UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMAS

ESPE

EXTENSIÓN LATACUNGA

Chicaiza Salazar William David.

Ingeniería de Electrónica e Instrumentación, Quinto Nivel, Escuela Politécnica del Ejército Extensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador.

email :deyvit_ch@hotmail.com Fecha de presentación: Latacunga, martes 16 de diciembre del 2014.

MÉTODO DE LA INTEGRAL DE INVERSIÓN PARA HALLAR LA TRANSFORMADA Z INVERSA.

RESUMEN: La transformada z en un sistema de control en tiempo discreto juega el mismo papel

que la transformada de Laplace en sistemas de control continuo. La notación para la

transformada z inversa es 𝑍−1 . La transformada z inversa de 𝑋(𝑧) da como resultado la correspondiente secuencia en tiempo 𝑥(𝑘). La integral de inversión es una herramienta matemática que ayuda a determinar la transformada Z inversa, esta herramienta de basa principalmente en el teorema de la integral de Cauchy para el análisis de los sistemas lineales en tiempo discreto.

PALABRAS CLAVE:

Trasformada Z inversa.

Integral de inversión.

DESARROLLO.

1. Método de la integral de inversión.

Es una técnica útil para la obtención de la trasformada z inversa. La integral de inversión de la trasformada z 𝑋(𝑧) esta dada por:

𝒁−𝟏[𝑿(𝒛)] = 𝒙(𝒌𝑻) = 𝒙(𝒌)

𝒙(𝒌) =𝟏

𝟐𝝅𝒋∮ 𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏𝒅𝒛

.

𝑪

Donde C es un circulo con centro en el origen del plano z tal que todos los

polos de 𝑋(𝑧) 𝑧𝑘−1 están dentro de él. L ecuación que da la trasformada z inversa en términos de los residuos se puede obtener si se utiliza la teoría de

la variable compleja. Esta se pude obtener como sigue:

(𝒌𝑻) = 𝒙(𝒌) = 𝑲𝟏 + 𝑲𝟐 + ⋯ ⋯ 𝑲𝒎

= ∑[𝒓𝒆𝒔𝒊𝒅𝒖𝒐 𝒅𝒆 𝑿(𝒛)𝒌−𝟏 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒐 𝒛

𝒎

𝒊=𝟏

= 𝒛𝟏 𝒅𝒆 𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏] (𝟐)

Donde 𝐾1, 𝐾2, … 𝐾𝑚 denotan los

residuos de 𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏 en los polos

𝒛𝟏, 𝒛𝟐, … … 𝒛𝒎 , respectivamente. Al

evaluar los residuos, observe que si

el denominador de 𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏

contiene un polo simple en 𝒛 = 𝒛𝒊 ,

entonces el residuo 𝐾

correspondiente está dado por:

𝑲 = 𝐥𝐢𝐦𝒛→𝒛𝒊

[(𝒛 − 𝒛𝒊)𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏] (𝟑)

Si 𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏 contiene un polo múltiple 𝒛𝒋

de orden 𝑞 , entonces el residuo de

𝐾 está dado por:

𝑲 =𝟏

(𝒒 − 𝟏)!𝐥𝐢𝐦𝒛→𝒛𝒋

𝒅𝒒−𝟏

𝒅𝒛𝒒−𝟏 [(𝒛 − 𝒛𝒋)𝒒

𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏] (𝟒)

Observe que los valores de 𝑘 en las

ecuaciones (𝟐), (𝟑), (𝟒) son enteros

positivos.

Si 𝑿(𝒛) tiene un cero de orden r en el

origen, entonces 𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏 en la ecuación (𝟐) involucrará un cero de

orden 𝒓 + 𝒌 − 𝟏 en el origen. Si 𝑟 ≥ 1,

entonces 𝒓 + 𝒌 − 𝟏 ≥ 𝟎 para 𝑘 ≥ 0, y

no hay polo en 𝒛 = 𝟎 en 𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏. Sin

embargo 𝑟 ≤ 0 , entonces habrá un polo en 𝒛 = 𝟎, para uno o más valores

positivos de 𝑘. Debe observarse que el método de la integral de inversión, cuando se evalúa por residuos, es una técnica muy sencilla para obtener la trasformada z

inversa, siempre que 𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏 , no tenga polos en el origen, 𝒛 = 𝟎 . Sin

embargo si 𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏 tiene un polo

simple o uno múltiple en 𝒛 = 𝟎 , el cálculo se pude tornar tedioso y el método de expansión en fracciones parciales podría ser más sencillo de aplicar. Por otro lado, en ciertos problemas el enfoque de expansión en fracciones parciales puede ser laborioso. En ese caso es más conveniente el método de la integral de inversión.

2. Aplicación a un ejercicio. Obtenga la transformada z inversa de la

siguiente expresión.

𝑿(𝒛) =𝒛𝟐

(𝒛 − 𝟏)𝟐(𝒛 − 𝒆−𝒂𝑻)

Observe que al aplicar la integral de

inversión 𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏 obtenemos:

𝑿(𝒛)𝒛𝒌−𝟏 =𝒛𝒌+𝟏

(𝒛 − 𝟏)(𝒛 − 𝒆−𝒂𝑻)

Para 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑋(𝑧)𝑧𝑘−1 tiene un

polos simples en 𝑧 = 𝑧1 = 𝑒−𝑎𝑇. Por lo

tanto, a partir de la ecuación (2) se

tiene:

= ∑ [𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑑𝑒 𝑧𝑘+1

(𝑧 − 1)2(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑧

𝑚

𝑖=1

= 𝑧1 ]

𝒙(𝒌) = 𝑲𝟏 + 𝑲𝟐

Donde

𝐾1 = [𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑧 = 𝑒−𝑎𝑇 ]

= lim𝑧→𝑒−𝑎𝑇

[(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇) 𝒛𝒌+𝟏

(𝒛 − 𝟏)(𝒛 − 𝒆−𝒂𝑻)]

=𝒆−𝒂(𝒌+𝟏)𝑻

(𝟏 − 𝒆−𝒂𝑻)𝟐

𝐾2 = [𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑧 = 1]

=1

(2 − 1)!lim𝑧→1

𝑑

𝑑𝑧[(𝑧 − 1)2

𝑧𝑘+1

(𝑧 − 1)2(𝒛 − 𝒆−𝒂𝑻)]

= lim𝑧→1

𝑑

𝑑𝑧[

𝒛𝒌+𝟏

(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇)]

= lim𝑧→1

(𝑘 + 1)𝑧𝑘(𝒛 − 𝒆−𝒂𝑻) − 𝑧𝑘+1

(𝑧 − 𝑒−𝑎𝑇)𝟐

=𝑘

1 − 𝑒−𝑎𝑇−

𝒆−𝒂𝑻

(1 − 𝑒−𝑎𝑇)𝟐

Por lo tanto,

𝑥(𝑘𝑇) = 𝐾1 + 𝐾2

𝐾1 + 𝐾2 =𝑒−𝑎𝑇𝑒−𝑎𝑘𝑇

(1 − 𝑒−𝑎𝑇)2+

𝑘1 − 𝑒−𝑎𝑇

−𝒆−𝒂𝑻

(1 − 𝑒−𝑎𝑇)𝟐

𝐾1 + 𝐾2 =𝑘𝑇

𝑇(1 − 𝑒−𝑎𝑇)−

𝑒−𝑎𝑇(1 − 𝑒−𝑎𝑘𝑇 )

(1 − 𝑒−𝑎𝑇)2+

𝑘 = 0,1,2, … … … ..

3. Conclusiones.

La integral de inversión es una

herramienta matemática que nos

permite encontrar la transformada z

inversa de una manera más fácil.

Para hallar la transformada inversa z,

con el método de la integral de

inversión; no debe existir polos en el

origen z=0 en la función.

Para aplicar el método de la integral

de inversión se debe conocer los

polos y ceros existentes de 𝑿(𝒛).

4. Bibliografía.

[1] K. Ogata, «Transformada Inversa : Metodo de la integral de inversión.,» de

SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO, PRENTICE HALL.,

1996, pp. 50,51,52.