Captulo 10

1

CAPITULO 10

METODOS DE PANELES. APLICACION AL CALCULO DE LAS

CARACTERISTICAS DE PERFILES

10.1. INTRODUCCION La teora potencial linealizada de perfiles implica una simplificacin excesiva al linealizar las condiciones de contorno y transferirlas al esqueleto. Aunque los coeficientes de sustentacin y momento obtenidos por este mtodo son bastante aproximados, en la teora potencial linealizada no se tiene en cuenta la influencia del espesor del perfil en la sustentacin (recurdese que en la teora linealizada el espesor es un problema simtrico que produce un campo de presiones simtrico, igual en extrads e intrads). Tampoco se aproximan bien en teora linealizada las distribuciones de presiones en el entorno de los puntos de remanso, que aparecen como puntos singulares en dicho mtodo. El mtodo de paneles (Moran 1984, Katz & Plotkin 1991), tal como se describe a continuacin, permite calcular numricamente la solucin de cualquier problema cuyo potencial de velocidades obedezca a la ecuacin de Laplace. La gran ventaja de este mtodo frente a la mayora de los mtodos numricos convencionales es que las incgnitas del problema se reducen al valor de ciertas magnitudes sobre el obstculo, en lugar de en todo el campo fluido. Esto disminuye en uno la dimensin del problema, lo que implica un gran ahorro de clculo. 10.2. FORMULA DE GREEN. APLICACIN AL POTENCIAL DE VELOCIDADES Tal y como se ha sealado, el valor de la funcin solucin de la ecuacin de Laplace en cualquier punto puede ser calculado en funcin de incgnitas slo en la frontera del dominio. En particular, cualquier flujo incompresible e irrotacional se puede representar mediante una distribucin de manantiales y dobletes sobre el contorno. El teorema de la divergencia se puede expresar, para cualquier funcin vectorial A = A(x) continua dentro del dominio fluido V como

d d dextV

= = A A n A n , (10.1) donde es el contorno de V, next es la normal exterior a y n la normal interior a . La funcin a la que se aplica la igualdad (10.1) es: A x( ) = s s (10.2) donde representa el potencial de velocidades en V y s es el potencial de velocidades de un manantial de intensidad unidad situado en un punto P del interior del dominio fluido V, es decir,

( ) 1 ln2s p = x x x (10.3)

Captulo 10 2

si el flujo es bidimensional, o

( ) 1 14sp

=

xx x

(10.4)

si el flujo es tridimensional. A la hora de elegir el dominio fluido V al que se aplica la relacin (10.1) se debe tener en cuenta que la funcin A(x) debe ser continua en l. En el caso de alas de alargamiento finito es necesario excluir del dominio la estela de torbellinos, ya que en ella no es continua, lo que se consigue introduciendo las superficies de cortadura representadas en la figura 10.1 como Sc. En el caso de perfiles tambin hay que introducir una cortadura similar que se extiende corriente abajo desde el borde de salida del perfil ya que en este caso, como se ha visto en Captulos anteriores, no es continua en ella. Tanto s como s son infinitas en xp y por ello se excluye de V una esfera (en el caso tridimensional) o un crculo (en el caso bidimensional) centrado en xp y de radio , y se denomina como V la parte del volumen V que no incluye esta pequea regin y S el contorno de dicha esfera o crculo. Se define la superficie S como la unin de las siguientes superficies representadas en la figura 10.1: - Sb, la superficie exterior del cuerpo - S, una superficie muy lejana - Sc, una superficie de discontinuidad con dos caras que conecta Sb y S.

Fig. 10.1. Dominio fluido.

con lo que la igualdad (10.1), siendo = S + S, queda

0 =

+z n

s s

S S

b gd , (10.5)

ya que = =A s s 0 en V. (10.6) Si se hace tender a cero y como y V = son continuas en V, la ecuacin (10.5) se puede escribir, llamando p=(xp) y Vp =(xp), como

n n V n + z z z

s s

S

p s

S

s p

S

b gd d d , (10.7)

P

S

Sb Sc

S

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3

donde la primera integral del segundo miembro es el gasto volumtrico a travs de S producido por un manantial de gasto unidad, es decir la unidad, y la segunda integral es nula por simetra. Con esto se obtiene la llamada Frmula de Green

p s sS

= z n na f b g d , (10.8) que proporciona el valor de en cualquier punto xp perteneciente a V en funcin de los valores de y n sobre la frontera de V. En la ecuacin (10.8) los trminos que aparecen en la integral tienen una interpretacin fsica clara. En primer lugar, como s = s(|xxp|), donde x es la posicin del elemento d , se puede considerar s como el potencial producido en xp por un manantial de intensidad unidad situado en d. De esta forma la integral s(n)sd representa una distribucin de manantiales sobre S cuya intensidad por unidad de rea es n, es decir, la velocidad normal del fluido en el contorno. El otro trmino, ns, representa la variacin de s segn la direccin de n en d, que puede representarse como sigue (figura 10.2)

n =

=+

s

m slim lim0

1 2

0, (10.9)

es decir, la suma de los potenciales en xp de un manantial y un sumidero de intensidad 1/ situados a una distancia y alineados segn la direccin de n, lo que representa un doblete de intensidad unidad y cuyo eje tiene la direccin de n. De todo lo anterior se puede interpretar la integral s(ns)d como una distribucin de dobletes a lo largo del contorno cuya intensidad por unidad de rea es (es decir, el valor del potencial de velocidades en el contorno) y cuyo eje es normal a la superficie de contorno.

Fig. 10.2. Manantial, 1, y sumidero, 2, que representan un doblete sobre el contorno.

En definitiva, y tal y como se anunci, el potencial de velocidades de cualquier movimiento incompresible irrotacional puede representarse mediante una distribucin de dobletes y manantiales a lo largo de las superficies de contorno. La intensidad de dichos manantiales y dobletes por unidad de superficie es igual a los valores que toman /n = n y en dichos puntos. Tambin se puede interpretar la expresin (10.8) en trminos de torbellinos. En efecto, en problemas bidimensionales a toda distribucin unidimensional de dobletes corresponde una distribucin de torbellinos equivalente. Dado que la distribucin de torbellinos resulta

1

d

2

n

Captulo 10 4

posiblemente ms intuitiva, en lo que sigue se identifican las distribuciones de torbellinos equivalentes a una distribucin de dobletes a lo largo de un segmento recto. El potencial en un punto P de una distribucin bidimensional y rectilnea de dobletes de intensidad md(), expresado en coordenadas ligadas al segmento sobre el que se extiende la distribucin, se puede escribir, de acuerdo con la figura 10.3, como

( ) ( )( )

( ) dd d2 020 0

d1 1 1, d2 2 2

l llp

p p p p

p p

mm m

= =

+ . (10.10) Como /2 es el potencial de velocidades de un torbellino puntual de intensidad unidad, el primer trmino del ltimo miembro de la ecuacin (10.10) se puede interpretar como dos torbellinos puntuales situados uno en =0 y otro en =l, es decir en los extremos del segmento, y de intensidades md(0) y md(l) respectivamente, y la integral como una distribucin de torbellinos a lo largo del segmento de intensidad md/x por unidad de longitud.

Fig. 10.3. Sistema de coordenadas ligado a la distribucin rectilnea de dobletes.

Esta transformacin puede extenderse al caso en que la distribucin de dobletes sea curvilnea de forma que puede decirse que el potencial de velocidades de cualquier movimiento bidimensional incompresible irrotacional puede representarse mediante una distribucin de dobletes (o torbellinos) y manantiales a lo largo del contorno. 10.3. METODOS DE PANELES BASADOS EN EL POTENCIAL DE VELOCIDADES En este apartado se presentan dos mtodos de paneles bidimensionales basados en el potencial de velocidades (la extensin a tres dimensiones se puede realizar a partir de ellos). En ambos se utiliza la llamada condicin de Dirichlet: el valor del potencial calculado a partir de la expresin (10.8) se iguala al valor supuesto. Tambin es posible desarrollar mtodos con la llamada condicin de Neumann, donde se deriva (10.8) y se impone que la velocidad normal es nula. Como es bien sabido, la condicin de contorno de velocidad normal nula en la pared del obstculo implica n = 0 en Sb, por tanto sb(n)sd = 0. La componente de la velocidad normal a la superficie Sc es siempre continua, al igual que s, y por tanto sc(n)sd = 0; sin embargo puede ser discontinua en Sc, llamando = + al salto que experimenta el valor de al pasar de un lado de Sc al contiguo se puede reescribir la ecuacin (10.8) de la siguiente forma

x

z P

p0

pl p

l d 0

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p p p sSb

s

Sc

U x z= + +

z zcos sind i b g b gn nd d , (10.11) donde al escribir (10.11) se ha tenido en cuenta que = U(xcos +zsin) en S. Como se indica en la figura 10.4, el salto del potencial de velocidades en la cortadura se puede expresar mediante la siguiente integral de lnea

1 2

d d d

C C C P P C

+ +

= = + + l l l , (10.12)

siendo la circulacin alrededor del perfil. Como es continua en Sc las dos integrales del segundo miembro de la ecuacin (10.12) se cancelan con lo que la ecuacin (10.11) se puede escribir como

( ) ( ) ( )cos sin d dp p p s sSb Sc

U x z +

= + n n . (10.13)

Esta ltima ecuacin se resuelve como una ecuacin integral haciendo que el punto P se aproxime a los puntos de la superficie del cuerpo Sb. Para ello hay que suponer una ley de variacin del potencial de velocidades sobre el contorno del perfil en funcin de unos parmetros desconocidos que se determinarn particularizando la ecuacin en un nmero suficiente de puntos, a los que se denomina puntos de control. Para hacer esto se aproxima el contorno del perfil mediante N segmentos, que se denominan paneles, tal y como se muestra en la figura 10.5, y que se definen mediante N nodos situados en el contorno del perfil, que habitualmente se numeran siguiendo el sentido de las agujas del reloj y comenzando por el borde de salida. Se denomina panel j al situado entre los nodos j y j+1, y las coordenadas del nodo j son (Xj,Zj).

Fig. 10.4. Curva de integracin para obtener el salto del potencial de velocidades en un punto de Sc.

Fig. 10.5. Nodos que definen los extremos de los paneles utilizados para discretizar el perfil.

En general, la precisin del mtodo depende del nmero de paneles considerado y de la distribucin de los nodos sobre el contorno. Suele ser bueno concentrar los paneles en las zonas en que se prev que habr mayores variaciones del potencial (y por tanto mayores velocidades). A continuacin se resuelve la ecuacin (10.13) por dos mtodos distintos, primero suponiendo que el potencial de velocidades es constante a lo largo de cada uno de los paneles, y luego suponiendo una variacin lineal de en cada panel.

Sc c c+

P1

P2

1

N+1 N j

2 3

Captulo 10 6

10.3.1. Mtodo del potencial constante

Sea j el valor (constante) del potencial de velocidades en el panel j (j=1,...,N ), obviamente la circulacin alrededor del perfil es = N 1. (10.14) El clculo de las incgnitas 1,...,N, se puede hacer evaluando la ecuacin integral (10.13) en los puntos medios de cada panel (en el caso tridimensional la ecuacin integral suele particularizarse en el centroide de los cuadrilteros definidos por los nodos situados sobre la superficie del ala) cuyas coordenadas pueden escribirse, en funcin de las coordenadas de los nodos, como:

x X Xi i i= + +1

2 1b g , z Z Zi i i= + +12 1b g , i=1,...,N., (10.15)

As pues, las ecuaciones particularizadas en los puntos de control (i=1,...,N) son

i i i j sjj

N

N s

Sc

U x z= + = +z zcos sinb g b g b g b gn nd d

panel1

1 , (10.16)

y para evaluar las integrales a lo largo de cada panel se utilizan unas coordenadas locales ligadas a cada panel como se muestra en la figura 10.6.

Fig. 10.6. Sistema de referencia ligado al panel j y ngulo ij subtendido por el panel j desde el punto medio del

panel i.

La contribucin del panel j en la ecuacin (10.16), siendo ij

i

j,d i la posicin del punto x zi i,b g en el sistema de coordenadas local del panel j, se obtiene sabiendo que

( ) ( ),0 2 2

12

ji

sj ji i

=

+n , (10.17)

con lo que la ecuacin (10.16) se puede escribir como sigue i i iU x z= + + cos sinb g

( )( )

( )1

12 22 21 1

1 0 0

1 d d2 2

l jN j NNi i

jj j N N

j i i i i

+

+ +=

+ +

+ + . (10.18)

Ahora bien, como

z

x j

j

i

j+1 ij

Captulo 10

7

( )2 201 d2 2

l jj

iji

j ji i

= +

, (10.19)

donde ij, representado en la figura 10.6, es el ngulo subtendido por el panel j desde el punto medio del panel i, la ecuacin integral queda reducida a un sistema de ecuaciones lineales que se puede escribir como:

A bij j ij

N

==

1

i=1,...,N, (10.20)

donde ( )cos sini i ib U x z = + , (10.21)

2ij

ij ijA

= j1,N, (10.22)

11 1 11

2 2i

i i iNA += , (10.23)

11

2 2iN

iN iN iNA += + , (10.24)

siendo ij las deltas de Kronecker.

Para calcular los coeficientes ij, se tiene que

rij i j i jx x z z= ,d i , rij i j i jx x z z+ + += 1 1 1,d i , nij j i i jz z x x= ,d i , (10.25)

ijij ij

ij ij

j i i j i j i j

i j i j i j i j

z z x x x x z z

x x x x z z z z=

FHG

IKJ=

+

+

L

NMM

O

QPP

+

+

+ +

+ +

arctan arctann r

r r

1

1

1 1

1 1

d id i d id id id i d id i

, ij, (10.26)

ii = . (10.27) Una vez calculados los potenciales sobre cada panel, las velocidades en los nodos se pueden calcular mediante la expresin

Vd

tii i

i

=+ 1 1 ,

donde di es la distancia entre los puntos xi+1 y xi1 . 10.3.2. Mtodo del potencial lineal

Ahora se supone que el potencial vara linealmente en cada panel, de modo que en el panel j ser

Captulo 10 8

= + +jj

j jl

1d i (10.28) donde es la variable local definida en la figura 10.3. En este nuevo planteamiento las incgnitas a determinar son 1,...,N+1, y en este caso la circulacin alrededor del perfil es 1 1N= + . (10.29) El valor del potencial de velocidades en un punto genrico P se puede escribir a partir de las

ecuaciones (10.13), (10.17) y (10.28) teniendo en cuenta que ij

i

j,d i son, en este caso, las coordenadas del punto P p

j

p

j,d i expresadas en ejes ligados al panel j. Ser pues

( )( )

( )1

2 21 0

1cos sin d2

jl jN j j j pj

p p pj j

j p p

lU x z

+

=

+

= + + + +

( )

( )1

1 12 21 1

0

d2

NpN

N Np p

++

+ +

+

+ , (10.30)

y resolviendo las integrales del segundo miembro se tiene

( ) ( ) ( ) 11 11

1cos sin ln2

j jNp p pj

p p p j j j pj j jj j pj

j

rU x z

l l r

+ + +

=

= + + + + +

( )1 1 112 N pN + ++ . (10.31) Tambin aqu, igual que en el apartado anterior, pj es el ngulo subtendido por el panel j desde el punto P y rpj es la distancia entre el nodo j y el punto P. Para obtener un sistema de ecuaciones lineales se particulariza la ecuacin (10.31) en cada uno de los nodos i=1,...,N+1, que son los puntos de control en este caso. Pero al hacer tender el punto P a uno de los nodos, que se denota genricamente por i, algunos trminos de la ecuacin (10.31) se hacen singulares o su valor es ambiguo; en el caso en que j=i es rii=0 y el trmino logartmico es singular y en los casos en que j=i,i1 los coeficientes ij pueden tomar valores distintos segn el punto P tienda a i por el camino A o B de los representados en la figura 10.7, pues segn se vaya por un camino u otro los ngulos valen:

piA

1 piB

1 0 piA

0 B

pi A la vista de lo anterior parece necesario estudiar con mayor detenimiento la contribucin de los trminos j=i,i-1. En la expresin (10.31) la parte que no depende de U es

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( ) ( ) 11 1, 1 1 ln2i ip p pip

i i i pi i ii ii i pi

rT

l l r

++ +

= + + +

( ) ( )1 1

1 1 1 11 1 1

1 ln2

i ip p pi

i i i pi i ii i pi

r

l l r

+ + +

, (10.32)

donde p

i

p

i,d i son las coordenadas del punto P en la referencia ligada al panel i, de forma que pi

p

i

p iil

1 11 0, ,d i b g y pi pi

p i, ,d i b g

0 0 . Con esto se obtiene

( ) ( ) ( )1 1, 1 1 1lim 0 0 0 02 2 2 2p i i i

i ii i ii ii iii ip iT

= + + + + + = + = , (10.33)

donde i = ii + ii1 s tiene un valor nico y bien determinado que representa el ngulo subtendido por los paneles i-1 y el i (figura 10.7). As pues la expresin (10.30) resulta:

( ) ( ) ( ) 11 11, 1

1cos sin ln2

N j jiji i

i i i j j j ij j jj j ij

jj i i

rU X Z

l l r

+ + +=

= + + + + +

( )1 1 112 2i i

N iN + ++ + . (10.34)

Fig. 10.7. Caminos por los que el punto P tiende a uno de los nodos del contorno.

A la vista de la ecuacin (10.34) se comprueba que para i=1 y para i=N+1, es decir al particularizar en el intrads y extrads del borde de salida del perfil se obtiene la misma ecuacin, de forma que se tiene un sistema de N ecuaciones y N+1 incgnitas. Para resolver el problema es necesario establecer una condicin adicional, la condicin de Kutta, que puede imponerse haciendo que las velocidades en los puntos medios de los paneles i=1,N sean iguales, es decir,

N N

Nl l

+ =1 1 2

1

. (10.35)

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones (10.34)-(10.35), las velocidades en los puntos medios de los paneles se pueden expresar como

Vl

tii i

i

=+ 1 .

A

i+1

P

pi pi1

i1 i

i

B

Captulo 10 10

10.3.3. Distribucin de torbellinos equivalente

Como se ha explicado anteriormente una distribucin rectilnea de dobletes de intensidad mdj() puede substituirse por otra de torbellinos. En el caso de potencial constante en los paneles ser mdj/ = j/ = 0 y por tanto la distribucin de torbellinos equivalente se reduce a una serie de torbellinos situados en los nodos, como se muestra en la figura 10.8. Por tanto, en cada nodo i hay un torbellino de intensidad mdi(0)mdi(li1) = i i1, donde mdi() es la intensidad de la distribucin de dobletes sobre el panel i. Esto es as salvo en el nodo correspondiente al borde de salida del perfil, ya que el torbellino situado en este nodo es la suma de uno de intensidad 1 producido por el panel 1, otro de intensidad N producido por el panel N y un tercero de intensidad N1 producido por el panel situado en Sc; lo que significa que los tres torbellinos de este nodo se cancelan. De este modo, la distribucin final de torbellinos consta de un torbellino concentrado en cada nodo i de intensidad ii-1 para i=2,...,N.

Fig. 10.8. Torbellinos concentrados en el nodo i que resultan de obtener la distribucin de torbellinos equivalente a

una distribucin de dobletes sobre los paneles i e i1.

Hay que remarcar que en este caso el torbellino del borde de salida es nulo, esto implica que no hay rebordeo de la corriente en el borde de salida y por eso ahora no es necesario explicitar la condicin de Kutta en el borde de salida. En el caso del potencial lineal a lo largo de los paneles se obtiene una distribucin de torbellinos de intensidad constante a lo largo de cada panel cuyo valor es mdj/ = j/ = (j+1 j)/lj para el panel j; en este segundo caso no se obtienen torbellinos concentrados en los nodos ya que mdj(0)=mdj-1(lj-1)=j por la continuidad de la solucin. El potencial de velocidades en un punto P se puede escribir en funcin de la intensidad por unidad de longitud de la distribucin de torbellinos en cada panel, j, como sigue

( )1 0

, arctan d2

l j jNj pj j

t p p jjpj

=

= +

, (10.36)

de donde se obtienen las componentes de la velocidad en los ejes locales de cada panel

1,ln2j pjj

t pjpj

r

r

+

=

V , (10.37)

mdi() mdi1() mdi+1()

mdi+1(l)

mdi(l)

mdi1(l)

mdi+1/ mdi(0)

mdi1(0)

mdi1/

mdi1/

mdi+1(0)

Captulo 10

11

de forma que el campo de velocidades en los ejes globales es

1

1

cos cos ln sin2

Nj pj

p pj j jpj

j

ru U

r

+

=

= +

1

1

sin ln cos sin2

Nj pj

p j pj jpj

j

rv U

r

+

=

= + +

(10.38)

donde j = (mdj(lj) mdj(0))/lj es la pendiente de la distribucin lineal de dobletes sobre cada panel. Ahora, a diferencia de lo que se obtena en el mtodo del potencial constante, se tiene una singularidad en la velocidad en el borde de salida del perfil porque cuando P se aproxima a este punto aparecen dos singularidades logartmicas en la velocidad normal, ya que rp1 = rpN+1 0 si el punto P tiende al borde de salida. Para evitarlo se impone la condicin de Kutta en el borde de salida. Como es bien sabido la condicin de Kutta puede enunciarse de distintas formas, la ms inmediata parece ser la de exigir que la velocidad sea finita en el borde de salida; para ello bastara con anular los trminos singulares de las ecuaciones (10.38), es decir: 1 1sin sinN N = , 1 1cos cos= N N , (10.39) pero satisfacer esta condicin supone cumplir dos ecuaciones y slo queda una incgnita por determinar. Si se tiene en cuenta que en todos los nodos existen singularidades logartmicas en la componente normal de la velocidad se comprende que la condicin anterior es demasiado exigente, por lo que en vez de la condicn de Kutta se utiliza un corolario de dicha condicin que dice que en el entorno del borde de salida las velocidades sobre el extrads y el intrads del perfil deben ser iguales a distancias iguales del borde de salida, y para cumplir sta basta con imponer 1 = N , (10.40) que equivale a la ecuacin (10.35). Conviene destacar que esta segunda condicin es menos exigente que la primera porque no evita la singularidad en la componente normal de la velocidad en el borde de salida. 10.4. METODOS DE PANELES BASADOS EN DISTRIBUCIONES DE TORBELLINOS En el apartado anterior se ha demostrado que la distribucin de dobletes de intensidad () sobre cada panel rectilneo se puede sustituir por una distribucin de torbellinos de intensidad / (esto es extensible a casos en que los paneles sean curvilneos) en cuyo caso la ecuacin 10.13 se puede escribir como

p p p vSb

U x y= + + zcos sind i d , (10.41) donde v es el potencial de un torbellino de intensidad unidad, es decir,

Captulo 10 12

v =

1

2, (10.42)

siendo (r,) las coordenadas polares del punto P en un sistema de referencia con origen en d y = /s la componente de la velocidad en la direccin de la tangente local, t 10.4.1. Mtodo de distribuciones de torbellinos de intensidad constante

Se supone que las distribuciones de torbellinos sobre cada uno de los paneles que modelizan el perfil es constante y de valor i i=1,...,N; de esta forma la velocidad inducida por todos los paneles en un punto del contorno se puede obtener a partir de las ecuaciones 10.38 sin ms que hacer que p tienda a dicho punto; en este caso se toman como puntos de control, denominados genricamente por i, los puntos medios de cada panel. De esta forma se expresa la velocidad en los puntos de control en funcin de las intensidades de los torbellinos que las producen, pero como a su vez la componente tangencial de esta velocidad es precisamente la intensidad de dichos torbellinos, se obtienen unas relaciones entre los valores de dichas intensidades, que se pueden expresar como i i i i iu v= + =cos sin

( ) ( ) ( )11

cos cos ln sin2

Nj ij

i ij i j i jij

j

rU

r

+

=

= + +

, i=1,...,N. (10.43)

Todava falta por imponer la condicin de Kutta en el borde de salida que tal y como se ha analizado en la seccin anterior se puede escribir como en la ecuacin (10.40). Las ecuaciones (10.43) y (10.40) proporcionan un sistema de N+1 ecuaciones y N incgnitas que puede resolverse mediante el mtodo de mnimos cuadrados. Aunque los problemas planteados en el caso del mtodo del potencial lineal y del mtodo de los paneles basado en una distribucin constante de torbellinos son iguales, la forma de resolverlos es muy distinta, ya que en el primer caso todo se expresa en funcin de parmetros que describen el potencial de velocidades sobre cada panel, particularizando la frmula de Green en cada uno de los nodos, mientras que en el segundo caso las incgnitas son las intensidades de los torbellinos sobre cada panel, que se igualan a las velocidades tangenciales que producen todos los torbellinos en el punto medio del mismo. 10.4.2. Mtodo de distribuciones de torbellinos de intensidad lineal

En lugar de suponer que las intensidades de los torbellinos son constantes sobre los paneles se puede suponer una variacin lineal de dichas intensidades a lo largo de cada panel, de forma que no existe discontinuidad al pasar de un panel al siguiente. La intensidad de los torbellinos sobre el panel j se puede escribir en la forma

b g = + +j j jjl

1 , (10.44)

donde j j=1,...,N+1 son los valores de las intensidades en cada uno de los nodos. A partir de la ecuacin (10.41) y particularizando en los puntos del contorno, i, se puede escribir el potencial como sigue

Captulo 10

13

( ) ( ) ( )1 0

, cos sin arctan d2

l jNi j

i i i ii j

j

y yx y U x y

x x

=

= +

, (10.45) con yj = Yj + cosj, xj = Xj + cosj, donde (Xj,Yj) son las coordenadas cartesianas del nodo j y j es el ngulo que forma el panel j con la horizontal. Dicho potencial cumple la ecuacin de Laplace y la condicin de contorno en el infinito, luego para determinar j j=1,...,N+1 se impondr que la velocidad normal al perfil sea nula y la condicin de Kutta en el borde de salida. La condicin de velocidad normal nula sobre el contorno se impone en cada uno de los puntos de control, que en este caso son los puntos medios de cada panel (xi,yi)/ni = 0, o bien, in i = 0, donde ni = (sini, cosi). Operando en la ecuacin (10.45) se obtiene

( ) ( )11 0

/sin arctan d

2

l jNj j j j i j

i i ii j

j

l y yU

x x

+

=

+ =

n , (10.46) expresin que tambin se puede poner como

Ua a l a a l

b b b

a a

b b bi j

j j

l j

j

l j

j

N

+

=

=+ + +

+ ++

+

+ +

RS|T|

UV|W|

z zsin / / b g d i b g0 0 1 12

0 1 22

0

10 1

0 1 22

01

d d ,

(10.47) donde

a a

b b b

y y x x

x x y y

i j i i j i

i j i j

0 1

0 1 22 2 2

+

+ += +

+

d i d id i d i

sin cos .

La condicin de Kutta se puede imponer ahora forzando a que la vorticidad en el borde de salida sea nula, es decir 1 + N+1 = 0 . (10.48) Las ecuaciones (10.47) y (10.48) constituyen un sistema lineal que se puede resolver para obtener j j=1,...,N+1, y a partir de estos valores calcular las velocidades tangenciales en los puntos de control: Vti = ti(xi,yi), donde ti = (cosi, sini), y a partir de estas velocidades calcular los coeficientes de presin en los puntos de control. 10.5. METODOS DE PANELES BASADOS EN DISTRIBUCIONES DE MANANTIALES El mtodo Smith-Hess de paneles consiste en distribuir manantiales y torbellinos a lo largo de paneles rectilneos que modelizan el contorno del perfil e imponer la condicin de velocidad nula en el contorno y la condicin de Kutta en el borde de salida. El potencial de velocidades ser

Captulo 10 14

( ) ( ) ( )cos sin ln d d2 2S Sb b

q s sU x y r s s

= + + . (10.49)

Segn la Frmula de Green

q sa f = =n 0 y ( )ss =

,

pero se puede demostrar que es posible encontrar otras distribuciones de manantiales y torbellinos que cumplan con las condiciones de contorno, por ejemplo:

q sa f d i= n y ( ) ( )s s

=

,

donde * es una solucin de la ecuacin de Laplace en el interior del perfil. Si es la circulacin alrededor del perfil se puede escribir

( )dSb

s s = , de donde se deduce que

d d 0

S Sb b

s ss s = = ,

lo que garantiza que * pueda ser calculada en el dominio interior del perfil. Para resolver el problema as planteado se introduce una simplificacin adicional que consiste en suponer torbellinos de intensidad constante a lo largo de todo el contorno y manantiales de intensidad constante en cada uno de los paneles, de esta forma sb g = , q s qib g = en el panel i i=1,...,N . (10.50) La condicin de velocidad normal nula en el contorno se puede expresar ahora como 0 = +u vi i i isin cos i=1,...,N, (10.51) donde (ui,vi) son las componentes de la velocidad en el punto medio de cada panel. La condicin de Kutta se puede imponer igualando las velocidades tangenciales en los puntos medios de los paneles que forman el borde de salida, y se escribe u v u vN N N N1 1 1 1cos sin cos sin + = . (10.52)

Captulo 10

15

Las velocidades inducidas por las singularidades en los puntos medios de los paneles se pueden escribir como

u U q u ui j sij vijj

N

j

N

= + +==cos

11

,

v U q v vi j sij vijj

N

j

N

= + +==sin

11

, (10.53)

donde (usij,vsij) es la velocidad que induce en el punto medio del panel i una distribucin de manantiales de intensidad unidad situada a lo largo del panel j y (uvij,vvij) es la velocidad inducida en el punto medio del panel i por una distribucin de torbellinos de intensidad unidad situada a lo largo del panel j. Estas velocidades pueden calcularse, como ya se ha hecho en otras ocasiones, utilizando unas coordenadas locales ligadas al panel j y se obtiene

1cos

ln sin2 2

j ij ijsij j

ij

ru

r

+= ,

1sin

ln cos2 2

j ij ijsij j

ij

rv

r

+= ,

1sin

cos ln2 2ij j ij

vij jij

ru

r

+= , (10.54)

1cos

sin ln2 2ij j ij

vij jij

rv

r

+= + .

Introduciendo las expresiones de (10.53) y (10.54) en las ecuaciones (10.51) y (10.52) se obtiene un sistema de ecuaciones lineales de la forma

A q A bij j iN ij

N

+ =+= 1

1

i=1,...,N+1, (10.55)

que permite calcular y qj j=1,...,N+1, y a partir de estos valores, utilizando las expresiones (10.53), se pueden calcular las velocidades inducidas en los puntos de control y conocidas las velocidades calcular los coeficientes de presin en dichos puntos.