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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Métodos de AnálisisIngenieril
Raíces de EcuacionesM.C. Fco. Javier de la Garza S.
Cuerpo Académico Sistemas Integrados de Manufactura
Gama.fime.uanl.mx/[email protected]
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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
• De la ecuación
• Pero en otros casos
a
acbbxcbxax
2
40
22
?0sin
?02345
xxx
xfexdxcxbxax
Raíces de Ecuaciones
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Todos Interactivos
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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
• Se requieren dos valores iniciales. Estos valores deben dar resultados con signo distinto al aplicarlos a la ecuación.
• Si una raíz de una función real y continua f(x)=0 esta entre dos valores x=xl, x =xu entoncesf(xl) * f(xu) < 0. (La función cambia de signo)
Métodos de Intervalos
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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Sin respuesta (no hay raíces)
Sencillo (una raíz)
Dos raíces
Tres raíces
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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Dos raíces
Función discontinua. Requiere otro método
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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Muchas raíces
f(x)=sin 10x+cos 3x
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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Método de Bisección
Para una ecuación de una variable, f(x)=01. Elegir xl y xu de forma que la raíz de
interés quede en medio, revisar si f(xl)*f(xu) <0.
2. Estimar la raíz evaluando f[(xl+xu)/2].
3. Encontrar la pareja de valores • Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]<0, la raíz se encuentra
en el intervalo inferior, entonces xu=(xl+xu)/2 e ir al paso 2.
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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
• Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]>0, la raíz está en el intervalo superior, entonces xl= [(xl+xu)/2, ir al paso 2.
• Si f(xl)*f[(xl+xu)/2]=0, entonces la raíz es (xl+xu)/2 y terminamos.
4. Comparar s con a
5. Si a< s, detener. De lo contrario repetir el proceso.
%100
2
2
%100
2
2
ul
ulu
ul
ull
xx
xxx
ó
xx
xxx
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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
Evaluación del Método
Ventajas• Sencillo• Siempre encuentra la
raíz• Se puede calcular el
número de iteraciones requeridas para obtener un error absoluto.
Desventajas• Lento• Conocer que entre a y
b esta la raíz• Multiples raíces• No se toma en cuenta
f(xl) y f(xu), Si f(xl) esta cerca de cero, es probable que la raíz este cerca de xl .
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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
¿Cuántas iteraciones se necesitan?
sak
a xL %100
• Longitud inicial Lo=b-a
• Iteración 1 L1=Lo/2
• Iteración 2 L2=Lo/4
• Iteración k Lk=Lo/2
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SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S
• Si la magnitud absoluta del error es:
y Lo=2, ¿Cuántas iteraciones se requieren para obtener la exactitud requerida en la solución?
410%100
xs
153.1410222
210 44 kk
k
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Método de la Falsa Posición
• Si una raíz real esta entre xl y xu de f(x)=0, entonces se puede aproximar la solución haciendo una interpolación lineal entre los puntos [xl, f(xl)] y [xu, f(xu)] para encontrar xr valor que hace l(xr)=0, l(x) es la aproximación lineal de f(x).
)()())((
)()(
ul
uluur
lr
u
lr
l
xfxfxxxf
xx
xxxf
xxxf
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Procedimiento
1. Encontrar un par de valores de x, xl y xu tales que fl=f(xl) <0 y fu=f(xu) >0.
2. Estimar el valor de la raíz de la siguiente fórmula
y evaluar f(xr).
)()(
))((
ul
uluur xfxf
xxxfxx
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3. Utilizar el nuevo punto para reemplazar uno de los originales manteniendo ambos puntos en lados opuestos del eje x.
Si f(xr)<0 entonces xl=xr = > fl=f(xr)
Si f(xr)>0 entonces xu=xr = > fu=f(xr)
Si f(xr)=0 se a encontrado la raíz
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4. Revisar si los nuevo xl y xu están tan cerca para declarar convergencia. Si no lo están, regresar al paso 2.
• Ventajas de este método– Más rápido– Siempre converge para una sola
raíz.
Nota: Siempre se debe revisar el valor estimado de la raíz en la ecuación original para validar que f(xr) ≈ 0.