INFORME DE MTODOS NUMRICOS # 1FECHA: 13/12/2014TEMA: Mtodos abiertos y cerrados para aproximar races de ecuacionesOBJETIVO: Aplicar los mtodos estudiados para resolucin de problemas donde implique encontrar sus races.

1. DESCRIPCIN DE LOS MTODOS NUMRICOS MTODO DE LA BISECCIN Este mtodo parte de un intervalo donde debe haber un cambiode signo en los extremos al evaluar la funcin. Este cambio implica que la funcin corta el eje x y por ende en dicho intervalo existe una raz de la funcin, siempre y cuando esta sea continua. Se debe aclarar que este mtodo es el ms lento pero tiene la particularidadque siempre esconvergente. El algoritmo empieza dividiendo el intervalo a la mitad, esto genera dos sub-intervalos, el algoritmo debe evaluar nuevamente en cul de los dos sub-intervalos se cumpleel cambio de signo al evaluarla funcin. De esta forma es posible desechar uno de los dos sub-intervalos,al sub-intervalo restante se le aplica el mismo procedimiento. Al realizar este proceso varias veces se obtendr cada vez un intervalo ms ajustado. Elproceso finaliza cuando el tamao del intervalo resultante es tal que el error absoluto definido por el usuarioes mayoro iguala este. Por lo tanto la raz puede aproximarse como el punto medio de este ltimo intervalo.

PSEUDOCODIGO1) INICIO

2) DECLARACIN

3) ASIGNACINENTRA Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea) iter =0

4) PROCESOHACER xrold =xr xr = (xl +xu) / 2 iter = iter +1 SI xr != 0 LUEGO ea _=ABS((xr -xrold) / xr) * 100 FIN SI test =f(xl) * f(xr) SI test 0 LUEGO xl =xr CASO CONTRARIO ea =0 FIN SI SI ea < es O iter >=imax SALIR FIN HACER Bisect =xr

5) VISUALIZARFprintf(xl, xu , xr)

6) FIN FIN BisecMTODO DE FALSA POSICINEste mtodo es en esencia igual al de biseccin, la nica diferencia que se presenta es que en este mtodo el punto medio no se calcula dividiendo a la mitad el intervalo sino que es calculado trazando una lnea desde cada punto del intervalo evaluado en la funcin hasta el otro extremo del intervalo evaluado tambin en la funcin, el punto donde corta el eje x ser entonces el punto medio. La frmula para calcular el punto medio es la siguiente:

PSEUDOCODIGO1) INICIO

2) DECLARACIN

3) ASIGNACINENTRA Falsapo(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea) iter =0

4) PROCESOHACER xrold =xr xr =xu - fu * (xl -xu) / (fl -fu) iter = iter +1 SI xr != 0 LUEGO ea _=ABS((xr -xrold) / xr) * 100 FIN SI test =f(xl) * f(xr) SI test 0 LUEGO xl =xr CASO CONTRARIO ea =0 FIN SI SI ea < es O iter >=imax SALIR FIN HACER Bisect =xr

5) VISUALIZARFprintf(xl, xu , xr)

6) FIN FIN FALSAPO

MTODO DEL PUNTO FIJOEste mtodo genera a partir de f(x)=0 una ecuacin x=g(x), para la cual se busca su solucin. Si g(en) corta la recta y=x, entonces f(xn)=0, por lo tanto xn es una raz de f(x). En otras palabras, se busca un valor de x que al reemplazarlo en g(x) se obtenga el mismo valor de x, esta x seria entonces una raz de la funcin f(x). En este mtodo no se parte de un intervalo sino de una aproximacin inicial, esta y todas las aproximaciones iniciales pueden calcularse con ayuda del mtodo de bsqueda de intervalos, donde x0 sera el punto medio de un sub-intervalo que contenga una raz. Despus de tener x0 calculamos x1 reemplazando x0 en g(x), es decir x1=g(x0), luego x2=g(x1) y as sucesivamente hasta que la diferencia xn - x(n-1) sea menor a la tolerancia definida por el usuario.

PSEUDOCODIGO1) INICIO

2) DECLARACIN

3) ASIGNACIN ENTRA Fixpt(x0, es, imax, iter, ea) xr =x0 iter = 0

4) PROCESOHACER xrold =xr xr =g(xrold) iter =iter+1 SI xr != 0 LUEGO ea _=ABS((xr -xrold) / xr) * 100 FIN SI SI ea < es O iter >=imax SALIR FIN HACER Fixp =xr

5) VISUALIZARFprintf( xr, ea)

6) FIN FIN Fixp

MTODO DE NEWTON-RAPHSONEl mtodo de Newton-Raphson es un mtodo iterativo que nos permite aproximar la solucin de una ecuacin del tipo f(x)=0. Partimos de una estimacin inicial de la solucin x0 y construimos una sucesin de aproximaciones de forma recurrente mediante la frmula:

Este mtodo bsicamente funciona partiendo de un valor inicial que se introduce en una expresin relacionada con la ecuacin, obteniendo as un resultado. Ese resultado se introduce en la misma expresin, obteniendo un nuevo resultado, y as sucesivamente. Si la eleccin del valor inicial es buena, cada vez que introducimos unos de los resultados obtenidos en esa expresin (es decir, cada vez que realizamos una iteracin del mtodo) el mtodo nos proporciona una aproximacin a la solucin real mejor que la que tuviramos anteriormente.

As se comienza la iteracin con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercana del punto inicial a la raz depende mucho de la naturaleza de la propia funcin; si sta presenta mltiples puntos de inflexin o pendientes grandes en el entorno de la raz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raz. Una vez que se ha hecho esto, el mtodo linealiza la funcin por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta ser, segn el mtodo, una mejor aproximacin de la raz que el valor anterior. Se realizarn sucesivas iteraciones hasta que el mtodo haya convergido lo suficiente.PSEUDOCODIGO1) INICIO% Para hallar una solucin aproximada de f(x) = 0, dada una aproximacin inicial p02) DECLARACIN

3) ASIGNACINInput: aproximacin inicial p0 ; tolerancia TOL; cantidad mxima de iteraciones N;Output: solucin aproximada p mensaje de fracaso.

4) PROCESOPaso 1:Tomar i = 1;Paso 2: Mientras que i N seguir pasos 3-6;Paso 3: Tomar % Calculamos pi .Paso 4: Si p p0= tolHacer c =(a f(b) - b f(a))/(f(b) - f(a))Si f (c) = 0 entonces c es raz. FinHacer a = b y b = c.Ir a 2% Implementacin del mtodo de la secante para una funcin f definida.a=1;b=2.618;tol=0.0001;Mientras abs(b-a)>=tolc=(a*f(b) - b*f(a))/(f(b) - f(a));% fprintf('a= %d, b=%d, c=%d, f(c)=%d\n',a,b,c,f(c))if f(c)==0disp('Encontrada raz.')breakenda=b;b=c;end

5) VISUALIZARFprintf(c, f(c))

6) FINFIN secante

MTODO DE LAS RAICES MULTIPLESUno de los inconvenientes que presenta el mtodo de Newton es cuando la derivada de la funcin tiende a cero al ser evaluada en x y por ende la convergencia disminuye o incluso se suspende si se alcanza una divisin por cero. Similarmente sucedera con el mtodo de la secante si la funcin es muy plana y f(x) y f(x-1) son aproximadamente iguales. Con el fin de darle solucin a este inconveniente se crearon estos mtodos. Hay dos formas desarrolladas para determinar races mltiples. El primero de ellos aade un factor a la formula normal del mtodo de newton con el fin de retornar la convergencia de este, simplemente aade la multiplicidad de la raz como una constante al segundo trmino de la formula.

El segundo crea una funcin auxiliar u(x)=f(x)/f'(x), as xn+1 =xn-(u(x)/u'(x)) reemplazando en trminos de f(x) se obtiene:

PSEUDOCODIGO1) INICIO

2) DECLARACIN

3) ASIGNACIN ENTRA Root(f,dfx0s, imax, i, ea,xr) fx=f(xi)fpx=fp(xi)i=1error=ea+1

4) PROCESOMIENTRAS itol y fpx~=0x=xi-m*(fx/fpx)fx=f(x)fpx=fp(x)error=abs(x-xi)xi=xi=i+1FIN MIENTRASSI fx=0Escriba La raz es: xiCASO CONTRARIO SI error