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MÉTODOS DE INTEGRACIÓNMétodos de integración son las diferentes técnicas elementales que usamos para
calcular la integral definida de una función.
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA
∫ p . f ' x . f p−1 x . dx=f p x +K;p∈ℤ−{0 }; K = constante
∫ f ' x . a f x . log a . dx=a f x +K;a>0, ; K = constante
∫ f' x f x . dx= ln f x + ; K =constante
∫ f' x f x . dx = ln f x +K ; K = constante
∫ f' x 1− f 2 x . dx = Arcsen f x +K ; K = constante
∫ -f' x 1− f 2 x . dx = Arccos f x +K ; K = constante
∫ f' x 1 f 2 x . dx = Arctag f x +K ; K = constante
∫ f' x f x . f 2 x −1. dx = Arcsec f x +K ; K = constante
∫ -f' x f x . f 2 x −1. dx = Arccosec f x +K ; K = constante
∫ f ' x . cos f x . dx=sen f xK ; K =constante
∫− f ' x . sen f x . dx=cos f x K ; K =constante
∫ f' x cos2 x . dx = Tag f x +K ; K = constante
∫ -f' x sen 2 x . dx = Arctag f x +K ; K = constante
∫ f' x . sen x cos2 x . dx = Sec f x +K ; K = constante
∫-f' x . cos x sen 2 x . dx = Cosec f x +K ; K = constante
1
En ocasiones, algunas integrales se pueden reducir a integrales inmediatas.
Veamos algunos ejemplos.
( ) ( )2 2
1 13 32 2
2
5x 5 5 3 2. 6x. 3x 4 . .6x 3x 46 6 2 33x 4
dx = + dx = + dx+
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- -÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷
ò ò ò
( )( )23215 2 . 6. 3x 4 .
12 3= x + dx =
æ ö÷ç ÷ç ÷÷ççè ø÷æ ö÷ç ÷ç ÷çè øò–1
Denominado f(x) a la función f x =3x 24 −13
= 1512 ∫
23
. f' x . f x 23−1
dx= 1512
. f x +K =1512
.3x24 −13 K
∫ 5
log x3
x. dx= 1
3 . log 5.∫3 . log 5 . 5
log x3
x. dx=
Denominado f(x) a la función f x =5log x
3=e
log x3 . log5
= 13.log 5
.∫ 3.log 5 x
5log x
3. dx = 1
3.log 5.∫ f ' x . f x . dx = 1
3.log 5.5
log x3
∫ 53.x
53.x1. dx= 1
3.log 5.∫ 3.log 5 . 53.x
5 3.x1. dx =
Denominado f(x) a la función f x =53.x1
= 13.log 5
.∫ f ' x f x
. dx = 13.log 5
. log f xK = 13.log 5
. log 53.x1 K
∫ 1
−2x23x. dx=8 .∫ 1
−16x224x. dx=8.∫ 1
9−4x−32. dx =
Denominado f(x) a la función f x =4x−39
=84
.∫49
1−4x−39
2. dx=8
4.∫ f' x
1− f x 2. dx=
( )8 8 4x 3= . = .4 4 3ArcSenf x + K ArcSen + Kæ - ö÷ç ÷ç ÷çè ø
Hay que destacar, que dado que el conjunto de funciones elementales no es invariante bajo la
operación de integración, existen integrales que no se pueden expresar como funciones elementales, y
por tanto no se les puede aplicar un método de integración
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MÉTODOS DE FUNCIONES RACIONALESPara las integrales de funciones racionales se cumple
∫ P x Q x
. dx = {Si gra P x gra Q x =SOLUCIÓN ASi gra P x gra Q x =SOLUCIÓN B
}
SOLUCIÓN A:
Como existe un C(x), R(x) con gra C(x) ≤ gra P(x) y gra R(x) < gra Qx), tal que
P(x) = C(x),Q(x) + R(x)
se cumple:
∫ P x Q x
. dx =∫C x. dx∫ R x Q x
. dx
Siendo la 1º integral inmediata y la segunda del tipo de solución B, que vemos a
continuación.
SOLUCIÓN B:
Supongamos que el polinomio Q(x) es de grado ( p + 2.q ), con p, q números
naturales, y que Q(x) se puede descomponer como:
Donde, p=∑r=1
r=u
m r ; q=∑s=1
s=v
n s
Teniendo en cuenta que existirán las constantes reales
Tal que descomponiendo en fracciones simples como queda:
Integrando esta expresión:
Y todos los términos de la descomposición se integran fácilmente, teniendo en
cuenta que:
3
1 2 ( ) 1 2 ( )1 2 ( ), , ..., ; , , ..., ; , , ...,s s sn s s s sn sr r rm r B B B C C CA A A
( ) ( ) ( )( ) ( )2( ) 2
1 1
.u v n sm r
r s sr s p
Q x a x xx a b= = +
= - × - +Õ Õ
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )1 1 1
22( ) ( )221 1
..... ...
p qrm r sn s sn sr s s
m r n sr srr s p s s s
xxR x aQ x x xx x
A B CA B Cx ax b a b= = +
é ùé ù ++ê úê ú= × + + + + +ê úê ú ê ú- - +- é ùê ú - +ë û ê úê úë ûë ûå å
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )1 1 1
22( ) ( )221 1
..... ...
p qrm r sn s sn sr s s
m r n sr srr s p s s s
xxR x dx a dxQ x x xx x
A B CA B Cx ax b a b= = +
é ùé ù ++ê úê ú× = × + + + + + ×ê úê ú ê ú- - +- é ùê ú - +ë û ê úê úë ûë ûå åò ò
∫ 1 x−a n
. dx={log x−a K ; si n=1
−1n−1 . x−a n−1K ; si n1
∫ BC.x x−a 2b2 . dx=BC.a .∫ 1
x−a2b 2C.∫ x−ax−a2b2 . dx =
= 2 BC.a . 1b
. Arctag x−a b
C2
. log x−a 2b 2K
∫ BC.x x−a 2b 2n
. dx = se resuelve por partes hasta obtener la integral anterior
Veamos un ejemplo.
( ) ( )2
23 2
1 1 1— log 1 log 1—1 1 2— —1
xdx dx dx = x x Kx xx x x
⋅ = ⋅ ⋅ + +++∫ ∫ ∫ — —
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓNEl método de sustitución de consiste en encontrar una función x = g(t) (con
derivada continua en un intervalo I y con g(I) ⊂ Dominio de la función a integrar) que
al sustituir sustituida por x en la integral se convierte en otra mas sencilla (de variable t)
Veamos un ejemplo.
∫1−x2. dx =
Si efectuamos la sustitución:x :ℝ[0,1 ] : t x t =sin t
Como se cumple que la derivada de x(t) es continua en todo los números reales y
que la imagen de x(t) está incluida en el Dominio de la función a integrar, nos queda:
=∫1−sen2 t . cos t.dt=∫ cos2t.dt=∫ 1cos 2t 2
. dt =
= t2
sen 2t 4
K= t2 sen t cos t
2K =
= 12
. Arc sen x12
. sen Arc sen x .cos Arc sen x K =
= 12
. Arc sen x x2.1−x22
K
Para resolver integrales de la forma
∫ R f x , g x . dx
Donde R es una función racional y f y g son funciones reales, existen una serie
de sustituciones para casos particulares que detallamos a continuación en la siguiente
tabla
4
f(x) g(x) f(x(t)) g(x(t)) x'(t) CAMBIO
x a X Log a t t1
a.t a X=t
x e x Lg t t1t a X=t
x Log x e t t e t Log x = t
x Arc tan x Tan t t1
cos2tArc tan x = t
x Arc sen x Sen t t Cos t Arc sen x = t
x Arc cos x Cos t t - Sen t Arc cos x = t
x Arc Th x Th t t1
Ch 2tArc Th x = t
x Arc sh x Sh t t Ch t Arc sh x = t
x Arc Ch x Ch t t Sh t Arc Ch x = t
Sen x Cos x2t
1t 21−t 2
1t 2
21t 2 2 Arc tag t = x
SI ES PAR EN Sen x 1−t 2 t−1
1−t 2Arc cos t = x
SI ES PAR EN Cos x t 1−t 21
1−t 2Arc Sen t = x
SI ES PAR EN Sen x y Cos x1
1−t 2t
1−t 21
1t 2 Arc tan t = x
Sh x Ch x2t
1−t 21t 2
1−t 2
21−t 2 2 Arc Th t = x
SI ES PAR EN Sen x t 2−1 t1
1−t 2Arc Ch t = x
SI ES PAR EN Cos x t t 211
t 21Arc Sh t = x
SI ES PAR EN Sen x y Cos x1
1−t 2t
1−t 21
1−t 2 Arc Th t = x
x h axb
cxdni
d.t m−ba−c.t m h t
ni
m
m.a.d−b.ca−c.t 2
a.xbc.xd
ni
=t m
m = m.c.m. (1,2,,,,,r)
1 xn .abxn p t ∫ 1n .t q. qbt p. dt 1
n. t
1n−1
x=t1n
m , n , p ∈ ℚ
q=m1n
−1
Para integrar ∫ 1n .t q. qbt p. dt
5
Si p , q∈ℤ Se hace le cambio zq=tSi p , q∈ℚ−ℤ Se hace le cambio z p=b.ta
Si q∈ℚ−ℤ , p∈ℤ Se hace le cambio z
qp=b.ta
t
x p2−qxr 2p.sen t−r
q p.cos tp.cos t
q q.xr=p.sen t
x p2qxr 2p.tant−r
qp
cos tp.cos t
q. cos2tq.xr=p.tan t
x qxr 2− p2p.cos t−r
q p.tan tp.sen t
q. cos2tq.xr= p
sen t
x ax2b xc
Si a0 ;c≤0 a.x2b.xc− xa=t
Si a0 ;c0 a.x2b.xc−c= t
Si a0 ;c≤0 a.x2b.xc
x−=t
es raíz de a.x2b. xc=0Veamos algunos ejemplos.
{ }4
4 3 3
Haciendo cos ; como es cos
1 1 1 1–3 3 cos
sen x dx = x t sen x dx dtx
dt = K Kt t x
= × = =
æ ö÷ç= × + = +÷ç ÷çè ø ×
ò
ò
–
–
( ) { }12
12
1 3 32 2 2
Haciendo ; como es
1 3 1 2–2 3
x x x
x
e dx = e t e dx dt
t dt = dt = K Kt t t e
×
= × = =
æ ö÷ç= × + = +÷ç ÷çè ø ×
ò
ò ò –
El MÉTODO ALEMÁN, se utiliza para resolver integrales de la forma
∫ P x a.x2b.xc
,dx ; siendo P(x) un polinomio,
Esta integral se simplifica Hallando un polinomio Q(x) de grado menor que P(x)
y un número real λ, de la igualdad y luego se utiliza los métodos anteriores
∫ P x a.x2b.xc
.dx=Q x .a.x2b.xc.∫ 1a.x2b.xc
.dx
Para hallar Q(x) y λ, derivamos ambas expresiones y obtenemos la igualdad
P x a.x2b.xc
=d Qx .a.x2b.xcdx
. 1a.x2b.xc
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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR PARTESEl método de integración por partes de la integral
∫ f x . g x . dx
donde f y g son dos funciones con derivadas continuas en un intervalo I, en utilizar la
siguiente igualdad para integrar:
∫ f x . g ' x .dx= f x . g x −∫ f ' x .g x .dx
Este método se usa cuando es más fácil integrar f'(x).g(x) que f(x).g'(x),
Veamos un ejemplo.
∫ x.sen x.dx=∫ x.cos x ' .dx= x.sen x−∫ sen x.dx =
= x. sen xcos xK
El método de integración por partes se suele emplear para funciones f(x) y g(x)
como por ejemplo:
f(x) g(x)
Función inversa trigonométrica, circular o hiperbólica, o función logarítmica.
Constante distinta de cero o función polinómica en x, o función racional de x.
Polinomio en x o función racional de x
Función trigonométrica circular o hiperbólica directa, o función exponencial (normalmente de integración inmediata).
Función exponencial (normalmente de integración inmediata ).
Función trigonométrica circular o hiperbólica directa.
Este método también se usa para obtener integrales de recurrencia.
Veamos un ejemplo.
Para integrar ∫ arcsen x . dx , Tomando
u = arcsen x(x); v = x;
será.
du= dx1−x2 ; dv = dx.
Se halla la relación de recurrencia
∫ arcsenx .dx=arcsen x . x−∫ x1−x2
=
= x.arsenx −1−x2K
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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN POR RECURRENCIALa El método de integración por recurrencia, consiste en encontrar una relación
entre la integral que queremos hallar (habitualmente una función con exponente entero
n) y otra integral similar (la misma función con exponente entero menor que n).
Es decir dicha relación será de la forma:
∫ f x , n.dx=g x , nr.∫ f x , n−k . dx
Donde f(x,n) y g(x,n) son funciones reales de variable x y parámetro n, r es un
número racional y k un número natural.
Aplicando dicha fórmula por recurrencia, se puede ir rebajando el nivel del
exponente, hasta que sea fácil de calcular, y a partir de ella calcular la que queremos
obtener. La mayoría de las veces se utiliza la integración por partes para hallar esta
relación de recurrencia,
Veamos un ejemplo.
I n=∫ senn x.dx=∫ senn−1 x.−cos x ' .dx =
=−senn−1 x.cos x−n−1 .∫ senn−2 .−cos2 x .dx =
=−senn−1 x.cos xn−1 .∫ senn−2 .1−sen2 x . dx =
=−senn−1 x.cos xn−1 .∫ senn−2 .dx−n−1.∫ senn x.dx =
Quedando la relación de concurrencia:
I n=n−1
n. I n−2−
senn−1 x. cos xn
Se puede ver una relación de integrales y su respectivas relación de recurrencia
en WIKIPEDIA (http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmulas_de_reducción ).
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