Mtodos de integracin

Mtodos de integracin

Se entiende por mtodos de integracin cualquiera de las diferentes tcnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una funcin.

As, dada una funcin f(x), los mtodos de integracin son tcnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una funcin F(x) tal que

lo cual, por el teorema fundamental del clculo equivale a hallar una funcin F(x) tal que f(x) es su derivada:[1].

Integracin directa

En ocasiones es posible aplicar la relacin dada por el teorema fundamental del clculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una funcin cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal funcin es el resultado de la antiderivada.

Ejemplo

Calcular la integral .

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto: Ejemplo

Calcular la integral .

Una frmula estndar sobre derivadas establece que . De este modo, la solucin del problema es .

Mtodo de integracin por sustitucin

El mtodo de integracin por sustitucin o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fcilmente su primitiva. Este mtodo realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivacin.

Procedimiento prctico

Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con (u):

(1)

Ahora necesitamos sustituir tambin para que la integral quede slo en funcin de :

Tenemos que por tanto derivando se obtiene Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitucin fue til y por tanto se lleg a una forma mejor, o por el contrario empeor las cosas. Luego de adquirir prctica en esta operacin, se puede realizar mentalmente. En este caso qued de una manera ms sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como ltimo paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los lmites de integracin. Sustituimos x por el lmite de integracin y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo :

(lmite inferior)

(lmite superior)

Luego de realizar esta operacin con ambos lmites la integral queda de una forma final:

Mtodo de integracin por partes

El mtodo de integracin por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

.

.

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolucin de la integral.

Para elegir la funcin se puede usar una de las siguiente reglas mnemotcnicas:

1. Arcoseno, arcocoseno..., Logartmicas, Polinmicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... A L P E S.

Nota: Elegimos siempre "u" como la funcion situada ms a la izquierda de la palabra ALPES.

2. Logartmicas, Inversas trigonomtricas, Algebricas, Trigonomtricas, Exponenciales. L I A T E.

Nota: Elegimos siempre "u" como la funcion situada ms a la izquierda de la palabra LIATE.

3. Inversas trigonomtricas, Logartmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonomtricas I L P E T

Nota: Elegimos siempre "u" como la funcion situada ms a la izquierda de la palabra ILPET.

Notas

1. Para cada funcin f(x) existe una infinidad de funciones que tienen a f(x) por derivada, y por tanto hay una infinidad de soluciones a la integral f(x) dx. Todas estas soluciones difieren por una constante. Por ejemplo: x+5, x-20, x+ 13.41 son tres soluciones para 2x dx-.De este modo, si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier funcin de la forma F(x)+C tambin lo es. Esto se representa como f(x)dx = F(x)+C pero por simplicidad de la presentacin se omite la constante arbitraria C en cada uno de los ejemplos.