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1

MÉTODOS 2: RESUMEN TEORÍA NIVELACION METODOS 1 Orden de las operaciones

Recordemos la jerarquía de operaciones

• La operación de suma se superior al conteo

• La operación de multiplicación es superior a la

suma

• La operación de potencia es superior a la

multiplicación

En orden inverso, una potencia se convierte en

multiplicación y está en suma y está en conteo de

unidades.

Potencia a multiplicación 23 3 3= i

Multiplicación a suma3 3 3 3 3= + +i

Suma a unidades

3 3 3 (1 1 1) (1 1 1) (1 1 1)= + + = + + + + + + + + Los paréntesis se usan para cambiar el orden de

operación.

OPERACIONES COMBINADAS POR MÉTODO LÓGICO : Este método convierte las operaciones de nivel superior a operaciones de nivel inferior

2 32 (3 4 2 )= +i i

• Paso 1: operar los paréntesis

• Paso 2: convertir potencias a multiplicación

• 2 (3 3 4 2 2 2)= +i i i i i

• Paso 3: operar las multiplicaciones

• 2 (9 32)= +i

• Paso 4: operar las sumas

• 2 (41)= i

• 82=

3 22 (7 3 (4 6) ) 3= + − −i i

• Paso 1: operar los paréntesis

• 3 22 (7 3 ( 2) ) 3= + − −i i


• 22 (7 3 ( 2) ( 2) ( 2)) 3= + − − − −i i i i


• 22 (7 3 ( 8)) 3= + − −i i

• 22 (7 24) 3= − −i

• Paso 4: operar las sumas

• 22 ( 17) 3= − −i


• 2 ( 17)( 17) 3= − − −i


• 578 3= −

• 575=

DESPEJE POR EL MÉTODO DE OPERACIÓN INVERSA. Ecuación: es un objeto matemático que relaciona la

igualdad de dos expresiones algebraicas (contienen

variables)

4x =

Reglas de operaciones a ambos lados:

• En general si se aplica la misma operación a

todo lo que esta en cada lado de la ecuación, la

igualdad se mantiene

• Caso sumas y restas:: Si a una ecuación se

suma o resta a ambos lados un mismo valor se

mantiene la igualdad

• Caso multiplicación y división: SI todo se

multiplica o divide un mismo valor a todo lo del

lado izquierdo y lo del lado derecho de una

ecuación se mantiene la igualdad

• Caso potencia y raíz: si se aplica la potencia o

la raíz a todo lo que esta en ambos lados de la

ecuación, la igualdad se mantiene

Ejemplo: Usar las operaciones inversas para despejar x

2 2 4 3x x+ = −

Súmanos (-2) a ambos lados

( 2) 2 2 4 3 ( 2)x x− + + = − + −

2 4 5x x= −

Súmanos ambos lados (-4x)

( 4 ) 2 4 5 ( 4 )x x x x− + = − + −

2 5x− = −

Dividamos ambos lados entre (-2)

2 5

2 2

x− −=

− −

51

2x =i ,

5

2x =

NOTA: La técnica de despeje por “trasposición de

términos” que popularmente se llama la técnica de

“pasar”, no es en realidad una técnica de la ciencia

matemática, es una simplificación del

potencia

multiplicacion

suma

contar

2

procedimiento matemático, que se ahorra varios

pasos en uno

TÉCNICA DE DESPEJE POR TRASPOSICIÓN DE TÉRMINOS (PASAR) Esta técnica correctamente se enuncia así:

• Si deseamos quitar una expresión algebraica

que está SOLA y sumando a un lado de la

ecuación, al trasladarlo al otro lado del signo

igual se colocara SOLA Y sumando con signo

opuesto Comparación de técnicas

Por operación inversa

Por técnica de pasar

2 3x+ =

( 2) 2 3 ( 2)x− + + = + −

0 1x + =

1x =

2 3x+ =

3 2x = −

1x =

• Si deseamos quitar una expresión algebraica

que está multiplicando TODO a un lado de la

ecuación, y al trasladarla cruzara el igual, la

colocaremos dividiendo TODO Comparación de técnicas

Por operación inversa

Por técnica de pasar

3 4x =

3 4

3 3

x=

4(1)

3x =i

4

3x =

3 4x =

4

3x =

3

SIMPLIFIQUE LAS SIGUIENTES OPERACIONES 2 23(3 2 6 3 ) 3 5+ −i i i

2 2 25(5 3 7 6 2 ) 3 5+ −i i i i

2 2 2 25(5 (3 5) 2 ) 7− + −i

2

2 21 4 3 2( ( 5) )

5 7 7 3

+ +

i

DESPEJE LAS SIGUIENTES OPERACIONES

4 3 7 5 12 4x x x x− − = + −

24 7 8x − =

2

28

4 7x=

−

108

4x

x=

4

FUNCIONES CONCEPTOS RELACIONADOS CON FUNCIONES CONJUNTO Es una colección de elementos que se denota

por una letra mayúscula y cuyos elementos se

expresan de dos maneras:

a) Por extensión: describiendo todos los

elementos: { , }A rojo verde=

b) Por comprensión: describiendo la

lógica detrás de los elementos

{( , ) , 1}A x y x y x= ∈ = +ℝ ℝ Esto se lee:

A es el conjunto de todos los pares de

datos representados por (x, y) que

pertenece al producto todos los pares

ordenados de los reales, y que cumple

la condición que 1y x= +

PARES ORDENADOS Es un conjunto de dos elementos en los cuales

importa el orden y se representan por (x, y), de

tal maneara que (3,2) no es lo mismo que (2,3).

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN PAR ORDENADO. El punto (4,3) representa el par ordenado (x,

y), de manera que x=4, y y=3.

Se parte del origen, y se mueve 4 unidades en

la dirección de x, y 3 unidades en la dirección

de y

PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano A B× es un conjunto

que resulta de combinar dos conjuntos simples

A y B .

{1,2,3,4}A =

{ , }B a b=

Relacion: es un subconjunto del producto

cartesiano

Del ejemplo anterior de producto cartesian o: C= relación de AxB = {(1,a),(1,b)}

Función: es un subconjunto del producto

cartesiano que cumple la regla, que todo

elemento del dominio solo tiene como pareja

un elemento del rango.

D= función de AxB = {(1,a),(2,b)}

APLICACIONES DE PRODUCTO CARTESIANO, Y FUNCION.

José debe tener una decisión en dos etapas:

La primera decisión es si se transporta en auto

o en moto. La segunda decisión es si va al cine

o aun restaurante.

El conjunto de todas las posibilidad resulta ser

un producto cartesiano.

Donde A= conjunto de los medios de

transporte

Donde B = conjunto de los destinos

Una relación C seria = {(auto, restaurante) , (auto, cine)}

Para la decisión de ir en auto existen dos

opciones, restaurante o cine. Por lo que es no

es una decisión exacta

y

(4,3)

x

B=

AxB a b

1 ( 1,a) ( 1,b)

A= 2 ( 2,a) ( 2,b)

3 ( 3,a) ( 3,b)

4 ( 4,a) ( 4,b)

A X B restaurante cine

moto (moto,restaurante) (moto,cine)

auto (auto,restaurante) (auto,cine)

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Una función D seria = {(moto, restaurante) , (auto, cine)}

Como se puede ver la relación produce

decisiones dudosas, pero la función produce

decisiones exactas:

• si se va en moto se va ira al restaurante

• si se va en auto se ira al cine

FUNCIONES APLICADAS AL PLANO CARTESIANO. Las funciones en el campo de la matemática se pueden graficar en el plano cartesiano. CASO 1: PRODUCTO CARTESIANO DE PUNTOS Datos los conjuntos

{1,2,3,4}A = graficado en el eje de las x

{1,2}B = graficado en el eje de las y

Producen el producto cartesiano siguiente

El cual se puede graficar asi en el plano

cartesiano

CASO 2: PRODUCTO CARTESIANO DE INTERVALOS

] [{ }1,4A x= ∈

] [{ }1,3B y= ∈

El producto cartesiano resultante será el siguiente:_

EJEMPLO DE RELCIONES DENTRO DE AXB

REGLA GENERAL: Se dice que una gráfica en el plano cartesiano

representa una función si se cumple que al

trazar una línea vertical solo suceden dos

casos. Solo toca un punto, o no toca ningún

punto. Si toca dos puntos en algún momento

entonces no es una función es una relación.

CASO 3: FUNCION La función A, es un grupo de puntos (x, y) que

cumple la regla de la ecuación.

1/ 3 1/ 3y x= + y los valores de “x” están

limitados entre 1 y 4, y los de “y” entre 1 y 3

Se expresa asi:

{( , ) , 1/ 3 1/ 3,A x y talque y x= = +

] [ ] [1, 4 , 1,3 }x y∈ ∈

Y su grafica es:

A X B 1 2

1 (1,1) (1,2)

2 (2,1) (2,2)

3 (3,1) (3,2)

4 (4,1) (4,2)

B

2 (4,2)

1

1 2 3 4 A

4

3

2

1

1 2 3 4

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

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GRAFICA DE UNA FUNCIÓN: Una función de dos variables se grafica en el plano cartesiano. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES EN EL PLANO CARTESIANO

1. Variable dependiente “y” 2. Variable independiente x (sola) 3. Expresión algebraica

( ) _ _y f x formula de x= =

4. Evaluación de una función

• Si:

( ) 3 2y f x x= = +

• (2) 3(2) 2 8f = + =

• (3) 3(3) 2 11f = + =

5. Dominio: es el conjunto de todas las

“x”, que forman parte de la grafica.

6. Rango o Recorrido: es el conjunto de

todas las “y” que forman parte de la

grafica

Línea vertical solo toca un punto: si se traza

una línea vertical en cualquier parte de la

función f(x) solo se tocara un punto.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES EN EL

PLANO CARTESIANO

Las funciones pueden ser racionales e irracionales a las que también se les llama funciones algebraicas; asimismo, existen las funciones trascendentes dentro de las cuales se ubican las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

FUNCIONE POLINÓMICAS Lineal: ( )f x ax b= +

Cuadrática:

2( )f x ax bx c= + +

Cubica: 3 2( )f x ax bx cx d= + + +

4

3

2

1

1 2 3 4

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FUNCIONES RACIONALES

( )( )( )

ax bf x

x a x b

+=

− −

FUNCIONES IRRACIONALES (RAIZ CUADRADA)

( )f x a mx b c= + +

FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO

( )f x a mx b c= + +

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EJERCICIOS 1. Determine los dominios y rangos de las siguientes funciones observando solo a sus graficas:

Dominio:

Rango:

2. Determine el dominio de las siguientes funciones atendiendo únicamente a los valores prohibidos de x

1( )

3f x

x=

− ( ) 3f x x= − 1

( )3

f xx

=−

Recuerde: en una división el

denominador no puede ser cero.

Nota: Para determinar el rango

despeje para x, y vea los valores

prohibidos para y

Recuerde: los valores dentro

de una raíz cuadrada no pueden

ser negativos



prohibidos para y

Recuerde: no se puede dividir

entre cero, y los valores dentro

de la raíz cuadrada no puede

ser negativo.



prohibidos para y Dominio:

Rango:

3. Determine el dominio y rango de las siguientes relaciones, y determine si es función

{ }( ) (2,3), (5,7), (4,7), (2,5)f x = { }( ) (1,3), (3,7), (4,8), (2,8)f x = { }( ) (1,3), (3,7), (4,8), (2,8)f x =

Dominio:

Dominio:

Rango:

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FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función de la forma:

f(x) = mx + b

Características de la ecuación:

• El exponente de las variables es 1

• La función se acostumbra que “y” depende de “x”

Características de la grafica:

• Intercepto en x: Ix(?, 0)

• Intercepto en y: Iy(0, ?)

• Pendiente m, si m= positiva es creciente, si m = negativa es decreciente

Características de la función

• Variable dependiente = x

• Variable independiente = y

• Dominio = reales

• Rango = reales

Y su representación grafica es

Para calcular la pendiente de una recta se toman dos puntos y se sustituye

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Para determinar la ecucacion se sustituye un punto (x1, y1) en la siguiente formula:

LÍNEA RECTA DE PENDIENTE VERTICAL: Cumple que para todo punto y, solo existe un valor en x. De manera que los puntos (2,3), (2,4)

pertenecen a la recta, y por tanto no es función.

Si aplicamos la formula

2 1

2 1

(4) (3) 1

(2) (2) 0

y ym indefinido

x x

− −= = = =

− −

EJERCICIOS: CASO 1: Dados dos puntos determinar ecuación de la recta

(1, 2) y (3,5) Paso 1: determinamos

X1=1, y1= 2

X2=3, y2=5

Paso 2: aplicamos la fórmula:

(5) (2) 3

(3) (1) 2m

−= =

−

Paso 3: determinar la ecuación de la recta aplicando

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( )3( (2)) (1)

2y x

− = −

3 32

2 2y x− = −

3 32

2 2y x= − +

3 1

2 2y x= +

Paso 4: verificación X=3

3 1(3) 10 / 2 5

2 2y = + = =

Se cumple (3,5)

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APLICACIONES LINEALES OFERTA:

La oferta se comporta así: Entre mas alto el

precio, hay más personas interesadas en

producir. Entre más bajo el precio a menos

personas interesadas en producir. La grafica

tiene pendiente creciente

• m = precio de venta del productor

• q = cantidad de unidades producidas

• b = intercepto cuando cantidad = 0 (q = 0)

EJERCICIO: Daniel desea poner un negocio de producción y

venta de puertas de madera.

El sabe que cuando el precio es alto de 5000

lps, hay 10 productores que desean poner el

negocio porque la ganancia es alta. Pero

cuando el precio es bajo 1000 lps, solo 1

productor desea producir porque la ganancia

es baja. Si cada productor produce 10,000

unidades determine la ecuación de la oferta

Paso 1: plante los dos casos en una tabla

Paso 2: determine que variable es x, y que

variable es y. Normalmente las unidades son x,

y los precios son y. Tambien a las cantidades

se les llama q, y al precio p.

Paso 3: aplique la formula de pendiente (5000) (1000) 4000 4 2

(40000) (10000) 30000 30 15m

−= = = =

−

Paso 4: determine al ecuación

( )2( 5000) 40000

15y x

− = −

2 800005000

15 15y x

−= + +

2 5000

15 15y x

−= +

Paso 5: Redacte la solución matemática en términos aplicados. La ecuación de la oferta es

2 5000

15 15y x

−= +

Por cada 15 unidades aumenta el precio en 2

unidades.

caso produccion precio

1 10,000 1,000

2 40,000 5,000

caso x y

1 10,000 1,000

2 40,000 5,000

caso q p

1 10,000 1,000

2 40,000 5,000

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DEMANDA

La demanda se comporta así: Entre mas bajo

el precio, hay más personas interesadas en

comprar entre mas alto el precio hay menos

personas i interesadas en comprar. La grafica

tiene pendiente decreciente.

• m = precio unitario de compra

• q = cantidad de unidades adquiridas

• b = intercepto cuando cantidad = 0 (q = 0) EJERCICIO: El negocio de venta de café en tasa, “Café

Excelente” ha observado que si la tasa de café

vale 50 lps, venden 1000 unidades al mes, pero

si el café vale 40 lps, venden 4000 unidades al

mes. Determine cuando podrían vender si el

café se pone al precio de 45 lps.

Paso 1: plante los dos casos en una tabla

Paso 2: determine que variable es x, y que

variable es y. Normalmente las unidades son x,

y los precios son y. También a las cantidades

se les llama q, y al precio p.

Paso 3: aplique la fórmula de pendiente (40) (50) 10 1

(4000) (1000) 3000 300m

− − −= = =

−

Paso 4: determine la ecuación

( )1( 50) (1000)

300y x

− − = −

1 100050

300 300y x

−= + +

1 16000

300 300y x

−= +

1 160

300 3y x

−= +

Paso 5: Redacte la solución matemática en términos aplicados. La ecuación de la demanda es

1 160

300 3y x

−= +

Por cada 300 unidades el precio disminuye en

un lempira.

Paso 6: calcule el valor de x (unidades) si Y

(precio) vale 45

Si y= 45 despejamos

caso produccion precio

1 1,000 50

2 4,000 40

caso x y

1 1,000 50

2 4,000 40

caso q p

1 1,000 50

2 4,000 40

15

1 16045

300 3x

−= +

160 145

3 300x

−− =

25 300

3 ( 1)x− =

−i

2500 x= Paso 7: redacte la respuesta en términos aplicados. Si el precio es de 45 Lps la venta será de 2500

unidades

Punto de equilibrio oferta – demanda Como pudimos ver los productores

(ofertantes) y los consumidores (demandantes)

se comportan de diferente manera, por eso sus

graficas tienen pendientes diferentes. Cuando

se ponen de acuerdo es logra el punto de

equilibrio que es el precio al cual ambos

venden y compran

APLICACIONES DE INGRESOS, COSTOS Y UTILIDADES Los negocios comerciales normalmente

funcionan u operan vendiendo productos o

servicios, por lo cual reciben un ingreso, a

cambio entregan productos o servicios para lo

cual tuvieron que pagar costos.

En un negocio comercial se manejan tres

conceptos principales:

1. Ingreso: es el valor en dinero que

recibe una persona o una empresa a

cambio de un producto o servicio.

2. Costo: son los valores en los que tiene

que incurrir una empresa o persona

para poder ofrecer un producto o

servicio

3. Utilidad: es la ganancia que logra una

persona si vende algo a un valor más

alto de lo que le costó.

Estos tres conceptos se relacionan por la

formula

Utilidad = Ingreso – Costo U = I - C

Como la relación se representa una ecuación

podemos expresarla también como

Ingreso = costo + utilidad Los ingresos, costos y utilidad se pueden representar por la ecuación lineal. Y=mx+b

• Donde m es el valor unitario

• Donde b es el valor fijo

•

• A la parte “mx” se le llama la parte

variable de la ecuación porque cambia

con cada unidad

• A la parte “b” se le llama la parte fija

porque se mantiene constante no

importa el número de unidades

NOTA: En economía en vez de llamarse “m” al precio unitario se le llama “p” y en vez de llamarse “x” a las unidades se les llama “q”

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En resumen

Concepto Total Variable Fijo

Parte matemática

Y= m*x +b

Y= p*q + c

Ingresos Yi=

Costos Yc=

Utilidades Yu=

EJEMPLO: Daniel piensa poner un negocio de venta de

camisetas en la universidad, cada camiseta la

piensa vender a 200 lempiras, el compra las

camisetas a 120 lempiras por unidad, y además

debe pagar por un local la cantidad de 4000

lempiras.

El está preocupado porque no sabe cuánto

debe vender para poder tener ganancias. El

quisiera ganar al mes 9000 lempiras.

PASO 1: determine los datos y plantee la ecuacion

Ingresos

• Precio unitario de venta = 200 Lps

• Ingreso fijo =0

Ingreso = Yi

Y plantear la ecuación Yi=precio unitario (unidades)+ingreso fijo

Yi=mx+b

Yi=200x+0

Nota: por lo general el ingreso fijo no existe, a

menos que la empresa reciba un pago fijo por

algo (alquiler, licencias, derechos, etc.=

Costos

• Costo unitario = 120 Lps

• Costo fijo mensual=4000

Y plantear la ecuación Yc=precio unitario (unidades)+costo + fijo

Yc=mx+b

Yc=120x+4000

Paso 2: calcular la ecuación de utilidad Sabemos U=I - C Utilidad= Yi – Yc =(200x+0)-(120x+4000)

Utilidad =200x+0-120x-4000

Utilidad == Yu=80x – 4000

Si graficamos las ecuaciones de ingreso y costo

nos quedaría.

Gráficamente lo que tenemos es

La ecuación de ingreso Yi= 200x+0 Nos dice que por cada unidad de x, los ingresos

aumentan 200 lempiras.

Si vendemos 10 unidades ganaríamos 2000

lempiras, por eso se dice que 200x es la parte

variable de la ecuación, porque varia o

depende del valor de x (unidades)

La ecuación de costo Yc= 120x+4000 Nos dice que por cada unidad tendremos que

gastar 120 lempiras, si vendemos 10 unidades

(x=10) el costo variable será de 1200 lempiras.

Se dice que es la parte variable, porque

depende de cuánto se venda.

Se dice que 4000 lempiras es la parte fija,

porque venda o no venda igual debemos

pagarlo.

La ecuación de utilidad Yu=80x-4000

zona de

zona de utilidad

perdida

4000

Recta de Ingreso

recta del costo

Punto de equilibrio

17

Nos dice que si no vendemos nada (x=0)

tendremos una pérdida de 4000 lempiras.

Nos dice también que por cada unidad

ganamos 80 lempiras

Punto de equilibrio: Es el momento en que

1. Ingresos son iguales al os costos

2. Utilidades son iguales a cero

Calculamos Yu=80x-4000

Yu=0 = 80x-4000

Despejamos: x=4000/80 =50

Ahora ya sabemos que Daniel debe vender al

menos 50 unidades para no tener pérdidas.

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Función cuadrática

ECUACIÓN Forma polifónica

2( )f x ax bx c= + +

Forma canónica 2( ) ( )f x a x h k= − +

Si: ( )g x mx b= +

( )2( ) ( )f x a g x c= +

Forma en raíces

1 2( ) ( )( )f x a x x x x= − −

CARACTERÍSTICAS DE LA GRAFICA Concavidad

Si a = positiva

Si a= negativa

Vértice (h,k): es el punto máximo o mínimo de

la grafica. SI “a” es positivo es mínimo, si “a” es

negativo es máximo

2

bh

a

−=

1 2( )

2

x xh

+=

2( ) ( )k f x a h bh c= = + +

Intercepto en x.= Ix(?,0) El intercepto se calcula cuando y =0

Intercepto en y.= Iy(0, ?) El intercepto se calcula cuando x =0

EJEMPLO: 2( ) 20f x x x= + −

a=1, b=1,c=-20 Paso 1: calculamos el vértice (k,h)

(1) 1

2(1) 2h

− −= =

(1) 1

2(1) 2h

− −= =

Paso 2: determine el intercepto en y

x=0 2(0) 1(0) 1(0) 20 20k f= = + − = −

Iy=(0,-20)

Paso 3: determine el intercepto en y

y=0 20 1 20x x= + −

Factorizando

0=(x+5)(x-4)

1 5x = −

2 4x = +

Ix1=(0,-5)

Ix2=(0,4) Paso 4: Elaborar tabla de valores (opcional)

x y

-5 0

-1/2 -81/4=-20.25

4 0

Paso 5: graficar

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

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Aplicaciones de la función cuadrática Recordamos las aplicaciones lineales.

Ingreso = precio unitario (unidades)+ingreso fijo Yi=p*q+fijo

p=precio unitario de vena

q=unidades

Costo = costo unitario (unidades)+costo fijo Yc=p*q+fijo


q=unidades

Utilidad=margen unitario (unidades) + utilidad fija Yu=p*q+fijo


q=unidades

SI el precio es constante es una aplicación lineal Nota: Cuando el precio incluye descuento por

volumen, se convierte en una aplicación

cuadrática

EJEMPLO: Daniel piensa poner un negocio de venta de

camisetas en la universidad, cada camiseta la

piensa vender a 200 lempiras, el compra las

camisetas a 120 lempiras por unidad, y además

debe pagar por un local la cantidad de 4000

lempiras.

El está preocupado porque no sabe cuánto

debe vender para poder tener ganancias. El

quisiera ganar al mes 9000 lempiras.

Nota: esta aplicación lineal se vuelve

cuadrática si aplicamos descuentos por

volumen.

Daniel piensa poner un descuento al precio por

volumen de 2 lempiras cada 100 unidades

(2

100d

−= ), por lo que ahora el precio es

2200

100p = −

Tambien consiguió un descuento al precio del

costo de 1 lempira cada 100 unidades

(1

100d

−= ),, por lo que ahora el precio es

1120

100p = −

PASO 1: Planteamos las ecuaciones de ingreso

y costo.

INGRESOS: recordamos

Yi=p(q)+fijo

2200

100p = −

q=x

ingreso fijo = 0

2200 ( ) 0

100yi x

= − +

22200

100yi x x= −

COSTOS: recordamos

YC=p(q)+fijo

1120

100p = −

q=x

ingreso fijo = 0

1120 ( ) 0

100yc x

= − +

21120

100yc x x= −

Paso 2: calculamos la utilidad

U = I – C

U=Yi –Yc

2 22 1200 120

100 100U x x x x

= − − −

20

2 22 1200 120

100 100U x x x x= − − +

2180

100U x x= −

PASO 3: Elaborar la grafica de utilidad

2180 0

100U x x= − + +

a=-1/100

b=80

c=0

804000

12

100

h−

= =−

( )21( ) 4000 80(4000) 0

100k f h= = − + +

K=160,000

Interceptas 1

( 80)100

U x x= − +

X1=0

X2=8000

Tabla de valores

Grafica

PASO 4: Establecer la interpretación comercial

de los resultados

PUNTO MÁXIMO O MÍNIMO Como a = negativo, la grafica es cóncava hacia

abajo, y por tanto el vértice representa el

punto máximo.

Que es la utilidad máxima de 160,000 lempiras

para una producción de 4000 unidades

UTILIDAD NULA. Cuanto la grafica intercpeta con el eje x, se

producen las utilidades nulas, que ocurren en

la producción 0 y la producción 4000.

a

x y

-1000 -90000

0 0

2000 120000

4000 160000

6000 120000

8000 0

9000 -90000

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000

21

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Ejemplos

Ecuacion

y a mx b c= + +

Si ( )g x mx b= +

Tambien Tenemos la forma

( )y a g x c= +

Forma de la grafica

SI a es positivo

Si a es negativo

Característica de la grafica Vertice (h, k)

h: es igual a x si ( ) 0g x =

k:

k= f(h)= ( )a m h b c= + +

k= f(h)= c

Intercepto en y = Iy =(0, ?)

Intercepto en x = Ix =( ?,0)

Dominio = ℝ =Reales

Rango

SI a es positivo [ , [k +∞

Si a es negativo

] , ]k−∞

EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de

3 6 3y x= − − +

Paso 1: determinar vértice

(h, k)

( ) 0g x =

3x-6=0

X=6/3=2

3(2) 6 3y = − − +

6 6 3y = − − +

0 3y = − +

3y = +

Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?)

X=0

3(0) 6 3y = − − +

6 3y = − − +

(6) 3y = − +

3y = −

Iy(0,-3)

Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0)

Y=0

0 3 6 3x= − − +

3 3 6x− = − −

33 6

1x

−= −

−

3 3 6x= −

22

+ -

( )3 3 6x= + −

3 3 6x= −

3 6 3x+ =

9

3x=

3x =

( )3 3 6x= − −

3 3 6x= − +

3 3 6x = − +

3 3x =

3

3x =

1x =

Ix(3, 0)

Ix(1, 0)

Paso 4: elaborar grafica

Paso 5: determinar dominio y rango

Dominio

= ℝ =Reales

Rango:

Como a es negativo

] ,3]−∞

23

FUNCIÓN RADICAL Ecuacion

y a mx b c= + +

Si ( )g x mx b= +

Tambien Tenemos la forma

( )y a g x c= +

Forma de la grafica

SI “a” es positivo

y “m” es positivo.

Si “a” es negativo

Y “m” es positivo.

Característica de la grafica Vertice (h, k)

h: es igual a x si ( ) 0g x =

k:

k= f(h)= ( )a m h b c= + +

k= f(h)= c

Intercepto en y = Iy =(0, ?)

Intercepto en x = Ix =( ?,0)

Dominio

SI “m” es positivo [h, [+∞

Si “m” es

negativo

] , ]h−∞

Rango

SI “a” es positivo [ , [k +∞

Si “a” es negativo

] , ]k−∞

EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de

3 6 3y x= − − +

Paso 1: determinar vértice

(h, k)

( ) 0g x =

3x-6=0

X=6/3=2

3(2) 6 3y = − − +

6 6 3y = − − +

0 3y = − +

3y = +

Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?)

X=0

3(0) 6 3y = − − +

6 3y = − − +

No existe, porque no se puede calcular la raíz

de un negativo.

Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0)

Y=0

0 3 6 3x= − − +

3 3 6x− = − −

33 6

1x

−= −

−

3 3 6x= − 2 2(3) ( 3 6)x= −

9 3 6x= −

9 6 3x+ =

15

3x=

5x =

Ix(5,0)

24

Paso 4: elaborar grafica

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y

25

FUNCIÓN RACIONAL Ecuación

( )

( )

P xy

Q x=

Donde P(x) es un polinomio y

Q(x) es un polinomio diferente de cero

Ecuación factorizada

1 2 3

1 2 3

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

p x p x p xP xy

Q x q x q x q x= =

i i

i i

Donde

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P x p x p x p x= i i

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )Q x q x q x q x= i i

CARACTERISTICAS DE LA GRAFICA Asíntota Vertical (AV): es una línea vertical imaginaria a la que la gráfica se acerca por la derecha y

por la izquierda pero jamás la toca o cruza.

Sabemos que Q(x) no puede ser cero porque la división entre cero no existe. Y por tanto ningún

factor de Q(x) puede ser cero.

Si nos acercamos a este valor por la derecha o por la izquierda, lo que ocurrirá es que los valores de

“y” tenderán a −∞

o +∞

Ejemplo 1

( 2)y

x=

−

AV ocurre cuando

x-2=0

despejando x=2

Verificamos por la

izquierda

X=1.9999

1

(1.9999 2)y =

−

=-10,000

(tiende a - ∞

)

-2 -1 0 1 2 3 4

26

Verificamos por

la derecha

X=2.0001

1

(2.0001 2)y =

−

=10,000

(tiende a +

infinito)

Asíntota Horizontal y Oblicua: Es una línea recta horizontal u oblicua a la cual tiende la gráfica en los valores que – infinito y +

infinito.

Lo que sucede en los valores cercanos a + infinito o – infinito es que el resultado final esta

determinado por la división de los términos principales de P(x) y de Q(x)

Por tanto la tendencia del y e - infinito o + infinito depende solo del termino principal.

Caso horizontal “y” distinto de 0: cuando los grados de polinomio de P(x) y Q(x) son iguales la división

de los términos será una constante: la cual determinara una recta horizontal a la que la gráfica

tendera en – infinito o + infinito:

Ejemplos 3 3

3 2 3

3 2 3 3( )

5 18 1 5 5

x xf x

x x x

+= ≈ =

+ +

La asíntota horizontal será y=3/5 y su grafica:

Podemos verificarlo con la tabla de valores

-2 -1 0 1 2 3 4

x y y=

10 14000 3000

100 4001000 3000000

1000 3100001000 3000000000

100000 3.001E+15 3E+15

3 2( ) 3 2 1P x x x= + +3 2( ) 3 100 1000P x x x= + +

27

Vemos que a medida que vamos a mas y menos infinito mas nos acercamos a 3/5=0.60

Caso horizontal “y” igual a 0 Cuando el grado del polinomio Q(x) es mayor que P(x),el resultado de dividir los términos principales

es:

1k

x , 2

1k

x , 3

1k

x , etc.

Donde k es una constante

Esto lo confirmamos con esta tabla de valores:

Como vemos la tendencia es acercarse a la recta horizontal y=0

Caso oblicuo: Cuando la división de los términos establece un término lineal se produce una asíntota

con pendiente inclinada

Ejemplo 4 4

3 2 3

7 9 7 7( )

5 10 5 5

x x xf x

x x x

+= ≈ =

+ +

La asíntota será una recta con pendiente 7/5

Para determinar el valor exacto de la ecuación de la línea recta debemos hacer la división de ambos

polinomios

La ecuación de la asíntota horizontal será

x

-10000 0.600216078

-1000 0.602167804

-100 0.622406353

100 0.579150853

1000 0.597847748

10000 0.599784078

3 3

3 2 3

3 2 3 3( )

5 18 1 5 5

x xf x

x x x

+= ≈ =

+ +

Si k = 1

x y=

-10000 -0.0001

-1000 -0.001

-100 -0.01

100 0.01

1000 0.001

10000 0.0001

1k

x

28

Y la grafica será:

Caso sin asíntota horizontal u oblicua: Si se tiene asíntota hozontal no se tiene oblicua y viceversa.

Ocurre cuando el grado del polinomio del numerador de la función es dos o más grados superior al

inferior. 4 4 2

2 2

10 1 1( )

5 3 5 5

x x xf x

x x

+= ≈ =

+

La grafica de la función es roja la gruesa, la

gráfica en el infinito es la punteada.

Nota: Después del caso lineal (asíntota oblicua)

los demás casos se consideran que van a

menos o mas infinito según sea

Punto faltante: Cuando se puede cancelar un factor del denominador Q(x) con el del numerador P(x) se dice que ese

factor crea un punto faltante.

Ejemplo:

( 2) 1( )

( 3)( 2) ( 3)

xf x

x x x

−= =

+ − +

En este caso es fácil ver que tenemos un factor común (x-2), y es fácil de cancelar, sin embarfo si el

problema se nos presenta asi

29

2

( 2)( )

6

xf x

x x

−=

+ −

No podemos saber qué pasa.

Lo que si podemos saber es que al sustituir x= 2 nos queda:

2

((2) 2) 0 0( )

(2) (2) 6 4 2 6 0f x

−= = =

+ − + −

La división 0/0 no está definida por tanto este punto no se puede graficar.

Regla: siempre que al sustituir un valor de x nos quede el caso 0/0 sabemos que al menos existe un

caso de un punto faltante

REGLAS RESPECTO A LOS FACTORES DE P(X) Y Q(X) Los factores de P(X) solo pueden ser:

• Intercepto en x

• Punto faltante

Los factores de Q(x) solo pueden ser

• Asíntota vertical

• Punto faltante

SI un factor esta arriba y abajo y puede simplificarse en 1 al dividirse entonces ese factor será punto

faltante, y la formula de la función podrá simplificarse

Ejemplo

2 ( )( )

3 ( )

P xf x

x Q x

−= =

−

Paso 1: Factorizar y clasificar los factores

En este ejemplo no se ocupa factoizar

Concepto Factor Valor de x si factor =0

Tipo

P(x)

arriba

-2

No aplica No aplica

Q(x)

abajo

x-3 X=3 AV:

asíntota

vertical

Paso 2: METODO DE TABLA DE VALORES Se elabora una tabla de valores que incluya los valores de x de la tabla de factores, y se agregue un

valor de -10 o -100 que represente menos infinito y uno de +10 o +100 que represente más infinito. Y

se debe agregar el intercepto de y, o sea cuando x=0.

30

Tipo x X Y

−∞

-10

Iy 0

AV 3

+∞

+10

El problema con esta tabla de valores es que el valor de x=3 no esta definido porque 1/0 no esta definido por lo

que no se puede evaluar y menos graficar.

Por lo cual agregaremos a la tabla de valores un valor cercano a 3 antes y despue y calculamos los valores de

“y”

Tipo x X Y

−∞

-100 0.01942

Iy 0 2/3

AV- Δ 2.999 2000

AV 3 No Aplica

AV+ Δ 3.001 -2000

+∞

+100 -0.02062

Podemos ver que

• cuando x tiende a valores cercanos a menos infinito y tiende a valores de 0 positivos.

• cuando x tiende a valores cercanos a mas infinito “y” tiende a valores de 0 negativos.

• que cuando “x” se acerca a 3 por la izquierda los valores de “y” tienen a mas infinito

• que cuando “x” se acerca a 3 por la derecha los valores de “y” tienen a menos infinito

Con esto ya podemos graficar estas tendencias:

Si unimos estas tendencias tendremos la grafica final

4

3

2

1

0 AH:y=0

-4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

-3

-4 AV:x=3

31

Dominio = {3}eales −ℝ

Notamos que son los reales menos los valores que hacen cero Q(x)

Rango: {0}eales −ℝ

EJEMPLO 2

2

3

2 2( )

9

x xf x

x x

−=

−

Paso 1: factorizar 2

3

2 2 2 ( 1)( )

9 ( 3)( 3)

x x x xf x

x x x x x

− −= =

− − −

Paso 2: identificar factores eliminables y Punto Faltante.

2 ( 1) 2( 1)( )

( 3)( 3) ( 3)( 3)

x x xf x

x x x x x

− −= =

+ − + −

Observamos que el factor “x” está arriba y abajo y puede simplificarse. Por tanto x=0 es un punto

faltante (PF).

Para averiguar cuanto vale en y sustituimos en la formula simplificada

2(0 1) 2 2(0)

(0 3)(0 3) 9 9f

− −== = =

+ − −

PF=(0, 2/9)

Paso 3: elaboramos tabla de factores y su clasificacion

Concepto Factor Valor de x si factor =0

Tipo

P(x)

arriba

2 No aplica No aplica

x x PF

x-1 X=1 Ix

32

Q(x)

abajo

x x PF

x-3 X=3 AV:

X+3 X=-3 AV:

Paso 4: diseñamos tabla de valores

Tipo x X Y

−∞

-100

AV -3

Iy, PF 0

Ix 1

AV 3

+∞

+100

Paso 5: elaboramos tabla de valores

Tipo x X Y

−∞ -100 -0.0101

AV - Δ -3.001 -666.7222

AV -3 No Definido

AV + Δ -2.999 666.6111

PF- Δ -0.001 0.1112

Iy, PF 0 0.1111

PF+ Δ 0.001 0.1110

Ix 1 0.0000

AV- Δ 2.999 -333.2222

AV 3 No Definido

AV + Δ 3.001 333.4444

+∞ 100 0.0099

Paso 6: determinamos asíntota horizontal /oblicua 2 2

3 3

2 2 2 2( )

9

x x xf x

x x x x

−= ≈ =

−

Lo que nos da que la Asíntota Horizontal es

AH: Y=0 Paso 7: graficamos

33

METODO POR SIGNOS En vez de calcular toda la tabla de valore podemos utilizar la técnica de tabla signos

En este método buscamos averiguar si la grafica es positiva o negativa, para lo cual averiguamos que

signo produce cada factor en un punto dado de x.

Por ejemplo

(2)(0 1) 2 ( )( )(0) ( )

(0 3)(0 3) 9 ( )( )f

− + −= = = = +

+ − + −

Sabemos que si el factor es

Factor=X-3, como funcion y =X-3

El signo que producirá sera

Si el factor ubiera sido

Factor =(-2x + 4), como funcion Y= (-2x + 4)

Observamos que si la x es negativa los signos cambian

El objetivo al final es hacer ls siguiente tabla

Con esta tabla más la asíntota horizontal podemos hacer fácilmente la grafica

x -100 -1 0 3 10 100

y=x-3 -103 -4 -3 0 7 97

signo - - - 0 + +

x -100 -1 0 2 10 100

y=-2x+4 204 6 4 0 -16 -196

signo + + + 0 - -

Valor de x

Tipo Factor si fac =0

2 No aplica

x x

x-1 X=1

x x

x-3 X=3

X+3 X=-3

f(x)= - + + - +

AV IY,PF IX AV

+

-

-

-

-

-

+

-

-

-

-

+

+

+

-

+

-

+

-

+

+

+

+

+

+

+

P(x)

Q(x)

-3 0 1 3

+

+

+

+

− ∞ + ∞

−∞ +∞

34

Uniendo las flechas nos queda

Que es lo mismo que si hubiéramos usado valores

Dominio: {0,3,-3}eales −ℝ

Notamos que el dominio toma todos los reales menos los valores que hacen cero el denominador

Rango: ealesℝ

El rango depende de la grafica

AH:y=0

-3 0 1 3

AV IY,PF IX AV

− ∞

−∞ +∞

AH:y=0

-3 0 1 3

AV IY,PF IX AV

− ∞

−∞ +∞

mÉtodos 2: resumen teorÍa nivelacion … · la técnica de despeje por “trasposición de...

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