Ing. Civil Metodo del Newton

Metodo del NewtonMg. Patricia Alvarez Rodriguez

Instrucciones: Resolver los ejercicios siguientes y presentarlos.

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones usando el Metodo de Newton

a.- lnx− x+ 2 = 0

b.- x− 3 cosx = 0

c.- xex − 2 = 0

d.- x3 − 5x = −1

2.- Aproxime con 10−4 de precision las raıces de las siguientes ecuaciones en los intervalosdados, usando el Metodo de Newton.

a.- x3 − 2x2 − 5 = 0, [1, 4]

b.- x3 − 3x2 − 1 = 0, [−4, 0]

c.- x− cosx = 0, [0, π/2]

d.- x− 0.8− 0.2 sinx = 0, [0, π/2]

3.- Sea f(x) = x2 − x+ 2

a.- Determine la formula de Newton Pk = g(Pk−1).

b.- Empiece con P0 = −1.5 y calcule P1, P2 y P3

4.- Considere la funcion f(x) = xe−x

a.- Determine la formula de Newton Pk = g(Pk−1).

b.- Para P0 = 0.2 y calcule P1, P2, P3 y P4. ¿Cuanto vale limk→∞

Pk =?

c.- Para P0 = 20, calcule P1, P2, P3 y P4. ¿Cuanto vale limk→∞

Pk =?

5.- Algoritmo para la Raız Cubica.A partir de f(x) = x3 −A, donde A es un numero real cualquiera, deduzca la formulade recursion

Pk =2Pk−1 + A/P 2

k−1

3

para k = 1, 2, 3, ...

6.- ¿Podemos usar el Metodo de Newton para resolver f(x) = 0, siendo f(x) = x2−14x+50?. ¿Porque?.

7.- Considere el polinomio f(x) = x3 − x− 1. se pide:

a.- Determinar el numero de raıces reales de f y verifica que posee unica raız positiva.

b.- Encontrar un intervalo de longitud 1 que aisle la raız positiva y verificar que laiteracion de Newton converge en dicho intervalo.

c.- Aproximar dicha raız positiva mediante el Metodo de Newton. Use |xn− xn−1| <10−3.

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8.- La concentracion C de una bacteria contaminante en un lago decrece segun la expresion

C(t) = 80e−2t + 20e0.5t

siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesite para que el numerode bacterias se reduzca a 7.

9.- Una determinada sustancia se desintegra segun la ecuacion

A = P.e−0.0248t

donde P es la cantidad inicial en el tiempo t = 0 y A la cantidad resultante despuesde t anos. Si inicialmente se depositan 500 miligramos de dicha sustancia. ¿Cuantotiempo habra de transcurrir para que quede el 1 de esta?.

10.- En ingenierıa civil se trabaja constantemente con los desplazamientos de estructuraslos cuales estan determinados por oscilaciones armonicas. Ası en cierta estructura seencontro bajo experimentos la funcion que divide el desplazamiento, dada por

f(t) = 10e−0.45t cos(2t)

donde t es el tiempo, se pide determinar cuanto tiempo pasara para que el desplaza-miento disminuya hasta la mitad del desplazamiento inicial (t = 0).

a.- Plantea la ecuacion a resolver y la formula de Newton para este caso.

b.- Calcula hasta la cuarta iteracion y con la cuarta y tercera iteracion determina lacantidad de cifras significativas exactas. Considerando la iteracion inicial igual a1.

Nota. Para los calculos utilice hasta 6 cifras despues del punto decimal.

Fecha de entrega: Proxima clase.

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