2.2 Métodos Cerrados y sus Interpretaciones Geométricas¨METODO DE LA REGLA FALSA¨

Estos métodos se caracterizan porque para poderlos ejecutar requieren de:

1. un intervalo que contenga al menos una raíz.

2. Cada vez que se aplique reducirá el intervalo que encierra la raíz.

Los métodos cerrados se basan en el hecho de que generalmente se presenta un cambio de signo en el intervalo que contiene la raíz, por lo que al analizar el cambio de signo de una función en un intervalo, se puede garantizar la existencia de una raíz en ese intervalo.

BISECCIÓNOBJETIVO MÉTODO

Buscar la raíz de una función f(x) utilizando dos valores iniciales x inicial y x último, reduciendo gradualmente el intervalo a la mitad hasta hallar la raíz.

Objetivo

Buscar la intersección con el eje x de dos puntos unidos por medio de una línea recta.

Para aplicar el método se debe tener en cuenta:

1.- Si se tiene dos puntos f(A) y f (B)=0 entonces el punto B es una raíz, es decir la intersección con el eje x es justo una raíz. 2) Si f(A) y f(B)<0, entonces la raíz se

encuentra al lado izquierdo del intervalo.

3) Si f(A) y f(B)>0, entonces la raíz se encuentra al lado derecho del intervalo

4) Para hallar la intersección de la recta con el eje x usamos la siguiente fórmula:

Xr=xu-[(f(xu)(xi-xu)/(f(xi)-f(xu))]

Donde  xr reemplaza cualquier valor inicial  xi o xu da un valor que posee el mismo signo  de f(xr) , asi  xi y xu siempre encerrará la raíz.

El método de Regla Falsa converge más rápidamente que el de bisección porque al permanecer uno de sus valores iniciales fijo el número de cálculos se reduce mientras que el otro valor inicial converge hacia la raíz. 

2.3 Métodos abiertos y sus interpretaciones geométricas así como sus criterios de convergencia

Los métodos abiertos utilizan una formula para predecir la raíz. Esta formula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo).

Las raíces múltiples: Las raíces múltiples son determinados de ecuaciones polinómicas que tienen la forma general:fx = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

Método de Punto Fijo: El método de punto fijo o de aproximaciones sucesivas es, junto con el de Bisección, uno de los primeros métodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes.

Recordar que el método de Punto Fijo, nos dice que, solo podrá haber y tener un único punto o raíz

Método de Newton-Raphson

Entre los métodos de aproximaciones sucesivas para encontrar algunas de las raíces de una ecuación algebraica o tracendente, el de Newton-Raphson es el que presenta mejores características de eficiencia, debido a que casi siempre converge a la solución y lo hace en un número reducido de iteraciones.

la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi,f(xi)] de la curva. por lo común, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

El método de Newton-Rapshon se deduce a partir de esta interpretación geométrica.

Método de la Secante

La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme estos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente.

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja.

2.4.-APLICACIONES A LA SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

INTRODUCCIÓN

Uno de los problemas que se presentan con frecuencia en ingeniería es encontrar las raíces de ecuaciones de la forma f(x)=0, donde f(x) es una función real de una variable x, con un polinomio en x.

1. f(x)= 4x ⁵ +x ³-8x+2

o una función trascendente*

2. f(x)=senx+ln3x+x³

FUNCIONES TRANSCENDENTES.

Las funciones trascendentes contienen términos trigonométricos, exponenciales o logarítmicos o ambos de la variable independiente.

MÉTODO DE BISECCIÓN.

Formula: XM = (XI + XD)/2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON.

Formula: Xi+1=Xi-[f(xi)/f’(x)]=g(xi)

EJERCICIOS

1. Se desea calcular la resistencia de dos zapatas, la primera es el cubo de la segunda, y la resistencia total de ambas debe ser de 6 toneladas. Calcular la resistencia de las dos zapatas.

2. Se nos piden calcular las fuerzas de dos columnas, el cuadrado de la primera columna más la segunda columna debe alcanzar una resistencia de 11 toneladas.

2.5 USO DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Queremos resolver un sistema de

la forma F (X ) = 0, donde F es un campo vectorial. Para ello emplearemos el método de Newton para Sistemas no lineales; para empezar consideraremos el caso de un sistema de dos ecuaciones no lineales.

Obtenemos en la primera línea indicamos la región inicial sobre la cual queremos ver las graficas de las funciones y generamos el arreglo bidimensional sobre el cual aparecerá la gráfica, en la segunda línea definimos las funciones que queremos graficar (las operaciones deben ir acompañadas por punto ya que son operaciones entre vectores) y en la tercera línea aparece la instrucción de contour para graficar, hold on para que ambas esten en el mismo plano y grid on para poder tomar los valores iniciales.

De la gráfica vemos que existen 4 soluciones, busquemos una de ellas, tomando por valor inicial x0 = −0.8 y y0 = −1, es decir, X (0) = [−0.8, −1]T . Aplicamos el método de Newton no Lineal con una tolerancia de 10−6 (es decir, queremos que cuando la distancia entre dos aproximaciones sea menor a 10−6 paremos), para ello utilizamos la función de newtonnl enMatlab (esta al final del la guía) digitando  Newtonnl (4*x^2-y^2-1,-2*x+x^2+y^2-3,[-0.8,-1]’,0.000000001,10)

obtenemos los siguientes resultados

salió porque cumplio la condición de la tolerancia.