UNADM

LICENCIATURA EN MATEMTICAS

Geometra Unidad 1Actividad 3:Convexidad.

Alumno: Claudio Ramn Rodrguez Mondragn.

Matrcula: AL13503064

1. Determina cules de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.2. Coloca una F si la oracin es falsa y V si es verdadera.3. Argumenta tu respuesta.

a. El conjunto de puntos en un plano formado por una circunferencia y su interior es un conjunto convexo.Respuesta: VArgumentacin:Sea un conjunto de puntos X contenido en un plano P, tal que para cualquier par de puntos A y B en X, el segmento se encuentra contenido en X. Si esto ocurre, entonces se dice que X es un conjunto convexo.Sea una figura poligonal cerrada tal que existe un punto O en su interior para el que dados dos puntos cualesquiera A y B sobre su permetro siempre se da que . A esta figura se le llama circunferencia.

Los segmentos:

Observamos que todos los segmentos de recta que estn dentro o en la circunferencia cumplen con la definicin de CONJUNTO CONVEXO.b. El conjunto formado por los puntos que se encuentran entre dos lneas rectas incluyendo las rectas es un conjunto convexo. Respuesta: VArgumentacin:Considerando lo siguiente:Sea P, un plano:

Aqu planteamos dos rectas y dentro de ellas, diferentes puntos.Dados dos puntos, si se unen entre ellos se forma un segmento de recta, estos son un conjunto convexo.Un conjunto de un nico punto, tambin es un conjunto convexo.Para cada pareja de puntos, el segmento de recta puede ir de un lado a otro, sin salirse del conjunto.Para las rectas, todos los puntos sobre ella o que pertenecen a ella son conjuntos convexos.

Para la figura siguiente:Se puede, con estos puntos, formar una figura convexa, que tambin es comprendida como conjunto convexo.Estos forman una lnea que se llama Poligonal, que es una figura compuesta de segmentos que se intersecan por sus extremos, y no necesariamente tienen que cerrarse.A diferencia de las anteriores, los puntos se unen, pero no en forma consecutiva.

c. Cualquier plano en el espacio E es un conjunto Convexo. Respuesta: VUn plano es un conjunto convexo. (Guerreo, 2006)Argumentacin:Algunas definiciones: (Icarito.cl, 2013):Espacio: Conjunto universo en Geometra.Plano: Superficie infinita formada por infinitas rectas.Recta: Conjunto de infinitos puntos que se extienden y ordenan en una misma direccin, y compuesta por infinitos segmentos.En la recta tenemos un conjunto convexo, el plano tiene infinito nmero de lneas rectas, entonces infinito nmeros de segmentos de recta, entonces el plano contiene infinito nmero de segmentos, por lo que se considera tambin como un conjunto convexo.

d. La siguiente figura nos muestra un polgono que junto con su interior forman un conjunto convexo.

Respuesta: VArgumentacin:La figura es un polgono convexo.Los puntos del polgono cerrado y los puntos en el interior del polgono cerrado son conjuntos convexos, puesto que cada par de puntos en el interior de este pueden formar segmentos, por lo consiguiente, este es conjunto convexo.e. La unin de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. Respuesta: FArgumentacin:Sean:E: Espacio conjunto universo. : Un conjunto convexo. : Un conjunto convexo. : Un conjunto convexo.Entonces en la siguiente figura:

C1, B1, A1, V, T y S: Son puntos fuera de los conjuntos convexos y los segmentos que unen estos puntos con los del interior de los conjuntos convexos no son puntos en comn.Adems, segmentos que unen los conjuntos convexos, algunos no son en comn entre ellos.La unin de los puntos de con los de , o sea: : S se cumple.Existen segmentos que contienen tanto en uno como en el otro conjunto convexo, entonces, son comunes entre los dos, para este caso cumple la idea anterior.Pero: La unin de los puntos en segmentos de con los de y los de con los de , hay puntos fuera de estos, y los segmentos que se forman con ellos quedan fuera de los conjuntos convexos mencionados o sea: : No se cumple y no son conjuntos convexos. : No se cumple y no son conjuntos convexos.

f. Si tenemos dos circunferencias que tienen a una recta tangente en comn, entonces podemos trazar un segmento de recta que una a los centros de ambas circunferencias y sea perpendicular a la tangente. Respuesta: FArgumentacin:Sean las circunferencias M y N, una tangente la toca en comn.Observaciones: La nica recta perpendicular que se forma es el radio perpendicular a la tangente, de ah, ninguna otra perpendicular se forma:Los puntos de tangencia son el punto A y B, en cada circunferencia.

Los ngulos y son diferentes de 90La recta tangente no es perpendicular al segmento .g. Un polgono de cuatro lados correspondiente a un paralelogramo con un ngulo interior recto, tiene en la suma de sus cuatro ngulos interiores un total de 270.Respuesta: FArgumentacin:No se puede construir una figura con estas caractersticas, si es paralelogramo y un ngulo es de 90, forzosamente, los otros tres ngulos sern de 90 tambin.Adems:Simplemente la suma de los ngulos internos de cualquier cuadriltero es 360Por definicin:La suma de los ngulos internos de cualquier cuadriltero suman cuatro ngulos rectos, o sea 360 (Baldor, 2004).

Otras figuras, con un solo ngulo de 90, seran de la siguiente forma:

Aun, la suma de los ngulos internos es de 360, pero esta figura ya no corresponde a un paralelogramo.h. Todo paralelogramo suma en sus ngulos internos 180.Respuesta: FArgumentacin:Por definicin:Un cuadriltero es el polgono de cuatro lados.Si en un cuadriltero los lados opuestos son paralelos dos a dos, la figura se llama paralelogramo (Baldor, 2004, pg. 82).La suma de los ngulos internos de cualquier cuadriltero suman cuatro ngulos rectos, o sea 360 (Baldor, 2004, pg. 82).Dentro de los paralelogramos encontramos:

i. Un hexgono o polgono de seis lados tiene 36 cuerdas. Definicin:Cuerda: Sea un polgono dentro de un conjunto convexo X, a los segmentos de recta que estn contenidos en el interior del polgono y cuyos extremos son los vrtices no adyacentes del polgono, se les llama Cuerda del Polgono.Teniendo un hexgono, vamos a contar sus cuerdas.

Tambin podemos referirnos como cuerda a las diagonales totales, y se pueden calcular con la siguiente frmula:

4. Realiza las siguientes demostraciones.

j. Sea una circunferencia C en un plano P. Demostrar que la longitud del dimetro de C es 2r. Analizando la siguiente figura:

D : dimetro de la circunferencia.

k. Sea C una circunferencia en el plano P. Si un radio r toca a la circunferencia en un punto A de la circunferencia, por este punto pasa una recta tangente. Probar que la recta tangente es perpendicular al radio r.Definicin:Tangente a la circunferencia: Es una recta que tiene un solo punto comn con la circunferencia. Este punto se le llama punto de circunferencia o de contacto. Tiene como propiedad ser perpendicular con el radio en ese pinto de contacto (Baldor, 2004, pg. 138).

Detectando por el software GEOGEBRA, la perpendicularidad entre la recta tangente y el radio.

l. Sea la circunferencia C, el crculo interior contiene todos los puntos al interior de la circunferencia. Si O es el punto central del crculo, entonces para cualquier par de puntos A y B dentro del crculo demostrar que Sean los puntos A, B, C y D, puntos que estn en el interior de la circunferencia.Estos puntos por definicin se llaman Puntos Interiores (Baldor, 2004, pg. 129).Tal que:

La distancia entre cualesquiera punto en el interior de la circunferencia, es menor al dimetro. Tomando los puntos A y B:

En la figura tomamos medidas reales con GEOGEBRA, lo cual nos da valores reales para la demostracin.

m. Sea C una circunferencia. El dimetro D de C tiene una mediatriz. Demostrar que la recta tangente que pasa por el punto de interseccin de la mediatriz y la circunferencia C es paralela a la recta que contiene al dimetro D.

: es mediatriz de .Adems:

La distancia del punto A al punto D, es la misma que la del punto F al C y es la misma que del punto B al G, por lo tanto:

Por lo tanto:El dimetro es paralelo a la tangente.n. Sea C una circunferencia. En un punto A sobre la circunferencia pasan dos rectas, una que contiene a uno de los dimetros de C y otra recta que es secante a C. Si por este punto A pasa una recta tangente, demostrar que los ngulos formados por la recta del dimetro, la secante y la tangente son complementarios. Analizando con GEOGEBRA, y midiendo los ngulos con las rectas que pasan por el punto G:

o. Sea C una circunferencia. Si una recta secante es paralela a una recta que contiene al dimetro D. Demostrar que la mediatriz de D es mediatriz tambin de la cuerda contenida en la recta secante.

Sea el segmento contenido en la recta secante que corta a la circunferencia en el punto F y en el punto E. Sea el dimetro de la circunferencia y adems .El punto A es el centro de la circunferencia, y punto medio del dimetro, y el punto G, punto medio del segmento , que est sobre la secante.Se traza la mediatriz de y la mediatriz de .

La mediatriz de pasa y corta al dimetro en el punto medio A, y la mediatriz de pasa y corta al segmento en el punto medio G.Definicin:Mediatriz de un Segmento: Todo segmento tiene un nico punto medio, y por cada punto de una recta existe una perpendicular a la recta dada. Luego por el punto medio de un segmento, existe una recta perpendicular al segmento. Esta recta se llama mediatriz del segmento (Guerreo, 2006, pg. 108).

SoftwareGEOGEBRABibliografaBaldor, A. (2004). Geometra plana y del espacio y trigonometra. Mxico: Publicaciones Cultural S.A.Guerreo, A. (2006). Geometra: Desarrollo Axiomtico. Bogot: Ecoe Ediciones.Icarito.cl. (15 de Octubre de 2013). Icarito.cl. Obtenido de http://www.icarito.cl/: http://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/segundo-ciclo-basico/matematica/geometria/2010/03/102-8675-9-espacio-punto-recta-y-plano.shtml