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Espacios euclıdeos

Metodos Matematicos: Analisis FuncionalLicenciatura en Ciencias y Tecnicas Estadısticas

Universidad de Sevilla

Renato Alvarez-Nodarse

http://euler.us.es/˜renato/clases.html

Renato Alvarez-Nodarse Metodos Matematicos: Analisis Funcional

Espacios euclıdeos

¿Que son esos espacios de Hilbert?

David Hilbert

Espacios euclıdeos

¿Que son esos espacios de Hilbert?

David Hilbert

Espacios euclıdeos

Para relajarnos un poco ...

Espacios euclıdeos

Para relajarnos mas aun ...

Espacios euclıdeos

Definicion

Se dice que un espacio vectorial E es un espacio euclıdeo si dadosdos elementos cualesquiera x , y ∈ E existe un numero denominadoproducto escalar y que denotaremos por 〈x , y〉 tal que

1 Para todo x , y ∈ E, 〈x , y〉 = 〈y , x〉.2 Para todo x , y , z ∈ E, 〈x + y , z〉 = 〈x , z〉+ 〈y , z〉.3 Para todo x , y ∈ E y λ ∈ C, 〈λx , y〉 = λ〈x , y〉4 Para todo x ∈ E, x 6= 0, 〈x , x〉 > 0 y si 〈x , x〉 = 0, entonces

x = 0.

Espacios euclıdeos

Espacios euclıdeos: Ejemplos

F Cn con el prod. escalarL: x = (x1, . . . , xn), e y = (y1, . . . , yn)

〈x , y〉 =n∑

xkyk .

Obviamente este es un espacio de dimension finita.

F l2, el espacio de las sucesiones (xn)n tales que∑∞

k=1 |xk |2 <∞,donde si x = (x1, x2, . . . , xn, . . .), e y = (y1, y2, . . . , yn, . . .)

〈x , y〉 =∞∑k=1

xkyk .

De la desigualdad de Holder ⇒ el p.e. esta bien definido.

F C[a,b] (que denotaremos por C 2[a,b]) de las funciones continuas

en [a, b] cerrado y acotado con el siguiente producto escalar

〈f , g〉 =

af (x)g(x)dx .

Espacios euclıdeos

〈x , y〉 =n∑

xkyk .

〈x , y〉 =∞∑k=1

xkyk .

〈f , g〉 =

af (x)g(x)dx .

Espacios euclıdeos

〈x , y〉 =n∑

xkyk .

〈x , y〉 =∞∑k=1

xkyk .

〈f , g〉 =

af (x)g(x)dx .

Espacios euclıdeos

Espacios euclıdeos: Propiedades

Ejercicio

Prueba que como consecuencia de la definicion anterior se tieneque

1 Para todos x , y , z ∈ E, 〈x , y + z〉 = 〈x , y〉+ 〈x , z〉.2 Para todos x , y ∈ E y λ ∈ C, 〈x , λy〉 = λ〈x , y〉.3 Para todo x ∈ E, 〈x , 0〉 = 〈0, x〉 = 0.

4 Si 〈x , z〉 = 〈y , z〉 para todos los z ∈ E, entonces x = y .

Teorema (Cauchy-Schwarz)

Sea E un espacio euclıdeo. Entonces para todos f , g ∈ E,

|〈f , g〉|2 ≤ 〈f , f 〉〈g , g〉. (1)

Espacios euclıdeos

Espacios euclıdeos: Propiedades

Ejercicio

Prueba que como consecuencia de la definicion anterior se tieneque

1 Para todos x , y , z ∈ E, 〈x , y + z〉 = 〈x , y〉+ 〈x , z〉.2 Para todos x , y ∈ E y λ ∈ C, 〈x , λy〉 = λ〈x , y〉.3 Para todo x ∈ E, 〈x , 0〉 = 〈0, x〉 = 0.

4 Si 〈x , z〉 = 〈y , z〉 para todos los z ∈ E, entonces x = y .

Teorema (Cauchy-Schwarz)

Sea E un espacio euclıdeo. Entonces para todos f , g ∈ E,

|〈f , g〉|2 ≤ 〈f , f 〉〈g , g〉. (1)

Espacios euclıdeos

Espacios euclıdeos y espacios normados

Teorema

Todo espacio euclıdeo E es normado si en el definimos la normamediante la formula ‖f ‖ =

√〈f , f 〉. Ademas, |〈f , g〉| ≤ ‖f ‖ · ‖g‖.

Demostracion: 1 y 2 son triviales. Probemos el tercero: que

‖f + g‖2 = 〈f + g , f + g〉 = 〈f , f 〉+ 2<(〈f , g〉) + 〈g , g〉≤ 〈f , f 〉+ 2|〈f , g〉|+ 〈g , g〉≤ 〈f , f 〉+ 2

√〈f , f 〉〈g , g〉+ 〈g , g〉

= (√〈f , f 〉+

√〈g , g〉)2,

Todo espacio euclıdeo E es un espacio metrico con la metricainducida por el producto escalar mediante la formula

ρ(x , y) = ‖x − y‖ =√〈x − y , x − y〉.

Espacios euclıdeos

Espacios euclıdeos y espacios normados

Teorema

Todo espacio euclıdeo E es normado si en el definimos la normamediante la formula ‖f ‖ =

√〈f , f 〉. Ademas, |〈f , g〉| ≤ ‖f ‖ · ‖g‖.

Demostracion: 1 y 2 son triviales. Probemos el tercero: que

‖f + g‖2 = 〈f + g , f + g〉 = 〈f , f 〉+ 2<(〈f , g〉) + 〈g , g〉≤ 〈f , f 〉+ 2|〈f , g〉|+ 〈g , g〉≤ 〈f , f 〉+ 2

√〈f , f 〉〈g , g〉+ 〈g , g〉

= (√〈f , f 〉+

√〈g , g〉)2,

Todo espacio euclıdeo E es un espacio metrico con la metricainducida por el producto escalar mediante la formula

ρ(x , y) = ‖x − y‖ =√〈x − y , x − y〉.

Espacios euclıdeos

Espacios euclıdeos y espacios metricos. Espacios de Hilbert

En Cn tenemos que la norma inducida es ‖x‖ =

√√√√ n∑k=1

|xk |2

En l2, ‖x‖ =

√√√√ ∞∑k=1

|xk |2,

En C[a,b] la norma viene dada por ‖f ‖ =

√∫ b

a|f (x)|2dx .

Ejercicio

Prueba que, en la norma inducida por el producto escalar, lasoperaciones adicion de vectores, multiplicacion por un escalar yproducto escalar de vectores son continuas, i.e., si xn

n→∞−→ x ,yn

n→∞−→ y y αnn→∞−→ α, entonces xn + yn

n→∞−→ x + y ,αnxn

n→∞−→ αx , y 〈xn, yn〉n→∞−→ 〈x , y〉.

Espacios euclıdeos

Espacios euclıdeos y espacios metricos. Espacios de Hilbert

En Cn tenemos que la norma inducida es ‖x‖ =

√√√√ n∑k=1

|xk |2

En l2, ‖x‖ =

√√√√ ∞∑k=1

|xk |2,

En C[a,b] la norma viene dada por ‖f ‖ =

√∫ b

a|f (x)|2dx .

Ejercicio

Prueba que, en la norma inducida por el producto escalar, lasoperaciones adicion de vectores, multiplicacion por un escalar yproducto escalar de vectores son continuas, i.e., si xn

n→∞−→ x ,yn

n→∞−→ y y αnn→∞−→ α, entonces xn + yn

n→∞−→ x + y ,αnxn

n→∞−→ αx , y 〈xn, yn〉n→∞−→ 〈x , y〉.

Espacios euclıdeos

Espacios de Hilbert

Definicion

Un espacio euclıdeo E completo se denomina espacio de Hilbert ylo denotaremos por H.

Definicion

Sea el sistema de vectores (φn)n (finito o infinito) de un espacioeuclıdeo E. Diremos que (φn)∞n=1 es un sistema ortogonal dos ados si

〈φn, φm〉 = δn,m‖φn‖2. (2)

Si ademas ‖φn‖ = 1 para todo n ∈ N, se dice que el sistema esortonormal.

Espacios euclıdeos

Espacios de Hilbert

Definicion

Un espacio euclıdeo E completo se denomina espacio de Hilbert ylo denotaremos por H.

Definicion

Sea el sistema de vectores (φn)n (finito o infinito) de un espacioeuclıdeo E. Diremos que (φn)∞n=1 es un sistema ortogonal dos ados si

〈φn, φm〉 = δn,m‖φn‖2. (2)

Si ademas ‖φn‖ = 1 para todo n ∈ N, se dice que el sistema esortonormal.

Espacios euclıdeos

Espacios de Hilbert

Por ejemplo, el sistema de los vectores canonicos de Cn (ek)nk=1,definido por

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0),e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0),

...en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1).

es un sistema ortonormal. Analogamente, el sistema (ek)nk=1,definido por

e1 = (1, 0, 0, 0, . . . ),e2 = (0, 1, 0, 0, . . . ),en = (0, 0, 1, 0 . . . ),

es un sistema ortonormal de l2.

Espacios euclıdeos

Espacios Hilbert

Ejercicio

Prueba que si los vectores x1, . . . , xn de un espacio euclıdeo sonortogonales, entonces son linealmente independientes.

Teorema (Gram-Schmidt)

En un espacio de Hilbert H de cualquier conjunto de vectoreslinealmente independiente se puede construir un conjunto devectores ortonormales (ortogonales).

Idea: Escogemos ψ1 = φ1 y luego, ∀k ≥ 2,

ψn = φn +n−1∑k=1

αn,kψk ,

donde αn,k , n ∈ N, k = 1, . . . , n − 1 sean tales que 〈ψn, φk〉 = 0∀k = 1, 2, . . . , n − 1.

Espacios euclıdeos

Espacios Hilbert

Ejercicio

ψn = φn +n−1∑k=1

αn,kψk ,

Espacios euclıdeos

Espacios Hilbert

Ejercicio

ψn = φn +n−1∑k=1

αn,kψk ,

Espacios euclıdeos

Espacios Hilbert

Del proceso anterior ⇒ ∀n ≥ 1,

ψn = φn +n−1∑k=1

αn,k ψk ⇒ φn = ψn +n−1∑k=1

βn,k ψk ⇒

〈ψk , ψn〉 = 0, ∀k = 0, 1, . . . n−1⇔ 〈φk , ψn〉 = 0, ∀k = 0, 1, . . . n−1.

Usando lo anterior tenemos:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈φ1, φ1〉〈φ1, φ2〉 · · · 〈φ1, φn−1〉 φ1〈φ2, φ1〉〈φ2, φ2〉 · · · 〈φ2, φn−1〉 φ2

......

. . ....

...〈φn, φ1〉〈φn, φ2〉 · · · 〈φn, φn−1〉 φn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Basta notar que 〈φk , ψn〉 = 0, k = 1, 2, . . . , n − 1.

Espacios euclıdeos

Espacios Hilbert

Del proceso anterior ⇒ ∀n ≥ 1,

ψn = φn +n−1∑k=1

αn,k ψk ⇒ φn = ψn +n−1∑k=1

βn,k ψk ⇒

〈ψk , ψn〉 = 0, ∀k = 0, 1, . . . n−1⇔ 〈φk , ψn〉 = 0, ∀k = 0, 1, . . . n−1.

Usando lo anterior tenemos:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣〈φ1, φ1〉〈φ1, φ2〉 · · · 〈φ1, φn−1〉 φ1〈φ2, φ1〉〈φ2, φ2〉 · · · 〈φ2, φn−1〉 φ2

......

. . ....

...〈φn, φ1〉〈φn, φ2〉 · · · 〈φn, φn−1〉 φn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Basta notar que 〈φk , ψn〉 = 0, k = 1, 2, . . . , n − 1.

Espacios euclıdeos

Espacios de Hilbert separables

Teorema

Si el espacio euclıdeo E es separable, entonces cualquier sistemaortogonal (ortonormal) de E es numerable.

Definicion (Serie de Fourier respecto al sist. ortonormal (φn)∞n=1)

Dado un vector x ∈ H definiremos la serie de Fourier

s :=∞∑n=1

cnφn, cn = 〈x , φn〉, ∀n ≥ 1.

Espacios euclıdeos

Espacios de Hilbert separables: Series de Fourier

Teorema

Sea H el subespacio lineal de H generado por los vectores{φ1, φ2 . . . , φn}, n ∈ N, i.e., H = span (φ1, φ2 . . . , φn). Entonces

mınq∈H||x − q||2 = ||x ||2 −

n∑k=1

|ck |2 = ||x ||2 −n∑

|〈x , φn〉|2

y se alcanza cuando q es la suma parcial de la serie de Fourierq = sn :=

∑nk=1 ckφk .

Definamos gn =∑n

k=1 akφk . Calculamos ‖x − gn‖2

〈x − gk , x − gk〉 = ‖x‖2 −n∑

|ck |2‖φk‖2 +n∑

|ak − ck |2‖φk‖2.

‖x − gn‖2 es mınimo ⇐⇒ ak = ck ∀k ∈ N, i.e., gn = sn.

Espacios euclıdeos

Teorema

Sea H el subespacio lineal de H generado por los vectores{φ1, φ2 . . . , φn}, n ∈ N, i.e., H = span (φ1, φ2 . . . , φn). Entonces

mınq∈H||x − q||2 = ||x ||2 −

n∑k=1

|ck |2 = ||x ||2 −n∑

|〈x , φn〉|2

y se alcanza cuando q es la suma parcial de la serie de Fourierq = sn :=

∑nk=1 ckφk .

Definamos gn =∑n

k=1 akφk . Calculamos ‖x − gn‖2

〈x − gk , x − gk〉 = ‖x‖2 −n∑

|ck |2‖φk‖2 +n∑

|ak − ck |2‖φk‖2.

‖x − gn‖2 es mınimo ⇐⇒ ak = ck ∀k ∈ N, i.e., gn = sn.Renato Alvarez-Nodarse Metodos Matematicos: Analisis Funcional

Espacios euclıdeos

Como corolario del Teorema tenemos que

In = ‖x − sn‖2 = ‖x‖2 −n∑

|ck |2 ≥ 0, ∀n ∈ N,

luego se tiene la Desigualdad de Bessel∞∑k=1

|ck |2 ≤ ‖x‖2, de donde

se sigue que la serie∑∞

k=1 |ck |2 converge y por tanto

lımn→∞

|cn| = 0.

La serie de Fourier converje a x (en norma) ⇔

‖x‖2 =∞∑k=1

|ck |2 =∞∑k=1

|〈x , φn〉|2.

Esta igualdad se denomina comunmente igualdad de Parseval yes, en general, muy complicada de comprobar.

Espacios euclıdeos

Como corolario del Teorema tenemos que

In = ‖x − sn‖2 = ‖x‖2 −n∑

|ck |2 ≥ 0, ∀n ∈ N,

luego se tiene la Desigualdad de Bessel∞∑k=1

|ck |2 ≤ ‖x‖2, de donde

se sigue que la serie∑∞

k=1 |ck |2 converge y por tanto

lımn→∞

|cn| = 0.

La serie de Fourier converje a x (en norma) ⇔

‖x‖2 =∞∑k=1

|ck |2 =∞∑k=1

|〈x , φn〉|2.

Esta igualdad se denomina comunmente igualdad de Parseval yes, en general, muy complicada de comprobar.

Espacios euclıdeos

Definicion

Se dice que un sistema de vectores l.i. (φn)n es completo enX ⊂ H si ∀x ∈ X ⊂ H y ∀ε > 0 existe una combinacion lineal ln,

ln =n∑

αkφk tal que ‖x − ln‖ < ε .

En otras palabras cualquier vector x ∈ X ⊂ H se puede aproximaren norma tanto como se quiera mediante alguna combinacionfinita de vectores del sistema (φn)n.

Definicion

Un sistema ortogonal (ortonormal) completo de X ⊂ H sedenomina base ortogonal (ortonormal) de X ⊂ H.

Ejemplos: Los sist. (ek)k , ek = δi ,k son bases completas de Cn y l2.

Espacios euclıdeos

Teorema

Sea H un espacio de Hilbert y sea el sistema ortonormal de vectores(φn)∞n=1 de H. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1 (φn)n es completo en X ⊂ H.

2 Para todo x ∈ X ⊂ H, x =∞∑k=1

〈x , φk〉φk .

3 Para todo x ∈ X ⊂ H, se cumple la igualdad de Parseval

‖x‖2 =∞∑k=1

|〈x , φk〉|2.

4 Si 〈x , φk〉 = 0 para todo k ∈ N entonces x = 0.

La equivalencia entre 1 y 2, ası como las implicaciones 2→ 3→ 4,son ciertas para cualquier espacio euclıdeo (no neces. completo).

Espacios euclıdeos

Corolario

Sea el sistema ortonormal completo (φn)n y sean x , y ∈ X ⊂ Htales que 〈x , φk〉 = 〈y , φk〉 para todo k ∈ N, entonces x = y .

En otras palabras, dos elementos de H con iguales coeficientes deFourier son iguales, por tanto cualquier vector de H quedabiunıvocamente determinado por sus coeficientes de Fourier.

Definicion

Se dice que un sistema ortonormal (φn)n es cerrado en un espacioeuclıdeo E si para todo vector x ∈ E se cumple la igualdad deParseval

∞∑k=1

|ck |2 =∞∑k=1

|〈x , φk〉|2 = ‖x‖2.

Cosecuencia: (φn)n es completo en H ⇔ (φn)n es cerrado en H.

Espacios euclıdeos

Corolario

Sea el sistema ortonormal completo (φn)n y sean x , y ∈ X ⊂ Htales que 〈x , φk〉 = 〈y , φk〉 para todo k ∈ N, entonces x = y .

En otras palabras, dos elementos de H con iguales coeficientes deFourier son iguales, por tanto cualquier vector de H quedabiunıvocamente determinado por sus coeficientes de Fourier.

Definicion

Se dice que un sistema ortonormal (φn)n es cerrado en un espacioeuclıdeo E si para todo vector x ∈ E se cumple la igualdad deParseval

∞∑k=1

|ck |2 =∞∑k=1

|〈x , φk〉|2 = ‖x‖2.

Cosecuencia: (φn)n es completo en H ⇔ (φn)n es cerrado en H.

Espacios euclıdeos

Teorema

Todo espacio de Hilbert H separable tiene una base ortonormal.

Este teorema se puede generalizar a cualquier esp. euc. separable.

Teorema (Riesz-Fischer)

Sea (φn)n un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert H y

sean los numeros c1, c2, . . . , cn, . . . tales que∞∑n=1

|cn|2 < +∞.

Entonces, existe un elemento x ∈ H cuyos coeficientes de Fourierson precisamente los numeros c1, c2, . . . , cn, . . . , i.e.,

∞∑n=1

|cn|2 = ‖x‖2, cn = 〈x , φn〉.

Espacios euclıdeos

Teorema

Todo espacio de Hilbert H separable tiene una base ortonormal.

Este teorema se puede generalizar a cualquier esp. euc. separable.

Teorema (Riesz-Fischer)

Sea (φn)n un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert H y

sean los numeros c1, c2, . . . , cn, . . . tales que∞∑n=1

|cn|2 < +∞.

Entonces, existe un elemento x ∈ H cuyos coeficientes de Fourierson precisamente los numeros c1, c2, . . . , cn, . . . , i.e.,

∞∑n=1

|cn|2 = ‖x‖2, cn = 〈x , φn〉.

Espacios euclıdeos

Definicion

Una aplicacion U entre dos espacios de Hilbert H y H∗ sedenomina unitaria si U es lineal, biyectiva y preserva el productoescalar, i.e.a,

〈x , y〉 = 〈Tx ,Ty〉∗ = 〈x∗, y∗〉∗.

Los espacios H y H∗ son isomorfos si existe una aplicacion unitariaU T : H 7→ H∗ tal que x∗ = Tx, donde x ∈ H y x∗ ∈ H∗.

aSe entiende que 〈·, ·〉∗ denota el producto escalar en H∗ que no tiene porque ser el mismo que en H.

Teorema (del isomorfismo)

Cualquier espacio de Hilbert separable H es isomorfo a Cn o a l2.

Espacios euclıdeos

Definicion

Una aplicacion U entre dos espacios de Hilbert H y H∗ sedenomina unitaria si U es lineal, biyectiva y preserva el productoescalar, i.e.a,

〈x , y〉 = 〈Tx ,Ty〉∗ = 〈x∗, y∗〉∗.

Los espacios H y H∗ son isomorfos si existe una aplicacion unitariaU T : H 7→ H∗ tal que x∗ = Tx, donde x ∈ H y x∗ ∈ H∗.

aSe entiende que 〈·, ·〉∗ denota el producto escalar en H∗ que no tiene porque ser el mismo que en H.

Teorema (del isomorfismo)

Cualquier espacio de Hilbert separable H es isomorfo a Cn o a l2.

Espacios euclıdeos

Teorıa Espectral

Definicion

Sea la aplicacion lineal A : E 7→ E′, E, E′ espacios euclıdeos. Siexiste el operador lineal A∗ : E′ 7→ E tal que para todo x ∈ E ey ∈ E′

〈Ax , y〉′ = 〈x ,A∗y〉,

lo denominaremos adjunto de A.

Por sencillez asumiremos E′ = E.

Ejemplos: Los operadores desplazamiento y multiplicacion.

Teorema

Sea la aplicacion lineal A : H 7→ H′, H, H′ espacios de Hilbert.Entonces existe un unico operador A∗ : H′ 7→ H adjunto a A.

Espacios euclıdeos

Teorıa Espectral

Definicion

Sea la aplicacion lineal A : E 7→ E′, E, E′ espacios euclıdeos. Siexiste el operador lineal A∗ : E′ 7→ E tal que para todo x ∈ E ey ∈ E′

〈Ax , y〉′ = 〈x ,A∗y〉,

lo denominaremos adjunto de A.

Por sencillez asumiremos E′ = E.

Ejemplos: Los operadores desplazamiento y multiplicacion.

Teorema

Sea la aplicacion lineal A : H 7→ H′, H, H′ espacios de Hilbert.Entonces existe un unico operador A∗ : H′ 7→ H adjunto a A.

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Teorıa Espectral: Dimension finita

Supongamos que H es un espacio de Hilbert de dimension finita.Entonces H es isomorfo a Cn. Sea (ek)k una base de H ⇒

x =n∑

xkek =⇒ y = Ax =n∑

xkAek .

Supongamos que Aek =n∑

ai ,kei =⇒

y =n∑

ai ,kxk

n∑i=1

yiei =⇒ yi =n∑

ai ,kxk , i = 1, 2, . . . n.

I.e., si consideramos los vectores x , y ∈ Cn con coordenadas xi , yi ,i = 1, . . . , n, respectivamente, entonces el operador A se puederepresentar como una matriz A = (ai ,j)

ni ,j=1, i.e., tenemos la

aplicacion A : Cn 7→ Cn, y = Ax .Renato Alvarez-Nodarse Metodos Matematicos: Analisis Funcional

Espacios euclıdeos

Teorıa Espectral

Ejercicio

Prueba que la matriz de la aplicacion identidad es la matrizidentidad.

Lo anterior se puede generalizar al caso de dimension infinita, soloque en este caso la matriz serıa una matriz infinita

a1,1 a1,2 a1,3 · · · a1,n · · ·a2,1 a2,2 a2,3 · · · a2,n · · ·a3,1 a3,2 a3,3 · · · a3,n · · ·

......

.... . .

... · · ·an,1 an,2 an,3 · · · an,n · · ·

......

.... . .

Espacios euclıdeos

Teorıa Espectral

Ejercicio

Prueba que la matriz de la aplicacion identidad es la matrizidentidad.

Lo anterior se puede generalizar al caso de dimension infinita, soloque en este caso la matriz serıa una matriz infinita

a1,1 a1,2 a1,3 · · · a1,n · · ·a2,1 a2,2 a2,3 · · · a2,n · · ·a3,1 a3,2 a3,3 · · · a3,n · · ·

......

.... . .

... · · ·an,1 an,2 an,3 · · · an,n · · ·

......

.... . .

Espacios euclıdeos

Aplicaciones inversas

Definicion

Sea el operador lineal A : X 7→ Y, X e Y espacios de Banach.Diremos que A es invertible si existe un operador B, A : Y 7→ X talque AB = IY, BA = IX.

Para el caso de dimension finita, existira el inverso de A sidimX = dimY y la matriz correspondiente sera la matriz inversade A.

En dimension infinita la situacion es algo mas complicada. Porejemplo, el operador desplazamiento S cumple con S∗S = I peroSS∗ 6= I , luego S no tiene inverso.

Espacios euclıdeos

Aplicaciones inversas

Definicion

Sea el operador lineal A : X 7→ Y, X e Y espacios de Banach.Diremos que A es invertible si existe un operador B, A : Y 7→ X talque AB = IY, BA = IX.

Para el caso de dimension finita, existira el inverso de A sidimX = dimY y la matriz correspondiente sera la matriz inversade A.

En dimension infinita la situacion es algo mas complicada. Porejemplo, el operador desplazamiento S cumple con S∗S = I peroSS∗ 6= I , luego S no tiene inverso.

Espacios euclıdeos

Teorıa Espectral

Teorema

Sea el operador lineal A : X 7→ X, X espacio de Banach. Si‖A‖ < 1, entonces I − A es invertible y (en norma)

(I − A)−1 =∞∑k=0

Generalizacion: Sea A : X 7→ X con ‖A‖ < |λ|. Entonces eloperador λI − A es invertible y

(λI − A)−1 =∞∑k=0

λk+1, ‖(λI − A)−1‖ ≤ 1

|λ| − ‖A‖.

En adelante denotaremos por L(X) el conjunto de todos losoperadores lineales en X, i.e., A : X 7→ X, X espacio de Banach.Recordemos que dicho espacio L(X) es un espacio de Banach(respecto a la norma de los operadores).

Espacios euclıdeos

Teorıa Espectral

Teorema

(I − A)−1 =∞∑k=0

(λI − A)−1 =∞∑k=0

λk+1, ‖(λI − A)−1‖ ≤ 1

|λ| − ‖A‖.

Espacios euclıdeos

Teorıa Espectral

Teorema

(I − A)−1 =∞∑k=0

(λI − A)−1 =∞∑k=0

λk+1, ‖(λI − A)−1‖ ≤ 1

|λ| − ‖A‖.

Espacios euclıdeos

Teorıa Espectral

Definicion

Un operador lineal A : X 7→ Y, X e Y espacios de Banach escompacto para toda sucesion acotada (xn)n de X, la sucesion(Axn)n de Y tiene una subsucesion convergente.

Si A es compacto, A es acotado pues sino existirıa una sucesionacotada (xn)n tal que ‖Axn‖

n→∞−→ ∞ y entonces la sucesion (Axn)nno tendrıa una subsucesion convergente.

Ejemplos: A : H 7→ H, H con dimH = n, es compacto. Endimension infinita el operador identidad no es compacto.

Definicion

Un operador A : H 7→ H, H espacio de Hilbert, se llama hermıticoo autoadjunto si A = A∗, i.e.,

〈Ax , y〉 = 〈x ,A∗y〉, ∀x , y ∈ H.

Espacios euclıdeos

Teorıa Espectral

Definicion

Un operador lineal A : X 7→ Y, X e Y espacios de Banach escompacto para toda sucesion acotada (xn)n de X, la sucesion(Axn)n de Y tiene una subsucesion convergente.

Si A es compacto, A es acotado pues sino existirıa una sucesionacotada (xn)n tal que ‖Axn‖

n→∞−→ ∞ y entonces la sucesion (Axn)nno tendrıa una subsucesion convergente.

Ejemplos: A : H 7→ H, H con dimH = n, es compacto. Endimension infinita el operador identidad no es compacto.

Definicion

Un operador A : H 7→ H, H espacio de Hilbert, se llama hermıticoo autoadjunto si A = A∗, i.e.,

〈Ax , y〉 = 〈x ,A∗y〉, ∀x , y ∈ H.

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Teorıa Espectral: Espectro de un operador

En un espacio de dimension finita podemos definir el espectrode un operador como el conjunto de los autovalores de sucorrespondiente matriz (en alguna base i.e., es el conjunto de losnumeros complejos λ tales que

Ax = λx , x 6= 0.

Puesto que para cualquier matriz n× n existen n autovalores, en elcaso finito es relativamente simple de estudiar.

El caso infinito es mucho mas complicado. Por ejemplo eloperador desplazamiento ya visto antes

S : l2 7→ l2, S(x1, x2, x3, . . .) = (0, x1, x2, . . .),

no tiene autovalores pues la igualdad Sx = λx implica x = 0.

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Teorıa Espectral

Definicion

Sea X un espacio de Banach y A una aplicacion lineal A : X 7→ X.El espectro de A, que denotaremos por σ(A) es el conjunto denumeros complejos tales que el operador (λI − A) es noinvertible, i.e., no existe (λI − A)−1.

Ejercicio

Prueba que en dimension finita σ(A) es el conjunto de todos losautovalores.

Teorema

σ(A) es un compacto de C (conjunto cerrado y acotado de C)contenido en el interior del disco cerrado D = {z ; |z | ≤ ‖A‖}.

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Teorıa Espectral

Definicion

Sea X un espacio de Banach y A una aplicacion lineal A : X 7→ X.El espectro de A, que denotaremos por σ(A) es el conjunto denumeros complejos tales que el operador (λI − A) es noinvertible, i.e., no existe (λI − A)−1.

Ejercicio

Prueba que en dimension finita σ(A) es el conjunto de todos losautovalores.

Teorema

σ(A) es un compacto de C (conjunto cerrado y acotado de C)contenido en el interior del disco cerrado D = {z ; |z | ≤ ‖A‖}.

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Teorıa Espectral

Teorema

Sea H un espacio de Hilbert y A una aplicacion lineal A : H 7→ Hautoadjunta. Entonces todos los autovalores de A (si los tiene) sonreales. Ademas los autovectores correspondientes son ortogonales.

En dimension infinita un operador lineal A puede no tenerautovalores. No ocurre ası con los op. compactos y autoadjuntos.

Teorema

Sea A un operador compacto en un espacio de Hilbert y (φn)n unasucesion ortonormal de H. Entonces lımn→∞ Aφn = 0.

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Teorıa Espectral

Teorema

Sea H un espacio de Hilbert y A una aplicacion lineal A : H 7→ Hautoadjunta. Entonces todos los autovalores de A (si los tiene) sonreales. Ademas los autovectores correspondientes son ortogonales.

En dimension infinita un operador lineal A puede no tenerautovalores. No ocurre ası con los op. compactos y autoadjuntos.

Teorema

Sea A un operador compacto en un espacio de Hilbert y (φn)n unasucesion ortonormal de H. Entonces lımn→∞ Aφn = 0.

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Teorıa Espectral

Demostracion: Supongamos que el teorema es falso, entonces paraalgun ε > 0 ha de existir una subsucesion (φkn)n tal que‖Aφkn‖ > ε para todo n ∈ N. Como A es compacto y la sucesion(φkn)n es acotada, entonces hay al menos una subsucesionconvergente (φmn)n tal que lımn→∞ Aφmn = ψ 6= 0. Entonces

0 6= ‖ψ‖2 = 〈ψ,ψ〉 = lımn→∞〈Aφmn , ψ〉 = lım

n→∞〈φmn ,A

∗ψ〉 = 0,

pues A∗ψ ∈ H y por tanto 〈φmn ,A∗ψ〉 es, escencialmente, el mn

coeficiente de Fourier cmn de A∗ψ el cual sabemos que tiende acero si n→∞. 2

Teorema

Sea H un espacio de Hilbert y A una aplicacion lineal A : H 7→ Hautoadjunta y compacta. Entonces λ = ‖A‖ o λ = −‖A‖ es unautovalor de A.

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Teorıa Espectral

Demostracion: Supongamos que el teorema es falso, entonces paraalgun ε > 0 ha de existir una subsucesion (φkn)n tal que‖Aφkn‖ > ε para todo n ∈ N. Como A es compacto y la sucesion(φkn)n es acotada, entonces hay al menos una subsucesionconvergente (φmn)n tal que lımn→∞ Aφmn = ψ 6= 0. Entonces

0 6= ‖ψ‖2 = 〈ψ,ψ〉 = lımn→∞〈Aφmn , ψ〉 = lım

n→∞〈φmn ,A

∗ψ〉 = 0,

pues A∗ψ ∈ H y por tanto 〈φmn ,A∗ψ〉 es, escencialmente, el mn

coeficiente de Fourier cmn de A∗ψ el cual sabemos que tiende acero si n→∞. 2

Teorema

Sea H un espacio de Hilbert y A una aplicacion lineal A : H 7→ Hautoadjunta y compacta. Entonces λ = ‖A‖ o λ = −‖A‖ es unautovalor de A.

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Teorıa Espectral

Del teorema anterior se sigue que todo operador compacto yautoadjunto tiene siempre al menos un autovalor. De hecho setiene el siguiente teorema:

Teorema

Sea H un espacio de Hilbert separable y A una aplicacion linealA : H 7→ H autoadjunta y compacta. Entonces A tiene un numerofinito de autovalores λn reales distintos o si es infinito, entonces, esnumerable y si lo ordenamos de mayor a menor λn

n→∞−→ 0.

Del teorema anterior se sigue ademas que los espaciosker(λk I −A), para cada λk , k = 1, 2, 3, . . . son de dimension finita.

Y ası hemos llegado al ...

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Teorıa Espectral

Del teorema anterior se sigue que todo operador compacto yautoadjunto tiene siempre al menos un autovalor. De hecho setiene el siguiente teorema:

Teorema

Sea H un espacio de Hilbert separable y A una aplicacion linealA : H 7→ H autoadjunta y compacta. Entonces A tiene un numerofinito de autovalores λn reales distintos o si es infinito, entonces, esnumerable y si lo ordenamos de mayor a menor λn

n→∞−→ 0.

Del teorema anterior se sigue ademas que los espaciosker(λk I −A), para cada λk , k = 1, 2, 3, . . . son de dimension finita.

Y ası hemos llegado al ...

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Teorema Espectral

Teorema (Teorema espectral)

Sea H un espacio de Hilbert y A una aplicacion lineal A : H 7→ Hautoadjunta y compacta. Existe una sucesion numerable deautovect. ortonormales (xn)n de H cuya correspondiente sucesionde autoval. denotaremos por (λn)n t.q.

Ax =∑n

λn〈x , xn〉xn, ∀x ∈ H =⇒ (?)

1 En (?) aparecen todos los autovalores de A.

2 Si la sucesion (λn)n es infinita se puede reordenar de formaque λn

n→∞−→ 0.

3 Los correspondientes espacios ker(λnI − A), para todon = 1, 2, 3, . . . son de dimension finita, siendo la dimension deestos el No de veces que aparece un mismo λk en (?).

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Teorema espectral

Corolario

Sea H un espacio de Hilbert separable y A una aplicacion linealA : H 7→ H autoadjunta y compacta. Entonces existe un sistemaortogonal completo (base ortonormal) de autovectoresortonormales (en)n de H consistente en los correspondientesautovectores de A. Ademas,

Ax =∑n

λn〈x , en〉en, ∀x ∈ H,

donde (λn)n es la sucesion de autovalores asociados a (en)n.

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Teorema espectral

Del Teo. esp. se sique que ∃ un conjunto de autovec. (φn)n t.q.

Ax =∑n

λn〈x , φn〉φn, ∀x ∈ H. (3)

Asumamos que λn 6= 0 (¿por que?). ker A ⊂ H es un espacio deHilbert separable (¿por que?) ⇒ existira una sistema (numerable)ortogonal completo que denotaremos por (ψn)n y como ker Acoincide con el subespacio vectorial generado por los autovec.corresp. a λ = 0 ⇒ (ψn)n son autovec. corresp. al autovalor 0.

Sea ahora un autovector cualquiera φm correspondiente alautovalor λm 6= 0 (Aφm = λmφm). Entonces φm sera ortogonal atodos los ψn y el sistema (φm)m sera ortogonal a (ψn)n. Ademasde (3) se tiene que para todo x ∈ H

(x −

〈x , φm〉φm

)= Ax −

〈x , φm〉Aφm = 0,

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Teorema espectral

i.e., x −∑

m〈x , φm〉φm ∈ ker A, luego podemos desarrollarlo enserie de Fourier en la base de ker A (ψn)n de forma que obtenemos

x −∑m

〈x , φm〉φm =∑n

〈x , ψn〉ψn =⇒

x =∑m

〈x , φm〉φm +∑n

〈x , ψn〉ψn ∀x ∈ H,

i.e., el sistema (φm)m⋃

(ψn)n es completo que podemosortogonalizar utilizando el metodo de Gram-Schmidt obteniendo elsistema ortonormal (numerable) (en)n (recordemos que paraautovectores correspondientes a autovalores distintos ya tenıamosla ortogonalidad, ası que solo es necesario aplicarlo a losautovectores correspondientes a un mismo autovalor), luegotendremos x =

∑n〈x , en〉en de donde se sigue el teorema.

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Consecuencia del Teorema espectral

El lenguaje que describe al mundo microscopico, i.e., laMecanica Cuantica, es el lenguaje de los espacios de Hilbert.

IA cada sistema fısico se le hace corresponder un espacio deHilbert H apropiado (separable). El estado del sistema quedacaracterizado por un vector de H.

ILas cantidades que podemos medir son operadoresautoadjuntos en H.

IEl resultado de una medicion solo puede ser un autovalor delcorrespondiente operador.

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m etodos matem aticos: an alisis funcionalrenato/clases/aa-af/beamer-ana-fun-hilbert.pdf · un...

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