas que con las que comenzó.

Mauricio perdió en el juego porque quedó con menos cartas que con las comenzó.

Mauricio no ganó ni perdió porque quedó con la misma cantidad de cartas que al principio.

li No se puede saber si Mauricio ganó o perdió porque la información es insuficiente.

2. Teniendo en cuenta las dos partidas y las seis rondas, ¿cuántas cartas ganó Mauricio durante el juego?

A. 30 cartas ü 31 cartas C. 35 cartas D. 32 cartas

Según las dos partidas y las seis rondas ¿cuántas cartas perdió Mauricio?

A. 29 cartas 8. 31 cartas C. 34 cartas D. 33 cartas

4. Al final del juego Mauricio contó sus cartas y se dio cuenta que quedó con:

A + 2 cartas 8. - 2 cartas C. 0 cartas D. - 5 cartas

5. Don José está haciendo la cuenta en su calculadora a Doña Magola, le faltaba registrar el último producto cuando sonó el teléfono. Después de hablar por teléfono él olvidó la cuenta que llevaba en la calculadora, pero notó que si tecleaba el precio del último artículo que es $ 3 650 y oprimía la tecla = el resultado es $12 425. Don José para saber el precio que tenía en la calculadora antes de hablar por teléfono, tiene que plantear la siguiente ecuación, siendo x el dato que se va a encontrar:

3 650 - x = 12 425 x + 3 650 = 1 2 425

8 x + 12 425 = 3 650 D. 12 425 + 3 650 = x

6. El precio que registró la calculadora antes que don José hablara por teléfono es:

C $ 1 1 235 A . $ 16 075

$ 8 775 D. $ 8 875

58

Prueba de unidad

Contesta las preguntas 7 y 8 con base en la siguiente información.

Un corral tiene la siguiente forma:

7, Si el ángulo ¿ C mide 1 20°, la medida de ¿ A es:

A, 120° B. 60° 180°

8. Si el ángulo ¿D mide 135°, la medida del ángulo ¿P, es P

D. 100c

120° 8, 135° C, 75° D. 55°

Contesta las preguntas de la 9 a 11 con base en la siguiente información.

El conjunto {40, 45, 47, 50, 5 1 , 58, 59, 63, 65, 67, 68, 69, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 84, 85, 89, 95, 96, 97, 99} son los datos correspondientes al peso de algunos padres y madres de familia de grado séptimo.

9. Al organizar los datos en un diagrama de tallo y hojas, es correcto afirmar:

El 9 tiene 2 hojas C. Salen 34 tallos y 6 hojas

El 5 tiene 6 hojas D. Hay 6 tallos y 26 hojas

0 Al construir una distribución de frecuencia se observa:

A. El mayor peso está entre 50 y 59 kg

B. El menor peso está entre 50 y 59 kg

C. El mayor peso está entre 70 y 79 kg

D. El mayor peso está entre 60 y 59 kg

1 1 . La frecuencia relativa correspondiente a 26,92 % es para el intervalo:

A 50 y 59 kg

B. 60 y 69 kg

70 y 79 kg

80 y 89 kg

IrU-lJHJAM-t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A c—^ ^••.lUHll^ o V o o o o o

B /* N f—-N. (* o o f *v o o o C o O O o o o o o o D O o o o o o o o o o o

J Números racionales • Perímetro y área

Unidades de volumen • Capacidad y masa • Distribución de frecuencias

y diagramas estadísticos

Deporte y matemáticas Los r é c o r d s que se establecen y manejan en los diferentes deportes tienen un toque m a t e m á t i c o , pues como lo estudiaron algunos m a t e m á t i c o s , es posible determinar el rendimiento m á x i m o del ser humano, desde la ó p t i c a m a t e m á t i c a .

Un estudio realizado en Holanda afirma que el l ím i te m á x i m o calculado para los 1 00 m planos será de 9:30 segundos (actualmente la marca está en 9,72 segundos), en la jabalina l l e g a r á a 106,489 m y en el m a r a t ó n femenino en 2 horas y ó minutos.

En jabalina, el checo Jan Zelezny posee una marca de 98,48 m, pero las computadoras dicen que se puede llegar hasta 106,489 m. Curiosamente, las mujeres están mucho m á s cerca del l ími te . Las mujeres tienen a ú n mucho margen de m e j o r í a , mientras que los hombres están cerca del borde. El réco rd de Paul Tergat (2h 04:55 minutos) se p o d r á rebajar solo en 49 segundos, mientras que a la plusmarca de Paula Radcliffe (2hl 5:25) a ú n se le pueden quitar 8:50.

Exploro los conceptos

i» t>»>

i

1. ¿En q u é se relaciona la m a t e m á t i c a con el deporte?

¿ C u á l es la importancia que tiene la m a t e m á t i c a para establecer marcas y r é c o r d s ?

El r é c o r d de los 100 m planos está en 9,72 s, el proyectado en el estudio es de Expresa este n ú m e r o como decimal.

4. Observa que en la lectura se mencionan algunos n ú m e r o s decimales. Observa y completa la tabla.

Marca Número decimal

c i décimas centésimas milésimas

Proyectada en jabalina 106,489 1 0 6 i

0 9 8 4 8

Marca actual de los 100 m planos

La marca del m a r a t ó n femenino proyectada será de 2 horas y 6 minutos, esta cantidad expresada como n ú m e r o mixto es: 2 — h . Recuerda que 6 minutos es una d é c i m a parte de una hora. Expresa en n ú m e r o mixto:

a . Marca proyectada para los 100 m planos:

b. R é c o r d de Paul Tergat:

JT

En los juegos o l í m p i c o s de Beijing 2008 se dis-2

putaron 28 disciplinas, — correspondieron a

deportes a c u á t i c o s , ¿ c u á n t o s deportes a c u á t i cos hubo en las olimpiadas de 2008?

Para responder la anterior pregunta aplicamos

sobre 28, quedando:

x 28 = = ^ = 8 . P o r tanto, hubo 8 7 7

disciplinas a c u á t i c a s en los juegos o l í m p i c o s de Beijing 2008.

- i — i - — 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Sabías que Michael Phelps en los juegos olím-2

picos de Beijing logró el reto de obtener — de medallas de oro de las 36 conseguidas

por Estados Unidos en las pruebas de na+ación. En total ha conseguido j | £f 14 medallas de oro, llegando a ser e

mejor nadador de la historia.

Operadores fraccionarios

1 Sobre un número Sobre una magnitud

Multiplicamos el numerador por el número , este resultado lo dividimos por el denominador.

2 x 2 8 = 2 x 28 = 5 ó = 8

7 7 7

Se representa la recta en las partes que indica el número , se dividen estas partes por el denominador y se toman las que indica el numerador.

Multiplicamos el numerador por el número , este resultado lo dividimos por el denominador.

2 x 2 8 = 2 x 28 = 5 ó = 8

7 7 7 1 i i i 1 1 1 \ — é — 1 1 1 i 1 l i — i 1 1 1 — i l i i—i 1 1 i — i — ^ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

61

O TALLER Operadores fraccionarios O o °

}„» Aplica el operador fraccionario sobre la magnitud indicada y represéntalo.

— de 15 3

c. - de 20 4

- de 40 - de 18 8 6

Escribe el operador utilizado en cada una de las transformaciones.

€1, c

i

: Encuentra el resultado y escribe en el espacio si el operador fraccionario pertenece a una fracción propia o impropia.

a . 520 326 x - = 3

b. 325 568 x - = 5

897 000 x 25

d . 100 000 x - = 2

e. 100 000 x - = 7

—Y—

Completa la tabla, aplicando el operador respectivo.

7 11 7 3 29 41

4 8 BBBBHBBSBBBI

4 8 2

-128

2 600

-64

-600

240

La población de Colombia es aproximadamente 44 875 797 de habitantes, la pobla

ción de Bogotá es aproximadamente un poco más de — de la población de Colombia. 6

¿Cuál es aproximadamente la población de Bogotá?

f „ o 6 , Observa la recta numérica y completa las afirmaciones.

— i 1 1 1 1 1 é 1 1 é é 1 1 1 • 1 1 * 1 1 # 1 1 1 1 * -

-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300

50 es — de _ 4

-75 es — de 4

1 25 es — de 4

-50 es — de _ 5

-275 es — de 12 o

i 200 es - de 3

y 7. En la figura se muestra totalmente en verde un terreno que tiene 64 m 2 , escribe en la tabla el área de cada una de las partes sombreadas y completa el último gráfico.

1 1 1 1 1 1

Parte sombreada

•BMBHBBMBBMKSMBBBHHHHBBI

1 1

8 16 32 Parte sombreada

•BMBHBBMBBMKSMBBBHHHHBBI

2 4 8 16 32

Área 64 m2

¡I y Durante el a ñ o 2004 el sector educativo de B o g o t á

a t e n d i ó a 1 582 966 n iños y j óvenes . La p o b l a c i ó n

atendida con recursos del Distrito fue de un poco me-5

nos de — , la correspondiente a los establecimientos 8 1

privados fue de un poco m á s de — . ¿ C u á n t a s per-3

sonas atendieron aproximadamente el Distrito y los

establecimientos privados? Aplica el operador sobre la unidad en cada recta.

b.

3 M

— x U

4

2 c. —

e.

- 1 1 2

- 1 3

xU

xU

u < - i — i — i — i — i — u

-7 -6 -5 -4

-I 1--7 -6

1-_7 -6 -5 -4

-3 -2 -1 0 u

5 -4 -3 -2 -1 0 u

! -1 0

u - « - I — I — l

-7 _6 -5 -4

Identifica el operador que se ha aplicado.

24 21

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 u

-I 1 1 1 u 0

22

4-*-

- 6 0 -48 - 4 0 -44

36

- 1 0 0

15

-25

27

- 3 5 -10

y Determina el n ú m e r o de medallas conseguidas por Michael Phelps en los juegos o l í m picos de Beijing 2008.

64 Descriptor de desempeño: / Identificar cómo actúa un operador fraccionario sobre una magnitud y un número.


• Fracciones equivalentes y números mixtos

En las eliminatorias al mundial de Alemania 2006 , Ecuador

y Paraguay clasificaron a esta copa mundo. Ecuador g a n ó 4 8 — de los partidos, Paraguay g a n ó —— de los juegos de las 9 18 eliminatorias. ¿ C u á l país g a n ó m á s partidos?

4 9

_8_ 18

4 x 1 8

9 x 8

8_ 18

72 J

Sabías que en el 2 0 0 6 el director t écn i co de la

se lecc ión de Ecuador era e colombiano "Bolillo" G ó m e z

Colombia no clasi f icó.

4 8 8 Observa aue las fracciones — y — son equivalentes. Si simplificamos — obtenemos

9 18 18 8 4 . 4 8

— = — , si comphticamos — por 2, resulta — 18 9 9 18

Fracciones equivalentes

\ Dos fracciones son equivalentes cuando

representan la misma parte de la unidad. Se obtienen al

r Complificar

Multiplicar el numerador y denominador por un número determinado.

\ Simplificar

Dividir el numerador y denominador por un número determinado.

O TALLER Fracciones equivalentes y números mixtos # •

7* Encuentra números equivalentes a los números dados utilizando el procedimiento de simplificación.

Ui

12 14

27 6 '

43 3 '

56 64

52 52 '

— :

9> —

h, —

"777

46 69

0_ 57

72 81

I d 20

48 60 :

^„)j En la secuencia de gráficos se encuentra uno que no es equivalente o está repetido con una fracción dada. Identifica la fracción y halla cuál no es equivalente, explica por qué.

Halla por lo menos un grupo de cinco fracciones equivalentes a cada fracción irreductible (recuerda que una fracción irreductible es aquella donde el M.C.D. es 1, no se puede simplificar más). Utiliza la simplificación. En caso contrario usa la complificación hasta hallar el número racional.

7 8 3 5 a. — , — , — , — = la fracción equivalente irreductible es: 49 56 21 35 .

b.

c.

]__

2 "

V\_

17

las fracciones equivalentes son:

—

las fracciones equivalentes son: 1

las fracciones equivalentes son:

e. 21 27 _6_ 30 3 5 ' 4 5 ' 1 0 ' 50

la fracción irreductible es:

4 , La ardilla quiere atrapar una nuez, pero para llegar a ella necesita atravesar un camino seguro, para esto deberá hacer un camino solamente con fracciones equivalentes. Sombrea el camino que debe seguir.

wm Une con una línea las fracciones equivalentes.

CJ. 24 36

_3_ 72

27 13

b, I_l 136

46 34

2 3

105 275

35 55

1_

11

15 360

54 26

23 17

_0_ 20

_8_ 12

0 3

162 78

0_

15 24

Números mixtos: recuerda que toda fracción impropia necesita más de una unidad para representarla, se puede expresar como un número mixto.

Observa los dos procedimientos para transformar una fracción impropia en número mixto.

5 2

2 2

\ 5 2

1 2 t

2 Í ~ A 2 * -

67

Expresa las fracciones como números mixtos, utiliza el procedimiento anterior.

7

91 99 153

6 7 2

67 126 714

b. d. f. 3 16 6

Plantea un proceso para transformar un número mixto a fracción y expresa los números mixtos en fracciones y halla una equivalente.

Procedimiento

a. 1 1 ^ 9

- 1 4 2 -7

- 2 7 — 13

120-

e . - 5 2 1 — 19

i 350 19

En el béisbol el rendimiento al batear se compara con la fracción que vincula el número de hits con las veces que está al bate. El cuadro muestra algunos bateadores de las grandes ligas en Estados Unidos. Complétalo y determina los bateadores que tienen el mismo rendimiento.

B a t e a d o r H i t s V e c e s en el ba te R e n d i m i e n t o

a Edgar Rentería

^ / ^ < ^ Sami Sosa

Wmmm > i k _ _ m

144 472 144 18

472 " 59

a Edgar Rentería

^ / ^ < ^ Sami Sosa

Wmmm > i k _ _ m 22 74 • • • •

1 Kyle Farnsworth 132 444 • •

Edgar Rentería

18 59 • • • • Reemplaza la letra por un número de tal forma que las parejas de fracciones resulten equivalentes.

a. 7 105

a ~ 75

x 27 — = — 5 45 c.

_ a _ = 3_

55 ~ 11


/ Identificar y representar fracciones equivalentes y números mixtos.


Concepto de número racional

En los juegos olímpicos de Beijin 2008 los cuatro primeros puestos los ocuparon China, Estados Unidos, Rusia y Reino Unido. Es la primera vez que China gana estas justas. Observa la fracción del total de medallas de oro obtenidas por cada país.

País País China 8 8 Estados Unidos HH Rusia _ Z.^ Reino Unido País _ Z.^ Reino Unido

Puesto 1 2 . 3 4

Fracción total de medallas de oro

1 6

3 25

2

25 1

15

Observa que los números que determinan la fracción del total de medallas de oro obtenidas pertenecen a los números racionales.

¿Sabías que en los juegos olímpicos de Sídney

2000 , Colombia ganó su primera medalla de oro en pesas con María Isabel Urrutia? En

Beijin 2008, Colombia ganó I medalla de pla+a

y I de bronce

Un número racional (Q) es un número de la forma — en donde a y b son números D

enteros y b debe ser un número entero diferente a 0. El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q . Los números naturales y enteros son un subconjunto de los números racionales. Observa la jerarquía de estos conjuntos numéricos.

Racionales (Q)

r

( ^ ^ ^ N a t u r a l e s ( N )

Enteros (Z ) y

6 9

O TALLER Concepto de número racional O •

'( ¿Hay más números racionales que números enteros? Justifica.

¿Por qué un número natural es también un número entero? Explica tu respuesta.

),,D Escribe.€ o g en las casillas del cuadro, según corresponda.

mm HHÜ 3 e e e

B " 0,2 2| 7

9

IB' _12 11 24

V16

IB - 0 H 3/32

36 12

Cp 4 . Responde (F) o (V), según corresponda. En caso de ser falsa la afirmación, escríbela de manera tal que sea verdadera.

a . Todo número natural es también un número racional ( )

b Todo número racional es también un número entero ( )

c. Todo número entero puede escribirse como un número racional ( )

d Todo número decimal es también un número racional ( )

Toda fracción irreductible es un número entero ( )

El cero no es un número racional ( )

5. Escribe el racional que se encuentra representada de forma fraccionaria en cada caso.

(*> \ / • • • n • n • •

I . 114 n • • • •

• • • 6. Para cada situación representa en un diagrama los números racionales y soluciónala.

Un hombre cultiva— de su parcela, de esta abona —¿Qué porción de la parcela 4 8

fue abonada?

Í ; Un hombre vende — de su terreno, alquila — del resto y lo demás lo cultiva. ¿Qué 4 8

porción del terreno cultiva?

En un colegio se o r g a n i z ó un campeonato. Observa las edades de los n i ñ o s inscritos y responde.

Edad Número de inscritos Categoría

6 7 A

7 12 A

8 15 A

9 21 B

10 17 B 11 29 B

12 43 C

13 5 C

Plantea un n ú m e r o racionan que asocie:

b.

(•

e« f.

h.

El n ú m e r o de

El n ú m e r o de

El n ú m e r o de

El n ú m e r o de

El n ú m e r o de

El n ú m e r o de

El n ú m e r o de

El n ú m e r o de

inscritos de ó a ñ o s en el total,

inscritos de 6 a ñ o s en la c a t e g o r í a A.

inscritos de.7 a ñ o s en su c a t e g o r í a ,

inscritos de 1 0 a ñ o s en el total,

inscritos de 1 2 a ñ o s en la c a t e g o r í a C.

inscritos de la c a t e g o r í a C en el total,

inscritos de la c a t e g o r í a A en el total,

inscritos de la c a t e g o r í a B en el total.

Densidad de los números racionales: dados dos n ú m e r o s racionales distintos, a < P,

siempre existe otro n ú m e r o racional y tal que a < y < P .

Para ello, si a = —, y P = —, con b y d positivos, basta con tomar y = ° + -b d b + a

Completa las fracciones para que se cumpla la desigualdad.

1 • 7

• 8 5 < — < —

• 8 <

• ' 3 4

. 3 7 • — < — < 9 20 |

Rincón de la historia

Los racionales en la historia.

• En Babilonia se usaban n ú m e r o s racionales con denominador igual a una potencia de 60.

• A principios del siglo XV el á r a b e Al Kashi g e n e r a l i z ó el uso de los n ú m e r o s decimales.

• Los racionales se denotan con la letra (0J por quotient o cociente en i ng lés .

72 Descriptor de desempeño: / Identificar el concepto de número racional.


Representación decimal de los racionales y conversiones

El salto alto es una prueba de atletismo que tiene por objetivo sobrepasar una barra horizontal, denominada l i s t ó n , colocada a una altura determinada sobre dos soportes verticales separados unos 4 metros. El r é c o r d actual lo tiene el cubano Javier Sotoma-yor. Observa el cuadro con los tres mejores r é c o r d s .

Atleta Javier Sotomayor Patrik Sjóberg Charles Austin

País mm i P Cuba • • i Suecia = F<;t3Hn? I Inirinc

Puesto 1 2 3

Longitud 49 17 12 en metros 20 7 5

¿Cuán+os cen+íme+ros hay de diferencia en+re el primer pues+o, el segundo y el -tercero?

Para responder la pregunta, tenemos que expresar cada f r a c c i ó n como n ú m e r o decimal, hay varias formas de hacerlo.

/ Buscar la f r a c c i ó n decimal, para ello encontramos una f r a c c i ó n equivalente con denominador potencia de 1 0.

49 , f . 4 9 x 5 245 — lo complmcamos por 5 - 7 = ¿ , 4 5 20 2 0 x 5 100

Dividir el numerador entre el denominador. Observa que en — no hay n i n g ú n n ú m e r o

que multiplicado por 7 nos de 100, por tanto, debemos dividir el numerador entre el denominador.

7 • 12 5 ¡ l 1 [ 1 í \

30 r ' ,428.. 2 0 2,4

L¡ 20 6 , .60

LE 17 j ," " ' 1 „• i ,,. , .60

LE 17 Por tanto,

Atleta Javier Sotomayor (1) Patrik Sjóberg (2) Charles Austin (3)

Longitud en metros 2,45 2,428... 2,4

La diferencia entre el primer y el segundo puesto es de 22 mm o 2,2 cm. Entre el primero y el tercero es 5 cm.

Clave matemática

Los números racionales se pueden expresar a través de números decimales.

Observa que la marca del segundo atleta tiene infinitas cifras decimales, pues al efectuar la división decimal, el residuo nunca es cero.

Expresiones decimales

i Finitas

i Tienen cifras

decimales finitas

Periódicas

Tienen cifras decimales que se repiten periódicamente en forma infinita

O TALL€R Representación decimal de los racionales y conversiones # # #

f"" Después de leer el párrafo anterior, coloca al frente de las siguientes frases falso (F) o verdadero (V) según corresponda.

El número 878,21 es equivalente a 87821

b, El número 588,1256 es equivalente a

10

588,1256 10000

c. El número 568 es equivalente a 568

( )

( )

( )

El número 12,63 es equivalente a 1263 100

( )

Expresa como número decimal los números racionales. Indica en el espacio si el decimal encontrado es finito o periódico.

-

-

—

8 9 "

12

23 1

5 9 "

_0_ 45

J_ 23

1 45

-1

_6_ 12

| . —

k. 86

JO 20

Completa la tabla.

Tipo de decimal

Fracción Expresión decimal Finito Periódico

2 4

0,5 /

1

5

3 8

7 9

3 7

22 7

3 Í 9

Recuerda que los números decimales se pueden expresar como fracciones, por ejemplo 495 99

4,95 es eauivalente a = — , esto se hace quitando la coma al decimal y escri-H 100 20

biéndolo como denominador 1 ,10, 100, entre otros (potencia de 10). La cantidad de espacios después de la coma indica la cantidad de ceros que se deben agregar a 1.

Escribe como número racional los números decimales. Expresa el número racional como

una fracción irreductible.

1 0,45_

b. 21,34

c . 47,6

15,5

I-

22,Ó8_

76,8

d. 12,25

c*# 52^34

f. 2,05

g . 7 , 5 2 _

k 71,54

i . 76,05_

v 7,288_

41,35

75

Analiza el proceso para convertir una fracción decimal periódica en una fracción.

Decimales periódicos

Periódico puro

Periodo y—% 32500 32,5325325...=

32500

999

Periódico mixto

Periodo

43Í2?81278..= («1278-43)1000 = 431235000

999900 999900 Anteperiodo

En expresiones periódicas mixtas se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formado por el anteperiodo seguido de la primera repetición del periodo, el entero formado por el anteperiodo, se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como cifras significativas se encuentren a la izquierda de la coma decimal. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.

Expresa en fracción irreductible.

- 8 , 3 8 3 8 3 8 3 . . . = • •

2 ,34234234 . . .= - Q

- 45 ,2452452 . . . = j = j

215 ,151515 . . . = - Q

-212 ,424242 . . .

0 ,105105105. . . :

1,2444444.. .=

0 ,89548954 =

• • • • • •

6, Un atleta de salto con garrocha entrena de lunes a jueves, y su récord de salto de

cada día fue: 4 _ m, el lunes 5 _ m, el martes 5 _ m, el miércoles y 5 _ el jueves. 2 4 7 3

Determina los metros y centímetros saltados cada día.

Realiza la lectura y responde las preguntas.

La menor de las diferencias se convirtió en la

mayor de las frustraciones para Reyes Estévez,

un segundo en 1 500, una minucia infinitesimal

que fue revisada una y otra vez por los jueces

ante la imposibilidad de concretar el vencedor

con la foto finish. El veredicto se demoró varios 2271

minutos en medio de un silencio espeso. El español registró un tiempo de ^ s y el

francés Mehdi Baala s. Ambos pasearon las banderas por la pista y hasta se pensó en una doble medalla de oro, algo de lo que apenas hay precedentes.

Determina la diferencia de centésimas de segundo entre el tiempo registrado por el atleta

español y el francés.


/ Realizar conversiones entre fracciones decimales y reconocer el tipo de expresión decimal que forma.


Orden de los números en la recta numérica En el campeonato de fórmula 1 del 2 0 0 1 , Juan Pablo Montoya participa por primera vez. Observa la fracción correspondiente a las victorias alcanzadas por algunos pilotos.

mmm mmm

David Coulthard

Juan Pablo Montoya

Ralf Schumacher

Michael Schumacher

David Coulthard

Fracción de victorias alcanzadas en el campeonato 2001

1

18

1 6

1

2

1

9

Representemos la fracción correspondiente a las victorias de estos pilotos y ordenémoslas de mayor a menor para saber quien ganó más.

Juan Pablo Montoya Í 8

< L ^ _ L J I I I L

0

Michael Schumacher — 2

< L 0

Ralf Schumacher — 6

j i_

0 1

David Coulthard — 9

< i • i i i i 1 i i I » .

0 1

El orden de mayor a menor es: — > — > — > — . Por tanto, el piloto que más victorias 2 6 9 18

obtuvo fue Michael Schumacher.

Clave matemática

Representación en la recta

Relación de orden

Proceso numérico

Ejemplo

a c c a - < - 0 - > -b d d b

3 C - < - si ad < be b d

1 1 — <-porque 1 x 9 < 1 8 x 1 18 9

b ^ d

a c c a - < - 0 - > -b d d b

3 C - < - si ad < be b d

1 1 — <-porque 1 x 9 < 1 8 x 1 18 9

->-porque 1 x 6 < 9 x 1 6 9

3 C - > - si ad > be b d

- > - porque 1 x 6 < 9 x 1 6 9 - < -d ^ b

->-porque 1 x 6 < 9 x 1 6 9

3 C - > - si ad > be b d

- > - porque 1 x 6 < 9 x 1 6 9

7 7

•¡ "T VLl«»€í Orden de lo s números racionales y representación en la recta numérica O

1 . Representa en tu cuaderno cada una de los números racionales. Utiliza una recta diferente para cada fracción.

1 5 — h . 5 4 2 19

— f , — 3 5

17 8 4 3

9 4 Cal ií I'™,. :*

7 13 5 , _ 21

C * 8 5

1 6 m,

3 9 2 7

g , — n, M 7 10

2, Representa los números racionales en la recta indicada y ordénalos de mayor a menor.

5 o,

4

b . - -

- 2 - 1 0 1

-4 -3 -2 -1 15

j • ' i i i 4 - 2 - 1 0 1

d 1 1 — 3 J I L

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

•(>))¡ Observa la recta y determina entre qué letras se encuentran los siguientes decimales.

2,25 entre E y F , e. - — 5

; > # 78

A _ i _

8 _ i _

C

-4,5 -3,0 -1,5

D

0

E F _ i i

1,5 3,0

G i

4,5

H

6,0

b. -3 ,69

4,02 _

d. -2 ,79

_ 54 19

g

h.

23 7

39 7

*? 4 . La tabla muestra la parte de pista recorrida por cada atleta después de dos minutos de competencia. Ordénalos de forma ascendente para obtener las posiciones alcanzadas hasta el momento y completa la segunda tabla.

POSICION

ATLETA

Atleta Pista recorrida

Sudáfrica 1

mw H Eslovenia

1

18

USA 2

H B Alemania

1

4

Colombia 1

9

Cuba 1

5

Suiza 16

China 1

7

Brasil 1 8

Canadá 3

12

79

S 5, Andrea y Jorge cumplen años el mismo día. Para su fiesta

cada uno de ellos compró una pizza del mismo tamaño. Si

en la fiesta de Andrea se comieron — de la pizza y en la de 1

Jorge se comieron - de la pizza. Responde: ¿En qué fiesta comieron mayor cantidad de pizza? ¿Por qué?

¿Debe existir alguna condición especial para poder comparar la cantidad de pizza comida? ¿Cuál y por qué?

S Sombrea las partes de cada una de los siguientes gráficos de manera que el número racional que quede a la derecha sea siempre menor que el que está a la izquierda (conservando la secuencia). Escribe el número racional que ha quedado en cada gráfico en una tabla, recuerda seguir el orden y completar la secuencia.

Completa con los signos ( > , < o =) según corresponda.

1 m 2 a.. — — 3 ^ 5

b. • 2 9 JO 40

11 1 8

19 1 13

4a 25 50

2 5

75 100

_9_ 13

S Juan, Miguel y Carlos son tres competido

res de las olimpiadas deportivas institucio

nales. En la primera prueba de atletismo,

2 Carlos ha recorrido — de la pista, Miguel

1 3 - y J u a n - de la pista. $ e s a b e que la pista

mide 2 100 m. Responde:

¿Quién va ganando la carrera? ¿Por cuántos metros de ventaja sobre los otros?

¿ Q u é cant idad de metros cor responde a c a d a atleta según la cant idad de pista que

ha recorr ido?

¿ C u á l e s son las posic iones parc ia les en la ca r re ra?

En la recta numér ica que se muestra se han seña lado a lgunos puntos con sus respecti

vas c o o r d e n a d a s . P e s el punto medio de A B y Q es el punto medio de C D .

B C D

Q es. Determina la longitud del segmento P Q

b, Encuentra un número rac iona l para el punto P y para el punto Q

Se lanza una f lecha desde el punto A , si en B ha recorr ido la mitad de la distancia ini

cial y los puntos C , D, E,y F representan los puntos mitades del segmento que q u e d a ,

¿cuánto va le el segmento FO-?

Descriptor de desempeño: / Identificar y utilizar el orden en los números racionales y su representación en la recta numérica.


% Polígonos « ••••• i » n i » »

Para los juegos olímpicos de Beijing 2008 , el gobierno chino construyó un edificio llamado cubo de agua, donde se desarrolaron las competiciones de natación, waterpolo, saltos y natación sincronizada. La estructura tiene una fachada tridimensional que representa una formación de burbujas, en ella se pueden observar una serie de polígonos.

Observa que los triángulos coloreados corresponden a figuras pol igonales congruentes.

0 Clave matemática 0

Polígonos

Lados y ángulos congruentes

I

Porción del plano limitada por Porción del plano limitada por Vértices

Lados • que forman

Í r Algunos

congruentes L

Ninguno congruente

l

Regulares Irregulares

->-í Angulos

Todos son menores a dos ángulos rectos

Convexo

Alguno mide más de dos ángulos rectos

Cóncavo

Dos polígonos son congruentes si su tamaño y forma coinciden. Es decir, tanto sus tres ángulos con sus tres lados deben ser congruentes.

El símbolo de congruencia es = . igruencia

i i m

O TALL6R Polígonos O o ° •;' ¿Existe un polígono que tenga todos sus lados congruentes pero sus ángulos no? Dibú

jalo.

S En la fachada del cubo de agua, ¿existe otra pareja de polígonos congruentes?

3 . Encuentra y dibuja un trapecio con dos ángulos rectos.

Completa la tabla.

Polígono convexo concavo Número de lados

Número de vértices

Número de ángulos

o V 10 10 10

Heptágono

> >

o Octágono

5. Numera los polígonos señalados en la fachada del cubo de agua y clasifícalos de acuerdo con su número de lados y sus ángulos. Completa la tabla.

Polígono (número) Nombre (por número de lados) Convexo/cóncavo

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Diagonales, la diagonal de un polígono es un segmento que se traza de un vértice a otro, no es un lado del polígono.

Completa las diagonales para un vértice y para todo el polígono. Llena los espacios.

Polígono Diagonales en un vértice

Total Total de triángulos

Suma de los ángulos internos

Total de diagonales

Pentágono 2 3 3 x 1 8 0 ° = 5 4 0 ° 2 x 5 = 10

Heptágono

Determina los polígonos congruentes y completa los espacios.

*? 8. Divide las figuras en cuatro polígonos congruentes.

b. d.

'( 9. Los polígonos fueron tomados de la fachada del edificio "cubo de agua". Observa y completa.

AB=

b. BC=

c. D C s

DE =

e, EF =

i FA=

-, ¿ A s

¿ C s

¿ D s .

., ¿ E s .


/ Reconocer e identificar los atributos básicos de los polígonos.


Longitud y perímetro

Para la temporada de 2008 de Fórmula 1, el circuito más largo, el más corto y el único en Latinoamérica fueron:

Circuito País Per ímetro Trazado

Spa Francorchamps j 1 . V _ ' Bélgica

7 km

Monaco i % V _ Monaco

334 dam

Interlagos Brasil

4 309m

¿Cuántos decámetros de diferencia hay entre el circuito más largo y el menos largo? ¿Cuántos circuitos de Monaco caben aproximadamente en Spa Francorchamps?

Clave m a t e m á t i c a

¿Sabías que Juan Pablo Montoya ganó

dos veces ( 2 0 0 4 y 2 0 0 5 ) el Gran premio de Brasil en el circui+o de

In+erlagos?

La unidad de longitud es el metro. Los múltiplos y submúltiplos son: - 1 0 -s-10 - 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1 0

hm dam m dm cm mm

Equivalencia en 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000 metros

x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 - 1 0

Por tanto, 7 km = 7 x 1 0 x 1 0 x 10 = 7 000 m. 334 dam = 334 x 1 0 = 3 340 m.

7 000 - 3 340 = 3 660 m = 3 660 - M 0 = 366 dam. Observa que esta diferencia mide casi otro circuito de Monaco, por tanto, caben casi dos circuitos de Monaco en Spa Francorchamps.

O TALLER Longitud y perímetro O o ° S Expresa en cm, dm, dam y km la longitud del circuito de Interlagos.

Completa los espacios.

a . 7,3 km = dam = m = cm

0,081 hm = m - dm = cm

12,48 m = 100,12 dam =

e . 0,024 km = _ f 24,8 c m =

hm km •km m

dam = dm =

mm dm cm

km = hm dm g . 800,25 mm = hm da m mm Encuentra el perímetro de los polígonos. Expresa la respuesta en metros.

C 10 hm 2 dam

15m

1 dam 35 dam

5,8 dm d

4,9 cm

1,7 cm

5 dm

2,07 cm

54 cm

Determina la longitud del lado desconocido en cada polígono.

15,45 m ?dm

?cm Perímetro: 5 497 cm 1 dam

21,7 m

Halla el perímetro en metros de las figuras.

20 cm 2 cm

8, 23 hm

400 mm

5 cm

2cm

1 cm 4 cm

30 mm

2cm

50 cm 50 mm

40 mm

21,7 m

\ 5 cm

3 cm

10, 5 h m \ Perímetro: 43,48 hm / 1 0 , 5 h m

2cm

En el g r á f i c o se encuentran dos d o d e c á g o n o s con las medidas de sus respectivos lados. Si suponemos que son d o d e c á g o n o s regulares, responde:

¿ C u á l es el p e r í m e t r o ' d e cada uno de los p o l í g o n o s ?

¿ C u á l es el n ú m e r o racional que expresa la medida del lado de cada p o l í g o n o ?

c . ¿ C u á l es la medida del p e r í m e t r o en forma racional?

1,82 cm

Determina el p e r í m e t r o de un r e c t á n g u l o cuya á r e a es 200 m 2 y su largo 250 dm.

¿ C u á l es el ancho de un r e c t á n g u l o que mide 1,6 dm de largo si su á r e a es equivalente al de un cuadrado de 12 cm de largo?

Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano y determina su p e r í m e t r o .

i , Y

\¿

> —o.— 0

A • 4

X -2 4 0 -1 6 2 - í —i I \ í i 1 2 6 . !0 2 4

A \

P,

"11 • 1 /

a . A = ( - 2 1 , 8); 8 =¿ ( - 2 1 , 8); A = ( - 2 1 , - 4 ) ; C = (-14, 8); D = (-1 4, -4).

b. E = (-1 0, 1 0); F = (3, 1 0); G = (3, ó ) ; H - (8, ó ) ; / = (8, - 4 ) ; J = (-1 0, - 4 ) .

C. K = (18, ó ) ; L = (24, ó ) ; M = (24, 12); N = (28, 12); Ñ = (28, 4); O = (26, 4);

P = (26, - 8 ) ; Q = (18, - 8 ) .

d. R = (4, ó ) ; S = (8, ó ) ; T = (8, 1 0); U = (1 8, 1 0); V = (1 8, - 3 ) ; W = (1 4 , - 3 ) ;

X = (1 4 , - 9 ) ; Y = (8, - 9 ) ; Z = (8, - ó ) ; AA = (4, - ó ) ;

Perímetro de la circunferencia. Recuerda que para obtener el perímetro de la circunferencia, multiplicamos 2 veces el radio por n, es decir P = 2 %r, donde r es el radio y 7 1 = 3,14 (aproximación)

Determina la longitud de las circunferencias, exprésalas en metros.

1 2 . Un atleta practica én la pista atlética de un estadio.


Triángulos y líneas notables « • mi ií wmmm • mm

La vela es un depor te náutico olímpico que consiste en una serie de regatas en m a r a b i e r t o , cuyo objet ivo es cont ro la r la dinámica del b a r c o p r o p u l s a d o por la s imple acción del v iento sobre sus velas, las cuales genera lmente descr iben fo rmas triangulares.

¿Cómo podemos clasificar los triángulos? ' / — ;

Clave matemática I

Todos congruentes

Equilátero

Tres lados

Dos congruentes

Isósceles

Triángulos

Porción del plano limitada por

que forman

1 Ninguno

congruente Uno recto

Escaleno

Tres ángulos

Uno obtuso

1 -

Rectángulo Obtusángulo

Todos agudos

Acutángulo

Si de c a d a punta de la vela de la i m a g e n sale un lazo, ¿cómo se d e b e n a m a r r a r para q u e los tres lazos c o i n c i d a n en un solo punto? Obse rva tres soluciones que presenta el deport i s ta

A . B. C,

En el amarre A, cada lazo representa la bisectriz de cada ángulo de la vela, coinciden en un punto l lamado incentro. En el amarre 8, cada lazo se amarra en el punto medio del lado opuesto, los tres lazos se unen en un punto l lamado baricentro. En el amarre C, cada lazo se amarra en el lado opuesto teniendo en cuenta que forme un ángulo recto con este, es decir, cada lazo representará las alturas de cada lado. Los lazos se encuentran en un punto l lamado ortocentro.

Clave matemática 2

Las líneas especiales o notables en un triángulo son:

Bisectrices: son segmentos que dividen los ángulos de un triángulo en dos partes iguales. El punto donde se encuentran las bisectrices se llama incentro.

/ Mediatrices: son segmentos perpendiculares que pasan por el punto medio de cada uno de los lados. El punto donde se encuentran las mediatrices se llama circuncentro.

/ Medianas: son segmentos que relacionan cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto. El punto donde se encuentran las medianas se llama Baricentro o centro de gravedad.

/ Alturas: son segmentos perpendiculares que unen cada uno de los vértices del triángulo con el lado opuesto. El punto donde se encuentran las tres alturas se llama ortocentro.

O TALLER Triángulos y líneas notables O • '.ni ¿Cuál es la diferencia entre las alturas de un triángulo y las mediatrices?

Mide los lados de cada triángulo y clasifícalos de acuerdo con su medida. Dibuja las bisectrices en los triángulos isósceles, las mediatrices en los escalenos y las medianas en los equiláteros.

a . %x Si

Cl.

Clasifica los triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos. Traza las medianas en los triángulos rectángulos, las alturas en los acutángulos y las bisectrices en los obtusángulos.

*? 6. Identifica en el triángulo cada uno de los elementos que allí se dan, con ellos realiza una tabla y analiza el tipo de triángulo que es.

/.i») En los triángulos dibuja con rojo las bisectrices, con azul las medianas, con verde las mediatrices y con negro las alturas.

A

D

F_ F_

B C E

¿Qué triángulo es el M B C y el ADET?

¿Qué diferencia hay en las líneas notables del AABC y las del ADEF?

Observa la tabla y complétala.

U n e . Punto Circunferencia Dibuja la circunferencia

circuncentro

, V i \ i •* \ 1 \ y

circuncentro

, V i \ i •* \ 1 \ y

y / circuncentro

, V i \ i •* \ 1 \ y

i circuncentro

, V i \ i •* \ 1 \ y

/ circuncentro

, V i \ i •* \ 1 \ y

P R

Bisectrices

r — ~ \

Bisectrices Bisectrices Bisectrices Bisectrices

P R

\ Q

—

1 P R


• Identificar las propiedades de los triángulos a partir de las líneas notables, reconociendo sus propiedades geométricas.

• Área y unidades de superficie Las canchas de tenis y voleibol ocupan superficies rectangulares. Determinemos la superficie que cubre cada cancha, si cada cuadro tiene de lado 1 m. Expresémoslas en dam 2

1 ' 1 i 1

r

Observa que cada cuadro tiene un área de I m 2, pues

cada cuadrado tiene I m de lado. Recuerda que

para establecer la medida de una superficie utiliza-

mos unidades cuadradas, en este caso metros

cuadrados (m 2)

/ Cancha de tenis: mide 24 m de base y 10 m de altura, es decir que esta cancha la cubrimos con 240 m 2 = 24 x 10

/ Cancha de voleibol: mide 9 m de base y 18 m de altura, es decir, esta cancha la cubrimos con 162 m 2 = 9 x 18 La cancha de tenis es más grande, su diferencia está en 240 - 162 = 78 m 2

ültf C2

La unidad de área es el metro cuadrado. Los múltiplos y submúltiplos son: 100 100 -100 100 -100 -100

Equivalencia km 2

0,000001

Múltiplos

hm 2

0,0001 dam 2

0,01

Unidad patrón

m 2

1 dm 2

100

Submúltiplos

cm 2

1 0000 mnr

1 000 000 en nr

x 100 x 100 x 100 x 100

Luego, la medida del área de las canchas en dam 2 son:

240

x 100

Cancha de tenis: 240 m 2 = 240 -1 00 100

2,4 dam 2

Cancha de voleibol: 162 m 2 = 1 6 2 - 1 0 0 = 162 100

1,62 dam 2

-100

El área es la magnitud de superficie que encierra los lados que forman un polígono. Para encontrar el área de figuras planas se pueden utilizar las siguientes fórmulas:

Figura Dibujo Fórmula para calcular área

C u a d r a d o 1 F i A = / xl=P

(A 2

Rectángulo

Base (b) ~ r\ = bxh

late

R o m b o

Cu

adri

A _ d 1 X Ó2

2

Trapec io

A ih \

/ ' \

A b. + b, A = / i x - J í-2

Tr iángulo / Altura \ r-Base(b)-H

A = 2

Pol ígonos regu la res apotema

Perímetro x apotema

2

Círculo G TT x r* ( r = radio)

Q TALL6R Área y unidades de superficie O o ° S Si el triángulo es equilátero con un lado de 1 6 cm, determina el área coloreada.

Encuentra el área de los siguientes polígonos, supon que cada cuadro tiene 1 m de lado.

y Determina el área del triángulo sombreado, si se sabe que el diámetro de cada circunferencia es de 8,8 dm. Expresa la medida en cm 2 .

S Se necesita cubrir el piso de una piscina olímpica (ver figura) con losas cuadradas de 1 m 2 . ¿Con cuántas baldosas se cubrirá en su totalidad el piso de la piscina?

2,8 dam

550 dam

y Las dimensiones de una piscina semi-olímpica son 1 dam de ancho, 3 dam de largo y 0,5 dam de profundidad. Si se piensa cubrir esta piscina con losas cuadradas de 1 m 2 . ¿Cuántas losas son necesarias para cubrir toda la piscina?

Completa la tabla.

1 da

0,5 dam

dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm2

2 500

8 524,2

1,24

18,48

6,1

Completa los espacios.

a . 4 d a m 2 =0 ,0004

b. km 2 = 150 000 m 2

800 d m 2 da n r

d . 1,2

240,6 m m 2

f. 0,03 hm 2 =

120 m m 2

d m 2

Calcula el perímetro y área de cada polígono. Expresa la respuesta en m m 2 .

a .

2 cm 18 cm

17 mm /

15 mm 2 cm

v Para medir las extensiones de los campos se utilizan otras unidades de superficie, llamadas unidades agrarias. Las unidades agrarias son: el área (a), la hectárea (ha), fanegada y la centiárea (ca). Sus equivalencias son:

• ha = 10 000 m 2 a = 100 m 2

• ca = 1 m 2 fanegada = 6 440 m 2

Con base en lo anterior, completa los espacios:

6,2 hm 2 = ha 5,8 km 2 = ha

fanegadas = 1 80 m 2 90 000 m 2 = 9

10,4 ca = d m 2 23,48 = 2 348 m 2

f Ordena de menor a mayor las siguientes unidades. Toma como referencia el m 2 , y expresa todas las unidades en esta.

25,4 km 2 - 61 0 m 2 - 34 000 d m 2 - 157 530 cm 2 - 2,4 hm 2 - 2 dam 2 - 234 971 mm 2

Orden

< < < < < <

f i ¡ í ) Relaciona la columna de la derecha con la izquierda por medio de flechas.

1 ha 3 220 m 2

20 ca 0

c. 3a 10 000 m 2

V2 fanegada 600 m 2

e. 5 ca - 5 m 2 20 m 2

i 8 a - 200 m 2 300 m 2

• Calcula el área sombreada. Exprésala en ca.

a. . b.

12m

2 dam

Descriptor de desempeño: / Identificar las unidades de superficie para estimar áreas de algunos polígonos.


• Teorema de Pítágoras

Si Rodal lega c o b r a un t i ro de esqu ina, ¿a qué distancia debe enviar le el balón a Totono, para anotar le un go l al a rquero Abbondanz ie r i de la selección argent ina?

Abbondanzieri

32 m

Rodallega

Observa la i m a g e n de la d e r e c h a , p o d e m o s conc lu i r al ver a m b o s c u a d r a d o s , que a 2 + b 2 = c 2 , po r tanto si a = 2 4 , a 2 = 5 7 6 , b = 3 2 , b 2 = 1 0 2 4 . Entonces:

c2 = a 2 + b 2 = 576 + 1 0 2 4 = 1 6 0 0 . Luego:

c = Vi 6 0 0 = 4 0 m.

Por t a n t o , Rodal lega t iene que disparar el balón a 4 0 m para que Totono lo reciba y m a r q u e el g o l .

Clave matemática

En t o d o triángulo rectángulo se c u m p l e :

Muchos de los

cobros y tiros que

se efectúan

en el fútbol,

describen

triángulos

rectángulos.

576 m2

Los lados que f o r m a n el ángulo recto en el triángulo se d e n o m i n a n catetos, el ot ro lado se l lama h ipotenusa. En genera l la suma del c u a d r a d o de los catetos es igual a la hipotenusa al c u a d r a d o -> a 2 + b 2 = c

O TALLER Teorema de Pítágoras ¡ M Analiza la siguiente secuencia de gráficos y responde.

¿Cuáles de los triángulos son rectángulos? ¿En dónde se encuentra su ángulo recto? Retíñelo.

¿Cuál es la base de cada triángulo? Nómbralas y explica esta situación.

Encuentra el valor de la letra, teniendo en cuenta que todos los triángulos son rectángulos.

o, c. g%

b.

observa El A ABC y responde.

d.

A8 =

BC

AC

ó y A C = 8 , entonces BC=

15 y AB = 9, entonces AC=

2 y A B = 2 , entonces BC=

BC = Vl~5 y AB= VÍO , entonces A C

AC = V2 y AB= y/3, entonces BC=_

Determina si las tripletas son longitudes de un triángulo rectángulo.

10, 24 y 26 1 8 , 2 4 , 2 0

7, 25 y Vó74 2 8 7 , 2 8 0 , 6 3

C 2 0 , 2 1 y 29 2,5; 2 y 1,5

2 , 1 , V3 3,6; 1,2 y 2,8

7 , 2 5 , 2 4 V T 0 , V 5 y V Í 5 123, 120, 27 e . 4 0 , 3 0 , 50

: 5. Se sabe que en un triángulo rectángulo siempre existe una "terna pitagórica" que es la relación numérica entre la medida de sus lados. En la tabla se encuentran algunos ejemplos de ellas, complétala y busca otras ternas pitagóricas,

Cateto a Cateto b Hipotenusa

4

5 H H H H 24

/ . Encuentra el perímetro de los triángulos.

1 ¡ /

/ m z k _____ • L Z _ k _

* 7, Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son:

a . ( -16 ,2) , (-16, 8) y (-8, 2) c. ( 6 , - 7 ) , (6 , -12 ) y ( -8 , -12)

(15, ó), (15, -ó) y (8, -ó) 11 ( -11 , - 7 ) , ( -11 , 13) y (7, 7)

"? 8 . Encuentra la longitud desconocida en cada triángulo rectángulo.

y Un terreno en forma de t r iángu lo rectángulo tiene como medidas las siguientes: en su lado más largo (hipotenusa) mide 35 km, un lado (cateto b) mide 21 km. Halla la medida del otro lado del terreno (cateto a).

•f i El siguiente gráf ico muestra una manera de demostrar que la re lación a 2 + b 2 = c2. Explica paso a paso en qué consiste esta demost rac ión .

? 1 1 .Determina la medida de la hipotenusa de un t r iángu lo rectángulo si los catetos miden 254 cm y 156 cm, respectivamente. Si en un t r iángu lo rectángulo la medida de la hipotenusa es 32 cm y la de uno de los catetos es 12 cm, halla la longitud del otro cateto. Halla la longitud de la hipotenusa de un rectángulo cuyos lados miden 42 y 144 m. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un rectángulo si las longitudes de sus lados son 20 cm y 1 0 cm respectivamente?

: Los catetos de un t r iángu lo rectángulo isósceles miden \¡2 cm, respectivamente. ¿Cuál es la medida correspondiente a la hipotenusa?

y Encuentra las longitudes: AC, AD, AE y AF. De acuerdo con la figura, si sé que A8 = BC = CD = DE — EF = 1. Ten en cuenta que los cuatro t r iángulos tienen ángu los rectos en 8, C, D y E.

E

y Una persona viaja 8 km al norte, 3 km al oeste, 7 km al norte y 11 km al este. ¿A q u é distancia está la persona del punto original? ¿ C u á n t o camino r e c o r r i ó en total?

Un t r i á n g u l o i sósce les donde la altura sobre la base mide 34 cm, la base mide 1 8 cm. ¿ C u á l es la longitud de los lados congruentes?

y Una puerta mide 21 0 cm de altura por 80 cm de ancho. ¿ C u á l es el ancho m á x i m o que puede tener una tabla para que pase por esta puerta?

•f Una escalera de 4,5 m se coloca contra una pared con la base de la escalera a 2 m de la pared. ¿A q u é altura del suelo está la parte m á s alta de la escalera?

*? 2 1 . Las diagonales de un rombo miden 16 y 10 cm, respectivamente. ¿ C u á n t o mide cada uno de los lados? Calcula el á r e a del rombo.

*? 22 . Calcula el á r e a del siguiente trapecio.

3,3 cm

4,9 cm

Rincón de (a historia Pí tágo ras v i v i ó alrededor del 500 a . C , pero puede que el teorema que lleva su nombre fuera conocido antes de su tiempo.

El nacimiento y la permanencia del pitagorismo es uno de los f e n ó menos m á s interesantes en la historia de la ciencia y de la cultura en general. S u r g i ó , se d e s a r r o l l ó y se e x p a n d i ó como un modo de vida religioso. Ten ían una v i s i ón del universo como un cosmos, es decir, un todo ordenado y de acuerdo con leyes asequibles a la r a z ó n humana, en c o n t r a p o s i c i ó n al pensamiento de la é p o c a que v e í a n al universo como un caos.

Euclides (300 a.C. aprox) fue el primero en demostrar g e o m é t r i c a m e n t e el teorema de P í tágo ras , usando un diagrama que algunos llaman el "molino de viento". El primer libro de Los elementos, de Euclides, comienza con la d e f i n i c i ó n de "punto" y termina con el teorema de P í tágoras enunciado a la inversa: si la suma de los cuadrados de dos lados de un t r i á n g u l o es igual al cuadrado del tercer lado, se trata de un t r i á n g u l o recto.

Actualmente es tán registradas unas 370 demostraciones de este teorema. ..j,.it,jiiu^ixjí^^m^íí\Mm-axa¡i.^. - i . L i l i . . . - _J .n iu . i i iu I I I JU ... 1. 1.1 IIIUIUIIIUIIIMMII—PI I - . „ . * * '

Descriptor de desempeño: / Identificar la relación pitagórica y aplicarla en la solución de problemas.

http://_J.niu.iiiu

W Unidades de masa, volumen y capacidad

Datos curiosos del deporte

• En la competencia de lanzamiento de bala las marcas que realizan los competidores se registran por la distancia a la que pueda llegar la bola de metal que puede llegar a pesar 726 dag en hombres y de 4 kg en mujeres. ¿ C u á n t o s gramos hay de diferencia?

La piscina m á s grande del mundo está situada en las costas de Chile, exactamente en la laguna artificial de San Alfonso de Mar (Algarrobo). Su tamañ o equivale a unas ó 000 piscinas residenciales. Para llenar por entero su capacidad m á x i m a , es necesario utilizar m á s de 250 000 m 3 de agua de mar tratada. ¿ C u á n t o s litros son?

Para responder estas dos preguntas debemos estudiar las unidades de masa,

capacidad y volumen, recuerda que I Ib equivale a 5 0 0 g.

La unidad p a t r ó n de volumen es el m 3 . Los m ú l t i p l o s y s u b m ú l t i p l o s son:

^ 1 000 ^ 1 000 + 1 000 - 1 000 ^ 1 000 + 1 000

Múltiplos Unidad Submúltiplos

km3 hm3

Equivalencia en m3 0,000000001 0,000001

dam3

0,001

patrón m3 dm3

1 000

cm3 mm3

1 000 000 1 000 000 000

x 1 000 x 1 000 x 1 000 x 1 000 x 1 000

La unidad p a t r ó n de capacidad es el litro (I), que equivale a 1 000 cm 3

m ú l t i p l o s y s u b m ú l t i p l o s son:

¡-1Q + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0

+ 1 000

= 1 dm 3 . Los

+ 10

Múltiplos Unidad patrón Submúltiplos kl hl dal I di el mi

Equivalencia en litros 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000

x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

La masa refiere a la c a n t i d a d de mater ia q u e posee un cuerpo y la u n i d a d patrón es el g r a m o . Los múltiplos y submúltiplos son:

+ 10 +10 +10 +10 +10 +10

Múltiplos Unidad patrón Submúltiplos

kg hg dag g dg cg mg

Equivalencia en gramos

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000

x 10 x 10 ~*^o ""xIO x10

Por t a n t o ,

/ 7 2 6 d a g = 7 2 , 6 x 10 = 7 2 6 0 g ; 4 kg = 4 x 10 x 10 x 10 = 4 x 1 0 3 .

7 2 6 0 - 4 0 0 0 = 3 2 6 0 g = 3 , 2 6 kg.

/ 2 5 0 0 0 0 m 3 = 2 5 0 0 0 0 x 1 0 0 0 = 2 5 0 0 0 0 0 0 0 d m 3 - » 2 5 0 0 0 0 0 0 0 litros.

Por tanto la d i ferencia en g ramos de la

bo la que usan las mujeres y los h o m

bres es de 3 2 6 0 g o 3 , 2 6 kg

La piscina más g r a n d e del m u n d o t iene un

v o l u m e n de 2 5 0 0 0 0 0 0 0 litros

O T A L L 6 R Unidades de masa, volumen y capacidad Cl • o

1. C o m p l e t a los espacios.

1 5 ,5 g =

12 3 4 8 d g =

£ d e. f. 9«

cg hg

5 4 8 0 g =

2 4 , 6 4 kg =

8,6 hg =

7 0 0 0 0 0 0 mg =

2 ,5 kg = 5

Ib

mg

kg

2. Conv ier te a litros.

2 3 , 2 4 kl

b. 2 4 8 5 el

6 7 di

5 0 0 0 mi

9,6 m 3 =

121 ,5 c m 3 =

1 4 , 9 2 m m 3 =

1 m 3 = 1.000 d m 3 =

0 ,3 c m 3 =

c. d e. f. g h

h . 10 = 2 8 7 g

i. 0 ,5 tone ladas = .

j. 8 ,5 hg =

k. 3 ,9 kl =

I. 2 ,5 da l = 2 5 0 0

1 2 0 1 = 1,2

n. 3 4 8 dal =

kg - c g el

kl

j . 1,5 h m 3 =

k. 9 ,6 m 3 =

1,8 c m 3 =

ni. 3 1 , 2 d a m 3 =

n. 1 6 , 1 2 m 3 =

ñ. 1,96 h m 3 =

o. 1 2 1 , 5 c m 3 =

p, 1 4 , 9 2 m m 3 =

12 ,9 h m 3 =

1 0 5

Transforma a kilolitros las siguientes unidades de volumen.

1 dam 3 = 1 000 m 3

b. 0,5 m 3 -

15 d m 3 =

8 hm 3 =

9,2 d a m 3 =

1 000 kl f. g. 11.

i-

3,7 d m 3 =

14,2 hm 3 =

71,6 dam 3 =

12,5 m 3 =

126,1 d m 3 =

Expresa en mililitros las siguientes unidades de volumen.

d m 3 = 1 000 cm 3 = 1 000 mi

2 m m 3 =

1,3 d m 3 =

d. 2,5 m 3 =

7,21 m m 3 =

6,28 d m 3 = I •

0,18 m 3 =

7,21 dam 3 =

0,32 m 3 =

0,01 hm 3 =

0,15 dm 3 =

0,12 mm 3 =

Halla la equivalencia en kilolitros y en toneladas, sabiendo que se trata de cantidades de agua pura.

a. 3 m 3 = 3 kl = 3 t e. 12,8 cm 3 =

b. 2 d a m 3 = f. 3,9 km 3 =

1 5 d m 3 = 21,5 hm 3 =

d. 0,9 hm 3 = h. 18,2 dam 3 =

Un laboratorio farmacéutico envasa el alcohol en frascos de cuatro tamaños. Observa el volumen en centímetros cúbicos de cada frasco.

Tamaño D

7 500 cm 3

Tamaño A

250 cm 3

Tamaño B

2 500 cm 3

Tamaño A

5 000 cm 3

Calcula

La capacidad en litros de cada frasco.

/ Tamaño A:

/ Tamaño B:

/ Tamaño C:

/ Tamaño D:

b. El peso en gramos del alcohol de cada frasco, si el litro de alcohol pesa 0,8 kg.

/ Tamaño A:

/ Tamaño B:

/ Tamaño C:

/ . Tamaño D:

Une con flechas los valores que sean equivalentes para cada una de estas magnitudes.

a . 15 el 0,15 1

1,5 c m 3 0,15 I

0,15 d m 3 l , 5 . 1 0 6 d l

150 m 3 1 500 m m 3

El siguiente gráfico representa la cantidad de agua que ha consumido un restaurante durante un mes. Observa el gráfico y calcula:

mm

cm d m 3

350 375 400

a . Los litros de agua que ha consumido el restaurante durante este mes.

3 m 3 = 3 000 d m 3 =

El precio aproximado de un litro de agua, si ha pagado $ 50 500 por el agua que ha consumido durante este mes.

Une cada recipiente con la medida más adecuada a su capacidad.

Una tina 33 el

Una botella de jugo 250 mi

Un gotero 50 I

Una piscina 1,2 kl

Un vaso de agua 5 mi

y Se ha construido una nueva montaña rusa que tiene 21 carros para dos personas cada uno. Se sabe que la montaña soporta un máximo de peso de 2 500 kg en total. Suponiendo que el peso sea igual en cada carro y que se llenen todos los carros, ¿cuánto debe pesar como máximo cada una de las personas que se monte a la montaña?

y Un carro tanque transporta 15 kl de leche. ¿Cuántos tanques de 5 dal se podrían llenar?

y En un laboratorio se encuentran tres tipos de tubos de ensayo: de 42 , 25 y 8 mi. Un investigador llena totalmente un tubo de ensayo de 8 mi con una sustancia.

¿Cuántas veces debo llenar de la sustancia el tubo de ensayo de 8 mi para llenar el tubo de 25 mi? ¿Se puede llenar completamente?

b, ¿Cuántas veces debo llenar de la sustancia el tubo de ensayo de 8 mi para llenar el tubo de 42 mi? ¿Se puede llenar completamente?

Si el laboratorista quiere exactamente 58 mi de la sustancia, ¿qué debe hacer para obtener esta cantidad?

y Observa el siguiente tubo de ensayo y ubica las siguientes medidas.

2 litros

1 litro

0 litros

y Ordena de mayor a menor las siguientes unidades. Transforma las unidades a m 3 .

0,4 km 3 - 61 dam 3 - 54 000 m 3 - 315 7530 cm 3 - 3,4 hm 3 - 2,01 hm 3 - 23 234 971 mm 3 .

Orden

¿Qué unidad utilizarías para medir el volumen de los siguientes cuerpos?

a. b. c. d .

La estatua de una plaza Un dado La Luna

Completa las unidades de capacidad que faltan.

a , 45 kl = 4 500 7,8 dal - 0,78 _

3 500 el = 3,5 30,6 mi = 0,306

Una colonia

, Una piscina llena de agua contiene 154,5 m 3 .

¿Cuál es su volumen expresado en dm 3 ?

b . ¿Cuál es su capacidad expresada en dal y en kl?

c. ¿Cuál es la masa de agua expresada en kg?

'<_-*«* _ tfÍb__á___ _ r

y Un salón de clase tiene las siguientes dimensiones: largo 0,9 dam, ancho ó m y de altura 300 cm. Calcula:

El volumen del salón de clase expresado en m 3 .

La capacidad en litros si se llenara totalmente de agua.

C, La masa que tendrían esos litros expresada en kg.

108


/ Reconocer las unidades del sistema métrico decimal para medir masa, volumen y capacidad.


Distribución de frecuencias y diagramas estadísticos Los juegos o l ímpicos son eventos deportivos multidisciplina-rios en que participan atletas de diversas partes del mundo. Es la compet ic ión más grande y prestigiosa de todo el planeta, la cual se realiza cada cuatro años. Existen dos tipos de juegos o l ímpicos: los de verano y los de invierno, que se realizan con dos años de diferencia desde 1 992. El cuadro muestra los juegos realizados desde 1972, la ciudad, país y la temperatura promedio que registraba la ciudad en la fecha de real ización.

JUEGOS O L Í M P I C O S ! JUEGOS O L Í M P I C O S DE INVIERNO

Año Ciudad País Tempertura Año Ciudad País Temperatura

1972 Munich R.F. Alemana 14 1972 Sapporo Japón -9

1976 Montreal Canadá 22 1976 Innsbruck Austria

1980 Moscú Unión Soviética 18 1980 Lake Placid Estados Unidos -8

1984 Los Ánge les Estados Unidos 22 1984 Sarajevo Yugoslavia 2

1988 Seúl Corea del Sur 22 1988 Calgary Canadá -12

1992 Barcelona España 24 1992 Albertville Francia 2

1996 Atlanta Estados Unidos 27 1994 Lillehammer Noruega -8

2000 Sídney Australia 16 1998 Nagano Japón -4

2000 Atenas Grecia 29 2002 Salt Lake City Estados Unidos 2

2008 Pekín R.P. China 28 2006 Turín Italia 3

2012 Londres Reino Unido 20 2010 Vancouver Canadá 0

Analicemos las temperaturas de los juegos o l ímpicos de invierno, construyamos primero una dist r ibución de frecuencia y luego elaboremos algunos diagramas estadísticos

Distribución de frecuencia

Rango = Dato mayor - dato menor = DM - dm -> 3 -

5/3 N.° Clases = VN°DAT

-12) = 15

Amplitud de clase = Rango/N. ° Clases

Intervalos en que se organizan, en este caso, van de 4 en 4, 4 = Amplitud de clase

Marca de clase: punto medio de la clase, suma los extremos y divídelos en 2

Frecuencia: número de datos contenido en el intervalo

[Frecuencia acumulada: |es el valor de la suma |de las frecuencias absolutas de los valores ¡inferiores o iguales a él

Número de intervalos, para el caso 3

7TÑ3 , 31«3

1 I I 1

N.° Clases •.mmm

Marca de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa clases clase (m) (f) relativa (%) acumulada (F) acumulada (%)

[-12,-8] -10 4 36 4 36

2 R , - 3 ] -5 2 18 6 54

3 [-2,3] 0,5 5 45 11 99

109

Clave matemática®

Una distribución de f recuencia es una tab la que a g r u p a datos asoc iados con su f recuencia en intervalos l lamados clases. Los d i a g r a m a s estadísticos permiten representar información de datos gráficamente de a c u e r d o con su f recuenc ia .

D iag ramas estadísticos

representan los datos en

Plano cartes iano Ci rcunferencia

Sobre el eje y se ubica la f recuencia

Frecuencia

D i a g r a m a de barras

H i s tograma Pareto

Frecuencia a c u m u l a d a

Xo f x 3 6 0 0

tota l datos

Polígono de f recuencias

O j i v a

Diagramas estadísticos

Diagrama de barras Frecueno

Histograma Frecuencia

Clases (en °C)

Diagrama de Pareto Frecuencia

(-12, -8) (-7, -3) (-2, 3) Clases (en °C)

Polígono de frecuencia Frecuencia

Ojiva Frecuencia

-12 , -7 , 3) >2, 3) Clases (en °C)

O TALLER Distribución de frecuencias y diagramas estadísticos

y Completa la distribución de frecuencia y elabora en tu cuaderno todos los diagramas estadísticos para los datos relacionados con la temperatura registrada en los juegos olímpicos de verano.

N.° clases Clases Marca de clase (m) Frecuencia (f) Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa ralativa (%) acumulada (F) acumulada (%)

1

2

3

y El diagrama registra la temperatura anual de Barcelona. 3 4

3 2

3 0

2 8

2 6

2 4

2 2

2 0

18

16

14

12

1 0

8

6

4

2 0 - | 1 1 1 1 1 1— 1 — — i 1 1 1 1

ene f e b m a r a b r m a y ¡un ¡ul a g o sep oct nov dic

^^^m T. m e d i a °C • • • • • T. máxima °C H M H T. mínima °C

a . Completa la distribución de frecuencia para la temperatura mínima.

N.° clases Clases Marca de clase (m) Frecuencia (f) Frecuencia ralativa (%)

Frecuencia acumulada (F)

Frecuencia relativa acumulada (%)

1

2

3

b. Completa la distribución de frecuencia para la temperatura m á x i m a .

N.° clases Clases Marca de clase (m) Frecuencia (f) Frecuencia ralativa (%)



1

2

3

111

Construye en tu c u a d e r n o un d i a g r a m a de barras , un d i a g r a m a de Pareto, una oj iva y un polígono de f recuencia para c a d a distribución.

C o n base en los d i a g r a m a s estadísticos, escr ibe en el espacio el t ipo de d i a g r a m a y construye una distribución de f recuenc ia .

a

Clase de d i a g r a m a :

N.° clases Clases Marca de clase (m)

Frecuencia (f)

Frecuencia relativa (%)



1 [11,18]

2 (18,25]

(25, 32]

4

6

0 - 5

Clase de d i a g r a m a : _

1 2 - 1 7 1 8 - 2 3 24 - 29 30 - 35 edad

N.° clases Clases Marca de clase Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa (m) (f) relativa (%) acumulada (F) acumulada (%)

1 2

3

4 5

c.

[1 000 000 - 1 500 000] [1 500 000 - 2 000 000] más de 2 000 000 , [500 000 - 1 000 000]

2 4 | r o í s o i

Ó :

12

Clase de diagrama:

N.° clases Clases Marca de clase (m) Frecuencia (f) Frecuencia relativa (%)


Frecuencia relativa acumulada

(%) 1

2

3

4

Mujeres solteras

30

(15,20) (21 ,26) (27 ,32 ) (33 ,38) edad

Clase de diagrama:

N.° clases

IMSKmi Clases Marca de clase (m) Frecuencia (f) Frecuencia

relativa (%) Frecuencia

acumulada (F) Frecuencia

relativa acumulada (%)

1

2

3

4

v Con la siguiente i n f o r m a c i ó n completa la d i s t r i b u c i ó n de frecuencias y construye en tu cuaderno un histograma, una ojiva y un diagrama de Pareto.

Se c o n s u l t ó a 50 colegios de B o g o t á sobre la cantidad de estudiantes que cursan b á s i c a primaria, los resultados fueron:

700 300 500 400 500 700 400 800 750 500 700 750 300 700 1 000 1 500 500 1200 750 800 400 500 300 500 1 000 300 400 700 500 500 300 400 700 400 700 500 400 1000 700 750 700 800 750 700 750 800 700 1200 700 800

N.° clases Clases Marca de clase Frecuencia (f) Frecuencia Frecuencia acumulada Frecuencia (m) relativa (%) (F) relativa acumulada (%)

1 2 3 4 5 6 7

b. En la tabla aparece el idioma en el que están escritos los 50 libros de una biblioteca.

Francés Inglés Ruso Alemán Francés Inglés Español Alemán Francés Español

Inglés Inglés Ruso Alemán Inglés Alemán Alemán Ruso Ruso Alemán

Español Ruso Español Español Alemán Ruso Español Español Ruso Inglés

Francés Español Español Inglés Ruso Español Inglés Inglés Español Alemán

Francés Español Español Francés Francés Español Ruso Ruso Alemán Ruso


1 2 3 4 5 6 HHH

114

La tabla representa la c a l i f i c a c i ó n (O a 10) obtenida en un examen por 50 alumnos.

3,9 4,1 4,2 3,2 8,6 3,7 4,8 4,7 3,3 8,1

1,5 5,1 8,1 5,1 4,7 1,9 5,3 8,6 5,8 4,2

5,9 7,3 2,4 4,9 5,6 5,5 7,7 2,7 4,3 5,3

5,1 2,5 6,5 6,9 5,2 5,2 3,9 6,9 6,3 5,8 6,3 1,2 3,3 1,8 4,4 6,6 1,8 3,1 1,6 4,2

.° ciases Clases Marca de clase Frecuencia (f) Frecuencia Frecuencia acumulada Frecuencia (m) relativa (%) (F) relativa acumulada (%)

1 WsmWmmmWmmmwmwuw^

9

4 5

Se p r e g u n t ó a un grupo de 50 personas sobre la edad ideal para casarse. Los resultados fueron:

25 21 20 30 28/ 30 25 32 40

31 28 25 25 18 18 23 24 25

25 25 30 30 29 28 25 25 30

27 20 21 30 25 25 31 35 32

40 25 25 24 24 28 35 35 25


1 2

HHHI 4

I M M i 6

En un estudio realizado para saber el n ú m e r o de libros que leen los colombianos, se p r e g u n t ó : ¿ c u á n t o s libros lee en promedio durante un a ñ o ? Los resultados fueron:

2 2 1 0 0 1 3 5 8 9 5

2 1 9 6 4 3 0 1 1 1 2

3 3 5 10 15 2 2 3 5 7 0

8 2 0 0 1 n 5 9 8 0 1

1 7 0 1 1 3 2 2 4 5 2

Construye la d i s t r i b u c i ó n de frecuencias en tu cuaderno.

Descriptor de desempeño: / Utilizar la distribución de frecuencias y los diagramas estadísticos para interpretar y analizar datos.

Matemática >iecwzt¿(A<%

Cine matemático / Pel ícula: D o n a l d e n el país d e las matemáticas.

Puedes ver esta película e n : h t t p : / / e d u m a t e . w o r d p r e s s . c o m / 2 0 0 7 / 0 3 / 1 3 / v i d e o s - p a r a -mot ivar/

/ Int roducción: es una película p r o d u c i d a por Wal t Disney en 1 9 5 9 , que nos in t roduce de f o r m a a m e n a e interesante en a l gunos aspectos s imples de la ut i l idad de las matemáticas y su c o n t e n i d o . D o n a l d se convierte en un intrépido explorador , que g u i a d o por un "espír itu de las matemáticas" va redescubr iendo el número aúreo, la geometría, la relación entre música y m a t e máticas y temas que te motivarán y que han estado presente en los temas estudiados este año.

/ La película

D o n a l d se in t roduce c o m o exp lo rador en el país de las matemáticas, en el que c o n t e m p l a so rp rend ido árboles con las raíces c u a d r a d a s , un río de números, un extraño a n i m a l con c u e r p o de lápiz que lo reta a una part ida de tres en raya, tres f iguras geométricas (círculo, rectángulo y triángulo) que se ¡untan para f o r m a r un rostro, y ese rostro empieza a recitar los dígitos del número p i . . .

Después, g u i a d o por el nar rador , el pato D o n a l d v iaja a la ant igua Grec ia para c o n o c e r a los pitagóricos, creadores de la escala m u sical, y a p r e n d e las p roporc iones que se encuent ran en la estrella de c inco puntas , p roporc iones que c o n d u c e n al número áureo y al rectángulo per fecto. Después se nos muestra cómo tanto el p e n t a g r a m a , la estrella de c inco puntas o la proporción áurea se e n cuentra en muchos lugares de la naturaleza y ha s ido e m p l e a d a por los artistas, arqu i tectos , escultores, p intores, en sus obras más famosas .

El p a t o D o n a l d también descubre el e m p l e o de la lógica matemática en el a jedrez, y la presencia de las matemáticas y de la geometría en los juegos y deportes . Así descubre el bil lar, en su m o d a l i d a d de c a r a m b o l a a tres b a n d a s , y el na r rador le enseña cómo ca lcu la r el m o d o de obtener c a r a m b o l a s sencil las usando las marcas que a p a r e c e n en los bordes de la mesa de bi l lar y s u m a n d o y restando números y f racciones s imples.

Y f i n a l m e n t e . . . Te invi tamos a que veas la película, prestes m u c h a atención a todas las escenas y la disfrutes.

/ C i n e foro

Actividades ¡

1, Sobre la película.

ci ¿Qué te ha p a r e c i d o la película?

b. ¿Qué aspectos re lac ionados con las matemáticas has e n c o n t r a d o ?

¿Qué te ha l l a m a d o más la atención? ¿Cambiarías a l g o ? ¿Por qué?

http://edumate.wordpress.com/2007/03/13/videos-para-

Matemática te&ieattvti, ti. En este fantástico viaje al país de las matemáticas, ¿qué aspectos de las matemá

ticas aparecen relacionados con el arte y el deporte?. Coméntalo brevemente

2 , Referencias de la película

a. A lo largo de la película se hacen diferentes referencias a personas, acontecimientos o lugares reales. Trata de recopilar alguna información adicional acerca de los siguientes aspectos:

• Pítágoras, los pitagóricos y la música

/ El número de oro

/ El rectángulo áureo en la naturaleza

/ Las matemáticas en los juegos

/ La idea del infinito en la mente

b. ¿Cómo se llama el espíritu que acompaña a Donald?

C, ¿Cuál es la relación de la música con la matemática?

d . ¿Pítágoras es el padre de qué?

e. Con base en el pentágono, dibuja el símbolo de los pitagóricos.

f. ¿Cómo usa la naturaleza la forma pentagonal? g . ¿Para los griegos qué representaba la sección de oro? Menciona algunos

ejemplos.

h. Pítágoras afirmó: "Todo está regido por números y formas matemáticas".

¿Crees que tiene razón? Justifica con argumentos matemáticos.

í. El matemático Lewis Carrol ¿qué obra escribió?

¡. ¿Por qué los movimientos del ajedrez son matemáticos?

k. ¿Qué se obtiene al girar un círculo y un triángulo?

I. ¿Dónde nacen todos los descubrimientos científicos del ser humano?

m. ¿Qué aprendiste con Donald en el país de las matemáticas?

Proyecto Líneas notables en computador

1. Abre la siguiente dirección: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/rectas-n ota bles/mota bles0.htm

Actividades relativas a las medianas.

2. En el índice escoge la opción: medianas.

tát*nruam*i9 «B«pW: medianas de un Triángulo,

valores representados. En tu

& la veta de tos resultados de tus responde a las preguntas siguientes

cQu* son tos puntos Ka, Mb y Me, respecto da toa t* _ .Cuates son los eioenos de toa segmento* representados en rojo?. A pan* de las respuestas dadas a las preguntas anteriores intenta dar una delncún, lo m

' después responde a las siguientes

a . Comprueba moviendo los puntos A, 8 y C que las medianas siempre se cortan.

b. ¿Hay algún momento donde el punto de cruce de las medianas quede al exterior del triángulo?

C. Traza con el mouse un triángulo de 7, ó y 8, debes fijarte en los cambios de los valores marcados con amaril lo. Dibuja el mismo triángulo en tu cuaderno y localiza el baricentro.

d. Traza un triángulo equilátero de 7 y localiza el baricentro.

e . Responde las preguntas 1 8 a 23 en tu cuaderno.

Actividades relativas a las alturas.

3. Dale clic a la opción atrás y escoge la opción: alturas

} 1 AUN OTRA DEFINICIÓN

£n csU *f£«n* fpff -*n otnjf Int» notables de un «rtfngulQ. OpcfryatM 0*n V (*» fe* las acüwdadM »J« S* pt*n -»en, en tu íuaf tamo d» trapajo.

a. - ¿Por qué puntos pasan las aneas rojas que aparecen?. b. - tCómo son cada una de las rectas representadas, respecto a los lados correspondientes del tnénguto?. c - A partir de las respuestas dadas a las preguntas anterioras intenta dar una definición, lo mas sencüa posible de "alturas de un triángulo"

a . Comprueba moviendo los puntos A, B y C que las medianas siempre se cortan.

b. ¿Hay algún momento en que el ortocentro está en el exterior del triángulo? Justifica cuándo sucede esto.

c . Traza con el mouse un triángulo de 7, 6 y 8, debes fijarte en los cambios de los valores marcados con amaril lo. Dibuja el mismo triángulo en tu cuaderno y localiza el ortocentro.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/rectas-

d. Traza un triángulo equilátero de 7 y local iza el o r tocent ro .

e . Responde las preguntas de la 2 3 a la 2 6 en tu c u a d e r n o .

Dale clic a la opción atrás y escoge la opción: mediatr ices.

4 . En el índice escoge la opción: mediatr ices.

a . C o m p r u e b a q u e las mediatr ices s iempre se cor tan en un punto m o v i e n d o los puntos A , 8 y C. D ibu ja en tu c u a d e r n o y en la escena un triángulo de lados 3 , 4 y 5 , y ot ro de 3 , 5 y 7, y hal la sus c i rcuncent ros ; también un triángulo equilátero de lado ó y traza las tres mediat r ices .

I . BUSCA UMA DEF¡NfCtO»í

b. D ibu ja en tu c u a d e r n o un triángulo de lados 5 , 7 y 10 , y traza las tres mediatr ices. C o m p r u e b a que se cor tan en un punto inter ior del triángulo y traza la c i rcunferencia circunscr ita al tr iángulo.

c . Responde las preguntas de la 8 a la 1 2 en tu c u a d e r n o .

Act iv idades re lat ivas a las b isect r ices .

5 . Dale cl ic a la opción atrás y escoge la opción: bisectrices

a . C o m p r u e b a que las tres bisectrices se cor tan s iempre en un punto que es inter ior al triángulo m o v i e n d o los puntos rojos.

1. A POR OTRA DEF&ftCfÓN

• , • ) ( . respecta de les ángulos *. • f C?

b.

C i

Dibu ja en tu c u a d e r n o un triángulo de lados 5 , 7 y 1 0 , y traza las tres bisectrices. C o m p r u e b a que se cor tan en un punto inter ior del tr iángulo.

Arrastra el centro O de la c i rcunferencia tangente a dos de los lados del triángulo hasta consegui r que lo sea al te rcero. En ese m o m e n t o podrás c o m p r o b a r que su centro co inc ide con el incentro.

Prueba de unidad Contesta las preguntas de la 1 a la 8 con base en la siguiente información:

P l a n i f i c a n d o e l récord d e fa h o r a En el ciclismo en pista la plusmarca de mayor prestigio es el récord de la hora. En 1 972 el belga Eddy Merckx lo había establecido en 494,5 hm, conseguidos en Ciudad de México, aprovechando la altitud del lugar.

Esa distancia se mantuvo inalcanzable hasta que en 1984 llegó al ciclismo la revolución tecnológica con bicicletas cada vez más ligeras, donde cada elemento de la máquina y del atuendo del propio ciclista están pensados para una mejor aerodinámica. Gracias a ello, primero el italiano Francesco Moser y después varios ciclistas llevaron dicho récord hasta los 56,375 km.

Sin embargo, en 2000 la Unión Ciclista Internacional (UCI) decidió que esos avances técnicos alteraban demasiado las marcas y que, para ser considerada como récord de la hora, una marca debe haber sido conseguida con una bicicleta tradicional, con un peso

34 kg, con manillar clásico, llantas no perfiladas, etc. En consecuencia, res-minimo de

tableció el récord de Merckx, anulando todos los posteriores, conseguidos entre 1984 y

1996. Poco después el británico Chris Boardman consiguió en Manchester superar ese vie-34

¡o récord en 10 metros: — km. El récord femenino lo posee la francesa Jeannine Longo 5

con 48 ,4141 . . . km, logrado en Burdeos (Francia), escenario de muchos intentos de récord gracias a la magnífica pista de madera de su velódromo que tiene una vuelta de 250 m.

1. La diferencia en km del récord de 1972 y el establecido con la revolución tecnológica es de:

A. 6,92 km

6925 B

100 km

km 40

D 438,125 km

2, Del récord alcanzado en 1 972, es un número:

a Medible C. Entero.

Natural D. Racional

Un peso equivalente al peso mínimo tradicional de la bicicleta es:

68 h, —

5

B. 340

25

C.

D.

68 10

306 45

El récord alcanzado por Chris Boardman, es:

A . Un número mixto

8 . Un decimal periódico

C. Un decimal finito

D. Un número entero

Al expresar como fracción el récord establecido por la francesa Jeannine Longo, queda:

A.

B,

4793 99

4941

km

km

4941 100

4941

10000 999

6, Si la bicicleta con la que se consiguió el

récord en 1 972, tenía un peso de — kg, es correcto afirmar: 10

Prueba de unidad La bicicleta de 1 972 pesa más que la establecida por la Unión Ciclista Internacional (UCI).

La bicicleta de 1972 pesa menos que la establecida por la Unión Ciclista Internacional (UCI).

C, La bicicleta de 1 972 pesa igual que la establecida por la Unión Ciclista Internacional (UCI).

La bicicleta de 1972 pesa menos que la usada por el italiano Francesco Moser.

Si el velódromo de Burdeos tiene las siguientes medidas:

7. Se puede afirmar que una vuelta recorrida en este velódromo tiene:

195,69 dam

1 32 m

260,49 m

166,24 m

8. Si se desea cambiar el piso verde del velódromo de Burdeos, la superficie que se va a cambiar es:

3 367,43 m 2

8 1 080 m 2

C. 1 786,85 d a m 2

D 1 786,85 m 2

9. De un triángulo cualquiera es correcto afirmar que:

A, El ortocentro, baricentro e incentro siempre están dentro del área triangular.

8. El incentro y el ortocentro responden a la misma relación.

El incentro siempre se encuentra dentro del área triangular.

El ortocentro siempre sen encuentra fuera del área triangular.

10. De la relación Pitagórica a 2 + b 2 = c 2 , se puede obtener la siguiente expresión:

A. a 3 + b 3 = c 3

B. a 2 - b 2 = c 2

C. b 2 = c 2 + a 2

b 2 = c 2 - a 2

GEES© 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A O o K / o o o o o o. o B o o o o o C o o f "N. o o o o " " " ^ o D o o o o o o o o

Operaciones con números racionales • Sistema métrico decimal, unidades de volumen

• Medidas de tendencia central

Juegos de ingenio A lo largo de la historia, el ser humano ha inventado diferentes juegos de ingenio, por ejemplo, el cubo de Rubik, tangram, sudoku, kakuro, etc. El primero de estos es conocido también como cubo mágico, inventado por el escultor húngaro y profesor de arquitectura Ernó Rubik en 1974. El objetivo del juego consiste en desarmar la configuración inicial en orden y volverla a armar. Se encuentra en cuatro versiones: el 2 x 2 x 2 (cubo de bolsillo), el 3 x 3 x 3 (cubo de Rubik estándar), el 4 x 4 x 4.

Otro de los juegos de ingenio es el sudoku, popular en las páginas de entretenimiento de periódicos y revistas; antiguamente se conocía como "los números deben estar solos".

El kakuro es una clase de enigma lógico que a menudo es referido como una transcripción matemática del crucigrama.

Otro juego de ingenio, que aunque no utiliza números ni operaciones matemáticas, sí aporta al desarrollo de la concentración y pensamiento estratégico, necesarios en la solución de situaciones matemáticas en contextos reales y matemáticos, es el ajedrez.


De los juegos mencionados, ¿cuáles conoces o has jugado?

¿Qué número racional representa la cantidad de casillas negras con respecto a todo el tablero de ajedrez?

3 . ¿Cuál es el resultado de la suma del racional que representa la cantidad de peones blancos con el racional que representa la cantidad de peones negros?

Si el cubo de Rubik está formado por cubitos de un centímetro de arista, ¿cuál es su volumen?

El sudoku está conformado por nueve cuadrados y, a su vez, estos están formados por nueve cuadraditos, ¿qué número racional representa la fracción correspondiente a un cuadradito?, ¿y un cuadrado?

•f Resuelve el sudoku. ¿Cuál es la técnica más fácil para resolverlo?

Y* Busca en libros, revistas, periódicos, etc., juegos de ingenio diferentes a los mencionados y compártelos con tus compañeros.

Adición y sustracción de números racionales Andrés y C a m i l o están j u g a n d o tetris y en este m o m e n t o su juego se encuent ra de la s iguiente m a n e r a :

Tablero d e A n d r é s Tab lero d e C a m i l o

• • • •• n i

I H 1 i l l H H H I H I

n i a

B B B B B B

•••• •••• n í a BBk

1 2 c o r r e s p o n d e a — y las f ichas — . En la de C a -

1 2 7 . 7

mi lo las mismas f ichas cor responden a — y — , respect ivamente. ¿Qué número rac iona l 14 14

En el juego de Andrés la f icha

mi lo las mismas f ichas corresp

representa la suma de las f ichas de C a m i l o y Andrés?

Clave matemática

En la adición d e n ú m e r o s r a c i o n a l e s se presentan dos :

Si los r a c i o n a l e s son homogéneos ( igual d e n o m i n a d o r ) se suman los numeradores y se escribe el mi smo d e n o m i n a d o r .

M-fK Si los r a c i o n a l e s son heterogéneos (diferente d e n o m i n a d o r ) , se ca lcu la el mínimo c o mún múltiplo de los d e n o m i n a d o r e s para encont ra r f racciones equivalentes a c a d a sum a n d o y convert i r los sumandos heterogéneos en homogéneos.

f \\ : el mínimo común múltiplo de ó y 7 es 4 2 , entonces:

1 — + 6

7 ( 42 l 42

J _ 42

Para restar números negativos, se suma el minuendo con el inverso aditivo del sustraendo.

2 1 2 Y 1) 4 + ( -5 ) = J _ 10

I - = - 4

5 2 5 + 10

i- i - Q C _ , , „ a c á En general, s i — y — e ( L J , b y a , * 0 , entonces, • = — +

b d b d b

' c^

Q TALL€R Adición y sustracción de números racionales O • . Escribe la adición representada en cada recta.

o

a .

c .

Realiza las siguientes adiciones.

2 -1 i 2

— 1 r -1 0 t 2 ........^

| ...

1 c 1 • •

>

i i t 2 -1 0 r j É

•r

a.

b.

d.

3 2 _ 4 + 7 "

12 + 11

4 9 3 c. — — =

9_ 2 13 + 6

7 4 — + —

5 15

, 3 5 . f. — + — + 4 = 8 7

Í • <5-

5 5 ó 7

h, 8 ( 9^ + 10

12 16

+

v 1 5 ,

( 2 ^

v 12

- — + . 2 + 21

k 9 8 — + — + -5 12 1

9

- 4 + " 7 2^ 6

+ — 21

m.

n.

3 \2 6

10

J

7 +—=

2 -

Recuerda: los números racionales también se pueden representar como números

decimales. Para sumar números decimales se

tiene en cuen+a la posición de cada uno de los

números, ya que se debe considerar

la magnitud de cada uno.

3 . Realiza las sumas entre números decimales representados en forma decimal,

a . 162,15 + 1 2 5 3 , 4 =

2,15 + 12,45 + ( -65,458)=

c. 12,5 + 1 2 4 , 1 2 + 3 5 , 1 8 =

325,25 + (-224,186) + 356,1 =

e . (-1 269,29) + 1 256,37 + 568,632 =

f. 695,95 + (-163,26) + (-356,34) = _

4 . Encuentra el número racional que falta en cada adición.

9+

n 5

d . 7

d . — 9

>

+ 12

6 22 b. — + H = —

5 • 5

13 '

11 12

11 f.

_5_ : 12

IT 3

n 3

• 7 + = 13

5. Escribe la adición o sustracción que modela cada situación y soluciónala.

7 5 El inverso aditivo de - — aumentado en —

7 5 b. El inverso del inverso aditivo de sumado con el inverso aditivo de —

10 10

6. Imelda es muy ágil para jugar tetris, el lunes la máxima altura de las fichas en el tablero

1 2 1 2 fue — , el martes — , el miércoles — y el jueves — del tablero.

2 3 8 9

a . ¿Qué número racional representa la altura de las fichas entre lunes y martes?

¿Qué número racional representa la altura de las fichas entre martes y jueves?

c. ¿Qué número racional representa la altura de las fichas lunes a jueves?

d . Empleando las fichas de tetris representa las situaciones de la a a la c. 7. Resuelve las siguientes situaciones y expresa la respuesta tanto en número fraccionario

como en decimal.

Para preparar una torta Helena compra 2,5 kilos de azúcar, — kilo

3 de mantequilla y — de kilo de harina.

a . ¿Cuánto pesan el azúcar y la mantequilla juntos?

¿Cuánto pesan los tres productos necesarios para preparar la torta?

c . ¿Cuál es el peso del azúcar y la harina juntos?

/ y 8 . Un submarino se encuentra el lunes a 3— km de profundi-

2 2 dad, el martes asciende 0,5 km y el miércoles 2— km. a . ¿A cuántos kilómetros de profundidad se encuentra el

martes el submarino?

¿Cuál es la profundidad del submarino el día miércoles? 1

c. Si el submarino asciende — kilómetros el jueves, ¿cuál es la profundidad del submarino?

Realiza las siguientes operaciones:

o .

b.

4 9

]_

3 c .

2 n ó 5 5j 7

4 5 e'.

2 1 — e'. — — — —

11 11 9 3

4 n i. n 4 r 7 2] i. r 7

3 v3 v5 5y k 3 3 j }»>> Escribe el número que falta para que se cumpla la igualdad.

i • D + (-io) • 1—r — 5 45 • - T = T - T = T

• • -36 + (-10) • 5 ~ 3 " •

C1 • • • + (•) ±

5 10 10

A 10

TJ" • • 1 _ 3 2 ~

• 11 4 •

27 •

• •

20 • "? Escribe falso o verdadero según corresponda y justifica tu respuesta.

3 2 2 3 = 4 9 9 4

D U_5_ 11 12

_5_ 16 12 + 11

126

Y* 2 Escribe la letra correspondiente de tal forma que los números de la primera columna menos los números de la segunda columna dé como resultado el número de la tercera columna.

12 , \ 2 ( ) o a .

7 ( ) 5

( ) o

9 ( ) 8

82 9 ( ] 7 7

8 8 7

c . ± 11

( ) i o 38 5

0 ( ) 9 95

• 11

3.En una partida de ajedrez el jugador A tarda — de minuto

2 en mover su primera ficha y el jugador 8 tarda — de minuto.

¿Cuál es la diferencia en fracción de minutos entre el jugador A y el 8 en mover la primera ficha?

yíT En un colegio, el récord para solucionar un sudoku está en 3 10 21 — de hora; Pedro tarda — de hora y Juanita — en solucionarlo. 8 16 24

¿Quién tarda menos tiempo en solucionar el sudoku? ¿Cuál es la diferencia de horas entre Juanita y Pedro para solucionar el sudoku?

b. ¿Cuál es la diferencia entre el tiempo empleado por Pedro y el tiempo récord para solucionar el sudoku?

C. ¿Cuál es la diferencia entre el tiempo empleado por Juanita y el tiempo récord para solucionar el sudoku?

1 2 .Un ciclista recorre el jueves — de km, el viernes — de km y e

1 3 4 5 ' sábado — de km. Si en total debe recorrer — de km., ¿cuántos

ó 3 kilómetros le faltan por recorrer?

, En la parte oriental de una playa, el mar tiene una profundidad de 13 2 — de km dentro de esta se encuentra un submarino a — de profundidad. ¿A cuántos 20 5 kilómetros se encuentra el submarino del fondo del mar?

Descriptor de desempeño: • Analizar y solucionar problemas usando la adición y la sustracción de números racionales. 127

-

«* Pensamiento numérico - variacional

• Multiplicación y división de números racionales i i E m p l e a n d o las f iguras del t a n g r a m , la multiplicación de los números racionales — • — se

representa por :

8

Para mul t ip l icar dos números racionales se mul t ip l ican entre sí numeradores y d e n o m i n a d o r e s .

1 1 _ J _ 8*2 16

Para dividir dos números racionales se mul t ip l ican el pr imer número por el recíproco del segundo.

1 ] = 1 , 2 = 2 = 2 8 + 2 8 ' 1 8 4

TALLER Multiplicación y división de números racionales

Representa con las f ichas del t a n g r a m las siguientes mul t ip l icac iones :

a. — b. — • — c. 1 • — el — • — 8 2 2 4 8 16 2

Realiza las s iguientes mul t ip l icaciones y divis iones entre números racionales .

3 2 4 ' 7

"T2 * 2

í i) i ( 5) ' 12 ' l~4j

CN 3 r 5}

— 4- — • 13, 7 1 4 j

128

7 4 11 ó

4 15 < 10,

4 ' 2^ 5 _ 15 , 10; 8

La ficha dera:

1

Í--1

2 ( 5^

5 6 8

( X

11

3 ^ 5 7 ' 8

j * (--) { 7)

representa —. Intercambia dos fichas de tal manera que la igualdad sea verda-

2_ 45

_8_ 45

4. Contesta ( F ) o ( V ) según corresponda. Justifica.

a. El producto de dos números racionales positivos es un racional negativo. ( )

b. El producto de un racional negativo por racional positivo es un racional negativo. ( )

c. El cociente de un número racional positivo entre un número racional negativo es positivo. ( )

d. El cociente de dos racionales negativos es un racional negativo. ( )

5. Aplicando la jerarquía de operaciones, primero soluciona signos de agrupación, multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas.

2 2 3 - — 1—

3 7 7

1 1

7 +

+

-3 j

7

ó

9

• 1 JL ' 7 + 10

. 5 d. — +

13 2 A 2 ^ — + 4 -5- — 7 13

e.

f.

g.

f.

5

7 "

u rl_ u

2 3

' 3 2^ - + — 4 5

2 ^ 3 3 ' 5

2^

f 3 21 + — 5J ) V 4 21 + — 5J

+ V

3 — + — 5 2

n (2

2} 3

9 3

129

•

Completa la tabla.

£=1 b 8

b 12

1=1 b 3

Plantea una operación y calcula cuántos minutos hay. Recuerda que una hora tiene 60 minutos.

a. — de hora 4

b . - ± de hora 12

3 3 C. — de los — de 1 20 minutos

8 5 2 3

d . — de los — del triple de una hora

1 5 e , — de los — de la tercera parte de una hora

7 8

5 2 f. — de los — de la mitad de una hora

8 7

En el salón de clases de grado séptimo hay 36 estu

diantes. De este grupo — pertenecen a la electiva de

2

música, del resto — pertenecen a la electiva de aje

drez, y los demás a la electiva de deportes. a. ¿Cuántos estudiantes pertenecen a la electiva de

ajedrez?

¿Cuántos estudiantes pertenecen a la electiva de música?

c. ¿Cuántos estudiantes pertenecen a la electiva de deportes?

Manuel se gasta $ 1 040 000 por la compra de 416 tangram, pero paga en moneda extranjera a precio de hoy.

a . En dólares, ¿cuánto paga Manuel?

b . ¿Qué número racional expresado en forma fraccionaria representa el pago en dólares realizado por Manuel?

C . ¿Qué número racional expresado en forma fraccionaria representa el costo de un solo tangram pagado por Manuel?

d . Suponiendo que Manuel paga en euros, contesta las preguntas a, b y c.

y Mauricio se encuentra en el parque y parte en su bici

cleta hacia la izquierda a una velocidad constante de

— km/h. Luego de tres horas y con respecto al punto

de referencia, ¿en qué ubicación se encuentra Mauricio con respecto al parque?

Representa cada situación con una multiplicación o una división y soluciónala.

a. Carlos ahorra cada día $ 1 200,45 , ¿cuánto dinero ahorra en un mes?

b. Ginneth gasta en manillas $ 129,56 cada día, ¿cuánto dinero gasta en una semana?

C . Ximena debe € 243,00 y se comprometió a pagar esta suma en seis cuotas, sin intereses. ¿Cuánto dinero paga mensualmente en euros y pesos?

1 2 . Halla el área de las siguientes figura. Expresa la respuesta en decimal.

a.

b .

c . — m

d.

13/2m 2, 4m

r 1, 8 m


/ Solucionar problemas usando la multiplicación y división de números racionales.

1 1

2, 2 m

^ ^ ^ ^ -m 3

J

3 -m

|» Pensamiento numérico - variacional

% Potenciación de números racionales y propiedades Un experto ajedrecista juega c o n su estudiante, y para dar le ventaja a este él usará el m e n o r t i e m po pos ib le así: la pr imera j u g a d a la realiza en un cuar to de h o r a , la segunda en un cuar to de la j u g a d a anter ior, la tercera en un cuar to de la a n ter ior y así sucesivamente hasta la sexta j u g a d a . ¿Cuántos minutos util iza para la sexta j u g a d a ?

El t i e m p o de la sexta j u g a d a se ca lcu la med iante la operación

l i l i l í f i A6 1

4 096 6 veces

En la sexta j u g a d a util iza 1

4 096 de ho ra .

Clave matemática

La potenciación de números racionales es el p r o d u c t o de factores ¡guales; po r e j e m p l o :

3 3 3 3 -3 • -3 • -3 • -3 = (~3 4 ) = f 3_Y 81 2 ' 2 " 2 ' 2 2 - 2 2 - 2 2 4 l 2 J 16

4 _4 4 _4 _4 -4 • -4 • -4 • -4 • -4 = (~4 5 ) 5 ' 5 ' 5 ' 5 * 5 ~ 5 • 5 • 5 • 5 • 5 5 5

1 024 3 125

a En g e n e r a l , para t o d o — G Q , b * 0, y n G N , se t iene:

b a a a

b ' b ' b

a _ a

b ~ V voy

P r o p i e d a d e s d e la potenciación

s c Para t o d o - , - e Q ; m , n e Z , se c u m p l e n las s iguientes propos ic iones : f a

132

Producto de potencias de igual base

í c \ n

' s ^ s ,f*0

Cociente de potencias de igual base

í \ n

' s ^

V ' J -1 *0

Distributiva de la potenciación respecto a la multiplicación y a la división

s n n

t 0)

s c Y )

s c t , d * 0

Potencia de una potencia

f m n-m

V J

s 3 Si - = — , n - 3 , m = 5

t 4

f 'W í-il

Si - = - - , / j = 3,m = 5 í 4

( - -

l 4 j

\ 3

r 3V"5 r 3^

e . s 3 c 2 . Si - = — , - = - , n = 4

f 4 cf 5

í 3 2^ 4 ' 3^

4 r 2 l l 4 5y , 4 ;

3 ^ 2

4 ' 5

/ 3Y f 2 Y

v^y

Si £ = - l , r » = 4 , m = 3 f 4

v 4 y , 4 ,

wm

O TALLER Potenciación de números racionales y propiedades O © Q

Escribe como potencia o como producto de factores iguales según corresponda y calcula el resultado.

a. 2 2 2 2

5 " ~ 5 ~ 5 ' ~ 5

_ 2 í =

v 7 ,

c. no Y

v ^ y

a.

e.

4 4 4 7 ' 7 ' 7

fox

Escribe el número que falta.

b.

{ 5)

(--

• = 1

• 36 25

Q •

• 2

v - J

/ n \ 3 • •

27

" •

125 343

f.

f 2 Y

vOy

• 1 000 000

100 000

243 Si un número racional tiene exponente negativo, se realiza el cociente de uno entre la fracción con el exponente positivo.

í3^ -4

1 4

' 10^ -2

1 ' 11V 4 2 v l o j

K7j

Escribe la letra teniendo en cuenta la fracción con exponente negativo y su correspondiente fracción con exponente positivo.

d.

e

4 v9y

f 12 v 9

11 y

v *v

9^ 4

' I T Vl2y

Í - -v 9

- 9

f u 12

( )

( )

( )

( )

( )

( )

r i

12

v ?y

f— J l y

9 v4y

11

f 4Y

134

f 4 , Un juego de parqués inicio con 24 fichas, al cabo de una hora estaban en juego un medio de las fichas, 30 minutos después, un medio de la cantidad anterior y al ganar un jugador había en juego la mitad de la cantidad anterior. ¿Cuántas fichas estaban en juego cuando se terminó la partida?

S 5» Un tablero de ajedrez tiene 64 cuadros; la mitad de la mitad de la mitad, ¿cuántos cuadros corresponde? ¿Qué fichas ¡guales ocupan estos cuadros?

S 6, Plantea y soluciona un problema en el que involucres la potenciación de números racionales.

},.<! Completa los espacios vacíos aplicando las propiedades de la potenciación

Producto de potencias de igual base

a .

\2 í f 3^

d.

f 2Y

( 3

'—Y

14

^2 Y (2^

w y 3

2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 5'5"5'D"n'n"0"D*5*5

V 1 J V • /

' 5 Y (5^

v • /

f 2Y ( 2 6

2 (2\ 5 *

31 7) U

v ' J v 1J

r 3 Y ( 3 V 14

ó

v5y í-1 UJ

( 0

Í -Y ( 2

1 2 AnY 3

vi—1 y Cociente de potencias de igual base

í-1 ' 3 '

UJ

í3^ (3^ (3 1 v4y v4y

UJ

í 2 5

V 1 J

' o • •

o •

r 0 •

o •

y

\ 3

v ^y f 5 Y

v ** y

0 •

0 •

• •

' o

í 01 ' ni r a k 1—ly l y

•1 í 0) ( U) í D f

V y

• 3Y >J

135

5YY2Y2

-1 A)

5

í oN í o I D , • ] t ni •J • i '

< CP

5

i Y3 r 4 ^ 7

i . 12

Y ífll • '•1 IflJ oJ

•

12

Potencia de una potencia

k.

I.

(f n\*\ f n \ 3 01 í 0 vDj ' ID v L - i /

V

A 5 t

lüJ 2

•

3T ÍOT ÍQT (í •J 'InJ 'IflJ "lo

• • •

1

2^

>

6 ( D

Distributiva de la potenciación, respecto a la multiplicación y la división

n.

3 5 5 ' 7

\ 4 • •fLcPEP.cP

(6 2

U 9

D rjrfrf r e . 9Y fpf. rnr cr-nr • 3 ' 8

P- (3^r 4 ' 7

í -

/ 2 2 ^ 5

7 9

8. Realiza una correspondencia entre la operación y la operación simplificada

3 2

7 ' 5

' 3 ^ 2

J ' 5

7 9

3 3

^3 2^ 3 ^ 3

3 3 - 5 3

V ^7 5 y )

7 3 . 2 3

5 9

2 3

9. Determina el valor de verdad (Verdadero o Falso) de cada una de las siguientes proposiciones.

f f 2 ^

W 9 y

(

+ + 2

5 ,

V 5 J J r IY I

í - 1 UJ Í--1

' 2 ? ( O 3

í2^ f

^3

5

y 10, Escribe la propiedad aplicada en cada caso

( )

( )

4

ír>\

UJ ^ 2 \ 7

í-1

r 2 Y v7>

f2V'

r 2Y

137

í-2^ V 7

5 í 2^7

(--\

5

V i J Í--1

5 \

2

V i J

Í--1 { 7)

Í--1 l 7)

10

2 '7 j

2 v " 7 y

' 2 \7 7

2)

22

V 7) ( 2^

15

/ J 7j

V

2

2 7 ,

? 11.Aplica las propiedades de la potenciación necesarias para simplificar cada expresión.

a í - 1 v5j

/ 2V4 ( 2V ^2^

v ^ 7

b .

' 21 2 ( 2

K 3

/ 2y

4

V 3j

,7A

C. 3^ 4 ^3 • 21 5y v4 ' 9 j

r 3 9\*

4 2 3 < 4 > 2

K5J v5y V v3y )

Í2\

v 3 ,

y S o l u c i o n a los p r o b l e m a s .

Se r e a l i z ó u n e s t u d i o s o b r e la r e p r o d u c c i ó n d e c é l u -/ o \ 3

las c a n c e r o s a s . A l i n i c i a r h a y

1

d e c é l u l a s , a los

d i e z d í a s h a y e l c u a d r a d o d e c é l u l a s q u e el a n t e r i o r

r e g i s t r o , a los s i g u i e n t e s d i e z d í a s n u e v a m e n t e el

c u a d r a d o d e c é l u l a s q u e e n e l a n t e r i o r r e g i s t r o y

as í s u c e s i v a m e n t e . ¿Exp rese e m p l e a n d o la p o t e n

c i a c i ó n la c a n t i d a d d e c é l u l a s l u e g o d e 5 0 d í a s d e i n i c i a r s e el e s t u d i o ?

b. Las v e n t a s p o r i n t e r n e t h a n a u m e n t a d o . En 1 9 9 5 se

v e n d i ó 4 2 5 3 5 6 3 , 3 6 d ó l a r e s , e n 1 9 9 6 a l c a n z ó e l

c u b o d e l a ñ o a n t e r i o r , e n 1 9 9 7 c o n t i n u ó e l c r e c i m i e n t o

d e la m i s m a m a n e r a y se v e n d i ó e l c u b o d e l a ñ o a n t e

r i o r y as í s u c e s i v a m e n t e .

Expresa c o m o u n n ú m e r o r a c i o n a l e n su f o r m a

f r a c c i o n a r i a , las v e n t a s r e a l i z a d a s e n 1 9 9 5 .

Vi Exprese e m p l e a n d o la p o t e n c i a c i ó n las v e n t a s d e

1 9 9 6 , 1 9 9 7 , 1 9 9 8 y 2 0 0 3

U t i l i za las p r o p i e d a d e s d e la p o t e n c i a c i ó n p a r a r e a l i z a r las s i g u i e n t e s o p e r a c i o n e s .

( 2 , l ) 2 - ( 2 , 1 ) 3 • - — ,

(3 ,1 ) 8

a*

b. (3 ,1 ) 5

( 1 , 2 1 , 8 ) 5 =

( 8 , i)2 - ( 8 , i r

( 0 , 6 ) 5

e. ( 0 , 6 ) - ( 0 , 6 ) = ( 0 , 6 ) 2

C o m p l e t a la t a b l a

í-íí 1 (-2)4

1 24

1 16 (0-5)4

0,0625

1 81

(0,2)5

-0,001

1

Descríptoi de desempeño:

/ Solucionar problemas haciendo uso de la potenciación de números racionales y sus propiedades.

•«'* Pensamiento numérico - varíacional

Radicación de números racionales y propiedades Al finalizar la partida en un juego de p a r q u é s con tres jugadores,

27 han salido — de fichas. Si cada jugador a l c a n z ó a sacar la frac-

64

c i ó n de la f r a c c i ó n , de la f r a c c i ó n de las fichas que han salido,

¿ c u á n t a s fichas s a c ó el primer jugador?

Í 2 7 3 3 ? ¡ — = — ; el primer jugador s a c ó — de la cantidad de fichas, v 64 4 4

Clave matemática

La radicación de n ú m e r o s racionales es una o p e r a c i ó n inversa a la p o t e n c i a c i ó n ; la r a d i c a c i ó n busca la base de la p o t e n c i a c i ó n .

f> T\ 8 í~8 2 = entonces ?¡ = —

27 V 27 3

Si

En general, para todo — e Q, b, d * 0, n e N b d

c a . . . rl— = — si y solo si ya b

c d

d C Para todo _ t _ e Q ¡ m,neZ, se cumplen las siguientes proposiciones:

b' d La raíz enésima de un número racional es Igual a la raíz enésima del numerador y del denominador.

La raíz de un producto es el producto de cada una de las raíces.

n\—X — -n\—Xn\— ,b*0,d*0

* • « 140

La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces.

fe" b d

La raíz de una potencia es igual a la raíz de la potencia del numerador entre la raíz de la potencia del denominador.

49 16 V49 _4_ 3 4 = 6 f 16 ~ 7 ' 2 _ 7

O TALLER Radicación y propiedades de números racionales O ® •

/..).' Calcula las siguientes ra íces , escribiendo la base respectiva.

a ,

= 2 í CP ' L? — 6i cu V 125 raí 1 000 000

1 —

V V

8 1 331

e 'CP 1 296 10 000

f. 'CP = 21 1144 121

; 2 Calcula las ra íces y e n c u é n t r a l a s en la sopa de letras.

b.

c.

e.

100

7

625

125 729

s 1 E T E M E D 1 O U S U 1 O C H O N D R G H N K N E S T R E S S E X T M O C T O S D R T Y H D F E M U E 1 D 1 E Z M E D 1 D O A C C S U N O T R E S 1 O R u R S O T N 1 U Q S O D T A E X V F G B H J J K L O 1 R T R E S D E C 1 M O S M T S O S E T V E U N S T D O O D O 1 E E D z O 1 R F í

| S D U D S N U 1 E S E E s A S O N E V O N O C N 1 c!

Escribe falso o v e r d a d e r o , según c o r r e s p o n d a .

a. = 3 1125

64

V81 + 9 = V81 + V9

c. $¡243 - ^3 125 = ^ 2 4 3 - 3 125

d . V49 • V3Ó = V49 • 36

!/8 + </íó = 3 +^8 + 1 ó

2 ^4 _ ~27 = 7 4 - ^ / 2 7

e.

f.

^ Andrés g a n a tres part idas de d a m a s chinas en un t i e m p o g

total de juego de — de ho ra . Si en c a d a part ida tarda la

fracción de la fracción anter ior , ¿cuánto gastó en la pr imera par t ida?

Encuentra las raíces de c a d a número r a c i o n a l . Luego, c o m p l e t a el c r u c i g r a m a .

b. c. 49 144

d

2 64 125 216

144 16

b

a

e

g f g g

d

c

? 6. Calcula las raíces, aplicando las propiedades de la rad icac ión e identifica si el ejercicio tiene una respuesta, dos respuestas o no tiene respuesta racional.

i

Raíz de un cociente

f.

256 16

2401 625

g-

i.

125 216 =

J 3 2 . ( 1 \ \243 { 59 049J

81 . 225 _ V 9 49

J 2 5 6 _ V 16

2401 625

c.

h.

[81 4 121* 49

64 1 1000 125

7, Calcula las siguientes raíces usando la descompos ic ión en factores primos, potenciac ión y las propiedades de la rad icac ión .

(1024 324

1024 2 324 2

512 2 162 2

256 2 81

128 9HHH9HH 27 3

64 2 9 3

32 3 3

16 2 1

8 2

4 2

2 2

1024 = 2-2-2-2-2-2-2-2-2-2 324 = 2-2-3-3-3-3

1024 = 22 • 22 - 22 • 2 2 -2 2 324 = 2 2 -3 2 •32

Vl024 =V2 T-V2 T-V2 T-^ r-V2 T >/324 = 7? •yl¥-sl¥ ^1024 = 2 • 2 • 2 - 2 - 2 = 32 V324 = 2-3-3 = 18

143

a. 576

\ 4 8 4

(256 _ 196 "

b. (1 024 324

3375

1728 8000

729 f 1000^ V 64 , 729 J 2744

8. Escribe cada frase usando la radicación. O . El cuadrado de un número es . El número es b. La quinta potencia de un número es: .

121 c. El producto de dos números es ^ ,¿Existe la posibilidad de que los dos números

sean ¡guales? ¿La pregunta anterior tiene una única respuesta? Justifica. 125

d. Un número elevado al cubo da 343 El numero es

Analiza la información y responde las preguntas planteadas

El área del cuadrado formado por las fichas del tangram es 1,44 d m 2 y el cuadrado sombreado equivale a la octava parte del área total.

a. Exprese en forma fraccionaria el número racional que representa el área del cuadrado.

b. Calcula área del cuadrado sombreado. Determina la longitud del lado del cuadrado grande.

d. Determina la longitud del lado del cuadrado sombreado.

1

:

SE 1 i > • * * • • • • • • • < • • • • • . . . .

/ Aplicar la radicación y usar adecuadamente sus propiedades en los números racionales para solucionar situaciones problema.

* Pensamiento numérico - varíacional

• Ecuaciones con números racionales

_. i , || Lo Infinitud 05 un ctooároáo sin dnojuios I

t i t a n g r a m es un juego ch ino muy a n t i g u o l l a m a - Proverbio china

d o "Ch¡ C h i a o Pan", que s ignif ica " juego de los siete e lementos" o " tab la de la sabiduría". Los chinos lo l l a m a r o n " tabla de sabiduría" y " tab la de s a g a c i d a d " , h a c i e n d o referencia a las cua l idades que el juego requ iere .

5 Tan y G r a m t a r d a n — de una hora en a r m a r unas f iguras c o n el t a n g r a m . Si G r a m ta rda

6 h o r a , ¿qué fracción de hora empleó Tan? Para responderá la situación se p lantea la s iguiente ecuación:

1 de 3

2 5 x H = — , d o n d e x es el t i e m p o q u e gasta Tan

3 6 5 2 1 5 - 12 3 1 , , . , . , .

x = = — — = — mu l t ip l icando en x) 6 3 18 18 ó H

5 2 _ ( 6 ^ - 6 ) x 5 - ( 6 ^ 3 ) x 2 _ 5 - 4 _ 1 ( d e n o m i n a d o r común)

Por t a n t o , Tan gasta — de h o r a , es deci r 1 0 minutos (1 x 6 0 + ó = 10). o

C l a v e matemática

Una ecuación es una i g u a l d a d en la que hay un m i e m b r o d e s c o n o c i d o l l a m a d o incógn i ta ; las incógnitas se representan con letras minúsculas.

3 1 — •m = -4 2 4 7

7 3 - + u = -9 5

La solución de una ecuación es el va lor que hace verdadera la i g u a l d a d ; por e j e m p l o , en

7 3 ' 2 2 la ecuación - + u = - , el va lor que hace la i g u a l d a d cierta es —-; po r tanto , f = - - •

S ¡ T> -,> T e Q, b, d, f * 0 y £ = s e c u m P l e q u e

b a r b a a e c e

a e _ c_ e

b~J~~d~ f

a e _ c e

b'J~~d+J

2. J. — - — • £

b '' f ~d + f

145

"^H/VtJLGEcuaciones con números racionales O ® * 1. Esc r ibe los números q u e f a l t a n en las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s :

2 3 x 1

— + m = — 4 2

a —

m

•

•

2 - 3

+ m 2 2

• •

• •

7 P

f-1 0

- 1 0 . •

p = 1 0 • -H 2

• •

2 4 a

3 5

b. a . 2 + D=l + ü 3 • 5 •

1 2 + 1 0 a. = = f=r

15 •

7 3

e. b 0 . 2 7

3

3 7 •

• •

4 t + ]_

2

9 • 2 •

c. 4 t -9 - 4

1 8

(4 + 4) t = D + 4 v } 1 8

• 2, S o l u c i o n a las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s :

4 a. — + m = 8

3 2 3 4 ~~ ~ 5

3

4

b t

c. p + 8

8 — n 7

1

~ 2 " -- 1 0

8 — n 7

1 •

" 2 • 8 — n 7

2 0 + 1 8 — n 7 2

í8

, 7 7 j n = •

2

n = • •

d , 4 d 2

5

7 e. - r + 7

9

f. 8 w +

5

7

2 2

• •

8

7

f 3 . Transcribe los siguientes enunc iados a ecuac iones:

El tr iple de un n ú m e r o aumen tado en dos tercios equivale a c inco sextos.

Cua t ro quintos menos un n ú m e r o equivale a ocho novenos.

Dos quintos de un n ú m e r o a u m e n t a d o en c inco equivale a trece qu in tos.

O n c e cuartos de un n ú m e r o equivale a siete.

e. Un n ú m e r o a u m e n t a d o en trece medios equiva le a once .

f. Un n ú m e r o d isminu ido en doce equiva le a nueve d é c i m o s .

Para las siguientes ecuaciones escribe un enunc iado .

a. - / + 10 = 12 3

b. 7 f - 2 = 5 3 7

3 c. h k = 4 3

4

2 1 - d + - = 2 0 9 2

2 2 e. - f = 2 4

5 5

f. 6 g + 8 = — y 10

y La mi tad de la edad de Pedro aumen tada en tres medios es igual a qu ince. ¿ C u á l es la edad de Pedro?

>f 6. Tres veces el punta je total de un j ugador d isminu ido en c inco equivale a cuat ro tercios. ¿ C u á l es el puntaje total del jugador?

yT Cua t ro sextos aumentados en la cant idad de t i empo que tarda una part ida de ajedrez es igual a doce . ¿ C u á n t o tarda la part ida?

yr El n ú m e r o de jugadores a u m e n t a d o en un terc io es igual a treinta y c inco qu inceavos. ¿ C u á n t o s jugadores hay?

La cant idad de t i empo de una part ida de p a r q u é s d isminu ido en doce es igual a dos quintos. ¿ C u á n t o tarda la part ida?

f Plantea y so luc iona un p rob lema usando las ecuaciones entre n ú m e r o s rac ionales.

Descriptor de desempeño: / Analizar y solucionar problemas usando las ecuaciones entre números racionales. 147

i * Pensamiento métrico - geométrico

% Situaciones problema con números racionales El tetris arena es una versión del juego clásico, tiene efectos especiales alucinantes, 12 pistas de fondo agradables para el oído en el equipo de música. Además, hay cuatro variaciones: el estándar, anticipado, especial y loco que fueron desarrollados para jugadores de variadas capacidades y preferencias. El costo por internet del juego es: US. $ 1 4,95, adicionalmente el instalarlo en su domicilio tiene un costo de US. $ 1,25.

¿Cuál es el costo del juego en pesos colombianos incluyendo el domicilio?

Comprende el p rob lema (Selecciona la información útil para solucionar la pregunta)

US. $ 14,95 costo del juego

US. $ 1,25 costo del domicilio

Pregunta: ¿Sabes a qué quieres llegar? ¿Hay suficientes datos? ¿Hay información extraña?)

¿Cuál es el costo del juego en pesos colombianos incluyendo el domicilio?

'•¡fi Traza un p lan para resolver el p rob lema (Una estrategia se entiende como los pasos para llegar a una meta; en la solución de situaciones pueden ser un diagrama, resolver una o varias operaciones, usar coordenadas, etc, .)

jj | Resuelve

Multiplica el costo del juego en dólares por el valor del dólar el día de la compra.

Multiplica el costo del domicilio en dólares por el valor del dólar el día de la compra.

Suma las dos cantidades obtenidas.

Aplica la estrategia y responde la pregunta.

Comprueba los resultados

¿Puedes comprobar la respuesta? ¿Puedes obtener el resultado por un camino diferente? ¿Puedes usar el resultado o el procedimiento para resolver otro problema?

Clave matemática

Para solucionar una si tuación p rob lema se debe tener en cuenta los datos y la pregunta, con esta información se decide la estrategia para contestar la pregunta planteada, que no siempre es una operación, pues en algunos casos puede servir una representación gráfica, dibujo, un esquema u otra herramienta.

O TALLER Situaciones problema con números racionales O # •

y Resuelve el p r o b l e m a de la situación. Consu l ta el prec io del dólar en un d i a r i o , busca la sección económica.

S Observa la lista de precios de software para juegos de ingen io .

Tetris

a . Expresa el costo de c a d a p r o d u c t o e m p l e a n d o números racionales en f o r m a f r a c c i o n a ria.

¿Cuál es el software más costoso?

¿Cuál es la di ferencia en pesos entre el software más costoso y el más económico?

Danie l compró dos juegos de ingen io diferentes el día que un dólar costaba 1 8 2 0 , 3 5 pesos c o l o m b i a n o s y un euro costaba 2 8 8 3 , 2 5 pesos. Pagó $ 5 8 3 5 3 , 3 3 2 5 . ¿Qué juegos de ingen io compró Danie l?

e. C o m p r a r al por mayor los software hace que el costo disminuya en la tercera parte. ¿Cuál es el costo de c a d a juego al compra r lo s al por mayor?

í '• Responde las preguntas en el espac io .

a , ¿Qué número rac iona l representa la c a n t i d a d de cuadros negros del tab le ro de ajedrez?

b, ¿Qué número rac ional representa la c a n t i d a d de f ichas negras ub icadas en c u a d r o b lanco?

C, ¿Qué número rac iona l representa la c a n t i d a d de f ichas b lancas ub icadas en c u a d r o negro?

d . ¿Cuál es la di ferencia expresada en f o r m a f racc ionar ia entre la c a n t i d a d de f ichas negras y la c a n t i d a d de f ichas blancas?

e . M a r c e l a está j u g a n d o ajedrez y sus f ichas son las negras. La c a n t i d a d de f ichas ne

gras a los 1 0 minutos de in ic iado el juego cor responden a — del total de cuadros 8

del t a b l e r o , luego en juego hay f ichas negras.

f. Betty es la cont r incante de M a r c e l a en el juego de ajedrez, sus f ichas son las b l a n

cas. La c a n t i d a d de f ichas b lancas a los 1 0 minutos de in ic iada la part ida corres-3

p o n d e n a — de las f ichas negras en juego en ese mismo instante, luego en juego

hay f ichas b lancas .

y Obse rva una factura del servicio de a g u a de tu casa y contesta las preguntas .

a . Escribe de f o r m a f racc ionar ia el va lo r un i tar io del c a r g o f i jo y del c o n s u m o res idencial básico.

b, ¿Cuál es el va lor tota l del c o n s u m o básico de a c u e d u c t o ?

C, En el rec ibo se encuent ra ya est ipu lado un descuento. ¿Cuál es el total a p a g a r po r c a r g o f i jo y c o n s u m o básico de acueducto?

¿Cuál es el subtotal por c o n c e p t o de a c u e d u c t o ?

e. ¿Cuál es el va lo r tota l del c o n s u m o básico de a lcanta r i l lado?

f. El va lo r tota l a p a g a r es resul tado de la suma del subtotal de a c u e d u c t o , a l c a n t a r i l lado y aseo. Observa el total a pagar . ¿Cuál es el costo del servicio de aseo?

g . C o m p l e t a la información fa l tante en la factu ra .

La factura cor responde al c o n s u m o de siete personas, ¿cuál es el c o n s u m o en pesos de una persona?

y En la cuenta de ahor ros V iv iana t iene $ 4 8 0 5 0 0 , 2 5 . Ella reparte equ i tat ivamente dos quintas partes del total entre sus c inco hi jos, la mi tad de lo que le q u e d a lo e m p l e a en p a g a r el rec ibo de la luz y el restante lo invierte en un a h o r r o p r o g r a m a d o .

a. Escribe en f o r m a f racc ionar ia la c a n t i d a d de d inero que t iene Viv iana en la cuenta de ahor ros

¿Cuánto d inero dest ina Viv iana para todos sus hijos?

¿Cuánto d inero ent rega Viv iana a c a d a uno de sus hijos?

¿Cuánto d inero invierte en el a h o r r o p r o g r a m a d o ?

150

e. ¿Cuánto dinero paga por el servicio de luz?

t Viviana afirma: "La cantidad de dinero que le entrego a dos de mis hijos es menor que el ahorro programado". ¿Es verdadera la proposición?. Justifica la respuesta.

yf" 5. En una cuenta de ahorros con saldo de $1 234 620 se realizan las siguientes transacciones: el lunes se consigna una cantidad equivalente a la mitad del saldo, el martes

se retira _ del saldo y el miércoles se retira _!_ del saldo del martes. 2 2

a. Representa mediante una operación la transacción realizada el lunes y calcula el nuevo saldo.

b. Escribe mediante una operación la transacción realizada el martes y calcula el nuevo saldo.

< Representa mediante una operación la transacción realizada el miércoles y calcula el nuevo saldo.

d . Escribe en una sola operación todas las transacciones realizadas.

y 6, En el mercado hay ofertas:

a . Una sandía cuesta hoy, igual que tres quintos de sandía en un día de no promoción más $ 800. En un día de no promoción el costo de la sandía es $3 500. ¿Cuánto cuesta media sandía?

b . Una libra de manzanas cuesta dos tercios de lo que vale una libra de bananos. Una libra de uvas cuesta la mitad de lo que vale una libra de bananos. El costo de una libra de manzanas y uvas es de $7 504,98. ¿Cuánto cuesta una libra de manzanas?

y 7. Para las verduras hay un descuento del 25% verduras es:

25 100

todos los viernes. Si el costo de las

Producto Precio

libra de alverja $ 2 200

libra de zanahoria $600

libra de arroz $ 1 500

libra de frijol $ 3 000

libra de habichuela $ 3 500

o, ¿Qué productos tienen descuento el viernes?

3 b. ¿Cuál es el costo de — libra de alverja el

viernes? c. ¿Cuál es el costo de dos libras de habi

chuela el viernes? Descriptor de desempeño: • Solucionar situaciones problema usando las operaciones entre números racionales

Sólidos geométricos La papiroflexia u origami es un arte con el cual las personas desarrollan su expresión artística e intelectual, mediante la transformación de uno o varios papeles cuadrados o rectangulares. Con el papel es posible modelar animales, flores e incluso poliedros, como los que se observan en la gráfica.

El origen de la palabra origami viene del japonés y'signi-fica "oru" (plegar) y "kami" papel.

Clave matemática

En el entorno observamos sólidos, en nuestro propio cuerpo y en el planeta en su total idad. Vivimos en lugares con elementos naturales y artificiales formados por sólidos.

Los sólidos tienen tres dimensiones: largo, ancho y profundo. Al observar regularidades de los sólidos se les dio nombre y se clasificaron de la siguiente manera.

(O o a _ i o

o

o c -

Cuerpo geométrico formado únicamente por caras poligonales.

Pirámide Prisma Cubo Paralelepípedo

Los poliedros al igual que los polígonos se clasifican y nombran según el número de caras.

N.° Caras 4 5 6 8 12 20

Nombre del

poliedro

Tetraedro Pentaedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Cuerpo geométrico formado por una o más caras NO poligonales.

I I O) o 3 "O

Esfera Cono Cilindro

O TALLER Sólidos geométricos Completa la tabla.

J É

Cruz 3D Solitario triangular

ede li

Bloques lógicos

ombre de los sólidos que lo forman

Tetra 2p Bolita

Juego de Ingenio

Cruz 3D

Metal 6

Solitario triangular

Bloques lógicos

Escalera de colores

2. Clasifica los sólidos en la tabla, escribiendo el número que le corresponde a cada sól ido.

0 ) '

(2) (3)

(10)

(12)

(11)

(7)

(8)

Cuerpos redondos Poliedros

Los poliedros con caras paralelas se clasifican en

Prismas: formados por un par de Paralelepípedos: todas las caras caras opuestas congruentes y para- opuestas son paralelogramos con-lelas. Las demás caras son parale- gruentes y paralelos, logramos.

(9)

Poliedros no prismas ni paralelepípedos:

Los poliedros convexos tienen todas sus diagonales en su interior. Recuerda que las diagonales son segmentos que unen pares de vértices no consecutivos. En la práctica, un poliedro se dice convexo si todas las caras se pueden apoyar completamente sobre un plano.

3, Construye con pitillos y lana tres sólidos geométricos convexos y tres no convexos, justifica por qué pertenecen a cada clase.

Todo poliedro convexo cumple la siguiente propiedad conocida como fórmula de Euler

V + C = A + 2

V = cantidad de vértices, C = cantidad de caras, A = cantidad de aristas

Verifica si se cumple la igualdad - > V + C = A + 2

V= cantidad de vértices, C = cantidad de caras, A— cantidad de aristas

Sólido Cantidad de Cantidad de caras Cantidad de aristas ¿Se cumple la vértices igualdad?

Prisma

Paralelepípedo

a , ¿En que época vivió Euler y qué otros aportes realizó a la matemática?

Otro criterio para clasificar los poliedros es observar la regularidad de las caras.

Lee cada criterio de clasificación y mediante una flecha reubica algunos sólidos que no cumplen las condiciones dadas.

Poliedro de caras regulares- Platónicos: son poliedros con caras poligonales congruentes y regulares .

/

Poliedro de caras irregulares: son poliedros con caras poligonales no todas congruentes.

Arquimedianos o semi-rregulares: son poliedros cori caras poligonales regulares, no congruentes entre si.

¿Cuántos poliedros platónicos hay en la tabla?

¿Existen más sólidos platónicos?

Rincón de ta historia

Los sólidos platónicos reciben este nombre en honor del filósofo griego Platón (428 a.C. - 347 a . C ) , al que se atribuye haberlos estudiado por primera vez. En los Diálogos Platón dice: «El fuego está formado por tetraedros regulares; el aire, de octaedros regulares; el agua, de icosaedros regulares; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado esta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo».

Los sólidos arquimedianos reciben este nombre por ser Arquímedes el primero que los nombra, aunque algunos eran conocidos desde mucho antes. Los sólidos arquimedianos son 13.

155

Contesta falso o verdadero y justifica la respuesta.

a . Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.( )

o En todos los vértices de un sólido platónico concurren diferente número de caras y de aristas.( )

c. Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.( )

d . Algunos ángulos formados por las caras de un sólido platónico son iguales entre sí. ( )

7. Amplía en cartulina los moldes y construye sólidos arquimedianos

•4

• •

Rombicuboctaedro Rombicuboctaedro

Cubo chato

Las pirámides poseen solamente una base y las otras caras son triángulos. El nombre de la pirámide depende de la base: si la base es un triángulo se denomina pirámide triangular, si es un pentágono, pirámide pentagonal y así sucesivamente.

Colorea de amarillo las pirámides hexagonales y de verde las pirámides cuadrangulares.

Los sólidos no poliedros se clasifican en conos, cilindros y esferas. Realiza una correspondencia entre el sólido, su caracterización y representación.

a. Esfera

b. Cilindro

( ) Es un sólido cuya base es un círculo y cuya superficie lateral alabeada termina en un punto llamado vértice.

( ) Es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia a un punto determinado (centro) es siempre la misma.

HHMMMHHMMM

c. Cono

( ) Es un sólido cuyas bases son círculos congruentes y paralelos, adicional-mente está limitado por una superficie alabeada


• Identificar y clasificar los sólidos geométricos según sus características. \ 5 T .

* Pensamiento métrico - geométrico

Volumen de sólidos

El cubo Soma fue inventado en 1936 por el danés Piet Hein, y está formado por siete piezas: seis compuestas por cuatro cubos y una séptima compuesta por tres. El objetivo principal del juego es unirlas y formar un cubo 3 x 3 , aunque también se pueden realizar muchas figuras diferentes como las que se presentan a continuación:

J É Si la arista de un cubito de los que forman las fichas del Soma es 2,5 cm, ¿cuál es el volumen de cualquier sólido formado con las siete fichas del Soma?

V = (7,5 cm)3 = 421,875 cm 3

Clave matemática A continuación se muestran las fórmulas para calcular el volumen de algunos sólidos geométricos.

Sólido

P r i s m a

El volumen del prisma es igual al área de la base por su altura. V = b x h

2m 1 m

1 m V = 2 m - 1 m - 1 m = 2 m 3

158

El volumen del paralelepípedo es Igual al P a r a l e l e p í p e d o área de la base por su altura. r e c t á n g u l o . ,

V = b x n

2cm 1 cm 3 cm

V = 3 cm • 1 cm • 2 cm = 6 cm 3

Cubo

El volumen de un cubo es Igual a la longitud de su arista al cubo.

V = a3

2 mm 2 mm

2 mm

V = 2 mm • 2 mm • 2 mm = 8 mm3

Pirámide

Cilindro

Cono

Esfera

El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura.

b x h 1 m • 1 m • 2 m 2 3

V = = - m3

3 3 2cm

El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura.

V = nr2 x h

El volumen de un cono es la tercera parte del producto del área de la base por la altura.

nr x h

4 cm

V = TI . (2 cm)2. 4 cm = 16TC cm3

„ TI • (2m) • 4m 16 3

V = i— ' - = — Ttm 3

3 3 El volumen de la esfera es el producto de cuatro tercios por TI y por el radio al cubo.

V = *nr> 3 V = - • TI • (3 m)3 = - T I • 27 m3 = 36TC m3

3 3

O TALLER Volumen de sólidos O ® #

,,)> 1. Los sól idos que se presentan a cont inuac ión son parte de cubos de arista de 4,5 cm. Calcula el volumen de los sól idos faltantes para armar los cubos y represéntalos.

a .

• • • <

c.

1,5 cm 1,5 cm 1,5 cm

159

r Completa la tabla teniendo en cuenta que la arista de cada cubito mide 2,3 cm. Sugerencia: construye las fichas del Soma en plastilina u otro material y luego represéntalo.

HHI

9HI Fichas del soma

a

b

c

Volumen

i . , , 3 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos:

1 m

3m

2,5 dm

2dm

5dm

160

3,5 mm

e.

3,5 m

Escribe la letra correspondiente, teniendo en cuenta el volumen y su respectivo cuerpo.

a. V = 3,375 dam 3

b . V = — T I da m

1 / 2 0 0 J 3

V = 7t dam 3

el, V = 21,875 dam 3

e. V = 28 dam 3

f. V =

2,5

1331 TI dam 3

Esfera de radio — dam 2

Cubo de arista 1,5 dam.

Cono de radio 5 dam y altura 8 dam.

Prisma rectangular con longitudes 4 dam, 3,5 dam, 2 dam.

Esfera con radio 2 dam.

Pirámide cuadrangular con altura de 3,5 dam y la base con lados de longitud dam.

161

Escribe falso o verdadero, según corresponda.

El volumen de un cilindro es la tercera parte del volumen de un cono.

b. El volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro.

C. El volumen de un prisma es la tercera parte del volumen de una pirámide.

ti. El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma.

El volumen de un cubo es igual al volumen de un prisma cuyas aristas son de igual longitud.

f. El volumen de un cubo es diferente al volumen de un prisma cuyas aristas son de diferente longitud.

i¡. El volumen de un cubo es diferente al volumen de un prisma cuyas aristas son de igual longitud.

f 6 La siguiente gráfica corresponde al plano del apartamento de un experto jugador de ajedrez. El alto del apartamento es de 2,5 m.

2m Cocina

Comedor Sala

1 m Baño

1 m 1,5 m Alcoba 3m 3 m

5dm

Teniendo en cuenta la gráfica anterior contesta las siguientes preguntas:

a , ¿Cuál es el volumen del apartamento?

b, ¿Cuál es el volumen de la alcoba?

c, ¿Cuál es la diferencia entre el volumen de la sala y del baño?

¿Qué lugar tiene un volumen igual al de la cocina?

Una vela con forma de pirámide triangular tiene una altura de 3 dm y un volumen de 4,5 d m 3 . Si la base de la vela tiene una altura de 1,5 dm, ¿cuál es la longitud del otro lado de la base?

/ ' La cúpula de una iglesia equivale a la mitad de una esfera cuyo radio es de 1 2 m. ¿Cuál es el volumen de la cúpula?

En una pista de karts hay 25 conos ¡guales con un radio de 1,5 dm y una altura de 3 dm cada uno. ¿Qué volumen ocupan todos los conos?

•f 10.Si una ficha de dominó tiene un. volumen de ó c m 3 y dos de sus aristas tiene longitudes de ó cm y 1 cm, ¿cuál es la longitud de la tercera arista?

Descriptor de desempeño: / Encontrar el volumen de cuerpos geométricos para formular y resolver algunas situaciones.

• Medidas de tendencia central: promedio

Un estudiante quiere predecir la próxima caída de un dado para ganarle a sus amigos en las próximas partidas de parqués. Para ello tendrá que determinar el número que cae con mayor frecuencia y realiza la siguiente tabla de datos para 21 lanzamientos.

Número en el dado Frecuencia

HHHI 1

2

3

4 H B m 5 BHHI 6 2

- 1-1+2- 3 +3- 5+4- 6 + 5- 4 + 6- 2 , -. 0 7 1

• X= — =3,71 el promedio aritmético es 3, 71

• X g = 3/í • 2 3 • 3 5 • 4 6 • 5 4 • ó 2 = 3,44 el promedio geométrico es 3,44.

Clave matemática

Existen dos tipos de promedio: / N

Promedio

Aritmético

Se suman todos los datos y e resultado se divide entre el número de datos sumados.

Geométrico

Se calcula la raíz n-ésima del producto entre cada dato elevado

a su frecuencia.

O TALLER Medidas de tendencia central: promedio O o

f,,;) 1. Teniendo en cuenta las siguientes distribuciones, escribe los números que faltan para encontrar el promedio aritmético y promedio geométrico.

a. Cantidad de juegos al día Frecuencia

3 10

5 4

6 7

7 3

24

• Promedio ori.me.ico: = 3 0 + 0 + • + • 24

24 L J

• Promedio geométr ico: = 2 ^ 5 9 049 • [ ] • [ ] • [

= • P e s o F r e c u e n c i a

43 5

45 2

46 1

47 HHHI 49 4

7 _ 5 • 43 + 2 - • + • • • + • • • + • • •

• • Promedio ar i tmét ico: = D + D + D + D + D

13

= H = D 13 L J

http://ori.me.ico

• Promedio geométrico: = ' "Q • D " D ' D * D

c.

Estatura Frecuencia

1,72 3

1,74 2

1,76 2

v - D - D + D - D + D - D X

Promedio aritmético:

• _ D + D + D

Promedio geométrico: = o/l

=qc = n Calcu la el p r o m e d i o aritmético de los s iguientes conjuntos de datos :

o. 12 , 1 1 , 10 , 1 1 , 1 1 , 13 , 12 , 12 , 10, 10 , 10 , 1 1 , 13

3 0 , 3 0 , 3 0 , 3 1 , 3 0 , 3 1 , 3 2 , 3 2 , 3 1 , 3 1 , 3 2 , 3 2 , 3 1 , 3 2

c, 4 5 , 7 , 4 5 , 6 , 4 5 , 6 , 4 5 , 7 , 4 5 , 7 , 4 5 , 5 , 4 5 , 5 , 4 5 , 5

c i 2 , 2 5 , 2 , 2 6 , 2 , 2 7 , 2 , 2 5 , 2 , 2 6 , 2 , 2 7 , 2 , 2 6 , 2 , 2 5 , 2 , 2 7

C a l c u l a r el p r o m e d i o geométrico de los s iguientes con juntos numéricos

a . 1,13, 1,13, 1,12, 1 , 1 1 , 1,10, 1,12, 1 , 11 , 1,10, 1,10

4 0 , 4 1 , 4 2 , 4 0 , 4 0 , 4 1 , 4 0 , 4 2 , 4 2 , 4 1 , 41

c, 3 0 , 1 , 3 0 , 2 , 3 0 , 3 , 3 0 , 1 , 3 0 , 1 , 3 0 , 2 , 3 0 , 2 , 3 0 , 3

6, 7, 8 , 6, 6, 8, 8 , 8 , 7, 7

La siguiente i n f o r m a c i ó n representa el peso de un grupo de jugadores de sumo.

Peso (kilos) Frecuencia

100 2 ? 1

110 3

117 4

120 5

o, ¿ C u á n t o s datos hay?

Si el promedio a r i t m é t i c o de los datos anteriores es 1 13,5, ¿ q u é dato corresponde al signo de i n t e r r o g a c i ó n ?

Calcula el promedio g e o m é t r i c o de los datos.

S Un grupo de n i ñ o s que diariamente juegan d o m i n ó se encuentran entre los 10 y 14 a ñ o s y el promedio a r i t m é t i c o de las edades es 1 2.

a . ¿ C u á n t o s datos hay?

¿ C u á l es la frecuencia de cada edad?

c. Calcula el promedio g e o m é t r i c o s de las edades.

y La siguiente i n f o r m a c i ó n corresponde al calzado y edad de un grupo de jugadores de p a r q u é s .

Edad Calzado Frecuencia

23 32 3

HHHHH HHHHH 25 36 1 26 38 2

¡ Calcula el promedio a r i t m é t i c o de las edades del grupo.

Calcula el promedio a r i t m é t i c o del calzado del grupo.

Calcula el promedio g e o m é t r i c o del calzado del grupo.

Calcula el promedio g e o m é t r i c o de las edades del grupo.

S Plantea y soluciona un problema que involucre el promedio a r i t m é t i c o y g e o m é t r i c o de un conjunto de datos.


166 / Aplicar el promedio de un conjunto de datos en el análisis y solución de situaciones problema.

«•• Pensamiento aleatorio

Medidas de tendencia central: moda y mediana

La s iguiente información muestra las edades de los niveles infanti l y juvenil de un c a m p e o n a t o de ajedrez. Las edades en los dos niveles se encuent ran en o rden ascendente.

H H H H H H H I Edad (Años) Frecuencia Frecuencia acumulada

7 2 2

8 3 2+3 = 5

9 6 5 + 6 = 11

10 4 11 +4 = 15

Juvenil

Edad (Años) Frecuencia Frecuencia acumulada

11 4 4

12 5 9

13 7 16

14 2 18

15 6 24

En el nivel infanti l la m o d a es 9 años, y en juvenil la m o d a es 1 3 años; es decir, la mayor c a n t i d a d de niños en infanti l t ienen 9 años y en j u v e n i l , 1 3 años.

En el nivel infanti l la c a n t i d a d de datos es impar, po r lo tanto la m e d i a n a es el d a t o cuya f recuen

cia a c u m u l a d a es mayor o igual a ÜLjlJ == = 8 , po r t a n t o , la m e d i a n a es 9 años. Este

cálculo reemplaza el l i stado 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 9 , 9 , 9 ^ , 9 , 9 , 9 , 1 0 , 1 0 , 1 0 , 1 0 7datos mediana 7datos

En el nivel juveni l la c a n t i d a d de datos es par, po r t a n t o , la m e d i a n a es el p r o m e d i o entre los datos ub icados en la posición 1 2 y 1 3 ; 1 2 es la mi tad de todos los datos y 1 3 es el consecut ivo

1 3 + 1 3 2 6 de 1 2 ; = — = 1 3 , por t a n t o , la m e d i a n a es 1 3 . Este cálculo reemplaza el l i stado

1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 3 , 1 3 , 1 3 , 1 3 , 1 3 , 1 3 , 1 3 , 1 4 , 1 4 , 1 5 , 1 5 , 1 5 , 1 5 , 1 5 , 1 5

l Tdatos datos 1 2 y 13 11 datos

1 6 7

Clave matemática

Otras de las medidas de tendencia central son la moda (Mo) y la mediana (Me).

• La moda es el dato que tiene mayor frecuencia. Si un conjunto tiene una moda se dice que la distribución es unimodal; si tiene dos modas, bimodal y tres o más modas, mult imodal; cuando el conjunto no tiene moda se dice que es amodal .

• La mediana no se ve afectada cuando hay valores extremos, esta divide al conjunto de datos en dos conjuntos ¡guales; para calcular la mediana se organizan los datos de menor a mayor o viceversa: si la cantidad de datos es impar, se ubica el dato que se encuentra en el centro del conjunto, y si es par, se ubica la pareja de datos que divide al conjunto en dos partes ¡guales y se calcula el promedio de esta pareja.

O TALL6R Medidas de tendencia central: moda y mediana O • #

1. En los siguientes conjuntos numéricos selecciona con verde la moda y con rojo el dato o datos que dividen al conjunto en dos partes ¡guales, es decir, la mediana.

20, 20, 20, 2 1 , 2 1 , 2 1 , 22, 22 , 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24

b. 1, 1, 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 5

C. 11 ,1 ; 1 1 , 1 ; 11 ,1 ; 11,2; 11,2; 11,2; 11,2

100, 100, 101 , 101 , 101 , 102, 102, 102, 102, 103, 103, 103, 103

50, 5 1 , 52 , 53, 54 , 55, 56

Calcula la moda y la mediana de los siguientes datos.

30, 32, 3 1 , 3 1 , 3 1 , 32, 34, 35, 35, 32, 30, 3 1 , 31

b. 5, 6, 7, 8, 9, 9, 8, 7, 6, 5, 5, 5, 5, 8, 7, 5, 5, 9

c.

Puntaje Frecuencia Frecuencia acumulada

15 22

20 18

25 20

ti..

Estatura (cm) Frecuencia Frecuencia acumulada

1,56 15

1,58 10 1,58 10

1,59 18

y 3, Escribe la letra correspondiente teniendo en cuenta la representación gráfica, su moda y mediana.

¿Qué edad tienes?

Frecuencia

121 10 J 8

6

4

2 J

0 14 15 16 Edad

¿Qué edad tienes?

( ) Mo = 16

16 + 16 Me

32 2

16

Mo = 16

Me = 15 + 15

30 2

= 15

Frecuencia

20 -

15 _

10 _

5 _

0

14

Edad

15

14

16

¿Qué edad tienes?

1 1 15 16 E d a d

Frecuencia

5

7

10

( ) Mo

Me

16

15 + 15 2

30 2

15

( ) Mo = 1 ó

29 + 1 = 30 2 2

Me = 16

= 15

f La siguiente información corresponde al número de calzado de la familia Malagón que durante los fines de semana se reúnen a jugar parqués.

Calzado ¿Cuánto calzas?

39

38

37

36

•

| 5

wá2

0 T Frecuencia

¿Cuántos miembros de la familia se reúnen a jugar parqués?

¿Cuáles son los datos que se están representando?

¿Cuál es la mayor frecuencia? ; ¿Cuál es la menor frecuencia?

¿Cuál es el dato correspondiente a la moda?

¿Cuál es la mediana?

5, La información corresponde a la preferencia de un grupo de personas por un juego,

o, ¿Cuántos hombres contestaron la encuesta?

¿Cuántas mujeres contestaron la encuesta?

c, ¿Cuántas personas contestaron la encuesta?

d , ¿Cuál es el juego preferido por las mujeres?

¿Cuál es el juego preferido por los hombres?

Frecuencia 30 J

Mujeres

Hombres

Damas chinas Parqués Dominó Cartas Juegos

Descriptoi de desempeño: • Interpretar y analizar información por medio de la moda y la mediana de un conjunto de datos.

Matemática

La ludopatía, una adicción a l j u e g o La l u d o p a t í a es un desorden a d í c t í v o caracterizado por la conducta descontrolada en relac i ó n con los juegos de azar (cartas, tragamonedas, b í n g o ) , videojuegos e internet.

En la a d i c c i ó n a los juegos los principales s í n t o m a s son: / Cuando se juega m á s tiempo del planeado. / Cuando se preocupa por la forma de obtener m á s dinero

para poder volver a jugar o cuando siente la necesidad de jugar m á s cantidad de dinero.

/ Cuando juega con la falsa i l us i ón de recuperar lo que ayer se p e r d i ó .

/ Cuando se tiene que pedir dinero prestado para jugar. / Cuando tiene remordimientos después de haber jugado. / Cuando no puede controlarse, no se puede dejar de jugar. / Cuando se juega por olvidar sus problemas. / Cuando tiene problemas para dormir a causa del juego. / Cuando empieza a mentir a causa o como consecuencia del juego.

/ Cuando corre el peligro de perder su trabajo o una r e l a c i ó n afectiva por culpa del juego

/ A lgunas cifras El juego es una gran industria para Estados Unidos, por eso la protegen. En promedio: los 455 casinos en ese país pagan impuestos por m á s de 4 900 millones de d ó l a r e s .

Casi 4 /5 de la p o b l a c i ó n colombiana, al menos una vez en sus vidas, han efectuado alguna apuesta (o comprado l o t e r í a , o jugado en un bingo, etc.) de forma poco racional.

La m a y o r í a de jugadores de chance son mujeres, cerca de 1 1/20.

7/20 de la p o b l a c i ó n colombiana (especialmente la gente mayor) es cliente habitual de los sitios destinados a juegos de azar, y una de cada tres personas es aficionada; la tendencia es a aumentar.

Se estima 3/5 de la p o b l a c i ó n acostumbra a destinar una parte de sus ingresos mensuales a un juego de suerte y azar.

El f e n ó m e n o del juego no se concentra en la capital del pa ís , de hecho el departamento con m á s n ú m e r o de establecimientos es A n t í o q u i a , donde hay 6/25 locales vinculados a juegos de azar. Le sigue C u n d í n a m a r c a con 1/5 (incluyendo B o g o t á ) y Santander con 6 /25 ,

Por cada apuesta realizada en una m á q u i n a tragamonedas se destina 9 /20 para los fondos de salud departamentales, dependiendo del monto de la apuesta. La mayor parte de los impuestos de los juegos financian el sector de la salud.

Competencias ciudadanas

Asumo mis propias decisiones, después de pensarlas y considerarlas buenas para mí , sin dejarme presionar por el grupo de mis amigos, c o m p a ñ e r o s , medios de c o m u n i c a c i ó n u otros.

Matemática / Re f lex iono

1 , ¿Alguna vez has jugado o apostado? ¿En qué juego? 2- ¿Sufriste alguna vez uno o más síntomas a la adicción de los juegos (incluido

la adicción a internet, videojuegos)? 3, ¿Hay algún local o zona de juegos de azar cerca de tu colegio? 4, ¿Conoces alguna persona, bien sea familiar, compañero, amigo o conocido

que tenga ludopatía? 5, ¿Cómo se puede ayudar a una persona que padezca ludopatía?

Actividades 1 , Completa el cuadro escribiendo los aspectos positivos y los negativos frente a los

juegos de azar. Recuerda los pros y los contras que tiene esta actividad. Apóyate en las cifras dadas.

Aspectos a favor Aspectos en con

2,

o .

Determina cuántos establecimientos dedicados al juego hay en Antioquia, Cun-dinamarca y Santander. Expresa la respuesta en fracción y en decimal. Si un jugador constante de máquinas tragamonedas apuesta diariamente y los valores obtenidos por esta apuesta son: 2 000, - 5 000, 12 000, - 7 000, - 6 500, 8 200, 3 000, 0, 1 000, - 2 500, - 1 0 000, - 2 500, 2 000, - 7 000, - 9 500, 3 000, 1 500 Con los anteriores datos encuentra el promedio geométrico, la moda y la mediana y analiza los resultados obtenidos por este jugador. / promedio geométrico:

Moda: Mediana: Análisis:

4 . Completa la tabla utilizando números racionales. Aspecto Número raciona,

Población colombiana que, al menos una vez en sus vidas, ha efectuado alguna apuesta. 4/5

11/20

Población que NO acostumbra a destinar ninguna parte de sus ingresos mensuales a un juego de suerte y azar. Población colombiana que NO es cliente habitual de los sitios destinados a juegos de azar.

1/5

Construcción a escala de un tangram Objetivo r r n m m

Diseñar un tangram aplicando los números racionales.

Recursos • Cartón paja rectangular

• Cartulina y papel de colores

• Lápices, colores, regla, coibón, compás, tijeras

• Elementos para decorar según tu creatividad

Instrucciones 1. Corta un cuadrado de 80 cm de lado.

2 . Traza una de las diagonales del cuadrado.

3 . Encuentra el punto medio de dos lados consecutivos y únelos.

4 , Encuentra el punto medio del segmento trazado anteriormente y traza el segmento mayor desde este punto hasta el vértice opuesto.

En la primera diagonal trazada, ubica los puntos medios de cada segmento formado por los vértices y el punto de intersección.

7, Recorta cada ficha.

8. Escribe la fracción correspondiente a cada figura con respecto a todo el iangram.

Figura Fracción

1

2

3

4

5

6

7

9. Para construir el tangram a escala, toma la medida de todos los lados de cada figura.

Figura Medida

Ladol

1 Lado 2

Lado 3

Ladol

2 Lado 2

Lado 3

6. Traza los siguientes segmentos

Ladol:

3 Lado 2:

3 Lado 3: Lado 4: Ladol:

4 Lado 2:

Lado 3: Ladol:


6 Lado 2:


7 Lado 2:

7 Lado 3: Lado 4:

1 0 . Dígita los datos anteriores en una hoja de Excel.

D Q H 3 D 3 D , , , ^ Fu ín' :e A 8 C

1 Figura Lado Medida 2 Lado 1

3 Lado 2

4 1 Lado 3

5 Lado 1

_— 6

Lado 2

7 2 Lado 3,

1 1 . La escala de conversión corresponde a un cuarto de la longitud de cada lado.

12.En la hoja de Excel, escribe en la celda D2 dígita =C2*(l/4) y arrastra la fórmula ubicando el cursor en la parte inferior derecha de esta celda.

sssa A 13 C» D 1 2

Figura Lado Medida (Factor de conversión 1 2

1

Lado 1 .=C2*(l/4) 3

1 Lado 2

4 5

1 Lado 3 4 5

2

Lado 1

6

2

Lado 2

7 2 Lado 3

8

3

Lado 1

9

3

Lado 2

10 3

Lado 3

11 12

3 Lado 4 11 12

4

Lado 1

13 14 4

Lado 2 13 14 4

Lado 3

15 Lado 1

16 Lado 2

172

13 . El valor resultante corresponde a la longitud de los lados de cada una de las figuras del nuevo tangram que debes construir.

14 . Con el nuevo tangram construye las siguientes figuras.

Prueba de unidad Contesta las preguntas de la 1 a la 4 con base en la siguiente información.

En una maratón se recorren 5 000 metros. Al pasar una hora de competencia cinco atletas, Jairo, Andrés, Manuel, Jorge y Enrique, seleccionados aleatoriamente, se encuentran a diferentes distancias. Jairo ha recorrido la mitad de la

3 maratón, Andrés — del recorrido reali-

4 5

zado por Jairo, Manuel — del recorrido realizado por Andrés menos 100 metros,

3 Jorge ha recorrido — del recorrido más

4 200 metros y Enrique recorrió — del recorrido realizado por Jorge.

, Para determinar el recorrido realizado por Andrés se debe efectuar la operación:

A. 5000 •

5000 • - • 60 minutos 4

V i f O 5000 • -

•J

3 4

2500 • -3

Si en la competencia continúa con la misma velocidad cada competidor, a las dos horas Jairo habrá recorrido:

A» La misma distancia de Jorge más 1 235 m más 120 m.

8, El doble de la distancia recorrida por Enrique.

€ . Una distancia mayor a la de Manuel.

D. Una distancia igual a la de Andrés más 1 00 m.

3, El orden de los competidores luego de una hora de competencia es:

A. Jairo, Manuel Jorge, Andrés y Enrique.

B, Andrés, Jorge, Enrique, Jorge y Manuel

C, Enrique, Jorge, Andrés, Jairo y Manuel

D. Jorge, Manuel, Enrique, Jairo y Andrés

La distancia que separa a Jairo y Enrique es:

A. 4 208 m

: 625 m

C, 60 m

D. 175 m

Contesta las preguntas 5 y 6 con base en la siguiente información.

El centro comercial patrocina 49 atletas, luego de una hora de competencia se obtuvo la siguiente información sobre los atletas patrocinados:

Distancia una hora de Cantidad de iniciado el recorrido competidores

1 000 m 25

1 500 m 12

2 000m

2 500m 3

5. La moda de la distancia recorrida por los competidores patrocinados luego de una hora de recorrido es:

A. 1 000 m

3- 1 500 m

2 000 m

D. 2 5 0 0 m

6. Los atletas patrocinados por el centro comercial al finalizar la primera hora de competencia se encuentran en promedio

Entre 1 300 y 1 400 m

B Entre 1 000 y 1 200 m

Prueba de unidad C Entre 1 200 y 1 300 m

Entre 1 400 y 1 500 m Contesta las preguntas 7 a la 9 con base en la siguiente información En el recorrido de la maratón se observa en una vitrina |a siguiente construcción con fichas de madrera.

8,

El poliedro con forma de árbol se puede clasificar según el paralelismo en: A, pirámide

cilindro prisma paralelepípedo

El volumen de la casa construida con fichas es:

30,9 cm 3

30,45 cm 3

2,25 cm 3

9,45 cm 3

9, La base de la casa corresponde a un cubo de volumen 4,096 cm, luego su arista mide A . l ,024cm

2,048 cm 4,096 cm

O. 1,6 cm Contesta las preguntas 10 y 11 con base en la siguiente información. En una encuesta realizada a algunos estudiantes de séptimo se preguntó: ¿cuántas horas semanales ve televisión? Los resultados fueron:

5, 3, 2, 0, 2, 6, 8, 0, 2, 10, 6, 7, 3, 4 , 5 , 7, 0, 5, 4, 2 , 4 , 5 , 4 , 0 , 1 , 4 , 4 , 2, 3 ,4 El promedio aritmético fue:

4 horas. 3, 73 horas.

3,5 horas. 3, 85 horas.

11.Se puede afirmar que la mayoría de estudiantes encuestados ven televisión solamente:

3, 5 horas. 2 horas. 3 horas. 4 horas.

A B

C

8 10 11

da

Las vacaciones y el turismo En el ú l t i m o tiempo ha aumentado la actividad tur íst ica en Colombia en los periodos de vacaciones. En el primer semestre de 2008 llegaron al país 578 707 viajeros extranjeros (por motivos diferentes a trabajo, estudio y compras personales), lo que representa un crecimiento del 3% frente al mismo periodo de 2007 cuando llegaron 561 625 turistas. De cada 1 00 turistas que llegaron en el primer semestre de 2008, 22 son de Estados Unidos, 1 ó de Venezuela, 7 de Ecuador y 5 de E s p a ñ a .

En el primer semestre de 2008 llegaron 1 27 400 turistas en 98 cruceros, lo que rep resen tó un 1 72,28% m á s que en el primer semestre del a ñ o 2007, cuando llegaron 46 820.

T a m b i é n se ha registrado un aumento en el t r á f i c o a é r e o nacional, en el primer semestre de 2007 se registraron 3 472 704 arribos a aeropuertos nacionales, un incremento del 4,7% para el mismo periodo de 2008

S e g ú n algunos estudios las razones que motivan a los usuarios a realizar sus viajes se concentran en r e c r e a c i ó n 64%, trabajo 18,4%, estudios 8%, congresos y convenciones 7% y religioso 2,6%.

Los productos tur íst icos m á s llamativos son el sol y la playa, con un 50,29%; la historia y la cultura, con 14,62%; el ecoturismo, con 1 2,28% y el turismo de aventura, con 6,43%.


i,»

Responde en tu cuaderno.

Averigua c u á l e s son los destinos tu r ís t i cos m á s importantes de Colombia.

2 . ¿ C u á l es el promedio de turistas que arribaron por crucero en 2008?

3. Completa la tabla, con base en la i n f o r m a c i ó n "razones que motivan para viajar".

Razón Para 50 personas Para 100 personas Para 200 personas

Recreación 32 64 128

Trabajo Estudios Congresos y convenciones Religioso

4. Elabora un diagrama de barras que muestre la procedencia por países de turistas, los porcentajes faltantes reg ís t ra los como "resto del mundo".

5 . Construye un diagrama circular que muestre los productos tu r ís t i cos m á s llamativos.

78

>«+ Pensamiento numérico - varíacional

Razones y proporciones Al observar la información d a d a en la a p e r t u r a , vemos que el pr imer semestre de 2 0 0 8 l legaron a las costas c o l o m b i a n a s 127 4 0 0 turistas en 9 8 cruceros , e n t o n ces, la razón entre cruceros y turistas es: 9 8 : 1 2 7 4 0 0 o

9 8

127 4 0 0

9 8

Al s impl i f icar esta fracción, tenemos :

4 9 7 1

127 4 0 0 6 3 7 0 0 9 100 1 3 0 0

La razón 1

razones

1 3 0 0

9 8

, nos hace ver que en p r o m e d i o , en c a d a crucero l legaron 1 3 0 0 turistas, las

1

127 4 0 0 ' 1 3 0 0 , son equivalentes, por t a n t o , son p roporc iona les .

C l a v e m a t e m á t i c a

Una razón es el coc iente entre dos magni tudes (característica que se puede medi r ; po r e j e m p l o , e d a d , estatura, peso, etc.) o cant idades .

a Si a y b son dos magn i tudes , la razón entre a y b , es: — o a : b y se lee a es a b.

Una proporción es la i g u a l d a d entre dos razones.

— = . Se lee a es a b c o m o c es a d . o a

a y d se l laman extremos, c y b, medios . O t r a f o r m a de escribir la proporción es:

a : d : : c : d

P ropiedad f u n d a m e n t a l d e las proporc iones : para todas las proporc iones es válido que :

a • d = c b

La cons tan te d e p r o p o r c i o n a l i d a d , cor responde al cociente entre las razones p r o p o r c i o nales.

Q TALLER Razones y proporciones a •

• M I Escribe una razón entre las magnitudes dadas.

o Precio y cantidad: ü d . Tiempo y distancia: Q

b. Edad y peso: Q e. Capacidad y masa: ^

c. Altura y talla: j=j f. Calzado y edad: ^

Averigua los precios de los siguientes artículos y escribe la razón entre la cantidad y el valor respectivo.

a . Tres galones de gasolina

b. Cinco peajes Chía-Bogotá

c. Tres bolsas de leche

d. Dos matrículas de tu colegio

e. Tres pasajes en TransMilenio

f. . Cinco carreras mínimas de un taxi

, 3, En las siguientes razones se compara la cantidad con el precio, escribe el valor unitario.

3 5 o . ti.

2 1 0 0 0 32 000

4 8 e. 2 800 72 800

2 f. 7

2 000 56 490

Durante las vacaciones, Pablo y sus amigos fueron a cine, allí se encontraba la siguiente lista de precios.

Producto Precio unitario ($)

Entrada

Crispetas

9 000

3 500

Perro caliente

Gaseosa

Brownie

4 000

2 500

1 500

Escribe la razón entre los datos dados. a . Precio de una entrada y del brownie. b. Precio de una gaseosa y de las crispetas.

Precio de un perro caliente y de la entrada. d . Precio de una entrada y del perro caliente.. e. Precio de una gaseosa y de otra gaseosa. _

>f 5 Escribe el precio de las siguientes cantidades. _ a. Tres perros calientes b. Cinco entradas c. Dos crispetas

t

d . Ocho entradas e. Diez brownies _

f. Cuatro gaseosas / " é. Escribe la razón entre las cantidades dadas y sus respectivos precios.

a . Dos gaseosas b. Cuatro brownies :

Diez entradas . d . Cinco crispetas

Dos perros calientes f. Once crispetas

y 7, Escribe la razón entre el "precio de las siguientes cantidades: a . Tres brownies y cinco gaseosas b. Ocho entradas y cinco crispetas c. Tres perros calientes y dos gaseosas d . Cinco brownies y dos entradas

Dos perros calientes y una crispeta f Cuatro gaseosas y tres crispetas —

%)) Marca con / las expresiones correspondientes a una proporción.

3 27 4 36

5 10 — y — 7 1 35

5 25 c. — y —

9 35 2 10

d . — y — 7 1 35

f.

9-

h.

2 21 9 Y 63 3,5 27,5 5,5 Y 45,5

_L JL

12 Y 36

11 Y 44 181

7

9. Escribe una proporción empleando fracciones para cada uno de los siguientes casos:

a . 2 - 1 4 = 7- 4 d. 3 -35 = 7 - 1 5

b. 5 es a 4 como 30 es a 24 e. 2 • 36 = 9 • 8

c. 2 es a 7 como 10 es a 35 f, 7 es 11 como 28 es a 44

1 0.Calcula el término o los términos desconocidos en las siguientes proporciones, empleando la propiedad fundamental.

2 _ D °- 3 - 0

5 _ D b. 8 40

1-ü

3 _ n

7 49 9- T = Í S

2 18

5 •

JL-Ü 10 30

5 25

13 39

1 9 • = 27

I I .Apl ica las propiedades derivadas de la propiedad fundamental de las proporciones, para encontrar los valores desconocidos.

c . a c a - c O I I r\ 5, _ = _ / entonces = — b, a * 0 ; b d b - d b

r . a c a + c a bi — = — , entonces = —

b d b+d b

a . a - c 8 4 a b-d 6 ' d 3 ' b

o + c 1 8 c 2 o b + d " 27'' d " 3 ; b " •

c.

d.

a - c _ 1 0 c _ 5 a b^d " T ; d ~ 3 ' b

o + c 8 c 2 o b + d " 12'' d " 5'" b ~ •

c . a c a + b c + d L ) 0 c . a c a - b c - d , , ~ Si — = — , entonces = b, d * 0 ; Si — = — , entonces —•— = b, a * (J

b d b d b d b d

L o c 8 a • e , a + b = 9 ; _ = _ ; _ = _

, c 5 a n

i O Q c 2 a g. a + b = 28; - = - ; - = f=

d 5 b

u k c 1 4 a

h . a _ b = 4 0 ; - = T ; - = n

182

c . a c a + b c + d , , n

01 — = —, entonces = o, b, c, d * 0 b d a - b c - d

L n L n a c 35 l . a + b = 9; a - b = 1; - = ~ ; — = —

b • d 28

i c + d = 27- c - d = 1 5 - - = - • — - D |. C + Cf Al, C IC>, b Q

^ 12,Soluciona las siguientes situaciones usando el teorema.

c- a c a + b c + d c . a c a - b c - d L n Si — = —, entonces = , Si _ - _ , entonces _ = _ b, a * 0 b d b d b d b d

a . La suma de dos números es 40 y están a razón de 5:3. Calcula el valor de cada número.

a + b = 4 0 ; - = -d 3

b. La diferencia entre la edad de dos hermanos es 18 años y están a razón de 5:2. Calcula la edad de cada uno.

a - b = 18 ; - = -d 2

Rincón de (a historia

Proporcionalidad

A lo largo de la historia en diferentes culturas se ha estudiado la proporcionalidad, pensadores griegos como Tales de Mileto, Euclides, Eudoxo y Eratóstenes, entre otros, escribieron al respecto.

Eratóstenes fue un astrónomo, se interesó en calcular la circunferencia terrestre. Para esto determinó primero la distancia entre meridiano y meridiano. Estando en Siena, en lo alto de Egipto, observó que al llegar el solsticio de verano (significa día con más luz en el año), los pozos eran alumbrados hasta el fondo, es decir, no se proyectaba sombra. Ese mismo día y a la misma hora en Alejandría, se proyectaba sombra. Así concluyó que la distancia entre meridiano y meridiano era 7,12 grados, o 500 estadios (medida de longitud de aquella época que corresponde al perímetro del estadio de Grecia). Con la información de la distancia entre meridiano y meridiano dedujo la circunferencia de la tierra utilizando la . . , ., 360° x siguiente proporción = .

7 o 12 500 estadios

183

y 13.Selecciona los rectángulos proporcionales, establece la proporción y la escala.

3 cm

4cm

8 cm

2cm

2cm

6 cm

4 cm

4 cm

9 cm

3 cm

1 cm 3 cm

La proporción áurea es una proporción especial. Se forma al comparar las medidas de las longitudes de las partes de un segmento, dividido de tal manera que la medida de la parte menor es a la medida de la parte mayor como esta lo es al total. Un segmento dividido así recibe el nombre de segmento áureo.

A C

+

La proporción áurea se expresa de la siguiente manera: b a + b

y la constante de

proporcionalidad es el número decimal infinito conocido como número de oro.

Dibuja tres pentágonos regulares de cualquier tamaño, pero diferentes entre sí y traza todas las diagonales.

! B

184

t En el pr imer pentágono se encuent ran segmentos áureos, ¿cuáles son?

b. Plantea la proporción áurea existente en tres segmentos encont rados y verifícala m i d i e n d o la long i tud de los segmentos y e m p l e a n d o c a l c u l a d o r a .

c, ¿En los otros dos pentágonos constru idos también se c u m p l e la proporción áurea? Justifica la respuesta.

Además de los pentágonos regulares, existen a lgunos rectángulos áureos , los cuales se han e m p l e a d o para real izar const rucciones y obras de arte.

N o m b r a los vértices de los rectángulos que se resaltan a continuación en c a d a una de las representaciones.

Mona Lisa (Leonardo Da Vinci)

a En los rectángulos encuent ra segmentos áureos, nómbralos con la notación correspond iente y a r m a la proporción.

b . ¿Todos los segmentos que f o r m a n el rectángulo son áureos? Justifica la respuesta.

S 16 .So luc iona las s iguientes s i tuaciones usando la proporción y los teoremas .

a . En las vacaciones recreativas por c a d a 3 mujeres hay 2 hombres . Si en tota l hay 9 mujeres, ¿cuántos hombres hay?

b. La di ferencia entre el costo de los pasajes en f lota de un niño y un a d u l t o es $ 1 0 0 0 0 , el p rec io de los pasajes está a razón de 3 : 2 . ¿Cuál es es costo de c a d a pasaje?

c. El peso de dos personas está a razón de 3 : 2 . ¿Qué peso t iene c a d a u n a , si la suma de sus pesos es 8 0 años?

d. El perímetro de un rectángulo es 1 6 0 , la razón entre las medidas de sus lados es 1:3. Ca lcu la su área.

e. Un a h o r r o de 1 2 0 0 0 0 0 se reparte para v ia jar y estudiar a razón de 1:3. Ca lcu la la c a n t i d a d de d inero que se destina para c a d a act iv idad

185

f. Si la distancia entre los puntos A y 8 es de 3 cm, ¿ c u á n t o s c e n t í m e t r o s mide esta longitud en una camiseta real?

La camiseta dibujada está a una escala de 1:5.

g . El siguiente plano de un apartamento está a escala de 1:1 00 , encuentra las medidas solicitadas del apartamento real.

3,25 cm 3,25 cm 3,5 cm

Alcoba 1 Alcoba 2 3cm

Cocina 3 cm

3,5 cm 3,5 cm 2,57 cm

» • >

Baño 1 cm

Sala comedor < Sala comedor < 2,5 cm

3cm 2cm Patio de ropas

6,5 cm 3.5 cm

Medida del apartamento en metros lineales o cuadrados según el caso

Largo del apartamento

Área del baño

Área de la alcoba 1

Área del patio de ropas

Área del apartamento

Descriptor de desempeño: / Plantear y resolver algunas situaciones usando las razones y proporciones.

•«» Pensamiento numérico - variacional

Ecuaciones con proporciones

La tasa aeropor tua r ia es un impuesto que se p a g a antes de v ia jar al exterior, para el 2 0 0 8 era de 120 dólares po r cuat ro personas.

Uno de los más grandes aviones de Av ianca es el Boeing 7 6 7 q u e viaja a Europa con 21 0 personas,

¿Cuánto reúne este vuelo en tasa aeroportuaria?

Para responder la pregunta se establece la s iguiente proporción 210

para su solución se 120 t

mu l t ip l ican los extremos po r los medios es tablec iendo la s iguiente ecuación: 4 • t = 1 2 0 - 2 1 0 ,

de d o n d e t = 1 2 0 - 2 1 0 = 6 300 . 4

Por t a n t o , las personas que v ia jan en el Boeing 7 6 7 y salen de C o l o m b i a , p a g a n ó 3 0 0 dólares en tasa a e r o p o r t u a r i a .

Para so luc ionar s i tuaciones u sando proporc iones se real izan los s iguientes pasos:

• Se p lantea la proporción que representa la situación.

• Se ap l ica la p r o p i e d a d f u n d a m e n t a l de las p roporc iones (p roducto de extremos igual al p r o d u c t o de medios) .

• Se so luc iona la ecuación resultante.

O TALLER Ecuaciones con proporciones O o ° 1 , Teniendo en cuenta las s iguientes p roporc iones , escribe la ecuación cor respondiente .

a . 4 _ 7

r 45

d. 10

P

12 11

b. 3 . 11

12 d

e. 14 27

23 t

c. a 4 ~

23 40

f. 2 f

23 14

• _ • 8 12

12 • • = f

P 0 3 •

188

f 2. Teniendo en cuenta las siguientes ecuaciones, completa los espacios en las respectivas proporciones.

a. 5f = 2 x 3; ¿ = JL d. 12r = 8 • ó;

4m = 12 • 5; A = ^ e. 12f = 3 • 1 7;

4 • n 5

c. 10a = 5 • 13; H = - f. 1 lp = 3 - 1 5 ; U °

v 3, Escribe las proporciones que corresponden a las siguientes ecuaciones. 12g = 3 • 20 d. 20k = 5 -15

8p = 12 • 5 e. 5n = 14 • 4 c. 9h = 20 • 3 f- 23d = 2 - 1 1 Soluciona las siguientes proporciones.

p 5 5 s w 3 a. — = — c. — = — e. — = —

12 4 8 10 20 7

b. 11 = 3 d . 12 = 5 ¿ 10 = j _ 9 r q 3 ó 12

? S, Escribe la proporción que representa las siguientes situaciones. o. Por cinco personas en una cabana, se paga $ 225 000. ¿Cuánto pagan once?

En un restaurante cobran $ l ó l 000 por siete platos de comida. ¿Cuántas personas comen con $ 1 15 000?

c. Para seis personas se utilizan cuatro frascos de jarabe. ¿Cuántos jarabes se necesitan para 15 personas?

d . Con $ 5 600 se compran helados para siete personas. ¿Cuántas personas consumen helado con $ 1 7 600?

e. Por cada tres personas se hace un descuento de 5%. ¿Qué descuento se hace por 1 0 personas?

6, En un parque de diversiones cada cinco segundos la rueda da dos vueltas, ¿cuántas vueltas dará en diez segundos?

y 7, En el parqueadero de un centro comercial por cada 1 5 minutos se pagan $ 900, ¿cuántos minutos corresponden a $ 4 500?

S En un restaurante se encuentra la siguiente promoción: por $ 3 000 de pan, lleve gratis dos panes. ¿Cuántos panes corresponden por $ 9 000?

y 9, En un concierto se asigna un policía por cada 150 personas. ¿Cuántos policías se asignan si asisten 1 350 personas?

Descriptor de desempeño: / Establecer ecuaciones usando proporciones y aplicarlas en la solución de problemas.

»# Pensamiento numérico - variacional

% Proporción directa

Los campamentos son una buena alternativa para compartir las vacaciones con familiares y amigos.

En el centro recreativo mar y sol, el valor del alojamiento en carpa, una noche, es de $ 12 000, ¿ c u á n t o vale el alojamiento para 2, 3, 4, 5 ó ó personas respectivamente?

Realicemos una tabla de valores y un gráfico con

la anterior situación.

Personas Valor en pesos

1 12 000

2 24 000

3 36 000

4 48 000

5 60 000

6 72 000

Valor

Personas

Observa que al aumentar las personas aumenta el valor proporcionalmente. Las magnitudes que representan el n ú m e r o de personas y el valor al ubicarlos en un plano describen una recta.

Clave matemática

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una la otra t a m b i é n aumenta o disminuye.

189

O T A L L E R Proporción directa O o

Las g r á f i c a s corresponden a magnitudes directamente proporcionales, completa cada tabla y g r á f i c a .

a . Valor

" Y 4 000 000 -

3 500 000 -

3 000 000 -

2 500 000 -

2 000 000 -

1 500 000 -

1 000 000

500 000 X

Personas

Costo de una carpa de 4 per

sonas

1 2 6 7

Precio 540 000 1 080 000 3 240 000 3 780 000

b.

Valor

70 -* Y \ ;

I

I

!

j

¡

X

Personas

Cantidad de carpas iguales

1. 2

Número de personas acomodadas.

6 12

Valor

2 450

2100

1 750

1 400

1 050

700 - |

350

y

15 20 25 30

Cantidad de niños de 15 igual estatura y peso

Número de personas 457,5 acomodadas.

-1— r

35 40

30

915

45

X 1 1 • 50 55 Personas

45 50

1372,5

Valor

8 .

2_

6 _

0_

4 _

8 _

2_

6 _

- - - - - - - - I - - - — í — - i — 4—i— --- . . . . --4— --4— --- . . . . . . --- --4— . . . ---:--4---8 .

2_

6 _

0_

4 _

8 _

2_

6 _

8 .

2_

6 _

0_

4 _

8 _

2_

6 _

I ! !

8 .

2_

6 _

0_

4 _

8 _

2_

6 _

> í I i

8 .

2_

6 _

0_

4 _

8 _

2_

6 _

— - i — i — ' — [ — 1 — 4 — i — --- - - - - - - - - - - - - - •-— i — i — - - - . . . . . . . . . - - - - - - . . .

8 .

2_

6 _

0_

4 _

8 _

2_

6 _

8 .

2_

6 _

0_

4 _

8 _

2_

6 _

i — ¡ — i — i —i i X

1 >-4 Personas

Tiempo

Distancia recorrida en la caminata con paso constante.

hora

0,6 km 24

¿Qué tienen en común las gráficas?

Recuerda: La constante de proporcionalidad directa corresponde al cociente entre dos magnitudes directamente proporcionales.

3- hora

3,6

191

Calcula la constante de proporcionalidad para cada una de las situaciones anteriores.

,)) 2. Realiza parejas de magnitudes directamente proporcionales, no todas las magnitudes tienen pareja.

Tiempo P e s o Precio D i n e r o d e l b a n c o

Numero de vasos Cantidad de personas Distancia

Retiro Cantidad de artículos

Cantidad de cajas Capacidad

? 3 . Selecciona una pareja del punto anterior, completa la tabla y realiza la gráfica.

; X 1 1 í i i í—*-

4 , Escribe F o V según corresponda y justifica la respuesta

a . El cociente entre dos magnitudes proporcionales directamente no es constante ( )

b . Las magnitudes cantidad y valor de los artículos son directamente proporcionales ( )

C . Las magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una la otra disminuye ( )

5. Escribe proporciones que relacionen cada una de las siguientes magnitudes, luego elabora la tabla y una gráfica que ¡lustre cada situación.

a . Una flota recorre 50 kilómetros en una hora, continúa con la misma velocidad todo el recorrido y en tres horas recorre 150 kilómetros el total del recorrido es 650 kilómetros.

b . Cinco cuadernos pesan 3,75 kilos, tres cuadernos ¡guales pesan 2,25 kilos. En total hay 8 cuadernos.

192

C. Una máquina produce 30 lápices en 10 minutos, 60 lápices en 20 minutos. En un día la máquina se prende una hora.

^ 6. Observa las diferentes tablas de valores y soluciona las situaciones de la a la c.

Precio 2 4 6 8 10 12

Colores 2 500 5 000 7 500 10 000 12 500 15 000

Horas de trabajo

2 4 6 5 10 20

Cantidad de empleados

150 75 50 60 30 15

Peaje 3 4 5 6 7 8

Precio 18 600 24 800 31 000 37 200 43 400 49 600

Participantes 2 3 4 5 6 7

Curso 60 000 90 000 120 000 150 000 180 000 210 000

a . Determina el cociente entre cada par de magnitudes.

b. ¿Cuáles magnitudes son directamente proporcionales? Justifica la respuesta.

c. Realiza la gráfica de las magnitudes directamente proporcionales.

d. Para las magnitudes que son directamente proporcionales escribe una expresión que modele el crecimiento de una magnitud con respecto a la otra.


/ Aplicar la proporcionalidad directa en la solución de problemas. 193


% Proporcionalidad inversa La t ronca l de la Costa es una de las mejores carreteras del país, une las pr incipales c iudades del C a r i b e . Obse rvemos el t i e m p o de viaje entre Barranqui l la y Santa M a r t a a dete rminadas veloc idades , a lgunas son imposibles de alcanzar, pues el límite actua l de v e l o c i d a d en carretera es 1 2 0 k m / h .

£\ viajamos al límite de velocidad permitido, ¿cuál es la duración del viaje?

Velocidad (km/h) 11

Tiempo (h) Velocidad (km/h)

1 200

2 100

2,5 80

4 50

8 25 ? 120

r 1 2 3 4 5 6 7 8 Tiempo

Observa que al d isminui r la v e l o c i d a d , a u m e n t a el t i e m p o . Al ub icar 120 km/h en la gráfica, 2

vemos que el t i e m p o cor respondiente es de 1- h, es deci r 1 hora y 4 0 minutos. 3

Clave matemática • Dos magni tudes son inversamente proporcionales c u a n d o al aumenta r una de ellas la

otra disminuye, o c u a n d o al disminui r una de ellas la otra a u m e n t a . El p roducto entre ellas es s iempre constante, a este va lor se le d e n o m i n a constante de p r o p o r c i o n a l i d a d inversa.

Observa que la constante de p r o p o r c i o n a l i d a d de la anter io r situación es 2 0 0 , al mu l t i p l icar los valores de c a d a fi la el resul tado es 2 0 0 .

O T A L L E R Proporcionalidad inversa O o ° 1 . Escribe si las siguientes magn i tudes son di recta o inversamente p roporc iona les .

a . Precio de un l ibro y c a n t i d a d de l ibros que puede comprar .

b. Precio de un c u a d e r n o y c a n t i d a d de cuadernos q u e c o m p r a .

c. Precio de un galón de gaso l ina y c a n t i d a d de galones que puede tanquear .

d . Kilómetros recorridos y tiempo que tarda en recorrerlos.

e . Velocidad y tiempo en recorrer una distancia

Completa las siguientes tablas y construye la gráfica de cada situación, la primera fila corresponde a la variable X, la segunda a Y. Determina si es inversamente proporcional.

a . Precio de entrada a una piscina.

Cantidad de personas 1 2

Precio ($) 12 000 6 000 4 000 3 000 2 400

12 000 _

10 500 _

9 000 _

7 500 _

6 000

4 500 . .

3 000 _

1 500

Y

X

b . Velocidad y tiempo en recorrer cierta distancia

Tiempo (minutos) 60 30

Velocidad (km/h) 20 40 60 80 100

100 -

90

80

70

60

50

40

30

20

10

X T 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1

12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64

c. Cantidad de litros para un grupo de personas.

Personas 2

Litros 16 8 4 2 1

16

14

12

10

8

6

4

2

T T T T T 32

X

12 16 20 24 38

d. Páginas por día para la lectura de un libro.

Días 2 4 6 10 16

Páginas 180 Páginas 180

3. Encuentra la constante de proporcionalidad inversa de las magnitudes del anterior ejercicio.

a . b. c. d. 4. Para cada gráfica construye una tabla donde ubiques cinco valores e inventa una situa

ción con cada magnitud, de tal forma que sean inversamente proporcionales.

a .

Constante de proporcionalidad:

b.

Constante de proporcionalidad:

197

7" 5. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta. a. Si dos magnitudes aumentan, son directamente proporcionales._

b. Si una magnitud aumenta y la otra disminuye, son directamente proporcionales.

C# Si dos magnitudes disminuyen, son inversamente proporcionales._

d . Si una magnitud disminuye y la otra aumenta, son inversamente proporciona-. les.

e. La constante de proporcionalidad inversa hace referencia a las magnitudes inversamente proporcionales.

f. La constante de proporcionalidad directa hace referencia a las magnitudes directamente proporcionales.

y 6, El papá de Camila tiene cierta cantidad de dinero, si tanquea un galón le queda en su billetera $42 000.

a. ¿Cuánto dinero le queda si tanquea 2,5 galones?

b. Si tanquea con $10 500 , ¿para cuántos galones alcanza?

Y~ 7. Luisa pronto finaliza el periodo de vacaciones. Ha transcurrido — del periodo de vacaciones y le quedan cuatro días de vacaciones. • 2

a. Si ha transcurrido _1, ¿cuántos días le quedan de vacaciones?

b. Si le quedan 14 días, ¿qué fracción ha transcurrido?

f 8. La mamá de Julián le regaló un rompecabezas de 2 000 fichas para que lo armará durante las vacaciones. Si dedica una hora diaria, necesitará de doce días para finalizar.

a. Si dedica tres horas diarias, ¿cuántos días necesitará?

b. Si en dos días arma el rompecabezas, ¿cuántas horas le dedica al día?

9. Durante las vacaciones, Felipe entrena para la compe- -tencia de atletismo de su barrio. En la primera hora de I

entrenamiento recorre 30 hectómetros.

a. A la tercera hora, ¿cuántos metros recorre?

b. ¿A cuántas horas de entrenamiento, recorre cinco hectómetros?

1 0 . Plantea y soluciona un problema usando la proporcionalidad inversa.

r

Descriptor de desempeño: 198 / Aplicar la proporcionalidad inversa en el análisis y solución de situaciones problema.


• Regla de tres simple directa La isla de San A n d r é s es un excelente lugar para pasar vacaciones, está catalogado por las Naciones Unidas como reserva mundial de la biosfera, a d e m á s de sus coloridas playas, sus exó t i cos paisajes y el calor de su gente la convierten en un destino tu r í s t i co .

Air Colombia ofrece el siguiente paquete de 4 noches con todo incluido (tiquetes, a l i m e n t a c i ó n , hospedaje en un excelente hotel, traslados a los sitios, impuestos, etc.)

>tf> • *

Air Colombia 4 noches

ADULTO 1 029 000

NIÑO 825 000

¿Cuá l es el precio del plan adullo para una

semana?

Para resolver la s i t u a c i ó n , planteamos la siguiente p r o p o r c i ó n y aplicamos el principio b á s i c o de proporcionalidad.

Cantidad de noches Valor del plan

4 1 029 000

X

4_ 7

1 029 000 1 029 0 0 0 - 7 . Q n _ —» x = = I oUU /OU

x 4

Por tanto, las siete noches en plan adulto cuestan $ 1 800 750.

La regla de tres es una de las aplicaciones de la p r o p o r c i ó n , donde se puede hallar un t é r m i n o desconocido a partir de tres t é r m i n o s conocidos.

a _ c b ~ x

son t é r m i n o s conocidos a, b, c, el t é r m i n o desconocido x se encuentra aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y solucionando la e c u a c i ó n .

a • x = b • c

199

TAL.L.GR Regla de tres simple directa O o ° f 1. Lee cada situación, completa los espacios vacíos en su solución y determina la respues

ta.

a. La mensualidad de un curso de música es de $ 60 000 por persona ¿Cuál es el costo del curso para 15 personas? /

Cantidad de personas

Precio

1 $ 60 000

X

15 • n=i-x = X

Cálculo

b. El costo de un curso de natación para tres personas es $ 1 35 000. Si el costo del curso es $315 000, ¿cuántas personas asisten al curso?


Precio 3-315000= -x + = X

Cálculo

3

$315 000

x = 7

Cálculo

c. Un nadador profesional recorre 100 metros en tres minutos. ¿Cuántos minutos emplea para recorrer 350 metros? (La velocidad es la misma).

Recorrido Tiempo

100

100 • x = _ • Cálculo _ + = x

= X

d . Una persona gasta en transporte $ 7 000 cada tres días. ¿Cuánto dinero gasta en 5 días, al mantener igual gasto en transporte?

Gasto en transporte

Días •X

+ =x Cálculo

x =

X

Los — de I a capacidad de un tanque equivalen a 255 galones.

del tanque equivalen 1 70 galones?

Capacidad de la botella

Galones 5

Cálculo

f . En Bogotá se ofrecen actividades recreativas gratuitas todos los domingos. En dos horas de aeróbicos suenan 24 canciones. Al colocar igual número de canciones, ¿cuántas canciones se escuchan en las ó horas de aeróbicos en la ciclovía?

Cantidad Número de • x = • Cálculo de horas canciones X = -r

2 24 X =

6 X

Soluciona las siguientes situaciones.

a . Una moto recorre 145,5 km con 2 galones de gasolina. ¿Cuántos kilómetros recorre con 9 galones de gasolina?

b. Para el lanzamiento de las actividades vacacionales se obsequia por cada 15 envases de gaseosa 2 bonos de refrigerio. Si se entregan 180 envases de gaseosa, ¿cuántos bonos de refrigerio se obsequian?

c. El costo de los cursos vacacionales ofrecidos por una caja de compensación son proporcionales a la edad. Una persona de 1 4 años paga $112 000 ¿Cuánto dinero se paga por un niño de 5 años?

d . Tres pelotas de tenis pesan 105 g. ¿Cuánto pesan 1 7 pelotas?

3 e . En un mapa — de centímetro equivale a 12 kilómetros. ¿Qué distancia real repre-

5 senta — de centímetro?

8 f . En vacaciones hay lleno total en todas las funciones del circo. En dos funciones in

gresan 506 personas. ¿Cuántas personas ingresan en 12 funciones?

Las vacaciones también son un buen momento para aprender sobre cocina.

Consulta los ingredientes para preparar un postre para cinco personas. Escríbelos en la tabla.

¿Qué cantidad de ingredientes se requieren para preparar el postre anterior para 35 personas? Emplea la regla de tres directa, para contestar la anterior pregunta y registra los procesos en tu cuaderno.

f 4. Realiza una correspondencia entre la regla de tres y el valor de la x.

A 4 5 ( ) X = 13,71

2 = X

B "j 2 X ( ) X = 1 4 , 4

" 6

12 ( ) X = 2 , 5

v

7

S 5 . Inventa una situación para la información registrada en cada una de las tablas y resuélvela.

a . Cantidad Precio b. Pasos Distancia

3 $ 17 400 50 2 500 cm

X $75400 77 016 X

Libros Páginas

5 1315

X 4471

tiempo Producc ión de una maquina

11/2 h 30

6 h X

y 6 . Por una compra de $ 45 800 se paga un impuesto adicional (IVA) que corresponde a $ 7 328. Si la factura es por $ 127 600,

a. ¿Cuál es el IVA del producto?

b. Si el IVA es $ 8 000, ¿cuál es el costo total del producto?

c. Si una compra se factura por un total de $156 350, ¿cuánto se pagó de IVA?

Descriptor de d e s e m p e ñ o :

/ Utilizar la regla de tres simple en la solución de situaciones problema.

» Pensamiento numérico - variacional

Regla de tres simple inversa El Burj Al Arab es un hotel de lujo donde los más ricos y poderosos pasan sus vacaciones. Se encuentra sobre una isla artificial, es el único hotel 7 estrellas, tiene una altura de 321 m y 202 habitaciones suites.

La construcción comenzó en 1994 y se proyectaba terminarlo en el año 2000, contando con 2 500 obreros. Sin embargo, este tiempo tuvo que reducirse un año. ¿Cuántos obreros necesitaron para terminar el hotel en este tiempo?

En la situación se observa que entre más personas trabajen, menos tiempo se demora la construcción del hotel; es decir, las magnitudes son inversamente proporcionales.

Se plantea la siguiente regla de tres:

Años Obreros

ó • 2 500

5 • X

Aplicando la constante de proporcionalidad inversa obtenemos: ó • 2 500 == 5x; solucionando la ó • 2 500 15 000 . n n „

ecuaciontenemos x = = = J UUU ;esáecir,elhotelseconstruyoen5anoscon 5 5

3 000 obreros.

Para solucionar situaciones utilizando una regla de tres simple inversa se realizan los siguientes pasos:

• Se plantea la regla de tres simple inversa.

• Se aplica la constante de proporcionalidad inversa (se iguala el producto constante entre los valores de las magnitudes correspondientes).

• Se soluciona la ecuación resultante.

O TALLER Regla de tres simple inversa O o 0

1. Escribe los números que faltan teniendo en cuenta la regla de tres simple inversa dada,

a . Velocidad Tiempo b. Obreros días

35 ^ 2 0 15 • 40

45 •X X • 70

30-D=Dx i5 -D = Dx 203

c. Litros Kilos perdidos d . Gastos Pesos

10 • 4 9 • 5 000

25 x x • 1 000

1 0 - D = D x 9 - D = D x 2 . Escribe las ecuaciones para la regla de tres simple inversa dada.

a . Velocidad Tiempo b . Obreros Días

42 • 30 8 • 70

15 • x x >• 25


24 • 9 10 • 1 000

10 *• x x : • 4 500

7 3 . Soluciona las siguientes reglas de tres simples inversas.

a . Velocidad Tiempo b . Obreros Días

22 • 60 12 > 30

> 30 < > ^ x x _ > 60 >


9 • 5 9 — • 2 000

15 • x x »• 500

Plantea la regla de tres simple inversa para las siguientes situaciones: f '

</" 4. Paula pierde cinco kilos por ocho litros de agua que toma.

a . ¿Cuántos litros debe tomar si quiere perder doce kilos?

b . ¿Cuántos kilos perdió si tomó 20 litros?

y 5 . Cinco personas arman un rompecabezas en seis horas.

a . ¿Cuántas horas gastan tres personas para armar el rompecabezas?

b . ¿Cuántas personas tardan diez horas en armar el rompecabezas?

y 6. Durante el recorrido a la finca, Andrés tanqueó el carro con cinco galones y le quedó en su billetera $15 000.

a . ¿Cuánto dinero le queda si tanquea tres galones?

b . Si le quedan $20 000, ¿cuántos galones tanquea?

y 7. Daniela tiene $ 4 500 y con este dinero puede comprar seis cuadernos.

a . ¿Cuántos cuadernos puede comprar si tiene $ 3 000?

b. Si compra diez cuadernos, ¿cuánto dinero tiene Daniela?

y (S) Juan Pablo y sus padres tardan cuatro horas en armar un rompecabezas.

¿Cuánto tiempo tarda Juan Pablo y su hermano?

9. Si han pasado dos días, le quedan a Rocío nueve días para leer un libro.

y a . Si han pasado seis días, ¿cuántos días le quedan para leer el libro?

b . Si le quedan tres días para leer el libro, ¿cuántos días han pasado?


/ Analizar y solucionar situaciones usando la regla de tres simple inversa.

J


Proporción compuesta

Las b ib l iovacac iones son las act iv idades of recidas por la red de bib l iotecas públicas durante las vacac iones escolares, entre ellas se encuent ran las expos ic iones, tal leres de robótica, concier tos , m a n u a l i d a d e s , ludotecas , entre otros.

El m o n t a j e de una exposición en una b ib l ioteca con 3 2 obras de arte gasta 5 días t r a b a j a n d o 2 horas diar ias en esta ta rea . ¿En cuantos días se p u e d e organ i zar una exposición de 4 8 obras t r a b a j a n d o 5 horas d ianas?

Clave matemática

Biblioteca Virgilio Barco - Bogotá, D.C.

En s i tuaciones de p r o p o r c i o n a l i d a d en las que intervienen más de dos magn i tudes se d e n o m i n a situación de p r o p o r c i o n a l i d a d c o m p u e s t a . Si una de las magni tudes que intervienen en la p r o p o r c i o n a l i d a d compues ta es una incógnita, se e m p l e a la regla de tres compues ta para so luc ionar la s igu iendo estos pasos.

• Se organiza la información en una tab la de datos .

• Se c o m p a r a la m a g n i t u d de la incógnita c o n las otras magn i tudes para dete rminar si las magn i tudes son di recta o inversamente p roporc iona les .

• La regla de tres compues ta se clasif ica en d i recta , inversa o mixta y se p r o c e d e según el caso.

En el e j e m p l o a p a r e c e n tres magn i tudes : c a n t i d a d de obras , días y número de horas. Vemos que las dos pr imeras son d i rectamente p roporc iona les , las dos últimas son inversas (si a u m e n t o las horas diar ias de t r a b a j o reduzco el número de días), po r t a n t o , esta situación se resuelve a p l i c a n d o una regla de tres compues ta mixta:

Cantidad de Díds Numero de Magnitudes obras horas Cantidad de obras - días (directamente proporcional)

3 2 ^ r 5 • 2 días + Número de horas (inversamente proporcional)

• 5 Se aplica la propiedad fundamental de la proporcionalidad

Por tanto, se requieren 3 días.

directa e inversamente proporcional (indicada con las flechas)

32 x-5 = 48-5-2

x-160 = 480

x = 3

O TALLER Proporción compuesta O o°

},,,) 1, Soluciona las siguientes situaciones, completando los espacios en blanco.

Regla de tres compuesta directa

a . Cuatro paquetes de papel para origami con 50 hojas cada uno cuestan $ 2 400. ¿Cuánto cuestan siete paquetes con 20 hojas cada uno, si el precio de cada hoja es el mismo?

Cantidad de paquetes

Precio Número de hojas de hojas

Magnitudes Cantidad de hojas - Precio (Directamente )

4 \ _ ^ > » - 2 400 ^ ^ r50 Precio - Número de hojas (Directamente )

7 -20 Se aplica la propiedad fundamental de la proporcionalidad directa (indicada con las flechas)

4 • x • 50 = 7 • -20

x • _ _ = 336 000

x =

b. En un banco por un capital de $ 80 000 se produce un interés de $ 2 000 en 80 días. En 15 días, ¿cuál será el interés producido por un capital de $ 1 520 000?

Días Interés * Capital Magnitudes

80 80 000 Cantidad de días - interés ( proporcional)

X Interés - Capital ( proporcional ) • x-80000 = • 2 000 •

x • 1 600 000 =

x =

Interés - Capital ( proporcional ) • x-80000 = • 2 000 •

x • 1 600 000 =

x =

c . El costo de cinco cajas de dulces con 36 unidades es de $ 9 000. ¿Cuánto cuestan siete cajas de 12 unidades?

• • • ¡ • • • • I Cajas Costo Dulces Magnitudes

Cajas - Costo ( proporcional)

Costo-Dulces ( proporcional )

_ - x - _ = _ - -12

x•180 =

x =

Regla de tres compuesta inversa

d. El Banco de la República ofrece talleres sobre manipulación e historia de los billetes. Un grupo de 35 participantes al taller de historia del dinero analizan en 1 5 días 1 50 billetes diferentes, ¿en qué cantidad disminuirá el número de billetes para analizar, si en el momento de iniciar el taller los asistentes se incrementan a 45 y se amplía el tiempo a 25 días?

Magnitudes

Asistentes - Billetes ( ( proporcional)

Billetes - Días ( l ( proporcional)

35-150-15 = _ x

x • =

x = _

Asistentes Billetes Días

35 *• 150 • 15

45 >• x *- 2 - Í )

e. En el taller de robótica 1 0 niños hacen en 1 5 días un robot trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días emplearán 1 2 niños haciendo el mismo trabajo durante 5 horas dianas?

•JMBMBJMAHHpBHBBHAttSS ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 'f-MBMHHMHHMMBMMMHMHffiHBMBBM

Niños Días Horas diarias Magnitudes

10 15 8 Niños - Días ( proporcional)

12 x 5 Días - Horas diarias ( proporcional )

_ - _ • _ = 12 • _ • x

= x •

X =

f, Mónica, Johana y Ana María diseñan su banderín scout, trabajando 45 minutos durante tres domingos. Si a la actividad se unen cuatro jóvenes más, ¿cuántos minutos deberán trabajar durante cuatro domingos?

Personas Minutos Días Magnitudes

Personas - minutos ( proporcional)

4 Minutos-días (

3-

proporcional)

_ = - 4 - x

y 2 . Clas i f ica las siguientes s i tuaciones en directas o inversas, escr ib iendo el número del ejerc ic io en el espacio cor respondiente y soluciónalas en el c u a d e r n o .

Regla de tres simple directa Regla de tres simple inversa

a . Los proveedores de refr igerios para las b ib l iovacac iones e m p a c a n 1 2 0 litros de jugo durante 8 días, t r a b a j a n d o a razón de 1 8 horas d iar ias . ¿Cuántos litros empacarán en 3 8 días a razón de 12 horas diar ias?

b . En un tal ler de plast i l ina un g r u p o de ó niños emplea 2 horas para diseñar 8 muñecos. Si el g r u p o a u m e n t a la cant idad de niños en 8 y se amplía el t i e m p o a 5 h o ras, ¿en cuánto disminuirá el número de muñecos por niño?

Una regla, de -fres compuesta es moda cuando en ella intervienen magnitudes

directamente proporcionales e inversamente proporcionales.

y 3 . C o m p l e t a los espacios en b l a n c o .

a . Para un concurso un g r u p o de niños hace una pancar ta de 3 metros de la rgo y 2 0 c m de a n c h o en 8 días¿ Cuál es a h o r a el la rgo de la pancar ta si el a n c h o es de 3 0 c m y el plazo para ent regar la al concurso es de ó días? ¿Cuál es la di ferencia entre el a n c h o de las dos pancartas?

Días Largo

3

X

Ancho

20

30

Magnitudes

Días - Largo: i

Largo - Ancho : (

8-x-30 = 6 3-

. proporcional)

. proporcional)

x

x = .

= 360

b . Una act iv idad especial para vacac iones es hacer manualídades, mani l las , aretes, etc. Julián para e l a b o r a r una mani l la teje 8 metros de hi lo durante 5 días t r a b a j a n d o 1 0 minutos diar ios . ¿Cuántos minutos deberá t raba ja r durante 1 0 días para tejer 12 metros de hi lo?

Hilo Minutos Días Magnitudes

Hilo - Minutos : ( proporcional

X Minutos - Días : ( proporcional

x -10 = _ _ - 5

x- =

x =

c. Siete promotores de lectura organizan durante 15 días, 75 actividades de lectura en temporada de vacaciones escolares, ¿cuántos días son necesarias para que 15 promotores de lectura planeen 1 10 actividades? •

Promotores Días Actividades Magnitudes

Promotores - Días son ( proporcionales)

Días-Actividades ( proporcionales)

_ - 1 5 _ = _ x _

= -x

x =

Maquinas Días Horas

9 8 7

5 X 11

4. Contesta falso o verdadero teniendo en cuenta la tabla anterior y justifica tu respuesta.

a. A mayor cantidad de máquinas más días.

b. A mayor cantidad de días menor cantidad de horas.

c. 5 máquinas hacen la producción en 1 1 días.

d. La situación corresponde a una regla de tres compuesta inversa.

y 5. Inventa una situación para cada tabla y soluciónala.

a.

Fotos Días Horas

150 15 10

80 X 6

2 0 9

c.

120

500

8

X

5

7

Maquinas

25

Peso

130

Personas

5

12

Fotos

X

Días

7

Horas

150

80

15 X

10

6

Fotos

150

80

Días

15

X

Horas

10

6

6 . Resuelve los siguientes problemas.

a . Un granjero compra 3 bolsas de 15 kilos de m a í z para alimentar a 420 aves de corral durante un mes. Se han vendido 70 aves y a las que quedan les van a dar el doble de la r a c i ó n diaria.

¿ C u á n t o s kilos necesita para alimentarlas durante dos meses?

' b. En una f á b r i c a 5 m á q u i n a s llenan 7 200 envases en ó horas. ¿CuántS 's envases l l e n a r á n 7 m á q u i n a s en 8 horas?

c. Cuatro j ó v e n e s en un campamento de 10 d ías han gastado $ 85 000. En las mismas condiciones ¿ c u á n t o g a s t a r á n ó j óvenes en un campamento de 15 d ías? •

d. Quince obreros trabajando ó horas diarias tardan 30 d ías en realizar una tarea. ¿ C u á n t o s d ías t a r d a r á n en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

e. Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una p o b l a c i ó n que está a 60 km de distancia una empresa de transporte ha cobrado $ 9 000. ¿ C u á n t o me c o s t a r á enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia?

f. Cinco m á q u i n a s embotelladoras envasan 7 200 litros de aceite en una hora. ¿ C u á n tos litros e n v a s a r á n 3 m á q u i n a s en dos horas y media?

g. Cincuenta terneros consumen 4 200 kg de alfalfa a la semana. ¿ C u á n t o s kilos de alfalfa se n e c e s i t a r á n para al imentara 20 terneros durante 15 d ías?

h. Un taller de c o n f e c c i ó n , trabajando 8 horas diarias, tarda 5 días en hacer un pedido. ¿ C u á n t o t a r d a r í a en hacer el mismo p e d ¡ d o t r a b a ¡ a n d o 10 horas diarias?

Descriptor de desempeño: / Emplear la regla de tres compuesta en la solución de situaciones problema.

"* Pensamiento numérico - variacional

Repartos proporcionales

Para las vacaciones Andrés, Yenny y Marcela deciden reunir algunos dulces y luego de venderlos comprar 100 dulces más, para hacer un reparto directamente proporcional entre ellos, de acuerdo con la cantidad de dulces aportados por cada uno. Andrés aporta diez dulces, Yenny 1 ó y Marcela 1 4. ¿Cuántos dulces le corresponden a cada uno?

Para solucionar la situación se establece la siguiente igualdad de

razones 10 _b_ 16

; aplicando la propiedad fundamental de

las razones tenemos

a + b + c to,

14 a + b + c

10 + 16 + 14 " a b e

TO ~ 16 ~ 14

a To

_b_ 16

— ; por tan-14 H

10 + 16 + 14

Para encontrar los valores a, b y c se solucionan las siguientes reglas de tres simples directas.

100 a 40 To

100 b 40 16

100 c 4JD „ 14

1 0 0 - 1 0 1 000 40 40

100 • 1 ó 1 600

40 40

100 • 14 1 400

40 40

= 25

= 40

= 35

Es decir, Andrés recibirá 25 dulces, Yenny 40 y Marcela 35.

Si el reparto hubiera sido inversamente proporcional, se tendría a - 1 0 = b • 16 = c • 14 = k ;

aplicando la propiedad tenemos a • 10 = - y - ; b • 16

de donde

entonces,

a T 10

10

por tanto, le =

_b_ J_ 16

_ b _ " J _

16

100 131 560

c J _ ' 14

c

14

1 0 0 -

10

a + b + c

X 7 T 7 T 10 16 14

a + b + c

± + ± + ± 10 16 14

16

; c - 1 4 c

14

k ,

= k

560 56 000 131 131

= 427 ; es decir, k = 4 2 7 .

211

Para encontrar los valores a, b y c se so luc ionan:

4 2 7 — = 4 2 7 , de d o n d e , 1 Oo = 4 2 7 ; a a J _ 10

• - f - = 4 2 7 , de d o n d e , 16b = 4 2 7 ; b b

16

c

14

4 2 7 , de d o n d e , 14c = 4 2 7 ; c

10

4 2 7 16

4 2 7 14

= 4 2 , 7

= 2 6 , 7

= 3 0 , 5

Clave matemática

Para realizar un repar to proporc iona l directo de cierta cant idad D entre nú

d j- = — donde b c

meros a, b y c, se encuentran cant idades d , e y f tales que d + e + f = D.

Realizar un reparto proporc iona l inverso de una cant idad a, b y c es igual a repartir la cant idad en partes directamente proporc iona les a los inversos de los números dados .

O TALLER Repartos proporcionales O o®

f¡g^ 1 . Comp le ta los espacios para los siguientes repartos proporc iona les ,

a . 9 8 0 directamente proporc iona l a 2, 4 y 8.

9 8 0 o _ b c

• + 4 + D 2 4 8

9 8 0 a _ Q ; 2 _ • — —; a

14 2 14

9 8 0 _ b . • • 4 14 4 14

9 8 0 c • • 8 _ • _ 14 8 14 •

b . 1 260 directamente proporcional a 3, ó y 1 1

1 260 = a = b c_

• + • + • 3 6 11

1 260 = o • - • = • n 20 3 ' 20 • U

1 260 _ b . 20 " 6 ' 20 • U

20 11 20 •

C. 589 inversamente proporcional a 2, 4 y 5.

a b c a + b + c 589 589 " T =

• 4 • 2 • 5 - • +

20 • • •

a T 2

= 620 , de donde, • • a = 6 2 0 ; a = • _ • 0

b 1

4

= 6 2 0 , de donde, • - b = 6 2 0 ; b = • _ 0" •

c T 5

= 620 , de donde, • • c = 6 2 0 ; c = n_ • "

•

d . 720 inversamente proporcional a 3, 6 y

a b c a + b + c

10.

720 _ n 1 3

1 -1 1 + 1 + 1 • 6 10 • • •

+ • + •

0 • a T 3

= 1 200 , de donde, [ ] • a = Q- a = • _ n ~ •

b 1 6

= 1 2 0 0 , de donde, [ ] • b = • ; b = • _ •

c T

- = 1 2 0 0 , de donde, [ ] • c = [ ] ; c _ • "D =n

U 19 U

10

213

r

f 2 . Realiza los siguientes repartos directamente proporcionales.

a . 1.200 entre 4, 5 y ó

b . 2 500 entre 2, 8 y 10

c. 420 entre 2, 3 y 5

d. 1 20 entre 2, 4 y ó

"7 3 . Realiza los siguientes repartos inversamente proporcionales.

a . 2 275 entre 2, 3 y 4

b. 3 040 entre 3, 5 y 1 0

c. 3 850 entre 3, ó y 9

d. 3 500 entre 5, 1 0 y 20 y 4, Andrés, Blanca y Catalina compraron 150 duraznos-y desean repartirlos de

con la cantidad de dinero que cada uno aportó. Si Andrés puso $ 800, Blanca Catalina $ 500, ¿cuántos duraznos le corresponden a cada uno?

y 5 . Durante las vacaciones Camilo, Gustavo, Carlos y W¡-lliam compiten en una carrera atlética por $ 500 000. El dinero se debe repartir teniendo en cuenta el orden de llegada.

y 6 . Claudia aporta $ 300 000, Liliana $ 500 000 y Nancy $ 800 000 para iniciar un negocio. Ellas desean obtener una ganancia de $ 4 500 000 y repartirlos de forma proporcional a lo aportado. ¿Cuánto le corresponde a cada una?

y 7, El señor Vargas decide repartir $ 750 000 entre sus cuatro hijos para que disfruten sus vacaciones. El reparto se hace de forma inversa al orden de su nacimiento. ¿Cuánto dinero recibe cada hijo?

y ^8. "Plantea y soluciona un problema que involucre repartos directamente proporcionales.

y 9. Plantea y soluciona un problema que involucre repartos inversamente proporcionales.

acuerdo $ 700 y

2 1 4 Descriptor de desempeño:

• Analizar y solucionar situaciones problema usando repartas proporcionales.

<«<* Pensamiento numérico - variacional

Porcentaje En la página de apertura se afirma el incremento en la movilización de turistas a destinos nacionales, pues se ha registrado un aumento en el tráfico aéreo nacional. En el primer semestre de 2007 se registraron 3 472 704 arribos a aeropuertos nacionales, un incremento en 4,7% para el mismo periodo de 2008

¿Cuántos pasajeros arribaron en

vuelos nacionales para el primer

semestre de 2 0 0 8 ?

Para responder la pregunta, tenemos que encontrar el 4,7% de 3 472 704. Recordemos que 4,7%

de 3 472 704 = • 3 472 704 - > • 3 472 704 = 1 6 3 2 1 7 0 8 8 = 1 6 3 2\7 100 1 0 0 0 1000

Por tanto, en el primer semestre de 2008 llegaron 163 217 + 3 472 704 = 3 635 921 turistas.

i • '

Una razón en la cual el número con la que se compara es 1 00, expresa un porcentaje.

100

0 TALLER Porcentai* y y 1 . Emplea el cálculo mental para determinar el porcentaje solicitado:

a . 10% de 180 d. 5% de 2 700

b. 5 0 % de 630 e . 50% de 5 800

c. 20% de 800 i 10% de 9Q 000

S 1. Encuentra el número desconocido, empleando proporciones.

a . 80 es el 1 0 % del número d. 1 20 es el 50% del número

b. El 30% de es 420

c. 75% de es 480

32 es el 25% del número'

f. 4 200 es el 40% del número

215

Realiza una cor respondenc ia entre equiva lente y el número d e c i m a l .

el po rcenta je , su representación gráfica, la fracción

2 1 6

Porcentaje

50%

25%

75%

10%

33,3%

0,75

0.333.

4 . C o m p l e t a la t a b l a .

Artículo Costo Descuento Fracción equivalente Descuento en

Pantalón

Camiseta

Zapatos

Sudadera

i 54 000

112 600

en porcentaje

10%

20%

Saco $ 38 000

al descuento pesos

_25_ 100

Valor del artículo con descuento

$ 75 000 J5_ 100

30% $ 25 500 $ 59 500

5 . En un supermercado o almacén de tu c iudad o mun ic ip io , consulta la lista de precios, los descuentos realizados y deduce el valor de los artículos luego de apl icar el descuento.

_____________________ ________^ Artículo Costo Descuento Fracción equivalente Descuento en Valor del artículo

en porcentaje al descuento pesos con descuento

6.

8.

S 9.

De un g r u p o de niños asistentes a las vacac iones recreativas, el 1 2 % t o m a un curso de natación. Si solo tres estudiantes t o m a n el curso, ¿cuántos niños asisten a las v a c a c i o nes recreativas?

C o m p l e t a la t a b l a , cor respondiente a una encuesta real izada a estudiantes de g r a d o séptimo sobre los géneros musicales.

Géneros musicales Cantidad de votos Porcentaje

Vallenato 15

Regeton 8

Tropipop 20

Reggae

Ska 9

Total 68 100%

Los juegos de mesa permiten compart i r con la fami l ia . Teresa jugó sabelotodo con sus hermanos y dejó de responder tres preguntas, por tanto , contestó el 8 5 % de las preguntas.

a. ¿Cuál fue el tota l de preguntas real izadas a Teresa?

b . Felipe contesta 1 5 preguntas . ¿Qué porcenta je representa la c a n t i d a d de preguntas contestadas po r Felipe?

C. ¿Quién ganó el juego?

El s iguiente d i a g r a m a muestra la preferencia po r los postres, en una encuesta real izada a 71 personas

a. ¿Cuántos votos obtuvo c a d a postre?

b . ¿Cuál es la di ferencia entre la c a n t i d a d de personas que pref ieren d u l ces y he lado?

El diagrama circular representa generalmente el porcentaje de una serie de datos.

13%

23%

i Helado I Fruta I Dulces ¡ Batido {Merengón


/ Estimar porcentajes para aplicarlos en la resolución de algunas situaciones.

<*• Pensamiento numérico - variacional

Interés simple La familia Pineda va a tomar unas vacaciones y para ello solicita un crédito en el banco por un valor de $ 5 000 000 a tres años. La corporación presta al 1,15% de interés mensual el dinero solicitado. Ellos necesitan calcular el interés para saber el total del dinero que van a pagar.

Se puede establecer la siguiente regla de tres compuesta directa.

De donde se tiene 15 000 000 x 13,8 x 2 = 100 x 2 x /;

/ = 5 000 000 • 13,8 • 3 207 000 000 . 2 070 000 1 0 0 - 1 100

ipibal ln tei és Tier np. 0 1

ñ mino o —*• 2 3-cu np.

1 od _ _La i —> ->-

El banco cobra por el préstamo un interés de $2 070 000; por tanto, la familia Pineda paga al banco 5 000 000 + 2 070 000 = 7 070 000.

Para determinar el Interés (/) que genera un capital (C) prestado a una rata o tasa de interés (r), durante un tiempo (f) recibe el nombre de interés simple. El año comercial se ha acordado de 1 2 meses y 30 días por cada mes.

Para calcular el interés simple se utilizan las siguientes fórmulas dependiendo de la variable tiempo:

C • r • f Si el tiempo está dado en años, / =

Si el tiempo está dado en meses, / =

Si el tiempo está dado en días, / =

100

C • r • t

ioo#a C • r • t

100 • 360

-u TALLER Interés simple O o ° 1. Escribe los números que faltan para completar la ecuación.

a . $ 500 000 a cinco meses a 1,05% mensual:/ = D ' D ' D 100 • 12

b. $1 200 000 a tres años a 1,98% mensual: / = Q ' 2 3 , 7 6 ' ^ 100

c. $200 000 a 20 días a 0,1 0%: / =

d . $000 000 a 15 días a 0,09%: / =

100 • 360

100 • 360

e. $1 000 000 a diez meses a 0,98% mensual: / =

f. $15 000 000 a cuatro años a 2,01% mensual: /

100 • 12

_ • , 24,12 • • 100

2. Encuentra el interés simple de las situaciones del ejercicio 1 y escribe el total de dinero que se paga.

3. Teniendo en cuenta las fórmulas para calcular el interés simple, despeja y encuentra la fó rmu la para calcular las siguientes magnitudes: a. Capital en años , meses y días. b. Tiempo en años , meses y días. c. Tasa de interés en años, meses y días.

4. Escribe la ecuac ión correspondiente a las siguientes situaciones: a. Capital que genera un interés de $648 000 a 1,8% mensual a dos años. b. Tiempo en años en el cual $3 000 000 a 1,5% mensual genera un interés de

$ 2 700 000. c. Tasa de interés a la cual $500 000 a siete meses genera un interés de $ 2 041,67. d. Tasa de interés a la cual $800 000 a 26 días genera un interés de $1 097,78. e. Tiempo en el cual $1 200 000 a 0,9% mensual genera un interés de $120 000. f. Capital que genera un interés de $500 a 0,9% a 20 días.

5. Soluciona las ecuaciones del ejercicio cuatro. •f 6. Para el viaje de vacaciones el señor Gonzá lez sol ic i tó un crédi to de $ 2500 000 a cuatro

años con una tasa de interés de 1,5% mensual. a. ¿Cuál es el interés que genera el crédi to? b. ¿Cuán to dinero debe pagar el señor Gonzá lez con los intereses?

7. Para comprar la ropa del viaje, Sara solicita un crédi to por $ 750 000 a diez meses y con los intereses paga en total $ 818 750. a . ¿A cuánto dinero corresponde el interés? b. ¿Cuál es la tasa de interés?

y 8. Jul ián decide solicitar un crédi to por $1 000 000 a 1,2% mensual, que le genera un interés de $ 432 000. ¿Por cuánto tiempo debe solicitar el crédi to?.

Descriptor de desempeño: / Aplicar el interés simple en el análisis y solución de situaciones problema. ^ ' '

•» Pensamiento numérico - variacional

Evaluación de expresiones algebraicas

Las vacaciones son un buen m o m e n t o para v ia jar y c o m part i r con la f a m i l i a , pero es necesar io estar pendiente de qué t e m p o r a d a es, a l ta o b a j a , ya que los precios varían.

La estadía en un hotel de C a r t a g e n a es $ 1 5 0 0 0 0 p o r persona en t e m p o r a d a alta y en ba ja t iene un va lo r d e $ 135 0 0 0 , a p r o x i m a d a m e n t e . Si v ia jan tres personas en t e m p o r a d a b a j a , ¿cuánto d inero ahor ran? ¿Cuál es la expresión a lgebra ica que representa el ahor ro?

1 5 0 0 0 0 • 3 - 1 3 5 0 0 0 • 3 = 4 5 0 0 0

1 5 0 0 0 0 • x - 1 3 5 0 0 0 • x = Expresión a l g e b r a i c a

Se d e n o m i n a expres ión a l g e b r a i c a a t o d a constante, var iab le o bien a t o d a c o m b i n a ción de constantes y potencias de var iables v incu ladas por los s ignos de + , - , + , • f initas veces. E jemplo:

x 2 + 3 /

El va lor numérico de una expresión a lgebra ica es el número que se obt iene al sustituir c a d a una de sus var iables por el va lo r que se les as igna y de efectuar la(s) operación(es) indicada(s) .

Determinemos el va lo r numérico en la expresión a lgebra ica anter ior, si x = 4, y = 7

(4) 2 + 3 - 7 = 16 + 21 = 37

Para reduci r t é r m i n o s s e m e j a n t e s se o p e r a n los coef icientes que t ienen la misma parte l i teral , a p l i c a n d o las p rop iedades cor respondientes con números enteros y racionales .

E jemplo : Si Andrés, Felipe, Laura, C laud ia y Mar iana ¡untaron sus stickers para divertirse durante las vacaciones. Andrés aportó 1 5, Felipe 24 , Laura 3 0 , C laud ia 1 8 y Mar iana 29 .

Teniendo en cuenta que " s " representa la c a n t i d a d de stickers que c a d a uno aportó, la situación anter io r se puede representar c o m o :

15s + 24s + 30s + 18s + 29s = 116s

Q TALLER Evaluación de expresiones algebraicas O o

y 1 . Observa la lista de precios y c o m p l e t a la factu ra .

El Laauito (Cartagena)

2 2 0

Hotel Prisma i Lista de precios

Producto Precio

Almuerzo $ 12 000

Gimnasio $2 400

Postres $5 200

Gorro de baño

$800

Dulces $400

Cantidad

1

Producto Valor unitario Valor total

Almuerzo

Gimnasio

Postres

Gorro de baño

Dulces

a. ¿Los precios de los artículos son cantidades fijas o variables de un hotel a otro? Justifica la respuesta

b. ¿La cantidad comprada de los diferentes artículos varia de un comprador a otro? Justifica la respuesta

En la factura encontramos las variables c = cantidad, u = valor unitario y

t = valor total.

c. Plantea una expresión algebraica que permita calcular el valor total de cualquier producto en términos de las otras dos variables.

Si en lugar de u se representa la variable del valor unitario por medio de la inicial del producto

d. Plantea una expresión algebraica para calcular el valor total de cada producto.

e . Si se compran 2 almuerzos, tres pases para el gimnasio, un postre, cinco gorros de baño y doce dulces, plantee una expresión algebraica que represente el total de la compra, empleando únicamente las variables c = cantidad de la compra = 2, 3 , 1 , 5,1 2 y a, g , p, b, d = valor unitario, respectivamente.

f. Expresa el costo de los cinco gorros de baño, empleando la variable d = valor de un dulce.

g . Expresa el costo de los tres pases al gimnasio, empleando la variable b = valor unitario de un gorro de baño.

h . Expresa el costo de los tres pases al gimnasio, empleando la variable d = valor de un dulce.

221

2 . Realiza una correspondencia entre el enunciado, la expresión algebraica y el valor numérico de la expresión algebraica si

a . La suma de los cuadrados de dos números x + y + z 9 3

b . Un número aumentado en 7 (x + y ) = x 2 + 2xy + y2 5

c. El área del círculo de radio x x 2 + y 2

d . El triple de un número aumentado en 25 x + 7 31

e . El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados 3x + 25 20

más el doble de su producto.

f. Media aritmética de tres números. rae2 36

3 . Escribe enunciados o situaciones modelables por medio de las siguientes expresiones algebraicas.

a , 2 s 2 + 1 2 b . f + 4r + 12

c. 2h + ó d . 3d - 4

4 . Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en monomios, binomios, trino

mios, polinomios, escribiéndolas en el cuadro correspondiente. 2x 2 , 3c 2 + 5 c 2 - 1 ó ,

4 s 2 - s 3 + 5 s + 12 , 4g/ + 7cs, 6v-^-v3+9, 1 2 m 3 n 2 , - | w 4 + 4c 6 w + | w y - 5wf , 2 18 3

- 9 x 2 + 12xy 3 - 6 y 4 , 4x 2 + 5xy , 4fs, 5z 3 - 6yx 2 , 8gh/

Monomios Binomios Trinomios

2 5. Evalúa cada expresión algebraica si a = 6, b = - 1 0 , c = — ,d = - 0 , 5

5 a. a 2 + 5b + 12 c. - b - a 3 + c

b . 4c 2 - a 3 + 5d d . - a 3 + 5b - 8

6. Reduce los siguientes términos semejantes:

a . 5 m 2 + 3 m 2 - 6 m 2 + 10m 2 = d . - 7 p 3 - 5 p 3 + 1 Op 3 + p 3

2 1 3 b . - 2 0 a + 5a + 2a - 5a + a = e . —n + —n - — n =

c. 110d + 2 0 d - 1 0 0 d - d + lOd = i l g 4 - ^ g 4 + ^ r g 4 = 6 2 12

7. Escribe el número que falta para que se cumpla la igualdad.

a . 10ñ + [ ] ñ - [ ] ñ + ñ = 4ñ d. [ ] c - [ ] c + [ ] c + [ ] c + c = 44c

-12 s ? + Q 2 - [ J 2 + Ds 2 = 14s 2 e . -k + -k - j l = 7-k 2 3 • 6

c D 3 - Q 3 + Q 3 + f 3 = l l l f 3 f. 3 v 4 + D v 4 - flv4 = — v 4

4 • • 12

? 8. En las siguientes expresiones agrupa los términos semejantes y redúcelos.

a . 13m + 4n - 8m + 12n + 5n - 20m d. 25d + 12d - 78c + 13d - 3c + 15c

b. ]8k2 - 6 r 3 + 2 5 r 3 -]5k' 1 5 5

e . — r + — f + —r 3 7 6

1 - f + — f r 2 14 2

c. 13w 3 + Ó4h2 - 45h 2 + 7 w 3 + w 3 - 2 h 2 f. - a 2 + - i b 2 , 1 2

- b + - a 3 2

9. Escribe la letra correspondiente teniendo en cuenta que la suma de la primera y segunda columna da como resultado la tercera columna.

a . 15a + 24b

b. 2 4 a - 1 5 b

c. 10a + 35b

d. 4 5 a - 1 2 b

e. 80a + 24b

) 28b - 12a

) 90b + 14a

) 27b - 54a

) 56b + 24a

2 6 a + 51b

39a + 80b

66b

12a + 13b

24a + 125b ) 7 8 b - 4 5 a

7 10. Escribe la expresión que representa las siguientes situaciones empleando la variable que quieras.

a . Durante seis días, Julián ganó cuatro partidos, perdió tres, ganó ocho, ganó dos, perdió seis y ganó siete.

b. Camilo compró quince canicas, regaló ocho, compró siete, regaló tres y compró una.

C, Daniela pagó una deuda de $ 1 0 000 , pidió prestado $ 4 500, pagó $ 1 500 , pidió $ 2 500.

d. Paola regaló cinco dulces, compró seis, regaló once.

S 11 .Juan Pablo durante una competencia de dominó ganó cinco partidas, perdió dos, ganó cinco, ganó dos y perdió una.

a . Escribe la expresión que representa la situación anterior.

b. Juan Pablo al final de la competencia, ¿ganó o perdió partidas?

C. De acuerdo con el punto a), ¿cuántos puntos ganó o perdió?

12.Marcela compra y vende chocolates para cubrir los gastos del viaje de vacaciones. Compró 20 , vendió 15, compró 8, vendió 1 2 y compró ó.


b. ¿Con cuántos dulces finalizó Marcela?

"f 13. Nancy compró 1 7 dulces y 24 chicles, regaló 1 0 dulces y 1 2 chicles, compró 20 dulces y 1 9 chicles, y regaló 1 5 dulces y 1 8 chicles.


b. ¿Con cuántos dulces finalizó Nancy?

C . ' ¿Con cuántos chicles finalizó Nancy?

y 1 4 . Mariana durante sus vacaciones ganó cinco partidas de dominó y tres de ajedrez, luego perdió tres de dominó y cinco de ajedrez, ganó ocho de dominó y cinco de ajedrez.


b. ¿Cuántas partidas de dominó ganó o perdió al final?

C . ¿Cuántas partidas de ajedrez ganó o perdió al final?

y 1 5 . Plantea y soluciona un problema usando la reducción de términos semejantes.

I s


/ Identificar expresiones algebraicas y para modelar situaciones y reducir términos semejantes.

»• Pensamiento métrico - geométrico

• Movimientos en el plano La Alhambra de Granada es una de las atracciones turísticas de España. En la temporada de vacaciones llegan muchos turistas de todo el mundo a visitarlo, pues fue uno de los mejores palacios árabes de occidente. Se destaca por sus hermosos azulejos, que presentan diseños geométricos. Los motivos de cada azulejo se trasladan, rotan y reflejan, constituyendo formas hermosas.

Clave matemática

Los movimientos denominados isométricos conservan la forma y el tamaño de la figura u objeto luego del cambio de ubicación. Las traslaciones, rotaciones y reflexiones constituyen los movimientos isométricos.

Movimiento

Ref lexión o simetr ía axial

Es un movimiento isométrico respecto de un eje de simetría, en la que cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a. La distancia del punto y su imagen al eje de simetría es la misma.

b. El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría.

1 i Y Bie de _ reí

ex ón;

9 . — 1 \ -

8 -7. A . u

A -

3 -2 -1-

-1 —

3 -2 -1- —

; i -1 —

3 -2 -1- —

; i -1 — -1

• 1

l _ ! 3 i L 5 6 \

_

!

1 3 ' ? 1 n i 112 1314 1 — f — i -1 — -1

• 1

l _ ! 3 i L 5 6 \

_

!

1 112 1314 1 — f — i

Rotación

Es uno de los movimientos isométricos en el que únicamente la figura u objeto se desliza, indicada por el vector de traslación.

Es una transformación en el plano, consiste en girar una figura alrededor de un punto con una amplitud y un sentido específico. El punto sobre el cual gira la figura se denomina centro de rotación; la amplitud son los grados que gira la figura y el sentido es positivo cuando se gira en dirección contraria a las manecillas del reloj y negativo cuando gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

¡mm 7 _ t c _ j

5 -A _

p j

5 -A _ c ) ...

4 —

3 -

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A j _ 4 —

3 -

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A

4 —

3 -

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4 —

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_ j - 4 - : h 1 ñ 5

•— " A

1 P— C

- 2 v -" D

- 3 v - E

- 4

- 5

Para realizar una rotación debes: primero, unir el centro de rotación con cada uno de los vértices de la figura; segundo, ubicar el grado según la amplitud con cada una de las líneas trazadas en el primer paso; tercero, con un compás marcar la amplitud de los vértices en los nuevos ángulos; y por último, unir los puntos respectivos.

^TALLER Movimientos en el plano # • o

1 1. En el plano cartesiano ubica los puntos y ú n e l o s en el orden dado para formar un po l í gono.

a . A (1,1), B(7, l ) , C(7,4), D(l 1,1), E(10,-2), F(2,-2), A( l ,1)

-2 • B - X

2 4 6 8 10 12

b . A(0,1), B(3, l) , C(4,3), D(0,7), E (5-1) , F(4 /-3), G( 3 , -1) , A ( l , l )

T , z i B

,17 i 6

. ...

. 5 4

la. 2 1

— • •

i . . . ,

-2 _ > f

c . A ( 3 , - l ) , B(3,5), C(8,5), D(8,2), E(l 1,2), F(l 1,-1), A(3, l )

: 1

i

8 6

-

-

4 2 --

-

-

4 2 -- -

• X

- -2 ! 4 í S i 1 D 12 1 41 6 . . . . . . .

-' t

1 : . . . . .

d . A (4 , l ) , B(4,4), C(ó,ó), D(8,4), E(8,l), A(4, l )

Y —

.......... .

. . . . . . . . . _

; 8

1 '

6 . 4 2

—4 -41- - 1 > i i 10 . . . .

Con los diagramas anteriores realiza los movimientos según se indica.

e . Traslada el polígono del punto a) cinco unidades a la izquierda y dos arriba.

f. Traslada el polígono del punto b) tres unidades a la izquierda y dos abajo.

g . Traslada el polígono del punto c) doce unidades a la derecha.

h . Traslada el polígono del punto d) dos unidades arriba.

i . En cada una de las traslaciones del punto anterior traza el vector que representa la traslación.

2. Realiza la traslación de cada polígono, según indica el vector de traslación.

a.

\

d. Y

1

El trasladar varias veces una figura u objeto, se conoce como c o m p o s i c i ó n de traslaciones.

3, Aplica las traslaciones a cada polígono en orden alfabético de los vectores, representa nuevamente la figura al final de las traslaciones y escribe las coordenadas de sus vértices.

a. b. . . .

/ /

— A

— —

Y

/ ...

1 >i

... _ —

"{ 4, Contesta falso o v e r d a d e r o según cor responda y justifica la respuesta.

a . Una traslación c a m b i a de tamaño la f igu ra . ( )

b . Una traslación desliza la f igura sobre un vector. ( )

C. Al c a m i n a r sobre una línea recta real izamos un mov im iento de traslación. ( )

d . Una traslación gira la f igu ra . ( )

| 5 . Representa la traslación de c a d a so l ido según se ind ica,

a . 3 un idades a la d e r e c h a , 2 de frente y 5 a r r iba.

b. 5 un idades a la d e r e c h a , 4 de frente y ó a r r iba .

La s imet r ía cent ra l es un m o v i m i e n t o ¡sométrico en el que c a d a punto del p l a n o se refleja en ot ro punto del p l a n o l l a m a d o i m a g e n , que c u m p l e con las s igu ientes cond ic iones :

El punto y su i m a g e n están a igual d is tancia de un punto l l a m a d o cent ro d e s imet r ía .

El p u n t o , su i m a g e n y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

y 6. Realiza los siguientes pasos para reflejar figuras empleando el papel para plegado y pega las construcciones en el cuaderno.

a . Traza los ejes X y Y, el punto (0,0) debe quedar centrado en la hoja.

b . Representa el polígono de coordenadas A(3,5), B(6,8), C(9,7), D(9,5).

c. Marca fuerte los vértices para que se visualicen al respaldo de la hoja.

d . Dobla el papel para plegado por el eje X.

e . Señala los vértices del polígono empleando un alfiler o algo que traspase el papel.

f. Une las marcas de los vértices con segmentos de recta al otro lado del eje X .

El polígono formado corresponde a la reflexión del polígono ABCDE, con respecto al eje X.

g . Dobla ahora el papel por el eje Y.

h. Realice los procedimientos e) y f)

El polígono formado corresponde a la reflexión del polígono ABCDE, con respecto al eje Y.

i. En otro papel para plegado realiza la reflexión del polígono con coordenadas con relación a la recta que pasa por los puntos (-2,-2) (0, - 4 ) .

j . Inventa un polígono y refléjalo con relación a la recta paralela al eje X que pasa por el punto (0,5).

k. Ubica un espejo sobre el eje de reflexión y observa los polígonos originales y los reflejados. ¿Qué concluyes?

y 7. Halla reflexión de la figura con relación al eje X, el eje Y, a la recta que pasa por los puntos (1,1)(4,4).

a . b.

y 8 . Dibuja el eje de reflexión correspondiente a cada pareja de figuras.

o.

9 . Contesta falso o verdadero y justifica la respuesta.

a . Al reflejar la figura se obtiene una figura de menor á r e a . ( )

b. Reflejar un p o l í g o n o es s i n ó n i m o de trasladarlo. ( )

C. Al reflejar la figura el p e r í m e t r o cambia. ( )

d . Al reflejar una figura con respecto al eje X, el punto de coordenadas (a,b), t e n d r á coordenadas (a, -b) ( ).

e . Al reflejar una figura con respecto al eje Y, el punto de coordenadas (a,b) t e n d r á coordenadas (-a, -b ) . ( ) .

1 0 . Aplicar la s ime t r ía central a cada uno de los siguientes p o l í g o n o s :

a . b.

1 l .M ide y determina los grados y el sentido en el cual se giraron las siguientes figuras negras con respecto al origen.

c. T Y

\ ! \ I

J

I •

\ J \ U

n ] \ M \

1 \

-- J .. J ..

; ; '

!

~f

_ _ j : _

Descriptor de desempeño: • Identificar y realizar traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras en el plano.

»»+ Pensamiento métrico - geométrico

Homotecia

En las vacaciones muchas personas visitan lugares famosos, algunos como las estatuas de la Isla de Pascua (Chile), llamadas moáis. Estos monolitos son muy antiguos y son el principal atractivo turístico de esta, cuyos habitantes viven del turismo y la pesca.

En las anteriores figuras se observa que cada una de ellas tiene una imagen mayor o menor y conservan su forma original.

Estas imágenes se denominan figuras homotéticas, es decir, igual forma y diferente tamaño; reciben este nombre debido a que se realizó una homotecia para ampliar o reducir la imagen.

Clave matemática

Una homotecia es una transformación en el plano que reduce o amplía las figuras conservando el valor de los ángulos y la proporción entre las medidas de los lados.

Para hallar la. imagen de una figura mediante la homotecia se debe tener en cuenta:

• El factor de conversión; si es menor que uno la figura se reduce y si es mayor la figura .. se'amplía.

• El centro de homotecia o punto donde se origina la homotecia.

• La distancia de los vértices de la figura imagen al centro de homotecia se reducen o amplían según el factor de conversión con respecto a la distancia de los vértices de la figura original al centro de homotecia.

• Las figuras homotéticas son semejantes y no congruentes.

O TALLER Homotecias O O 0

3 1 . Mide la distancia entre el centro de homotecia y los vértices de la figura original (figura roja) y la figura imagen (figura azul) y determina el factor de conversión.

nj 2. Escribe falso o verdadero, según corresponda.

a. Si el factor de conversión es mayor que uno, la figura se amplía.

b. Si el factor de conversión es menor que uno, la figura se amplía.

c. Al realizar una homotecia, la figura se amplía o se reduce.

d. Al realizar una homotecia, la forma cambia.

e. Al realizar una homotecia, las figuras original e imagen son seme¡antes._

233

y 3. Realiza una homotec ia a las siguientes f iguras , a p l i c a n d o el factor de conversión d a d o desde el centro de homotec ia i n d i c a d o .

€1 • h 2

4 . La s iguiente i m a g e n representa la homotec ia que se realizó a una carta de una b a r a j a :

v Figura imagen

Figura original

o. ¿El factor de conversión es mayor o menor a uno?

b. ¿La dos cartas son semejantes?

c. ¿Las dos cartas son congruentes?

d , - ¿Los lados de las dos cartas son proporc iona les?

5. Contesta las siguientes preguntas ten iendo en cuenta la i m a g e n que observas c u a n d o ves la luna.

a . ¿La i m a g e n se puede representar c o m o una homotec ia?

b, ¿El factor de conversión es mayor o menor que uno?

6. Contesta las siguientes preguntas ten iendo en cuenta la i m a g e n que observas c u a n d o ves una estrel la.

¿La i m a g e n se puede representar c o m o una homotec ia?_

¿El factor de conversión es mayor o menor que uno?

r 7.

Q.

b. Descr ibe dos f iguras de la naturaleza en las que se pueda ap l ica r la homotec ia con un factor de conversión mayor que u n o .


/ Aplicar homotecias a diferentes figuras usando el factor de conversión.

'»#• Pensamiento aleatorio

Conceptos básicos de probabilidad Marcela en sus vacaciones programa un campamento con sus amigos Andrés, Felipe y Yenny.

Una de las actividades consiste en formar parejas, por tanto, el espacio muestral del experimento es:

S = {Marcela - Andrés, Marcela - Felipe, Marcela -Yenny, Andrés - Felipe, Andrés - Yenny, Felipe - Yenny}

El evento H es obtener un hombre en la pareja y el

evento M es obtener una mujer en la pareja; por tan

to, la probabilidad del evento H es cuatro de seis, es

4 decir, P(H) = —; la probabilidad del evento M es P(M)

6

4

ó Además, es posible que los dos eventos ocurran simultáneamente, es decir, que haya

un hombre y una mujer en la pareja, P(H u M ) ; la probabilidad de que esto

4

ocurra es

P(H) + P ( M ) - P(H n M ) ; es decir, 7 + 7 - 7 * -6 6 6 6

Clave matemática

2 3

Un exper imento a leator io es un ensayo o acción en la cual no se conoce el resultado hasta que se realice; sin embargo, se pueden determinar los posibles resultados antes de ser realizado.

El espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento muestral; se simboliza con S.

Un evento es un ásnjunto formado por elementos del espacio muestral.

La p robab i l idad de un evento P(E) es el cociente entre el resultado favorable y el número de elementos del espacio muestral.

Si E y F son eventos y no tienen elementos en común, E O F —0, se dice que son mutuamente exclusivos; es decir, que no pueden ocurrir los dos eventos simultáneamente. Si tienen por lo menos un elemento en común E n F * 0 , se dice que no son mutuamente exclusivos.

Si E y F son mutuamente exclusivos, la probabilidad de que uno de los dos ocurra es

la suma de las probabilidades de los dos eventos; P(E u F) = P(E) + P(F)

Si E y F no son mutuamente exclusivos, se cumple que

P(E u F) = P(E) + P(F) - P(E n F) , ó, P(E n F ) = P(E) + P(F) - P(E u F)

\m T/VL.L.€ER Conceptos ba sicos de probabilidad O o* f»>) 1 . Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos:

a . Lanzar un dado.

b. Lanzar dos monedas.

C. Lanzar dos dados.

d . Sacar una pelota de una bolsa con tres pelotas amarillas, dos azules y dos rojas.

e . Escoger al azar un miembro de tu familia.

/, 2 . Escribe un evento para los experimentos del ejercicio 1.

a. b. c.

d .

e. Calcula la probabilidad de los siguientes eventos, teniendo en cuenta los espacios muéstrales del ejercicio 1.

a . Obtener un múltiplo de tres al lanzar un dado.

b. Obtener cara-cara al lanzar dos monedas.

Obtener un número múltiplo de otro al lanzar dos dados.

d . Sacar una pelota azul de una bolsa con tres amarillas, dos azules y dos rojas.

e . Escoger un miembro de tu familia entre 15 y 30 años.

Determina si los siguientes eventos son mutuamente exclusivos o no son mutuamente exclusivos.

Obtener un número par y uno impar al lanzar un dado.

b. Obtener un número par y un múltiplo de seis al lanzar un dado.

c. Obtener cara y sello al lanzar una moneda.

d . Escoger una persona del sexo femenino y una de quince años de un colegio.,

e . Obtener un número par y uno impar al lanzar dos dados. 5. Teniendo en cuenta los siguientes eventos, escribe la fórmula correspondiente para cal

cular la probabilidad dada de acuerdo con que si son o no mutuamente exclusivos. A: obtener un número par al lanzar un dado.

B: obtener un número impar ai lanzar un dado.

C: obtener un número menor que cinco al lanzar un dado.

D: obtener un número menor que cuatro al lanzar un dado.

? 3.

^ 4

a . P (A u B ) c. P (A n D ) P ( C n D )

b. P (A u C ) d . P(B n D ) f. P(B u D )

La siguiente información corresponde al color y marca de algunos vehículos que se encuentran en un concesionario.

y 6 . Teniendo en cuenta el color de los vehículos responde las siguientes preguntas.

a . ¿Cuál es la probabilidad de obtener un vehículo de color azul?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un vehículo de color negro?

c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un vehículo de color verde?

d . ¿Cuál es la probabilidad de obtener un vehículo de color rojo?

e . ¿Cuál es el color de mayor probabilidad?

f. ¿Cuál es el color de menor probabilidad?

j p 7. Teniendo en cuenta la marca de los vehículos, responde las preguntas.

a . ¿Cuál es la probabilidad de obtener un Chevrolet?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un Renault?

c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un Mazda?»

d . ¿Cuál es la marca de menor probabilidad?

e . ¿Cuál es la marca de mayor probabilidad?

y 8 . De acuerdo con la información de la tabla, contesta las siguientes preguntas:

a . El escoger un vehículo azul y Chevrolet, ¿son eventos mutuamente exclusivos?

b . El escoger un Mazda rojo, ¿son eventos mutuamente exclusivos?

c. Nombra dos eventos que sean mutuamente exclusivos.

d. Nombra dos eventos que no sean mutuamente exclusvivos.

y 9. Responde las siguientes preguntas de acuerdo con la información del concesionario. P(C): probabilidad de escoger un Chevrolet; P(R): probabilidad de escoger un Renault; P(M): probabilidad de escoger un Mazda; P(A): probabilidad de escoger un carro azul; P(N): probabilidad de escoger un carro negro; P(V): probabilidad de escoger un carro verde; P(J): probabilidad de escoger un carro rojo.

a . ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Chevrolet azul?

b. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Chevrolet negro?

C. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Chevrolet verde?

d. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Chevrolet rojo?

e. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Renault azul?

f . ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Renault negro?

g. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Renault verde?

h. . ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Renault rojo?

i . ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Mazda azul?

j . ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Mazda negro?

k. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Mazda verde?

I. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un Mazda rojo?

y 10.Teniendo en cuenta los resultados del ejercicio anterior, contesta las siguientes preguntas.

a . Del Chevrolet, ¿qué color tiene mayor probabilidad?

b. Del Chevrolet, ¿qué color tiene menor probabilidad?

C. Del Renault, ¿qué color tiene mayor probabilidad?

d. Del Renault, ¿qué color tiene menor probabilidad?

e. Del Mazda, ¿qué color tiene mayor probabilidad?

f. Del Mazda, ¿qué color tiene menor probabilidad?

y 11. Plantea y soluciona una situación usando la probabilidad de eventos combinados.


• Aplicar el cálculo de la probabilidad en el análisis y solución de situaciones problema.

• •» Pensamiento aleatorio

Técnicas básicas de conteo Paola quiere jugar ajedrez o damas chinas con cualquiera de sus amigos: Jul ián, Alejandro o Camila. Paola realiza el siguiente diagrama de árbol para calcular las posibilidades.

Paola

Julián-

Alejandro •

Camila-

Es decir, Paola tiene seis posibilidades.

Clave matemática

Ajedrez

Damas chinas

Ajedrez

Damas chinas

Ajedrez

Damas chinas

Una combinación es el arreglo de elementos en donde no importa el lugar, la posición o el orden que ocupa cada uno de los elementos que constituyen el arreglo.

Una permutación es el arreglo de elementos en donde sí importa el lugar, la posición o el orden que ocupa cada uno de los elementos que constituyen el arreglo.

TALLER Técnicas básicas de conteo O o

>> 1. Escribe si la situación corresponde a una combinación o permutación.

a . Escoger tres frutas de una frutería.

b. Elegir el presidente y vicepresidente de un grupo de personas.

C. Escoger dos personas para salir en las vacaciones.

d. Escoger silla en un avión.

e . Escoger la posición en una montaña rusa.

239

2. Escribe un ejemplo para las siguientes técnicas de conteo:

a . Combinación con tres elementos.

b . Permutación con tres elementos.

c. Combinación con cuatro elementos.

d . Permutación con cuatro elementos.

? 3 . Escribe falso o verdadero, según corresponda.

a . Una combinación es igual a una permutación.

b . Una permutación es diferente a una combinación.

C. Con cuatro elementos, el número de permutaciones es mayor al número de combinaciones.

d . En las combinaciones el orden no importa.

e . En las permutaciones el orden no importa.

7 4 . Escribe el número de combinaciones de los siguientes conjuntos:

a . Escoger dos lugares para ir de vacaciones entre San Andrés, Cartagena, Santa Marta y Capurganá.

b . Seleccionar tres juegos entre dominó, parqués, damas chinas, ajedrez y sudoku.

c. Escoger dos lugares entre el parque, cine, teatro y centro comercial.

d . Seleccionar dos comidas entre carne, pollo, cerdo, conejo y ternera.

e . Elegir tres colores entre amaril lo, azul, rojo, blanco, negro, gris y violeta.

7 5. Escribe el número de permutaciones de los siguientes conjuntos:

a . Elegir presidente y vicepresidente entre Pedro, Mario y Juan.

b . Números de dos cifras con 1, 2, 3, 4 y 5.

c. Placas de automóviles con las letras A, B, C, D y E.

d . Primer, segundo y tercer lugar entre Camila, Andrea, Mariana y Luisa.

e . Banderas diferentes con los colores amari l lo, azul y rojo.

6. En las vacaciones, Fernando decide ir a visitar a su abuelita y quiere llevarle dos regalos y tiene como opciones flores, chocolates, ropa, joyas, libros o bonos de regalo.

a . ¿ Q u é nombre reciben las posibilidades?

b. Escribe todas las posibilidades que tiene Fernando para regalarle a su abuelita.

c. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de regalar flores?

d. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de regalar ropa y joyas?

7. La abuelita de Fernando quiere ir a almorzar con é l . Ellos j¡ tienen como posibilidades carne, pollo o cerdo y para los 1 lugares, centro comercial, supermercado o bazar.


b. Escribe todas las posibilidades que tienen para ir a I almorzar.

C. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de comer cerdo?

d . ¿ C u á n t a s posibilidades hay de ir al centro comercial?

e. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de comer pollo en el bazar?

8. En las vacaciones, Alejandro, Freddy, Carolina, Marcela y Paola deciden participar en un sorteo de agilidad mental por $ 500 000 el primer lugar y $ 300 000 el segundo lugar.


b. Escribe todas las posibilidades del primer y segundo lugar.

c. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de que el primer lugar lo ocupe un hombre?

d. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de que el segundo lugar lo ocupe una mujer?

e. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de que ganen dos hombres?

f. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de que ganen dos mujeres?

9. Una de las pruebas del sorteo de agilidad mental cons is t ía en formar n ú m e r o s de tres cifras con los d íg i t os 1, 2, 3 y 4.


b. Escribe todas las posibilidades de formar los n ú m e r o s

c. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de obtener el n ú m e r o uno como centena?

d. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de que hayan dos d íg i t os pares?

e. ¿ C u á n t a s posibilidades hay de que la suma de dos d í g i t o s sea el tercer d í g i t o ?

f. ¿ C u á l es el mayor n ú m e r o que se puede formar?

g. ¿ C u á l es el menor n ú m e r o que se puede formar?

10. Plantea y soluciona un problema que involucre el c á l c u l o de combinaciones

11 . Plantea y soluciona un problema que involucre el c á l c u l o de permutaciones.

Descriptor de desempeño: / Establecer diferencias entre combinaciones y permutaciones y aplicarlas en la solución de situaciones problema.

Matemática xeazeatc&a

La proporción áurea en el entorno

Objetivo Identificar la proporción áurea en diferentes elementos de la naturaleza y en particular en el cuerpo humano.

Integrantes Estudiantes de grado séptimo que manejen la proporcionalidad.

Recursos • Cinta métrica

• Cartuchera

Instrucciones • Forma grupos de tres personas.

• Selecciona un integrante para realizarle la medición de la cara, otro para el cuerpo completo y el otro para el antebrazo y mano.

Completa la siguiente tabla empleado la cinta métrica y escribiendo la medida exacta.

Parte del cuerpo Medida

Planta de los pies hasta el ombligo A

Del ombligo hasta la cima del cráneo B

Altura de la persona C

Razón entre A y 6 D

Razón entre B y C E

¿Las razones D y E son proporcionales?

Si D y £ son proporcionales, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

Matemática %ecne<zt¿<ACi


De los ojos hasta el mentón A

De los ojos hasta el inicio del cabello B

Del mentón hasta el inicio del cabello C

Razón entre A y B D

Razón entre 6 y C E

¿Las razones D y E son proporcionales? Si D y E son proporcionales, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?


Del codo hasta la muñeca A

De la muñeca hasta la punta del dedo corazón B

Del codo hasta la punto del dedo corazón C


Razón entre B y C E

¿Las razones D y E son proporcionales? Si D y Eson proporcionales, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?


Primeras dos falanges A

Tercera falange hasta la uña B

Longitud de un dedo C


Razón entre S y C E

¿Las razones D y E son proporcionales? Sí D y E son proporcionales, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

Al observar y analizar los resultados de las tablas, ¿ q u é concluyes?

• Menciona cinco objetos del entorno que cumplan la p r o p o r c i ó n á u r e a y con cada una de ellas registra los datos s e g ú n modelo anterior.

Planeando mis vacaciones

Antes de planear tus vacaciones, te invitamos a organizar un fin de semana con tus compañeros y siguiendo este modelo tus vacaciones serán un éxito.

Recursos Información de las actividades ofrecidas para el fin de semana

• Un grupo de dos o más personas 9 Material para elaborar la bitácora

• Material para decorar

Cámara fotográfica

¡Antes del fin de semanal • Reúnete con tu grupo y define roles específicos para cada uno; cada integrante colabora

con su equipo en sus respectivas funciones.

Lid er verifica que los integrantes estén cumpliendo sus roles y realiza las gestiones correspondientes con los contactos respectivos.

Tesorero , consulta gastos y recopila los recibos de los gastos y pagos realizados por su equipo en todo el proceso de elaboración de la bitácora.

Diseñador , recopila la información, la organiza y la distribuye en la bitácora, selecciona el papel, la decoración, etc.

/ Secretario , recopila información y visita los sitios donde se realiza las actividades de vacaciones.

Folletos informativos de cajas de compensación, alcaldía, barrio, conjunto residencial, iglesias, etc. Responsable: secretario.

Cuadro comparativo entre la actividad y gastos. Responsable: tesorero

Actividad Días Costo por persona Cantidad de personas del grupo Costo total

Presupuesto. Responsable: líder y tesorero

Rol Aporte ($)

242

TOTAL:

acuerdo con el presupuesto y la in formación obtenid a, selecciona una actividad realizar por el grupo el próximo fin de semana; justifica la respuesta.

¡ L l e g o el fin de semanal

Recuerda llevar la cámara, realiza la actividad que eligieron y lo más importante, ¡disfruta! En caso de no tener cámara, graba las imágenes en tu memoria y luego plásmalas en un dibujo.

• Toma fotos de momentos significativos para los integrantes del equipo.

• Toma fotos de situaciones en las que se involucra la proporcionalidad.

• Al desplazarte durante la actividad, toma fotos en donde se evidencie la traslación o rotación de tu cuerpo.

¡ D e s p u é s del fin de semana!

• Realiza un escrito (mínimo lo que considere tu profesor) en el que narres las actividades previas y las que realizaste durante el fin de semana, compleméntalo con fotos o dibujos.

• Escribe situaciones vividas durante el fin de semana en las que se apl icó la proporcionalidad directa e inversa

Proporcionalidad directa:

Proporcionalidad inversa:

• Describe las fotos o dibujos que representan las traslaciones y rotaciones que realizaste con tu cuerpo durante la actividad.

Traslación:

Rotación:

• Escribe la probabilidad de que los integrantes del equipo compartan actividades durante las vacaciones.

Finalmente, entrega la información al diseñador y entre todos decoren la bitácora.

Prueba de unidad

Contesta las preguntas de la 1 a la 3 con base en la s iguiente información.

En la finca de Andrés hay un galpón con 45 gallinas, 9 corrales y alimento para 15 días.

La proporción que existe entre la cantidad de gallinas y corrales es:

A. Inversamente proporcional

Directamente proporcional

C, Frecuentemente proporcional

4 Ocasionalmente proporcional

La proporción que existe entre las gallinas y el alimento diario es:

Inversamente proporcional

Directamente proporcional

Frecuentemente proporcional

0 . Ocasionalmente proporcional

La relación que existe entre cantidad de gallinas, corrales y alimento es:

A, Simple

B, Compuesta

Corriente

Uniforme

Contesta las preguntas de la 4 a 8 con base en la s iguiente información.

Al corral llegan 5 gallinas más.

La proporción que se plantea para determinar la cantidad de corrales necesarios es:

45 _ P 50 ' 9

50 9 45 P

45 50

P 9

45 9 D. — = -

50 p 5, La ecuación que se plantea para determi

nar la cantidad de corrales es:

A. 45 • 9 = 50p

B. 45 + 9 = 50p

C. 50 + 9 = 45p

D. 50 • 9 = 45p

La cantidad de corrales que se necesitan para las cincuenta gallinas es:

8

1

C. 2

10

7, El 50% de los diez corrales es:

50

10

5

i

S , El 4% de las 50 gallinas es:

50

25

4

2

9, La cantidad de parejas que se pueden formar con los colores de la bandera de Colombia es:

A. Cuatro

Tres

C. Dos

Una

10, Las posibilidades de la pregunta 9, reciben el nombre de:

'••>.* Permutaciones

Combinaciones

Prueba de unidad

C. Eventos

Experimentos

¡ La cantidad de números de dos cifras d i ferentes que se pueden formar con los dígitos 1, 2 y 3 es:

3 9

ó 12

El mayor número formado es:

A . 23 32

B. 31 33

I 3 El menor número formado es:

A. 11 : 13

12 O 21

Las posibilidades de la pregunta ben el nombre de:

A. Permutaciones

B. Combinaciones

C. Eventos

D. Experimentos

1 La proposición que es falsa es:

reci-

A.

B.

D,

En las combinaciones el orden no importa.

En las permutaciones el orden si importa.

La probabil idad de un evento es menor o igual a uno.

Un experimento es igual a un evento.

• En la clase de arte se están dibujando imágenes reflejadas. La profesora quiere que los estudiantes dibujen imágenes reflejadas en una línea. ¿Qué diagrama representa una imagen dibujada correctamente?

A'

B.

A'

B' C D.

e B' B

A'

B'

Las longitudes de los lados del plato de home en un campo de béisbol están representadas por las siguientes expresiones:

yz

El perímetro del plato es:

5xyz

2x + 3yz

C. x 2 + y 3z

D. 2x + 2y + yz

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

A(ZZ)CZ)CZZ) CZ>* CZ) CZ) CZ) CZ) CZ>* CZD CZ) CZ) CZ) CZZ) CZ) CZ) ^ —- * ™-» -n,,, L-- -—- --- nr ~»- C ',"',' ^^ L-- c O O O O o o o o o o o o o o o o o DOOOO o o o o o o o o o o o o o

MISIÓN MATEMÁTICA 7 -UNIDAD 1- (Soluciones)

TALLER CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO E INVERSO ADITIVO (página 13)

1.

a. Libre

b. -8

c. 0

d. -754

e. +216

g. -200

h. +2 600

i. -30

j. +256 400

k. -105 000

l. – 2 000 460

m. -184

2.

Nautile -5 000 5 000 Titanic -6 000 6 000 Avión 10 000 -10 000 Shinkai -8 000 8 000 Fosa de java -4 000 4 000 Monte Aconcagua 6 000 -6 000 Fosas de las marianas -10 000 10 000

3.

a. F

b. V

c. V

d. V

e. F

f. V

4.

a. El monte Everest se encuentra a una altitud 8 840 metros bajo el nivel del mar. b. Bucaramanga goza de una temperatura promedio de 27 grados bajo cero. c. Un submarino se encuentra a una profundidad de 175 metros sobre el nivel del mar. d. la empresa CALZA YA presenta un balance negativo con unas perdidas totales de $15 654 250.

f. María recibe del señor de la tienda $ 7 550 por la venta de un almuerzo.

5.

Lunes $ 120, Martes $ 60, Miércoles $ 40, Jueves $ 0, Viernes $-40

TALLER ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS Y VALOR ABSOLUTO (página 17)

1.

a. -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

b. 11, 12, 13, 14

c. -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5

d. -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2.

a. -5<+4

b. -3>-5

c. +7>-7

d. +8=8

e. -15<0

f. +7=7>-7

g. -21<13<15

h. +9>6>-5

4. a. Se ganó más en la segunda semana y menos en la tercera.

b.

Egresos Ingresos

235 004 -203 201

705 200 -264 000

1 115 203 -876 351

3 005 801 -4 215 000

5.

Lugar Temperatura (lenguaje natural)

Temperatura (lenguaje matemático)

Desierto de Libia (día) Cincuenta y siete grados centígrados sobre cero

57o C

Antártica Sesenta y cinco grados centígrados bajo cero

-65 o C

Valle de la muerte (EUA)

Treinta y ocho grados centígrados sobre cero

38 o C

Dallol (Etiopia) Treinta y cuatro grados centígrados sobre cero

34 o C

Vostok (julio 1983) Ochenta y nueve grados centígrados bajo cero

-89 o C

Desierto del Sahara Cincuenta y ocho grados centígrados sobre cero

58 o C

Suiza (invierno) Dos grados centígrados bajo cero

-2 o C

6. orden del punto más alto hasta el punto mas bajo de izquierda a derecha a. c. b. d.

7.

a. 91, 42, 5, 0, -1, -11, -33

b. 99, 7, 5, -5, -84, -99

c. -1, -8, -45, -46, -77, -88

d. 98, 78, 55, 4, -7, -8, -11, -77

e. 112, 102, -100, -109, -185, -456

f. 894, 88, -78, -528, -789, -987

8.

a. 2 b. 125 c. 354

d. 0 e. 56 582

f .984 g. 984

9.

a. 16 b. 1 360 años

c. es mas fría 63 grados bajo cero d. 9 264 m

10. Ejercicio de consulta

TALLER UBICACION DE NÚMEROS ENTEROS EN EL PLANO CARTESIANO

(página 20)

1.

a. París: (0, 40) b. Sídney: (120, -20) c. Tokio: (120, 40) d. Frankfurt: (20, 60)

e. México: (-80, 10) f. Santiago de Chile: (-60, -40) g. Shangái: (90, 35) h. Colombia: (-60, 0)

2.

Se encuentran en posiciones diferentes ya que la primera coordenada denota el valor respectivo en x y la segunda coordenada representa el valor respectivo en la coordenada y. en este caso estos dos valores son diferentes tanto en x como en y.

3.

4.

5.24 triángulos.

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTERO Y PROPIEDADES (página 23)

1. 8 173 522

2.

a. 5

b. -3

c. 13

d. 3

e. -1

f. 6

3.

a. -98

b. -114

c. -310

d. 60

e. 31

f. -1 636

g. 1 140

h. -1 621

i. 0

j. -13 322

k. -1031

l. -3 675

4.

5.

a. Negativos, números

b. Enteros positivos.

c. positivos, negativos, numero, valor absoluto.

6.

a. 11 672 420 b. -26 907 266

c. pérdida de 15 234 846

7.

a. 80 Km

b. 100 Km

c. Primer tramo + (segundo tramo -8) - (segundo tramo -8) + (segundo tramo) + (tercer tramo) + (cuarto tramo).

8.

a. 86 km

b. 15+ 13+ 18+ 5 +35 (donde cada uno corresponde a los kilómetros descendidos adicionales por cada buzo.

c. Gráfica en el cuaderno.

9. 875

10. El primero = 120 m

El segundo 100 m

El tercero = 90 m

TALLER SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (página 27)

1.

a.

4 - 7 = -3, 3 – 7 = -4, 2 – 7 =-5, 1 – 7= -6, 0 – 7 = -7

b. 4 + 7 =11, 3 + 7=10, 2 + 7 = 9, 1 + 7= 8, 0 + 7 = 7

c. – 4 – 7 = -11, - 3 – 7 = -10, -2 – 7 = -9, -1 – 7 =- 8, -0 -7 = -7

2.

a. 0+7+6-11=2

b. -14+18-11+14,5=7,5

c. corregir grafico

d. -18+14+21-29

3. 1,5 meses más.

4.

a. 1,9 horas

b. -2 0 C

5. 15

6. a. f

b. v

c. f

d. v

e. v

7.

-1 220 – x = -2 520; x=1 300

8.

a. No retiro mas de lo que tenia pues le quedan 960 200

b. 960 200

9.

a. -8

b. 16

c. 29

d. 12

e. 2

f. 5

10.

Miguen pagó 37 500; -45 000 + 37 500 =-7 500

11. las inyecciones de capital en efectivo no cubren el déficit; -3 850 000 +2 660 500 = -1 189 500.

12.

a. 215 735

b. -250 299

c. 553 647

d. -97 476

13. Alejandría 370 Arquímedes 287 A.C

14. b. 9, c. -21, d. -27, e. -6, f. 8, g. 8.

TALLER MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (página 30)

1. 99 348 845

2.

a. 1 507 b. 1 137 c. 370

3.

a. 18 288 000

b. 9 144 000

c. 48 meses

d. 72 cuotas

4.

5. 16 421

6.

a. -156 090

b. 52 380

c.

d. -839 226 960

e. -280 162

7.

a. revisar relación entre los lados

b. 11 carreras, 6 calles. c. 264

8. 8 100.

9. Ha descendido 300 metros, le faltan por descender 1 450 metros

10. 7 500 2m

11. Para enchapar la casa, 30 000. Para enchapar todas las casas, 570 000.

12. En el mayor 144 000, en el menor 99 000, en un año se invierten 2 916 000.

13. 1 431 400.

14. 80,6 galones por hora.

15.

16.

TALLER POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN (página 35)

1.

a. 4 680

b. 64

c. 512

d. 4 096

e. 4

18

=∑ n

n

f. realiza la grafica en el cuaderno.

2.

3.

Tiene 126, 5 hectáreas en cada lado.

4.

Las medidas del cubo son 7cm.

5.

Su hipotenusa mide 10 cm

6.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h. 4 625 5=

i. 5 243 3=

j. 2 846400 920=

k. 2 144 12=

7.

Potenciación (resultado)

32

729

2

27

1

6

12

8.

Ejercicio libre.

TALLER PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN (página 39).

1.

2.

a. bien

b. bien

c. bien

d. mal

e. mal

f. bien

g. mal

h. bien

3.

a. 26

b. 14

c. -5

d. 5

e. -6

f. 6

4.

a. 4x

b. 7x

c. 2x

d. x-2=3

e. 2x+3x

f. x/2+13

g. 2k-2=48

h. n/2-2n

i. 2z-z/4

j. m/2+2=-14

k. x-3023

l. x+3x=100

5.

a. x=3

b. x=-1

c. x=3

d. x=2

e. -7/2

f. x=-6

g. x=3

h. x=3

i. x=3

j. x=1

k. x=-3

l. x=100

m. x=5

n. x=20

ñ. X=80

o. x=10

p. x=4

q. x=3

r. x=-1

s. x=10

t. x=18

u. x=-50

v. x=-128

w. x=-900

x. x=5

y. x=10

6.

Jorge = 250, Andrea = 500

7. 1 530 000

8. el padre colabora con 912 500, quedan por pagar 912 500

9. David=19, Pablo=22.

10. 89 330 100

11. largo = 12, ancho = 4

12. 21

13. 25 km

14. 6 456 390

15. si

16.

a. 44

b. 48

c. 4 000

d. 40

e. 39

f. 4

g. 18

h. 10 000

i. 25

j. 26

k. 6

TALLER SEGMENTO Y ÁNGULOS CONGRUENTES (página 44)

1.

Opuestos por el vértice: , . 2, 1 3, 4

2.

a. q, r

b. b,c y a,e

c. c,f y d,e

d. a,d y c,b y f,g.

3.

4.

5. Dibujo en el cuaderno

6.

7.

TALLER ORGANIZACIÓN DE DATOS Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

(página 51).

2.

a.

Tallos Hojas

0 89

1 18

2 159147

3358

4 7

5 0.86

6 8

b.

Tallos Hojas

089

118

2159147

33358

47

50.86

68

c.

Tallos Hojas

0 89

1 18

2 159147

3 3358

4 7

5 0.86

6 8

3.

a.

frec acum

frec. Relativ

frec rel acum

8 8 13,56

24 32 40,68

15 47 25,42

9 56 15,25

3 59 5,08

b.

frec acumfrec. Relativ

frec rel acum

5 5,88 5,88

14 10,59 16,47

25 12,94 29,41

44 22,35 51,76

69 29,41 81,18

81 14,12 95,29

85 4,71 100

c.

frec acum

frec. Relativ

frec rel acum

5 8,62 8,62

24 32,76 41,38

34 17,24 58,62

47 22,41 81,03

51 6,9 87,93

55 6,9 94,23

58 5,17 100

4.

a.

6 69

7 626277618

6 69

7 35055064

b.

1 997

2 832110

3 1

PRUEBA DE UNIDAD (página 58)

1. B

2. D

3. C

4. B

5. C

6. B

7. A

8. B

9. D

10. C

11. C


TALLER OPERADORES FRACCIONARIOS (página 62)

1.

a.10

b.5

c.25

d.3

2.

a.6

b. 14

c.12

d.226

3.

a.173 442 propia

b.545 795,2 impropia

c.107 640 propia

d.350 000 propia

e. 28 571,43 impropia

4.

-448 -352 -112 -96 -464 -2624

9100 7150 2275 1950 9425 53300

-224 -176 -56 -48 -232 -1312

-2100 -1650 -525 -450 -2175 -12300

840 660 210 180 870 4920

5.

7 479 299,5

6.

a.200

b.-300

c.100

d.-125

e.-300

7.

64 32 16 8 4 2

8.

Distrito = 989 353,8

Privados = 527 655,33

9.

a.34

b.72

c. 34

d. 132

10.

a. 2124

,621

,226

b. 4860

,4048

,4440

c. 1536

,2715

,627

d. 25

100,3525

,1035

TALLER FRACCIONES EQUIVALENTES Y NÚMEROS MIXTOS (página 66)

1.

a. 67

b. 92

c. 433

d. 78

e. 11

f. 4669

g. 0

h. 89

i. 9

10

j. 2430

2. verde= rosada ≠ morada

3.

a. ninguna

b. 24

,36

,48

,5

10

c. 2234

,3351

,4468

,5585

d. 6

10,

915

,1220

,1525

e. 2135

4.

13

,26

,4

12,13

,1648

,3296

,64

192,128384

5.

2436

,8

12,23

18436

,4634

,2317

0120

,0

15,03

16278

,5426

,2713

372

,124

3555

,711

6.

a. 1156

b. 1223

−

c. 1147

d. 14716

−

e. 1762

f. 119−

7.

a. 21418

b. 199414

−

c. 35613

−

d. 1087

9

e. 665519

f. 990419

−

8.

rendimiento

144/472

22/74

132/444

18/59

9.

a. a=5

b.a=15

c.x=3

d.x=3

TALLER CONCEPTO DE NÚMERO RACIONAL (página 70)

1. Si (justifica en tu cuaderno)

2. explicación en el cuaderno.

3.

4.

a. V

b. F

c. V

d. F

e. F

f. F

5.

a. 13

b. 14

c. 15

d. 16

e. 17

f. 18

∈∉∉∉

∉

∈∈∈∈

∈

∈

∈∈∈∈∈

∈

∉∉

∉

∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈

g. 19

h. 14

i. 38

j. 58

6.

a. cultiva 44 cuadritos. b. cultiva 42 cuadritos.

7.

a. 7

149

b. 734

c. 1234

d. 17149

e. 4348

f. 48

149

g. 39

149

h. 67

149

8.

a. 58

b. 58

c. 58

d. 58

TALLER REPRESENTACION DECIMAL DE LOS RACIONALES Y CONVERSIONES (página 74)

1.

a. F

b. F

c. V

d. V

2.

a. Periódico

b. Finito

c. Finito

d. Periódico

e. Finito

f. Periódico

g. Finito

h. Finito

i. Finito

j. Finito

k. Finito

l. Finito

3.

expresión decimal Finito periódico

0,5 x

0,7777778 x

0,2 x

0,375 x

0,77777778 x

0,428571 x

3,14285714 x

3,11111112 x

4.

a. 1045100

b. 2134100

c. 47610

d. 1225100

e. 5234100

f. 20510

g. 75210

h. 15510

i. 2268100

j. 76810

k. 7154100

l. 7605100

m. 72881000

n. 4135100

5.

a. 83899

−

b. 2 340999

c. 45200999

−

d. 21 300

99

e. 21 030

99−

f. 105999

6. Lunes: 4,5 m; martes:5,75 m; miércoles; 5,333… m

7. 0,03 segundos

TALLER ORDEN DE LOS NÚMEROS RACIONALES Y REPRESENTACION EN LA RECTA NÚMÉRICA (página 78)

1. Dibujo en el cuaderno.

2.

a. 1<58

<2

b. -2<32

− <-1

c. -4<154

− <-3

d. 3<113

<4

orden

6

2

102184 41100 2

T

cm

−×

− ≠

15 3 5 114 2 4

− < − < <3

3.

a. entre E y F

b. A y B

c. F y G

d. B y C

e. A y B

f. E y F

g. A y B

h. G y H

4.

Pista recorrida

0,3

0,055

0,4

0,25

0,11

0,2

0,06

0,14

0,125

0,25

POSICION ATLETA

1 USA

2 SUDAF

3 CANAD, ALEMAN

4 CUBA

5 CHINA

6 BRASIL

7 COLOMBIA

8 SUIZA

9 ESLOVENIA

10

5.

a. en la fiesta de Jorge b.

14 1530 30

≠

7.

a..<

b.<

c.=

d.<

e.>

f.=

g.>

h.<,=

i.>,<

8.

a. va ganado Ximena, 975 sobre Andrea, 525 sobre Miguel.

b. Andrea=600Km, Miguel=1 050, Ximena=1 575

9.

a. 1116

− b. p=85

− , q=1

16−

10. 132

TALLER POLÍGONOS (página 83)

1. Si, puede ser cóncavo regular, ejemplo:

2. Si

3. Ejercicio libre

4. .

polígono lados vértices

pentágono 5 5

hexágono 6 6

heptágono 7 7

octágono 8 8

eneágono 9 9

decágono 10 10

5. Ejercicio libre

6.

polígono total diagonales total triángulos

suma ángulos internos Total diag.

hexágono 3 3 720 18

heptágono 4 5 900 28

7.

a..a i ≅

b. b f ≅

c. c≅ e

d. d≅ i

8.

9.

a. PO, O ≅ ≅

b. QP, P ≅ ≅

c. MQ, Q ≅ ≅

d. ≅ MN, ≅ M

e. ≅ MÑ, ≅ N

f. ≅ ÑO, ≅ Ñ

TALLER LONTITUD Y PERÍMETRO (página 86)

1. 4 309 m = 43 090 dm = 430 900 cm = 430,9 dam = 4,309 km

2.

a.730, 7 300, 730 000

b.8,1 81 810

c.0,1248 0,01248 12480

d.1,0012 1001,2 10012

e.2,4 240 2400

f.0,000248 0,00248 2,48

g.0,0080025 0,080025 800,25

3.

a. 60 m

b. 97,5 cm

c. 6 200 m

d. 2,098 m

4.

a. 782 cm b. 14 250 dm

5.

a. 1,97 m

b. 21,88 m

c. 0,19 m

d. 0,12 m

6.

a. interno = 10,92 cm, externo=21,84

b.interno = 97

100, externo =

182100

c.2184100

7. 66 m

8. 9 cm

9.

10

a. 0,94m

b. 2 512 m

c. 0,06 m

d. 1 m

11.

a. Cuad. 2 640 m, Circ 2 072,4m b. Cuad 19,84 m, Circ 15,57 m

12. 398,02 m

TALLER TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOTABLES (página 91)

1. Las Alturas son segmentos perpendiculares que unen un lado del triángulo con el vértice opuesto, las mediatrices además de ser perpendiculares con el lado, se construyen a partir del punto medio de este mismo.

2.

.

a. Isósceles

b. Escaleno

c. Isósceles

d. Equilátero

e. Isósceles

f. Escaleno

g. Escaleno

h. Escaleno

3. .

a. rectángulo

b. obtusángulo

c. acutángulo

d. acutángulo

e. acutángulo

f. rectángulo

g. obtusángulo

h. acutángulo

4.

35

5.

a. ortocentro

b. incentro

c. ortocentro

d.ortocentro

6.

Dibujo en tu cuaderno

7. Dibuja en tu cuaderno

a. equilátero, escaleno. b. responder según dibujo

8.

.

TALLER ÁREA Y UNIDADES DE SUPERFICIE (página 95)

1. 18 3

2. .

a. 15

b. 37

c. 28

d. 332

e.412

f. 27

g.12

h. 16

i. 16

j. 4

3.

3 353,24 2cm

4. 154 000 2m

5. 700 2m

6.

0,25 25 2500 250000 25000000

0,0085242 0,85242 85,242 8524,2 852420

1,24 124 12400 1240000 124000000

0,1848 18,48 1848 184800 18480000

6,1 610 6000 6100000 610000000

7.

a. km 2

b.0,15

c. 0,08

d. cm 2

e. 0,02406 f. 3 000 000

8.

a. 1 500 mm 2

b. 1 200 mm 2

c. 8 100 mm 2

d. 1 020 mm 2

9.

a.6,2

b.0,027

c. 1 040

d. 580

e. ha

f. dam 2

10.

25 400 000 m < 24 000m <610m <340m <200m <15,7530m <0,234971m 2 2 2 2 2 2 2

11.

a. 3

b. 5

c. 6

d. 1

e. 2

f. 4

TALLER TEOREMA DE PITÁGORAS (página 100)

1.

a. 1, 4, 5. b. explicación en el cuaderno

2.

a. 5

b. 24

c. 625

d. 1681

e. 8

f. 10

3.

a. 10

b. 144

c. 8

d. 5

e. 5

4.

a. si

b. si

c. si

d. si

e. si

f. si

g. no

h. si

i. si

j. no

k. si

5.

cateto a cateto b hipotenusa

3 4

5

5 12

6 8 10

7 24 25

10 24 26

20

21 29

1 2

7 24 25

120 27 123

169

3

6.

a. 12

b. 30

c. 24

d. 16

e. 28,32

7.

a. 24

b. 42

c. 35

d. 190

8.

b. 3,98

9. 784

10. explicar en el cuaderno

11. 298,08

12. 29,66

13. 150

14. 500

15. 4

16. AC= 2 , AD= 3 , AE= 4 , AF= 5

17. 17 Km

18. 12,73 cm

19. 224,72 cm

20. 4,03 m

21. 80 cm 2

22. 8,4 cm 2

TALLER UNIDADES DE MASA, VOLUMEN Y CAPACIDAD (página 105)

1.

a. 1550

b. 12,348

c. 10,96

d. 24640

e. 8600000

f. 7

g. lb

h.

i. 500

j, 850000

k. 390 000

l. cl

m. Hl

n. 3,48

2. .

a. 23240

b. 24,85

c. 6,7

d. 5

e. 9600000

f. 121,5 310 L−×

g. 14,92 610 L−×

h. 1 310 L×

i. 0,3 310 L−×

j. 1,5 910 L×

k. 9,6 310 L×

l. 1,8 310 L−×

m. 31,2 610 L×

n. 16,12 310 L×

ñ. 1,96 910 L×

o. 121,5 310 L−×

p. 14,92 610 L−×

q. 12,9 910 L×

3. .

a. 1 310 KL× b. 0,5 010 KL×

c. 15 310 KL−×

d. 8 610 KL×

e. 9,2 310 KL×

f. 3,7 310 KL−×

g. 14,2 610 KL×

h. 71,6 310 KL×

i, 12,5 010 KL×

j, 126,1 310 KL−×

4.

a. 1 310 ml×

b. 2 310 ml−×

c. 1,3 310 ml×

d. 2,5 610 ml×

e. 7,21 310 ml−×

f. 6,28 310 ml×

g. 0,18 610 ml×

h. 7,21 310 ml×

i. 0,32 610 ml×

j. 0,01 1210 ml×

k. 0,15 310 ml×

l. 0,12 310 ml−×

5. .

a. 3kl=3t

b. 2 000kl=2 000T

c. 15 310 Kl−× =15 310 T−×

d. 0,9 610 Kl× =0,9 610 T×

e. 12,8 610 Kl−× 12,8 610 T−×

f. 3,9 910 Kl× 3,9 910 T×

g. 21,5 610 Kl× 21,5 610 T×

h. 18,2 310 Kl× 18,2 310 T×

6.

a.

tamaño A=1,25L

tamaño B=2,5L

tamaño C=5L

tamaño D=7,5L

b.

tamaño A=1Kg

tamaño B=2Kg

tamaño C=4Kg

tamaño D=6Kg

7.

a. 1

b. 4

c. 2

d. 3

8.

a.3,3753504L b. $14 940,83

9.

a. 3

b. 2

c. 5

d. 4

e. 1

10. 59,52 Kg

11. 300 tanques de 5 dal.

12.

a. 3, no

b. 5, no

c.2 de 25 ml mas 1 de 8 ml

13 .de abajo hacia arriba (1,75dl, 53 cl, 7,5 dl)

14.

0,4m >3,4hm 3 >2,01hm 3 >61 dam>54 000 m 3 >315 7530 cm >23234971 mm 3 3 3

15

a. cm3

b. mm3

c. Km3

d. cm3

16.

a. dal

b. dal

c. hl

d. dl

17

a.154 500dm 3

18

a. 162 m 3

b. 162 L 310×

c. 162 Kg610×

.

TALLER DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y DIAGRAMAS ESTADÍSTICOS

(página 111)

1.

No. clases

Clases Marca de clase

Frecuencia F relativa Frecuencia acumulada


1 [ ]14 18− 16 3 27,27 3 27.27

2 [ ]19 23− 21 4 36,36 7 63,63

3 [ ]24 29− 26,5 4 36,36 11 99,99

2.

a.

No. clases Clases Marca de clase Frecuencia Frecuencia acumulada

1 [ ]4 9− 6,5 5 5

2 [ ]10 15− 12,5 4 9

3 [ ]16 21− 18,5 3 12

b.


1 [ ]16 21− 18,5 5 5

2 [ ]22 27− 24,5 4 9

3 [ ]27 32− 29,5 3 12

c. Construye en tu cuaderno.

3.

a.


1 [ ]11 18− 14,5 30 30

2 ( ]18 25− 21,5 14 44

3 ( ]25 32− 28,5 8 52

4 ( ]32 39− 35,5 9 61

5 ( ]39 46− 42,5 6 67

6 ( ]46 53− 49,5 3 70

b.


1 [ ]0 5− 2,5 10 10

2 ( ]6 11− 8,5 30 40

3 ( ]12 17− 14,5 25 65

4 ( ]18 23− 20,5 15 80

5 ( ]24 29− 26,5 20 100

6 ( ]30 35− 32,5 35 135

d.


1 [ ]15 20− 17,5 24 24

2 [ ]21 26− 23,5 11 35

3 [ ]27 32− 29,5 8 43

4 [ ]32 38− 35 4 47

4.

a.


1 [ ]300 471− 385,5 12 12

2 [ ]472 643− 557,5 9 21

3 [ ]644 815− 729,5 24 45

4 [ ]816 987− 901,5 0 45

5 [ ]988 1159− 1073,5 3 48

6 [ ]1160 1331− 1245,5 1 49

7 [ ]1332 1503− 1417,5 1 50

b.

No clases Frecuencia Frecuencia acumulada

1 7 7

2 9 16

3 14 30

4 11 41

5 8 49

c.


1 [ ]1,2 2,2− 1,7 6 6

2 [ ]2,3 3,3− 2,8 3 9

3 [ ]3,4 4,4− 3,9 9 18

4 [ ]4,5 5,5− 5 12 30

5 [ ]5,6 6,6− 6,1 8 38

6 [ ]6,7 7,7− 7,7 4 42

7 [ ]7,8 8,8− 8,8 2 46


1. A

2. D

3. C

4. C

5. A

6. B

7. D

8. D

9. C

10. D


TALLER ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES (página 124)

1.

a) 3 5 14 4 2

− + =

b) 3 97 7

⎛ ⎞+ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 2 3 1

10

67

5 10⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 13 2

⎛ ⎞ 16

− + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

+

2.

a)1328

− f) 75

−

b)41

132 g)

17

c)28556

h) 1514

d)6778

i) 8

15−

e)1715

− j) 4−

3.

a) 1415 ,55

b)

-50,858

c) 171,8

d) 457,164

e) 555,712

f) 176,35

4.

a)129

d) 16

−

b) 165

− e) 353

c) 2511

f) 9

13

5

a)7 5

10 10 5+ =

6 b)

7 510 10 5

⎛ ⎞ 1+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

6.

a. 76

b. 89

c. 10972

7.

a) 3 kilos b)

33 = 3,754

c) 13 = 3,254

8.

a) -3 kilómetros. b)

35

− c) 4

15−

9.

a) ( )4 + -34 1 4 1 1 - = + - = = 9 3 9 3 9 9

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( )-4 + -54 5 4 5 9- - = - + - = = -11 11 11 11 11 11

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ( )2 + -32 1 2 1 1 - = + - = = -9 3 9 3 9 9

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) ( ) ( )2 + -1 7 + -302 1 6 2 1 6 6 1 6 23 - - = + - + - = + - = + - = = -5 5 7 5 5 7 5 7 5 7 35 35

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e) ( ) ( )14 + -1 -8 + -134 7 1 4 7 1 4 4 13 4 13 2- - - = - - + - = - - = - - = - + - = = -3 3 6 3 3 6 3 6 3 6 3 6 6 6

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

f) ( )-9 + -451 4 7 2 3 9 3 9 54 18 - - - - = - - = - + - = = - = -5 5 3 3 5 3 5 3 15 15 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10.

a) ( ) + -10 = 6 4 - =

5 43

562 2

9 45

b) ( )-12 + -1 229 2

04 10- - = = -277 27

c) ( )-36 + -10- - 12 2 46

15= = -

5 3 15

d) ( )28 + 1 --314 25 =

6 =

3 2 6

e) ( ) + 6 -7 1 = - - = 5 1 1003 7

10

f) ( )25 + -4411 - = = 9 -4 205 1

5 20

11.

a) Falso b) Verdadero

12.

a) (c)(b) b) (e)(a) c) (b)(e)

d) (a)(c) e) (d)(d)

13. ( )21 + -103 2 11 - = = 5 7 35 35

; la diferencia es de 1135

de minuto.

14.

a) Pedro ( )42 + -3021 10 12 1 - = = =

24 16 48 48 4; la diferencia es de 1

4 de hora.

b) ( )10 + -610 3 4 1 - = = = 16 8 16 16 4


de hora.

c) ( )21 + -921 3 12 1 - = = = 24 8 24 24 2


de hora.

15. ( )40 + -274 1 2 1 4 10 + 12 + 5 4 27 4 27 13 - + + = - = - = + - = = 3 3 5 6 3 30 3 30 3 30 30 30

; la ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

faltan por recorrer 1330

de kilómetros.

16. ( )13 + -813 2 5 1 - = = = 20 5 20 20 4

; el submarino se encuentra a 14

kilómetros del fondo del

mar.

TALLER MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES (página 128)

1. Dibujo en el cuaderno

2. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones entre números racionales.

a) 3 2 34 7 14

− = −i f) 2 6 1 5 57 9 12 4 252⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠i i i

b) 7 2

12 9 8⎛ ⎞− ÷ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

21 g)

2 3 5 313 7 4 78

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ÷ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i 5

c) 7 4 14

11 6 33=i h)

5 2 1 3 56 7 8 2 21⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠i i i

2

d) 4 9

15 10 27⎛ ⎞÷ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

8 i)

2 5 1 27 11 2 7⎛ ⎞ 0

7− ÷ = −⎜ ⎟⎝ ⎠i

e) 4 2 5

15 10 8 30⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠i i 1

j) 3 5 3 727 8 7 245

⎛ ⎞÷ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠i

3.

4.

a)(F)

b)(V)

c)(F)

d)(F)

e)(V)

5.

a) 2 2 3 53 7 7 21

− + =i d) 5 2 2 2424

13 7 13 91⎛ ⎞+ + ÷ =⎜ ⎟⎝ ⎠

7

b) 9 4 5 6 3

11 3 7 9 154⎛ ⎞− + ÷ = −⎜ ⎟⎝ ⎠i e)

5 2 3 2 117 3 4 5 210

⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟⎝ ⎠i

c) 2 2 3 14973 7 10 30

⎛ ⎞+ − ÷ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 1 2 3 3 2 1196 3 5 4 5 360

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ÷ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i

6.

Doble de

ab

Triple de ab

Tercera parte de ab

Mitad de

ab

12

ab= 1

2 221 2= =i

1 332 2

=i 1 132 6÷ =

1 12

24

÷ =

38

ab=

3 64

2 38 8

= =i 3 938 8

=i 3 338 24

18

÷ = = 38 1

2 36

÷ =

512

ab=

5 1012 1

52 6

= =i2 5 153

12 12 45

= =i 5 53

12 36÷ = 25 5

12 24÷ =

43

ab=

43 3

2 8=i

4 123 43 3

= =i 4 433 9÷ =

4 43

2 23 6÷ = =

7.

a) 1 60 154

=i

b) 5 60 2512

=i

c) 3 3 120 278 5

=i i

d)

2 3 180 309 4

=i i

e) 1 5 25207 8 14

=i i f) 5 2 75308 7 14

=i i

8.

a) 12 b) 18 c) 6

9. Respuesta libre, depende del valor del dólar.

10. 180 /7

km h−

11.

a) 30 1200,45 36013,5=i b) 129,56 7 906,92=i c) Respuesta libre

TALLER POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Y PROPIEDADES

(página 133)

1.

a) 4 4

4

2 2 2 2 2 2 16- - - - = - = = 5 5 5 5 5 5 3 125

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i i i

b) 53 3 3 3 3 3 243- = - - - - - = -

7 7 7 7 7 7 16 80⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i i i i

c) 410 10 10 10 10 10 000 = =

3 3 3 3 3 81⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i i i

d) 3 3

3

4 4 4 4 4 64 = = = 7 7 7 7 7 343

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

i i

7

e) 02 = 1

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2.

a) 02- = 1

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 33 27 - - =

2 8⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 62 64- =

10 1 000 000⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 26 36

5 - =

5 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 35 125- = -

7 34⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 3

f) 510 100 000- = -

3 243⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3.

a) (b) b) (e) c) (d)

d) (a) e) (f) f) (c)

4.

31 1 1 1 18

= = 2 2 2 2

⎛ ⎞• • ⎜ ⎟⎝ ⎠

; 18

de 24 es tres; al finalizar la partida había tres fichas en juego

5.

31 1 1 1 18

= = 2 2 2 2

⎛ ⎞• • ⎜ ⎟⎝ ⎠

; 18

de 64 es

6.

Respuesta libre.

7. 1.

a) 102

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 93

7⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 16 105 2

11 7⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e) 12 103 6

14 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f) 22

7⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

g) 35

4

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

h)

215 24 9

−−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i) 45

4

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

j)

8 71 412 5

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k) 62

7⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

l) 66

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

m) 153

7⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

n) 122

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

o)

437

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

p)

56427

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

q)

7421

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

r)

6214

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

s)

3185

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

t)54

63⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

8.

33 27 5

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

9 9

9 9

3 27 5⋅⋅

33 27 5

⎛ ⎞÷⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3

3 3

3 27 5⋅⋅

333 27 5

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

3 3

3 3

3 57 2

⋅⋅

9.

a) (f) b) (v)

c)(v)

10.

a) Producto de potencias de igual base, cociente de potencias de igual base.

b) potencia de una potencia, producto de potencias de igual base, cociente de potencias de igual base

c) distributiva con respecto a la multiplicación. Producto de potencias de igual base. Cociente de potencias de igual base.

11.

a) 27 272 2

5 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) 18 592 2

3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) 43 3 9

5 4 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d) 45 274 2

5 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

12.

a)

222223 92 23 3

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

6

b) i)

4 253 563 236 10633908091000 250

=

ii)

1996: 31063390809

250⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1997: 33 91063390809 1063390809

250 250⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1998:

333 21063390809 1063390809250 250

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

7

2003=65611063390809

250⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

TALLER RADICACIÓN Y PROPIEDADES DE NÚMEROS RACIONALES (página 141)

1.

a) 23 9 =

7 49 ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 34 64 -

125 - =

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 610 1 000 000- = -

3 729⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 32 8- = -

11 1 331⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 46 1 296

10 000 =

10⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 212 144 =

11 121⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2.

a) 23

b) 3 10

c) 12

d) 25

e) 74

f) 59

S I E T E M E D I O U S U

I O C H O N D R G H N K N

E S T R E S S E X T M O C

T O S D R T Y H D F E M U

E I D I E Z M E D I D O A

C C S U N O T R E S I O R

U R S O T N I U Q S O D T

A E X V F G B H J J K L O

R T R E S D E C I M O S M

T S O S E T V E U N S T D

O O D O I E E D Z O I R F

S D U D S N U I E S E E S

A S O N E V O N O C N I C

3.

a) Verdadero b) Falso c) Falso

d) Verdadero e) Falso f) Falso

4.

38 = 27 3

2 ; en la primera partida gastó 23

de hora.

5.

a) 49

b) 56

c) 712

d) 32

e) 45

f) 13

g) 3

B G

A C U A T R O N O V E N O S T

I R

N E

E C U A T R O Q U I N T O S S

O

S F U N T E R C I O

E

X

D T R E S M E D I O S

O

C S I E T E D O C E A V O S

6.

a) Dos respuestas racionales 2 1 23 5 15⋅ = ,

2 1 23 5 15

− ⋅− =

b) una respuesta racional 2 165 5⋅ =

2

c) dos respuestas racionales9 2 18

11 7 77⋅ = ,

9 2 111 7 77

− ⋅− =8

d) No tiene respuesta

e) una respuesta 2 1 23 9 2⎛ ⎞⋅ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 7

g) dos respuestas h) dos respuestas 24, 24−7 7,5 5−

i) una respuesta 2 .

j) no tiene respuesta

k) dos respuestas10 10,7 7

−

7. a) 1211

b) 169

c) 87

d) 152

e) 2770

− f) 95

−

8.

a) 2144100

dm b) 2180,18100

dm= c) d) 21,2dm 20,42dm

TALLER ECUACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (página 146)

1.

a)

3 1+ m = 4 23 3 1 3

4 + m =

4 4 22 - 3 1m = = -

4 4

− −

b)

2 p = 107

2 2 2 p = 10 7 7 7

7 70p = 10 = = 352 2

⎛ ⎞÷ ÷⎜ ⎟⎝ ⎠

•

c)

2 4a - = 3 52 2 4 2a - + = + 3 3 5 3

12 + 10 22a = = 15 15

d)

2 7b = 7 32 2 7 2b = 7 7 3

7 2 14 2b = = = 3 7 21 3

÷

⎛ ⎞• ÷⎜ ⎟⎝ ⎠

•

7

•

e)

( )

2 14t + = 9 22 2 1 24t + - = - 9 9 2 99 - 44t = 18

54 4 t = 418

5t = 72

÷ ÷

f)

8 1n - = 107 28 1 1 1n - + = 10 + 7 2 2 28 20 + 1n = 7 28 8 21 n = 7 7 2

147n = 16

⎛ ⎞÷ ÷⎜ ⎟⎝ ⎠

87

2.

a)

4 + m = 83

4m = 8 + 3

24 4m = 3

28m = 3

−

+

b)

3p + 8 = 4

3p = - 843 - 32p =

429p = -4

c)

7 1r + 7 = -9 27 1r = - - 79 27 1 - 14r = -9 27 15r = -9 2

15 7r = - 2 9

135r = -14

÷

d)

2 3t - = -4 5

3 2t = - + 5 412 + 10t = -

202 1t = - = -20 10

e)

2 54d - = 5 75 24d = + 7 525 + 144d =

35394d = 35

39d = 43539d =

140

÷

f)

28w + = -75

28w = -7 -5

35 - 28w = -5

378w = -5

37w = - 85

37w = -40

÷

3.

a) 2 53 + = 3 6

q

b) 4 8 - = 5 9

n

c) 2 13 + 5 =

d) 11 = 74

h

e) 13+ = 112

m

f) 9- 12 = 10

b5 5

t

4.

a) Cuatro tercios de un número aumentado en diez equivale a doce. b) Siete veces un número disminuido en dos tercios equivale a cinco séptimos. c) Tres cuartos aumentado en un numero equivale a cuarenta y tres. d) Dos novenos de un número aumentado en un medio equivale a veinte. e) Dos quintos de un número disminuido en dos quintos equivale a veinticuatro. f) Seis veces un número aumentado en ocho equivale a un décimo.

5.

1 3 + = 152 21 3 = 15 - 2 21 30 - 3 = 2 21 27 = 2 2

27 1 = 2 2

54 = = 272

Pedro tiene 27 años.

r

r

r

r

r

r

÷

6.

43 - 5 = 3

43 = + 534 + 153 =

3193 = 3

19 = 33

19 = 9

19El puntaje del jugador es 9

p

p

p

p

p

p

÷

7.

4 + = 126

4 = 12 - 6

72 - 4 = 6

68 34 = = 6 3

34La partida tarda 3

j

j

j

j

8.

1 35 + = 3 1535 1 = - 15 335 - 5 =

1530 = = 215

Hay dos jugadores

v

v

v

v

9.

2 - 12 = 5

2 = + 1252 + 60 =

562 = 5

62La partida tarda 5

q

q

q

q

10.

Respuesta libre

TALLER SITUACIONES PROBLEMA CON NÚMEROS RACIONALES (página 149)

1 Respuesta libre

2.

a)1495100

,3995100

,1452100

,10810

b) Lego Indiana Jones

c) Respuesta libre, depende del precio del dólar y del euro en el momento.

d) Soma, Tetris

e) Precio al por mayor: Soma es $ 9,96 US, Lego 26,633 €, Rompecabezas de matemáticas $ 9,68 US, Tetris 7,2 €

3.

a) 12

b) 5

32

c) 7

32

d) 1

16

e) 8 fichas negras.

f) 12 fichas blancas.

4.

a) 1209662 205448,

100 100

b) $43144.08

c) $10 644,62;$38 213,08

d) $48 857,7

e) $2 8 841,1

f) $4 1 220,47

g) Completar factura con las respuestas de la b a la e

h) $ 16 988,47

5.

a) 48050025

100

b) $192200,1

c) $3 8440,02

d) $ 144150,075

e) $ 144150,075

f) Verdad porque la cantidad de dinero ahorrada es $1 y el dinero entregado a los hijos es $76 880,04

15320,06

6.

a) 1 234 62011 234 6202

+⎛ ⋅⎜⎝ ⎠

⎞⎟ ; el nuevo saldo es1 851930

b) 1 851 930218519303

−⎛ ⋅⎜⎝ ⎠

⎞⎟ ; el nuevo saldo es $617310

c) 1617310 6173102

−⎛ ⎞⋅⎜⎝ ⎠

⎟ ; el nuevo saldo es 308 655

d) 1 234 620 1 851 9301 21 234 620 1851930 617310 6173102 3

+ − −⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⋅ − ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝

12

⎞⎞⎟⎟⎠⎠

7.

a) $1 450

b) 2 1 77504,98; 7504,98; 6432,843 2 6

B B B B+ = = =

c) 2 643284$ $4288,563 100

Manzanas = ⋅ =

8.

a) zanahoria, habichuela y alverja.

b) $ 1 237,5

c) $5 250

TALLER SÒLIDOS GEOMÉTRICOS (página 153)

1.

Juego de Ingenio Nombre de los sólidos que lo forman

Cruz 3D Cilindro

Metal 6 Cilindro, hexaedro

Solitario triangular Esfera, hexaedro.

Bloques lógicos Pirámides, cilindros, hexaedro

Escalera de colores

Esferas, hexaedro, cilindros

2.

Cuerpos Redondos Poliedros:

Los poliedros con caras paralelas se clasifican en

Prismas: formados por un par de caras opuestas congruentes y paralelas. Las demás caras son paralelogramos.

Paralelepípedos: todas las caras opuestas son paralelogramos congruentes y paralelos.

Poliedros no prismas ni paralelepípedos:

3. Libre

4.

Sólido Cantidad de vértices

Cantidad de caras

Cantidad de aristas

¿Se cumple la igualdad?

Tetraedro

4 4 6 Si

(2)

(12)

(11)

(6)

(9)

(1)

(7)

(5)

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Tetrahedron.jpg�

Cubo

8 6 12 Si

Octaedro

6 8 12 Si

Dodecaedro

20 12 30 Si

Prisma

10 7 15 Si

Paralelepípedo

8 6 12 Si

10 7 15 Si

10 12 20 Si

a)

Leonhard Euler, nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, a lo largo de su vida escribió más de 800 libros, realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos, encontró regularidades en los cuadrados mágicos entre otros aportes.

5)

Poliedro de caras regulares- Platónicos: Son poliedros con caras poligonales congruentes y regulares

.

Poliedro de caras irregulares: Son poliedros con caras poligonales no todas congruentes.

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Hexahedron.jpg�

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Octahedron.jpg�

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Dodecahedron.jpg�

http://es.wikipedia.org/wiki/15_de_abril

http://es.wikipedia.org/wiki/1707

http://es.wikipedia.org/wiki/Basilea

http://es.wikipedia.org/wiki/Suiza

http://es.wikipedia.org/wiki/18_de_septiembre

http://es.wikipedia.org/wiki/18_de_septiembre

http://es.wikipedia.org/wiki/1783

http://es.wikipedia.org/wiki/San_Petersburgo

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos

Arquimedianos o semirregulares: Son poliedros con caras

poligonales regulares, no congruentes entre si

a) Cinco

b) No

6).

a).(V ) b) .(F ) c) ( V) d) (F)

8. Las pirámides poseen solamente una base y las otras caras son triángulos. El nombre de la pirámide depende de la base, si la base es un triangulo se denomina pirámide triangular, si es un pentágono pirámide pentagonal y así sucesivamente. Coloree de amarillo las pirámides hexagonales y de verde las pirámides cuadrangulares.

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Dodecahedron.jpg�

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Hexahedron.jpg�

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Octahedron.jpg�

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Tetrahedron.jpg�

a) Esfera ( c ) Es un sólido cuya base es un circulo y cuya superficie lateral alabeada termina en un punto llamado vértice.

(b) ** Dibujo de un cilindro***

b) Cilindro

( a) Es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia a un punto determinado (centro) es siempre la misma.

( a)** Dibujo de una esfera***

c)Cono

( b )Es un solido cuyas bases son círculos congruentes y paralelos, adicionalmente está limitado por una superficie alabeada

(c) ** Dibujo de un cono***

TALLER VOLUMEN DE SÓLIDOS (página 159)

1.

370,875cm 360,75cm 357,375cm

2.

Fichas del soma Sólido Volumen

A

3146,004cm

b

3182,505cm

C

3231,173cm

mm

= =

3.

a) ( )2 3 1 3 3 V m mπ π= • =

b) 3 5 2 2,5 25 V dm dm dm d= • • =

c) m ( )3 3 3,5 42,875 V mm m

d) ( )3 3 34 4 2,5 15,625 20,83 3 3

V m m mπ π π= = • =

e) ( )2 2 333 7 9 7 63 21

3 3 3m m m m mV m

ππ π π

• •= = = =

f) 33,5 3,5 2 8,16 3

m m mV m• •= =

4.

a) (f) b) (a) c) (c)

d) (e) e) (b) f) (d)

5.

a) Falso b) Verdadero c) Falso

d) Verdadero e) Verdadero f) Verdadero

6.

a) 3m= ; el apartamento tiene un volumen de 390 m . 9 4 2,5 90 V m m m= • •b) ( ) ( ) 3 3 311,25 m ; la

alcoba tiene un volumen de 311,25 m . 3 2 2,5 1 1,5 2,5 15 3,75 V m m m m m m m m= • • − • • = − =

c) ( ) ( ) 3 3 326,25 m ; la diferencia es de 326,25 m .

3 4 2,5 1 1,5 2,5 30 3,75 m m m m m m m m• • − • • = − =

d) El baño y la alcoba juntos.

7.

3

3

2

2

2

1,5 3 24,5

31,5

24,5 3 3

1,521,53

1,5 6 1,5 1,5 6

1,5 6

dm a dmdm

dm a

dm dm

dm a

dm

dm dm adm a

dmdm a

••

=

•

÷ =

•

=

• = •

•=

=

La longitud del otro lado de la base es de 6 dm.

8.

( )3 3 34 4 12 2 1 728 2 2 304 2 1 152 3 3

V m m mπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ÷ = • ÷ = ÷ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3mπ ; el

volumen de la cúpula es de . 31 152 mπ

9.

( )2 23 31,5 3 2,25 3 25 25 2,25 25 56,25

3 3dm dm dm dmV d

π π π π• • •

= • = • = • =m dm

Los 25 conos ocupan un volumen de . 356,25 dmπ

10.

3

3

2

6 6 1 6 6 1

cm cm cm hcm hcmcm h

= • •

=

=

La tercera arista mide 1 cm.

TALLER MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: PROMEDIO (página 164)

1.

a) Promedio aritmético:

10 3 + 4 5 + 7 6 + 3 7 = 24

30 + 20 + 42 + 21 = 24

113 = = 4,7124

X i i i i

Promedio geométrico:

10 4 7 324g

24

624

= 3 5 6 7

= 59 049 625 279 936 343

= 3 534 606 073 10 = 4,445

X • • •

• • •

×

b) Promedio aritmético:

5 43 + 2 45 + 1 46 + 1 47 + 4 49 =

215 + 90 + 46 + 47 + 196 = 13

594 = = 45,713

X i i i i i


13 5 2 1 1 4

13

13 12

= 43 45 46 47 49

= 147 008 443 2 025 46 47 5 764 801

= 3 710 285 381 10 = 45,62

gX • • • •

• • • •

×

c) Promedio aritmético:

3 1,72 + 2 1,74 + 2 1,76 = 7

5,16 + 3,48 + 3,52 = 7

12,16 = = 1,747

X i i i


3 27

7

7

= 1,72 1,74 1,76

= 5,09 3,03 3,09

= 47,66 = 1,74

gX • •

• •

2

d) Promedio aritmético:

3 38 + 2 39 + 1 40 + 2 41 = 8

114 + 78 + 40 + 82 = 8

314 = = 39,258

X i i i i


8 3 2 1 2

8

8 3

= 38 39 40 41

= 54 872 1 521 40 1 681

= 5 611 871 379 10 = 39,23

gX • • •

• • •

×

2.

a) 12 3 + 11 4 + 10 4 + 13 2 146 = = = 11,2313 13

X i i i i

b) 30 4 + 31 5 + 32 5 435 = = = 31,114 14

X i i i

c) 45,7 3 + 45,6 2 + 45,5 3 364,8 = = = 45,68 8

X i i i

d) 2,25 3 + 2,26 3 + 2,27 3 20,34 = = = 2,269 9

X i i i

3.

a) 2 2 2 39 9 = 1,13 1,12 1,11 1,10 = 2,63 = 1,11gX i i i

b) 4 4 311 11g = 40 41 42 = 5,36 = 40,9X i i

c) 3 3 28 8 = 30,1 30,2 30,3 = 6,9 = 1,27gX i i

d) 10 3 3 4 10 = 6 7 8 = 303 464 448 = 7,05gX i i

4.

a) Hay 15 datos.

b)

100 2 + n 1 + 110 3 + 117 4 + 120 5113,5 = 15

1 598 + n113,5 = 15

15 113,5 = 1 598 + n1 702,5 = 1 598 + n1 702,5 - 1 598 = n104,5 = n

•i i i i

i

c) 2 1 3 4 515 15 = 100 104,5 110 117 120 = 6,48 = 113,27gX i i i i

5.

a) Hay cinco datos. b) De cada edad hay un niño. c) 5 5 = 10 11 12 13 14 = 240 240 = 11,92gX i i i i

6.

a) 23 3 + 24 2 + 25 1 + 26 2 194 = = = 24,258 8

X i i i i

b) 32 3 + 34 2 + 36 1 + 38 2 276 = = = 34,58 8

X i i i i

c) 3 2 28 8 = 32 34 36 38 = 1,97 = 34,42gX i i i

d) 3 2 28 8 = 23 24 25 26 = 1,18 = 24,22gX i i i

7.

Respuesta libre

TALLER MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA Y MEDIANA (página 168)

1.

a) 20, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24

b) 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5

c) 11, 11.1, 11.1, 11.1, 11.2, 11.2, 11.2, 11.2

d) 100, 100, 100, 101, 101, 101, 102, 102, 102, 102, 103, 103, 103, 103

e) 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57. No hay moda

2.

a) 30, 30, 31, 31, 31, 31, 31, 32, 32, 32, 34, 35, 35. Mo = 31; Me = 31.

b) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9. Mo = 5; Me = 6 + 7 13= = 6,52 2

.

c)

Puntaje Frecuencia Frecuencia Acumulada

15 22 22

20 18 40

25 20 60

Mo = 15; Me = 20 + 20 40 = = 202 2

.

d)

Calzado Frecuencia Frecuencia Acumulada

36 28 28

37 30 58

38 29 87

Mo = 37; Me: 87 + 1 88 = = 442 2

; la mediana es 37.

e)

Estatura (cm) Frecuencia Frecuencia Acumulada

1,56 15 15

1,58 10 25

1,59 18 43

Mo = 1,59; Me: 43 + 1 44 = = 222 2

; la mediana es 1,58.

3.

a) (b) b) (d)

c) (a) d) (c)

4.

a) 11 miembros b) 36, 37, 38 y 39 c) Cinco

d) Uno e) 37

f) 11 + 1 12 = = 6

2 2Me = 37

5.

a) 73 hombres b) 74 mujeres c) 147 personas

d) Cartas e) Damas chinas


1. C

2. A

3. D

4. C.

5. A

6. A

7. C.

8. D

9. D

10. C

11. D

MISIÓN MATEMÁTICA 7 ‐UNIDAD 4‐ (Soluciones)

TALLER RAZONES Y PROPORCIONES (página 124)

1.

a) preciocantidad

b) edadpeso

c) alturatalla

d) tiempodistancia

e) capacidadmasa

f) calzadoedad

2. Respuesta libre, teniendo en cuenta los precios.

3.

a) 7 000 b) 700 c) 1 000

d) 6 400 e) 9 100 f) 8 070

4.

a) 9 000 90 = = 61 500 15

b) 2 500 25 5 = = 3 500 35 7

c) 4 000 4= 9 000 9

d) 9 000 9= 4 000 4

e) 2 500 = 12 500

5.

a) 12 000 b) 45 000 c) 7 000

d) 72 000 e) 15 000 f) 10 000

6.

a) 2 1 = 5 000 2 500

b) 4 1 = 6 000 1 500

c) 10 1 = 90 000 9 000

d) 5 1 = 17 500 3 500

e) 2 1 = 8 000 4 000

f) 11 1 = 38 500 3 500

7.

a) 4 500 9 = 12 500 25

b) 72 000 144 = 17 500 35

c) 12 000 4 = 9 000 3

d) 7 500 5= 18 000 12

e) 8 000 16= 3 500 7

f) 10 000 20= 10 500 21

8.

a) si es proporción

b) no es proporción

c) no es proporción

d) si es proporción

e) si es proporción

f) si es proporción

g) no es proporción

h) no es proporción

9.

a) 2 47 14= b)

5 304 24= c)

2 107 35= d)

3 157 35= e)

2 89 36= f)

7 211 44

=8

10.

a) 46

23= b)

2540

58= c)

1881

29= d)

4056

57= e)

2730

910

= f) 1640

25=

g)2149

37= h)

2555

511

= i) 1839

613

= j) 927

13=

11.

a)129

ab= ; b)

1624

ab= c)

159

ab= d)

67

ab= e)

27

ab= f)

2016

ab= g)

820

ab=

h)7030

ab= i)

54

ab= j)

216

cd=

12.

a) 25, 15a b= =

b) 30, 12a b= =

13.

42

84

= escala 2:1 o 1:2. b) 13

39

= escala 1:3 o 3:1 c) 32

64

= escala 3:2 o 2:3

14.

a) Todas las diagonales

b)mEH mHCmHC mEH mHC

=+

,mBJ mJDmJD mBJ mJD

=+

c) En todos los pentágonos se cumplirá la proporción aurea, ya que entre si los lados son proporcionales.

15.

a) Libre, depende del nombre de los vértices.

b) Todos los segmentos son áureos porque cumplen la proporción aurea.

16.

a) 6

b) 30 000, 20 000a b= =

c) 48, 32a b= =

d) ; A: 120 metros cuadrados 20, 60a b= =

e) 300 000, 900 000a b= =

f) 15cm

g)

Medidas reales en metros cuadrados o lineales

Largo del apartamento 10 metros

Área del baño 2,5 metros cuadrados

Área de la alcoba 1 11,375 metros cuadrados

Área del patio de ropas 7 metros cuadrados

Área del apartamento 65 metros cuadrados

TALLER ECUACIONES CON PROPORCIONES (página 187)

1.

a) 4 45 = 7rib) 3d = 11 12ic) 40a = 4 23i

d) 11 10 = 12pie) 14t = 27 23if) 2 14 = 23fi

2.

a) 2 5 = 3t

b) 12 m = 4 5

c) 10 5 = 13 a

d) 6= 8 12r

e) 12 3= 17 f

f) p 15= 3 11

3.

a) 12 20 = 3 g

b) p 12 = 5 8

c) h 3 = 20 9

d) 20 15= 5 k

e) n 4= 14 5

f) 23 2= 11 d

4.

a) 604p = 5 12; p = = 154

i

b) 27 912r = 9 3; r = = 12 4

i

c) 50 258s = 5 10; s = = 8 4

i

d) 365q = 3 12; q = 5

i

e) 607w = 3 20; w = 7

i

f) 1206j = 10 12; j = = 206

i

5.

a) 5 11 = p

225 000

b) 7 c = 161 000 115 000

c) 6 15 = 4 j

d) 7 h = 5 600 17 600

e) 3 10= 5 d

6. 5 10 20 = ; 5v = 2 10; v= = 42 v 5

i ; la rueda da 4 vueltas en diez segundos.

7. 15 m 67 500 = ; 900m = 15 4 500; m= = 75900 4 500 900

i ; 75 minutos corresponden a $4

500.

8. 3 000 9 000 18 000 = ; 3 000p = 2 9 000; p = = 6

2 p 3 000i ; 6 panes corresponden a $7 000.

9. 150 1 350 1 350 = ; 150c = 13 50 1; c = = 9

1 c 150i ; por 1 350 personas se asignan nueve

policías.

TALLER PROPORCIONALIDAD DIRECTA (página 190)

1.

Carpa de 4 personas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Precio 540 000 $1 080 000

1 620 000 2 160 000 2 700 000 3 240 000

3 780 000 4 320 000

4 860 000

b)

Cantidad de carpas iguales 1 2 3 4 5 6 7 8 9


6 12 18 24 30 36 42 48 54

c)

Cantidad de niños de igual estatura y peso

15 20 25 30 35 40 45 50 55


457,5 610 762.5 915 1067.5 1220 1372,5 1525 1677.5

d)

Tiempo 12

hora 34

hora 112

hora 2 124

hora 134

hora 132

hora 4 horas 142

Distancia recorrida en la caminata con paso constante.

0,6 Km 0,9 Km 1,8 2,4 2,7 3,9 4,2 4,8 5,4

e) Las graficas corresponden a una línea recta.

f) a ) 0,0000085185 , b) 0,16 c) d) 0,0327868... 0,83

2.

Tiempo Peso Precio Dinero del banco Numero de Vasos Cantidad de personas Distancia Cantidad de artículos retiro Capacidad Cantidad de cajas

3. Libre

4.

a) (F)

b) (V)

c) (F)

5.

a)

Kilómetros 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

b)

Cuadernos 1 2 3 4 5 6 7 8

Peso 0,75 1,5 2,25 3 3,75 4.5 5.25 6

c)

Lápices 30 60 90 120 150 180

Tiempo 10 20 30 40 50 60

6.

a) (1) 0,0004 (2) 0,0133 (3) 0,0001629...

(4) 0,333

b) Las magnitudes directamente proporcionales son (1),(2),(3)

c) Realiza la gráfica, de las magnitudes directamente proporcionales.

(1)

Colores 2 4 6 8 10 12

Precio 2 500 5 000 7 500 10 000 12 500 15 000

(3)

Peaje 3 4 5 6 7 8

Precio 18 600 24 800 31 000 37 200 43 400 49 600

(4)

Participantes 2 3 4 5 6 7

Costo 60 000 90 000 120 000 150 000 180 0 210 0

d)

(1) colores=0,0008 precio⋅

(3) peaje=0,00016 precio⋅

(4) participantes=0,000003 precio⋅

TALLER PROPORCIONALIDAD INVERSA (página 194)

1.

a) Inversamente proporcionales b) Directamente proporcionales c) Inversamente proporcionales

d) Directamente proporcionales e) Inversamente proporcionales

2.

a)

b)

c)

d)

Precio($) 12 000 6 000 4 000 3 000 2 400

Cantidad de personas 1 2 3 4 5

Tiempo (minutos) 60 30 20 15 12

Velocidad (km/h) 20 40 60 80 100

Personas 2 4 8 16 32

Litros 16 8 4 2 1

Días 2 4 6 10 16

Páginas 180 90 60 36 22,5

3.

a) 12 000 b) 1 200

c) 32 d) 360

4. Respuesta libre

5.

a) Verdadero b) Falso c) Falso

d) Verdadero e) Verdadero f) Verdadero

6.

a) Le queda $16 800 b) Alcanza para cuatro galones

7.

a) Le quedan diez días de vacaciones b) Ha transcurrido

17

8.

a) Necesita cuatro días b) Le dedica seis horas diarias

9.

a) Recorre diez metros b) A las seis horas

10. Respuesta libre

TALLER REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA (página 200)

1.

a)


Precio

1 60 000

15 X

15 60 000 1 900 000

xx

⋅ ==

⋅

b)

c)

Recorrido Tiempo

100 3 m

350 mts X

100 3 3501 050 100

10,5

x

x

x

⋅ = ⋅

=

=

d)

Gasto en transporte

Días

7 000 3

X 5

5 7 000 335 000

3 11 667

x

x

x

⋅ = ⋅

=

=


Precio

3 $ 135 000

X $ 315 000

3 315 000 135 000945 000 135 000

7

x

x

x

⋅ =

=

=

⋅

e)

Capacidad de la botella

Galones

3/5 255

X 170

3 170 2555

3 1705 255

2 5

x

x

x

⋅ = ⋅

⋅=

=

f)

Cantidad de horas

N. Canciones

2 24

6 X

2 2424 6

2 72

6x

x

x

⋅ = ⋅⋅

=

=

2.

a) 654.75 Km

b) 24 bonos de refrigerio.

c) 40.000

d) 595 gr

e) 0,43 Km

f) 3 036 personas.

3. Libre

4.

A 4 52 x=

( C ) X=13,71..

B 125 6

x=

( B ) X= 14,4

C 128 7x=

( A ) X=2,5

5. Libre

6.

a) $20 416 b) $50 000 c) $25 016

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (página 203)

1.

a) 30 20 45x=i b) 15 40 70x=i

c) 10 4 25x=i d) 9 5 000 1 000x=i

2.

a) 42 30 15x=i b) 8 70 25x=i

c) 24 9 10x=i d) 10 1 000 4 500x=i

e)

3.

a) 22 60 1 32022 60 30 ; = = = 4430 30

x x=ii

b) 12 30 36012 30 60 ; = = = 660 60

x x=ii

c) 9 5 459 5 15 ; = = = 315 15

x x=ii

d) 9 2 000 18 000 60

9 2 000 500 ; = = = 3500 50

x x=ii

4.

a)

Litros kilos perdidos

8 5

x 12

b)

b)

6.

Litros kilos perdidos

8 5

20 x

5.

Personas Horas

5 6

3 x

a)

Personas Horas

5 6

x 10

Galones Dinero

5 15 000

3 x

a)

75 0003 5 15 000; 25 000

3x x= = =i ; le a $25 000. qued

b)

Galones Dinero

5 15 000

x 20 000

75 0005 15 000 20 000 ; 3,7520 000

x x= =i =

a)

; tanqueo 3,75 galones

7.

Dinero Cuadernos

4 500 6

3 000 x

27 0004 500 6 3 000 ; 93 000

x x= =i =

b)

; puede comprar nueve cuadernos.

Dinero Cuadernos

4 500 6

X 10

27 0004 500 6 10 ; 2 70010

x x= = =i ; tenía $2 700.

a)

8.

Personas Tiempo (Horas)

3 4

2 x

123 4 2 ; 62

x x= =i =

b)

; tarda 6 horas.

Personas Tiempo (Horas)

3 4

x 12

123 4 12 ; 112

x x= =i =

9.

a)

; hay una persona

Días que pasan Días que quedan

2 9

6 x

182 9 6 ; 36

x x= =i =

b)

; le quedan tres días para leer el libro

Días que pasan Días que quedan

2 9

X 3

182 9 3 ; 63

x x= =i = ; han pasado seis días.

TALLER PROPORCIÓN COMPUESTA (página 206)

1.

a)

Cantidad de blocks

Precio Numero de Hojas de hojas

4 2 400 50

7 X 20

Magnitudes

Cantidad de hojas‐ Precio (Directamente)

Precio – Numero de hojas (Directamente)

Se aplica la propiedad fundamental de la proporcionalidad directa (Indicada con las flechas)

4 50 7 2 400 20x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

200 336 000x ⋅ =

1680x =

b)

Días Interés Capital

80 2 000 80 000

15 x 1 520 000

Magnitudes

Cantidad de días‐ interés ( Directamente proporcional )

Interés –Capital ( Directamente proporcional )

80 80 000 15 2 000 1520000x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1 600 000 45 600 000 000x ⋅ =

28 500x =

C)

Cajas costo dulces

5 9000 36

Magnitudes

cajas‐ costo ( Directamente proporcional )

costo Dulces ( Directamente proporcional )

7 x 12

Regla de tres compuesta inversa

d)

Asistentes billetes días

35 150 15

45 x 25

Magnitudes

Asistentes ‐ billetes ( Inversamente proporcional )

billetes – días ( Inversamente proporcional )

35 150 15 45 25 x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1125 78 750x ⋅ =

70x =

e)

Niños Dias Horas diarias

10 15 8

12 x 5

Magnitudes

Niños – Dias ( Inversamente proporcional )

Dias – Horas diarias ( Inversamente proporcional )

10 15 8 12 5 x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

60 1 200x ⋅ =

20x =

f)

Personas Minutos Dias

3 45 3

7 x 4

Magnitudes

Personas ‐minutos ( Inversamente proporcional )

minutos – días ( Inversamente proporcional )

3 45 3 7 4 x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

405 28 x= ⋅

14,46x =

2.

Regla de tres simple directa Regla de tres simple inversa

(a)

( b)

a) Litros‐ días son directamente proporcionales, litros – horas son directamente proporcionales.

Luego es directamente proporcional. R/ 380

b) Niños – muñecos son inversamente proporcionales, mas niños menos muñecos por niño.

Muñecos – tiempo inversamente proporcionales, mas niños menos tiempo. R/ 2,057

3.

a)

Días largo Ancho

8 3 20

6 X 30

Magnitudes

Días ‐ Largo : Directamente proporcional

Largo – Ancho : Inversamente proporcional

8 30 6 3 20x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

240 360x ⋅ =

1,5x =

b)

Hilo Minutos Dias

8 10 5

12 x 10

Magnitudes

Hilo ‐minutos : Directamente proporcional

Minutos ‐días : Inversamente proporcional

8 10 12 10x 5⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

80 600x ⋅ =

7,5x =

c)

Promotores dias Actividades

7 15 75

15 x 110

Magnitudes

4.

a) (Falso)

b) (Verdadero)

c) (falso)

d) (Verdadero)

5. Libre

TALLER REPARTOS PROPORCIONALES (página 212)

1.

a) 980 a b c = = =

2 + 4 + 8 2 4 8

980 a 980 2 1 960 = ; a = = = 14014 2 14 14

i

980 b 980 4 3 920 = ; b = = = 28014 4 14 14

i

980 c 980 8 7 840 = ; a = = = 56014 8 14 14

i

b) 1 260 a b c = = =

3 + 6 + 11 3 6 11

1 260 a 1 260 3 3 780 = ; a = = = 18920 3 20 20

i

1 260 b 1 260 6 7 560 = ; b = = = 37820 6 20 20

i

1 260 c 1 260 11 13 860 = ; c = = = 69320 11 20 20

i

c) a b c a + b + c 589 589 20 11 780k = = = = = = = 589 = = 6201 1 1 1 1 1 10 + 5 + 4 19 19 19 + + 2 4 5 2 4 5 20 20

i

a 6 = 620, de donde, 2a = 620; a = = 3101 22

20

b 6 = 620, de donde, 4b = 620; b = = 1551 44

20

c 620 = 620, de donde, 5c = 620; c = = 1241 55

d) a b c a + b + c 720 720 30 21 600k = = = = = = = 720 = = 1 2001 1 1 1 1 1 10 + 5 + 3 18 18 18 + + 3 6 10 3 6 10 30 30

i

a 1 = 1 200, de donde, 3a = 1 200; a = = 4001 33

200

b 1 = 1 200, de donde, 6b = 1 200; b = = 2001 66

200

c 1 200 = 1 200, de donde, 10c = 1 200; c = = 1201 1010

2.

a) 1 200 a b c = = =

4 + 5 + 6 4 5 6

1 200 a 1 200 4 4 800 = ; a = = = 32015 4 15 15

i

1 200 b 1 200 5 6 000 = ; b = = = 40015 5 15 15

i

1 200 c 1 200 6 7 200 = ; c = = = 48015 6 15 15

i

b) 2 500 a b c = = =

2 + 8 + 10 2 8 10

2 500 a 2 500 2 5 000 = ; a = = = 25020 2 20 20

i

2 500 b 2 500 8 20 000 = ; b = = = 2 00020 8 20 20

i

2 500 c 2 500 10 25 000 = ; c = = = 1 25020 10 20 20

i

c) 420 a b c = = =

2 + 3 + 5 2 3 5

420 a 420 2 840 = ; a = = = 8410 2 10 10

i

420 b 420 3 1 260 = ; b = = = 12610 3 10 10

i

420 c 420 5 2 100 = ; c = = = 21010 5 10 10

i

d) 120 a b c = = =

2 + 4 + 6 2 4 6

120 a 120 2 240 = ; a = = = 2012 2 12 12

i

120 b 120 4 480 = ; b = = = 4012 4 12 12

i

120 c 120 6 720 = ; c = = = 6012 6 12 12

i

3.

a) a b c a + b + c 2 275 2 275 12 27 300k = = = = = = = 2 275 = = 2 1001 1 1 1 1 1 6 + 4 + 3 13 13 13 + + 2 3 4 2 3 4 12 12

i

a 2 = 2 100, de donde, 2a = 2 100; a = = 1 0501 22

100

b 2 100 = 2 100, de donde, 3b = 2 100; b = = 7001 33

c 2 = 2 100, de donde, 4c = 2 100; c = = 5251 44

100

b) a b c a + b + c 3 040 3 040 30 91 200k = = = = = = = 3 040 = = 4 8001 1 1 1 1 1 10 + 6 + 3 19 19 19 + + 3 5 10 3 5 10 30 30

i

a 4 = 4 800, de donde, 3a = 4 800; a = = 1 6001 33

800

b 4 = 4 800, de donde, 5b = 4 800; b = = 9601 55

800

c 4 = 4 800, de donde, 10c = 4 800; c = = 4801 10

10

800

c) a b c a + b + c 3 850 3 850 18 69 300k = = = = = = = 3 850 = = 6 3001 1 1 1 1 1 6 + 3 + 2 11 11 11 + + 3 6 9 3 6 9 18 18

i

a 6 = 6 300, de donde, 3a = 6 300; a = = 2 1001 33

300

b 6 = 6 300, de donde, 6b = 6 300; b = = 1 0501 66

300

c 6 = 6 300, de donde, 9c = 6 300; c = = 7001 99

300

d) a b c a + b + c 3 500 3 500 20 70 000k = = = = = = = 3 500 = = 10 0001 1 1 1 1 1 4 + 2 + 1 7 7 7 + + 5 10 20 5 10 20 20 20

i

a 10 000 = 10 000, de donde, 5a = 10 000; a = = 2 0001 55

b 10 000 = 10 000, de donde, 10b = 10 000; b = = 1 0001 10

10

c 10 000 = 10 000, de donde, 20c = 10 000; c = = 5001 20

20

4.

150 a b c = = = 800 + 700 + 500 800 700 500

150 a 150 800 120 000 = ; a = = = 602 000 800 2 000 2 000

i

150 b 150 700 105 000 = ; b = = = 52,52 000 700 2 000 2 000

i

150 c 150 500 75 000 = ; c = = = 37,52 000 500 2 000 2 000

i

Andrés 60, Blanca 52,5 y Catalina 37,5.

5.

a b c d a + b + c + d 500 000 500 000 12 6 000 000k = = = = = = = = 500 000 = = 240 0001 1 1 1 1 1 1 12 + 6 + 4 + 3 25 25 251 + + + 1 2 3 4 2 3 4 12 12

i

a = 240 000, de donde, a = 240 0001

b 240 000 = 240 000, de donde, 2b = 240 000; b = = 120 0001 22

c 240 000 = 240 000, de donde, 3c = 240 000; c = = 80 0001 33

d 240 000 = 240 000, de donde, 4d = 240 000; d = = 60 0001 44

El primero gana $240 000, el segundo $120 000, el tercero $80 000 y el cuarto $60 000.

6.

4 500 000 a b c = = = 300 000 + 500 000 + 800 000 300 000 500 000 800 000

4 500 000 a 4 500 000 300 000 1 350 000 000 000 = ; a = = = 843 7501 600 000 300 000 1 600 000 1 600 000

i

4 500 000 b 4 500 000 500 000 2 250 000 000 000 = ; b = = = 1 406 2501 600 000 500 000 1 600 000 1 600 000

i

4 500 000 c 4 500 000 800 000 3 600 000 000 000 = ; a = = = 2 250 0001 600 000 800 000 1 600 000 1 600 000

i

Claudia recibió $843 750, Liliana $1 406 250 y Nancy $2 250 000.

7.

a b c d a + b + c + d 750 000 750 000 12 9 000 000k = = = = = = = = 750 000 = = 360 0001 1 1 1 1 1 1 12 + 6 + 4 + 3 25 25 251 + + + 1 2 3 4 2 3 4 12 12

i

a = 360 000, de donde, a = 360 0001

b 360 000 = 360 000, de donde, 2b = 360 000; b = = 180 0001 22

c 360 000 = 360 000, de donde, 3c = 360 000; c = = 120 0001 33

d 3 = 360 000, de donde, 4d = 360 000; d = = 90 0001 44

60 000

8. Respuesta libre

9. Respuesta libre

TALLER PORCENTAJES (página 215)

1.

a) 18 d) 135

b) 315 e) 2 900

c) 160 f) / 9 000

2.

a) 800. d) 240

b) 1 400 e) 128

c) 360 f) 10 500

3.

Porcentaje Representación Gráfica Fracción equivalente

Número decimal

50% 110

0,25

25% 12

0,1

75% 13

0,5

10% 14

0,75

33,3% 34

0.333…

4.

Artículo Costo Descuento en

Porcentaje

Fracción equivalente al descuento.

Descuento en pesos

Valor del artículo con descuento

Pantalón $54 000 10% 10100

$5 400 $48 600

Camiseta $ 12 600 20% 20100

$2 520 $2 600

Saco $38 000 25% 25100

$9 500 $28 500

Zapatos $75 000 15% 15100

$11 250 $63 750

Sudadera $85 000 30% 30100

$25 500 $59 500

5. Libre

6. 25

7.

Géneros Musicales Cantidad de votos Porcentaje

Ballenato 15 22%

Regeton 8 12 %

Tropipop 20 29%

Reggue 16 24%

Ska 9 13%

Total 68 100 %

8.

a) 20

b) 75 %

c) 16

d) Teresa

9.

a) Helado 16, Fruta 7, Dulces 21, Batido 18, Merengon 9.

b) 5

TALLER INTERÉS SIMPLE (página 218)

1.

a) 500 000 5,25 5I = 100 12

i ii

b) 1 200 000 23,76 3I = 100i i

c) 200 000 0,10 20I = 100 360

i ii

d) 600 000 0,09 15I = 100 360

i ii

e) 1 000 000 9,8 10I = 100 12

i ii

f) 15 000 000 24,12 4I = 100i i

2.

a) 13 125 000I = = 10 937,5; 500 000 + 10 937,5 = 519 9371 200

. Se cancela $519 937.

b) 85 536 000I = = 855 360; 1 200 000 + 855 360 = 2 055 360100

. Se cancela $2 055 360.

c) 400 000I = = 11,11; 200 000 + 11,11 = 200 01136 000


d) 810 000I = = 22,5; 600 000 + 22,5 = 600 02236 000


e) 98 000 000I = = 81 666,67; 1 000 000 + 81 666,67 = 1 081 6661 200

. Se cancela $1 081 666.

f) . Se cancela $72 888 000. I = 57 888 000; 15 000 000 + 57 888 000 = 72 888 000

3.

a) Años: 100IC = r ti

Meses: 100 12IC =

r tii

Días: 100 360IC =

r tii

b) Años: 100It = r Ci

Meses: 100 12It =

r Cii

Días: 100 360It =

r Cii

c) Años: 100Ir = t Ci

Meses: 100 12Ir =

t Cii

Días: 100 360Ir =

t Cii

4.

a) 100 648 000C = 21,6 2i

i

b) 100 2 700 000t = 18 3 000 000ii

c) 100 12 2 041,67r = 7 500 000i ii

d) 100 360 1 097,78r = 26 800 000i ii

e) 100 12 120 000t = 12 1 200 000i ii

f) 100 360 500C = 0,9 20i ii

5.

a) 64 800 000C = = 1 500 00043,2

b) 270 000 000t = = 554 000 000

c) 2 450 004r = = 0,73 500 000

d) 39 520 080r = = 1,920 800 000

e) 144 000 000t = = 1014 400 000

f) 18 000 000C = = 1 000 00018

6.

a) 2 500 000 18 4 180 000 000I = = = 1 800 000100 100i i

; se genera un interés de $1 800 000.

b) ; el Señor González cancela en total $4 300 000. 2 500 000 + 1 800 000 = 4 300 000

7.

a) ; el interés es de $68 750. 818 750 - 750 000 = 68 750

b) 100 12 68 750 82 500 000r = = = 1110 750 000 7 500 000i ii

; la tasa de interés es del 11%.

8. 100 432 000 43 200 000t = = = 3

14,4 1 000 000 14 400 000ii

; debe solicitar el crédito a tres años.

TALLER EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS (página 220)

1.

Lista de precios en el hotel

Hotel….

Producto Precio Cantidad Producto Valor unitario

Valor total

Almuerzo $12 000 1 Almuerzo

12 000 12 000

Gimnasio $ 2 400 5 Gimnasio

2 400 12 000

Postres $ 5 200 8 Postres

5 200 41 600

Gorro de baño

$ 800 3 Gorro de baño 800 2 400

Dulces $ 400

2 Dulces 400 800

a) Son variables, dependen del lugar y el prestigio.

b) Si cambia, porque las necesidades no son las mismas.

c) c u t⋅ =

d) c a t c g t c p t c g t c d t⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

e) 2 3 5 12a g p b+ + + + d

f) 5 1 0b d=

g) 3 9 g b=

h) 3 18g d=

2.

A. La suma de los cuadrados de dos números

3x y z+ +

9

b. Un número aumentado en 7 ( )2 2 22x y x xy y+ = + +5

c. El área del circulo de radio x 2 2x y+ 4π

d. El triple de un número aumentado en 25 7x + 31

e. El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto.

3 25x + 20

f. Media aritmética de tres números. 2xπ 36

3. Libre

4.

Monomios Binomios Trinomios Polinomios

22x

4ts

8ghj

3 212m n

4 7gj cs+

24 5x xy+

3 25 6z yx−

2 23 5 1c c 6+ −

316 92

v v− +

2 39 12 6 4x xy y− + −

2 34 5s s s 12− + +

4 65 24 518 3

w c w wy w+ + − f

5.

a) ‐2 b)50

10707− c)

51132

− d)‐274

6.

a) 212mb) -1 7ac) 39d d) 3-p

e) 3 n5

f) 435- g12

7.

a) 10ñ + 5ñ - 12ñ + ñ = 4ñb) 2 2 2 2 2-12s + 24s - 10s + 12s = 14sc) 3 3 3 335t - 25t + 100t + t = 111t3

d) 19c - 45c + 23c + 5c + c = 44c

e) 1 4 4 7k + k - k = k2 3 6 6

f) 4 4 43 5 2 17v + v - v = v4 6 12 12

4

8.

a) ( ) ( )13m - 8m - 20m + 4n + 12n + 5n = -15m + 21n

b) ( ) ( )2 2 3 3 218k - 15k - 6r + 25r = 13k - 31r3

c) ( ) ( )3 3 3 2 2 2 313w + 7w + w + 64h - 45h - 2h = 21w + 17h2

d) ( ) ( )25d + 12d + 13d - 78c - 3c + 15c = 50d - 90c

e) 2 4 1 5 1 10 5 13r + r - r + t - t + t = r + t3 6 2 7 2 14 6 14

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

f) 2 2 23 1 1 2 11 1a + a + b - b = a - b5 2 2 3 10 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9.

a) (b)(e) b) (c)(a)

c) (e)(d) d) (a)(b)

e) (d)(c)

10.

a) 4p - 3p + 8p + 2p - 6p + 7pb) 15c - 8c + 7c - 3c + c

c) 10 000p - 4 500 + 1 500 + 2 500d) -5d + 6d - 11d

11.

a) 5p - 2p + 5p + 2p - pb) Ganó. c) Ganó nueve partidos.

12.

a) 20c - 15c + 8c - 11c + 6cb) Marcela finalizó con ocho chocolates.

13.

a) 17d + 24c - 10d - 12c + 20d + 19c - 15d - 18cb) Nancy finalizó con doce dulces. c) Nancy finalizó con trece chicles.

14.

a) 5d + 3a -3d - 5a + 8d + 5ab) Ganó diez partidas de dominó. c) Ganó tres partidas de ajedrez.

15. Respuesta libre

TALLER MOVIMIENTOS EN EL PLANO (página 226)

4.

a) (F)

b) (V)

c) ( V)

d) (F)

9.

a) F

b) F

c) F

d) V.

e) V.

11.

a) 30º en sentido positivo b) 90º en sentido negativo c) 120º en sentido negativo d) 80º en sentido positivo

TALLER HOMOTECIAS (página 233)

1.

a) 12

b) 2

c) 3

d) 13

e) 14

f) 4

2.

a) Verdadero b) Falso c) Verdadero d) Falso e) Verdadero

4.

a) Menor que uno b) Si son semejantes

c) No son congruentes d) Si

5.

a) Mayor que uno b) Si son semejantes c) No son congruentes d) Si

6.

a) Si b) Menor que uno

7.

Respuesta libre

TALLER CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD (página 236)

1.

a) { }S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

b) { }S = sello - cara, cara - sello, cara - cara, sello - sello

c) 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6,

S =4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

d) { }S = amarilla, amarilla, amarilla, azul, azul, roja, roja

e) Respuesta libre.

2.

a) Obtener un número par o impar, obtener un número menor que uno, dos, tres, etc. b) Obtener las dos caras o los dos sellos. c) Obtener números iguales. d) Sacar una pelota amarilla, azul o roja. e) Escoger un miembro del sexo femenino.

3.

a) 2 1 = = 0,36 3

b) 1 = 0,254

c) 22 11 = = 0,636 18

d) 2 = 0,37

)

e) Respuesta libre

4.

a) Mutuamente exclusivos b) No son mutuamente exclusivos c) Mutuamente exclusivos d) No son mutuamente exclusivos e) No son mutuamente exclusivos

5.

a) ( ) ( ) (P A B = P A + P B∪

b) ( ) ( ) ( ) ( )P A C = P A + P C - P A C∪ ∩

c) ( ) ( ) ( ) ( )P A D = P A + P D - P A D∩ ∪

d) ( ) ( ) ( ) ( )P B D = P B + P D - P B D∩ ∪

e) ( ) ( ) ( ) ( )P C D = P C + P D - P C D∩ ∪

f) ( ) ( ) ( ) ( )P B D = P B + P D - P B D∪ ∩

6.

a) 6 3 = = 0,316 8

b) 4 1 = = 0,2516 4

c) 4 1 = = 0,2516 4

d) 2 1 = = 0,12516 8

e) El color azul

f) El color rojo

7.

a) 8 1 = = 0,516 2

b) 5 = 0,316

c) 3 = 0,216

d) Mazda

e) Chevrolet

8.

a) No son mutuamente exclusivos. b) Si son mutuamente exclusivos. c) Escoger un mazda azul y un mazda rojo. d) Escoger un Renault azul y un chevrolet negro.

9.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 5 9P C A = P C + P A - P C A ; + - = = 0,616 16 16 16

∪ ∩

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 4 1 11P C N = P C + P N - P C N ; + - = = 0,716 16 16 16

∪ ∩

c) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 4 1 11P C V = P C + P V - P C V ; + - = = 0,716 16 16 16

∪ ∩

d) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 2 1 9P C J = P C + P J - P C J ; + - = = 0,616 16 16 16

∪ ∩

e) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 1 10P R A = P R + P A - P R A ; + - = = 0,616 16 16 16

∪ ∩

f) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 2 7P R N = P R + P N - P R N ; + - = = 0,416 16 16 16

∪ ∩

g) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 1 8P R V = P R + P V - P R V ; + - = = 0,516 16 16 16

∪ ∩

h) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 1 6P R J = P R + P J - P R J ; + - = = 0,416 16 16 16

∪ ∩

i) ( ) ( ) ( ) 3 6 9P M A = P M + P A ; + = = 0,616 16 16

∪

j) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 1 6P M N = P M + P N - P M N ; + - = = 0,416 16 16 16

∪ ∩

k) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 5P M V = P M + P V - P M V ; + - = = 0,316 16 16 16

∪ ∩

l) ( ) ( ) ( ) 3 2 5P M J = P M + P j ; + = = 0,316 16 16

∪

10.

a) Negro y verde b) Azul y rojo c) Azul d) Rojo e) Azul

f) Verde y rojo

11. Respuesta libre.

TALLER TÉCNICAS BÁSICAS DE CONTEO (página 239)

1.

a) Combinación b) Permutación c) Combinación

d) Permutación e) Permutación

2. Respuesta libre

3.

a) Falso b) Verdadero c) Verdadero

d) Verdadero e) Falso

4.

a) San Andrés – Cartagena San Andrés – Santa Martha

San Andrés – Capurgana

Cartagena – Santa Martha

Cartagena – Capurgana

Santa Martha – Capurgana

Seis combinaciones

b) Dominó – parqués – damas chinas Dominó – parqués – ajedrez

Dominó – parqués – sudoku

Dominó – damas chinas – ajedrez

Dominó – damas chinas – sudoku

Dominó – ajedrez – sudoku

Parqués – damas chinas – ajedrez

Parqués – damas chinas – sudoku

Damas chinas – ajedrez – sudoku

Nueve combinaciones

c) Parque – cine Parque – teatro

Parque – centro comercial

Cine – teatro

Cine – centro comercial

Teatro – centro comercial

Seis combinaciones

d) Carne – pollo Carne – cerdo

Carne – conejo

Carne – ternera

Pollo – cerdo

Pollo – conejo

Pollo – ternera

Cerdo – conejo

Cerdo – ternera

Conejo – ternera

Diez combinaciones

e) Amarillo – azul – rojo Amarillo – azul – blanco

Amarillo – azul – negro

Amarillo – azul – gris

Amarillo – azul – violeta

Amarillo – rojo – blanco

Amarillo – rojo – negro

Amarillo – rojo – gris

Amarillo – rojo – violeta

Amarillo – blanco – negro

Amarillo – blanco – gris

Amarillo – blanco – violeta

Amarillo – negro – gris

Amarillo – negro – violeta

Amarillo – gris – violeta

Azul – rojo – blanco

Azul – rojo – negro

Azul – rojo – gris

Azul – rojo – violeta

Azul – blanco – negro

Azul – blanco – gris

Azul – blanco – violeta

Azul – negro – gris

Azul – negro – violeta

Azul – gris – violeta

Rojo – blanco – negro

Rojo – blanco – gris

Rojo – blanco – violeta

Rojo – negro – gris

Rojo – negro – violeta

Rojo – gris – violeta

Blanco – negro – gris

Blanco – negro – violeta

Blanco – gris – violeta

Negro – gris – violeta

35 combinaciones

5

a) Pedro – Mario Pedro – Juan

Mario – Pedro

Mario – Juan

Juan – Pedro

Juan – Mario

Seis permutaciones

b) 12 13

14

15

21

23

24

25

31

32

34

35

41

42

43

45

51

52

53

54

20 permutaciones

c) ABC ACB

ABD

ADB

ABE

AEB

ACD

ADC

ACE

AEC

ADE

AED

BAC

BCA

BAD

BDA

BAE

BEA

BCD

BDC

BCE

BEC

BDE

BED

CAB

CBA

CAD

CDA

CAE

CEA

CBD

CDB

CBE

CEB

CDE

CED

DAB

DBA

DAC

DCA

DAE DEA

DBC

DCB

DBE

DEB

DCE

DEC

EAB

EBA

EAC

ECA

EAD

EDA

EBC

ECB

EBD

EDB

ECD

EDC

60 permutaciones.

d) Camila – Andrea – Mariana Camila – Mariana – Andrea

Camila – Andrea – Luisa

Camila – Luisa – Andrea

Camila – Mariana – Luisa

Camila – Luisa – Mariana

Andrea – Camila – Mariana

Andrea – Mariana – Camila

Andrea – Camila – Luisa

Andrea – Luisa ‐ Camila

Andrea – Mariana – Luisa

Andrea – Luisa – Mariana

Mariana – Camila – Andrea

Mariana – Andrea – Camila

Mariana – Camila – Luisa

Mariana – Luisa – Camila

Mariana – Andrea – Luisa

Mariana – Luisa – Andrea

Luisa – Camila – Andrea

Luisa – Andrea – Camila

Luisa – Camila – Mariana

Luisa – Mariana – Camila

Luisa – Andrea – Mariana

Luisa – Mariana – Andrea

24 permutaciones

e) Amarillo – azul – rojo Amarillo – rojo – azul

Azul – amarillo – rojo

Azul – rojo – amarillo

Rojo – azul – amarillo

Rojo – amarillo – azul

Seis permutaciones

6.

a) Combinaciones b) Flores – chocolates

Flores – ropa

Flores – joyas

Flores – libros

Flores – bonos de regalo

Chocolates – ropa

Chocolates – joyas

Chocolates – libros

Chocolates – bonos de regalo

Ropa – joyas

Ropa – libros

Ropa – bonos de regalo

Joyas – libros

Joyas – bonos de regalo

Libros – bonos de regalo

c) Cinco posibilidades d) Una posibilidad

7.

a) Combinaciones b) Carne – centro comercial

Carne – supermercado

Carne – bazar

Pollo – centro comercial

Pollo – supermercado

Pollo – bazar

Cerdo – centro comercial

Cerdo – supermercado

Cerdo ‐ bazar

c) Tres posibilidades d) Tres posibilidades e) Una posibilidad

8.

a) Permutaciones b) Alejandro – Freddy

Alejandro – Carolina

Alejandro – Marcela

Alejandro – Paola

Freddy – Alejandro

Freddy – Carolina

Freddy – Marcela

Freddy – Paola

Carolina – Alejandro

Carolina – Freddy

Carolina – Marcela

Carolina – Paola

Marcela – Alejandro

Marcela – Freddy

Marcela – Carolina

Marcela – Paola

Paola – Alejandro

Paola – Freddy

Paola – Carolina

Paola ‐ Marcela

c) Ocho posibilidades d) Doce posibilidades e) Dos posibilidades

f) Seis posibilidades

9.

a) Permutaciones b) 123

132

124

142

134

143

213

231

214

241

234

243

312

321

314

341

324

342

412

421

413

431

423

432

c) Seis posibilidades d) Doce posibilidades e) Doce posibilidades f) 432 g) 123

10. Respuesta libre

11. Respuesta libre

PRUEBA DE LA UNIDAD (página 246)

1. B 2. A 3. B 4. D 5. D 6. D 7. C 8. D 9. A 10. B 11. B 12. C 13. B 14. A 15. D 16. C 17. D

misión matematica 7°

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