metodo de paneles

7/17/2019 Metodo de Paneles

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Método de paneles

Introducción

El método numérico de paneles permite hacer un tratamiento más realista de

las geometrías alares que los métodos analíticos tradicionales en los que se

aproximan las superficies a geometrías planas, con espesores tendiendo a cero

y condiciones de frontera igualmente simplificadas. Otra ventaja que presenta

el método desde el punto de vista computacional es que soluciona el flujo sobre

las fronteras del cuerpo y no en todo un espacio o dominio como lo hacen

generalmente los métodos más usados de !" como son los elementos finitos

#!E$%, diferencias finitas #!"$% y los vol&menes finitos #!'$%, esto hace que

el tiempo de soluci(n numérica sea mucho mas rápido debido a un menor

numero de puntos de evaluaci(n, obviamente lo anterior es solo aplicable a

problemas donde se puede hacer la suposici(n de flujo no viscoso, pues al

tener en cuenta la viscosidad hay fen(menos como el desprendimiento de la

capa limite que pueden llegar a tener mucha influencia sobre puntos del campo

de fluido lejanos a la superficie. Este método se basa en hacer una

perturbaci(n de un campo de flujos uniformes por medio de otros flujos como

dobletes, fuentes y)o v(rtices para producir un efecto en el fluido similar al de

una geometría inmersa, en este caso un ala.

Existen * tipos básicos de métodos de paneles que serán abordados a

continuaci(n, el método de paneles con fuentes y el método de paneles con

v(rtices, el primero para cuerpos que no generan sustentaci(n, como por

ejemplo perfiles simétricos con +O+ cero, y el segundo para cuerpos que

generan sustentaci(n.



Método de paneles con fuentes

El objetivo de este método es predecir la distribuci(n de presiones sobre una

geometría que no genera sustentaci(n como un cilindro, una esfera o inclusive

un perfil simétrico inmerso en un flujo con +ngulo de ataque nulo.

El método consiste superponer la acci(n de un flujo libre, con velocidad ∞ , en

el cual esta inmerso un colch(n o superficie cubierta de fuentes o sumideros,

dicha superficie es idéntica a la que originalmente ocupa la geometría dentro

del flujo libre como se muestra en la rafica -, para que la acci(n de el flujo

libre sumada con la de las fuentes o sumideros producan una perturbaci(n del

flujo similar a la producida por una geometría con fronteras solidas inmersa en

el campo de velocidades, y el efecto mas importante es que se la superficieoriginal debe ser una línea de corriente, reduciendo así el problema a encontrar

las intensidades de las fuentes o sumideros que permiten esto.

Grafica 1 Superposición de Flujos (Anderson, 1984)

omenando, supongamos que la intensidad por unidad de longitud de una

fuente o sumidero esta dada por λ = λ ( s ) , donde recorre la superficie de lageometría en sentido horario como se muestra en la rafica *, +sí de la teoría



de flujos fundamentales se tiene que el potencial de velocidad producido por un

segmento diferencial de fuentes ubicado a una distancia r de un punto / con

coordenadas #x,y% esta dada por0

d φ = λ ds

ln r #-%

2π

1a superficie de la geometría a analiar se debe discretiar en paneles no

necesariamente iguales, pudiendo hacerlos más grandes en las partes donde

la superficie sea más homogénea pero intentando siempre reproducir la

geometría original. "entro de cada panel siempre va ubicado un punto de



control que es donde se supone la fuente o sumidero, así sobre cada una de

las particiones se asume una intensidad del flujo constante, cambiando solo

entre panel y panel.



Grafica !istri"ución de los paneles so"re el perfil (Anderson, 1984)

on la superficie dividida en 2 paneles, se tiene que la contribuci(n del 34esimo

panel al potencial de velocidades en el punto / esta dada por0

∆φ j =

λ

j

∫

ln r Pj ds j

#*%



2π

j

"onde r Pj es un vector que apunta desde el punto de control del panel j hasta



el punto /

+sí pues la contribuci(n de todos los paneles al potencial en #x,y% esta dado por

N

∑∆φ j #5%

j =1

6asta ahora se ha asumido que / es un punto arbitrario, supongamos ahora

este punto de interés esta ubicado en el i4esimo panel, así el potencial esta

dado por0



N

λ

j

φ ( xi , yi ) = ∑

∫ ln r ij ds j#7%

2π

j =1

j



on0

r ij = ( xi − x j ) 2 + ( yi − y j )2

+hora debemos imponer la condici(n de frontera apropiada al problema,

como sabemos que en la geometría original no hay flujo a través de las

paredes entonces esto se puede hacer garantiando que las velocidades

normales a la superficie sean cero para todos los puntos de control,

comenando por la componente normal del flujo libre que esta dada por -0

V

= V cos β

#8%

= V ⋅ n

i

∞,n

∞

i

∞



/or otro lado derivando la ecuaci(n #7% con respecto a la direcci(n normal

tenemos que la componente producida por la fuente es0

∂φ

N

λ j

∂

λ i

N

λ j

∂



V n

=

i

= ∑

∫

ln r ij ds j =

+ ∑

∫

ln r ij ds j #9%

∂ni

∂ni



j =1

2π

j

2π j =1

2π

j

∂ni



J ≠i

:i en la sumatoria se hace i;j, se tiene que la integral es igual a , a esto se llega suponiendo haciendo = y resolviendo la integral cuando → 0.

+sí imponiendo pues la condici(n de frontera se obtiene la ecuaci(n

fundamental del método de paneles basado en flujos fuente0

λ i

N

λ j

∂

V



+V = 0 =

+

∑

∫

ln r ds

+V cos β

#<%

j

i

∞,n



∞

2π

2π

∂ni

ij

∞

j =1

j



J ≠i

En la anterior ecuaci(n se observa que los términos dentro de la integral solo

dependen de la geometría del problema y no del flujo, por tanto este valor es

conocido de antemano al saber las condiciones del problema a analiar, así pues

la ecuaci(n #<% aplicada no solo al i4esimo panel sino a los 2 paneles da lugar a

un sistema de 2x2 el cual tiene como soluci(n un vector con 2 componentes,

cada una de ellas representando las intensidades de los flujos

- :iempre denotaremos con un n la direcci(n normal y con s la direcci(n tangencial.



fuente necesarias para cumplir las condiciones presentadas en el comieno,

es decir las intensidades necesarias en cada panel para que la geometría sea

formada por líneas de corriente dentro del campo del fluido.

/ara finaliar, una ve que se obtienen las intensidades, con estas se pueden

obtener las velocidades tangentes a cada panel sobre la superficie,

análogamente a como se obtuvieron las ecuaciones #8% y #9%, así0

∂φ

N

λ j

∂ ln r ij dsi



V = V +V

=

+V sen β

=

∑

∫

+V senβ

#=%



i

i



i

s

∞, s

∂ s

∞

2π

∂ s

∞



j =1

j

on esto y utiliando >ernoulli, se puede obtener pues la distribuci(n de

presiones sobre la superficie, así0

V i



2

#?%



C p=

1−

V



∞



omo comentario final cabe decir que la fuer.a producida por un panel de

longitud

es

λ

j

S

j

, y como para un cuerpo cerrado la suma de todos las



fuentes o sumideros debe ser cero o sino el cuerpo estaría emitiendo o

absorbiendo masa del fluido, lo cual es imposible físicamente seg&n las

condiciones de frontera dadas, así siempre que se solucione este problema se

verifica su valide siempre que se cumpla0

N

∑λ j S j = 0 #-@%

j =1



#l $étodo de paneles %on &órtices ('M)

omo se dijo anteriormente el método de paneles con fuentes tiene

restricciones a cuerpos que no generan sustentaci(n, además de este método

existen otros métodos numéricos que resuelven el problema de el flujo

alrededor de un perfil partiendo de diferentes suposiciones que simplifican los

cálculos y no desarrollan las ecuaciones de 2avier :toAes directamente, uno

de estos otros métodos a mencionar es el basado en la teoría de perfiles

delgados, pero este como su nombre lo indica es solo para perfiles delgados

que están enfrentados al flujo a pequeBos ángulos de ataque, con estas dos

restricciones el método da un cálculo muy aproximado de la sustentaci(n de un

perfil, pero se necesitan métodos más generales, ahí es donde surge el

método de paneles con v(rtices que permite calcular las características

aerodinámicas de un cuerpo de forma arbitraria espesor y orientaci(n.

El '/$ es análogo al método de paneles con fuentes, pero ahora los paneles

tiene v(rtices en ve de fuentes o sumideros, esto permite calcular

circulaciones, las cuales son cero en los flujos tratados en el método anterior

pero, para finalmente con dichas circulaciones hallar directamente por medio

del teorema de Cutta43ouAoDsAi la sustentaci(n.

/ara comenar nuevamente cubrimos la superficie de la geometría con una

colch(n de v(rtices cuya intensidad hace que la interacci(n de el flujo libre con

esta cree líneas de corriente exactamente en el espacio que debería ocupar la

superficie de la geometría a analiar, como se muestra en la rafica 5.



Grafica !istri"ución de los &órtices so"re el perfil (Anderson, 1984)

omo se hio anteriormente se procede a aproximar la geometría con 2

paneles, cada uno de estos con un punto de control en el medio y centrado en

este un v(rtice cuya intensidad esta dada por γ i , donde = 1,2,3 … , cabe



notar que debido al posicionamiento del v(rtice respecto al punto de control la

velocidad normal del flujo sobre este es cero.

+hora sabemos de la teoría de flujos fundamentales que el potencial develocidades en funci(n de la circulaci(n esta dado por

φ = −

Γ

θ

2π

#--%

a su ve que la circulaci(n en funci(n de la intensidad de la vorticidad estadada por



Γ =

∫

γ ds

#-*%

l

"onde l es la línea sobre la superficie que contiene los v(rtices, asi de las

ecuaciones #--% y #-*% se obtiene que

φ = −

1

∫

γθ ds



2π

l

#-5%



El potencial inducido en un punto arbitrario / ubicado en #x,y% #como el

mostrado en la rafica 5 % debido a la perturbaci(n del flujo por el j4esimo

v(rtice es,

1

∆φ j

= − 2π ∫

γ j

θ Pj

ds j

j

#-7%

"onde θ Pj indica el ángulo respecto a la horiontal formado por un radio vector

que va desde el j4esimo punto de control al punto /.

esta dado por

θ Pj

= tan−1

y − y

j



x − x j

"e lo anterior se concluye que el potencial de velocidades inducido en el iesimo

panel debido a la contribuci(n de todos los paneles esta dado por

N

γ

j

φ ( xi , yi ) = −∑

∫ θ ij ds j



2π

j =1

j

#-8%

+hora como en el punto de control la componente normal de la velocidad es

cero, entonces se debe cumplir que la suma de las contribuciones normales de

la velocidad del flujo libre más la componente normal de la velocidad inducida

por los v(rtices debe ser cero, así0



V ∞ ,n +V n = 0

#-9%

+demás como0

V ∞ ,n =V ∞ cos β i

#-<%

V n =

∂

φ ( xi

, yi )

∂ni



#-=%



Entonces se tiene de #-9%,#-<% y #-=% la expresi(n fundamental del método de

paneles con v(rtices

N

γ i

∂θ ij

V

cos β

−

∑

∫

ds

= 0



i

j

∞

2π

∂ni

j =1



j

#-?%

2uevamente se obtiene que el los argumentos de la integral que queda dentro

de la expresi(n discreta para los puntos de control solo depende de la

geometría y no de las características del flujo.

/ero surge un problema adicional, pues además de resolver las n inc(gnitas

hay que garantiar que se cumple la condicion de Cutta, es decir que el flujo

deje el borde de fuga del perfil suavemente* y con velocidad infinita. 1o &ltimo

no se puede implementar directamente de modo computacional, pero surgen

varias alternativas para su implementaci(n numérica0



Grafica 4 I$ple$entación de las %ondiciones de *utta (#+ -ou./ton, 00)

:uponer que la línea de flujo deja el borde de fuga en la direcci(n de la

bisectri del ángulo del borde de fuga.#rafica 7 #a%%

arantiar que a medida que el borde de fuga se acerca las velocidades en las

superficies superior e inferior se acercan al mismo valor #rafica 7 #b%%.

En el caso práctico de un perfil con un borde de fuga finito este debe ser un

punto de estancamiento así el valor al cual se sugiere que tiendan las

velocidades en el literal > es cero.



* Fue sea una funci(n suave, es decir infinitamente diferenciable.



"% 1a intensidad de los v(rtices tiende a cero en el borde de ataque.

/ara el análisis siguiente se usara la &ltima suposici(n, esto es siguiendo la

configuraci(n de rafica 8

Grafica %onfi.uración del "orde de fu.a para las i$ple$entación nu$érica de la condición de

*utta+

on esto se obtiene que las intensidades de los paneles inferior y superior

sobre el borde de fuga deben cancelarse al sumarse, así0



γ TE = 0 → γ i = −γ i−1

#*@%

'ale la pena resaltar que ahora con las ecuaciones #-?% y #*@% se tienen 2G-

ecuaciones para hallar 2 inc(gnitas que son las intensidades, por tanto se

recurre a dejar de evaluar una de las 2 ecuaciones resultantes de la expresi(n

#-?% para poder así formar un sistema 2x2. on el anterior sistema resuelto

como se dijo inicialmente se logran hallar las intensidades de los v(rtices

puestos sobre los puntos de control tales que hagan que la superficie de la

geometría original sea una línea de corriente y además que cumplen la

condici(n de Cutta.

/or &ltimo debemos hallar las velocidades sobre la superficie de cada panel,

para esto sabemos de la ecuaci(n #-*% como se hallan las circulaciones, pero

hay que ver físicamente lo que ocurre sobre las líneas de evaluaci(n de la

integral para poder hallar los valores apropiados, para esto obsérvese pues la

rafica 9



Grafica 2 %ontorno de e&aluación de la inte.ral so"re un panel

+l evaluar la integral sobre las líneas mostradas se obtiene que0

Γ = (U 1 −U 2 ) ds + (V 1 −V 2 )dn

#*-%

/ero note que por ser provenientes del mismo v(rtice V 1 = V 2 y además U 2 = 0

pues es físicamente imposible que el flujo exterior perturbe el interior del perfil

debido a las condiciones de frontera #estas garantian que este ocupa un

espacio real dentro del fluido%, finalmente obteniendo que

Γ =U 1ds = γ ds →U 1 = γ

#**%



+sí la velocidad local tangencial al perfil en la superficie es igual al valor de la

intensidad, y el valor de los coeficientes de presi(n puede ser hallado mediante

la ecuaci(n #?%, y hallar así los coeficientes de sustentaci(n y arrastre,

+dicionalmente se puede hallar con los datos obtenidos la sustentaci(n porunidad de spam # L ' % gracias al teorema de Cutta43ouAoDsAy, si sobre todo el

perfil la expresi(n de la circulaci(n es0

N

Γ = ∑γ j S j

j =1

#*5%

Entonces

N

L ' = ρ V



γ

j

S

j

∞ ∞ ∑

j =1

#*7%

/or &ltimo hay que aclarar que el método desarrollado anteriormente es una

aproximaci(n de primer orden pues0



+sume constante la intensidad de la vorticidad para cada panel.

+l ignorar una de las ecuaciones #arbitrariamente% del sistema inicial para

ingresar la condici(n de Cutta se pierde informaci(n sobre el sistema, portanto diferentes elecciones dan como resultado diferentes intensidades.

+ctualmente los métodos de paneles de segundo orden y orden superior #ver

#3. Cat, -??-%% usan combinaciones de fuentes o sumideros con v(rtices, los

primeros para describir mejor el espesor de la geometría y los otros para

expresar la circulaci(n.

3i"lio.rafa

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metodo de paneles

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