metodo_de_muto_ae_ii._completado

8/3/2019 METODO_DE_MUTO_AE_II._completado

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MTODO DE MUTO

Est en los resultados de la deformacin por flexin en las barras son ms exactos,incluso pueden utilizarse para el diseo de estructuras de mediana altura, donde losefectos de la deformacin El anlisis ssmico aproximado de edificios trata sobre elestudio de mtodos que permiten resolver en forma aproximada a los prticos deedificios sujetos a carga lateral (sismo o viento).

Entre este mtodo encontramos el mtodo de muto que se utiliza principalmente pararesolver prticos compuestos por vigas y por columnas ortogonales.

Es uno de los mtodos que se usa para resolver en forma aproximada a los prticosde edificios compuestos por vigas y columnas ortogonales sujetos a carga lateralproducida producida por el viento o los sismos.

La diferencia que contempla a este mtodo de otros (mtodo del portal o del voladizo)axial son despreciables.

RIGIDEZ LATERALSupongamos la siguiente columna empotrada, sujeta a un desplazamiento lateral

Por equilibrio:

Siendo:

Entonces:

Multiplicando:

Resulta:

Se define a la rigidez lateral absoluta (K0 Da) como aquella fuerza cortante Vcapaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremosde la columna, bajo esta definicin se obtiene:

Rigidez lateral absoluta =

h

V

V


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Donde D0 es la denominada rigidez lateral estndar (en unidades de fuerzaentre longitud, usualmente ton/cm) calculada como:

Rigidez lateral estndar = La rigidez lateral estndar depende de la altura de cada columna, pero comousualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura,entonces esas columnas tendrn el mismo valor D0

Por otro lado se define a la

Rigidez lateral relativa(Adimensional) al valor:

Rigidez lateral =

El coeficiente a contempla el grado de empotramiento que tiene lacolumna en sus extremos, para el caso que la columna este biempotrada(vigas muy rgidas) el valor deaes 1. En cambio si la columna esta biarticulada

a es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamientolateral), por otro lado, si la columna est articulada en su base y empotrada ensu extremo superior (vigas rgidas), se demostrara que aes un 1/4

Pese a que la columna este articulada en su

h2

h1

h

V

V


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base, el mtodo de muto, siempre trabaja como un coeficiente de rigidez a laflexin

El valor aesta comprendido entre 0 y 1, y la mxima rigidez lateral (K)se obtienecuando la columna esta biempotrada, si esta columna se articulaseen su base K se reduce en 75 % y si luego se articulase en su extremosuperior, k se degrada en 100% convirtindose en un mecanismo inestable.

tal como se ha definido la rigidez lateral, se tendra que ella resultadependiente del sistema de carga lateral actuante, sin embargo , mutoconcluye que en los prticos compuestos por vigas y columnas , la distribuciny magnitud de las cargas laterales no afecta el valor de K.

CALCULO DEL COEFICIENTE a ( MUTO RECOMIENDA)

1.-COLUMNAS QUE PERTENECEN A ENTREPISOS SUPERIORES ALPRIMERO

a.- si b.-el mtodo es vlido solo cuando K 0.2, de lo contrario, la formula es

imprecisa. El valor K es menor que 0.2 cuando las vigas son muyflexibles en relacin con la columna (vigas chatas), o cuando la columnatrata de transformarse en una placa.

Kv=00 Kv=00 Kv=00

Kk4

K=0a=1 a= a=014

Kc

Kv1 Kv2

Kv4Kv3

L1 L2

Kv1 Kv2

Kv4Kv3

Kc


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2.- SUB CASOS PARA LAS COLUMNAS DEL PRIMER PISO

a.- base semiempotrada: aparte de existir vigas de cimentacin (vc), larigidez aportada por los pilotes o el suelo de cimentacin (K) secontempla:

cuando la base de la columna esta semiempotrada, el valor que se obtengadeadeber ser inferior al caso en que la base este empotrada (sub-caso b)

b.- base empotrada

c.- base articulada

Kv1 Kv2

Kv4Kv3

Kz

Kc

Kv2Kv1

Kc

A=0.5 + K

2 +K

K =KV1 + KV2

KC

Kv4Kv3

Kc =1

hk0

A=0.5 + K

1 +2K

K =KV 1+ KV 2

KC


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2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS ENPARALELO

La condicin para que un conjunto de columnas estas dispuestos enparalelos es que su desplazamiento relativo () sea nico. Esto ocurre en

los edificios compuestos por losas de piso axialmente rgidos (aligeradaslosas macizas) denominados diafragmas rgidos donde al existirmonolitismo entre las vigas y la losa, las vigas, tambin sern rgidasaxialmente.

Estudiando un entrepiso cualquiera del prtico mostrado y llamando Q alcortante de entrepiso (valor conocido por equilibrio de fuerzas laterales), setratara de reducir el conjunto de columnas a un solo eje vertical, cuyarigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de las columnasque conforman ese entrepiso.

Como entonces: Q= V1 +V2+V3=K1.+K2.+K3. =

La fuerza cortante en cada columna:

Nota: cada columna absorbe fuerza cortante en proporcin a su rigidez

lateral.Por otro, lado se observa que el desplazamiento del entrepiso (A)puede obtenerse si se modela al prtico como un solo eje vertical,cuya rigidez de entrepiso sea Ki.

K 2 K 3K 1

F 3

F 2v1 v2 v3

Q =v1 v2 v3+ + = F2 +F3

F 3

F 2

F 1

K 1

F 3

F 2

F 1

M


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3.- PRTICOS CON MEZZANINE Y VIGAS DE ENTREPISO: columnas enserie

La condicin para que dos o ms columnas (ubicadas una sobre otra), estndispuestas en serie es que la fuerza cortante en ellas sea nica, lo queimplica que la fuerza actuante a la altura del nivel que separa a las columnas

es nulo. Este sistema puede reducirse a una sola columna equivalente dedoble altura de la siguiente manera.

1 PASO

2 PASO

Entonces:

V2 =V

K 2

K 1

V2=V

V1=V

01

2

h 2

h 1

1

1 2+

V

V

( )


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Este caso de columnas en serie puede presentarse en prticos conmezzanine, donde la altura del mezzanine la masa es pequea, as como laaceleracin ssmica con lo cual, la fuerza de inercia en ese nivel esdespreciable con relacin a los que existen en los niveles superiores.

Tambin puede presentarse en prticos con viga intermedia en elentrepiso, que sirve como apoyo del descanso de alguna escalera, al ser sumasa pequea, la fuerza de inercia ser nula en ese nivel.

4.- DETERMINACIN DE ESFUERZOS

Conocido el cortante que absorbe una columna (V), MUTO proporciona unastablas que permiten ubicar la posicin del punto de reflexin (Di). Luego,siguiendo un proceso similar al explicado se determinan los esfuerzos.

a.- Graficar el DMF en las columnas.

b.- calcular los momentos en las vigas,repartiendo el momento desequilibradoen los nudos en proporcin a lasrigideces de las vigas (Kr); y grfica suDMF.

C.- determinar la fuerza cortante en lasvigas.

D.- Evaluar la fuerza axial en las columnas.

K 1

F 3

F 2

F 1

0 0

0

0

PRTICO CON MEZZANINE PRTICO CON VIGA EN EL ENTREPISO

A

B

PIV

MB = V(yh)

MA = V(1-y)h

h

(1-y)h

yh


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UBICACIN DEL PUNTO DE INFLEXIN (PI) EN LAS COLUMNAS

Este punto se localiza a una altura medida apartir de la base de la columna igual a Yh,el valor y el valor Y se determina como

Y = Y0 + Y1 + Y2 + Y3;

Donde y0, es la altura estndar del PI, Y1

es una correccin por variacin de rigidezde las vigas, mientras que Y2 e Y3

Corresponden a conecciones pordiferencias de altura entre los pisosconsecutivos. Como usualmente los pisosson tpicos, solo se calcula Y0 .

a.- altura estndar del PI (Y0h)

Suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, as como que lasrigideces de las vigas no variaban y que la distribucin de las fuerzaslaterales era triangular.El clculo de Y0 se efecta en cada eje vertical de las columnas.Es necesario saber cuntos niveles tiene el eje de la columna en anlisis, enque entrepiso est ubicada y el valor de K.

b.- correccin y1

Esta correccin se realiza solo cuando las vigas que llegan al extremosuperior (A) de la columna tienen distinta rigidez a flexin que las inferiores(B).Para calcular Y1es necesario determinar el parmetro de 1 y k.

- Si 1 1 Y1 0

(A)

(B)

PIh

y0.h

y1.h

y2.h

y3.h

y0.h

k

eje de 2niveles

eje de1 nivel


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- Para el 10piso Y10, salvo que la base este semiempotrada- Si 1 1, se ingresa a la tabla con la inversa de 1 y se cambia de signo

al valor Y1, es decir, el PI se corre hacia abajo.

c.- Correcciones Y2, Y3

Estas correcciones se efectan cuando la columna superior o inferior a laque est en estudio, tienen distintas alturas, para esto, es necesario calcularlos parmetros 2 , 3, K. Observaciones:

- Si 21 Y2 0- Si 31 Y3 0- Para columnas del 10 piso Y3 0

- Para columnas del 20 piso Y2 0

K v 3 K v4

K v2K v1

K

(B)

(A)

hi

h

hs

KCOLUMNA EN

ANALISIS


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MTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS

El mtodo asigna a cada columna un valor caracterstico D que viene a ser larelacin entre el corte que toma la columna y la deformacin que la produce.

Este valor depende a su vez de otros llamados k que es la relacin entre lassumas de las rigideces de las vigas que llegan a los extremos de la columna yla rigidez de la columna.El corte que forma cada columna j del entrepiso, esta dado por:

: Corte que toma la columna j: Corte debido a la constante de entrepiso Q: Corte debido a la torsin

ANLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS

Los pasos a seguir son:1) Calculo de los valores de D2) distribucin de la cortante de entrepiso Q entre las columnas

proporcionalmente a sus valores D.

Dj: constante relativa de la columna jDj: suma de las constantes Dj del entrepiso considerado

3) determinacin de los puntos de inflexin de las columnas y clculo delos momentos flectores.

4) Calculo de las solicitaciones en vigas y fuerzas axiales en columnas.5) Correccin de torsin.

VALORES D EN LAS COLUMNAS

a) Para columnas de altura uniforme

A: constante que depende de KKc : rigidez de la columna considerada


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CASO N 01

K v 3 K v4

K v2K v1

Kc

Si KV3+KV4 es mucho mayor que KV1+ KV2 , o a la inversa ; el valor de Ano debe ser mayor que el que resultara de aplicar la formulacorrespondiente al caso siguiente:

CASO N 02: extremo empotrado (primer piso)

CASO N 03: extremo articulado

K v2K v1

Kc

K v2K v1

Kc


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b) caso en que las columnas son de altura no uniforme.

CASO N 04:

Una columna de altura h que difiere de la altura estndar h

CASO N 05:Una columna compuesta de dos tramos cortos de altura h1 y h2 lascuales sumadas dan la altura estndar h

CALCULO DE RIGIDECES LATERALES USANDO EL MTODO DE MUTO

Para el clculo de las rigideces laterales hacemos uso de las formulas deldoctor Muto para calcular las rigideces DX DY. Se debe cumplir que K seamayor a 0.20. ya que las limitaciones del mtodo estn dadas por el valor de KEn cuento K se haga ms pequeo el error se incrementara, debido a que unahiptesis base es que las vigas son suficientemente rgidas; un pequeo valorde K indicara que esta condicin no se cumple satisfactoriamente.Posteriormente hallamos las rigideces

para vigas y columnas tanto en la

direccin X como Y.Una vez hallada las rigideces DX y DY procederemos a calcular el centro de

rigideces.

h

h'

D1 D2

D

h D

h1.D1

h2.D2


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CALCULO DE LAS RIGIDECES LATERALES.

Segn la frmula del Dr. Muto

Se debe cumplir

Direccin x:

K v2K v1

Kc

K v 3 K v4

K v2K v1

Kc

2.13

0.53

2.13

0.53

2.13


14/24

DIRECCIN Y:

=0.384

0.9

0.533

0.9

0.533

0.9


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Ejemplo n 01

Resolver el prtico mostrado en la figura suponer:

E =210 ton/cm2

Vigas: 30x60 cm2

Columnas: 30x45 cm2K0 =1000 cm

3

Solucin:

coeficiente de rigidez a flexin

PARA VIGAS:

PARA COLUMNAS:

Para h= 200 cm

Para h=300 cm

Para h=600 cm

10 Tn

5 Tn

3m

3m

2m

6m 6m


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Calculo del coeficientea

I. columnas que pertenecen a entrepisos superiores al primero

II. base empotrada

III. base articulada

PARA EL EJEMPLO

Rigidez lateral absoluta:

Para h=200 cm; D0=63 ton/cmPara h=300 cm; D0=28 ton/cmPara h = 600 cm; D0 = 7 ton/ cm

KV=0.9 KV=0.9

KC=0.76

KV=0.9 KV=0.9


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Luego de realizar los clculos para cada elemento (viga, columna); la figura queda.

CALCULO DE : TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO Y EN

SERIE

Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez

Kv=0.9

Kc=0.76

K=2(0.9)/(2 x 0.76)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37D=0.37(0.76)=0.28

K=0.28(28)=7.84

Kv=0.9

Kv=0.9

Kv=0.9

Kc=0.76

K=4(0.9)/(2 x 0.76)=2.37

A=2.37/(2+2.37)=0.54D=0.54(0.76)=0.41

K=0.41(28)=11.48

Kc=0.76

K=(3x0.9)/(2 x0.76)=1.78

A=1.78/(2+1.78)=0.47

D=0.47(0.76)=0.36

K=0.36(28)=10.08

Kv=0.9

Kc=0.76

K=2(0.9)/(2 x 0.76)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37D=0.37(0.76)=0.28

K=0.28(28)=7.84

Kc=0.76

K=2(0.9)/(2 x 0.76)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37

D=0.37(0.76)=0.28

K=0.28(28)=7.84

Kc=0.38

K=0.9/0.38=2.37

A=(0.5+2.37)/(2+2.37)=0.66

D=0.66(0.38)=0.25

K=0.25(7)=1.75Kc=1.14

K=0.9/1.14=0.79

A=0.5(0.79)/(1+2(0.79))=0.15

D=0.15(1.14)=0.17

K=0.17(63)=10.71

Kc=0.76

K=0.9/0.76=1.18

A=(0.5+1.18)/(2+1.18)=0.53

D=0.53(0.76)=0.4

K=0.4(28)=11.2

10 Tn

K=7.84+11.48+7.84

5 Tn

K=1.75

K=10.08+7.84

K=11.2+10.71

10 Tn

K=27.16

5 Tn

K=1.75 K=1

1

17.92

1

21.91+

= 9.86

10 Tn

5 Tn

15(1.75)(1.75+9.86)

15(9.86)(1.75+9.86)

=12.74

10 Tn

5 Tn

2.25 Tn

12.74 Tn

10 Tn

=2.26 12.74 Tn

2

3

1


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Ejemplo n 01 con K0 =760 cm3

Resolver el prtico mostrado en la figura suponer:

E =210 ton/cm2

Vigas: 30x60 cm2

Columnas: 30x45 cm2K0 =760 cm

3

Solucin:

coeficiente de rigidez a flexin

PARA VIGAS:

PARA COLUMNAS:

Para h= 200 cm

Para h=300 cm

Para h=600 cm

10 Tn

5 Tn

3m

3m

2m

6m 6m


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Calculo del coeficientea

IV. columnas que pertenecen a entrepisos superiores al primero

V. base empotrada

VI. base articulada

PARA EL EJEMPLO

Rigidez lateral absoluta:

Para h=200 cm; D0=47.88 ton/cmPara h=300 cm; D0=21.28 ton/cmPara h = 600 cm; D0 = 5.32 ton/ cm

KV =1.18 KV =1.18

KC =1

KV =1.18 KV =1.18


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Luego de realizar los clculos para cada elemento (viga, columna); la figura queda.

CALCULO DE : TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO Y EN

SERIE

Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez

10 Tn

K=7.87+11.49+7.87

5 Tn

K=1.75

K=10 +7.87

K=11.27+11.01

10 Tn

K=27.23

5 Tn

K=1.75 K=1

1

17.87

1

22.28+

= 9.92

10 Tn

5 Tn

15(1.75)

(1.75+9.92)

15(9.92)

(1.75+9.92)

=12.75 ton

10 Tn

5 Tn

2.25 Tn

12.75 Tn

10 Tn

=2.25 ton12.75 Tn

2

3

1

Kv=1.18

Kc=1

K=2(1.18)/(2 x 1)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37

D=0.37(1)=0.37

K=0.37(21.28)=7.87

Kv=1.18

Kv=1.18

Kv=1.18

K=4(1.18)/(2 x 1)=2.36

A=2.36/(2+2.36)=0.54

D=0.54(1)=0.54

K=0.54(21.28)=11.49

K=(3 x 1.18)/(2 x1)=1.77

A=1.77 /(2+1.77)=0.47

D=0.47(1)=0.47

K=0.47(21.28)=10

Kv=1.18

Kc=0.5

K=1.18/0.5=2.36

A=(0.5+2.36)/(2+2.36)=0.65

D=0.65(0.5)=0.33

K=0.33(5.32)=1.75Kc=1.5

K=1.18/1.5=0.79

A=0.5(0.79)/(1+2(0.79))=0.15

D=0.15(1.5)=0.23

K=0.23(47.88)=11.01

Kc=1

K=1.18/1=1.18

A=(0.5+1.18)/(2+1.18)=0.53

D=0.53(1)=0.53

K=0.53(21.28)=11.27

Kc=1

Kc=1

Kc=1

K=2(1.18)/(2 x 1)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37

D=0.37(1)=0.37

K=0.37(21.28)=7.87

Kc=1

K=2(1.18)/(2 x 1)=1.18

A=1.18/(2+1.18)=0.37

D=0.37(1)=0.37

K=0.37(21.28)=7.87


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EJEMPLO N2:Aplicando el mtodo de muto, analizar el prtico

ASUMIR:Vigas : 0.3x 0.5 m2

Columna: 0.3 x 0.4 m

2

K0=0.0004 m3

E=2000000 Ton/m2

Solucin

Coeficiente de rigidez a flexin

Vigas:

Para h= 5m , Kv=1.56Para h= 6m , KV=1.30

COLUMNAS:Para h = 3m, KC=1.33Para h = 4m, KC=1

RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA

Para h=3m, D0=1067 ton/mPara h=4m, D0=600 ton/m

Luego de hallar los valores de ,D ,K de cada columna se tiene:

15 Tn

8 Tn3m

4m

5m 6m

Kv=0.9 Kv=0.9

Kv=0.9 Kv=0.9

Kc=1.33

k=1.17

a=0.37

D=0.49

K=523 ton/m

Kc=1.33

k=1.56

a=0.58

D=0.58

K=348 ton/m

Kc=1

k=2.86

a=0.69

D=0.69

K=414 ton/m

Kc=1.33

k=2.15

a=0.52

D=0.69

K=736 ton/m

Kc=1

k=1.3

a=0.55

D=0.55

K=330 ton/m

Kc=1.33

k=0.98

a=0.33

D=0.44

K= 469 ton/m


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Calculo de

APLICACIN POR EL MTODO DE MUTO

Aplicamos el mtodo a nuestro edificio para el eje principal 1-1 (igual que eje 2-2)Analizamos el primer nivelHallamos la rigidez para las vigas y columnas

E=15100* E=15100* E=2.1882*106 ton/m2

VIGA: 0.25x0.50 mColumna: 0.25x0.50 m

Kv=I/hK0

Consideramos como rigidez estndar de la estructura K0=0.001 m3

Coef. De rigidez a flexin:

K= 348 + 414 + 330 =1092 tn/m

K= 523+736 + 469 =1728 ton/m

15 tn

8 tn

15 tn

8 tn

15 tn

23 tn

1

2

C1 C3 C8 C11

3,5

5,425 5,425 5,425


23/24

Para c1:Se debe cumplir que K>0.2

PRTICO X1:

PARA LAS RIGIDECES LATERALES3 PISO: 2900.8290 ton/m2 PISO: 2900.8290 ton/m1 PISO: 3116.5695 ton/m

K=0.553

a=0.217Dx=0.188

K=548.5855 ton/m

0.480 0.480 0.480

0.7

44

0.8

68

0.8

68

K=0.553

a=0.217

Dx=0.188

K=548.5855 ton/m

K=0.645

a=0.433

Dx=0.322K=690.4735 ton/m

K=1.106

a=0.356Dx=0.309

K=901.829 ton/m

0.480 0.480 0.480

0.480 0.480 0.480

0.7

44

0.8

68

0.8

68

0.7

44

0.8

68

0.8

68

0.7

44

0.8

68

0.8

68

K=1.106

a=0.356

Dx=0.309

K=901.829 ton/m

K=1.106

a=0.356Dx=0.309

K=901.829 ton/m

K=1.106

a=0.356

Dx=0.309

K=901.829 ton/m

K=1.29

a=0.544

Dx=0.405K= 867.8113 ton/m

K=1.29

a=0.544

Dx=0.405K= 867.8113 ton/m

K=0.553

a=0.217Dx=0.188

K=548.5855 ton/m

K=0.553

a=0.217

Dx=0.188

K=548.5855 ton/m

K=0.645

a=0.433

Dx=0.322K=690.4735 ton/m

A B C D


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BIBLIOGRAFA:

ANLISIS DE EDIFICIOS. ngel San Bartolom; 2da edicin 1999;universidad catlica del Per.

DISEO DE ESTRUCTURAS APORTICADAS DE CONCRETOARMADO Genaro Delgado Contreras; EDICIVIL; 2003.

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