metodo simplex
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UNEFM – EDUCACIÓNUNEFM – EDUCACIÓNInvestigación de Operaciones Investigación de Operaciones
Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz © 2003© [email protected] y y [email protected]
CONTENIDO:
•El Método Simplex•Forma Estándar del Modelo PL•Variantes del Método Simplex•Método Simplex Primal
OBJETIVO TERMINAL:OBJETIVO TERMINAL:
Resolver, a través del Método Simplex, problemas de Resolver, a través del Método Simplex, problemas de
optimización restringida considerando la importancia optimización restringida considerando la importancia
de éste para la toma de decisiones y el manejo de de éste para la toma de decisiones y el manejo de
recursos en el ámbito educativo.recursos en el ámbito educativo.
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MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
que permite ir mejorando la solución a cada paso del
procedimiento comenzando con una solución básica
(punto extremo) y modificando ésta a lo largo del proceso,
a través de la inclusión y exclusión de una variable;
siempre aumentando la utilidad (o reduciendo el costo)
hasta encontrar una solución óptima.
Definición
Fue desarrollado por George Dantzing en
1947
Fue desarrollado por George Dantzing en
1947
Es un método algebraico iterativométodo algebraico iterativo
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Características
Es aplicable a problemas de PL multidimensionales.
Tiene como base el álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss – Jordan.
Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendentemente eficiente para solucionar problemas muy grandes.
CARACTERÍSTICAS
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
Hoy en día puede aplicarse con eficiencia dad la diversidad de paquetes de software
que facilitan el proceso de cálculo.
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Variantes
A.MÉTODO SIMPLEX PRIMAL:
VARIANTES:
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
Parte de una Solución Básica FACTIBLE (Punto extremo del polígono de soluciones) y se continúa iterando a través de soluciones básicas factibles sucesivas hasta alcanzar el óptimo valor.
B.MÉTODO SIMPLEX DUAL:
Trata con soluciones básicas INFACTIBLES hasta la última iteración, donde la solución básica asociada debe ser factible.
Una solución es FACTIBLE si todos
los valores de su solución son NO
NEGATIVOS
Una solución es FACTIBLE si todos
los valores de su solución son NO
NEGATIVOS
Cualquiera sea el Método Simplex utilizado, finalmente se obtendrán soluciones básicas factibles como lo estipula la
condición de No Negatividad
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Forma Estándar
Todas las restricciones son ecuaciones (Con los segundos miembros o vector bi no negativos para el Método Primal).
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO PL
CARACTERÍSTICAS
Optimizar F.O X0 = C1X1+ C2X2 + … + CjXj Disponibilidad
Sujeto a las sig. restricciones:
a11X1+ a12X2+ + … + a1jXj = b1
a21X1+ a22X2+ + … + a2jXj = b2
: : : : :
ai1X1+ ai2X2+ + … + aijXj = bi
Xj ≥ 0
Todas las variables son positivas (Xj ≥ 0)
La función objetivo puede ser Minimizar o Maximizar.
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
FASES FASES
Para explicar el procedimiento del Método Simplex Primal se utilizará el siguiente ejemplo como referencia
F.O Max X0 = 3X1 + 5X2 + 4X3
X1 + + 10X3 ≤ 4
3X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 18
(X1, X2 , X3) ≥ 0
S. A:
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEXFASES FASES
1) ESTANDARIZAR EL MODELO
A) Conversión de las Desigualdades en Igualdades:A) Conversión de las Desigualdades en Igualdades: Esto se hace agregando al modelo Variables Ficticias, que representan la capacidad no utilizada de algún recurso.
a ≤ b
a ≥ b
HOLGURA: a + H = b
EXCESO: a - E = b
Tipo de Restricción:Tipo de Restricción: Tipo de Variable agregada:Tipo de Variable agregada:
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEXFASES FASES (cont.)(cont.)
1) ESTANDARIZAR EL MODELO
A) Conversión de las Desigualdades en Igualdades:A) Conversión de las Desigualdades en Igualdades: En el ejemplo dado el modelo quedaría así:
F.O: Max X0 = 3X1 + 5X2 + 4X3 + 0H1 + 0H2
X1 + 0X2 + 10X3 + H1 + 0H2 = 4
3X1 + 2X2 + 4X3 + 0H1 + H2 = 18
(X1, X2 , X3) ≥ 0
S. A:
Observe que en la función objetivo los coeficientes de estas variables son iguales a cero, puesto que no generan aporte al modelo
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
2) IGUALAR LA FUNCIÓN OBJETIVO A CERO
Al hacer esto se estarían “pasando” las variables al lado izquierdo de la igualdad, o sea:
Además de igualar la F.O X0 = 0, es recomendable transformar dicha función en el modelo estandarizado, cuando es MIN. a MAX, o sea
Z= MIN (X0) Ξ MAX (- X0 )
F.O: Max X0 - 3X1 - 5X2 - 4X3 + 0H1 + 0H2 = 0
F.O: Max X0 = 3X1 + 5X2 + 4X3 + 0H1 + 0H2
FASES FASES (cont.)(cont.)
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
3) DETERMINAR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL
Al agregar las variables ficticias se observa que el número de Variables (m) es mayor que el número de Restricciones (n). Y esto hace que el sistema de ecuaciones sea indefinido (no tiene solución única) por lo que se debe conocer:
¿Cuántas variables sobran en el modelo ¿Cuántas variables sobran en el modelo para hacerlas Cero?para hacerlas Cero?
¿Cuántas soluciones básicas se pueden ¿Cuántas soluciones básicas se pueden obtener?obtener?
m – nm – n
m! m!
n! (m-n)!n! (m-n)!
FASES FASES (cont.)(cont.)
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
3) DETERMINAR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL
Posteriormente se identifican aquellas variables con coeficiente unitario que aparecen una y solo una vez (Variables Básicas VB) en el conjunto de restricciones; éstas formarán parte de la Solución Básica Inicial (S.B.I); el resto de las variables son las que le sobran al modelo y que deben hacerse Cero para sustituirlas en el sistema de ecuaciones (restricciones) y encontrar así los valores de VB1 , VB2 , …,VBj. En el ejemplo se tiene que:
S.B.I:S.B.I: X0 = H1 = H2 =
X1 = X2 = X3 0
Estos valores se agregarán en la tabla para iniciar el Método Simplex.
FASES FASES (cont.)(cont.)
Variables que sobran
Variables Básicas0 4 18
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
4) CONSTRUIR LA TABLA INICIAL SIMPLEX
FASES FASES (cont.)(cont.)
BASEXX00 XX11 XX22 XX33 HH11 HH22
SoluciónL.D
0
4
18
H1
H2
1
Variables Básicas
Coeficientes de la F.O.
Coeficientes en cada una de las
restricciones
Valores de la Solución
Básica
-3 -5 -4 0 0
1 0 10 1 00
0 3 2 4 0 1
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
5) ENCONTRAR LA VARIABLE QUE ENTRA EN LA BASE
FASES FASES (cont.)(cont.)
BASEXX00 XX11 XX22 XX33 HH11 HH22
SoluciónL.D
0
4
18
H1
H2
1 -3 -5 -4 0 0
1 0 10 1 00
0 3 2 4 0 1
Para escoger la variable que entra (Columna Pivote) se selecciona aquella que tenga el coeficiente negativo mayor (con el valor absoluto) en la FO.
Columna Pivote La Variable que entra es: X2
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
5) ENCONTRAR LA VARIABLE QUE SALE DE LA BASE
FASES FASES (cont.)(cont.)
BASEXX00 XX11 XX22 XX33 HH11 HH22
SoluciónL.D
0
4
18
H1
H2
1 -3 -5 -4 0 0
1 0 10 1 00
0 3 2 4 0 1
Para escoger la variable que sale (Fila Pivote) se divide cada término de la columna de la tabla (L.D) entre cada término positivo correspondiente de la Columna Pivote. El menor cociente indicará la fila donde se encuentra la variable que sale.
Fila PivoteFila Pivote La Variable que Sale es: H2
18 18 ..
22= 9
No
No
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
5) ENCONTRAR EL ELEMENTO PIVOTE
FASES FASES (cont.)(cont.)
BASEXX00 XX11 XX22 XX33 HH11 HH22
SoluciónL.D
0
4
18
H1
H2
1 -3 -5 -4 0 0
1 0 10 1 00
0 3 2 4 0 1
El pivote es aquel elemento de la tabla que se encuentra en la intersección de la Columna Pivote y Fila Pivote.
Elemento PivoteElemento Pivote
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
6) ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE LA NUEVA ECUACIÓN PIVOTE
FASES FASES (cont.)(cont.)
La ECUACIÓN PIVOTE está formada por todos los coeficientes de la fila pivote. Al encontrar una nueva ecuación pivote realmente lo que se busca es convertir al elemento pivote en un valor unitario. Para esto es necesario aplicar la siguiente fórmula:
Cada Elemento de Fila Pivote ActualCada Elemento de Fila Pivote Actual
Elemento PivoteElemento PivoteNueva Ecuación Nueva Ecuación
PivotePivote==
Ec. Pivote Actual:2
3 2 4 0 1 182 2 2 2 2 2
3/2 1 2 0 1/2Nueva Ec. Pivote 9
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
7) ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE LAS DEMÁS ECUACIONES
FASES FASES (cont.)(cont.)
Para obtener los coeficientes las nuevas ecuaciones se debe utilizar, para cada una la siguiente fórmula:
Cada Cada Elemento Elemento
de Fila de Fila ActualActual
Cada Cada coeficiente de coeficiente de
la Nva. Ec. la Nva. Ec. PivotePivote
Nueva Nueva EcuaciónEcuación ==
coeficiente coeficiente de la de la
columna columna pivotepivote
-- ** ++
5 * Nva. Ec. Pivote 15/2 5 10 0 5/2 45
Fila Actual (X0) -3 -5 -4 0 0 0
Nueva Fila (X0) 9/2 0 6 0 5/2 45
++
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
8) CONSTRUIR LA NUEVA TABLA
FASES FASES (cont.)(cont.)
Determine el resto de las ecuaciones y luego complete una nueva tabla. Verifique posteriormente si los resultados son los siguientes:
BASEXX00 XX11 XX22 XX33 HH11 HH22
SoluciónL.D
45
4
9
H1
X2
1 9/2 0 6 0 5/2
1 0 10 1 00
0 3/2 1 2 0 1/2
Nueva Nueva Variable en Variable en
la Basela Base
S.B:S.B: X0 = H1 = X2 =
X1 = H2 = X3 0
45 4 9
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Fases
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
EJERCICIO PROPUESTOEJERCICIO PROPUESTO
F.O Max X0 = 2X1 - 5X2 + X3
3X1 + X2 + X3 ≤ 6
X1 -2X2 + 2X3 ≤ 1
X1 +2X2 - X3 ≤ 2
(X1, X2 , X3) ≥ 0
S. A:
Notas Importantes aquí
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MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
9) VERIFICAR SI LA TABLA OBTENIDA ES LA TABLA FINAL (ÓPTIMA)
FASES FASES (cont.)(cont.)
Cuando los coeficientes de la F.O en la tabla nueva son todos positivos entonces, el Método Simple concluye, y los valores solución obtenidos son los que corresponden a la Solución Óptima
Sol. Óptima:Sol. Óptima: X0 = H1 = X2 =
X1 = H2 = X3 0
45 4 9* * *
* * *
Notas importantes aquí