método de rigidez según gere en vigas planas
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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y
ARQUITECTUTA
DOCENTE: ING. ANTONIO DOMINGUEZ M.
INTEGRANTES: ANDRADE JAVIER FREMINCOZ CANEPA, MANUEL
CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL II
TEMAMÉTODO DE RIGIDEZ SEGÚN GERE EN VIGAS
PLANAS
ACCIONES Y DESPLAZAMIENTOS
Las acciones son aquellas fuerzas o pares de tal manera que combinados deben guardar relación. Si la carga en una viga simplemente apoyada AB, es posible pensar en la combinación de las dos cargas mas las reacciones RA y RB en los apoyos como una sola acción, puesto que las cuatro guardan una relación única la una con la otra.
Los desplazamientos generalmente son la traslación o rotación en un punto. Una traslación se refiere a una distancia recorrida y la rotación significa un ángulo de rotación.
BA
P
RA RB(b)
P
OBA
P
RA RB(a)
P
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Es uno de los principios mas importantes en el análisis estructural, siempre en cuando exista una relación lineal entre las acciones y desplazamientos (causa y efecto). En general, el principio dice que los efectos producidos por varias causas pueden obtenerse combinando los efectos debidos a las causas individuales.
Para ilustrar este principio, las acciones y los desplazamientos causados por A1 y A2 actuando separadamente pueden combinarse para obtener los efectos por A1
y A2 y así formar las ecuaciones de superposición
BA
A 1
MB
A 2
D
RA RB(a)
BA
A1
MB̀
D'
R'A R'B(b)
BA
M''B
A2
D''
R''A R''B(c)
A B
Q1 Q2 Q3
D2D1 D3
La Rigidez es la carga que se requiere aplicar en un Punto para ocasionar un desplazamiento unitario
1A B
D1X
A B
D2X
1
A B
D3X
1
Q1 = K11 D1 + K12 D2 + K13 D3
Q2= K21 D1 + K22 D2 + K23 D3
Q3= K31 D1 + K32 D2 + K33 D3
Q =Q1
Q2
Q3
Q1
Q2 =
Q3
K11 K12 K13K21 K22 K23K31 K32 K33
El Principio de Superposición de Desplazamientos-Matriz de Rigidez.El orden de aplicación a los desplazamientos no influye en la deformación
final de la estructura.
ANÁLISIS DE VIGAS PLANOS CON EL USO DEL MÉTODO DE RIGIDEZ
OBSERVACIONES PRELIMINARES
IDENTIFICACIÓN DE MIEMBROS Y NODOS
Para aplicar el método de la rigidez a vigas, debemos primero identificar como subdividir la estructura en sus componentes de elemento finitos. En general, los nodos de cada elemento se localizan en un soporte, en una esquina o un nodo, en los que se aplica una fuerza externa o donde va a determinar el desplazamiento lineal o rotacional en un punto (nodo).
GRADO DE LIBERTAD
Los grados de libertad no restringidos de una estructura representan las incógnitas principales en el método de la rigidez y por tanto, deben ser identificados los miembros de nodos y que se ha establecido el sistema global de coordenadas, pueden determinarse los grados de libertad de la estructura
EJEMPLO:•DETERMINAR EL GRADO DE LIBERTAD DE LA ESTRUCTURA
A CBDEI EI EIA
1 2 3
5
4
La viga tiene tres elementos y cuatro nudos, que están identificados en la
figura, los números que se han asignado, representa el grado de libertad no restringido o también conocido como el Sistema Global de Coordenadas.
ANÁLISIS DE UNA VIGA CINEMATICAMENTEINDETERMINADA
Si una estructura es cinemáticamente indeterminada de mayor grado al primero, se debe introducir un acercamiento más organizado para la solución, así como una notación mas generalizada.
Entonces si se tiene una viga, con una rigidez a la flexión constante EI, se analiza de la siguiente manera:
A CB
M
L/2 L/2 L/2 L/2
EI=CTE
P1 P2 P3
SECUENCIA PARA EL ANÁLISIS:
PASO Nº1
SE DETERMINA EL GRADO DE INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA,
DESPRECIANDO LAS DEFORMACIONES AXIALES, DONDE “D1” Y “D2”
(SEGUNDO GRADO) SON LAS ROTACIONES TOMANDO POSITIVO LAS
MANECILLAS DEL RELOJ.
A CB
L/2 L/2 L/2 L/2
EI=CTE
D1 D2
PASO Nº2AHORA LO QUE SE BUSCA ES IMPEDIR QUE LOS NUDOS DE LA
ESTRUCTURA SE DESPLACEN Y ESTO SE LOGRA EMPOTRANDO
CADA TRAMO DE LA VIGA
A CB
L/2 L/2 L/2 L/2
P1 P2
P3
PASO Nº3SE GENERAN LOS MOMENTOS “ADL1” Y “ADL2” QUE SON LAS ACCIONES DE LAS RESTRICCIONES (CONTRA LA ESTRUCTURA EMPOTRADA), CORRESPONDIENTES A D1 Y D2, RESPECTIVAMENTE CAUSADAS POR LAS CARGAS QUE ACTÚA SOBRE LA ESTRUCTURA. ENTONCES:
ADL1: ES LA SUMA DEL MOMENTO REACTIVO EN B DEBIDO A LA CARGA P1 QUE ACTÚA EN EL TRAMO AB Y EL MOMENTO REACTIVO EN BDEBIDO A LA CARGA P2 QUE ACTÚA EN EL MIEMBRO BC.
ADL2: ES EL MOMENTO REACTIVO EN C DEBIDO A LA CARGA P2 QUE ACTUA EN EL TRAMO BC.
A CB
P1 P2
A ADL1 DL2
ESTAS ACCIONES ADL1 Y ADL2 SE PUEDEN CALCULAR CON LA AYUDA DE
UNA TABLA PARA MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO EN VIGAS.SI:
SEGÚN LA TABLA
A CB
P2
ADL2
L/2 L/2 L/2 L/2
A B
P
a b
MA=
PabL
2
2M
B=-Pab
L
2
2
A CB
P1 P2
ADL1
L/2 L/2 L/2 L/2
PASO Nº4
AHORA SE TIENE QUE CALCULAR LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ S EN
LOS NUDOS “B” Y “C”, ESTO SE LOGRA DANDO DESPLAZAMIENTOS UNITARIOS A D1 Y D2 SEGÚN COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA.
SI:
; ENTONCES
A CB
S11
S21
1
A CB
S12S
22
1
; ENTONCES
PARA EL CALCULO DE S11, S21, S12 Y S22 SE HACE USO DE TABLAS CON
MOMENTOS SUJETAS A ROTACIONES
PARA EL TRAMO BA Y BC SE TIENE
SEGÚN LA TABLA
PARA EL APOYO B
Tramo BA;
Tramo BC; SUMANDO (1) Y (2)
A CB1 B
4EIL
4EIL
2EIL
2EIL
BA O
MA=
2EIOL
MB=
4EIOL
L
PARA EL APOYO C cuando θ=1
SEGÚN TABLA
Tramo CB;
PARA EL TRAMO CB SE TIENE
SEGÚN LA TABLA
PARA EL APOYO C cuandoθ =1
Tramo CB;
Tramo BC; ENTONCES
ENTONCES
;
CB
4EIL
2EIL
1O
BA O
MA=
2EIOL
MB=
4EIOL
L
CB
2EIL
4EIL
1 O
PASO Nº5
UNA VEZ CALCULADO LAS CONDICIONANTES PERTENECIENTES A LOS
MOMENTOS EN LOS NUDOS B Y C, PROCEDEMOS A FORMULAR NUESTRA ECUACIÓN, SUPERPONIENDO, EN DONDE LAS ACCIONES (FUERZAS) CORRESPONDIENTES A D1 Y D2 LLAMADAS AD1 Y AD2, RESPECTIVAMENTE.
ENTONCES MEDIANTE LA SUPERPOSICIÓN DE LAS ACCIONES DE LA ESTRUCTURA ORIGINAL (PASO Nº2) ES IGUAL A LAS ACCIONES CORRESPONDIENTES DE LA ESTRUCTURA EMPOTRADA (PASO Nº3) MAS LAS ACCIONES EN LAS ESTRUCTURA DEBIDO A LOS DESPLAZAMIENTOS UNITARIOS (PASO Nº), DICHO DE OTRA MANERA; LA ECUACIÓN DE SUPERPOSICIÓN ES:
ENTONCES GENERALIZANDO LAS ECUACIONES (1) Y(2) SE PUEDEN
EXPRESAR EN FORMA MATRICIAL QUEDANDO COMO:
DONDE:
AD= REPRESENTA LAS ACCIONES DE LA VIGA ORIGINAL (FUERZAS)
ADL= REPRESENTA LAS ACCIONES EN LA ESTRUCTURA EMPOTRADA.
S = ES LA MATRIZ DE RIGIDEZ CORRESPONDIENTE A LOS DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOS
D= DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOS
PASO Nº6DESPEJANDO D LA ECUACIÓN GENERAL SE CALCULA LOS DESPLAZAMIENTOS DE LA ESTRUCTURA, ENTONCES SE TIENE:
ENTONCES EN FORMA MATRICIAL SE TIENE
REEMPLAZANDO LO CALCULADO EN (a), (b), (c) Y (d)
UNA VEZ DETERMINADO LAS MATRICES AD, S-1 Y ADL PODEMOS ENCONTRAR LA MATRIZ DESPLAZAMIENTO:
POR LO TANTO LAS ROTACIONES
;
;;
APLICACIÓNEN LA VIGA CONTINUA DE TRES CLAROS TIENE LOS APOYOS EMPOTRADOS EN A Y D, DONDE LAS FUERZAS CONCENTRADAS QUE ACTÚAN EN LAS POSICIONES MOSTRADAS. SE PIDE ENCONTRAR LOS DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS DESCONOCIDOS Y SE SUPONDRÁ LAS ACCIONES EN EXTREMO IZQUIERDO AB. TODOS LOS MIEMBROS DE LA VIGA TIENEN LA MISMA RIGIDEZ A LA FLEXIÓN EI.
A CB
EI=CTE
32 k
D
16 ft36ft8 ft 8 ft
32 k
w=2 k/ft20 K-ft
PASO Nº 1
SE IDENTIFICA LOS DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOS EN LOS APOYOS B Y C (GRADO DE INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA) EN DONDE SE DENOMINAN POR D1 Y D2. COMO MUESTRA EN LA FIGURA
D1 D2
A CB D
PASO Nº2
AHORA SE TIENE QUE EMPOTRAR LA VIGA POR TRAMOS PARA IMPEDIR QUE LOS NUDOS DE LA ESTRUCTURA SE DESPLACEN
A CB
32 k
D
16 ft24ft8 ft 8 ft
32 k
w=2 k/ft
PASO Nº3
CUANDO SE EMPOTRA LOS TRAMOS SE GENERAN LOS MOMENTOS “ADL1” Y “ADL2” QUE SON LAS ACCIONES DE LAS RESTRICCIONES (CONTRA LA ESTRUCTURA EMPOTRADA), CORRESPONDIENTES A D1 Y D2, RESPECTIVAMENTE CAUSADAS POR LAS CARGAS QUE ACTÚA SOBRE LA ESTRUCTURA. ENTONCES SEGÚN LAS TABLAS DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO SE TIENE:
HACIENDO LOS CÁLCULOS
A B
P
a b
MA=
PabL
2
2M
B=-Pab
L
2
2
A Ba b
MB=
-WL12
2
MA=
WL12
2
A CB
32 k
D
16 ft24ft8 ft 8 ft
w=2 k/ft
A ADL1 DL2
-64 96 -96 42.67
PARA EL NUDO B
PARA EL NUDO C ENTONCES:
A CB
32 k
D
16 ft24ft8 ft 8 ft
w=2 k/ft
A ADL1 DL2
-64 96 -96 42.67
A B
P
a b
MA=
PabL
2
2M
B=-Pab
L
2
2
A Ba b
MB=
-WL12
2
MA=
WL12
2
PASO Nº4
AHORA SE TIENE QUE CALCULAR LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ S EN LOS NUDOS “B” Y “C”, ESTO SE LOGRA DANDO DESPLAZAMIENTOS UNITARIOS A D1 Y D2 SEGÚN COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA.
SI:
EN EL NUDO B
EN EL NUDO CBA O
MA=
2EIOL
MB=
4EIOL
L
A CB D
D1=1
1O
S11 S21
EI4
EI6
EI12
ENTONCES
EN EL NUDO C
ENTONCES LA MATRIZ
DE RIGIDEZ
EN EL NUDO C
BA O
MA=
2EIOL
MB=
4EIOL
L
A CB D
D2=1
1O
S12 S
22
EI6
EI4
5EI12
PASO Nº5
ARMAMOS LA MATRIZ DE CARGAS AD SEGÚN LA CONVENCIÓN DE SIGNOS
PASO Nº6
REEMPLAZAMOS LAS ECUACIONES (I),(II) Y(II) EN LA ECUACIÓN GENERAL
RESOLVIENDO SE TIENE:
POR LO TANTO LAS ROTACIONES
PASO Nº7
AHORA HALLAMOS LAS REACCIONES ARL DE LA VIGA FIJA O EMPOTRADA EN LOS APOYOS B Y C.
CON LA AYUDA DE TABLAS SE TIENE:
PARA APOYO B
PARA APOYO C
A CB D
16 ft24ft8 ft 8 ft
32 k
w=2 k/ft
R RL1
1624
P
3(3a+b) R
B=PaL
2
3(a+3b)
A Ba b
RA=
PbL
2
A BL
RB=
WL2
RA=
WL2
PASO Nº8
A CONTINUACIÓN DE LA MISMA MANERA, PODEMOS ENCONTRAR TODAS LAS ACCIONES NECESARIAS EN LA ESTRUCTURA FIJA, CON LA AYUDA DE LAS TABLAS
A CB D
AML2
AML1
AML4
AML3
P
3(3a+b) R
B=PaL
2
3(a+3b)
A Ba b
RA=
PbL
2
A BL
RB=
WL2
RA=
WL2
PASO Nº9
AHORA SE HALLA LAS ACCIONES QUE SE PRODUCE DANDO DESPLAZAMIENTOS UNITARIOS EN LOS APOYOS B Y C RESPECTIVAMENTE.
SEGÚN TABLA
A CB D0.010EI
0.023EI
0.0125EI0.167EI
D1=1
P
3(3a+b) R
B=PaL
2
3(a+3b)
A Ba b
RA=
PbL
2
A BL
RB=
WL2
RA=
WL2
A CB D0.083EI
0
00.023EI
D2=1
FINALMENTE SE REMPLAZA LA MATRICES EN LAS ECUACIONES GENERALIZADAS
REEMPLAZADO MATRICES SE OBTIENE LAS REACCIONES DE LA VIGA
Deformada de la viga
DA CB
Ahora se va analizar con efecto se cambios de temperatura en el tramo BC, con una temperatura T1 en la parte inferior y T2 en la parte superior y un desplazamiento de en apoyo C
T2
T1
d
A CB D
Se evalúa a partir de las expresiones para acciones de empotramiento debidas a los cambios de temperatura.
según tabla:
A CB D
T2
T1
A ADT1 DT2
A ADT1 DT2= aEI(T -T )
d1 2 = -aEI(T -T )
d1 2
A BL
M MA B= aEI(T -T )
d1 2 = -aEI(T -T )
d1 2
A CB D
A
A
DR1
DR2
d
MB=
2M
A=6EId
L
2
6EIdL 2
6EIdL
-
MB= 0
d
A
B
L
MB=
2M
A=6EId
L2
6EIdL
Ahora se evalúa a partir de las expresiones para acciones de empotramiento debidas a aldesplazamiento vertical.
según tabla:
Para el apoyo B y C
Entonces por el principio de superposición se tiene:
Reemplazando (1) en (2)
FIN
A B
P
a b
MA=
PabL
2
2M
B=-Pab
L
2
2
BA O
MA=
2EIOL
MB=
4EIOL
L
BA O
MA=
2EIOL
MB=
4EIOL
L
A Ba b
MB=
-WL12
2
MA=
WL12
2
A B
P
a b
MA=
PabL
2
2M
B=-Pab
L
2
2
A B
P
a b
MA=
PabL
2
2M
B=-Pab
L
2
2
A Ba b
MB=
-WL12
2
MA=
WL12
2
BA O
MA=
2EIOL
MB=
4EIOL
L
BA O
MA=
2EIOL
MB=
4EIOL
L
P
3(3a+b) R
B=PaL
2
3(a+3b)
A Ba b
RA=
PbL
2
A BL
RB=
WL2
RA=
WL2
P
3(3a+b) R
B=PaL
2
3(a+3b)
A Ba b
RA=
PbL
2
A BL
RB=
WL2
RA=
WL2
P
3(3a+b) R
B=PaL
2
3(a+3b)
A Ba b
RA=
PbL
2
A BL
RB=
WL2
RA=
WL2
A BL
M MA B= aEI(T -T )
d1 2 = -aEI(T -T )
d1 2
d
A
B
L
MB=
2M
A=6EId
L2
6EIdL