METODO M O DE PENALIZACIN.

Corresponde a una variacin del Algoritmo simplex para penalizar la presencia de variables artificiales, mediante la introduccin de una constante M definida como un valor muy grande aunque finito. Tambin se puede usar el Mtodo de las Dos Fases para resolver problemas que contengan restricciones de >= o =

Los pasos bsicos del mtodo M son los siguientes:

1. Exprese el problema en forma estndar transformando las inecuaciones en ecuaciones

introduciendo variables de holgura.

2. Agregue variables no negativas al lado izquierdo de cada una de las ecuaciones correspondientes a las restricciones de tipo (>=) o (=). Estas variables se denominan

variables artificiales y su adicin hace que las restricciones correspondientes.

Esta dificultad se elimina asegurando que las variables sean 0 en la solucin final. Esto se logra asignando una penalizacin muy grande por unidad a estas variables en la funcin objetivo. Tal penalizacin se designar como M para problemas de maximizacin y +M

para problemas de minimizacin.

3. Utiliza las variables artificiales en la solucin bsica inicial; sin embargo la funcin objetivo de la tabla inicial se prepara adecuadamente para expresarse en trminos de las variables no bsicas nicamente. Esto significa que los coeficientes de las variables artificiales en la funcin objetivo deben ser 0 un resultado que puede lograrse sumando

mltiplos adecuados de las ecuaciones de restriccin al rengln objetivo.

4. Proceda con los pasos regulares del mtodo simplex.

EJEMPLO:

Minimizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplexhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_las_Dos_Fases

Minimizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

Criterio para seleccionar la variable entrante:

Maximizacin : El valor mayor negativo del rengln Z.

Minimizacin : El valor mayor positivo del rengln Z.

V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solucin

Z 1 -3 -2 -4 0 0 -M 0

R1 0 2 2 3 -1 0 1 15

S2 0 2 3 1 0 1 0 12

P V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solucin

Z 1 -3+2M -2+2M -4+3M -M 0 0 15M

R1 0 2 2 3 -1 0 1 15

S2 0 2 3 1 0 1 0 12

V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solucin

METODO DE LAS DOS FASES

Este mtodo elimina el uso de la M y resuelve el problema en dos fases. En la fase I se utiliza el algoritmo simplex para suministrar a la fase II una forma factible de partida. Es decir, el producto final de la Fase I es una solucin bsica factible (en caso de que exista), en forma tpica, para iniciar la Fase II del mtodo. Los pasos de cada fase son los siguientes:

Fase I

1. Utilice el algoritmo simplex para obtener la minimizacin de la suma de las variables artificiales, sujeta a las mismas restricciones del problema original, independientemente de si este problema original es de maximizacin o minimizacin.

2. Si la suma de las variables artificiales, X0, es mayor que cero, entonces no existe una solucin bsica factible y se termina el proceso. Si X0= 0, entonces inicie la Fase II del algoritmo.

Fase II

1. Utilice la solucin ptima obtenida en la Fase I como solucin de partida al problema 1. original, remplazando la funcin objetivo original Z por la de X0. Como es usual, la funcin objetivo original debe ser expresada en funcin de las variables no bsicas. Si al final de la Fase I las variables artificiales son no bsicas, se eliminan de la Fase II. Si alguna variable artificial es bsica, pero a un nivel cero, esta variable se mantiene en el conjunto de variables bsicas, pero debe garantizarse que su valor nunca ser mayor que cero durante la ejecucin de la Fase II. Ejemplo:

MIN W = 3 X1 + 4 X2

Z 1 -1/3 2/3 0 -4/3 0 4/3-M 20

X3 0 2/3 2/3 1 -1/3 0 1/3 5

S2 0 4/3 7/3 0 1/3 1 -1/3 7

V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solucin

Z 1 -5/7 0 0 -10/7 -2/7 10/7-M 18

X3 0 2/7 0 1 -3/7 -2/7 3/7 3

X2 0 4/7 1 0 1/7 3/7 -1/7 3

Resolver el anterior problema de Programacin Lineal por el Mtodo de las Dos Fases.

Solucin analtica:

Fase I :

Paso 1 Se introducen las variables artificiales A1 y A2, las variables de exceso S1 y S2.

MIN X0 = A1 + A2

Con sus restricciones:

FASE I:

Puesto que A1 y A2 son variables bsicas, sus coeficientes en la fila X0 deben ser cero (0); para ello

sumamos las filas (1) y (1) a la fila (0). El tablero inicial para la aplicacin del algoritmo simples es:

TABLERO 1 SIMPLEX

0 0 Cj 0 0 0 0 1 1

CB VB B X1 X2 S1 S2 A1 A2

1 A1 20 2 3 -1 0 1 0

1 A2 30 1 5 0 -1 0 1

0 X0 50 3 8 -1 -1 1 1

Entra a la base X2 y sale de la base A2

VB VNB

A1 = 20 A2 = 30

X1 = 0 X2 = 0 S1 = 0 S2 = 0

X0 = 50

TABLERO 2 SIMPLEX

CB VB b X1 X2 S1 S2 A1 A2

1 A1 2 7/5 0 -1 3/5 1 -3/5

0 X2 6 1/5 1 0 -1/5 0 1/5

0 X0 2 7/5 0 -1 3/5 1 -3/5

Entra a la base X1 y sale de la base A1

VB VNB

A1 = 2 X2 = 6

X1 = 0 A2 = 0 S1 = 0 S2 = 0

X0 = 2

TABLERO 3 SIMPLEX

CB VB b X1 X2 S1 S2 A1 A2

0 X1 10/7 1 0 -5/7 3/7 5/7 -3/7

0 X2 40/7 0 1 1/7 -2/7 -1/7 2/7

0 X0 0 0 0 0 0 0 0

Al aplicar el mtodo simplex a nuestro problema en la tercera etapa de la fase I se ha encontrado que mn X0 = 0 y no existen variables artificiales en la base. Por lo tanto, se ha encontrado una solucin bsica posible al problema original. FASE II:

Empleamos la funcin objetivo original W en lugar de X0 y eliminamos las variables artificiales A1 y A2, puesto que ya no son variables bsicas, es decir, son variables no bsicas. Como la funcin objetivo debe estar expresada en trminos de las variables no bsicas, entonces se deben realizar transformaciones para

reducir a cero el coeficiente deX1 y X2 en la funcin objetivo.

TABLERO 4 SIMPLEX

0 0 Cj 3 4 0 0

CB VB b X1 X2 S1 S2

3 X1 10/7 1 0 -5/7 3/7

4 X2 40/7 0 1 1/7 -2/7

0 X0 190/7 3 4 -11/7 1/7

VN VNB

X1 = 10/7

X2 = 40/7

S1 = 0

S2 = 0

X0 = 190/7

TABLERO 5 SIMPLEX

CB VB b X1 X2 S1 S2

0 S2 10/3 7/3 0 -5/3 1

4 X2 20/3 2/3 1 -1/3 0

0 X0 80/3 8/3 4 -4/3 0

Solucin Optima Unica:

X*1=0; X*2=20/3; S*1=0; S*2=10/3; A*1=0; A*2=0; X*0=80/3