UNADM

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

Geometría

Unidad 1

Actividad 2:

Teoremas y propiedades.

Alumno: Claudio Ramón Rodríguez Mondragón.

Matrícula: AL13503064

Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.

Contesta verdadero o falso.Argumenta tu respuesta.

Sean los planos P1, P2 y P3 contenidos en E donde no se da el caso que sean paralelos entre ellos; entonces, la intersección entre ellos es una línea recta R.

Respuesta: Falso.Argumentación:La intersección de tres planos puede ser un punto, una recta o nada. Para hallar el punto de intersección de tres planos dados, se hallan las intersecciones de cada dos de ellos, tendremos tres rectas que son incidentes, y el punto de incidencia de las tres rectas, es el punto de intersección de los tres planos, ya que este es el único que pertenece a los tres planos dados (Rodríguez, 2012, pág. 252).Intersección entre tres planos por un punto:

Planos que se intersecan en una línea (AULAFACIL.COM, 2013)

Planos en forma de prisma, solo la intersección es dos con dos, pero no los tres juntos, no hay intersección de los tres juntos (AULAFACIL.COM, 2013).

Dadas tres rectas R1, R2 y R3 en un plano P. Si entre estas tres rectas dos de ellas son paralelas y la tercer recta corta oblicuamente a las dos que son paralelas, el punto en el que las interseca es el punto de intersección de las paralelas.

Respuesta: Falso.Argumentación:Las rectas paralelas jamás se intersecarán, ni siquiera en el infinito.En dado caso de eliminar el absurdo al final del enunciado, el punto de corte es diferente en cada una de las paralelas.Se dice que dos rectas son paralelas en un plano, cuando al prolongarse no tienen ningún punto en común (Baldor, 2004, pág. 35).

Las rectas paralelas nunca se intersecan, y además, la tercera recta corta a las paralelas en puntos distintos.

Todas las rectas de un plano tienen un punto central.

Respuesta: Falso

Argumentación:La línea, línea recta o recta, se extiende sin límites en dos sentidos, no comienza ni termina, por lo cual, nunca podremos encontrar su punto central, aunque tal vez si exista. Un plano es infinito, una recta es infinita. Un plano en matemáticas, es una extensión ilimitada (Baldor, 2004, pág. 10). Un segmento o segmento de recta se le llama al conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos A y B, llamados extremos del segmento, (Baldor, 2004, pág. 12) y de mesura conocida, se puede encontrar el punto central, y también con instrumentos geométricos, compás y regla.

Dos ángulos adyacentes, si son agudos, en algunos casos juntos pueden llegar a formar un ángulo recto.

Repuesta: Verdadero

Argumentación:Ángulos adyacentes: Son los que están formando de manera que un lado es común entre ellos. Son los que tienen el vértice y un lado en común. (Baldor, 2004, pág. 24).Ángulo agudo: Se llama ángulo agudo a aquél que su medida es menor de 90 grados.Ángulo recto: Se llama ángulo recto a aquél que su medida es igual a 90 grados.Afirmativo, si dos ángulos son agudos, en algunos casos si se adicionan (son adyacentes) pueden llegar a formar un ángulo recto, en este caso se llaman ángulos complementarios.

<ABC = 40˚; menor que 90˚ entonces es agudo.<CBD = 50˚; menor que 90˚ entonces es agudo.

<40˚ + <50˚ = <90˚

Sean dos ángulos, los cuales son suplementarios, entonces la suma de ambos es de 180º.

Respuesta: VerdaderoArgumentación:

Los ángulos suplementarios son aquellos que sumados valen 180˚ (Baldor, 2004, pág. 26).

Una línea recta R1 corta a R2 en un ángulo recto por su punto central, R1 se llama una recta perpendicular de R2.

Respuesta: Falso.Argumentación:El enunciado está definiendo el concepto de Mediatriz, no de recta perpendicular cualquiera.Rectas perpendiculares: Cuando dos rectas se cortan formando un ángulo recto (mide 90˚) se dice que son perpendiculares (Sullivan & Carlos, 2006, pág. 195). Nótese que la definición no incluye el concepto de punto medio o punto central de una recta o segmento de recta.Mediatriz: Sea una recta R1, la cual contiene a un segmento B̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅. Dentro del segmento B̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ existe un punto central O. Por este puto pasa una única recta R2 que es perpendicular a R1. A esta recta se la denomina recta mediatriz del segmento AB̅̅̅̅.

Figuras de recta perpendicular y de mediatriz:

Mediatriz en el segmento AB. Rectas perpendiculares R1 ┴ R2.

Los ángulos internos de un triángulo, son a su vez ángulos colaterales internos por pares.

Respuesta: Verdadero.Argumentación:Los ángulos colaterales o conjugados (Jiménez, 2007, pág. 16) son dos ángulos internos o dos externos situados en un mismo semiplano respecto a la secante (Baldor, 2004, pág. 40).

En la figura, sean SS' una recta secante y las rectas CD y AB rectas cualesquiera no paralelas, entonces m y el n, son ángulos conjugados ∢ ∢ (Baldor, 2004, pág. 40), o colaterales.

Para los triángulos, cualquier lado puede ser secante, y entonces los ángulos formados por las dos rectas que representan los otros dos lados, son par de ángulos colaterales, como se ve en la figura:

El triángulo está formado por las rectas SS' una recta secante y las rectas CD y AB rectas cualesquiera, entonces:

Afirmación:m y el ∢ ∢n son ángulos internos del triángulom y el ∢ ∢n son par de ángulos conjugados o colaterales, dentro de un triángulo.

Todos los ángulos alternos externos, si fueran adyacentes, entonces serían suplementarios.

Respuesta: Falso.Argumentación:No se cumple para todos. Para el caso de paralelas cortadas por una secante, es falso, pues estos ángulos miden lo mismo (Jiménez, 2007, pág. 17) y por lo menos la suma será más de 180˚ o menos de 180.˚

Ángulos alternos externos:

Para este caso si se cumple pues la suma de ∢α + ∢β = 180, por definición son suplementarios.

Para rectas no paralelas cortadas por una secante, puede haber una probabilidad de que la suma de los alternos externos sume 180˚.

Las bisectrices de un triángulo rectángulo dividen a sus tres ángulos en pares de ángulos complementarios.

Respuesta: Falso.Argumentación:Los ángulos complementarios son aquellos que sumados valen un ángulo recto, o sea, 90° (Baldor, 2004, pág. 23).

Únicamente en el ángulo recto, se cumple el enunciado, pero en los otros dos pares de ángulos bisecados, no se cumple.

Realiza las siguientes demostraciones:

a. Sean los puntos A, B y C colineales. Si BC no contiene al punto A, entonces dado

el punto central D de BC se cumple que AD = BD+ DC2 .

Demostración:

Construimos un segmento de recta que contenga a los puntos colineales A, B y C:

Localizamos el punto medio o central D, de BC:

Ya localizado este punto medio D, se analiza la situación:

Analizando para demostrar:

AD = BD+DC2

AD=¿

Elementos deducidos por lógica:

BD=DC

BC=BD+DC

BD+DC2

=BD=DC≠ AD

AD ≠ BD+DC2

Por lo tanto la demostración es Falsa.

Dando un ejemplo con valores lógicos:

Damos unos valores reales, esto es para comprobar que la demostración no es válida y es mejor usar un ejemplo con valores numéricos reales:

b. Sean A, B, C, D y E puntos colineales tales que AB≡ DE≡2CD. Entonces, si m ( AE) =75 y m( AB)+1=m(BC); determinar las medidas de AB ,BC, CD y DE.

Planteamiento:

Nota: las medidas en la figura no son reales ni a escala.

Se plantea el problema para poder hacer una ecuación donde solo manejemos una sola incógnita, pues con varias incógnitas, sería imposible.

Planteando:

Reduciendo la ecuación:

3DE+ DE2

+1=75

6DE+DE2

=75−1

7DE2

=74

7DE=74 (2 )

DE=1487

Por lo tanto:

AB=DE=1487

AB=1487

2CD=DE=1487

2CD=1487

CD= 1487(2)

CD=747

BC=DE+1=1487

+1

BC=1557

Comprobando los resultados:

AB+BC+CD+DE=75

1487

+ 1557

+747

+ 1487

=75

148+155+74+1487

=75

148+155+74+1487

=75

5257

=75

75≡75

c. Sean dos ángulos. Si ambos ángulos tienen al mismo ángulo como complementario, entonces ambos ángulos son congruentes.

Ángulos complementarios: Son aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto.

Esta demostración solo es válida para un ángulo de 45°.

Juntando y sumando los ángulos, es el único caso de ángulos complementarios congruentes:

d. Sean dos ángulos opuestos, entonces la bisectriz de ambos ángulos está sobre la misma recta.

Sean los ángulos opuestos:

Trazando sus bisectrices de cada ángulo opuesto:

Se traza la bisectriz común para los dos ángulos opuestos:

Se localiza en la misma recta las bisectrices de ambos ángulos que son opuestos entre ellos.

e. Sea el triángulo definido por los puntos A, B y C. El segmento AC se extiende por otro segmento CD, se forma así un ángulo ∢ BCD cuya bisectriz está dada por la recta que contiene al segmento de recta CE. Si los ángulos ∢ CAB= ∢ CBA, entonces los segmentos AB y CE son paralelos.

Analizando que dos de sus ángulos son iguales, se trata de un triángulo isósceles, analizando la figura:

∢ CAB= ∢ CBA.

Se localiza la bisectriz:

Trazando círculos de mismo radio y localizando las intersecciones de los mismos, se traza la bisectriz:

La bisectriz del ángulo ∢BCD:

Analizando los segmentos que son paralelos:

Conclusiones:

Analizando por pendientes iguales, son rectas paralelas:

El análisis de las rectas se hizo con el software GEOBEBRA.

f. Sea el paralelogramo en forma de romboide definido por los puntos A, B, C y D. Un segmento de recta AC es una de las diagonales del romboide, entonces los ángulos de los vértices B y D son congruentes.

La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360°.Para un romboide, se cumple también este teorema, pues es un cuadrilátero.Los ángulos opuestos de un paralelogramo en forma de romboide miden lo mismo.

Analizando las figuras tenemos:La figura ABCD es un paralelogramo, donde sus dos pares de lados opuestos son paralelos y miden lo mismo, y sus dos pares de ángulos opuestos miden lo mismo:

Demostración de ángulos iguales en el paralelogramo:

Los ángulos ∢4 y ∢6 miden lo mismo:

4 6∢ ∢≣

Demostración de que los ángulos de los vértices B y D son congruentes por el análisis de secante que corta a dos paralelas.

Los ángulos en color verde son iguales y miden lo mismo

Los ángulos en color amarillo son iguales y miden lo mismo

Trazando una diagonal AC, el análisis es análogo:

Se forman dos triángulos congruentes:

El Δ ACD es congruente al Δ ABD, por lo siguiente:

AD‖BC

AB‖CD

En cuestión de medidas:

AD≡BC

AB≡CD

La diagonal AC, es lado común de los dos triángulos formados.

Por criterio LLL, el triángulo Δ ACD es congruente al Δ ABD.

Por lo tanto, en cuestión de ángulos:

θ=θ' Además de ser alternos internos.

β=β ' Además de ser alternos internos.

δ=δ 'El tercer ángulo es congruente.

Lo que demuestra por criterio de congruencia de triángulos que los ángulos de los vértices B y D son congruentes.

BibliografíaAULAFACIL.COM. (9 de Octubre de 2013). http://www.aulafacil.com/. Obtenido de

http://www.aulafacil.com/matematicas/plano-en-el-espacio/curso/Lecc-15.htm

Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio y trigonometría. Máxico: Publicaciones Cultural S.A.

Jiménez, R. (2007). Geometria Y Trigonometria. México: Pearson Educación.

Rodríguez, F. (2012). Geometría descriptiva.Tomo V. Sistema Cónico. España: Editorial Donostiarra S.A.

Sullivan, M., & Carlos, H. (2006). Algebra y Trigonometria. México: Pearson Educación.