MÉTODOS DE INTEGRACIÓNMétodos de integración son las diferentes técnicas elementales que usamos para

calcular la integral definida de una función.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA

∫ p . f ' x . f p−1 x . dx=f p x +K;p∈ℤ−{0 }; K = constante

∫ f ' x . a f x . log a . dx=a f x +K;a>0, ; K = constante

∫ f' x f x . dx= ln f x + ; K =constante

∫ f' x f x . dx = ln f x +K ; K = constante

∫ f' x 1− f 2 x . dx = Arcsen f x +K ; K = constante

∫ -f' x 1− f 2 x . dx = Arccos f x +K ; K = constante

∫ f' x 1 f 2 x . dx = Arctag f x +K ; K = constante

∫ f' x f x . f 2 x −1. dx = Arcsec f x +K ; K = constante

∫ -f' x f x . f 2 x −1. dx = Arccosec f x +K ; K = constante

∫ f ' x . cos f x . dx=sen f xK ; K =constante

∫− f ' x . sen f x . dx=cos f x K ; K =constante

∫ f' x cos2 x . dx = Tag f x +K ; K = constante

∫ -f' x sen 2 x . dx = Arctag f x +K ; K = constante

∫ f' x . sen x cos2 x . dx = Sec f x +K ; K = constante

∫-f' x . cos x sen 2 x . dx = Cosec f x +K ; K = constante

1

En ocasiones, algunas integrales se pueden reducir a integrales inmediatas.

Veamos algunos ejemplos.

( ) ( )2 2

1 13 32 2

2

5x 5 5 3 2. 6x. 3x 4 . .6x 3x 46 6 2 33x 4

dx = + dx = + dx+

æ ö æ ö÷ ÷ç ç- -÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷

ò ò ò

( )( )23215 2 . 6. 3x 4 .

12 3= x + dx =

æ ö÷ç ÷ç ÷÷ççè ø÷æ ö÷ç ÷ç ÷çè øò–1

Denominado f(x) a la función f x =3x 24 −13

= 1512 ∫

23

. f' x . f x 23−1

dx= 1512

. f x +K =1512

.3x24 −13 K

∫ 5

log x3

x. dx= 1

3 . log 5.∫3 . log 5 . 5

log x3

x. dx=

Denominado f(x) a la función f x =5log x

3=e

log x3 . log5

= 13.log 5

.∫ 3.log 5 x

5log x

3. dx = 1

3.log 5.∫ f ' x . f x . dx = 1

3.log 5.5

log x3

∫ 53.x

53.x1. dx= 1

3.log 5.∫ 3.log 5 . 53.x

5 3.x1. dx =

Denominado f(x) a la función f x =53.x1

= 13.log 5

.∫ f ' x f x

. dx = 13.log 5

. log f xK = 13.log 5

. log 53.x1 K

∫ 1

−2x23x. dx=8 .∫ 1

−16x224x. dx=8.∫ 1

9−4x−32. dx =

Denominado f(x) a la función f x =4x−39

=84

.∫49

1−4x−39

2. dx=8

4.∫ f' x

1− f x 2. dx=

( )8 8 4x 3= . = .4 4 3ArcSenf x + K ArcSen + Kæ - ö÷ç ÷ç ÷çè ø

Hay que destacar, que dado que el conjunto de funciones elementales no es invariante bajo la

operación de integración, existen integrales que no se pueden expresar como funciones elementales, y

por tanto no se les puede aplicar un método de integración

2

MÉTODOS DE FUNCIONES RACIONALESPara las integrales de funciones racionales se cumple

∫ P x Q x

. dx = {Si gra P x gra Q x =SOLUCIÓN ASi gra P x gra Q x =SOLUCIÓN B

}

SOLUCIÓN A:

Como existe un C(x), R(x) con gra C(x) ≤ gra P(x) y gra R(x) < gra Qx), tal que

P(x) = C(x),Q(x) + R(x)

se cumple:

∫ P x Q x

. dx =∫C x. dx∫ R x Q x

. dx

Siendo la 1º integral inmediata y la segunda del tipo de solución B, que vemos a

continuación.

SOLUCIÓN B:

Supongamos que el polinomio Q(x) es de grado ( p + 2.q ), con p, q números

naturales, y que Q(x) se puede descomponer como:

Donde, p=∑r=1

r=u

m r ; q=∑s=1

s=v

n s

Teniendo en cuenta que existirán las constantes reales

Tal que descomponiendo en fracciones simples como queda:

Integrando esta expresión:

Y todos los términos de la descomposición se integran fácilmente, teniendo en

cuenta que:

3

1 2 ( ) 1 2 ( )1 2 ( ), , ..., ; , , ..., ; , , ...,s s sn s s s sn sr r rm r B B B C C CA A A

( ) ( ) ( )( ) ( )2( ) 2

1 1

.u v n sm r

r s sr s p

Q x a x xx a b= = +

= - × - +Õ Õ

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )1 1 1

22( ) ( )221 1

..... ...

p qrm r sn s sn sr s s

m r n sr srr s p s s s

xxR x aQ x x xx x

A B CA B Cx ax b a b= = +

é ùé ù ++ê úê ú= × + + + + +ê úê ú ê ú- - +- é ùê ú - +ë û ê úê úë ûë ûå å

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )1 1 1

22( ) ( )221 1

..... ...

p qrm r sn s sn sr s s

m r n sr srr s p s s s

xxR x dx a dxQ x x xx x

A B CA B Cx ax b a b= = +

é ùé ù ++ê úê ú× = × + + + + + ×ê úê ú ê ú- - +- é ùê ú - +ë û ê úê úë ûë ûå åò ò

∫ 1 x−a n

. dx={log x−a K ; si n=1

−1n−1 . x−a n−1K ; si n1

∫ BC.x x−a 2b2 . dx=BC.a .∫ 1

x−a2b 2C.∫ x−ax−a2b2 . dx =

= 2 BC.a . 1b

. Arctag x−a b

C2

. log x−a 2b 2K

∫ BC.x x−a 2b 2n

. dx = se resuelve por partes hasta obtener la integral anterior

Veamos un ejemplo.

( ) ( )2

23 2

1 1 1— log 1 log 1—1 1 2— —1

xdx dx dx = x x Kx xx x x

⋅ = ⋅ ⋅ + +++∫ ∫ ∫ — —

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓNEl método de sustitución de consiste en encontrar una función x = g(t) (con

derivada continua en un intervalo I y con g(I) ⊂ Dominio de la función a integrar) que

al sustituir sustituida por x en la integral se convierte en otra mas sencilla (de variable t)

Veamos un ejemplo.

∫1−x2. dx =

Si efectuamos la sustitución:x :ℝ[0,1 ] : t x t =sin t

Como se cumple que la derivada de x(t) es continua en todo los números reales y

que la imagen de x(t) está incluida en el Dominio de la función a integrar, nos queda:

=∫1−sen2 t . cos t.dt=∫ cos2t.dt=∫ 1cos 2t 2

. dt =

= t2

sen 2t 4

K= t2 sen t cos t

2K =

= 12

. Arc sen x12

. sen Arc sen x .cos Arc sen x K =

= 12

. Arc sen x x2.1−x22

K

Para resolver integrales de la forma

∫ R f x , g x . dx

Donde R es una función racional y f y g son funciones reales, existen una serie

de sustituciones para casos particulares que detallamos a continuación en la siguiente

tabla

4

f(x) g(x) f(x(t)) g(x(t)) x'(t) CAMBIO

x a X Log a t t1

a.t a X=t

x e x Lg t t1t a X=t

x Log x e t t e t Log x = t

x Arc tan x Tan t t1

cos2tArc tan x = t

x Arc sen x Sen t t Cos t Arc sen x = t

x Arc cos x Cos t t - Sen t Arc cos x = t

x Arc Th x Th t t1

Ch 2tArc Th x = t

x Arc sh x Sh t t Ch t Arc sh x = t

x Arc Ch x Ch t t Sh t Arc Ch x = t

Sen x Cos x2t

1t 21−t 2

1t 2

21t 2 2 Arc tag t = x

SI ES PAR EN Sen x 1−t 2 t−1

1−t 2Arc cos t = x

SI ES PAR EN Cos x t 1−t 21

1−t 2Arc Sen t = x

SI ES PAR EN Sen x y Cos x1

1−t 2t

1−t 21

1t 2 Arc tan t = x

Sh x Ch x2t

1−t 21t 2

1−t 2

21−t 2 2 Arc Th t = x

SI ES PAR EN Sen x t 2−1 t1

1−t 2Arc Ch t = x

SI ES PAR EN Cos x t t 211

t 21Arc Sh t = x

SI ES PAR EN Sen x y Cos x1

1−t 2t

1−t 21

1−t 2 Arc Th t = x

x h axb

cxdni

d.t m−ba−c.t m h t

ni

m

m.a.d−b.ca−c.t 2

a.xbc.xd

ni

=t m

m = m.c.m. (1,2,,,,,r)

1 xn .abxn p t ∫ 1n .t q. qbt p. dt 1

n. t

1n−1

x=t1n

m , n , p ∈ ℚ

q=m1n

−1

Para integrar ∫ 1n .t q. qbt p. dt

5

Si p , q∈ℤ Se hace le cambio zq=tSi p , q∈ℚ−ℤ Se hace le cambio z p=b.ta

Si q∈ℚ−ℤ , p∈ℤ Se hace le cambio z

qp=b.ta

t

x p2−qxr 2p.sen t−r

q p.cos tp.cos t

q q.xr=p.sen t

x p2qxr 2p.tant−r

qp

cos tp.cos t

q. cos2tq.xr=p.tan t

x qxr 2− p2p.cos t−r

q p.tan tp.sen t

q. cos2tq.xr= p

sen t

x ax2b xc

Si a0 ;c≤0 a.x2b.xc− xa=t

Si a0 ;c0 a.x2b.xc−c= t

Si a0 ;c≤0 a.x2b.xc

x−=t

es raíz de a.x2b. xc=0Veamos algunos ejemplos.

{ }4

4 3 3

Haciendo cos ; como es cos

1 1 1 1–3 3 cos

sen x dx = x t sen x dx dtx

dt = K Kt t x

= × = =

æ ö÷ç= × + = +÷ç ÷çè ø ×

ò

ò

–

–

( ) { }12

12

1 3 32 2 2

Haciendo ; como es

1 3 1 2–2 3

x x x

x

e dx = e t e dx dt

t dt = dt = K Kt t t e

×

= × = =

æ ö÷ç= × + = +÷ç ÷çè ø ×

ò

ò ò –

El MÉTODO ALEMÁN, se utiliza para resolver integrales de la forma

∫ P x a.x2b.xc

,dx ; siendo P(x) un polinomio,

Esta integral se simplifica Hallando un polinomio Q(x) de grado menor que P(x)

y un número real λ, de la igualdad y luego se utiliza los métodos anteriores

∫ P x a.x2b.xc

.dx=Q x .a.x2b.xc.∫ 1a.x2b.xc

.dx

Para hallar Q(x) y λ, derivamos ambas expresiones y obtenemos la igualdad

P x a.x2b.xc

=d Qx .a.x2b.xcdx

. 1a.x2b.xc

6

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR PARTESEl método de integración por partes de la integral

∫ f x . g x . dx

donde f y g son dos funciones con derivadas continuas en un intervalo I, en utilizar la

siguiente igualdad para integrar:

∫ f x . g ' x .dx= f x . g x −∫ f ' x .g x .dx

Este método se usa cuando es más fácil integrar f'(x).g(x) que f(x).g'(x),

Veamos un ejemplo.

∫ x.sen x.dx=∫ x.cos x ' .dx= x.sen x−∫ sen x.dx =

= x. sen xcos xK

El método de integración por partes se suele emplear para funciones f(x) y g(x)

como por ejemplo:

f(x) g(x)

Función inversa trigonométrica, circular o hiperbólica, o función logarítmica.

Constante distinta de cero o función polinómica en x, o función racional de x.

Polinomio en x o función racional de x

Función trigonométrica circular o hiperbólica directa, o función exponencial (normalmente de integración inmediata).

Función exponencial (normalmente de integración inmediata ).

Función trigonométrica circular o hiperbólica directa.

Este método también se usa para obtener integrales de recurrencia.

Veamos un ejemplo.

Para integrar ∫ arcsen x . dx , Tomando

u = arcsen x(x); v = x;

será.

du= dx1−x2 ; dv = dx.

Se halla la relación de recurrencia

∫ arcsenx .dx=arcsen x . x−∫ x1−x2

=

= x.arsenx −1−x2K

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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR RECURRENCIALa El método de integración por recurrencia, consiste en encontrar una relación

entre la integral que queremos hallar (habitualmente una función con exponente entero

n) y otra integral similar (la misma función con exponente entero menor que n).

Es decir dicha relación será de la forma:

∫ f x , n.dx=g x , nr.∫ f x , n−k . dx

Donde f(x,n) y g(x,n) son funciones reales de variable x y parámetro n, r es un

número racional y k un número natural.

Aplicando dicha fórmula por recurrencia, se puede ir rebajando el nivel del

exponente, hasta que sea fácil de calcular, y a partir de ella calcular la que queremos

obtener. La mayoría de las veces se utiliza la integración por partes para hallar esta

relación de recurrencia,

Veamos un ejemplo.

I n=∫ senn x.dx=∫ senn−1 x.−cos x ' .dx =

=−senn−1 x.cos x−n−1 .∫ senn−2 .−cos2 x .dx =

=−senn−1 x.cos xn−1 .∫ senn−2 .1−sen2 x . dx =

=−senn−1 x.cos xn−1 .∫ senn−2 .dx−n−1.∫ senn x.dx =

Quedando la relación de concurrencia:

I n=n−1

n. I n−2−

senn−1 x. cos xn

Se puede ver una relación de integrales y su respectivas relación de recurrencia

en WIKIPEDIA (http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmulas_de_reducción ).

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