métodos matematicos aplicados a la fisica (enfocado a algebra lineal)

7/23/2019 Mtodos matematicos aplicados a la fisica (enfocado a algebra lineal)

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Metodos Matematicos Aplicados a la Fsica

Jesus Garca Ortiz


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ii


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Indice general

I Espacios Vectoriales 1

1. Espacios Vectoriales 3

1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Subespacios y Suma Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. Independencia y Dependencia Lineal, Bases y Dimension . . . 22

II Aplicaciones Lineales 33

2. Aplicaciones Lineales 352.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Propiedades de las transformaciones . . . . . . . . . . . . . . 432.3. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4. Representacion de Vectores y Cambios de Base . . . . . . . . 542.5. Espacio Dual y Base Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6. Cambio de Base enV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.7. Operadores Lineales y Operador Dual . . . . . . . . . . . . . 66

2.7.1. Producto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.7.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

III Producto interior 85

3. Producto Interior 87

3.1. Cotensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2. Producto Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2.1. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.3. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.4. Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

iii


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iv INDICE GENERAL

IV Teorema espectral 127

4. Teorema espectral 1294.1. Ecuacion Av = v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.1.1. Polinomio Caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.1.2. Matrices Similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.1.3. Relacion entre los Valores Propios y las Races

Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.1.4. Operadores de Proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.1.5. Subespacios Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.1.6. Descomposicion Es pe c tr al . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.1.7. Diagonalizacion de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.2. Forma Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

V Tensores 157

5. Tensores 1595.1. k-Cotensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 595.2. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.3. Subida y Bajada de Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.4. Contraccion de Te ns or e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.5. Tensores Alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.6. Elemento de Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.7. Producto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

VI Grupos 185

6. Grupos 1876.1. Grupo, Subgrupos y Grupo Cociente . . . . . . . . . . . . . . 1876.2. Homomorfismos, Isomorfismos y Representaciones . . . . . . 1966.3. Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199


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Parte I

Espacios Vectoriales

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Captulo 1

Espacios Vectoriales

1.1. Definiciones

Nos iniciamos dando la definicion y ejemplos de algunas estructurasalgebraicas simples, las cuales facilitaran la comprension del tema centralde este captulo y en general del texto relativo a Espacios Vectoriales deDimension Finita.

Definicion.- Un Grupo G es un conjunto no vaco con una operacion,mapeo, regla o ley bien definida, tal que a toda pareja ordenada (u, v)de G le asocia el elemento uv de G, ademas debe de cumplir con lassiguientes propiedades :

i. Asociativa : u(vw) = (uv)w, para todou,v, w G.ii. Existencia del Elemento Identidad : Existe un unicoe G, tal que

para todou G, ue= eu= u.iii. Existencia del Elemento Inverso : Para cada u G, existe un unico

u G, tal que uu = uu= e.

Ejemplos

1. El conjunto de los numeros enteros

Z, bajo la operacion usual de suma

forma un grupo, donde el elemento identidad es el cero, y el inversodel entero s ess.

2. Las flechas en un plano con origen comun, con la operacion usualde suma de flechas, conocida como ley del paralelogramo, forman un

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4 1.Espacios Vectoriales

grupo, donde el elemento identidad es la flecha de magnitud cero y el

inverso de una flecha es una flecha de la misma magnitud y sentidoopuesto.

3. El conjunto de los numeros reales R, bajo la operacion usual de sumaforma un grupo, donde el elemento identidad es el cero, y el inversodel real s ess.

4. El conjunto R =R {0} bajo la operacion usual producto de realesforma un grupo, donde el elemento identidad es el uno y el inverso deun s R es 1s .

5. El conjunto de operadores hermticos bajo la operacion usual suma deoperadores forma un grupo, donde el elemento identidad es el operadorcero y el inverso aditivo de todo operador hermtico A esA.

6. El conjunto de rotaciones en multiplos de 2 radianes en torno de uneje perpendicular a un cuadrado y que pasa por su centro forma ungrupo, donde el elemento identidad es una rotacion de cero radianes yel inverso de una rotacionR es aquella rotacion R que al ser aplicadaa continuacion de R lleva al cuadrado a la posicion que tena cuandose aplico R.

Definicion.- Se dice que un grupoG es Abeliano o Conmutativosi bajo

la operacion ,uv= vupara todou, v G.Ejemplos.- Todos los grupos senalados anteriormente son Abelianos.

Por ahora senalaremos que siempre que se hable de un grupo se debeespecificar ademas de un conjunto una operacion binaria. En el captulo 6haremos un estudio mas amplio de este tema.

Ejercicios : Seccion 1.1

1. Las siguientes operaciones pueden aplicarse a cualquier elemento de

R2.

Sea (x, y) perteneciente aR2, se definen A1, A2, A3 yA4 como :

i. A1(x, y) = (x, y).

ii. A2(x, y) = (x, y).


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1.1 Definiciones 5

iii. A3(x, y) = (x, y).iv. A4(x, y) = (x, y).Mostrar que estas cuatro operaciones bajo la operacion de aplicar unaa continuacion de otra forman un grupo, especificar explcitamente elinverso de cada operacion.

2. Mostrar que el conjunto de matrices unitarias 22, cuyo determinantees igual a uno, bajo la operacion usual de producto de matrices formaun grupo.

Lo interesante de este grupo es que surge en Fsica y se conoce como

el SU(2). Vease cap. IV Mecanica Clasica H.Golstein Edit. Reverte.3. Mostrar que el siguiente conjunto de matrices 2 2 forma un grupo,

bajo la operacion usual de producto de matrices

I=

1 00 1

, A1=

0 11 0

,

A2=

1 00 1

, A3=

0 11 0

Definicion.- Un Campo o Cuerpo K es un conjunto no vaco con dosoperaciones binarias + y tal que :

i. Kbajo la operacion + es un grupo Abeliano.

ii. K {0}bajo la operacion es un grupo Abeliano.iii. Para todaa,b,c K;a(b+c) =ab+acconocida como ley distributiva

del producto respecto a la suma.

Ejemplos

1. El conjunto de los numeros racionalesQ, bajo las operaciones usualesde suma y producto forma un campo.

2. El conjunto de los numeros realesR, bajo las operaciones usuales desuma y producto forma un campo.


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6 1. Espacios Vectoriales

3. El conjunto de los numeros complejosC, bajo las operaciones usualesde suma y producto forma un campo.

A los elementos de un campo se les conoce como escalares.Los campos o cuerpos seran simbolizados con las letras mayusculas K,

R, C o K1, K2, etc. y los elementos de un campo con las primeras letrasminusculas del alfabeto a, b, c, . . . o a1,a2, . . ..

1.2. Espacio Vectorial

En la literatura existen diversas definiciones de un espacio vectorial(e.v.), todas equivalentes, a continuacion daremos tres; una de ellas rela-

cionada con las estructuras antes definidas.

1ra Definicion.- UnEspacio VectorialVbajo el campoKes un conjuntono vaco con dos operaciones y (esta ultima, conocida como productopor un escalar) bien definidas; de tal manera que Vbajo la operacion es ungrupo Abeliano y bajo la operacion se cumplen las siguientes propiedades:

i. Para todo u V y a Kse cumple que au V.ii. Para todou Vse cumple que 1u= u siendo el 1 el elemento identidad

de la operacion producto en K.

iii. Para todou V y a, b Ka(bu) = (ab)u (ley asociativa).

iv. Para todo u, v V ya Ka(u + v) =au + av (una forma de la ley distributiva).

v. Para todou V y a, b K(a + b)u= au + bu (otra forma de la ley distributiva).

2a Definicion.- Un Espacio Vectorial Ves un conjunto de objetos, novaco, con dos operaciones y , la operacion , usualmente conocida comosuma, y la operacion , conocida como producto por un escalar.

Bajo la operacion se deben cumplir las siguientes propiedades :


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1.2 Espacio Vectorial 7

i. Para todo u, v V , se cumple que uv = w V, conocida como ley dela cerradura.

ii. Para todou, v V uv= vu llamada ley conmutativa.iii. Para todo u, v,w V, u(vw) = (uv)w llamada ley asociativa.iv. La existencia de un elemento e V llamado el elemento identico o cero

bajo la operacion , el cual es unico y cumple la siguiente propiedad: para todou V, ue= eu= u

v. Para cada elemento v V, existe un unico elemento v V llamadoinverso aditivo, tal quevv = v v= e.

Bajo la operacion se debe cumplir :

i. Para todou V, y cualquier a K, au Vii. Para todou, v Vy cualquiera K,a(uv) =auavconocida como

ley distributiva del producto con respecto a la operacion .

iii. Para todo uV, y a, bK, (a+b)u = au+bu otra forma dela ley distributiva.

iv. Para todo a, b Ky v V, a(bv) = (ab)vconocida como ley asociativacon respecto al producto.

v. Para todo v

V, 1v= v.

3ra Definicion.- Sea V un conjunto no vaco y una operacion quenos manda el producto cartesiano de V en V, es decir : V V V (aesta operacion se le conoce usualmente como suma); y una operaci on quenos manda el producto cartesiano de K y V en V, es decir : K V V(a esta operacion se le conoce usualmente como producto por un escalar).EntoncesV es un Espacio Vectorialrespecto a estas dos operaciones (si secumplen todas las propiedades, antes senaladas, respecto a y producto por un escalar).

En esta definicion el producto cartesiano de V

V V = {(u, v) | u V y v V}por lo que

K V = {(a, v) | a K y v V}En base a lo anterior


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: (u, v) uv y : (a, v) av.A los elementos de un e.v. se les llama vectores. Dependiendo de que

K sea el campo de los reales o de los complejos, tendremos e.v. reales ocomplejos.

Siempre que se hable de un e.v. V, ademas del conjunto Vse debe definir,en forma clara, la operacion y el campo bajo el cual se cumple la operacion .

Los e.v. seran simbolizados con las ultimas letras mayusculas del alfabetoU , V , . . . , oU1, U2, . . . ; los elementos de un e.v. seran simbolizados con lasultimas letras minusculas del alfabeto. Esta notacion sera seguida en generala reserva de que se diga otra cosa.

Antes de realizar algunos ejercicios, veamos algunas consecuencias in-mediatas de las propiedades o axiomas antes senalados.

1. La unicidad del elementoe V bajo .Demostracion : Supongamos que existe otro e V con la misma

propiedad de e, esto es :

ee= e por la propiedad de e

ee= e por ser e un elemento de Vque cumple con la propiedad dee.

Puesto que el miembro izquierdo de ambas igualdades es el mismo,

concluimos que e = e y por lo tanto e es unico.

Nota : Al elemento e bajo la operacion suma usualmente se le sim-boliza por 0 vector, La operacion es usualmente denotada por +.

2. Veamos ahora lo referente a la unicidad del elemento inverso aditivo.

Demostracion : Sea v V y v su inverso aditivo, por lo quevv = e; supongamos ahora que existe w V tal que si v V,vw = e, puesto que el miembro derecho de ambas igualdades es elmismo vv = vw sumando v por la izquierda a cada miembro

de esta igualdad, v(vv) = v(vw), aplicando la ley asociativa(vv)v = (vv)w, de aqu ev = ew, infiriendose v = w, dedonde se concluye que el inverso es unico. .


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Nota :Al elemento inverso aditivo de v,v, usualmente se le simboliza

porv.3. Probemos que 0u= 0 (donde el cero del miembro izquierdo, es el cero

de Ky el cero del miembro derecho es el vector cero y u V).Demostracion : Sumemos al miembro del lado izquierdo de la igual-

dad anterior el vectoru, es decir

u(0u) = (1u)(0u) por axiomavde

(1u)(0u) = (10)u por axiomaiiide

y puesto que 10 corresponde a la suma tanto de reales como de com-plejos, es decir, 10 = 1 + 0 = 1, sustituyendo en la ultima igualdad

u(0u) = (10)u= u

la cual nos dice que 0u= 0 ya que el elemento 0 es unico.

4. Probemos ahora que a0 = 0 donde en ambos miembros 0 es el vectorcero y a K.

Demostracion : Sumemos al miembro del lado izquierdo de la igualdad

anterior el elemento au, es decir, aua0 dist.= a(u0) = au, lo cual nosdice que a0 = 0 ya que el elemento cero es unico. .

Ejercicios :Seccion 1.2.1.- Para todo u, v V y a,b Kmostrar :

i. (1)v= v.ii. Siau= 0, entonces a= 0 o u = 0.

[iii.]Siau= av cona

= 0, entoncesu= v.

[iv.]Siau= bu conu = 0, entoncesa= b.v. (a)u= a(u) = (au)vi.(uv) = (u)(v).


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vii. uu= 2u, uuu= 3u, etc.

Observe que todas estas propiedades no dependen de la definicion precisade la operacion , por lo que su validez se extiende a todo e.v. .

Ejemplos de espacios vectoriales.

1. Kn ={(a1, a2, . . . , an) con ai K} con las operaciones usuales desuma de eneadas y producto de un escalar por una eneada es un e.v.

Veamos, sabemos que si u, v Kn, u, v son de la forma u = (b1, b2,. . . ,bn), v= (c1,c2, . . . , cn), por lo que :

v +u= (c1, c2, . . . , cn)+(b1, b2, . . . , bn)def= (c1 +b1, c2 +b2, . . . , cn +bn).

De aqu se observa que se cumple la ley de la cerradura.

Acerca del cero.

El elementoe o 0 de Kn es la eneada de ceros : 0 = (0, 0, . . . , 0 n

)

Acerca del inverso

Para todo u Kn, existe u = u tal que si u= (a1, . . . , an),

u= (a1, . . . , an) = (a1, . . . , an).

Las leyes conmutativa y asociativa son inmediatas, se deja como ejer-cicio la prueba de ellas.

Con respecto a la operacion producto por un escalar la definicion deeste es :

Si a K y u Kn con u = (a1, a2, . . . , an),

au= a(a1, a2, . . . , an)def

= (aa1, . . . , a an)

de aqu se observa facilmente queau Kn.


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Combinando las dos operaciones se ve que se cumplen las demas pro-

piedades, concluyendose que Kn

es un e.v. .

2. El conjunto de flechas sobre un plano con origen comun, bajo las opera-ciones usuales de suma (ley del paralelogramo) y multiplicacion por unnumero complejo z =|z | ei. Es evidente que ba jo la operacion sumase cumple la ley de la cerradura y las propiedades correspondientes aesta (trace flechas en un plano con origen comun y aplique la ley delparalelogramo).

La multiplicacion de una flecha por un numero complejo z =| z | ei

es interesante, toda vez que, al realizar esta operacion| z |, aumentao disminuye la magnitud de la flecha y ei rota o gira a la flecha enun angulo con respecto a su posicion inicial, puesto que la reglaesta dada, todas las propiedades con respecto al producto se cumplenfacilmente. Por lo que el conjunto de flechas antes mencionado es une.v. sobre los complejos.

3. Los polinomios con coeficientes enKde grado menor o igual a n, conlas operaciones usuales de suma de polinomios y multiplicacion porescalares, forman un e.v. sobre K.

4. El conjunto de soluciones de una ecuacion diferencial de la formay +ay +by = 0 con a, b C, es un e.v. complejo, bajo las op-eraciones usuales de suma de funciones, y producto de una funcionpor un escalar.

Es claro que el conjunto de soluciones cumple con la cerradura, yaque si 1 y 2 son soluciones de la ecuacion, 1 + 2 tambien essolucion, esta ultima afirmacion se observa al sustituir

1+

2 en la

ecuacion y aplicar la derivacion correspondiente, las demas propiedadescon respecto a la suma se cumplen trivialmente.

Con respecto al producto por un escalar sis C y1 es solucion de laecuacion, veremos que s1 tambien es solucion, sustituyendo s1 en


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la ecuacion nos da :

(s1)+ a(s1)+ b(s1) =s1+ as1+ bs1=s[1+ a

1+ b1]

=s0

= 0.

Las demas propiedades con respecto al producto son inmediatas. Portanto, el conjunto de soluciones de la ecuacion diferencial es un e.v.complejo.

5. El conjuntoV = {0} el cual consiste de un solo elemento, con la opera-cion usual de suma y producto de un elemento de Kpor cero es un e.v. .

6. El conjunto de elementos deR2 que representa a puntos que se en-cuentran sobre una recta que pasa por el origen, bajo las operacionesusuales de suma de parejas y producto de un escalar por una pareja,forma un e.v.

Demostracion : Sea

V = {(x, y) R2 |y= x, = cte.}i. Observemos que se cumple la ley de la cerradura.

Sean u= (x1, y1) y v= (x2, y2) V, por probar que u+v V,veamos :

u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, x1) + (x2, x2)

= (x1+ x2, x1+ x2) = (x1+ x2, (x1+ x2)) V.

ii. Observemos que se cumple la ley conmutativa

Seanu= (x1, y1) y v = (x2, y2) V, por probar queu+v= v +u,veamos :

u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, x1) + (x2, x2)= (x1+ x2, x1+ x2) = (x2+ x1, x2+ x1)

= (x2, x2) + (x1, x1)

= v+ u.


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iii. Observemos que se cumple la ley asociativa

Sean u = (x1, y1) , v = (x2, y2) y w = (x3, y3) V, por probarqueu + (v+ w) = (u + v) + w, veamos :

u + (v+ w) = (x1, x1) + (x2+ x3, (x2+ x3))

= (x1+ (x2+ x3), x1+ (x2+ x3))

= ((x1+ x2) + x3, (x1+ x2) + x3)

= [x1+ x2, (x1+ x2)] + (x3, x3)

= (u + v) + w.

iv. Existencia del elemento cero en V.

El elemento (0, 0) R2

tambien esta en V ya que (0, 0) = (0, 0),por lo que para toda u= (x, y) V

u + 0 = (x, x) + (0, 0) = (x + 0, x + 0) = (x, x) =u.

v. Existencia del inverso

Por probar que si u V, existe u V, tal que u + u = 0.Sea u = (x, y) V, por lo queu =(x, y) =(x,x) =(x, x) tambien esta en V y

u + (u) = (x,x) + (x, x) = (x + (x), x + (x))= (0, 0) =e.

Con respecto a la operacion producto por un escalar

i. Observemos que para todo u = (x, y) V y a R, au V,veamos :

au= a(x, y) =a(x,x) = (ax,ax) = (ax, ax) V.ii. Observemos que para todo u = (x1, y1), v = (x2, y2) V y a R,

a(u + v) =au + av, veamos :

a(u + v) = a[(x1, y1) + (x2, y2)] =a[(x1, x1) + (x2, x2)]

= a[x1+ x2, x1+ x2] = [a(x1+ x2), a(x1+ x2)]= [ax1+ ax2,ax1+ ax2] = (ax1,ax1) + (ax2,ax2)

= a(x1, x1) + a(x2, x2)

= au + av.


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iii. Observemos que para todo u = (x1, y1) V y a, b K,(a + b)

u= a

u + b

u, veamos :

(a + b)u = (a + b)(x1, y1)

= (a + b)(x1, x1)

= ((a + b)x1, (a + b)x1)

= (ax1+ bx1,ax1+ bx1)

= (ax1,ax1) + (bx1,bx1)

= a(x1, x1) + b(x1, x1)

= au + bu.

iv. Observemos que para todo u= (x, y)

V y a, b

R,

a(bu) = (ab)u, veamos :

a(bu) = a[b(x,x)] =a(bx,bx) = (abx, abx)

= (ab)(x,x)

= (ab)u.

v. Observemos que para todo u = (x, y) V y 1 R,1u= u, veamos :

1u= 1(x,x) = (1x, 1(x)) = (x,x) =u.

Si bien es cierto que el conjunto de elementos deR2 que repre-senta a puntos que estan sobre la recta y = x forma un e.v., notodo conjunto de puntos que estan sobre una recta forma un e.v.bajo las operaciones definidas enR2.Es claro que para probar que un conjunto es un e.v. se requierecomprobar los diez axiomas de la 2a definicion; en futuras de-mostraciones, solo se comprobaran aquellos axiomas que parezcanmenos evidentes.

7. El conjunto de elementos de R3 que representa a puntos sobre un planoque pasa por el origen, bajo las operaciones usuales de suma de tradasy producto de un escalar por una trada, forma un e.v. .

Demostracion : Sea

V = {(x,y ,z) R3 | y= ax + by+ cz= 0, a,b,c R, fijos}


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En relacion a la suma.

i. Observemos que se cumple la ley de la cerradura.

Sean u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2) V, por probar queu + v V, veamos :

u + v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2)

y esta es una trada que se encuentra en V , ya que

a(x1+ x2) + b(y1+ y2) + c(z1+ z2)

=ax1+ ax2+ by1+ by2+ cz1+ cz2

= (ax1+ by1+ cz1) + (ax2+ by2+ cz2)

= 0 + 0 = 0.

v. Sea u = (x,y ,z) V, u =(x,y,z) = (x, y, z) por sumade tradas sabemos queu es el inverso de u, por otra parte,queremos observar siu satisface la ecuacion del plano, lo cuales evidente.

Del producto por un escalar.

i. Observemos que para toda u= (x1, y1, z1)V y R , uV ,veamos :

u= (x,y ,z) = (x,y,z) y esta es una trada que se encuen-tra sobre el plano, ya que :

a(x) + b(y) + c(z) =(ax + by+ cz) =0 = 0.

La prueba de los demas axiomas se deja como ejercicio al lector.

Sin embargo no todos los conjuntos de

R3, que representan a puntos

sobre un plano, forman un e.v. .

8. El conjunto de funciones continuas W, definidas sobre el intervalo[a, b] R, bajo las operaciones usuales de suma de funciones y pro-ducto de un escalar real por una funcion forma un e.v. .


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Demostracion : Sean F, G W y R, sabemos que :

(F+ G)x= F(x) + G(x) y (F)x= (F(x))

i. Observemos que la ley de la cerradura con respecto a la adicion secumple, ya que la suma de funciones continuas es continua.

iv. Nuestro elemento identidad es la funcion cero tal que : 0(x) = 0.

v. El inverso de F esFtal que : (F)x= (F(x))

Las demas propiedades se verifican facilmente.

9. El conjunto de matrices de r renglones y s columnas sobreR, sim-bolizado porMrs(R), bajo las operaciones usuales de suma de matricesy producto de un escalar por una matriz constituye un e.v. .

Demostracion : Sean (aij ) y (bij) Mrs(R) y R, sabemos que :(aij ) + (bij)

def= (aij+ bij) y que (aij)

def= (aij ).

Con respecto a la suma

i. Observemos que la ley de cerradura se cumple trivialmente de la

definicion de suma de matrices.iv. El cero corresponde a aquella matriz 0 Mrs(R) constituida por

ceros.

Del producto por un escalar

i. Observemos que la ley de la cerradura se sigue de la definici on deproducto por un escalar.

Las demas propiedades se verifican facilmente.

Ejercicios : Seccion 1.2.2

En los siguientes problemas, determine cuando el conjunto dado es une.v. , en caso de no serlo, senale los axiomas que no se cumplen.


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1.3 Subespacios y Suma Directa 17

1. El conjuntoS1= {(a, b) R2 :a 0} , bajo las operaciones de sumade parejas y producto de un escalar por una pareja.

2. El conjuntoS2 ={(a, b) R2 :a= b} , bajo las operaciones usualesde suma y producto de un escalar por una pareja.

3. El conjunto de matrices diagonales denn, ba jo la operacion productode matrices y producto de un escalar por una matriz.

4. El conjunto de polinomios de grado cinco bajo las operaciones usualesde suma de polinomios y producto de un escalar por un polinomio.

5. El conjunto de polinomios de grado cinco con termino independientemayor que cero, bajo las operaciones del ejercicio 4.

6. El conjunto de polinomios de grado cinco con termino independienteigual a cero, bajo las operaciones del ejercicio 4.

7. El conjunto de funciones continuas definidas en el intervalo cerrado[a, b], tal que si f es una de ellas con f(a) = f(b) = 0, bajo lasoperaciones usuales de suma de funciones y producto de un escalarpor una funcion.

8. El conjunto de funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b], tal quesifes una de ellas f(c) = 0 cona < c < b, bajo las operaciones usualesde suma de funciones y producto de un escalar por una funcion.

9. El conjunto de puntos enR3 situados sobre la recta

{3x y 3 = 0 y 3z 3 = 0},

bajo las operaciones usuales de suma de tradas y producto de unescalar por una trada.

10. El conjunto de funciones continuas y derivables en el intervalo cerrado[a, b], bajo las operaciones usuales de suma de funciones y producto deun escalar por una funcion.

1.3. Subespacios y Suma Directa

Definicion.- Se dice que M es un Subespacio de V, si M es unsubconjunto de V, el cual es en s mismo un subespacio vectorial, bajo lasmismas operaciones de Vy bajo el mismo campo.


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Lema.- Un subconjunto M de V es un Subespacio deV si :

i. u M y a K au Mii. u, v M, uv M.

Veamos a continuacion que estas dos propiedades son suficientes para verque Mes un e.v. .

La ley de la cerradura se cumple de ii).Las leyes conmutativa y asociativa se cumplen por ser los elementos de

M elementos de V .La existencia del elemento identico o cero bajo la suma se cumple de i).La existencia del inverso aditivo se cumple de i).

Las propiedades correspondientes al producto por un escalar se cumplentrivialmente de la definicion de las operaciones.

Una forma alternativa para ver que un subconjunto M deVes un sube-spacio de V, consiste en probar que u, v M y a1, a2 Kuna combi-nacion lineal de u, v esta en M , es decir (a1u + a2v) M.

Ejercicios : Seccion 1.3.1.- Probar que los siguientes conjuntos sonsubespacios deR3.

1. M1 = {(a,b,c) R3 : c= 0}2. M2 =

{(a,b,c)

R3 : b= 0

}3. M3 = {(a,b,c) R3 : a= 0}4. L1= {(a,b,c) R3 : a= b = 0}5. L2= {(a,b,c) R3 : a= c = 0}6. L3= {(a,b,c) R3 : b= c = 0}7. N = {(a,b,c) R3 : a= b = 2c}

Toda vez que se puede probar facilmente que los subconjuntos anteriores

son subespacios deR3

, daremos algunas definiciones de conjuntos de V,aparentemente mas complicados, y veremos que son subespacios de V .

Sean M y Ndos subespacios vectoriales de V

M+ N= {v V : v= v1+ v2, v1 M y v2 N}


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M N= {v V : v M y v N}Demostraremos que M+ N y M Nson subespacios de V .

Demostracion :ParaM+ NSean w, u M+ N, lo cual implica que w = w1+w2 con w1 M y

w2 N; u= u1+ u2 con u1 Myu2 N; y sean a1, a2 Ka1w+ a2u = a1(w1+ w2) + a2(u1+ u2)

= a1w1+ a1w2+ a2u1+ a2u2

= (a1w1+ a2u1) + (a1w2+ a2u2) M+ Nya que :

a1w1+ a2u1 Ma1w2+ a2u2 N

por ser M yNsubespacios de V.

Demostracion :ParaM NSean u, v M N, lo cual implica que u, v M y u, v N, y sean

a1, a2 K, por probar que : a1u + a2v M N, lo cual es inmediato, yaque (a1u + a2v) M y (a1u + a2v) N.

Ejercicios : Seccion 1.3.2.-

En los ejercicios siguientes determinar si el subconjunto dado, del espaciovectorial que se indica, es un subespacio vectorial.

1. S1= {(x, y) R2 : x= 2y}2. S2= {(x,y ,z) R3 : x + y+ z = 0}3. S3= {(x,y ,z) R3 : x= y, 2y= z}4. S4=

{(aij )

Mnn : aij =aji

}5. S5= {(aij ) Mnn : aij = 0 cuandoi =j}

6. S6=

(aij) M22 : (aij ) =

a bb a


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7. S7= (aij ) M22 : (aij) = x 0

0 x + 2 8. S8= {(aij) M33 : aij = 0 cuandoi = j}9. S9= {P P3 : grado P = 3}

10. S10= {P Pn : Pn(0) = 0}11. S11= {f C[a, b] : f(a) =f(b) = 0}12. S12= {f C[a, b] : f(c) = 0, a < c < b}

13. S13= {f C[a, b] : b

af(x)dx= 0}

14. S14= {f C[a, b] : baf(x)dx = 2}15. Hallar las sumas e intersecciones de los subespacios L1, L2, L3, M1,

M2, M3 y N, antes senalados.

16. Sean N1 y N2 subconjuntos de M22 tales que :

N1= {(aij ) M22 : a12 = 0}

N2=

(aij ) M22 : (aij ) =

a bb a

Mostrar :

i. N1 y N2 son subespacios de M22.

ii. N1+ N2 es un subespacio de M22.

iii. N1 N2 es un subespacio de M22.

Debido a queR3 = M1+ M2, cualquier vector w R3 se puede ponercomo la suma de un vector en M1 y otro en M2 pero de muchas formasdiferentes, por ejemplo :

(a,b,c) = (0, b, 0) + (a, 0, c) = 12 a,b, 0 +1

2a, 0, c

= (a + d,b, 0) + (d, 0, c). con d R arbitrario.

Si M y Nson subespacios de V, entonces 0M y 0N , por lo quesiempre 0 M N.


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Supongamos ahora queM N contiene solo al vector cero (M N= {0}),tomemos ahoraw M+ N y escribamoslo de dos maneras diferentes, i.e.w= u1+ u2 con u1 M y u2 N y w = v1+ v2 con v1 M y v2 N, setiene entonces que u1+ u2= v1+ v2 ou1 v1= v2 u2, donde el vector dela izquierda esta enMy el de la derecha en N; debido a la igualdad, dichosvectores estan tanto en M como en N, sin embargo sabemos que el unicovector que esta en M y Nes el cero, por lo que:

u1 v1= 0 u1= v1 y u2 v2= 0 u2= v2concluyendose que si M N= {0}, cualquier vector w M+ Ntiene des-composicion unica como suma de vectores, uno en My otro en N. Cuandoesto ultimo sucede, se dice que M+Nes la suma directa de M y N y seescribe M+ N=M

N.

Recprocamente, si todo vector de M+ N tiene descomposicion unica ytomamos un vector w M N, este se puede escribir como :

w= w + 0 con w M y 0 N y w = 0 + w con 0 M y w Npuesto que w tiene descomposicion unica, esto implica que w= 0 y por

tanto M N= {0}, de aqu inferimos el siguiente teorema :Teorema.- M+ N=M N M N= {0}.Ahora extendemos las definiciones anteriores diciendo que si M1, M2,

. . . , Mn son subespacios de V entonces M = M1+ M2+ +Mn es unsubespacio deV,y siw

M, entonces w= w1 + w2 +

+ wn, wi

Mi.

Similarmente se define M1 M2 Mn, como los w V tal quew Mi para toda i.

Definicion.-M1+ M2+ + Mn= M1 M2 Mn si cada vectorw M1+ M2+ + Mn, tiene descomposicion unica, es decir si

w= w1+ + wn con wi Miw= v1+ + vn con vi Mi

vi= wi

en otras palabras M1+ M2+ + Mn= ni=1 Mi Mi Mj = {0}, sinembargo la recproca no se cumple ya que

si (x,y ,z)

M1 + L1 + N y M1

L1

N=

{0

},con M1, L1yN subespacios

(ver pag. 14 y 15)

(x,y ,z) = (x 2z+ 2, y 2z+ 2, 0) + (0, 0, ) + (2z 2, 2z 2, z )exprecion que es cierta para todo valor de ,por lo que (x,y ,z) no tiene dedescomposicion unica.


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1.4. Independencia y Dependencia Lineal, Bases y

Dimension

Sea Vun e.v. con cada elemento vVpodemos formar conjuntoscuyos elementos sean de la forma av con a K, a estos conjuntos lossimbolizaremos comoLv.

Ejercicio.- Mostrar que Lv es un subespacio de V.

Definicion.- Se dice que un conjunto de vectores {u1, u2, . . . , un} ={ui}ni=1 V sonLinealmente Independientes(L.I.), siLu1+Lu2+ +Lun =Lu1 Lu2 Lun.Si Lu1+ Lu2+ + Lun=Lu1 Lu2 Lun,se

dice que los vectores son Linealmente Dependientes(L.D.).

Definicion.- Siw Lu1+ Lu2+ + Lun ,se dice que w es unaCombi-nacion Linealde los vectores{u1, . . . , un}, esto es, w= w1+ w2+ + wncon wi Lui .

En base a esta definicion decimos que un conjunto de vectores{u1, u2,. . . ,un}son linealmente independientes siw Lu1+ Lu2+ + Lun,con

w= a1u1+ a2u2+ + anunw= b1u1+ b2u2+ + bnun

ai = bi

de esta definicion se implica que

0 =w w= (a1 b1)u1+ (a2 b2)u2+ + (an bn)un

lo cual dice que la unica posibilidad que se tiene de formar al vector cerocomo una combinacion lineal de los vectores {u1,u2,. . . ,un}, los cuales sonL.I., es que todos los coeficientes de la combinacion deben ser necesariamentecero. Es decir, si{u1, u2, . . . , un}son L.I.

0 =a1u1+ a2u2+ + anun ai= 0 con i= 1, . . . , n .De no ser as, decimos que el conjunto de vectores es L.D., es decir, si en la

construccion del vector cero como una combinacion lineal de{u1, u2, . . . ,un} cuando menos uno de los coeficientes es diferente de cero, el conjunto{u1,u2, . . . , un}es L.D. .

Ejemplos


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1.4 Independencia y Dependencia Lineal, Bases y Dimension 23

1. Mostrar que los vectores (5, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 12 ) son L.I. .Solucion :

(0, 0, 0) = a1(5, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0,12

)

= (5a1, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0,a32

)

= (5a1, a2,a32

)

5a1 = 0 a1= 0a2 = 0 a2= 0

a32 = 0 a3= 0

2. Mostrar que si {x, y, z} son vectores deV, L.I. entonces { x + y, y z,2x z }son L.I.

Solucion :

0 = a1(x + y) + a2(y z) + a3(2x z)= a1x + a1y+ a2y a2z+ 2a3x a3z= (a1+ 2a3)x + (a1+ a2)y (a2+ a3)z

puesto que por hipotesis{

x, y, z}

son L.I.

a1+ 2a3 = 0a1+ a2 = 0a2+ a3 = 0

a1= a2 = a3= 0

3. Mostrar que si{x, y} son L.I. entonces el conjunto{ x+y,y,x }es L.D. .

Solucion :

0 = a1(x + y) a2y a3x= a1x + a1y a2y a3x= (a1 a3)x + (a1 a2)y

y


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a1 a3= 0a1 a2= 0

a3= a1

a2= a1

por lo que

0 =a1(x + y) a1y a1x para todaai Kde donde concluimos que{ x + y,y,x }son L.D. .

Ejercicio.- Mostrar que si

{1, x, x2

}son tres vectores de V, L.I., en-

tonces el conjunto de polinomios { 1 + x, x2 1,1 + x + x2 },con coeficientescomplejos, de grado menor o igual a dos son L.I. .

Como consecuencia de la definicion de vectores L.I., tenemos el siguienteresultado :

Lema.- Si {u1, u2, . . . , uk} V son L.I. y uk+1 V perouk+1 Lu1+ Lu2+ + Luk {u1, u2, . . . , uk, uk+1}es L.I. .

Demostracion : Supongamos por contradiccion que {u1,u2,. . . ,uk+1}es L.D., desde luego que si esta propuesta nos lleva a alguna contradiccion,la propuesta correcta es la contraria.

Construyamos el 0 como combinacion lineal del ultimo conjunto0 =a1u1 + a2u2 + + akuk+ buk+1, de aqu observamos que b no puede sercero, de serlo tendramos que 0 =a1u1 + a2u2 + + akuk ai= 0, coni= 1, . . . , kya que por hipotesis {ui}ki=1son L.I. y por tanto el conjunto {u1,u2, . . . , uk+1} sera L.I., contrario a lo supuesto. Por otra parte, si b= 0,tendramos que uk+1= 1b (a1u1+ + akuk)


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uk+1 Lu1+ Lu2+ +Luk lo cual contradice la hipotesis inicial, porlo tanto{u1,u2, . . . , uk+1}son L.I. .

Explotando un poco este resultado, llegaremos a otro resultado de in-teres.Sea{u1, u2, . . . , uk} VL.I. y sea uk+1 V perouk+1 Lu1+ Lu2+ +Luk {u1, u2, . . . , uk, uk+1} son L.I., si al continuar as este procesotermina decimos : El espacio V es de dimension finita y su dimension esigual al numero de vectores L.I. .

1. El conjunto de vectores en donde termino el proceso es una base deV.

En caso de que el proceso no termine decimos que el espacio vectorialV es de dimension infinita.

Definicion.- Si {u1, u2, . . . , ur} es un conjunto de vectores L.I. y V =Lu1+ Lu2+ + Lur decimos que {u1, u2, . . . , ur} es unaBase deV yque la dimension de V es r, la cual se simboliza por D(V)=Dim(V)=r.

Otra manera de decirlo es :

Si V = Lu1 +Lu2 + + Lur = Lu1 Lu2 Lur , entonces{u1, u2, . . . , ur}es una base de V

Lo anterior es equivalente a la siguiente definicion.

Definicion.- Se dice que un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} es unaBasedel e.v. V si :

i.{v1, v2, . . . , vn} V.ii.{v1, v2, . . . , vn} generan V.iii.{v1, v2, . . . , vn} son L.I. .

Sin embargo si {v1, v2, . . . , vn} Ves tal que V =Lv1+ Lv2+ + Lvnesto no significa que{v1, v2, . . . , vn} sean L.I., lo que esto significa es que{v1, v2, . . . , vn} es un generador deV .Por lo tanto un generador de V puedeestar constituido por un conjunto de vectores L.I. o L.D. .


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A partir de lo anterior desprenderemos un teorema que tiene que ver con

la dependencia lineal.

Teorema.- Sea {vi}ni=1un conjunto de vectores deV, el conjunto {vi}1i=1o sea el conjunto formado de un solo elemento, el v1, es L.D. si y solo siv1 = 0; si n >1 y v1= 0, el conjunto{vi}ni=1 es L.D. si y solo si vk es unacombinacion lineal de aquellos que le preceden, siendo vk un elemento delconjunto.

Demostracion :

1ra ParteSupongamos que el conjunto{vi}1i=1 es L.D. por lo que al construir el

vector cero como una combinacion lineal de este conjunto, es decir 0 =av1,

se implica que v1 = 0 y a = 0. Recprocamente si v1 = 0, entonces av1 = 0para todo a k por lo que{vi}1i=1 es L.D. .

2da ParteBajo las condiciones establecidas en el teorema supongamos que {vi}ni=1

es L.D., esto significa que

0 =a1v1+ a2v2+ + akvk+ ak+1vk+1+ + anvn,

Seaak el coeficiente de lasvk a partir de las cuales los demas coeficientesson cero, por lo que vk = 1ak (a1v1+ a2v2+ +ak1vk1) implicandoseque vk es una combinacion lineal de aquellos que le preceden.Recprocamente si vk es una combinacion lineal de aquellos que le preceden,tendremos que :vk =b1v1 + b2v2 + + bk1vk1por lo que el cero se puedeponer como 0 = b1v1+b2v2 + +bk1vk1 vk y hemos construido elvector cero como una combinacion lineal de {v1, v2, . . . , vk} con no todos loscoeficientes iguales a cero, por lo que el conjunto{v1, v2, . . . , vn} es L.D. .

En base a lo anterior y teniendo en cuenta la definicion de base, mostra-remos que toda base de un espacio vectorial V tiene el mismo numero deelementos.

Demostracion : Sean{v1, v2, . . . , vn} y{w1, w2, . . . , wr} dos basesde V, con r mayor que n, por lo que, cualquier elemento de una basese puede poner como combinacion lineal de los elementos de la otra, i.e.vi =

rj=1 c

ji wj ywk =

ns=1 d

skvs,en particular,w1 = d

11v1 + + dn1 vn im-

plicando que el conjunto {w1, v1, . . . , vn} es L.D. y por el teorema anteriorvk


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con k = 1, . . . , nes una combinacion lineal de aquellos que le preceden, por

lo que el conjunto{w1, v1, . . . , vk1, vk+1 . . . , vn} sigue generando V; y portantow2se puede poner como combinacion lineal del ultimo conjunto y {w2,w1, v1, . . . , vk1, vk+1, . . . , vn}sigue siendo un generador de V , L.D., porlo que, existe en el conjunto unvt que es una combinacion lineal de aquellosque le preceden, por lo que si lo quitamos, el conjunto que nos queda siguegenerandoV, i.e. {w2,w1,v1,. . ., vt1,vt+1, . . ., vk1,vk+1,. . ., vn},esteproceso a lo mas lo podemos realizar n veces, i.e. cuando se hayan sacadotodas lasvs, quedando {w1, w2, . . . , wn} el cual seguira siendo un generadordeV, y puesto que por hipotesisr > n el resultado anterior implicaria que,wn+1, wn+2, . . . , wr se pueden poner en terminos de {w1, w2, . . . , wn} lo cualno puede ser, toda vez que las r ws forman una base de Vpara que esto nosuceda es necesario que r = n.

Teorema.- Si M y Nson subespacios de V , entonces

D(M+ N) =D(M) + D(N) D(M N)

Demostracion : Para la demostracion de esta afirmacion supongamosque{w1, w2, . . .,wr} es una base de M N, por ser M Nun subespaciode M, podemos agregarle a la base de M N, mas vectores v M, pero,v

Lw1

+

+Lwr

, hasta formar una base de M, sea esta{

w1

, w2

, . . . ,wr, v1, v2, . . . , vs}, en forma similar, podemos agregar a la base de M Nvectores Mi N, hasta formar una base de N, sea esta{w1, w2, . . . , wr,u1,u2,. . . ,um}, ahora bien, puesto que ya tenemos las bases de M yN, enprincipio ya podemos proponer una base de M+N, observemos que estapuede ser :

{w1, w2, . . . , wr, v1, v2, . . . , vs, u1, u2, . . . , um}

quedandonos por ver si efectivamente, el conjunto anterior es una base deM+ N. Veamos, formemos el cero como una combinacion lineal de la baseanterior, i.e.

0 =a1w1+ + arwr+ b1v1+ + bsvs+ c1u1+ + cmum

Six Lw1+ + Lwr+ Lu1+ + Lum yx Lv1+ Lv2+ + Lvs,entonces x M N, lo cual implica que x Lw1+ Lw2+ + Lwk ,puesto


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que{w1, w2, . . . , wk} son L.I., por tanto, x en terminos de los subespacios{Lw1, Lw2, . . ., Lwk} tiene descomposicion unica, por lo que la unica posi-bilidad que nos queda es que x = 0, de donde se concluye que para todaai= bj =ck = 0 se cumple que :

D(M+ N) =D(M) + D(N) D(M N) =k+ m + k+ n k.

Como un corolario de este resultado tendremos

M+ N=M N D(M+ N) =D(M) + D(N)

Ejercicios : Seccion 1.4.-

En cada uno de los ejercicios siguientes, poner el vector indicado comouna combinacion lineal del conjunto dado.

1. Poner (a, b) R2 en terminos de{ (1, 2), (2, 4),(1, 2) }2. Poner (x, y, z) R3 en terminos de{ (1, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 0, 3) }3. Poner (x, y, z) R3 en terminos de

{(1, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 0, 3),(1, 2, 3)

}4. Poner

1 23 4

M22 en terminos de

2 00 0

,

2 20 0

,

2 22 0

,

2 22 2

5. Poner 1 2x + x2 P2 en terminos de{1, 1 + x, 2 + x2 }6. Poner (a1, a2, . . . , an) Rn en terminos de

{e1= (1, 0, . . . , 0 n

), e2= (0, 1, 0, . . . , 0 n

), . . . , en= (0, . . . , 0, 1 n

) }

7. Poner (2,3i,5i) C3 en terminos de


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{e1= (1,0,i), e2= (1 + i,1 i, 1), e3= (i, i, i)} C3

8. Ponerf(t) como una combinacion lineal de { et, et } tal quef(0) = 1y f(0) = 2.

9. Ponerf(t) como una combinacion lineal de { senx, cos x, ex } tal quef(0) = 0, f(0) = 1 y f(0) = 1.

10. Expresar (3+i, i) como una combinacion lineal de (1+i,2i) e (i,1i).

En cada uno de los ejercicios siguientes determine cuando el conjuntodado genera o no el espacio vectorial que se indica.

11. Sea T1 =

{(a, a), (b, b)

} R2.

12. Sea T2 = { (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a) } R3.

13. Sea T3 =

a 00 0

,

a a0 0

,

a aa 0

,

a aa a

M22

14. Sea T4 =

a 00 0

,

a a0 0

,

a aa 0

M22

15. Sea T5 = { 1, 2x,3x2 } P2.16. Sea T6 = { 1, x, x + 1 } P1.17. Sea T7 = { 1, x, x + 1 } P2.

En cada uno de los ejercicios siguientes, determine si el conjunto dadode vectores es linealmente dependiente o independiente.

18. Sea{ (a, b), (c, d), (e, f) } R2.19. Sea{ (a, b), (a, b + 1) } R2.20. Sea{ (a,b,c),(a,b,c), (1, 1, 1) } R3.21. Sea{ (1, 1, 1),(0, 2, 2), (0, 0, 3) } R3.

22. Sea 1 1

1 1

, 1 0

1 1

, 1 0

0 1

M22

23. Sea

1 21 3

,

2 32 5

,

2 42 6

,

1 11 1

M22


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24. Sea 1 0

0 0 , 1 1

0 0 , 1 1

1 0 , 1 1

1 1 M2225. Sea

0 123 0

,

1

2 00 3

M22

26. Sea{ 5,1 + x,x2 } P2.27. Sea{ 1 + x,1 + x2, 3x2 } P2.28. Sea{ x, 2x2, 3x3 } P3.29. Sea{ 2,2 + x, 3 x2 + 2x, x3 x2 + x + 1 } P3.30. Sea

{sen x, cos x

} de las funciones continuas en el intervalo [a, b].

31. Sea { sen x, sen 2x } de las funciones continuas en el intervalo [a, b].32. Sea{ 2x,3x, 4 3x } de las funciones continuas en el intervalo

[a, b].

33. Sea{ ex, e2x } de las funciones continuas en el intervalo [a, b].34. Suponga que f1 y f2 son soluciones de la ecuacion diferencial f

+f = 0 y si f1(0) = 1, f

1(0) = 0, f2(0) = 0, f

2(0) = 1. Demuestre

que f1 y f2 son L.I. . Deduzca de esto que sen x y cos xson L.I. .

35. a) Un conjunto de vectores independientes. Puede contener el vector

cero ?.b) Suponga que{u1, u2, . . . , un} son independientes, Son indepen-

dientes{u2, . . . , un} ?.36. Que condicion debe cumplir el conjunto

{ (a1, a2, a3),(b1, b2, b3), (c1, c2, c3) } R3

i. Con objeto de que el conjunto dado de vectores sea L.I. .

ii. Con objeto de que el conjunto dado de vectores sea L.D. .

37. Para que valores de el conjunto de vectores

{ (1, 1, 1), (1, , 0),(, 1, 1) } R3

son


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i. Linealmente Independientes.

ii. Linealmente Dependientes.

38. Mostrar que tres polinomios arbitrarios deP3 no pueden generar P3.

39. Mostrar que cinco polinomios arbitrarios deP3 son L.I. .

40. Mostrar que si{v1, v2, . . . , vn} es L.I., entonces si r < n el conjunto{v1, v2, . . . , vr}es L.I. .

41. Mostrar que si { v1, v2, v3 } es L.I., entonces el conjunto { v1+ v2,v1+v3, v2+ v3 } es L.I. .

42. Hallar un tercer polinomio que forme con{

1

x2, 1 + x}

un conjuntoL.I. .

43. Sea el espacio vectorialC2 sobreC. Demuestre :a) (1 + i, 2i) y (i,1 i) son L.I.b) (1, i) y (i,1) son L.D.

Hallar la dimension y alguna base de los siguientes espacios vectoriales.

44. Kn ={(a1, a2, . . . an)K}, con las operaciones usuales de suma deeneadas y producto de un escalar por una eneada.

45. El conjunto de flechas sobre un plano con origen comun, bajo las op-eraciones usuales de suma (ley del paralelogramo), y multiplicacionpor un numero complejo de la forma z =|z | ei.

46. Los polinomios con coeficientes en K de grado menor o igual a n,con las operaciones usuales de suma de polinomios y multiplicacion depolinomios por un escalar.

47. El conjunto de soluciones de una ecuacion diferencial de la formay +ay+ by = 0 con a, b C, bajo las operaciones usuales de suma defunciones y producto de una funcion por un escalar.

48. Suponga que Ves el espacio de polinomios de grado menor o igual atres.

a) Cual es la dimension de V ?


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b) Halle una base de V tal que las coordenadas de f con relacion a

esta base sean f(0), f(1), f(2), f(3).c)Halle una base de Vtal que las coordenadas de f con relacion a

esta base sean f(2), f(1), f(1), f(2).49. Sea V = K3 para algun campo K. Sea W el subespacio generado

por (1, 0, 0) y sea Uel subespacio generado por (1, 1, 0) y (0, 1, 1) .Demostrar que V es la suma directa de W y U.


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Parte II

Aplicaciones Lineales

33


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Captulo 2

Aplicaciones Lineales

2.1. Definiciones

Definicion.- Una Aplicacion Linealo Transformacion LinealA esuna regla o mapeo entre dos espacios vectoriales V, W (definidos sobre elmismo campo), la cual cumple con dos propiedades :

i) Para toda v1, v2 V A(v1+ v2) =A(v1) + A(v2).

ii) Para toda v V y a K A(av) =aA(v).

Observese que dicho mapeo, preserva las operaciones de suma y productopor un escalar, i.e. a la suma de dos vectores de V, corresponde la suma delas imagenes respectivas, bajoA; y al producto de un escalar por un vector,corresponde el producto del escalar por la imagen respectiva del vector.Tambien se observa que dicho mapeo preserva el cero y el elemento inverso,i.e. al cero de Vlo manda al cero de la imagen, i.e. al cero de W, y al inversode v V , lo manda al elemento inverso de la imagen de V .

Al conjunto de aplicaciones de V en W le podemos dar estructura deespacio vectorial, definiendo la suma de aplicaciones y el producto por unescalar, de la siguiente manera :Para toda A1, A2 que estan en el conjunto de aplicaciones de V en W,para toda v

V y a

K

1. (A1+ A2)v def= A1v+ A2v

2. (aA1)v= a[A1(v)]

35


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36 2.Aplicaciones Lineales

Desde luego a la aplicacion o elemento cero de V en W, la podemos

definir, como aquel mapeo que a todo v V lo manda al cero de W; esteelemento por lo general se simboliza por O .Al elemento inverso aditivo de una aplicacion A : V W lo sim-

bolizamos porA, tal que A A= O.Desde luego que no basta definir la suma y el producto por un escalar, es

necesario comprobar que la suma de aplicaciones lineales, el producto de unescalar por una aplicacion, as como el cero y el inverso de una aplicacion; sonaplicaciones lineales, ademas de que se cumplen el resto de las propiedadesque definen un e.v. . Al espacio vectorial de las aplicaciones de V en W sele simboliza por H om(V, W).

A continuacion probaremos :

Si A1, A2 Hom(V, W), entonces (A1+ A2) Hom(V, W).Demostracion : Sean A1 y A2 Hom(V, W) y v1, v2 elementos cua-

lesquiera deV ya K. Por probar que (A1+ A2)(v1+ v2) = (A1+ A2)v1+(A1+ A2)v2 y que (A1+ A2)(av1) =a(A1+ A2)v1.Lo cual se cumple, ya que :

(A1+ A2)(v1+ v2) = A1(v1+ v2) + A2(v1+ v2)

= A1v1+ A1v2+ A2v1+ A2v2

= A1v1+ A2v1+ A1v2+ A2v2

= (A1+ A2)v1+ (A1+ A2)v2.

y que

(A1+ A2)(av1) = A1(av1) + A2(av1) =aA1(v1) + aA2(v1)

= a[A1(v1) + A2(v1)] =a[(A1+ A2)v1]

= a(A1+ A2)v1.

Ejercicios .-

i) Probar que para toda a K yA Hom(V, W), entonces(aA) Hom(V, W).iiProbar que la aplicacion o elemento 0 Hom(V, W).iii) Probar que el inverso aditivo de una aplicacion es una aplicacion lineal.


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2.1 Definiciones 37

Si bien es cierto que Hom(V, W) es un e.v., es instructivo determinar a

lo menos una base y la dimension de dicho espacio, antes de determinar estademostraremos el siguiente lema :

Lema.- Una aplicacion lineal A Hom(V, W) queda completamentedeterminada cuando se conocen las imagenes bajoA de una base de V .

Demostracion: Veamos que esta afirmacion es cierta. Sea{vi}ni=1 unabase de V y A Hom(V, W) tal que conocemos{A(v1), A(v2), . . . , A(vn)}por lo que v V, v= a1v1+a2v2+ +anvny A(v) =A[a1v1+(a2v2+ +anvn)] =a1Av1 +A(a2v2 + +anvn) = =a1Av1 +a2Av2 + +anAvn.

Puesto que conocemos{A(vi)}ni=1 esto significa que conocemos lo quehaceA a cualquier elemento de V, como una consecuencia de este resultado

tendremos :

Si tambien B Hom(V, W) tal que A(vi) =B(vi), con i= 1, 2, . . . , n ,por el lema anterior se implica que A= B.

Construyamos a continuacion una base para el conjunto de aplicacionesque nos manda elementos de V en W.

Sea{vi}ni=1 una base de V y{wj}rj=1 una base de Wtal que :

11(v1) =w1, 21(v1) = 0 , . . . ,

n1 (v1) = 0 .

11(v2) = 0 21(v2) =w1 n1 (v2) = 0 ....

... ...

11(vn) = 0 21(vn) = 0

n1 (vn) =w1.

12(v1) =w2, 22(v1) = 0 , . . . ,

n2 (v1) = 0 .

12(v2) = 0 22(v2) =w2

n2 (v2) = 0 .

... ...

...

12(vn) = 0 22(vn) = 0

n2 (vn) =w2.

...

1r(v1) =wr, 2r(v1) = 0 , . . . , nr (v1) = 0 .

1r(v2) = 0 2r(v2) =wr

nr (v2) = 0 .

... ...

...

1r(vn) = 0 2r(vn) = 0

nr (vn) =wr.


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por lo tanto hemos construido n r transformaciones de la forma :

ji vk = 0 sij=k con j= 1, . . . , n

wi sij=k con i= 1, . . . , r = wi

jk

Veamos que tales transformaciones forman una base, para lo cual necesita-mos probar :

i) Estan,

ii) generan y

ii) son L.I.

Demostracion : i)

Se cumple trivialmente, por la forma en que estan definidas ademas deestar bien definidas.

Demostracion : ii)Sea cualquier A Hom(V, W), si A actua sobre una base de V, ten-

dremos :

A(v1) =a11w1+ a

21w2+

+ ar1wr =rj=1 aj1wj

A(v2) =a12w1+ a

22w2+ + ar2wr =rj=1 aj2wj

... ...

A(vn) =a1nw1+ a

2nw2+ + arnwr =

rj=1 a

jnwj

de tal manera que : Avk =r

j=1 ajkwj

SeaB=r

i=1

nj=1 a

ij

ji y hagamoslo actuar sobre vk, quedandonos

B(vk) = [

ri=1

nj=1

aijji] vk =

ri=1

nj=1

(aijji )vk

=

ri=1

nj=1

aij ji vk =

ri=1

nj=1

aijwijk

=

ri=1

aikwi


43/208

2.1 Definiciones 39

ya que Avk =Bvk implica que cualquier A Hom(V, W), es generado porlas n r aplicaciones lineales de la forma{

i

j}i=1,...,n

j=1,...,r.

Demostracion :iii)Por ultimo veamos que son L.I., para lo cual construimos la aplicacion

cero, como una combinacion lineal de la n r {ij}.0 =

mi=1

rj=1 c

ji

ij por lo que :

0 = 0(vk) = (m

i=1

rj=1

cji i

j)vk =m

i=1

rj=1

(cji i

j)vk =m

i=1

rj=1

cji wj ik

=r

j=1

cjkwj cjk = 0

haciendo lo mismo para todos los posibles valores de k, observamos quetodas lacik = 0 con i= 1, . . . , r y k= 1, . . . , n. {ji }j=1,...,ni=1,...,r son L.I. .

Por cumplirse i),ii)y iii), decimos que{ji }j=1,...,ni=1,...,r forman una base deHom(V, W).

Como un corolario tendremos que

D[Hom(V, W)] =D(V)D(W)

Ejercicios : Seccion 2.1 .-

En los ejercicios siguientes determine si la transformacion que nos indicanes o no una transformacion lineal.

1. Sea A : C M22(R) definida por

A(a + ib) = a bb a 2. SeaRe: C R2 definida por

Re(a + ib) = (a, b)


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3. Sean T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7 transformaciones deR2 enR2 defini-das por :i.- T1[(a, b)] = (ca, cb), c R.ii.- T2[(a, b)] = (b, a)

iii.- T3[(a, b)] = (a, 0)

iv.- T4[(a, b)] = (0, b)

v.- T5[(a, b)] = (b,a)vi.- T6[(a, b)] = (a + 1, b + 1)

vii.- T7[(a, b)] = (a + b, a b)4. SeaA: Mrn

Mrs dada por

A(aij) = (aij )(bij ) con (bij) Mnr

5. SeaA: Mnn Mnn dada porA(aij) = (aij )

T(aij)

6. SeaA: M31 M31 dada porA(aij ) = (Rij )(aij ) siendo

(Rij) = cos 0 sen

0 1 0sen 0 cos

7. SeaA: P4 P3 dado por

A(a0x4 + a1x

3 + a2x2 + a3x + a4) = 4a0x

3 + 3a1x2 + 2a2x + a3

8. SeaA: Pn Rn+1 dado porA[a0x

n + a1xn1 + + an] = (a0, a1, . . . , an)

9. SeaA: R3 P2 dado por

A(a0, a1, a2) =a0x2 + a1x + a2

10. SeaA: C[0, 1] C[0, 1] dada porA[f(x)] =f(x) + 1


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2.1 Definiciones 41

11. Sea A : C[0, 1] Cdada por

A[f(x)] = 1

0f(x)dx

12. Sea Tr :Mnn(K) Kdado por

Tr(aij ) =n

i=1

aii

13. Sea Trans: Mnn(K) Mnn(K) dado porTrans(aij) = (aij)

T

= (aji )

14. Sea A : C1[0, 1] [0, 1] dada porA[f(x)] =f(x)

15. Sea A : Mnn Rdada porA[(aij )] =det[(aij )]

En los siguientes ejercicios determine geometricamente la accion de la

transformacion.

16. Sea T : R2 R2 dada por :i.- T[(x, y)] = (x, y)ii.- T[(x, y)] = (x, y)iii.- T

xy

=

x 00 y

iv.- T

xy

=

x 00 y

v.- T x

yz =

cos sen 0sen cos 00 0 1

x

yz

vi.- T

xy

z

=

1 0 00 cos sen

0 sen cos

xy

z


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vii.- T x

yz =

1 0 00 1 00 0 1

x

yz

viii.- T

xy

z

=

1 0 00 1 0

0 0 1

xy

z

ix.- T

xy

z

=

1 0 00 1 0

0 0 1

xy

z

x.- T

xyz

=

1 0 00 1 00 0

1

xyz

En los siguientes ejercicios determine la forma de la transformacionlineal.

17. i.- SeaT : R2 R3 tal que :

T

10

=

12

3

y T 0

1

=

14

6

ii.- SeaT : R2 R2 tal que :T[(1, 0)] = (1, 1) yT[(0, 1)] = (1, 1)

iii.- Hallar una transformacion lineal de M22 M33.iv.- Hallar una transformacion lineal de M33 M22.

18. Sean{vi}ni=1 y{wj}rj=1 bases de V y W respectivamente y A : V enW una aplicacion lineal.

i.- Es cierto que si r < n, el conjunto de vectores{A(vi)}ni=1 esL.I.?

ii.- Es cierto que si r > n, el conjunto de vectores {A(vi)}ni=1 esL.D. ?

iii.- Sir= n, como es el conjunto de vectores{A(vi)}ni=1 ?

19. Sean A1, A2, A3 aplicaciones lineales de V en W, mostrar queA1+ A2+ A3 es una aplicacion lineal de V en W.

20. Completar la prueba de que el conjunto de aplicaciones lineales de Ven W forma un espacio vectorial.


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2.2 Imagen - Nucleo - Propiedades de las transformaciones 43

21. Sea Vun e.v. y sean f , g Hom(V, R), sea la transformacionF : V R

2

definida por F(v) = (f(v), g(v)). Demostrar queF Hom(V, R2).

2.2. Propiedades de las transformaciones

Sean V y Wdos e.v. y{w1, . . . , ws} un conjunto arbitrario de vec-tores deW y {v1, . . . , vs} un conjunto de vectores L.I. enV, en estas condi-ciones siempre es posible encontrar o definir una A Hom(V, W) tal que{A(v1) = w1, A(v2) = w2, . . . , A(vs) = ws}, observese que es necesario que{v1, . . . , vs} sea L.I., de no ser as, el conjunto {w1, . . . , ws} deja de ser arbi-trario, veamos, supongamos que{v1, . . . , vs} son L.D, entonces vk se puedeponer como una combinacion lineal de los demas, i.e.

vk =a1v1+ a2v2+ + ak1vk1+ ak+1vk+1+ + asvspor lo que

A(vk) = wk =A[a1v1+ + ak1vk1+ ak+1vk+1+ + asvs]= a1A(v1) + + ak1A(vk1) + ak+1A(vk+1) + + asA(vs)= a1w1+ + ak1wk1+ ak+1wk+1+ + asws,

lo cual implica que wk ya no es un vector arbitrario, sino que depende delresto de las ws.

Ejercicio.- SeaA Hom(V, W) y {vi}ri=1una base deV y {wj}sj=1unabase de W, si r > s, entonces, el conjunto de vectores{A(v1), . . . , A(vr)}es L.D. .

Teorema.- Si A Hom(V, W) y Uun subespacio de V, entonces

A(U) = {w W | w= A(u), u U} es un subespacio de W.

Demostracion : Sean w1 y w2 A(U) y a1 y a2 K, hagamos unacombinacion lineal de w1 y w2 y determinemos donde se encuentra.


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44 2. Aplicaciones Lineales

a1w1+ a2w2 = a1A(u1) +a2A(u2) = A(a1u1+ a2u2) puesto que U es

subespacio deV, entoncesa1u1 +a2u2 Upor lo que (a1w1 +a2w2) A(U).

En forma similar

Teorema.- Si A Hom(V, W) yUun subespacio de W, entonces

A1(U) = {v V| A(v) =w, w U}es un subespacio de V.

Demostracion : Sean v1 y v2

A1(U) ya1 ya2

K, por demostrar

que : a1v1+ a2v2 A1(U).Puesto que v1, v2 A1(U) entonces A(v1) = u1 y A(v2) = u2 U porser U un subespacio de W, una combinacion lineal de A(v1) y A(v2) seencuentra en U i.e. a1A(v1) + a2A(v2) = A(a1v1 + a2v2) U entonces(a1v1+ a2v2) A1(U).

Teniendo como base los teoremas anteriores, hacemos las siguientes de-finiciones.

Definicion.- SiA Hom(V, W), laimagende V bajoA se define comoA(V) de acuerdo a lo anterior, la imagen de V bajo A es un subespacio deW y A(V) se simboliza porImagendeA = Im(A).

En forma similar definimos :

Definicion.- El Ker, Kernelo Nucleode A Hom(V, W), simbolizadopor Ker(A) = Kernel de A = Nucleo de A = A1{0}, formado portodos los vectores de V, los cuales bajo A van al cero de W, desde luego elKer de A es un subespacio de V .

En base a estas definiciones, decimos que :

Definicion.- A Hom(V, W) es sobreyectiva, suprayectivao suryectivasi y solo si I(A) =W, la cual tambien nos dice que w W, esta provieneal menos de un elemento v V bajoA.


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Definicion.-A Hom(V, W) es inyectivasi y solo si para cualquier parde vectores de V , digamosv1, v2,el queA(v1) =A(v2) significa que v1= v2,esta definicion tambien nos dice que todo elemento de V bajo A, con Ainyectiva, tiene imagen unica.

Definicion.- A Hom(V, W) es biyectivao uno a uno si y s olo si A esinyectiva y sobreyectiva. Definicion que tambien nos dice que todo elementode W, proviene con Abiyectiva de uno y solo un elemento de V bajoA.

Algunos teoremas que se desprenden de las definiciones anteriores :

Teorema.- Si A Hom(V, W) es sobreyectiva y{vi}ni=1 es una base deV, entonces

{A(vi)

}n

i=1

generan W.

Demostracion : Puesto que A es sobreyectiva entonces Im(A) =A(v) =W, ademas sabemos que cualquier elemento deW, proviene al menosde un elemento de V bajo A, por lo que para toda w W,

w= A(v) =A(a1v1+ + anvn) =a1A(v1) + + anA(vn)entonces{A(v1), A(v2), , A(vn)}generaW.

Teorema.- A Hom(V, W) es inyectiva si y solo si Ker(A) = {0}.Demostracion : Supongamos queAes inyectiva, esto significa que todo

elemento de la imagen de V bajoA, proviene de uno y solo un elemento deV tal que A(v) = 0 mplica v = 0 por lo que Ker(A) ={0}. Si Ker(A) ={0}, entonces para todo v1, v2 V tal que A(v1) = A(v2), significandoque A(v1) A(v2) = 0 = A(v1 v2), puesto que Ker(A) ={0} entoncesv1 v2= 0 por lo que A es inyectiva.

Teorema.- Si A

Hom(V, W) es inyectiva y{

vi}

ni=1 es base de V,

entonces{A(vi)}ni=1 son L.I. .Demostracion : Puesto que A es inyectiva, significa que dos elemen-

tos diferentes de la base V, bajo A tienen imagenes diferentes, ya que detener la misma imagen significara por definicion de inyectividad, hablar de


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los mismos elementos de la base. Hagamos una combinacion lineal de las

{A(vi)}n

i=1 igualadas al cero de W.

0 =a1A(v1) + a2A(v2) + + anA(vn)

por linealidad, 0 = A(a1v1 + a2v2 + + anvn), por ser A inyectiva,tendremos a1v1 + a2v2 + + anvn = 0, por ser {vi}ni=1base de V, entoncesai = 0, con i= 1, . . . , n; finalmente{A(v1), A(v2), . . . , A(vn)} = {A(vi)}ni=1es L.I. .

Teorema.- Si{

vi}

n

i=1es una base de V y A

Hom(V, W) es biyectiva,

entonces{A(vi)}ni=1 es una base de W.

Demostracion : Ya que A es biyectiva, entonces

A es sobreyectivaA es inyectiva

Por ser sobreyectiva, entonces{A(vi)}ni=1 generaW(ver el teorema an-terior).

Por ser inyectiva, entonces{A(vi)}ni=1 es L.I. (ver el teorema anterior).Puesto que {A(vi)}ni=1 esta genera W y ademas es L.I. , entonces

{A(vi)}ni=1 es una base de W (recordar definicion de base).

Como un corolario de estos resultados, tenemos que

Corolario.- Si A H om(V, W) con A biyectiva, A nos enva bases deV en bases de W. i.e. si{vi}ni=1 es una base de V,{A(vi)}ni=1 es una basede W.

Sea A Hom(V, W) biyectiva y{vi}ni=1 ,una base de V por lo que{A(vi)}ni=1 es una base de W. En estas condiciones siempre podemos definiruna aplicacion B de W en Vdefinida como B[A(v1)] = v1,B[A(v2)] = v2,. . . ,B[A(vn)] =vn

Antes de continuar definiremos la composicion de aplicaciones lineales:Definicion.-Si A Hom[V, W] y F Hom[W, U] se define la composiciono producto de aplicaciones como:

(F A)v= F[A(v)] = (F A)v


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La cual se lee Aseguido de F o F compuesto con A.

Ejercicio: Mostrar que la composicion F A es otra aplicacion,DondeestaF A?.Observacion, notar que el orden de las aplicaciones es importante.

Continuando conB[A(vi)] =vi coni = 1, . . . , n notemos que para todav V

(B A)v = B[A(v)] =B[A(a1v1+ . . . + anvn)]= B[a1A(v1) + . . . + anA(vn)]

= a1B[A(v1)] + . . . + anB[A(vn)]

= a1v1+ . . . + anvn = v,

por lo que la composicion B Acorresponde a la aplcacion identidad en V .En forma similar la composicion A B es la composicion identidad en

W.

Ejercicio : Mostrar esta ultima afirmacion.

Puesto que B A = E en V y A B = E en W se dice que B es latransformacion inversa de Ay se smboliza como A1.

Observese que A1 nos manda bases en bases;es decir, A1 toma unabase de Wy la manda a una base de Vpor lo que A1 es biyectiva.

Definicion.- Si A Hom(V, W) y existe A1 se dice que A es regular,de no ser as se dice que Aes singular.

As hemos encontrado que A es regular, si y solo si A es biyectiva.

Teorema.- Si A Hom(V, W) , entonces

D(V) =D(Ker(A)) + D(Im(A))

Demostracion : Sea{v1, v2, . . . , vr} una base del K er(A), puesto queKer(A) es un subespacio de V , podemos agregar vr+1

V pero vr+1

Lv1+ + Lvr repitiendo este procedimiento hasta formar una base de V ;sea esta{v1, v2, . . . , vr, vr+1, . . . , vr+s} siendo D(V) = r+ s, ahora bien,cualquier vectorv V, se puede poner como :

v= a1v1+ a2v2+ + arvr+ + ar+svr+s


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sabemos que

A(v) = A[a1v1+ a2v2+ + arvr+ + ar+svr+s]= [a1A(v1) + a2A(v2) + + arA(vr)

+ar+1A(vr+1) + + ar+sA(vr+s)] Im(A).A(v) = ar+1A(vr+1) + + ar+sA(vr+s)

implicando que

{A(vr+1), , A(vr+s)} genera Im(A).

Veamos si este conjunto es L.I.

b1A(vr+1) + b2A(vr+2) + + bsA(vr+s) = 0por linealidad tendremos :

A[b1vr+1+ b2vr+2+ + bsvr+s] = 0

infiriendo que

b1vr+1+ b2vr+2+ + bsvr+s Ker(A)

lo cual es una contradiccion, toda vez que los elementos del K er de A, sonuna combinacion lineal de

{v1, . . . , vr

}, ahora bien, para que no exista esta

es necesario que

b1vr+1+ b2vr+2+ + bsvr+s= 0

y puesto que por construccion {vr+1, . . . , vr+s} son L.I. tendremos que {bi=0}ni=1, implicando que el conjunto{A(vr+k)}sk=1 es una base de I m(A).

Puesto que D(V) =r + s, D(Ker(A)) =r y D(Im(A)) =s tendremosque D(V) =D(Ker(A)) + D(Im(A))

Definicion.- D(Ker(A)) = nulidad de A y D(Im(A)) = rango de A.


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1. Las siguientes aplicaciones T1, T2, T3, T4, T5 pertenecen aH om(R2)T1[(a, b)] = (ca, cb), c R.T2[(a, b)] = (b, a)

T3[(a, b)] = (a, 0)

T4[(a, b)] = (0, b)

T5[(a, b)] = (b,a)Hallar su nucleo, imagen, rango y nulidad.

2. Sean V y W e.v. y F Hom(V, W), sea Uun subconjunto de V, talqueU= {v V : F(v) = 0}. Demostrar que Ues un subespacio de V .

3. Sea v un vector no nulo de R2,sea F Hom(R2, W) tal que F(v) =0, demostrar que la la imagen de Fes una linea recta o{0}.

4. Sea F H om(V, W) y Ker(F) ={0}. Supongase que V y W tienenla misma dimension. Demostrar queImF =W.

5. SeaL Hom(R2) tal queL = 0, peroL2 =L L= 0. Demostrar queexiste una base

{v1, v2

}de

R2 tal que L(v1) =v2 y L(v2) = 0.

6. Sea Vun e.v. y sean P1 y P2 aplicaciones lineales de V en s mismo.Supongase que se satisfacen las siguientes condiciones :

a.- P1+ P2= I (aplicacion identidad)

b.- Pi Pj =ij Pj i, j= 1, 2.Demostrar que V es igual a la suma directa de las imagenes de P1 yP2 respectivamente.

7. Manteniendo la notacion como en el ejercicio anterior demostrar quela imagen de P1 es igual al nucleo de P2.

Un camino que puede ser util para la prueba es :

i.- La imagen de P1 esta contenida en el nucleo de P2.

ii.- El nucleo de P2 esta contenido en la imagen de P1.


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8. Hallar una transformacion linealA : R3 enR3 tal que :

Ker(A) = {(x,y,z) | 3x + 2y z= 0}.

9. Hallar una transformacion linealA : R3 enR3 tal que :

Im(A) = {(x,y ,z) | 3x + 2y z= 0}.

10. SeaA Hom[Mnn, Mnn] definida por A(aij ) = (aij ) (aij)T.i.- Mostrar que K er(A) = { matrices simetricas de n n}ii.- Mostrar que I m(A) = { matrices antisimetricas de n n}

11. Sea A Hom(C1[a, b], C1[a, b]) definida por Af(x) = xf(x). Deter-minar el nucleo y la imagen de A.

12. Sea H un subespacio de V, tal que la D(H) = k y la D(V) = n.Suponga queU Hom(V) con la propiedad de que si T U, T(h) = 0para toda h H.i.- Demuestre que U es un subespacio de HomV.

ii.- Calcular dimU

13. Sean A, B Hom(V) tal que AB es la transformacion cero. Como

es la tranformacion BA ?14. Sea D(V) = D(W), sea A Hom(V, W) tal que Ker(A) ={0}.

Demostrar que existe A1 Hom(W, V).15. Sean F y G Hom(V), regulares, demostrar que :

(F G)1 =G1 F1.

16. SeaB Hom(R3) dada por

B(x,y,z) = (x y, x + z, x + y+ 2z),

demostrar que existe B1 Hom(R3).17. SeaA Hom(V) tal que A2 = 0. Demostrar que (E A) Hom(V)

es regular, siendoEla aplicacion identidad que pertenece aH om(V).


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2.3 Isomorfismos 51

2.3. Isomorfismos

Definicion.- SiA Hom(V, W) es biyectiva, se llama Isomorfismo.

Definicion.- V, W son Isomorfos si existe A Hom(V, W) que sea isomorfismo, si y solo si existe A1 Hom(W, V) biyectiva, si y solo si existe A Hom(V, W) regular.

En cierta forma el que dos espacios vectoriales sean isomorfos significaque son equivalentes, solo difieren por aquellos objetos que los forman, estaes la razon por la cual se busca siempre un e.v. canonico. Esto es, siV es de

dimension n, este es equivalente o isomorfo al e.v.Rn

, por lo que, mas quetrabajar con los elementos mismos de V, trabajamos con las eneadas.

Teorema.- Sean V y Wdos e.v. sobre el mismo campo; V, W son iso-morfos si y solo si D(V) =D(W)

Demostracion : Si V, W son isomorfos, esto significa que existe unisomorfismoA Hom(V, W), el cual envia bases de V en bases de W, porlo que D(V) =D(W).

Recprocamente :

Sean V y Wdos e.v. definidos sobre el mismo campo, talesD(V) =D(W) y sean{vi}ni=1 y{wj}nj=1 bases de V y Wrespectivamente,por lo que siempre es posible establecer A Hom(V, W) dada por A(vi) =wi con i = 1, . . . , n, veamos que A definido as es un isomorfismo.

Probemos que A es inyectiva, i.e. que Ker(A) ={0}, sea v Ker(A)por lo que A(v) = 0, ya que v= a1v1+ + anvn tendremos que

A(v) = A(a1v1+ + anvn) =a1A(v1) + + anA(vn)= a1w1+ + anwn = 0

por lo que a1 = a2 = = an = 0 entonces v = 0, lo que implica queKer(A) = {0}.

Probemos ahora que A sobreyectiva, esto es que Im(A) = W, esto esque cualquier elemento de Wproviene al menos de un elemento de V bajo

A.Seaw W,por lo que

w = b1w1+ b2w2+ + bnwn = b1A(v1) + + bnA(vn)= A(b1v1+ + bnvn)


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lo que implica que todo elemento de Wproviene al menos de un elemento

de V bajo A.

En uno de los ejercicios propuestos en la secci on 1.4, se encuentra quela dimension de Kn (el e.v. sobre k de las n-adas de numero, de k) esprecisamenten; y por tanto podemos establecer el siguiente corolario :

Corolario.- SiVes un e.v. sobreKde dimensionn,entonces es isomorfoa Kn.

Si{

v1, v2, . . . vn}

es una base de V, podemos dar un isomorfismo de Ven Kn, dado por v = (a1v1+ a2v2 + + anvn) (a1, . . . an).

Ejercicios : Seccion 2.3.-

1. Probar que la transformacion

v= a1v1+ a2v2 anvn (a1, . . . an).

es un isomorfismo.

2. Los numeros complejos (numeros de la forma a+ ib; a, b R) con-siderado como e.v. sobre los reales tienen dimension 2, por lo que esisomorfo aR2.Probar que la transformacion dada por a + ib (a, b)es un isomorfismo.

3. Mostrar que si A Hom(V, W) y B Hom(W, U) son isomorfismos,entonces,

i.- A1 es un isomorfismo.

ii.- B A es un isomorfismo.4. Sea T Hom(C[0, 1], C[3, 4]) esta definida por T f(x) = f(x 3).

Muestre que Tes un isomorfismo.

5. SeaD(V)> D(W). SeaL : V Wuna aplicacion lineal. Demostrarque el nucleo de L no es{0}.

6. SeaD(V) =D(W).Sea L : V Wuna aplicacion lineal cuyo nucleoes{0}. Demostrar que L tiene una aplicacion lineal inversa.


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2.3 Isomorfismos 53

7. Sean F y G aplicaciones lineales invertibles de un espacio vectorial V

en si mismo. Demostrar que : (F G)1

=G1

F1

.

8. Sea L :R2 R2 la aplicacion lineal definida por L(x, y) = (2x+y, 3x 5y), demostrar que L es invertible.

9. Sea L : V V una aplicacion lineal tal que L2 = 0. Demostrar queI L es invertible (Ies la aplicacion identidad definida sobre V).

10. Sea A una aplicacion lineal de un e.v. en si mismo y sup ongase queA2 A+I= 0 (donde I es la aplicacion identidad). Demostrar queA1 existe y que es igual a I A.

11. SeanV yWdos e.v. de dimensionn y sean{

ei}

n

i=1

y{

ej}

n

j=1

bases deV y W respectivamente, mostrar que A : V Wes un isomorfismosi y solo sidet(Aij ) = 0,siendo (Aij) la representacion deA relativa alas bases de V yW.

12. Que valor de s hace que el conjunto de las matrices simetricas der r sea isomorfo aRs ?

13. Sea A : C[0, 1] C[4, 5] definida por Ag(x) =g(x 4). Mostrar queA es un isomorfismo.

14. Sea T : Mnm Mnm, definida por T A = AB con B una matrizinvertible, mostrar que Tes un isomorfismo.

15. Mostrar que siT : Rn enRn se define por T v = Av, y si T es unisomorfismo, entoncesA es invertible y la transformacion inversaT1

esta dada por T1x= A1x.

16. Sea A Hom(V) regular, mostrar que la transformacion fAde Hom(V)enH om(V) dada porfA(B) =AB es un automorfismo (un isomorfis-mo de un e.v. sobre si mismo).

17. Sea A Hom(V, W) B Hom(W, U) definimos B Amediante(B A)v= B[A(v)] v V

i.- Mostrar que B A Hom(V, U).ii.- Mostrar que siA y B son inyectivas, entonces B Aes inyectiva.iii.- Mostrar que si A y B son isomorfismos, entonces, B A es iso-

morfismo.


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2.4. Representacion de Vectores y Cambios de Ba-

se

Utilizando los resultados de la seccion anterior, tenemos que unvector, puede ser representado mediante sus componentes con respecto aalguna base.

Por ejemplo si Ves un e.v. de dimensionn y {e1, e2, . . . en} es una basede V, tal que v V se puede poner en terminos de la base dada comov ={c1e1+ c2e2+ +cnen}; la representacion de v con respecto a estabase, sera (c1, c2, . . . cn) Kn.

En lo que sigue es benefico utilizar la notacion de Einstein, en esta, entodos los terminos en donde aparezcan ndices repetidos arriba y abajo, se

implica la suma sobre todos los valores posibles del ndice, por ejemplo lasuma sobre r

nr=1

trfr = trfr, por lo que la expresion t

ji f

ij corresponde a

una doble suma, en esta notacion nuestro vectorv V del ejemplo anteriorse puede poner como v ={c1e1 +c2e2 + +cnen} = crer donde lascomponentes de v en lugar de llevar el ndice aba jo lo llevan arriba.

Sean{ei}ni=1 y {ej}mj=1 bases de V y W respectivamente yA Hom(V, W) por lo que,

A(e1) =w1= wr1er

A(e2) =w2= wr2er A(ei) =w

ri er =A

ri er

...A(en) =wn = w

rne

r hemos hechow

ri =A

ri

Losnm elementos de la formaAri corresponden a una representacion dela aplicacionA respecto a las bases dadas, esta realmente corresponde a unamatriz de mn, simbolizada como (Ari ) donde el ndice superior correspondea renglones y el inferior a columnas, notese que si cambiamos alguna de lasbases, cambia la representacion.

Sobre este mismo escenario, veamos que relacion guardan las compo-nentes de un vector con las componentes de la imagen de este con respectoa A.

Seav V, por lo que v= vi

ei y w Wpor lo que w= wr

erw= A(v) =A(viei) =v

iAei= viAji e

j =w

rerviAji e

j =w

rer =wjej viAji =wj,


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2.4 Representacion de Vectores y Cambios de Base 55

esto es, la representacion deA es la que nos manda de las componentes de la

base no primada a las componentes de la base primada. Supongamos ahoraque{ei}ni=1 y{ej}nj=1 son bases de V, esto significa que er = ckr ek y quees = d

lsel nos preguntamos ahora como estan relacionados los elementos o

las matrices de cambio de base, veamos, puesto que er =ckr ek =c

kr d

lkel, la

unica posibilidad que nos queda para que esto se cumpla es que :

dlkckr =

0 si l =r1 si l = 1

este hecho o propiedad queda expresado mediante la ij de Kromecher, lacual :

ij = 0 sii =j

1 sii= j por lo que dlkc

kr =

lr

Ejercicio.- Escriba todos los terminos de la matriz (lr).Aprovechandola respuesta de este problema y poniendo dlkc

kr =

lr en forma matricial, i.e.

(dlr)(clr) = (

lr),observemos que (d

lr) corresponde a la matriz inversa de (c

lr)

y recprocamente.

Como corolario observemos que la matriz (cij ) de cambio de base, quenos conecta la base con barra con la que no tiene barra, tiene determinante

diferente de cero.Recprocamente, si (cij) es una matriz cuadrada de orden n n cuyo

determinante es diferente de cero y{ei}ni=1 es una base de V, el conjunto{ei}ni=1 en donde ei = cji ej es una base de V, veamos que esto es cierto,formemos el cero,aiei= 0 =a

icji ej ,entoncesaicji = 0, y ya que det(c

ij) = 0,

entoncesai = 0, y en consecuencia{ei}ni=1 son L.I.Ademas puesto que{ei}ni=1 son L.I., estos generan un subespacio de V

de dimension n, razon por la cual{e1, . . . , en } es una base de V.Hemos obtenido que :

Teorema .- Dada una base{ei}ni=1, el conjunto{ei}ni=1, formado me-diante ei= c

j

i ej es una base si y solo si det(ci

j) = 0.Demostracion: Se haba encontrado que dadas dos bases{ei}ni=1 y

{ej}mj=1de V yWrespectivamente, una transformacion lineal esta represen-tada por una matriz (aij),tal que A(ei) =A

ji ej podemos investigar como se


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modifica dicha representacion al hacer un cambio de base, tanto en V como

en W.

Sean{ej}nj=1 y{ek}mk=1 las nuevas bases de V y Wrespectivamente.Por un lado sabemos que :

ei= cji e

j porloque e

j = cr

j er

y queA(ei) =A

ji ej (1)

Sea ek =dskes por lo que e

s =

dps ep por lo que

A(ej) =Bk

jek (2)

a partir de (1) tendremos, utilizando los demas resultados

A(ei) =A(cji e

j) =cji Ae

j =c

ji B

kje

k =A

ji ej =A

ji d

kj e

k

por lo que

cji Bk

j =Aji d

kj =d

kj A

ji =B

kj c

ji

este ultimo resultado puesto en forma matricial nos queda

(dki)(Aki) = (B

ki)(c

ki) (Bki) = (dki)(Aki)(cki)1

la nueva representacion deA en terminos de la anterior, la cual depende dela matriz de cambio de base realizado en V y W.

Si un vector esta representado en terminos de una base {e1, . . . , en} porn escalares{v1, . . . , vn} (esto es v = viei), al hacer un cambio de base,medianteei =c

ji e

j, el vector v puede expresarse como v = vjej, entonces

v = viei = v

j ej = vjckj e

k, lo cual implica por independencia lineal que

vi =cijv

j.

Observese que mientras ei = cj

i ej, vi

= ci

jvj

esto es que la matriz(cij ), que nos transforma o cambia de la base primada a la no primada,tambien nos transforma o cambia las componentes de la base no primada alas componentes de la base primada, cuando esto sucede se dice que la matrizde transformacion actua en forma contraria, podemos decir en nuestro caso


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2.4 Representacion de Vectores y Cambios de Base 57

que las componentes se transforman contravariantemente,posteriormente

veremos que la contravariancia esta relacionada con los superndices y quelas cantidades con subndices obedecen la misma ley de transformacionquelos vectores base son covariantes.


1. Sean F1 y F2 Hom(V, W),{ei}ni=1 y{ej}mj=1 bases de V y W res-pectivamente. Mostrar que la representacion de F1+F2 con respectoa las bases dadas es igual a la suma de las representaciones de F1 yF2.

2. Sean F1 y F2 Hom(V), {ei}ni=1 base de V. Mostrar que la repre-sentacion de F1 F2 = F1F2 con respecto a las base dada es igual alproducto de las representaciones de F1 y F2.

3. Sean{e1 = (1, 1, 1), e2 = (0, 1, 1), e3 = (0, 0, 1)}y{e1 = (1, 0, 0), e2 =(1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)} bases de V determinar la matriz de transfor-macion de cambio de base que nos permite poner la base primadaen terminos de la no primada y tambien la correspondiente al casocontrario.

4. Sea{e1, e2} la base canonica deR2 y{e1, e2} la nueva base que seobtiene al girar la anterior en un angulo. Hallar la representacion dela transformacion correspondiente al cambio de base.

5. Sean

I1= {e1= (1, 1, 1), e2= (0, 2, 2), e3 = (0, 0, 3)} eI2= {e1= (2, 2, 0), e2= (0, 2, 2), e3 = (2, 0, 2)} bases de V eI3= {e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}I4= {e1= ( 12 , 13 , 14 ), e2= (0, 13 , 14 ), e3= (0, 0, 14 )} bases deW, A Hom(V, W) tal queA(e1) = (1, 3, 5), A(e2) = (1, 2, 6), A(e3) = (2, 2, 4),A(e1) = (e

1+ e

2), A(e

2) = (e

2

e3), A(e

3) = (e

1

e3)

Hallar :

i.- La matriz de transformacion de cambio de base en V, de la pri-mada en terminos de la no primada.


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ii.- La matriz de transformacion de cambio de base en W, de la pri-

mada en terminos de la no primada.iii.- La representacion de A en terminos de las bases no primadas,

i.e. en terminos de I1 e I3.

iv.- La representacion de A en terminos de las bases primadas.

v.- Encontrar la relacion entre ambas representaciones.

6. En los ejercicios siguientes, hallar la representacion de la transforma-cion, correspondiente al cambio de base que se indica.

Sea{e1, e2} la base canonica deR2 y{e1, e2} la base que se obtiene :i.- Al trasladar la base{e1, e2}a lo largo de e1 una cantidad .ii.- Al trasladar la base{e1, e2} a lo largo de e2 una cantidad .iii.- Al reflejar la base{e1, e2} con respecto a la recta y= x.iv.- Al reflejar la base{e1, e2}con respecto al eje x.v.- Al reflejar la base{e1, e2} con respecto al eje y .vi.- Al reflejar la base{e1, e2}con respecto al origen.vii.- Al experimentar{e1, e2} una doble reflexion, primero respecto

al ej

métodos matematicos aplicados a la fisica (enfocado a algebra lineal)

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