Fase 1

Leer y revisar los conceptos de error y los diversos tipos de errores para diferenciar los diversos tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado (e.r.a). error por truncamiento y por redondeo) Teniendo en cuenta la precisión y exactitud del mismo.

Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

EJEMPLO:

Supóngase que se tiene que medir la longitud de una tabla de madera y de un clavo, obteniéndose 299cm y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 300cm y 10 cm.

EA = 300 - 299 = 1cm

y para el clavo es de

EA = 10 - 9 = 1cm

Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

Tomamos el mismo ejemplo.

ERP= 1300

X 100 %=0.01 %

y para el clavo es de 

ERP= 110X 100 %=10 %

Errores de truncamiento. Se deben a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.

Por ejemplo dados los números reales

3,14159265358979...32,4381912886,3444444444444

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal.El resultado es:

3,141532,43816,3444

Errores de redondeo. Aparecen cuando se utiliza calculadora u ordenador para realizar cálculos numéricos. Se originan porque la aritmética realizada en una máquina involucra sólo un conjunto finito de dígitos para representar a los números reales.

Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a 2, se aplicará las reglas de redondeo:

Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica.

Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,612= 12,61.

Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad.

Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,618= 12,62.

Error relativo aproximado: se utiliza cuando no se conoce el valor verdadero y se define

ERA=299−300299

∗100 %=100 %

EXACTITUD Y PRECISION

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud. La precisión se refiere a 1) el número de cifras significativas que representa una cantidad o 2) la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. La inexactitud (conocida también como sesgo) se define también como un alejamiento sistemático de la verdad. La precisión por otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento.Los métodos números deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. También debe ser lo suficientemente preciso para el diseño en la ingeniería.Usaremos el término de error para representar la inexactitud y la precisión de las predicciones.

FASE2

Leer y revisar los conceptos de métodos para calcular las raíces de una ecuación bisección, regla falsa, newton raphson y punto fijo Para luego realizar la comparación de los métodos

Newton Raphson

Este método es uno de los más utilizados para localizar raíces ya que en general es muy eficiente y siempre converge para una función polinomial.

Se requiere que las funciones sean diferenciables, y por tanto, continuas, para poder aplicar este método.

Se debe partir de  un valor inicial para la raíz: xi, este puede ser cualquier valor, el método convergirá a la raíz más cercana.

Si se extiende una tangente desde el punto   , el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

 

La fórmula de Newton-Raphson se deduce a partir de la fórmula de la pendiente de una recta.

Pendiente de una recta:

  

Mediante el método de Newton - Raphson Obtenga la raíz de la siguiente función:

f ( x )=x3+2 x2+7 x−20

Se sitúa un punto inicial x1=1

x i+1=x i−f (x i )f' (x i)

f ' ( x )=3x2+4 x+7

Iteración 1

x2=1−13+2 (1 )2+7 (1 )−20

3 (1 )+4 (1 )+7=1−1+2+7−20

3+4+7=1−(−10

14 )=1+0,714285=x2=1,714285

f (1,714285 )=1,7142853+1,7142852+7 (1,714285 )−20

f (1,714285 )=2,9154357

Dado que |2,9154357|>0,001se continua iterando para mejorar la solución.

Iteración 2

x3=1,714285−1,7142853+1,7142852+7 (1,714285 )−20

3 (1714285 )2+4 (1714285 )+7

x3=1,714285− 2,915435722,67345918

x3=1,714285−0,1285836303

x3=1,585701369

f (1,585701369 )=1,5857013693+1,5857013692+7 (1,585701369 )−20

f (1,585701369 )=01159722009

Dado que |01159722009|>0,001se continua iterando para mejorar la solución.

Iteración 3:

x3=1,585701369−1,5857013693+1,5857013692+7 (1,585701369 )−20

3 (1,585701369 )2+4 (1,585701369 )+7

x3=1,585701369−0,115972200920,88615197

x3=1,585701369−0,005552588153

x3=1,580148781

f (1,580148781 )=1,5801487813+1,5801487812+7 (1,580148781 )−20

f (1,580148781 )=0,0002081627837

Dado que |0,0002081627837|<0,001se ha encontrado una raíz satisfactoria en x=1,580148781

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

Método de Bisección

Conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

Este método por lo general es lento, ya que el método solamente toma en cuenta que la raíz se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

EJEMPLO: Encontrar la raíz de f(x) = e −x − ln (x) con un error más pequeño que media décima.

F(x) es continua en (0, +∞). Buscamos x1 y x2 tal que f(x1) · f(x2) < 0.

X1=1 X2=2

F ( X1 )=0,3679 F ( X2 )=−0,5578

X3=X1+X2

2=1.5→ε<0,5 , Yaque|1−1,5|=0,5 y|2−1,5|=0,5

f (x3 )=−0,1823

X1=1x3=1,5

F ( X1 )=0,3679 F ( X3 )=−0,1823

X 4=X1+X3

2=1,25→ε<0,5 , Ya que|1,5−1,25|=0,25 y|1−1,25|=0,25

f (x 4 )=0,0634

X 4=1,25 x3=1,5

f (x 4 )=0,0634 f (x3 )=−0,1823

x5=x3+x4

2=1,375→ε<0,125

f (x5 )=−0,0656

X 4=1,25 x5=1,375

f (x 4 )=0,0634 f (x5 )=−0,0656

x6=x4+x5

2=1,3125→ε<0,0625

f (x6 )=−0,0028

X 4=1,25 x6=−0,0028

(x4 )=0,0634 f (x6 )=−0,0028

x7=x4+x6

2=1,28125→ε<0,03125

f (x7 )=0,0299

De esta manera obtenemos que 1,28125 ± 0,03125 es una raíz de f(x).

METODO DE LA REGLA FALSA

Una modificación del método de bisección produce otro método que es siempre convergente, el método Regla Falsa es una alternativa mejorada del método de bisección. Aunque el método de bisección es un procedimiento perfectamente válido para determinar raíces su enfoque es relativamente ineficiente, el método de la regla falsa se basa en generar una idea para aproximarse en una forma más eficiente al valor de la raíz. Esta alternativa aprovecha la idea para unir dos puntos con una línea recta, la intersección de la recta con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz, el emplazamiento de la curva por una línea recta genera una “posición falsa de la raíz” de aquí se genera su nombre que en latín se escribe “regula false”, también se le conoce como el método de la “interpolación lineal simple”, con el uso de triángulos semejantes se calcula la raíz de la siguiente manera:

Método de la Regla Falsa:

Formula de la regla falsa: xr=x i+f (x i ) (x i−xD )F (X D )−F (X I )

Ejemplo: Determinar la raíz real de la función f(x) con los valores iniciales,X D =1.5 y xi = 2

f ( x )=1−0,6 xx

f (1,5 )=0,0667

f (2 )=−0,1

xr=x i+f (x i ) (x i−xD )F (X D )−F (X I )

xr=2+−0,1 (1,5−2 )

0,0667−(−0,1 )=1,7

f (xr ) f (xD )=−0,00078

f (xr ) f (x i )=−0,001176

x i=1,7 xD=1,5

f (1,5 )=0,0667

f (1,7 )=0,01176

xr=x i+f (x i ) (x i−xD )F (X D )−F (X I )

xr=1,7+0,01176 (1,5−1,7 )

0,0667−(−0,01176)=1,67

x i=1 ,67xD=1,5

f (1,5 )=0,0667

f (1 ,6 7 )=−0,0 012

xr=x i+f (x i ) (x i−xD )F (X D )−F (X I )

xr=1 ,6 7+−0,0012 (1,5−1 ,6 7 )0,0667− (−0,0012 )

=1 ,667

x i=1 ,667 xD=1,5

f (1,5 )=0,0667

f (1,67 )=−0,0 00119982

xr=x i+f (x i ) (x i−xD )F (X D )−F (X I )

xr=1 ,6 67+−0,0001 1998 2 (1,5−1 ,667 )

0,0667− (−0,00011 998 2 )=1 ,6667

METODO PUNTO FIJO

El Método de Punto Fijo (también conocido como iteración de punto fijo), es otro método para hallar los ceros de f(x). Para resolver f(x) = 0, se reordena en una forma equivalente:

F(x) = 0x - g(x) = 0x = g(x)

Observe que si c es un cero de f(x), f(c)=0 y c=g(c). (Siempre que se tenga c=g(c) se dice que c es un punto fijo de la función g). Para aproximar un cero de f se utiliza la iteración de punto fijo (1) xn+1 = g (xn), n = 0, 1, 2, 3,. . . donde x0 es una aproximación inicial del cero de  f.

EJEMPLO

F(x) = x2 - 2x - 3 = 0, tiene dos ceros. x = 3 y x = -1

Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente:

x2−2 x−3=0

x2=2 x+3

x=√2 x+3

x=g ( x )=√2x+3

Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1), los valores sucesivos de x son:

x0=4

x1=g (x0 )=√2 (4 )+3=3,31662

x2=g (x1 )=√2 (3,31662 )+3=3,10375

x3=g (x2 )=√2 (3,10375 )+3=3,03439

x4=g (x3 )=√2 (3,03439 )+3=3,01144

x5=g (x4 )=√2 (3,01144 )+3=3,00381

Parece que los valores convergen a x = 3.