METODOS NUMERICOS Ing. Mecanica/Qumica 4-JULIO-2014 CURSO 2013/2014

P1.- (2 puntos) Dada la ecuacion 3x+ senx x2 = 0:(a) Comprueba graficamente que posee dos races reales.

(b) Se puede reescribir la ecuacion x2 = 3x + senx como x = 3x+ senx. Demuestra razonada-mente que la funcion g(x) =

3x+ senx tiene un unico punto fijo en el intervalo [3, pi].

(c) Calcula dicha raz, realizando dos iteraciones con este metodo, partiendo de x0 = 3, y estime elerror cometido.

(a) Graficamente la solucion de la ecuacion es equivalente a encontrar los puntos de interseccion delas curvas y = senx, y = x2 3x:

(b) La funcion g verifica las condiciones de existencia y unicidad del punto fijo, y de convergencia delmetodo iterativo del punto fijo

g(x) =3x+ senx es continua en el intervalo [3, pi]

g(x) =3 + cosx

23x+ senx

> 0

g es creciente en el intervalo, por tanto g(3) =9 + sen 3 3.0234, g(pi) = 3pi 3.0700

g ([3, pi]) = [g(3), g (pi)] =[

9 + sen 3,3pi] [3, pi]

g es decreciente y positiva en el intervalo [3, pi], por tanto como g(3) 0.3324

|g(x)| g(3) < 0.34 < 1 x [3, pi]

(c) Iteraciones de punto fijo partiendo de x0 = 3

x0 = 3, x1 = g(x0) =3 3 + sen 3 = 3.0234, x2 = g(x1) =

3 3.0234 + sen 3.0234 = 3.0312

(d) Llamando x al punto fijo, sabemos que |xn x| Kn |b a| siendo [a, b] = [3, pi] el intervalodonde g verifica las condiciones de existencia y unicidad de punto fijo y K = 0.34 una cota de|g(x)| en dicho intervalo, luego la estimacion del error cometido con la segunda iteracion delmetodo del punto fijo sera

|x2 x| K2 |b a| = 0.342 |pi 3| 0.0164

Solucion Derive: 3.035040822, iteraciones [3, 3.023428518, 3.031200240], [3.141592653, 3.069980123, 3.046554071]

P2.- (2 puntos) Dado el sistema16x+ 4y2 = 12 senx+ 6y = 3

(a) Calcula las dos primeras iteraciones del metodo de Newton-Raphson aplicado al sistema partiendodel valor inicial (x0, y0) = (0, 0).

(b) Se podra utilizar el valor inicial (x0, y0) = (0, 6)? Razona la respuesta.

(a) Punto inicial (x0, y0) = (0, 0), F (x, y) = (16x+ 4y2 1, 2 senx+ 6y 3). Entonces

JF (x, y) =(

16 8y2 cosx 6

) JF (x, y)1 = 1

96 16y cosx(

6 8y2 cosx 16

)as que(

xn+1yn+1

)=(

xnyn

) 1

96 16yn cosxn

(6 8yn

2 cosxn 16)(

16xn + 4y2n 12 senxn + 6yn 3

)Primera iteracion(

x1y1

)=(

00

) 1

96

(6 02 16

)( 13

)=(

00

) 1

96

( 646

)=(

0.06250.4792

)Segunda iteracion(

x2y2

)=(

0.06250.4792

) 1

88.3478

(6 8 0.4792

2 cos(0.0625) 16)(

0.91850.0001

)=(

0.00010.4999

)

(b) F (x, y) = (16x+4y21, 2 senx+6y3) para poder aplicar el metodo hemos de ver si la matrizjacobiana es invertible en (x0, y0) = (0, 6)

JF (x, y) =(

16 8y2 cosx 6

) 16 8y2 cosx 6

= 96 16y cosx (x0, y0) = (0, 6) JF (0, 6) = 0No se puede aplicar el metodo partiendo de (x0, y0) = (0, 6).

P3.- (2 puntos)

(a) Determina los valores de las constantes a, b y c de modo que la formula de cuadratura 10

f(x) dx = a f(1/4) + b f(1/2) + c f(3/4)

tenga grado de precision (grado de exactitud) maximo.

(b) Aplica la formula obtenida para aproximar 10

x2x2 + 12

dx

(a) Para calcular los valores de las constantes a, b y c de modo que la formula de cuadratura

Q[f ] = a f(1/4) + b f(1/2) + c f(3/4)

para aproximar la integral 10f(x) dx tenga el grado de precision o exactitud mas alto posible

vamos a establecer un sistema imponiendo que la formula es exacta para las funciones polinomicasxn n = 0, 1, 2, . . .

1 = 10

1 dx = a 1 + b 1 + c 1 a+ b+ c = 112= 10x dx = a 1/4 + b 1/2 + c 3/4 a+ 2b+ 3c = 2

1/3 = 10x2 dx = a (1/4)2 + b (1/2)2 + c (3/4)2 a+ 4b+ 9c = 16

3Resolviendo el sistema

a =23, b = 1

3, c =

23

La formula de cuadratura es 10

f(x) dx =23 f(1/4) 1

3 f(1/2) + 2

3 f(3/4)

El grado de precision de la formula obtenida es 3 ya que

1/4 = 10x3 dx =

23

(14

)3 1

3

(12

)3+

23

(34

)3

1/5 = 10x4 dx 6= 2

3

(14

)4 1

3

(12

)4+

23

(34

)4=

37192

(b) Aproximacion con la formula de cuadratura 10

x2x2 + 12

dx 23 0.25

2

0.252 + 12

13 0.5

2

0.52 + 12

+23 0.75

2

0.752 + 12

= 0.093989

Derive: 10

x2x2 + 12

dx =132

3 ln(

13 + 76

) 0.09392133761

P4.- (2 puntos) Aproxima el valor de 71/2 mediante el polinomio interpolador cuadratico de la funcion

f(x) = 2x con los nodos x0 = 1, x1 = 0 y x2 = 1. Acota el error cometido.

xk 1 0 1f(xk) = yk 21 =

12

20 = 1 2

Valor de 71/2 = 21/7 utilizando el polinomio interpolador cuadratico:

P2(x) =(x 0)(x 1)

(1 0)(1 1) 12+

(x (1))(x 1)(0 (1))(0 1) 1 +

(x (1))(x 0)(1 (1))(1 0) 2 =

x2 + 3x+ 44

P2

(17

)=

(1/7 0)(1/7 1)(1 0)(1 1)

12+(1/7 (1))(1/7 1)

(0 (1))(0 1) 1+(1/7 (1))(1/7 0)

(1 (1))(1 0) 2 =4449

= 0.897959

Acotacion del error cometido:

E2(x) =(x x0)(x x1)(x x2)

3!f () [1, 1] E2(x) = (x (1))(x 0)(x 1)6 f

()

f(x) = 2x, f (x) = 2x ln 2, f (x) = 2x (ln 2)2 , f (x) = 2x (ln 2)3

|f (x)| 2 (ln 2)3 0.6661 x [1, 1]

E2

(17

)=

(1/7 (1))(1/7 0)(1/7 1)6

f () |E2(1/7)| 0.0155

Derive: 71/2 0.9057

P5.- (2 puntos) La velocidad v(t) de un cuerpo de masa m en cada libre sujeto unicamente a la accion dela gravedad y la resistencia del aire esta expresada como funcion del tiempo t por la ecuacion:

mv = mg + v2

donde g = 9.8m/s2 es la constante gravitacional y es un coeficiente determinado por la resistenciadel aire.

(a) Explica por que la trayectoria de la masa esta determinada de una manera unica a partir decualquier velocidad inicial.

(b) Suponiendo que un cuerpo de masa m = 65 kg parte del reposo y que = 0.245 kg/m, aproximala velocidad al cabo de 1 segundo aplicando el metodo de Euler con paso h = 0.25.

(a) Problema de valor inicial v = f(t, v) donde f(t, v) = g + mv2. f verifica las condiciones del

teorema de Picard, por tanto tiene una unica solucion a partir de cualquier condicion inicial, luegola trayectoria de la masa esta determinada de una manera unica a partir de cualquier velocidadinicial.

(b)

PVI{

v = g + m v2 v = 9.8 + 0.24565 v2v(0) = 0

v(1)?, tamano de paso h = 0.25

Discretizacion del intervalo [0, 1],

t0 = 0, t1 = 0.25, t2 = 0.5, t3 = 0.75, t4 = 1

Aproximamos v(1) v4 por el metodo de Euler con tamano de paso h = 0.25:

vn+1 = vn + hf(tn, vn) = vn + 0.25(9.8 + 0.0038 v2n) n = 0, 1, 2, 3

v1 = v0 + 0.25(9.8 + 0.0038 v20) = 0 + 0.25 (9.8 + 0.0038 02) = 2.45

v2 = v1 + 0.25(9.8 + 0.0038 v21) = 2.45 + 0.25 (9.8 + 0.0038 (2.45)2) = 4.8943

v3 = v2 + 0.25(9.8 + 0.0038 v22) = 4.8943 + 0.25 (9.8 + 0.0038 (4.8943)2) = 7.3217

v4 = v3 + 0.25(9.8 + 0.0038 v23) = 7.3217 + 0.25 (9.8 + 0.0038 (7.3217)2) = 9.7212

Obtenemos la siguiente tabla de valores, redondeando a 4 decimales:

n tn(s) vn(m/s)0 0 01 0.25 2.452 0.5 4.89433 0.75 7.32174 1 9.7212

La aproximacion de v(1) es v4 = 9.7212m/s.