Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ciencia

Departamento de Matemtica y Ciencias de la Computacin MMMMTODOS TODOS TODOS TODOS ITERATIVOS Y ITERATIVOS Y ITERATIVOS Y ITERATIVOS Y DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALESDIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALESDIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALESDIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES Profesor: Jaime lvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre

Ejercicios:Ejercicios:Ejercicios:Ejercicios: 1) Considere el siguiente sistema lineal:

"3 1 12 3 00 1 2' ()*+, - "

102' a) Muestre que el algoritmo de Gauss- Jacobi es convergente. b) Muestre que el algoritmo de Gauss-Seidel es convergente. (indicacin: Muestre que A es e.d.d. y que 9:;9 < 1). c) Considere )=(>) - (0 0 0)? como vector de inicio. Calcule el vector )=(@) para el mtodo de Gauss-Jacobi. d) Calcule el vector )=(@) para el mtodo de Gauss-Seidel. Sol: a) Para que la matriz A sea estrictamente diagonal dominante (e.d.d.) se debe cumplir que:

|EFF| G H |EF;|I;JK;LF

Entonces: M EKK - |3| G |1| N |1| - 2 ; 3 G 2E@@ - |3| G |2| N |0| - 2 ; 3 G 2 EPP - |2| G |1| N |0| - 1 ; 2 G 1Q Por lo tanto A es e.d.d., entonces existe su inversa

El sistema lineal se puede escribir de la forma A*)=-b, siendo A- (DNENF), donde: D: Matriz Diagonal de A. E: Matriz Triangular Inferior de A, con su Diagonal Nula. F: Matriz Triangular Superior de A, con su Diagonal Nula. Entonces: (DNENF))=-b D)=N (ENF))=-b /*XYK )=(Z[K) - \XYK(ENF))=(Z) N XYK] )=(Z[K) - :;)=(Z) N ;^ con :; - \XYK(ENF) y ;^ - XYK]. Para que el algoritmo de Jacobi sea convergente 9:;9 < 1 . (Norma inducida- {1 }) Entonces se tiene que:

X - "3 0 00 3 00 0 2' ; XYK - "1/3 0 00 1/3 00 0 1/2' ; b - "

0 0 02 0 00 1 0' ; c - "0 1 10 0 00 0 0' ; b="

102'

:; - \XYK6b N c. - \ "1/3 0 00 1/3 00 0 1/2' d e"0 0 02 0 00 1 0' N "

0 1 10 0 00 0 0'f

:; - " 0 \1/3 \1/3\2/3 0 00 1/2 0 ' Las Normas son: 9:;9g - @P < 1 9:;9K - hi < 1 Como 9:;9 < 1 , entonces el algoritmo de Jacobi es convergente. b. El sistema lineal se puede escribir de la forma A*)=-b, siendo A- 6DNENF., donde: Entonces: 6DNENF.)=-b 6DNE.)=N F)=-b /*6X N b.YK )=6Z[K. - \6X N b.YKF)=6Z. N 6X N b.YK] )=6Z[K. - :j)=6Z. N j^ ; con :k - \6X N b.YKc y k^ - 6X N b.YK]. Para que el algoritmo de Seidel sea convergente l:kl < 1. 6Norma inducida- {1 }. Entonces se tiene que: 6X N b. - "3 0 02 3 00 1 2' ; 6X N b.

\1 - " 1/3 0 0\2/9 1/3 01/9 \1/6 1/2'; c - "0 1 10 0 00 0 0'; b="

102'

:k - \6X N b.YKc-\ " 1/3 0 0\2/9 1/3 01/9 \1/6 1/2' * "0 1 10 0 00 0 0'

:k - "0 \1/3 \1/30 2/9 2/90 \1/9 \1/9' Las Normas son: l:klg - @P < 1 l:klK - @P < 1 Como l:kl < 1 , entonces el algoritmo de Seidel es convergente.

c. Para calcular la segunda iteracin 6vector )=6@.. del mtodo de Gauss-Jacobi con )=6>. - 60 0 0.? , se debe ocupar el algoritmo: X)=6Z[K. - \ 6ENF.)=6Z. N b 6Sin Calcular la inversa de D. )=6Z[K. - \XYK6ENF.)=6Z. N XYK] 6Con el clculo de la inversa de D. Aplicaremos los 2 casos. Para el Caso1: X)=(Z[K) = \ (E+F))=(Z) + b, se tiene que:

"3 0 00 3 00 0 2' )pp=(q+1) = \ e"0 0 02 0 00 1 0' + "

0 1 10 0 00 0 0'f )pp=(q) + "102'

"3 0 00 3 00 0 2' )pp=(q+1) = "0 \1 \1\2 0 00 \1 0 ' )pp=(q) + "

102' Con k=0; "3 0 00 3 00 0 2' )pp=(1) = "

0 \1 \1\2 0 00 \1 0 ' )pp=(0) + "102' ; Con )=(>) = "

000' "3 0 00 3 00 0 2' )pp=(1) = "

0 \1 \1\2 0 00 \1 0 ' "000' + "

102' "3 0 00 3 00 0 2' )pp=(1) = "

102' )=(K) = "1/301 ' Con k=1; "3 0 00 3 00 0 2' )pp=(2) = "

0 \1 \1\2 0 00 \1 0 ' )pp=(1) + "102' ; Con )=(K) = "

1/301 ' "3 0 00 3 00 0 2' )pp=(2) = "

0 \1 \1\2 0 00 \1 0 ' "1/301 ' + "

102' "3 0 00 3 00 0 2' )pp=(2) = "

0\2/32 ' )=(@) = " 0\2/91 ' Vector buscado.

Para el Caso2: )=(Z[K) = \XYK(E+F))=(Z) + XYK], se tiene que: )=(Z[K) = \ "3 0 00 3 00 0 2'

\1 e"0 0 02 0 00 1 0' + "0 1 10 0 00 0 0'f )=(Z) + "

3 0 00 3 00 0 2'\1 "102'

)=(Z[K) = "1/3 0 00 1/3 00 0 1/2' "\0 \1 \12 0 00 \1 0 ' )=(Z) + "

1/3 0 00 1/3 00 0 1/2' "102'

Con k=0; )=6K. = "\ 0 \1/3 \1/32/3 0 00 \1/2 0 ' )=6>. N "

1/301 ' ; Con )=6>. = "000'

)=6K. = "\ 0 \1/3 \1/32/3 0 00 \1/2 0 ' "000' N "

1/301 '

)=6K. = "1/301 ' Con k=1; )=6@. = "\ 0 \1/3 \1/32/3 0 00 \1/2 0 ' )=6K. N "

1/301 ' ; Con )=6K. = "1/301 '

)=6@. = "\ 0 \1/3 \1/32/3 0 00 \1/2 0 ' "1/301 ' N "

1/301 '

)=6@. = " 0\2/91 ' Vector buscado.

d. Para calcular la segunda iteracin 6vector )=6@.. del mtodo de Gauss-Seidel con )=6>. = 60 0 0.?, se debe ocupar el algoritmo: 6DNE. )=6Z[K.=\c)=6Z. N ] 6Sin Calcular la inversa de 6DNE.. )=6Z[K. = \6X N b.YKF)=6Z. N 6X N b.YK] 6Con el clculo de la inversa de 6DNE.. Aplicaremos los 2 casos. Para el Caso1: 6DNE. )=6Z[K.=\c)=6Z. N ], se tiene que: "3 0 02 3 00 1 2' )pp=

6qN1. = \ "0 1 10 0 00 0 0' )pp=6q. N "102'

Con k=0; "3 0 02 3 00 1 2' )pp=

61. = "0 \1 \10 0 00 0 0 ' )pp=60. N "102' ; Con )=

6>. = "000' "3 0 02 3 00 1 2' )pp=

61. = "0 \1 \10 0 00 0 0 ' "000' N "

102' "3 0 02 3 00 1 2' )pp=

61. = "102' )=6K. = " 1/3\2/910/9'

Con k=1; "3 0 02 3 00 1 2' )pp=62. = "

0 \1 \10 0 00 0 0 ' )pp=(1) + "102' ; Con )=6K. = "

1/3\2/910/9' "3 0 02 3 00 1 2' )pp=62. = "

0 \1 \10 0 00 0 0 ' s1/3\2/910/9t + "

102' "3 0 02 3 00 1 2' )pp=62. = "

1/902 ' )=6@. = " 1/27\2/8182/81' Vector buscado. Para el Caso2: )=6Z[K. = \6X N b.YKF)=6Z. N 6X N b.YK], se tiene que: )=6Z[K. = \ "3 0 02 3 00 1 2'

\1 "0 1 10 0 00 0 0' )=(Z) + "3 0 02 3 00 1 2'

\1 "102' )=6Z[K. = \ "3 0 02 3 00 1 2'

\1 "0 1 10 0 00 0 0' )=(Z) + "3 0 02 3 00 1 2'

\1 "102' )=6Z[K. = "0 \1/3 \1/30 2/9 2/90 \1/9 \1/9' )=(Z) + "

1/3\2/910/9' Con k=0; )=(K) = "0 \1/3 \1/30 2/9 2/90 \1/9 \1/9' )=(>) + "

1/3\2/910/9' ; Con )=(>) = "000'

)=(K) = "0 \1/3 \1/30 2/9 2/90 \1/9 \1/9' "000' + "

1/3\2/910/9' )=(K) = " 1/3\2/910/9' Con k=1; )=(@) = "0 \1/3 \1/30 2/9 2/90 \1/9 \1/9' )=(K) + "

1/3\2/910/9' ; Con )pp=(1) = "1/3\2/910/9'

)=(@) = "0 \1/3 \1/30 2/9 2/90 \1/9 \1/9' "1/3\2/910/9' + "

1/3\2/910/9' )=(@) = " 1/27\2/8182/81' Vector buscado.

2) Obtener las factorizaciones de Doolittle, Crout y Cholesky para la matriz A=x1 \EE 2 y, en donde a es una constante, E | }~. Sol: La Factorizacin o descomposicin L*U de A, es la multiplicacin entre 2 matriz, siendo L la matriz triangula inferior de A, y U la matriz superior de A. En la Factorizacin de Doolittle la diagonal de L es 1, es decir: = x1 \EE 2 y = 1 0@K 1 xKK K@0 @@y (Descomposicin de Doolittle) 1*KK N 0 d 0 = 1 KK = 1 @K d KK N 1 d 0 = E @K = E 1*K@ N0*@@ = \E K@ = \E @K d K@ + 1 d @@ = 2 @@ =2NE@ Entonces La descomposicin LU 6segn Doolittle. es: A=x1 0E 1y x1 \E0 2 N E@y=L*U En el Factorizacin de Crout la diagonal de U es 1, es decir:

x1 \EE 2 y = KK 0@K @@ x1 K@0 1 y 6Descomposicin de Crout. KK d 1 N 0 d 0 = 1 KK = 1 KK d K@ N 0 d 1 = \E K@ = \E @K d 1 N @@ d 0 = E @K = E @K d K@ + @@ d 1 = 2 @@ = 2 N E@ Entonces La descomposicin LU 6segn Crout. es: A=x1 0E 2 N E@y x1 \E0 1 y=L*U En el Factorizacin de Cholesky la matriz A debe ser simtrica 6A=?. y definida positiva, entonces A tendr una nica factorizacin de la forma A=L*? , donde L es la matriz triangular inferior, es decir: x1 \EE 2 y = KK 0@K @@ KK @K0 @@ (Descomposicin de Crout) Se debe comprobar que A es positiva definida (los sub-determinantes de al matriz son mayores a 0): Det (K) = 1 G 0 Det () = 2 N E@ G 0 , E | }~ Que una matriz sea positiva definida (d.p.) o estrictamente diagonal dominante (e.d.d.), significa que existe la inversa de esa matriz. La matriz A no es simtrica pues A ? , por lo que la factorizacin de Cholesky no puede realizarse. Para comprobar que el mtodo no se puede aplicar, se tendr que:

KK d KK + 0 d 0 = 1 KK = 1 ; KK - \1 @K d KK N @@ d 0 - E @K - E ; @K - \E KK d @K N 0 d @@ - \E @K - \E ; @K - E Se tiene una contradiccin, ya que el despeje arroja que, @K @K. Queda comprobado que la matriz A, al ser positiva definida y no ser simtrica, no se puede aplicar Cholesky. 3) Dada A-"\1 E EE \1 EE E 1', E | }~. a) Obtener los valores de a de modo que la matriz A sea definida positiva. b) Obtener las factorizaciones de Doolittle, Crout y Cholesky para la matriz A. Sol: a) Para que A sea positiva definida, los sub determinantes tienen que ser mayores a 0, entonces: Det (-1)

Para obtener la factorizacin de Crout, la diagonal de U debe ser 1, entonces queda: "KK 0 0@K @@ 0PK P@ PP' "

1 K@ KP0 1 @P0 0 1 '="\1 E EE \1 EE E 1'

"KK KKK@ KKKP@K @KK@ + @@ @KKP + @@@PPK PKK@ + P@ PKKP + P@@P + PP'="\1 E EE \1 EE E 1' KK = \1 @K = E PK = E K@ = \E KP = \E @@ = \1 + E@ P@ = E + E@ @P = E + E@\1 + E@ = EE \ 1 PP = 1 + E@ \ E(E + E@)E \ 1 = 2E@ \ E N 11 \ E La factorizacin Crout es:

s\1 0 0E \1 + E@ 0E E + E@ @Y[KKY t s1 \E \E0 1 YK0 0 1 t="

\1 E EE \1 EE E 1' L U A Para obtener la factorizacin de Cholesky, la matriz A debe ser simtrica y definida positiva, pero como el primer sub determinante es menor que cero, no se puede aplicar la descomposicin de Cholesky en la matriz A, porque esta no es positiva definida.

4) Al aproximar una funcin , | \E, E, E G 0 , por un polinomio de la forma 6). - K N @) N P)@, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes est dada por: -

2E 0 23 EP0 23 EP 023 EP 0 25 Eh

a. Obtener la factorizacin de Cholesky de A, y usarla para calcular YK . b. Para ] - 60 \1 1.? resolver el sistema Ax-b por el mtodo de Cholesky y de Crout, imponiendo las restricciones que considere apropiadas. Sol: a. Matriz A es simtrica, ya que A-? . Para obtener la factorizacin de Cholesky, se necesita que la matriz A sea simtrica y Positiva definida. Para que la matriz A sea positiva definida, los sub determinantes tienen que ser mayores a 0, entonces: 2E G 0, E G 0 43 E G 0, E G 0 32135 E G 0, E G 0 Con la condicin de que a tiene que ser mayor a 0, se tendr que: "KK 0 0@K @@ 0PK P@ PP' "

KK @K PK0 @@ P@0 0 PP'- 2E 0 @P EP0 @P EP 0@P EP 0 @h Eh

s KK@ KK@K KKPK@KKK @K@ N @@@ @KPK N @@P@PKKK PK@K N P@@@ PK@ N P@@ N PP@ t -

2E 0 23 EP0 23 EP 023 EP 0 25 Eh

KK - 2E @K - 0 PK - 23 EP 12E - E@2E3 @@ - 23 EP P@ - 0 PP - @h Eh \ @P @ - @h \ @ -@@Ph

2E 0 00 @P EP 0@P 0 @@Ph

2E 0 @P0 @P EP 00 0 @@Ph

-

2E 0 @P EP0 @P EP 0@P EP 0 @h Eh

L ? A b. Para resolver el sistema Ax-b por el mtodo de Cholesky, se tiene la descomposicin ya realizada, por lo tanto solo se tiene que calcular por partes.

2E 0 00 @P EP 0@P 0 @@Ph

2E 0 @P0 @P EP 00 0 @@Ph

d

-" 0\11 '

Z Sea

2E 0 @P0 @P EP 00 0 @@Ph

*X-Z

Entonces

2E 0 00 @P EP 0@P 0 @@Ph

d - " 0\11 ' 6Se tiene que calcular por sustitucin hacia adelante. Z-

0\ P@Ph@@

Luego se reemplaza en L*Z-b

2E 0 @P0 @P EP 00 0 @@Ph

*X-

0\ P@Ph@@

La solucin al sistema de ecuaciones es: X-

YKhd YP@d hd

Para resolver el sistema Ax-b por el mtodo de Crout, se tiene la descomposicin; "KK 0 0@K @@ 0PK P@ PP' "

1 K@ KP0 1 @P0 0 1 '- 2E 0 @P EP0 @P EP 0@P EP 0 @h Eh

KK - 2E K@ - 0 KP d KK - @P KP - P @K - 0 PK - 23 EP @K d K@ N @@ - @P EP @@ - @P EP @K d KP N @@ d @P - 0 @P - 0 PK d K@ N P@ - 0 P@ - 0 PKKP N P@@P N PP - @h Eh PP - h Entonces queda 2E 0 00 @P EP 0@P EP 0 h s

1 0 P0 1 00 0 1t- 2E 0 @P EP0 @P EP 0@P EP 0 @h Eh

Reemplazando en el sistema AX-b 6LU*X-b. 2E 0 00 @P EP 0@P EP 0 h s

1 0 P0 1 00 0 1t d -"0\11 ' Z

s1 0 E30 1 00 0 1t d - 2E 0 00 @P EP 0@P EP 0 h d -"

0\11 ' Z- 0 YP@d h Luego; s1 0 P0 1 00 0 1t d -

0 YP@d h - YKh YP@ h