El método simplex también emplea los puntos de intersección, pero no prueba todos los puntos.

Comienza en el origen y selecciona los que dan la mayor mejora en el valor de la función objetivo.

El método simplex utiliza una tabla (o tablea u), en la cual hay una columna para cada variable y un renglón para cada restricción.

x1 X2 s3 S4 s5 a6

La tabla muestra el procedimiento completo con una solución inicial y se prueba si esa solución es óptima.

Si no es óptima se analiza la tabla y se prueba la nueva solución.

INICIO

RELACIONES AUMENTADAS

CONSTRUCCION DE LA TABLA INICIAL

¿OPTIMO?

IDENTIF. VAR. ENTRADA/SALIDA

DESARROLLO TABLA REVISADA

FIN

Cada restricción se debe expresar en lo que algunas veces se llama la forma estándar : como una igualdad.

Cualquier desigualdad puede convertirse en una

igualdad agregando (o restando) sólo una

variable extra. Entonces, una restricción del

tipo ≤ :

7x1+ 7x2 ≤ 49

Se convierte en :

7x1 + 7x2 + S3 = 49

De igual forma, una restricción del tipo ≥:

X2 ≥ 2

Se convierte en:

X2 - S4 = 2

En este caso debe agregarse otra variable

llamada variable artificial

X2 - S4 + A5 = 2

El método simplex comienza por hacer todas las

variables reales iguales que cero. Entonces:

X2 - S4 = 2

Sea X2 = 0, entonces - S4 = 2 ó S4 = - 2.

TIPO DE RESTRICCIÓ

N

AGRÉGUESE A LA

RESTRICCIÓN

FUNCIÓN OBJETIVO

≤ + S + O.S

≥ - S + A Max: + O.S – MAMin: + O.S + MA

= + A Max: - MAMin: + MA

REGLAS DE AUMENTO

Métodos cuantitativos para la toma de decisiones en administración; Charles A. Gallagher , Hugh J. Watson pág. 201-203.

ITESCAM

TABLA SIMPLEX GENERAL

VARIABLES

BASICAS

C1 C2… CN 0 0 0 VALORES

DE

SOLUCION

ES

X1 X2… Xn Sn+1 Sn+2

…

Sn+

m

0 Sn+

1

a11 a12… a1n 1 0… 0 b1

0 Sn+

1

a21 a22… a2n 0 1… 0 b2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 Sn+

m

am1 am2

…

amn 0 0… 1 bm

Zj Z

Zj-CjVALOR TOTAL DE LA FUNCIÓN OBETIVO

UN RENGLÓN PARA CADA

RESTRICCIÓN

UNA COLUMNA PARA CADA VARIABLE

VARIABLE DE HOLGURA

VARIABLE DE DECISIÓN

RENGLÓN DE COSTO DE OPORTUNIDAD.

RENGLÓN DE CRITERIO SIMPLEX

CjVARIABLE BÁSICA

COEFICIENTE DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

MAXIMIZAR: Z = 7X1 + 10X2

RESTRICCIONES: 7X1 + 7X2 < 49

10X1 + 5X2 < 50

X1 > 0 X2 > 0

De igual manera la segunda restricción

queda:

10 X1 + 5 X2 + S4 = 50

El primer paso es aumentar cada restricción. Para

la primera, se agrega una variable de holgura.

7 X1 + 7 X2 + S3 = 49

MAXIMIZAR: Z = 7X1 + 10X2 + 0S3 + 0S4

RESTRICCIONES: 7X1 + 7 X2 + 1S3 + 0S4 =49

10X1 + 5X2 + 0S3 + 1S4 = 50

7 10 0 0

VARIABLES

BÁSICASX1 X2 S3 S4

VALORES DE

SOLUCIÓN

7 7 1 0 49

10 5 0 1 50

Zj

Cj – Zj

INICIO DE LA TABLA

El método simplex comienza en el origen, es decir, con todaslas variables de decisión ( las X) iguales que cero. Entonces,para el ejemplo.

7X1 + 7 X2 + 1S3 + 0S4 =49

X1 = X2 = 0

S3 = 49

Y

10X1 + 5X2 + 0S3 + 1S4 = 50

X1 =X2 = 0

S4 = 50

Cj 7 10 0 0

VARIABLES

BÁSICASX1 X2 S3 S4

VALORES DE

SOLUCIÓN

0 S3 7 7 1 0 49

0 S4 10 5 0 1 50

Zj

Cj - Zj

LA TABLA SIMPLEX INICIAL

Cj 7 10 0 0variables

valor de solución básicas X1 X2 S3 S4

0 S3

0 S4

7 7 1 0

10 5 0 1

49

50

Zj

Cj – Zj

0 0 0 0

7 10 0 0

0

Identificación de la variable que entra:

El criterio de optimalidad consiste en conseguir que todos losvalores del renglón de criterio simplex sean no positivos.

Identificación de las Variables que entran y Salen

El Método Simplex se mueve de un punto de intersección aotro, siempre mejorando la solución.

Con cada cambio en la solución de unade las variables básicas debe quitarse( variables que salen)

Debe incluirse una nuevavariables (Variables queentran)

Al maximizar, será la variable con el mayor valor positivo del criterio simplex la que entre.

CjVariables

básicas

7 10 0 0

Valores de

solución

X1 X2 S3 S4

0 S1 7 7 1 0 49

0 S2 10 5 0 1 50

Zj 0 0 0 0 0

Cj - Zj 7 10 0 0

Valor positivo más grande (Columna

Pivote)

El proceso de encontrar la variable que sale requiere dealgunos cálculos y se necesita saber el número máximo deunidades que es posible asignar a la variable que entra, sinque ninguna variable básica se vuelva negativa.

Para comprobar esto, se divide el valor de la solución paracada variable básica entre el coeficiente de la columna pivoteque corresponde al renglón.

CjVariables

básicas

7 10 0 0

Valores de

solución

X1 X2 S3 S4

0 S3 7 7 1 0 49

0 S4 10 5 0 1 50

Zj 0 0 0 0 0

Cj - Zj 7 10 0 0

49/7=7

50/5=10

Valor positivo más

pequeño

Coeficiente de la columna Pivote

Esto nos muestra que puede asignarse hasta 7 unidades a X2, antes que S3 se vuelva negativa y hasta 10 unidades antes que S4 se vuelva negativa.

CjVariables

básicas

7coef

10 0 0

Valores de

solución

X1 X2 S3 S4

0 S3 7 7 1 0 49

0 S4 10 5 0 1 50

Zj 0 0 0 0 0

Cj - Zj 7 10 0 0

49/7=7

50/5=10

Se escoge el número positivo

más pequeño

Si se escogiera el más grande, algunas variables serían

negativas.

Por lo tanto S3 se convierte en la variable que se sale y a éste renglón vacío se le

llama renglón pivote

¿Qué pasa si al dividir se obtienen números negativos?La variable básica se incrementa cuando se incluye la nueva variabley como se está preocupado por las disminuciones los cocientesnegativos pueden ignorarse.

Para llevar acabo el proceso de revisión se necesitan dos cosas:-La tabla actual-Una nueva tabla

Al elaborar una tabla se debe

Debe dejarse un renglón en blanco debajo de cada renglón de variables básicas este espacio sirve para escribir los cálculos del proceso de revisión

Al trabajar problemas con el método SIMPLEX en forma manual, se

deben de tratar de evitar errores aritméticos

El paso de revisar la

tabla

Ofrece el mayor riesgo de error , pues se tienen que hacer muchos cálculos

Los elementos de la nueva tabla se generan en un renglón a la vez

usando dos reglas diferentes :

En una parte el renglón pivote ( el de la variable que sale)

Nuevo Renglón=Renglón anterior/Elemento Pivote

Otra para los demás renglones

El elemento PIVOTE es el coeficiente que esta en la intersección de la columna de la variable que entra y la fila de la variable que sale

Nuevo Elemento del renglón

=Elemento del renglón original

- (Elemento intersección )(Elemento correspondiente del nuevo renglón pivote)

CjVariables

básicas

7 10 0 0

Valores de

solución

X1 X2 S3 S4

0 S1 7 7 1 0 49

1 1 1/7 07

0 S2 10 5 0 1 50

Zj 0 0 0 0 0

Cj - Zj 7 10 0 0

se calcula los renglones del costo de oportunidad (Zj-Zj).

C3-Z3=0-10/7=-10/7

Observando el renglón Cj-ZJ, todos los elementos son cero o negativos ; por tanto, la solución es optima (y Z=70).

CjVariables

básicas

710

100 0

Valores de

solución

X1 X2 S3 S4

10 x2

1 1 1/7 07

0 S4 5 0 -5/7 1 15

Zj 10 10 10/7 0

Cj - Zj -3 0 -10/7 0