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1PROBLEMAS ELECTROSTTICOSMTODO DE IMGENESELECTRICIDAD Y MAGNETISMOUltima actualizacin: 25/03/2014A. J. BarberoDepartamento de Fsica Aplicada UCLM2MTODO DE IMGENES PARA LA SOLUCIN DE PROBLEMAS ELECTROSTTICOSFUNDAMENTOLa solucin de la ecuacin de Poisson que satisface cierto conjunto de condiciones de contorno es nica (teorema de unicidad).

Ecuacin de PoissonEs decir, si encontramos una solucin para un problema electrosttico que obedece determinadas condiciones de contorno, resulta que esa solucin es la nica solucin posible. No importa el mtodo utilizado para conseguirla, cualquier otro mtodo aplicado correctamente debe conducir a la misma solucin.El mtodo de imgenes consiste en sustituir determinados elementos de un sistema electrosttico por una o varias cargas puntuales, obteniendo un sistema ms sencillo en el que la solucin para el potencial puede obtenerse de manera ms simple que en el sistema original.3PROBLEMA 1. Una carga +Q est situada en la posicin (0,0,z0). El plano XY es un plano conductor indefinido conectado a tierra (potencial nulo). Calcular el potencial en cualquier punto de la regin z > 0 y la densidad superficial de carga en la superficie del plano conductor.XYZz0+QEncontrar el potencial pedido requiere resolver la ecuacin de Poisson en la regin z > 0 con las condiciones de contorno V = 0 en z = 0 y en el infinito, lo cual es complicado. +Q-Qz0-z0Sustituimos el plano conductor por una carga imagen Q situada en la posicin (0,0,-z0). Esto no cambia el potencial en la regin z > 0 ni las condiciones de contorno.

(x,y,z)r1r2

Vase que en todos los puntos del plano XY (z = 0) se cumple la condicin V(x,y,0) = 0 y tambin se cumple V = 0 en el infinito. De acuerdo con el teorema de unicidad, esta es por tanto la solucin correcta.4PROBLEMA 1 (Continuacin)Clculo de la densidad superficial de carga: primero determinamos el campo elctrico en z 0Recordemos que las condiciones de frontera para el campo elctrico en la superficie de separacin conductor espacio libre son

En la superficie de separacin entre el plano conductor y resto el vector superficie est dirigido segn la direccin Z, por lo tanto

El mtodo de imgenes es vlido nicamente para la regin en la que no se encuentran las cargas imgenes. Por eso no se puede emplear en este problema para calcular campo y potencial en la regin z < 0. En dicha zona el potencial es nulo (pues el plano conductor est conectado a tierra) y el campo tambin.

5PROBLEMA 2. Una carga positiva Q est situada en el vaco a una distancia a de un semiespacio homogneo e infinito de constante dielctrica K. Determine el potencial en cualquier punto del espacio (dentro y fuera del dielctrico).Aplicaremos el mtodo de imgenes sustituyendo el vaco y el dielctrico por cargas equivalentes de manera que se cumplan las condiciones de contorno.Sustituiremos el sistema real por la suma de los dos siguientes:+QaVACO

Sistema realDIELCTRICO

+QaVACO

aQ1VACO

1. Sustituimos el dielctrico por vaco colocando en su lugar una carga Q1 a la distancia a2. Sustituimos el vaco por dielctrico colocando en lugar del vaco una carga Q2 a la distancia a+(1)DIELCTRICO

Q2aDIELCTRICO

(2)Obtendremos el potencial en cualquier punto del espacio por superposicin de estos dos sistemas una vez hayamos impuesto las mismas condiciones de contorno.El dato de la constante dielctrica nos da la permitividad , pues

6Potencial en (1): el potencial en un punto situado en la mitad izquierda, a la distancia r de Q y a la distancia r1 de Q1 es:

r1r+QaVACO

Sistema realDIELCTRICO

+QaVACO

aQ1VACO

+(1)DIELCTRICO

Q2aDIELCTRICO

(2)r2Potencial en (2): el potencial en un punto situado en la mitad derecha, a la distancia r2 de Q2 es:

En la frontera entre ambos medios el potencial tiene que ser continuo, as que

Particularizando para el punto situado entre la carga y su imagen:PROBLEMA 2 (Continuacin)7

La ecuacin es una condicin a cumplir por las cargas imgenes comoconsecuencia de la continuidad del potencial al pasar de un medio a otro; para poder expresar las cargas imgenes en funcin de Q debemos obtener una relacin ms entre ellas.Veamos el valor del desplazamiento elctrico en un punto arbitrario de la frontera.+QaVACO

aQ1VACO

+(1)DIELCTRICO

Q2aDIELCTRICO

(2)d

dd

COMPONENTES NORMALES

Continuidad de las componentes normales del desplazamiento:

SISTEMA DE ECUACIONES QUE PERMITE OBTENER LAS CARGAS IMAGEN EN FUNCIN DE Q:

PROBLEMA 2 (Continuacin)8

Q1 < 0Potencial en (1): el potencial en un punto situado en la mitad izquierda, a la distancia r de Q y a la distancia r1 de Q1 es:

Potencial en (2): el potencial en un punto situado en la mitad derecha, a la distancia r2 de Q2 es:

PROBLEMA 2 (Continuacin)9PROBLEMA 3. Consideremos una distribucin lineal de carga de longitud infinita situada paralelamente a una distancia d del eje de un cilindro conductor infinito de radio a. a) Cul es la carga imagen que permite resolver el problema del potencial en el espacio situado fuera del conductor?.b) Si la distribucin de lineal carga se considera origen de coordenadas, y d = 2a, determinar y representar grficamente el potencial en cualquier punto de los semiejes positivos X e Y.adCORTE TRANSVERSALRequisitos a cumplir por una solucin vlida:1. La imagen debe ser una distribucin lineal de carga paralela (que llamaremos i) dentro del cilindro de modo que la superficie cilndrica en r = a sea equipotencial.2. Por la simetra del problema la distribucin lineal imagen i debe estar situada en la lnea entre el centro del cilindro y .Ensayaremos una solucin que cumpla la condicin i = - y cuya distancia di al eje del cilindro habr que determinar.ddiiOSi esa solucin cumple todas las condiciones de frontera, el teorema de unicidad nos permite asegurar que dicha solucin ser nica. El potencial elctrico a una distancia r de una distribucin lineal infinita de carga puede obtenerse integrando su campo elctrico (el cual puede obtenerse aplicando el Teorema de Gauss)

(El punto de referencia r0 no puede estar en el infinito, por ahora queda sin especificar) 10arirPPiddiiOMConsideremos un punto M sobre la superficie del cilindro.El potencial en los puntos de la superficie cilndrica y los puntos exteriores se obtiene sumando la contribucin de la distribucin lineal de carga y de su imagen.

Elegimos como referencia de potencial nulo un punto equidistante de y i, para que de este modo se cancelen los trminos ln r0 y ln r0i

Vase que las superficies equipotenciales son aquellas en que

Para que la superficie cilndrica sea equipotencial se requiere que el punto Pi est colocado de tal forma que los tringulos OMP y OMPi sean semejantes. pues as VM = constanteEl ngulo es comn a ambos tringulos.Situando Pi de modo que el ngulo sealado como sea igual en ambos tringulos, el tercer ngulo tambin ser igual, los tringulos sern semejantes y se cumplir que:Vase que con el valor calculado para di aunque la posicin de M cambie sobre el contorno del cilindro (lnea punteada), se sigue cumpliendo que ri/r = cte y el cilindro sigue siendo una superficie equipotencial.

Pi se denomina punto inverso de P respecto de un crculo de radio a. Concluimos que, de acuerdo con el teorema de unicidad, si sustituimos el cilindro conductor por una imagen consistente en una distribucin lineal indefinida de carga - situada a la distancia di, resolvemos el problema.PROBLEMA 3 (Continuacin)11ddi-O

arrix

Elegimos como referencia de potencial nulo un punto equidistante de y i, para que de este modo se cancele ln r0.

ddi-O

ayrri

PROBLEMA 3 (Continuacin)12PROBLEMA 4. Dos carga puntuales +q estn separadas una distancia 2d. Entre ambas se coloca una esfera metlica conectada a tierra, de modo que su centro coincida con el punto medio del segmento rectilneo que une las cargas. Determinar el radio a de la esfera de modo que no haya fuerza entre las cargas. a2dqi1qi2di1di2Oq1q2d1=dd2=dLlamamos q1 y q2 a las cargas para distinguirlas segn su posicin (q1 = q2 = q) Sustituimos la esfera por las cargas imgenes qi1, qi2.

Fuerza sobre la carga q1

Si no hay fuerza entre cargas F1 = F2 = 0

Al ser d>a, a4