metodo simplex

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Método Simplex

Investigación Operativa I

Mg. Giovana Valverde Ayala

Mg. Giovana Valverde A. 2

El Método Simplex

Es un procedimiento algebraico creado por GeorgeDantzig en 1947 para hallar la solución óptima a un problema de Programación Lineal.

Con este método, en vez de probar con cada punto extremo de la región de factibilidad, se inicia con cualquier punto extremo de la región de factibilidad y mediante transformaciones elementales se llega a puntos extremos más eficientes.


EstandarizaciónEs el proceso por el cual se eliminan las inecuaciones del sistema añadiendo variables de holgura o de excedencia obteniendo así un sistema de ecuaciones .

Modelo General:Max o (Min) s.a:

∑=

=n

iii XCZ

1

j

n

iiij bXa∑

= ≥≤

1

0≥∀ iX

mjni

,...,2,1,...,2,1

==

Forma Estándar:00

11=±− ∑∑

==

n

ij

n

iii SXCZ

j

n

ijiij bSXa∑

=

=±1

0, ≥∀ ji SX

s.a:

Max o (Min)

mjni

,...,2,1,...,2,1

==


Estandarización (Cont.)Ejm:

Max z = 2x1 + 5x2 – x3s.a: x1 + x2 <= 3

x2 + 2x3 >= 1x1 + x3 <= 4

Estandarizando:Max z - 2x1 - 5x2 + x3 - 0S1 + 0S2 - 0S3 = 0

x1 + x2 + S1 = 3x2 + 2x3 - S2 = 1x1 + x3 + + S3 = 4

niX i ,...,1,0 =≥∀

mjSniX

j

i

,...,1,0,...,1,0

=≥∀=≥∀

2


En las restricciones (≤) el lado derecho representa el límite

sobre la disponibilidad de un recurso y el lado izquierdo el

uso de ese recurso limitado.

Una holgura representa la cantidad del recurso que no se

utiliza.Las variables positivas Sj introducidas para convertir las desigualdades <= en igualdades, y se llaman variables de holgura.

Variables de Holgura


Variables de Holgura - Ejemplo

Max z= 3x1 + 4x2

S.a:

6x1+ x2 <= 162x1+3x2 <= 9

El problema adopta la forma estándar con n+m= 4 incognitas.

6x1+ x2 + S1 = 162x1+3x2 +S2 = 9

∀ xi≥0, i=1,2

∀ xi≥0, i=1,2

∀ Sj ≥0, j=1,2

Si x1:cantidad de producto1 que se debe producirx2:cantidad de producto2 que se debe producir

Según el tiempo de producción del dpto:6x1+ x2 <= 16

Uso del recurso tiempo Limite del recurso Tiempo


Variable de Superávit o Excedencia

Las restricciones (≥) determinan requerimientos mínimos

de especificaciones.

Un superávit representa el exceso del lado izquierdo sobre

el requerimiento mínimo.

Las variables positivas Sj introducidas para convertir las desigualdades >= en igualdades, se llaman variables excedentes.


Variables Excedentes - EjemploMin z= 5x1 + x2S.a:

2x1 + 4x2 >= 17x1 - 6x2 >= 10

El problema adopta la forma estándar con n+m= 4 incógnitas.

2x1+ 4x2 - S1 = 17x1+6x2 - S2 = 10

∀ xi≥0, i=1,2

∀ xi≥0, i=1,2

∀ Sj ≥0, j=1,2

3


Definiciones previas

Solución básica: Resulta de resolver el sistema para las m variables básicas y hacer las n-m restantes iguales a cero.Solución factible: Aquella sol. donde se cumplen todas las restricciones.Solución factible básica: Aquella sol. básica donde se cumplen todas las restricciones, que vienen a ser los puntos extremos.



EJEMPLO:Sea:

Max Z = 2x1+x2

S.a:L1: x1 + 2x2 ≤ 4L2: x1 ≤ 2L3: -x1 + x2 ≤ 1

0 ≤ x1, x2

(0,0)

Solución básica factible óptima

Z*=6X1=2X2=1



Tenemos:

Soluciones básicas: (0,2), (0,1), (-1,0), (4,0), (2,1), (2,0), (2/3,5/3), (2,3), (0,0)

Soluciones factibles: Toda la región sombreada, es decir; generada por las inecuaciones.

Soluciones factibles básicas: (0,1), (2,1), (2,0), (2/3,5/3), (0,0)

Solución factible básica óptima: (2,1)


Soluciones Básicas Factibles

En el sistema Ax=b, x>=0A =[ B N]mxn , b es un vector, B es una matriz invertible mxm

y N es una matriz mx(n-m)

Definición: El punto x=[xB,xN] se llama solución básica del sistema, con:

xB= B-1b variables básicas

xN= 0 variables NO básicas

Si xB>=0, entonces se llama solución básica factible del sistema.B es la matriz básica (Base) y N es la matriz No básica.

Si xB>0, x se llama solución básica factible No degenerada.

Si al menos una componente de xB es cero, entonces x se llama solución básica factible degenerada.

Solución básica:Resulta de resolver el sistema para las m variables básicas y hacer las n-m restantes iguales a cero.

4


EjemploSea un conjunto poliédrico definido por las sgtes desigualdades:

2 x1 + 4 x2 <= 8 ..........L1

3 x1 + 2 x2 <= 6 ..........L2x1,x2 >=0

L2

x1

x2

L1

(0,0)

( 1 , 3/2 )( 0, 2 )

( 2 , 0 ) : Puntos Extremos

Soluciones Básicas Factibles


...EjemploStandarizamos agregando variables de holgura:

2 x1 + 4 x2 + S1 = 83 x1 + 2 x2 + S2 = 6

x1, x2, S1, S2 >=0

La matriz de Restricciones A=[a1,a2,a3,a4]=

Hallaremos la solución básica factible encontrando un Bmxm=B2x2

Tal que xB= B-1b >=0Posibles formas en las que B se puede extraer de A:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡10230142

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

2342

,)1 21 aaB

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

231

68

418321411

2

1 bBxx

X B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00

4

3

xx

X N


...Ejemplo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

64

68

1230211

4

1 bBxx

X B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00

3

2

xx

X N

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

1302

,)2 41 aaB

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

42

68

3213101

3

1 bBxx

X B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00

4

2

xx

X N

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

0312

,)3 31 aaB

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

43

68

212101

3

2 bBxx

X B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00

4

1

xx

X N

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

0214

,)4 32 aaB


...Ejemplo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

22

68

1210411

4

2 bBxx

X B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00

3

1

xx

X N

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

1204

,)5 42 aaB

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

68

68

10011

4

3 bBxx

X B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00

2

1

xx

X N

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

1001

,)6 43 aaB

Los casos 1,3,5 y 6 son soluciones básicas factibles.Los casos 2 y 4 son soluciones básicas pero no factibles

porque una de las componentes del XB es menor que cero, por lo tanto viola las condiciones de no negatividad.

5


...EjemploNuestras soluciones básicas factibles en E4 son:

Estos puntos pertenecen a E4 porque al introducir las variables de holgura se tienen n+m=2+2 = 4 variables.Puntos proyectados en E2: se tienen las sgtes soluciones básicas factibles:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6800

,

2020

,

0402

,

00

231

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

,20

,02

,31

1

Estos son los puntos extremos de la región factible.Mg. Giovana Valverde A. 18

Número de Soluciones Básicas Factibles

En general el número de Soluciones Básicas Factibles es menor o igual que:

Del ejemplo anterior:

El numero de Soluciones Básicas Factibles fue:NSBF= 4 <= 6

Los puntos del caso 2 y 4 violaron la No Negatividad.

)!(!!

mnmn

mn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

6)!24(!2

!424

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Número de variables→

Número de restricciones →


Función Objetivo

La función representativa de la medida de eficiencia(FUNCION OBJETIVO Z) debe ser igual a la suma algebraica del producto de cada nivel de actividad(VARIABLE DE CONTROL Xi) por la contribución positiva o negativa de dicha actividad (Ci) a la medida de eficiencia del sistema.

Z = c1x1 + c2x2 + c3x3+…+cnxn


Definición de las Variables

Z = Medida de eficiencia del sistema.

Ci = Contribución de una unidad de actividad al valor de la

medida de eficiencia.

Xi = Nivel de la actividad i o variable de control o variable

de decisión.

aij = cantidad de actividad i necesario para cada unidad de

recurso j.

bj = Cantidad de recurso j disponible.

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Condición de Optimalidad

Se verifica en la Función Objetivo

El objetivo es encontrar la variable NO básica que entrará a la base.


Condición de Optimalidad

Problema de Maximización:La variable entrante es seleccionada como la variable NO básica que tiene el coeficiente más negativo en la ecuación de la función objetivo.El Proceso termina cuando todos los coeficientes de las variables NO básicas son cero o positivos.Problema de Minimización:La variable NO básica que entra a la base es la que tiene el coeficiente más positivo en la ecuación de la función objetivo.El proceso termina cuando todos los coeficientes son negativos o cero.


Condición de Factibilidad

Se verifica en las Restricciones

El objetivo es encontrar la variable Básica que saldrá de la base.


Condición de Factibilidad

La variable que sale de la base es la variable básica correspondiente al más pequeño cociente obtenido de dividir los valores de la solución y los coeficientes positivos de la restricción de la variable entrante.

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El Método Simplex

PROCEDIMIENTO

1. Se estandarizan la función objetivo y el sistema de

inecuaciones que determina al problema.

2. Se expresa el problema en forma de tabla.

3. Se escoge la solución básica inicial y empieza la iteración.

4. Generar una nueva solución factible usando las condiciones

de optimalidad y factibilidad hasta que dicha solución

óptima sea obtenida, siempre que exista y sea finito.


Método Simplex - Forma de Tabla

xn...x2x1 Sm...S2S1

b20...10a2n...a22a210S2

.................................

0

0

0

...

...

...

1

0

0

bm0amn...am2am10Sm

b11a1n...a12a110S1

00cn...c2c11Z

Disponib.bj

Var. BásicasVar. NO BásicasVar. De DecisiónValor

Objetivo

Matriz Tecnológica Matriz Básica

Coef.F.O.

0011

=+− ∑∑==

m

jj

n

iii SxcZForma

Estándar


Ejemplo:

Un carpintero fabrica sillas y mesas, su producción estálimitada por lo siguiente:Él dispone por semana 36 listones.

Para cada silla requiere 4 listones de madera.Para cada mesa requiere 4 listones de madera.

Él dispone por semana 48 horas de mano de obra.Para cada silla dispone 3 horas de mano de obra.Para cada mesa dispone 6 horas de mano de obra.

Determine el plan de producción óptima, si:La utilidad por silla es s/200La utilidad por mesa es s/300


Solución

Variables de decisión:X1: cantidad de sillas a producirX2: cantidad de mesas a producir

F.O.: Maximizar ganancias (beneficios)Max z= 200 x1 + 300 x2s.a:

Según limitación de madera:4 x1 + 4 x2 <= 36

Según mano de obra:3 x1 + 6 x2 <= 48

Restricción de No negatividadx1, x2 >= 0

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Interpretación de las Variables según el ejemplo

Z = Medida de eficiencia del sistema.

Z=utilidad

Ci = Contribución de una unidad de actividad al valor de la medida de eficiencia.

C1: s/200 de utilidad por silla

C2:s/300 de utilidad por mesa

Xi = Nivel de la actividad i o variable de control o variable de decisión.

X1:cantidad de sillas a producir

X2:cantidad de mesas a producir

aij = cantidad de actividad i necesario para cada unidad de recurso j.

a11: cantidad de recurso madera necesario para producir cada unidad de producto silla

a22: cantidad de recurso mano de obra necesario para producir cada unidad de producto mesa

bj = Cantidad de recurso j disponible.

b1: cantidad de recurso madera

b2:cantidad de recurso mano de obra


Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:Max z= 200 x1 + 300 x2 + 0 s1 + 0 S2s.a:

4 x1 + 4 x2 + S1 = 363 x1 + 6 x2 + S2 = 48x1, x2, S1, S2 >= 0

Max z - 200 x1 - 300 x2 - 0 s1 - 0 S2 = 0

Solución básica inicial

1. Estandarizando:


2. Escribir el problema en forma de tabla

4810630S2

3601440S1

000-300-2001Z

bjS2S1X2X1Z

Var. no básicas Var. básicasTérmino

independiente

Elemento pivote

ITERACION 1

36/4=9

48/6=8

(3) Solución Basica inicial Mg. Giovana Valverde A. 32

4. Encontrar la variable No básica que entra en la base y la variable básica que sale de la base

Por la condición de optimalidad:Para escoger la variable No básica que entra en la base, nos fijamos en los coeficientes de las variables No básicas en la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente más negativo.Lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex es que los coeficientes de las variables No básicas en la función objetivo sean ceros o positivos.

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Por la Condición de factibilidad:

Para encontrar la variable básica que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero.

Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.

El término de la columna pivote que en la división dé lugar al menor cociente positivo, indica la fila de la variable básica que sale de la base.

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base, es arbitrario.


ITERACION 2

81/6011/20X2

4-2/31020S1

24005000-501Z

bjS2S1X2X1Z

4/2=2

8/1/1/2=16


ITERACION 3

71/3-1/4100X2

2-1/3½010X1

2500-50/325001Z

bjS2S1X2X1Z

Cond. de Optimalidad para el problema de maximización:El Proceso termina cuando todos los coeficientes de las variables NO básicas son cero o positivos.

Solución óptima


Los solución óptima es: 2500. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado a la base: (x1, x2) = (2,7)

Z* = 2500

X1=2

X2=7

S1=0

S2=0


Comprobando la factibilidad:Z= 200x1+ 300x2 = 200(2)+300(7) = 2500S.a.: 4(2) + 4(7) <=36

36 <=363 (2) + 6 (7) <= 48

48 <=48

x1 >= 0 , x2 >= 0

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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA F.O: Max Z= 200x1+ 300x2

S.a.: 4x1 + 4x2 <=36 .... L13x1 + 6x2 <= 48 .... L2

x1 >= 0 , x2 >= 0

L2

x1

x2

L1

(0,0)

( 2 , 7 )( 0, 8 )

( 9 , 0 )

( 0, 9 )

A

B C

D( 16 , 0 )


En la primera iteración se ha calculado el valor de la función objetivo en el vértice A(0,0), siendo este 0. A continuación se desplaza a B. En esta segunda iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice B(0,8): Z=f(0,8) = 2400 Sigue hasta llegar a C. En esta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice C(2,7) : Z=f(2,7)=2500. (z óptimo)

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

El valor máximo de la función objetivo es 2500, y corresponde a x1 = 2 y x2 = 7 (vértice C). Si se calcula el valor de la función objetivo en el vértice D(9,0), su valor sería 1800 y no supera el valor de 2500.


Interpretación del problema

Z* = 2500

X1=2

X2=7

S1=0

S2=0

El carpintero debe producir 2 sillas y 7 mesas por semana para tener un beneficio máximo de s/ 2500.


metodo simplex

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