UNADM

LICENCIATURA EN MATEMTICAS

Geometra.

Unidad 4: Proporciones, semejanza, reas y volmenes.

Actividad 3. Propiedades y teoremas de polgonos y circunferencias.

Alumno: Claudio Ramn Rodrguez Mondragn.

Matrcula: AL13503064

Para C=24:

Conclusin: El polgono regular con 15 lados se llama Pentadecgono.Para C= 36:

Conclusin: El polgono regular con 10 lados se llama Decgono.Para C= 40:

Conclusin: El polgono regular con 9 lados se llama Enegono o Nongono.Para C= 120:

Conclusin: El polgono regular con 3 lados se llama Tringulo Equiltero.

Para n= 5:

Para n= 8:

Para n= 15:

Hiptesis:1.- Sea el tringulo un tringulo equiltero inscrito.Tesis:1.- Matemticamente, por relacin de razones tenemos que la expresin:

La podemos expresar como:

Y de esto:

Y aplicando las propiedades de proporcin:

La relacin de la medida de la apotema y el radio, es la mitad. Que es lo que deseamos encontrar, para demostrar.En la figura, por trigonometra y por geometra encontramos:

La funcin trigonomtrica que podemos relacionar los dos conceptos, radio y apotema, es:

Y analizando:

Sustituyendo, sabiendo que:

Entonces:

El valor de los ngulos representativos en una circunferencia unitario tenemos:

Por lo que:

Acomodando:

QED.

Hiptesis:1.- El tringulo, es un tringulo equiltero e inscrito, y su permetro es 2.- El tringulo, es un tringulo equiltero y circunscrito, y su permetro es Tesis:1.-

Anlisis del permetro del tringulo :

Por ser tringulo equiltero:

Analizando todo para un segmento , puesto que E, es punto medio del segmento

Sustituyendo en :

Anlisis del permetro del tringulo :

Por ser tringulo equiltero:

Se forman tringulos equilteros adyacentes, por la construccin, se forma el tringulo ACD:

Analizando el segmento :

Analizando el tringulo auxiliar :

Y con relacin al tringulo inscrito :

Entonces, tambin se cumple:

Y como:

Se sustituye:

Y como P2 es:

Por ser tringulo equiltero, entonces:

En conclusin:

Entonces la relacin:

Se cumple porque:

Entonces:

Por lgica:

QED.

Para calcular el valor del ngulo interior:

Entonces:Para n=7, un Heptgono:

Entonces:Para n=9, un Enegono:

Entonces:Para n=12, un Dodecgono:

Para un decgono, n=10, el ngulo central es:

La suma de todos lo ngulos centrales suman 360

La suma de todos los ngulos internos de un decgono:

Por definicin, un cuadrado posee 4 apotemas.Por trigonometra, en una circunferencia unitaria de radio uno, tenemos:

Como son 4 apotemas:

Por otro lado, calculemos la medida

Ahora:

Ahora:

Entonces, la suma de las 4 apotemas, es el semi permetro del mismo cuadrado.

Tomando la frmula de los apuntes de la Unidad, usaremos la siguiente frmula:

a) PARA EL HEXGONO:Para esta frmula:

Para n=3, se trata de un tringulo:

Ahora:

El lado para un tringulo es:

Entonces, para calcular el lado de un polgono de doble lado es:

Entonces se sustituye:

Realizando operaciones y reduciendo:

b) PARA EL OCTGONO:Para esta frmula:

Para n=4, se trata de un cuadrado:

Ahora:

El lado para un cuadrado es:

Entonces, para calcular el lado de un polgono de doble lado es:

Entonces se sustituye:

Realizando operaciones y reduciendo:

c) PARA EL DODECGONO:Para esta frmula:

Para n=6, se trata de un hexgono:

Ahora:

El lado para un hexgono es:

Entonces, para calcular el lado de un polgono de doble lado es:

Entonces se sustituye:

Realizando operaciones y reduciendo: