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Programa de la AsignaturaLos conjuntos numericos R y C

Metodos Matematicos: Analisis Funcional

Licenciatura en Ciencias y Tecnicas Estadısticas

Renato Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla

http://euler.us.es/˜renato/clases.html

Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Metodos Matematicos: Analisis Funcional


¿De que va esta asignatura?




1 NO va de numeros.




1 NO va de numeros.

2 NO va de analisis de funciones (eso fue en Calculo)




1 NO va de numeros.


3 ??? ??? ???




1 NO va de numeros.


3 ??? ??? ???

4 Va de espacios de “funciones” (¿¿??)




1 NO va de numeros.


3 ??? ??? ???


5 ¿Sirve para algo?




1 NO va de numeros.


3 ??? ??? ???


5 ¿Sirve para algo? SI



Metodologıa

La asignatura esta dividida en 3 horas teoricas y 2 horas practicassemanales.

• Las horas de teorıa se dedicaran a la explicacion de los principalesconceptos teoricos ası como a desarrollar distintos ejemplos quepermitan aplicar y profundizar los metodos aprendidos.

• Las horas practicas se dedicaran a proponer y resolver diversosejercicios que permitan al alumno una comprension mas profundade los conceptos teoricos y que sirvan de complemento a las clasesteoricas.



Metodologıa

La asignatura esta dividida en 3 horas teoricas y 2 horas practicassemanales.

• Las horas de teorıa se dedicaran a la explicacion de los principalesconceptos teoricos ası como a desarrollar distintos ejemplos quepermitan aplicar y profundizar los metodos aprendidos.

• Las horas practicas se dedicaran a proponer y resolver diversosejercicios que permitan al alumno una comprension mas profundade los conceptos teoricos y que sirvan de complemento a las clasesteoricas.

¡FALSO!



PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

Los conjuntos numericos R y C





Introduccion a los Espacios metricos.

Introduccion a los Espacios de Banach.

Introduccion a los Espacios de Hilbert.





Introduccion a los Espacios metricos.

Introduccion a los Espacios de Banach.

Introduccion a los Espacios de Hilbert.

Aplicaciones



Temario de la asignatura

Introduccion a los espacios R y C y las principales propiedadesmetricas de los mismos.





Espacios metricos. Definicion y primeras propiedades:convergencia y completitud. Teoremas del punto fijo yaplicaciones.






Introduccion a los espacios normados. Ejemplos. Espacios deBanach. Aplicaciones lineales.







Espacios de Hilbert. Definicion y propiedades. BasesOrtonormales. Ejemplos. Nociones de Teorıa Espectral.Operadores compactos autoadjuntos en espacios de Hilbert.







Espacios de Hilbert. Definicion y propiedades. BasesOrtonormales. Ejemplos. Nociones de Teorıa Espectral.Operadores compactos autoadjuntos en espacios de Hilbert.

Algunas aplicaciones en Probabilidad y Procesos estocasticos.



Bibliografıa

A. Bobrowski. Functional Analysis for Probability andStochastic Processes: An Introduction. Cambridge UniversityPress 2005

L. Debnath y P. Mikusinsk. Introduction to Hilbert spaces withapplications, 3rd Edition, Elsevier (Academic Press), 2005.

A.N. Kolmogorov y A.V. Fomın. Elements of the Theory ofFunctions and Functional Analysis, Dover 1999 (en castellanoexiste una version: Elementos de la teorıa de funciones y delanalisis funcional. Editorial MIR, 1978).

E. Kreyszig. Introductory Functional Analysis withApplications. Wiley Classics Library Edition, 1989.

K. Saxe. Beginning Functional Analysis. Springer, New York,2002.

N. Young. An Introduction to Hilbert Spaces, CambridgeUniversity Press, 1988.



Evaluacion

Se realizaran 2 examenes parciales. Estos parciales sonvoluntarios y de caracter eliminatorio. Para aprobar porparciales hay que presentarse a ambos y tener en media al

menos 5 puntos.



Evaluacion


menos 5 puntos.

Las fechas de dichos examenes seran fijadas a lo largo delcuatrimestre y anunciadas con antelacion en clase y en laWWW del curso.



Evaluacion


menos 5 puntos.


Se haran ademas dos examenes finales ordinarios en febrero yseptiembre. Los examenes seran escritos. Para aprobar elexamen es necesario obtener un total al menos 5 puntos.



Evaluacion


menos 5 puntos.


Se haran ademas dos examenes finales ordinarios en febrero yseptiembre. Los examenes seran escritos. Para aprobar elexamen es necesario obtener un total al menos 5 puntos.

Tambien se entregaran varios proyectos sobre temascomplementen los tratados en clase. Dichos proyectos sonvoluntarios y no seran evaluados en el examen aunque sipueden complementar la nota de este, solo en caso demejorarla.



Horario de Clases y Tutorıas

Horario de Clases: Lunes y Miercoles de 12:00 – 14:00, Martes de8:30 – 9:30Lugar: Aula A1.11 (Edificio ETSII, edificio blanco).





Horario de Tutorıas: Lunes de 10:30 a 11:30, martes de 10:00 a12:00 y jueves de 10:45 a 13:45.

Lugar: Despacho 15-07 (Modulo 15, 1o piso de la Facultad deMatematicas). Aconsejable pedir cita





Horario de Tutorıas: Lunes de 10:30 a 11:30, martes de 10:00 a12:00 y jueves de 10:45 a 13:45.

Lugar: Despacho 15-07 (Modulo 15, 1o piso de la Facultad deMatematicas). Aconsejable pedir cita

Cambios de clase, etc



DATOS RELEVANTES

Profesor Renato Alvarez Nodarse.

Despacho: 1er piso, Mod 15, No. 15-07 Facultad de Matematicas.

E-mail: [email protected] Telefono: 954 55 79 94

Web del curso: http://euler.us.es/˜renato/clases.html



Definicion de R y C

Convergencia en C




Definicion de R y C

Convergencia en C

Estructura algebraica: Cuerpo

Un conjunto de elementos es un cuerpo si ∀a, b ∈ A a“ +′′ b ya“ ·′′ b son elementos de A y “+” y “·” son tales que:

1 Propiedades de la suma:1 (a+ b) + c = a+ (b + c) (ley asociativa)2 ∃0 ∈ A tq ∀a ∈ A, a+ 0 = 0 + a = a3 ∀a ∈ A, ∃(−a) ∈ A tq (−a) + a = a+ (−a) = 04 a+ b = b + a (ley conmutativa)

2 Propiedades de la multiplicacion:1 (a · b) · c = a · (b · c) (ley asociativa)2 ∃1 ∈ A tq ∀a ∈ A, ∃a · 1 = 1 · a = a3 ∀a ∈ A, a 6= 0, (a−1) ∈ A tq (a−1) · a = a · (a−1) = 1

(elemento inverso de la multiplicacion)4 a · b = b · a (ley conmutativa)

3 Propiedades de la suma y multiplicacion:1 a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)



Definicion de R y C

Convergencia en C

Orden

Un conjunto de elementos A es un conjunto ordenado si existeuna relacion de orden ≤ tal que cuales quiera sean a y b elementosde A se cumple que a ≤ b o no se cumple y ademas tienen lugarlos siguientes axiomas:

1. Para todo a ∈ A, a ≤ a

2. Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b.

3. Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c .

4. Para todos a, b ∈ A, o a ≤ b o b ≤ a.

Si ademas, A es un cuerpo, entonces para cuales quiera sean a, by c de A se tiene que

5. Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c .

6. Si 0 ≤ a y 0 ≤ b entonces 0 ≤ a · b.



Definicion de R y C

Convergencia en C

R y C

Definicion

Se denomina al conjunto R conjunto de los numeros reales alcuerpo ordenado no nulo que satisfagan el siguiente axioma decompletitud o continuidad:Si A y B son dos subconjuntos de R no nulos tales que cualquierasean a ∈ A y b ∈ B se tiene que a ≤ b, entonces existe un c ∈ R

tal que para todo a ∈ A y b ∈ B, a ≤ c ≤ b.



Definicion de R y C

Convergencia en C

R y C

Definicion



Cotas. Infimo y Supremo de un conjunto numerico.



Definicion de R y C

Convergencia en C

R y C

Definicion



Cotas. Infimo y Supremo de un conjunto numerico.

Densidad de los numeros racionales Q: Q es denso en R

Cuales quiera sean a, b ∈ R(a < b), existe un q ∈ Q tal quea < q < b.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Los numeros complejos: C

¿Cual es la solucion de x2 = 4?



Definicion de R y C

Convergencia en C


¿Cual es la solucion de x2 = 4? ¿y de x2 = 2?



Definicion de R y C

Convergencia en C


¿Cual es la solucion de x2 = 4? ¿y de x2 = 2? y ¿y de x2 = −1?



Definicion de R y C

Convergencia en C



Definicion

Un numero complejo z es un par ordenado de numeros reales x , y ,es decir z = (x , y), donde x se denomina parte real de z e y sedenomina parte imaginaria y se denotan por x = ℜ z, y = ℑz. Elconjunto de todos los numeros complejos lo denotaremos por C.

Para los numeros complejos cualesquiera z1 = (x1, y1) yz2 = (x2, y2), se define la operacion suma “+” y multiplicacion “·”de la siguiente forma:

z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2),

z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2, x1 y2 + y1 x2).



Definicion de R y C

Convergencia en C



Definicion

Un numero complejo z es un par ordenado de numeros reales x , y ,es decir z = (x , y), donde x se denomina parte real de z e y sedenomina parte imaginaria y se denotan por x = ℜ z, y = ℑz. Elconjunto de todos los numeros complejos lo denotaremos por C.

Para los numeros complejos cualesquiera z1 = (x1, y1) yz2 = (x2, y2), se define la operacion suma “+” y multiplicacion “·”de la siguiente forma:

z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2),

z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2, x1 y2 + y1 x2).

C no se puede ordenar.Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Metodos Matematicos: Analisis Funcional


Definicion de R y C

Convergencia en C

Representacion grafica

z = (x , y)

y

x0

ℑz

ℜz

Figura: Representacon grafica de un numero complejo z

La expresion mas comun para representar un numero complejo esla forma binomica: z = (x , y) = x + i y , donde x = ℜ z , y = ℑz .



Definicion de R y C

Convergencia en C

Operaciones elementales en C

Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos numeros complejoscualesquiera, entonces

z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2),

z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2) + i(x1 y2 + y1 x2),

z1z2

= z11

z2,

1

z2=

x2x22 + y22

+ i−y2

x22 + y22



Definicion de R y C

Convergencia en C

Operaciones elementales en C

Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos numeros complejoscualesquiera, entonces

z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2),

z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2) + i(x1 y2 + y1 x2),

z1z2

= z11

z2,

1

z2=

x2x22 + y22

+ i−y2

x22 + y22

El complejo conjugado z de un numero z = x + iy se defineporz = x − iy : Ademas, ∀z , z1, z2 ∈ C

z = z , z1 + z2 = z1+z2, z1 · z2 = z1·z2,

(

z1z2

)

=z1z2

(z2 6= 0).



Definicion de R y C

Convergencia en C

¿R ⊂ C?

Es facil comprobar que si z1 y z2 son tq ℑz1 = ℑz2 = 0, lasoperaciones anteriores coinciden con las de los numeros reales =⇒los numeros reales se pueden ver como un “subconjunto” de loscomplejos: i.e., los numeros complejos de la forma z = (x , 0).



Definicion de R y C

Convergencia en C

¿R ⊂ C?


Utilizando el conjunto de los numeros complejos C descubrimosque es posible resolver ecuaciones algebraicas que no eranresolubles para los reales, por ejemplo

x2 + 1 = 0, −→ x2 = −1 −→ x = i = (0, 1).



Definicion de R y C

Convergencia en C

¿R ⊂ C?


Utilizando el conjunto de los numeros complejos C descubrimosque es posible resolver ecuaciones algebraicas que no eranresolubles para los reales, por ejemplo

x2 + 1 = 0, −→ x2 = −1 −→ x = i = (0, 1).

Dado φ ∈ R, se define la exponencial compleja de φ, e iφ como

e iφ = cosφ+ i senφ.



Definicion de R y C

Convergencia en C

El modulo ρ = |z | y el argumento de z

El modulo de z es ρ = |z | =√

x2 + y2 y al argumento de z es elangulo θ tq x = |z | cos θ, y = |z | sen θ:

z = x + iy = |z |(cos θ + i sen θ) = |z |e iθ.

z = (x , y)

y

x0

ℑz

ℜz

θ

|z |

Figura: El modulo ρ = |z | y el argumento de z



Definicion de R y C

Convergencia en C

El modulo ρ = |z | y el argumento de z

El modulo ρ = |z | y el argumento de z cumplen con las siguientespropiedades.

1 |z | ≥ 0,∀z ∈ C.

2 |z | = 0,⇐⇒ z = 0.

3 |z |2 = z · z,∀z ∈ C.

4 |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|,∀z1, z2 ∈ C.

5 |z1 · z2| = |z1| · |z2|,∀z1, z2 ∈ C.

6 Si z1 = |z1|(cos θ1 + i sen θ1) y z2 = |z2|(cos θ2 + i sen θ2),entonces

z1 · z2 = |z1 · z2|[cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)],

z1z2

=

∣

∣

∣

∣

z1z2

∣

∣

∣

∣

[cos(θ1 − θ2) + i sen(θ1 − θ2)]



Definicion de R y C

Convergencia en C

Sucesiones numericas en C

Definicion

La aplicacion o funcion f : N 7→ A que hace corresponder a cadanumero natural n un elemento an de cierto conjunto A se denominasucesion de elementos de A y la denotaremos por (an)

∞n=1, o (an)n.

Por ejemplo, si A = C, diremos que f : N 7→ C define una sucesionde numeros complejos.

Como ejemplo tenemos

xn = (−1)n = −1, 1,−1, 1, . . . , zn = e in = e i , e2i , e3i , . . . , . . .



Definicion de R y C

Convergencia en C

Sucesiones acotadas

Definicion

Se dice que una sucesion (zn)n esta acotada, si ∀n ∈ N, existe unM ∈ R, M > 0 tal que |zn| ≤ M.

Por ejemplo, las sucesiones (xn) y (zn)n definidas antes sonclaramente acotadas (basta escoger M = 1).



Definicion de R y C

Convergencia en C

Sucesiones acotadas

Definicion

Se dice que una sucesion (zn)n esta acotada, si ∀n ∈ N, existe unM ∈ R, M > 0 tal que |zn| ≤ M.

Por ejemplo, las sucesiones (xn) y (zn)n definidas antes sonclaramente acotadas (basta escoger M = 1).

Definicion

Se dice que una sucesion (zn)n es no acotada si ∀M ∈ R, existe unn ∈ N tal que |zn| > M.

Por ejemplo, la sucesion bn = (−1)nn2 no esta acotada.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Convergencia en C

Definiremos la distancia d(z1, z2) entre dos numeros complejosz1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 como

d(z1, z2) = |z1 − z2| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2. (1)



Definicion de R y C

Convergencia en C

Convergencia en C

Definiremos la distancia d(z1, z2) entre dos numeros complejosz1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 como

d(z1, z2) = |z1 − z2| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2. (1)

Definiremos el ǫ-entorno o ǫ-vecindad de un numero complejo z0 ala “bola” Uǫ(z0) definida por

Uǫ(z0) = z ∈ C; |z − z0| < ǫ.

Obviamente Uǫ(z0) es un cırculo del plano complejo de centro z0 yradio ǫ excluyendo la frontera (o sea, la correspondientecircunferencia).



Definicion de R y C

Convergencia en C

Entornos en C

replacements

z0

y

x

0

ǫ

Uǫ(z0)

Figura: Entornos en C



Definicion de R y C

Convergencia en C

Entornos en C

replacements

z0

y

x

0

ǫ

Uǫ(z0)

Figura: Entornos en C

Significado geometrico del lımite: dentro de Uǫ(z0) del lımite zde la sucesion (zn)n hay infinitos terminos de la sucesion ( a partirde cierto N) y fuera de el solo hay un numero finito de terminos (alo sumo los N primeros) de la misma.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Convergencia en C

Sea z = x + iy , z0 = x0 + iy0. Puesto que

max|x−x0|, |y−y0| ≤ |z−z0| ≤ |x−x0|+|y−y0|, |z+z0| ≤ |z |+|z0|,

podemos construir la teorıa de lımites en C de la misma forma quese hace en R. Ası pues, tenemos la siguiente definicion:

Definicion

Diremos una sucesion de numeros complejos (zn)n tiene lımite z, ylo denotaremos por lımn→∞ zn = z, si

∀ǫ > 0a, ǫ ∈ R, ∃N ∈ N; ∀n > N, |zn − z | < ǫ.

aEn adelante al escribir M > 0 asumiremos que M es un numero real, ya que

los complejos no se pueden ordenar.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Convergencia en C

Sea zn = xn + iyn y z = x + iy , entonces

max|xn − x |, |yn − y | ≤ |zn − z | ≤ |xn − x |+ |yn − y | =⇒

lımn→∞

zn = z ⇐⇒ lımn→∞

xn = x , y lımn→∞

yn = y .

En particular, znn→∞−→ 0 si y solo si |zn|

n→∞−→ 0.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Convergencia en C



lımn→∞



yn = y .


n→∞−→ 0.

De lo anterior se deduce que toda sucesion de numeros

complejos es equivalente a dos sucesiones de numeros reales

(la de sus partes reales e imaginarias).



Definicion de R y C

Convergencia en C

Convergencia en C



lımn→∞



yn = y .


n→∞−→ 0.




Podemos definir las sucesiones de Cauchy, enunciar y probar elcriterio de Cauchy, etc.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Convergencia en C



lımn→∞



yn = y .


n→∞−→ 0.





Como C es un cuerpo no ordenado, se pierden todas laspropiedades relacionadas con el orden (supremo, monotonıa, etc).



Definicion de R y C

Convergencia en C

Convergencia en C



lımn→∞



yn = y .


n→∞−→ 0.





Como C es un cuerpo no ordenado, se pierden todas laspropiedades relacionadas con el orden (supremo, monotonıa, etc).

Usando lımites de sucesiones podemos definir el lımite defunciones, continuidad de funciones, derivabilidad de funciones, etc.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Criterio de Cauchy en C

Definicion

Una sucesion (zn)n es de Cauchy (o fundamental) si ∀ǫ > 0∃N ∈ N tq ∀n,m > N, se cumple |zn − zm| < ǫ. O sea,zn es de Cauchy ⇐⇒

∀ǫ > 0, ∃N ∈ N, tal que ∀n > N, y ∀p ∈ N, |zn+p − zn| < ǫ.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Definicion



Teorema (Criterio de Cauchy)

Para que una sucesion de numeros complejos (zn)n sea deconvergente es necesario y suficiente que sea de Cauchy.

La prueba se basa en la equivalencia entre zn = xn + iyn y lassucesiones reales (xn)n y (yn)n.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Definicion



Teorema (Criterio de Cauchy)

Para que una sucesion de numeros complejos (zn)n sea deconvergente es necesario y suficiente que sea de Cauchy.

La prueba se basa en la equivalencia entre zn = xn + iyn y lassucesiones reales (xn)n y (yn)n.

Ademas, esta claro que si (zn)n tiene lımite, entonces (zn)n esacotada, pero no al contrario.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Algo de Topologıa

Definicion

Un punto z de un conjunto E ⊂ C es interior si existe un entornoUǫ(z) del mismo contenido por completo en E. Un conjunto esabierto si todos sus puntos son interiores.

Evidentemente todo entorno Uǫ(z) de z es un abierto.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Algo de Topologıa

Definicion

Un punto z de un conjunto E ⊂ C es interior si existe un entornoUǫ(z) del mismo contenido por completo en E. Un conjunto esabierto si todos sus puntos son interiores.

Evidentemente todo entorno Uǫ(z) de z es un abierto.

Definicion

Dado un conjunto E ⊂ C diremos que z0 ∈ C es un punto deacumulacion de E si el cualquier entorno Uǫ(z0) existe al menos unpunto de E distinto de z0 (y por tanto infinitos).

Por ejemplo, 0 es un punto de acumulacion del conjuntoE = 1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . . , mientras que 10−k , cualquiera seak ∈ N no lo es.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Algo de Topologıa

Teorema

z0 es un punto de acumulacion de E si y solo si existe al menosuna subsucesion de numeros (zn)n, con zn 6= zn+1, para todon ∈ N, tal que lımn→∞ zn = z0.

Demostracion: Ejercicio.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Algo de Topologıa

Teorema

z0 es un punto de acumulacion de E si y solo si existe al menosuna subsucesion de numeros (zn)n, con zn 6= zn+1, para todon ∈ N, tal que lımn→∞ zn = z0.

Demostracion: Ejercicio.

Definicion

Un conjunto E es cerrado si contiene todos sus puntos deacumulacion.

Por ejemplo en conjunto Uǫ(z0) =: z ∈ C; |z − z0| ≤ ǫ es uncerrado.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Algo de Topologıa

Definicion

Un conjunto E es acotado si existe un M > 0 tal que, para todoz ∈ E, |z | < M.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Algo de Topologıa

Definicion

Un conjunto E es acotado si existe un M > 0 tal que, para todoz ∈ E, |z | < M.

A partir de Lema del Bolzano-Weierstrass para los conjuntosacotados de R se sigue el siguiente resultado:

Lema de Bolzano-Weierstrass

Cualquier subconjunto infinito (con un numero infinito deelementos) acotado de C tiene por lo menos un punto deacumulacion.



Definicion de R y C

Convergencia en C

El infinito complejo

Sea una sucesion (zn)n tal que, para todo M > 0, existe un N ∈ N,tal que para todos n > N, |zn| > M.

Evidentemente dicha sucesion no puede ser convergente (no esacotada, ¿por que?).



Definicion de R y C

Convergencia en C

El infinito complejo

Sea una sucesion (zn)n tal que, para todo M > 0, existe un N ∈ N,tal que para todos n > N, |zn| > M.

Evidentemente dicha sucesion no puede ser convergente (no esacotada, ¿por que?).

Por analogıa con el caso real diremos que la sucesion anteriorconverge a infinito.



Definicion de R y C

Convergencia en C

El ∞ complejo

Para que este ∞ tenga sentido hay que ademas imponerle ciertasreglas (de facil interpretacion mediante sucesiones):

1 ∀z ∈ C, z +∞ = ∞,

2 ∀z ∈ C, z 6= 0, z · ∞ = ∞,

3 ∞+∞ = ∞,

4 ∞ ·∞ = ∞,

5 ∀z ∈ C, z/∞ = 0.



Definicion de R y C

Convergencia en C

La esfera de Riemann

S : ξ2 + η2 + (ζ − 1/2)2 =1

4,

z = (x , y , 0)

z ′

y

ζ

x

η

ξ

N = (0, 0, 1)

0

S

C



Definicion de R y C

Convergencia en C

La esfera de Riemann

S : ξ2 + η2 + (ζ − 1/2)2 =1

4, Nzz ′ :

ξ − 0

x − 0=

η − 0

y − 0=

ζ − 0

0− 1⇒

z = (x , y , 0)

z ′

y

ζ

x

η

ξ

N = (0, 0, 1)

0

S

C



Definicion de R y C

Convergencia en C

Relacion entre S y C

A z ′ = (ξ, η, ζ) ∈ S ⊂ R3 le corresponde un z = (x , y) ∈ C t.q.

x =ξ

1− ζ, y =

η

1− ζ, |z |2 =

ζ

1− ζ,

y viceversa: a z = (x , y) ∈ C le corresponde un z ′ = (ξ, η, ζ) ∈ St.q.

ξ =x

1 + |z |2, η =

y

1 + |z |2, ζ =

|z |2

1 + |z |2.

De ambas expresiones se deduce que si z ′ → N, entonces suimagen z en C tiende a infinito, por lo que N corresponde al ∞complejo antes mencionado.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Una propiedad de la proyeccion estereografica es que estatransforma las circunferencias que no pasen por N en S encircunferencias en C y las que contengan a N en rectas de C.

Ejercicio

Sea la circunferencia en S definida por

Aξ + Bη + Cζ + D = 0,

ξ2 + η2 = ζ(1− ζ).

Prueba que su imagen en C es:

(D + C )(x2 + y2) + Ax + By = −D.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series numericas

Definicion

Dada una sucesion de numeros complejos (an)n, la expresion

∞∑

k=1

ak = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + · · ·

se denomina serie infinita o serie y a los numeros a1, a2, ...,elementos de la serie. Las sumas

Sn =n∑

k=1

ak = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an,

se denominan sumas parciales de la serie.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series numericas

Definicion

Dada una sucesion de numeros complejos (an)n, la expresion

∞∑

k=1

ak = a1 + a2 + a3 + · · · + ak + · · ·

se denomina serie infinita o serie y a los numeros a1, a2, ...,elementos de la serie. Las sumas

Sn =n∑

k=1

ak = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an,

se denominan sumas parciales de la serie.

Ejemplo:∑∞

n=1 1/n,∑∞

n=1 1/n2,∑∞

n=1(−1)n, etc.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series numericas

Definicion

Diremos que la serie∑∞

k=1 ak converge a S, si la sucesion desumas parciales (Sn)n tiene lımite finito S y a dicho numero ledenominaremos “suma” de la serie. Si por el contrario, la sucesionde sumas parciales no tiene lımite, entonces diremos que la seriediverge.

Ejemplo importante: la serie geometrica∑∞

k=1 qk ,



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series numericas

Definicion

Diremos que la serie∑∞

k=1 ak converge a S, si la sucesion desumas parciales (Sn)n tiene lımite finito S y a dicho numero ledenominaremos “suma” de la serie. Si por el contrario, la sucesionde sumas parciales no tiene lımite, entonces diremos que la seriediverge.

Ejemplo importante: la serie geometrica∑∞

k=1 qk ,

Teorema (Criterio de Cauchy para las series)

La serie∑∞

k=1 ak es convergente si y solo si , para todo ǫ > 0,existe un N ∈ N, tal que para todos n > N y para todo p ∈ N,|an+1 + · · ·+ an+p | < ǫ



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series numericas

Este teorema tiene dos consecuencias inmediatas: la primera es quesi alteramos un numero finito de elementos de la serie, laconvergencia de esta no se afecta; y la segunda es el siguienteresultado:

Teorema (Condicion necesaria para la convergencia de las series)

Si la serie∑∞

k=1 ak es convergente, entonces lımn→∞

an = 0.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series numericas

Este teorema tiene dos consecuencias inmediatas: la primera es quesi alteramos un numero finito de elementos de la serie, laconvergencia de esta no se afecta; y la segunda es el siguienteresultado:

Teorema (Condicion necesaria para la convergencia de las series)

Si la serie∑∞

k=1 ak es convergente, entonces lımn→∞

an = 0.

Ejercicio: Prueba que las siguientes serier son divergentes:

∞∑

n=1

n2

300n + n2y

∞∑

n=1

1

n,



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series absolutamente convergentes

Definicion

Diremos que una serie∑∞

k=1 ak es absolutamente convergente si laserie

∑∞k=1 |ak | es convergente.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Definicion




La sucesion (Sn)n de sumas parciales Sn =∑n

k=1 |ak | es unasucesion monotona, luego si esta acotada, entonces existira ellımite que es precisamente la suma de la serie. Por el contrario, si lasucesion Sn

∑nk=1 |ak | es no acotada, entonces sera divergente ⇒



Definicion de R y C

Convergencia en C


Definicion




La sucesion (Sn)n de sumas parciales Sn =∑n

k=1 |ak | es unasucesion monotona, luego si esta acotada, entonces existira ellımite que es precisamente la suma de la serie. Por el contrario, si lasucesion Sn

∑nk=1 |ak | es no acotada, entonces sera divergente ⇒

Teorema

(Weierstrass) Una serie∑∞

k=1 ak es absolutamente convergente siy solo si la sucesion Sn =

∑nk=1 |ak | esta acotada.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Teorema

Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Demostracion: Usar el criterio de Cauchy.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Teorema



Ejemplo: ¿Cuando la serie geometrica es abs. conv.?



Definicion de R y C

Convergencia en C


Teorema



Ejemplo: ¿Cuando la serie geometrica es abs. conv.?

∞∑

k=1

qk−1 = 1 + q + q2 + · · · =1

1− q, |q| < 1.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Teorema (Criterio de Comparacion de Weierstrass)

Sean∑∞

k=1 ak y∑∞

k=1 bk dos series de numeros complejos. Siexiste un N ∈ N tal que para todo n > N, |an| ≤ |bn|, entonces sila serie

∑∞k=1 |bk | converge, la serie

∑∞k=1 |ak | < converge, y si

∑∞k=1 |ak | diverge, entonces

∑∞k=1 |bk | diverge.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Teorema (Criterio de Comparacion de Weierstrass)

Sean∑∞

k=1 ak y∑∞

k=1 bk dos series de numeros complejos. Siexiste un N ∈ N tal que para todo n > N, |an| ≤ |bn|, entonces sila serie

∑∞k=1 |bk | converge, la serie

∑∞k=1 |ak | < converge, y si

∑∞k=1 |ak | diverge, entonces

∑∞k=1 |bk | diverge.

Ejercicio:

Prueba, calculando el lımite de sus sumas parciales, que la serie∑∞

n=11

n(n+1) converge. Usando lo anterior y el criterio de

comparacion deduce la convergencia de la serie∑∞

n=11n2.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Teorema (Criterio de comparacion por paso al lımite)

Sean las sucesiones (an)n y (bn)n tales que lımn→∞|an||bn|

= q > 0.

Entonces,∑∞

k=1 |ak | converge si y solo si∑∞

k=1 |bk | converge.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Teorema (Criterio de comparacion por paso al lımite)

Sean las sucesiones (an)n y (bn)n tales que lımn→∞|an||bn|

= q > 0.

Entonces,∑∞

k=1 |ak | converge si y solo si∑∞

k=1 |bk | converge.

Ejercicio:

Estudiar las series

∞∑

n=1

1

n2,

∞∑

n=1

sin2(

1

n

)

y

∞∑

n=1

log

(

1 +1

n

)

.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Teorema (Criterio del cociente de D’Alembert)

Sea∑∞

k=1 ak tq lımn→∞ |an+1|/|an| = q. Entonces,

1 Si q < 1, la serie∑∞

k=1 ak es absolutamente convergente

2 Si q > 1, la serie∑∞

k=1 |ak | es divergente.

3 Si q = 1, la serie∑∞

k=1 |ak | converge o diverge.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Teorema (Criterio del cociente de D’Alembert)

Sea∑∞

k=1 ak tq lımn→∞ |an+1|/|an| = q. Entonces,


k=1 ak es absolutamente convergente


k=1 |ak | es divergente.


k=1 |ak | converge o diverge.

Teorema (Criterio de la raız de Cauchy)

Sea∑∞

k=1 ak tq lımn→∞n√

|an| = q. Entonces,


k=1 ak es convergente


k=1 ak es divergente.


k=1 ak converge o diverge.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Ejemplos:

∞∑

k=1

2k

n2,

∞∑

k=1

xk

n2,

∞∑

k=1

xn

n!,

∞∑

k=1

2 + (−1)k

2k



Definicion de R y C

Convergencia en C


Ejemplos:

∞∑

k=1

2k

n2,

∞∑

k=1

xk

n2,

∞∑

k=1

xn

n!,

∞∑

k=1

2 + (−1)k

2k

Series no absolutamente convergentes: Ejemplo∞∑

k=1

(−1)k/k .



Definicion de R y C

Convergencia en C


Ejemplos:

∞∑

k=1

2k

n2,

∞∑

k=1

xk

n2,

∞∑

k=1

xn

n!,

∞∑

k=1

2 + (−1)k

2k

Series no absolutamente convergentes: Ejemplo∞∑

k=1

(−1)k/k .

Teorema

Si

∞∑

k=1

ak es absolutamente convergente, entonces la serie

∞∑

k=1

a′k

tambien es absolutamente convergente y su suma coincide con lade la serie original.



Definicion de R y C

Convergencia en C

La serie∑∞

n=1(−1)n+1

n

Esta serie es convergente pero no absolutamente.

log(1 + x) =

n∑

k=1

(−1)k+1

kxk +

(−1)n

1 + ξ

xk+1

k + 1, con ξ ∈ (0, x),

tenemos que

∣

∣

∣

∣

∣

log 2−n∑

k=1

(−1)k+1

kxk

∣

∣

∣

∣

∣

≤1

n + 1→ 0, si n → ∞,

es decir que

∞∑

n=1

(−1)n+1

n= 1−

1

2+1

3−1

4+1

5−1

6+· · ·+

1

2k − 1−

1

2k+· · · = log 2 6= 0.



Definicion de R y C

Convergencia en C

La serie∑∞

n=1(−1)n+1

n

Reordenemos la serie

S =

(

1−1

2

)

+

(

1

3−

1

4

)

+

(

1

5−

1

6

)

+

(

1

7−

1

8

)

+· · ·+

(

1

2k − 1−

1

2k

)

+· · ·

de la siguiente forma:



Definicion de R y C

Convergencia en C

La serie∑∞

n=1(−1)n+1

n


S =

(

1−1

2

)

+

(

1

3−

1

4

)

+

(

1

5−

1

6

)

+

(

1

7−

1

8

)

+· · ·+

(

1

2k − 1−

1

2k

)

+· · ·


S′

=

(

1−1

2−

1

4

)

+

(

1

3−

1

6−

1

8

)

+ · · ·+

(

1

2k − 1−

1

4k − 2−

1

4k

)

+ · · ·



Definicion de R y C

Convergencia en C

La serie∑∞

n=1(−1)n+1

n


S =

(

1−1

2

)

+

(

1

3−

1

4

)

+

(

1

5−

1

6

)

+

(

1

7−

1

8

)

+· · ·+

(

1

2k − 1−

1

2k

)

+· · ·


S′

=

(

1−1

2−

1

4

)

+

(

1

3−

1

6−

1

8

)

+ · · ·+

(

1

2k − 1−

1

4k − 2−

1

4k

)

+ · · ·

=

(

1

2−

1

4

)

+

(

1

6−

1

8

)

+

(

1

10−

1

12

)

+ · · ·+

(

1

4k − 2−

1

4k

)

+ · · ·



Definicion de R y C

Convergencia en C

La serie∑∞

n=1(−1)n+1

n


S =

(

1−1

2

)

+

(

1

3−

1

4

)

+

(

1

5−

1

6

)

+

(

1

7−

1

8

)

+· · ·+

(

1

2k − 1−

1

2k

)

+· · ·


S′

=

(

1−1

2−

1

4

)

+

(

1

3−

1

6−

1

8

)

+ · · ·+

(

1

2k − 1−

1

4k − 2−

1

4k

)

+ · · ·

=

(

1

2−

1

4

)

+

(

1

6−

1

8

)

+

(

1

10−

1

12

)

+ · · ·+

(

1

4k − 2−

1

4k

)

+ · · ·

=1

2

[(

1−1

2

)

+

(

1

3−

1

4

)

+

(

1

5−

1

6

)

+ · · ·+

(

1

2k − 1−

1

2k

)

+ · · ·

]

=S

2=

log 2

2,

es decir nuestra reordenacion cambia el valor de la serie!



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series condicionalmente convergentes

Definicion

Diremos que una serie es condicionalmente convergente si la serie∑∞

k=1 ak converge pero la serie∑∞

k=1 |ak | diverge.

Teorema (Teorema de reordenacion de Riemann)

Toda serie condicionalmente convergente se puede reordenar de talforma que sume cualquier valor real prefijado de antemano.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias

Definicion

Dada una sucesion de numeros complejos (an)n y z0 ∈ C

definiremos serie

∞∑

n=0

an(z − z0)n, z ∈ C, (2)

que denominaremos serie de potencias.

Como casos especiales de las series de potencias tenemos:

∞∑

k=0

zk ,

∞∑

k=0

zk

k!,

∞∑

k=1

zk

k,

etc. Si la serie converge ∀z ∈ A ⊂ C, entonces podemos definir lafuncion suma f (z) de la serie en A.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias

Teorema (Primer Teorema de Abel para las series de potencias)

Sea la serie de potencias∑∞

n=0 anzn, an, z ∈ C. Si la serie

converge para cierto w ∈ C, entonces la serie convergeabsolutamente para todo z ∈ C con |z | < |w |.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias





Corolario

Si∑∞

n=0 anzn diverge para algun numero complejo w, entonces

diverge para todo z con |z | > |w |.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias





Corolario

Si∑∞

n=0 anzn diverge para algun numero complejo w, entonces

diverge para todo z con |z | > |w |.

El teorema de Abel nos asegura la existencia de regiones (cırculos)de convergencia y divergencia, de una serie de potencias en C. Dehecho podemos afirmar que dada una serie de potencias cualquierasiempre existe un numero no negativo R ≥ 0 o R = +∞ tal quepara todo z con |z | < R la serie converge y si |z | > R la seriediverge.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias

Definicion

El numero R ≥ 0 anterior se denomina radio de convergencia deuna serie de potencias.

ℑz

ℜzR0

w

|z |< |w |

ℑz

ℜz

R

0

w

z0

|z − z0|< |w − z0|

Figura: Region de convergencia de

∞∑

n=0

anzn (izq.) y

∞∑

n=0

an(z − z0)n (der.)



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias

Teorema (Segundo Teorema de Abel para las series de potencias)

Toda serie de potencias∑∞

n=0 anzn, an, z ∈ C, tiene radio de

convergencia R ≥ 0 o R = +∞ . Ademas, la serie convergeabsolutamente para todo z tal que |z | < R.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias





Del teorema anterior se sigue que la mayor region de convergenciade la serie

∑∞n=0 anz

n es el disco UR(0).



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias





Del teorema anterior se sigue que la mayor region de convergenciade la serie

∑∞n=0 anz

n es el disco UR(0).

Ejercicio:

Estudiar la convergencia de

∞∑

n=0

zn,

∞∑

n=0

n!zn,

∞∑

n=0

zn

n!y

∞∑

n=1

zn

n.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias

Teorema (Formula de Cauchy-Hadamard)

Dada una serie de potencias∑∞

n=0 anzn, su radio de convergencia

R viene dado por la formula R =1

lımn

n√

|an|.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias





lımn

n√

|an|.

Consecuencias: Si ∃ lımn→∞n√

|an| ⇒, R = 1/ lımn→∞n√

|an|,



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias





lımn

n√

|an|.


|an| ⇒, R = 1/ lımn→∞n√

|an|,

∃ lımn→∞|an|

|an+1|⇒, por de D’Alembert R = lımn→∞

|an||an+1|

.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias





lımn

n√

|an|.


|an| ⇒, R = 1/ lımn→∞n√

|an|,

∃ lımn→∞|an|

|an+1|⇒, por de D’Alembert R = lımn→∞

|an||an+1|

.

Ejercicio:

Estudiar la convergencia de

∞∑

n=0

zn,

∞∑

n=0

n!zn,

∞∑

n=0

zn

n!y

∞∑

n=1

zn

n.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias

Teorema

Sea la serie f (z) =

∞∑

n=0

anzn con R > 0. Entonces

1 Para todo k ≥ 1 la serie∑∞

n=0 n(n− 1) · · · (n− k + 1)anzn−k ,

tiene radio de convergencia R.

2 La funcion f (z) es infinitamente diferenciable en UR(0) y suk-esima derivada f (k)(z), viene dada por la serie anterior.

3 Para todo n ≥ 0, an = f (n)(0)/n!.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias

f (z) =

∞∑

n=0

anzn, Sn(z) =

n∑

k=0

akzk , Rn(z) =

∞∑

k=n+1

akzk , g(z) =

∞∑

k=1

kakzk ,

y escojamos z0 t.q. |z0| < r < R . ⇒f (z)− f (z0)

z − z0− g(z0) =

[

Sn(z)− Sn(z0)

z − z0− S ′

n(z0)

]

+[S ′n(z0)−g(z0)]+

[

Rn(z)− Rn(z0)

z − z0

]

.

CalculemosRn(z)− Rn(z0)

z − z0=

∞∑

k=n+1

akzk − zk0z − z0

, como

∣

∣

∣

∣

zk − zk0z − z0

∣

∣

∣

∣

= |zk−1 + zk−2z0 + zk−3z20 + · · ·+ zk0 | ≤ krk−1 ⇒

∣

∣

∣

∣

Rn(z)− Rn(z0)

z − z0

∣

∣

∣

∣

≤

∞∑

k=n+1

|ak |krk−1 ≤

ǫ

3,



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias

Teorema

Sea la serie f (z) =∞∑

n=0

anzn con R > 0. Entonces

1 Para todo k ≥ 1 la serie∑∞

n=0 n(n− 1) · · · (n− k + 1)anzn−k ,

tiene radio de convergencia R.

2 La funcion f (z) es infinitamente diferenciable en UR(0) y suk-esima derivada f (k)(z), viene dada por la serie anterior.

3 Para todo n ≥ 0, an = f (n)(0)/n!.

Consecuencia: si f (z) admite una serie de potencias, f (z) esinfinitamente diferenciable en UR(0), y cada una de las funcionesf (k)(z), k = 0, 1, 2, . . . , es continua en UR(0). Del 3

o apartado setiene ademas que la serie de potencias de una funcion dadacoincide con la correspondiente serie de Taylor.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias en R

En R se dice que una funcion f (x) es analıtica en cierto Uǫ(x0)f (x) se puede escribir como una serie de potencias

f (x) =

∞∑

n=0

an(x − x0)n, con R > 0.



Definicion de R y C

Convergencia en C



f (x) =

∞∑

n=0

an(x − x0)n, con R > 0.

Como vimos toda serie de potencias (reales o complejas) esinfinitamente diferenciable. ¿Sera cierto el recıproco? ¿Todafuncion C∞

A sera analıtica en algun entorno de x0 ∈ A?



Definicion de R y C

Convergencia en C



f (x) =

∞∑

n=0

an(x − x0)n, con R > 0.

Como vimos toda serie de potencias (reales o complejas) esinfinitamente diferenciable. ¿Sera cierto el recıproco? ¿Todafuncion C∞

A sera analıtica en algun entorno de x0 ∈ A?La respuesta a esta pregunta la dio Cauchy, en 1821: Sea la funcion

fC (x) =

e−1/x2 , x 6= 0,

0, x = 0.

f es ∞-veces derivable en x = 0 y f (k)(0) = 0 ∀k ∈ N ⇒ su seriede Taylor en x = 0 es 0 i.e., f (x) no admite una serie de potenciasen 0 (o equiv. R = 0), i.e., fC no es analıtica en x0 = 0.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias en C

Teorema (Condicion necesaria y suficiente de analiticidad de unafuncion real)

Para que una funcion f (x) infinitamente derivable en todo unentorno de x = x0 sea analıtica es necesario y suficiente que el

resto de Taylor de la funcion Rn(x) = f (x)−∑n

k=0f (k)(a)

k! (x − x0)k ,

tienda a cero para todo x de dicho entorno.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Series de potencias en C

Teorema (Condicion necesaria y suficiente de analiticidad de unafuncion real)

Para que una funcion f (x) infinitamente derivable en todo unentorno de x = x0 sea analıtica es necesario y suficiente que el

resto de Taylor de la funcion Rn(x) = f (x)−∑n

k=0f (k)(a)

k! (x − x0)k ,

tienda a cero para todo x de dicho entorno.

El caso complejo es mucho mas sencillo. De hecho se tiene elsiguiente sorprendente resultado

Teorema (Goursat)

Sea Ω ⊂ C una region (abierto y conexo) y sea f : Ω 7→ C unafuncion diferenciable (holomorfa). Entonces, para cada puntoz0 ∈ Ω, f (z) admite una serie de potenciasf (z) =

∑∞n=0 an(z − z0)

n con radio de convergencia R > 0.



Definicion de R y C

Convergencia en C

Aprendiendo algo mas



Definicion de R y C

Convergencia en C


Consultar los apuntes del curso para profundizar el:

1 Funciones de variable compleja

2 Funciones “elementales” de variable compleja

3 Funciones holomorfas o analıticas: Condicion de CauchyRieamann.



Definicion de R y C

Convergencia en C


Consultar los apuntes del curso para profundizar el:

1 Funciones de variable compleja

2 Funciones “elementales” de variable compleja

3 Funciones holomorfas o analıticas: Condicion de CauchyRieamann.

Bibliografıa

J.E. Marsden y M.J. Hoffman. Basic Complex Analysis. W. H.Freeman & Co. 1987.

D. Zill y P. Shanahan. A first course in complex analysis withapplications. Jones and Bartlett Publishers, 2003.


métodos matemáticos: análisis funcionalrenato/clases/aa-af/beamer-ana-fun...programa de la...

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